北京航空航天大学2014年矩阵论考博真题解析

错误！n 元二次型 X T AX 正定的充要条件是 A 与 n 阶单位矩阵 E 合同。合同 未必相似。 5.设 A 为 n 阶方阵， C 是正交矩阵，且 B = CT AC ，则 A 与 B 有相同的特征值，
这里 CT 表示 C 的转置矩阵。( √ )
2
【解答】 正确！ C 是正交矩阵，故 CT = C−1 ，这样， B = CT AC = C−1AC ， A, B 相似，
3.已知三阶方阵 A 的特征值为 −1,1, 2 ，设矩阵 B = A2 − 2A + E ，则 B = ________ 【解答】
A 的特征值为 −1,1, 2 ，故 B = A2 − 2A + E = ( A − E)2 有特征值 (1−1)2 = 0 ，
因此， B = 0 。
Hale Waihona Puke 4.二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x1x2 + 2x22 + 6x2 x3 + 9x32 的正惯性指数、负惯性指数与 符号差分别为__________ ___________ ______________ 【解答】
rank( A) ≤ 2 。另一方面，易见 A 的第一行和第三行线性无关，故 rank( A) ≥ 2 ，
1 2 −2 因此， rank( A) = 2 ，其等价于 A = 4 t 3 = 7t + 21 = 0 ，即 t = −3 。
3 −1 1
2.设 A 为 3 阶实对称矩阵，特征值为1, 2,3。已知与特征值1, 2 对应的特征向量
为 (1,1,1)T ， (0,1,1)T ，则与特征值 3 对应的特征向量为__________ 【解答】
由于 A 为实对称矩阵，故与特征值 3 对应的特征向量与特征值1, 2 对应的特
征向量均正交，求解方程组
⎛ ⎜ ⎝
1 0
1 1
1⎞ 1⎟⎠
x
=
0
，可得其一个线性无关解
(0,1, −1)T
，
因此，与特征值 3 对应的特征向量为 k(0,1, −1)T ， k ≠ 0 。
−1 0 3
二.判断题 1.若矩阵 A 与 B 的秩相等，则 A 与 B 等价。( × ) 【解答】
错误！还必须 A 与 B 同型。
2.设 A 是 m × n 矩阵，若方程组 AX = B(≠ 0) 的解不唯一，则 m < n 。( × )
【解答】
错误！方程组 AX = B(≠ 0) 的解不唯一，故 rank( A) < n ，但不能说是 m < n 。
(D) k −2 A*
2.若向量组 (1+ a, 2, 6) ， (1, a, −3) ， (1,1, a − 4) 线性无关，则 a 的取值_________
(A) 0 【解答】
(B) 不为 0
(C) 1
(D) 不为 1
向量组 (1+ a, 2, 6) ， (1, a, −3) ， (1,1, a − 4) 线性无关当且仅当
量组α1,α2 ,",αn 的秩_________
(A) 小于 n
(B) 大于 n
【解答】
(C) 等于 n
(D) 很难说
基本单位向量组ξ1,ξ2 ,",ξn 可由 n 维向量组α1,α2 ,",αn 线性表示，故
n = rank {ξ1,ξ2 ,",ξn} ≤ rank {α1,α2 ,",αn}
另一方面， rank {α1,α2,",αn} ≤ n ，故 rank {α1,α2,",αn} = n ，选 C。
北京航空航天大学 2014 年考博矩阵论真题解析
一.填空题
⎛ 1 2 −2⎞
1.已知
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
4 3
t −1
3 1
⎟ ⎟⎟⎠
，
B
为 3 阶非零矩阵，且
AB
=
0 ，则 t
=
__________
【解答】
AB = 0 ，故 rank( A) + rank(B) ≤ 3 ， B 为 3 阶非零矩阵，故 rank(B) ≥ 1，故
1
f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x1x2 + 2x22 + 6x2 x3 + 9x32 = x12 + 2x1x2 + x22 + x22 + 6x2 x3 + 9x32 = (x1 + x2 )2 + (x2 + 3x3 )2
令 y1 = x1 + x2 ，y2 = x2 + 3x3 ，y3 = x3 ，则 x3 = y3 ，x2 = y2 − 3y3 ，x1 = y1 − y2 + 3y3 ，
如此可得 f 的标准形为 y12 + y22 ，正惯性指数为 2 ，负惯性指数为 0 ，符号差为 2 。
⎛ 1 0 2⎞
5.设
A
为
4
×
3
阶矩阵，且
rank
(
A)
=
2
，B
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 −1
2 0
0 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则
AB
的秩
rank
(
AB)
=
__
【解答】
1 02 B = 0 2 0 = 10 ≠ 0 ，故 B 为可逆矩阵，因此， rank(AB) = rank( A) = 2 。
1+ a 2 6 1 a −3 = a3 − 3a2 − 9a +11 = (a −1)(a2 − 2a −11) ≠ 0 1 1 a−4
即 a ≠ 1且 a ≠ 1± 2 3 。因此，选 D。
3.若 n 维基本单位向量组 ξ1,ξ2 ,",ξn 可由 n 维向量组α1,α2 ,",αn 线性表示，则向
3.设 A 是 n 阶方阵，如果 A2 − 2E = 0 ，那么 A − E 是降秩矩阵。(即不满秩)( × ) 【解答】
错误！ A2 − 2E = 0 ，故 A2 − E = ( A + E)( A − E) = E ，故 A − E 为满秩矩阵。
4. n 元二次型 X T AX 正定的充要条件是 A 与 n 阶单位矩阵 E 相似。( × ) 【解答】
4.设 A, B 均为 n 阶方阵，则有__________
(A) A + B = A + B
(B) AB = BA
3
(C) AB = BA
(D) ( A + B)−1 = A−1 + B−1
故有相同的特征值。 三.选择题 1.设 A 为 3 阶方阵， A* 为 A 的伴随矩阵， k 为大于1的常数，则 (k −1A)* = _____
(A) k −1A*
(B) k −3 A*
(C) k 3 A*
【解答】
A 为 3 阶方阵，故 (k −1A)* = k −1 2 A* = k −2 A* ，选 D。