高考数学(理)二轮专题复习专题突破课件1-1-2平面向量、推理证明与复数
高考数学二轮复习 第1部分 专题1 必考点2 平面向量与
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
利用A→C＝A→B＋A→D，把A→B、A→D用基底A→E、A→F表示，结合向量三角形法则 求解． ∵A→C＝A→B＋A→D，又∵E、F 为 DC、BC 中点
又AA→→EF＝＝AA→→DB＋＋1212AA→→DB，.②①
得AA→→DB＝＝3443AA→→FE－－2323A→A→EF
∴A→C＝34A→F－23A→E＋43A→E－23A→F＝23A→F＋32A→E
∴ 4 λ＝μ＝23 ∴λ＋μ＝43 3
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
以 AC 为对角线，以 AE、AF 所在直线为邻边作平行四边形来表示A→C＝λA→E
＋μA→F.
取 AD、AB 的中点 G、H.
连 CG，CH，CG∩AE＝M，CH∩AF＝N
∴CM∥AN，CN∥AM
∴四边形 ANCM 为平行四边形
∴A→C＝A→M＋A→N，在△ ADC 中，M 为重心．
∴4 A→M＝23A→E，同理A→N＝23A→F 3
∴A→C＝23A→E＋32A→F
∴λ＋μ＝32＋32＝34.
小题 速解
类型一 平面向量概念及线性运算
[特例法，在正方形 ABCD 中，建立坐标系求解．]
专题复习·数学（文）
专题一 集合、常用逻辑、平面向量、复数、 合情推理、不等式
必考点二 平面向量与复数运算、算法、合情推理
类
类型一 平面向量概念及线性运算
型
类型二 平面向量的数量积的计算与应用
类型三 法与框图的输入或输出值
类型五 补写完善程序框图
类型六 合情推理
高考·预测 运筹帷幄之中
知识 回扣
必记知识
重要结论
高考数学(理)名师指导精讲课件：1-2 平面向量、复数、程序框图及合情推理
5．熟悉复数的四则运算法则
(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
(a＋bi)÷(c＋di)＝
ac＋bd c2＋d2
＋
bc－ad c2＋d2
i(a，b，c，d∈R，c＋
di≠0)．
6．辨明算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构：如图(1)所示．
3．D 解析：z＝12＋i i＝1＋i，－z ＝1－i，对应点(1，－1)在 第四象限，故选D.
4．12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·nn＋2 1 解析：左边为平方项的(－1)n－1倍的和，右边为(1＋2＋3 ＋…＋n)的(－1)n－1倍．再用数学归纳法证明成立．
(2)复数的四则运算有时单独考查，有时与复数的相关概 念、复数的几何意义等相互交汇考查，在备考时注意将复数化 为代数形式再进行求解，同时注意“分母实数化”的运用．
(3)程序框图经常与函数求值、方程求解、不等式求解、数 列求和、统计量的计算等交汇在一起命题，求解此类问题时要 结合所学知识将程序框图表达的实际意义弄清楚，然后再对问 题作答．
[命题新观察] 1．A 解析：第一步，S＝0＋22－1 1，i＝i＋2＝4； 第二步，S＝22－1 1＋42－1 1，i＝6； 第三步，S＝22－1 1＋42－1 1＋62－1 1，i＝8；
第四步，S＝22－1 1＋42－1 1＋62－1 1＋82－1 1，i＝10； 第五步，S＝22－1 1＋42－1 1＋62－1 1＋82－1 1＋1021－1，i＝12. 则S＝1211－13＋1213－15＋…＋1219－111 ＝121－111＝151，故选A.
4．(2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此规律，第n个等式可为____________．
高考数学理科二轮专题突破辅导与测试课件专题六第1讲算法、复数、推理与证明
1．程序框图的逻辑结构 顺序结构、条件结构和循环结构． 2．复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 (1)z 是实数⇔b＝0； (2)z 是虚数⇔b≠0； (3)z 是纯虚数⇔a＝0，且 b≠0. 3．共轭复数 复数 a＋bi(a，b∈R)的共轭复数是 a－bi(a，b∈R)．
4．复数的四则运算法则 (1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； (2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i； (3)(a＋bi)÷(c＋di)＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－＋add2 i(a，b，c，d∈R，c＋ di≠0)．
＋12＋14，n＝6；第三次循环后：s＝0＋12＋14＋16，n＝8，跳出
循环，输出s＝0＋12＋14＋16＝1112.
答案：C
2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N
＝4，那么输出的S＝
()
A. 1＋12＋13＋…＋110 B. 1＋21！＋31！＋…＋101！ C. 1＋12＋13＋…＋111 D. 1＋21！＋31！＋…＋111！
位)，则 z 在复平面内对应的点位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵ z ＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴复数 z 在复平面内对
应的点为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
4．(2013·安徽高考)设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复
数．若 z·z i＋2＝2z，则 z＝
C．计算数列{2n－1}的前10项和
D．计算数列{2n－1}的前9项和 [自主解答] (1)首次进入循环体，s＝1×log23，k＝3；第
二次进入循环体，s＝
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题一小题专攻第二讲复数、平面向量
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
高考数学二轮总复习专题3复数、算法、推理(共30张PPT)
)
命题定位:本题主要考查复平面、复数乘法运算等知识,重在强化对复
关闭
因为 i(1-2i)=i+2,其在复平面内对应的点为(2,1),位于第一象限.故选 A.
关闭
A
解析 答案
-5能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
3.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 7)执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别 为 1,2,3,则输出的 M=( )
2 2 2 2 2
1 2
-7能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点一 复数的概念、运算及复数的几何 意义
思考 1:已知 z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R). ������ 如何求(1)z1· z2, 1的实部,虚部.(2)|z1|.Leabharlann -3能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4
1.(2014 山东高考,理 1)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共 轭复数,则(a+bi)2=( ) A.5-4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 命题定位:本题主要考查复数概念、复数的运算、共轭复数等知识,能 力方面,要求准确理解复数的概念和具备复数的基本运算能力.
解析 答案
六边形数 N(n,6)=2n2-n, 1 1 由题中数据可猜想 :含 n2 项的系数组成首项是 ,公差是 的等差数列,含 n 项 …… …… 2 2 1 1 1 1 1 可以推测 N(n,k, )公差是 的表达式 ,由此计算 N (10,24) = 的系数组成首项是 - 的等差数列 ,因此 N(n ,k)= + (k-3.) n2+ +
【把握高考】高三数学二轮复习 专题演练1-1-2第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理.pdf
第二讲 复数、平面向量、程序框图与推理 一、选择题 1．(2012年高考福建卷)若复数z满足zi＝1－i，则z等于( ) A．－1－i B．1－i C．－1＋i D．1＋i 解析：解法一 利用复数的四则运算法则求解． 由zi＝1－i得z＝＝－1＝－1－i. 解法二 利用复数相等的充要条件求解． 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i. 由复数相等的充要条件得即 ∴z＝－1－i. 答案：A 2．(2012年长沙模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解析：经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B. 答案：B 3．(2012年福州模拟)执行如图所示的程序框图，若输入x＝0.1，则输出的m的值是( )A．0 B．0.1 C．1 D．－1 解析：当x＝0.1时，m＝lg 0.1＝－1， ∵－1A时，将x值赋给A，因此最后输出的A值是a1，a2，…，aN中最大的数；由于x＝ak，且x<B 时，将x值赋给B，因此最后输出的B值是a1，a2，…，aN中最小的数．∴选C. 答案：C 7．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( )A.－B.＋C.＋D.－ 解析：在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－.故选D. 答案：D 8．如图为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( ) A．i<＝20 B．i＝20 D．i>20 解析：由于是求20个数的平 均数，所以应是直到“i>20” 时，退出循环，故选D. 答案：D 二、填空题 9．已知复数z1满足(z1－2)·(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，若z1·z2是实数，则z2＝________. 解析：∵(z1－2)·(1＋i)＝1－i， ∴z1＝＋2＝2－i. 由题意设z2＝a＋2i， ∴z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i， ∵z1·z2是实数，∴4－a＝0，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 答案：4＋2i 10．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________________________________. 解析：由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为S1＝2××1×1×sin (α＋β)＝sin (α＋β)，图乙中阴影部分的面积为S2＝sin αcos β＋cos αsin β，又S1＝S2，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 答案：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 11．已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A＝60°，·＝2，则||的最小值为________． 解析：由题知2＝·＝||·||·cos A＝||·||·， 即||·||＝4. 由三角形重心的性质，可得＋＝3. 所以9||2＝||2＋||2＋2·≥2||·||＋2·＝2×4＋2×2＝12， 所以||min＝. 答案：。
2020届高考数学(理)二轮复习课件：专题2 向量运算与复数运算、算法、推理与证明
•命题方向3 复数的概念与运算
D
A
• [解析] 由a－i与2＋bi互为共轭复数，可 得a＝2，b＝1，故(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋ 4i．
A
• 『规律总结』 • 1．解决复数的概念与运算问题，一般都是
直接用运算法则求或用复数相等的条件求 解．一般是先变形分离出实部和虚部，把 复数的非代数形式化为代数形式．然后再 根据条件，列方程或方程组．
• 若不满足条件i>N，执行循环体，a3＝8，S ＝8，i＝4，
B
•命题方向5 合情推理
• 『规律总结』 • 1．在进行归纳推理时，要先根据已知的部
分个体，把它们适当变形，找出它们之间 的联系，从而归纳出一般结论．
• 2．在进行类比推理时，要充分考虑已知对 象性质的推理过程，然后通过类比，推导 出类比对象的性质．
4
1和3
命题热点突破
•命题方向1 平面向量的运算
B
B
• 『规律总结』 • 1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：
一是基于“形”，通过作出向量，结合图 形分析；二是基于“数”，借助坐标运算 来实现．
• 2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强 化“坐标化”的解题意识，注重数形结合 思想、方程思想与转化思想的应用．
• 2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件，复 数相等的条件、共轭复数及复数的几何意 义是解决复数问题的关键．
A
A
D
•命题方向4 程序框图
C
• 『规律总结』 • 解答程序框图问题的关注点 • (1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序
框图的三种基本结构，特别是循环结构， 如累加求和、累乘求积、多次输入等有规 律的科学计算中，都有循环结构．
江苏高考数学理二轮专题复习课件1.2平面向量、推理证明与复数
[思路点拨] 心．
→ → → (1)由 MA ＋ MB ＋ MC ＝0，可知M是△ABC的重
→ → → → (2)以 AB ， AC 为基底表示 AP ， BC ，利用向量垂直的充要条件 建立关于λ的方程，进而确定实数λ的值．
解析
→ → → → (1)∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB
1 7 1)×3×2×－2－λ×9＋4＝0，∴λ＝12.
7 答案 (1)3 (2)12
[探究提升] 1.第(1)题主要利用向量共线的坐标表示，第(2)题运 → 用平面向量垂直的条件是求解的关键，要注意避免错误“ BC → → ＝OB－OC”． 2．运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形 或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相 接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．
2
4 4 → 4→ 4 ∴AD＝5AB＝5(a－b)＝5a－5b.
答案 D
考向二
平面向量的数量积
【例2】 (1)(2013· 湖南改编)已知a，b是单位向量，a· b＝0.若向量 c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 ________. → (2)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量 OP 绕点O 按逆时针方向旋转 ________． 3π 4 后得向量 → OQ ，则点Q的坐标是
→ → 解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD， → → → 1→ → → → ∴BE＝FD＝AD－2AB，又AC＝AD＋AB， → → → → → 1→ ∴AC· BE＝(AD＋AB)· (AD－2AB) → 2 1 → → → → 1→2 ＝AD －2AD· AB＋AD· AB－2AB
[思路点拨](1)由a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)， c＝(x，y)利用向量的代数意义求解．(2)依据 向量的夹角与模的坐标计算公式求解．
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
高考数学大二轮复习专题一第2讲平面向量与复数课件理
Ⅱ 1,3 复数的几何意义;平面向量数量积求参数
2016
共轭复数及复数乘除法;平面向量的夹角及坐标
Ⅲ 2,3
运算
Ⅰ 1,7 复数除法及复数的模;平面向量的线性运算
2015
Ⅱ 2,13 复数的乘法;平面向量平行
第二页，共三十九页。
命题预测
从题量上看,通常是复数、平
第2讲 平面
(píngmiàn)
第一页，共三十九页。
向量与复数
近五年高考试题统计与命题(mìng tí)预测
年份 卷别 题号 考查角度
Ⅰ 2,7 复数的几何意义;平面向量的数量积运算
2019 Ⅱ 2,3 复数的几何意义;平面向量的数量积运算
Ⅲ 2,13 复数的除法运算;平面向量的数量积运算
复数的除法运算及复数的模;平面向量的线性运
180°=-22+6+15=-1.
答案(dá àn):-1
第九页，共三十九页。
12.(2019江苏,12)如图,在△ABC中,D是BC的中点(zhōnɡ diǎn),E在边AB
上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若
·=6·的
,则值是
第十页，共三十九页。
.
解析:如图,过点 D 作 DF∥CE,交 AB 于点 F,
(4)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).
第十四页，共三十九页。
二、平面向量的概念及线性运算
1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形
要有方向不能盲目转化(zhuǎnhuà);
2.在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起
高考数学二轮复习课件2.1.2 向量运算与复数运算、算法、合情推理精选ppt课件
为( A )
A．－12
1 B.2
C．－3
1 D.3
[自主解答] (1)本题主要考查共轭复数及复数的除法运算． 因为2z－－z ＝1＋2 i－1＋i＝1＋21i－1－i i－1＋i＝1－i－1＋i＝0，故 选 D. (2)本题主要考查复数的计算和复平面的概念 若 z＝a＋i 3i＋a＝(3＋a)－ai 在复平面上对应的点在第二象限，则 a<－3，选 A. 复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则是进行复数运算的理 论依据，加、减运算法则类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似 于多项式的乘法法则，除法运算法则先将除式写成分式的形式，再将 分母实数化．
热点考向二 复数的概念及运算
[典例 2] (1)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－－z ＝( D )
A．i B．2－i C．1－i D．0
(2)若复数 z＝a＋i 3i＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数 a
可以是( A )
A．－4 B．－3 C．1 D．2
(3)已知复数 z＝2x－－ii为纯虚数，其中 i 为虚数单位，则实数 x 的值
由已知分别以 AD，AB 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的平面 直角坐标系，则 C(1,1)，B(0,2)，D(1,0)，直线 BD 的方程为 2x＋y－2 ＝0，圆 C 的半径为 R＝|2×1＋51－2|＝ 55，则圆 C 的方程为(x－1)2＋ (y－1)2＝15，由A→P＝λA→D＋μA→B，得A→P＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，
(2)本题主要考查平面向量的加减运算． 因为A→B＝－2C→D，所以A→B＝2D→C.又 M 是 BC 的中点，所以A→M＝12 (A→B＋A→C)＝12(A→B＋A→D＋D→C)＝12A→B＋A→D＋12A→B＝34A→B＋12A→D，故选 B.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
→ ，AC → 为基底表示AP → ，BC → ，利用向量垂直的充要条件建立 (2)以AB 关于 λ 的方程，进而确定实数 λ 的值． → ＋MB → ＋MC → ＝0， →＋ 解析 (1)∵MA ∴点 M 是△ABC 的重心．∴AB
→ ＝3AM → .∴m＝3. AC → ＝AC → －AB → ，AP → ＝λAB → ＋AC →， (2)∵BC → ⊥BC → ，∴AP →· → ＝0. 又AP BC → ＋ AC → )· → － AB → ) ＝ (λ － 1) AB →· → － λ AB → 2 ＋ AC → 2 ＝ (λ － 则 (λ AB ( AC AC
2
4→ 4 4 4 → ∴AD＝5AB＝5(a－b)＝5a－5b.
答案 D
考向二 考查平面向量的数量积
数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：判断向量的 垂直关系，难度中档．
【例 2】 (1)(2013· 湖南高考)已知 a，b 是单位向量，a· b＝0.若向量 c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为 A. 2－1 C. 2＋1 B. 2 D. 2＋2 ( )．
→ 与AC → 的夹角为 120° → |＝3， (2)(2013· 山东高考)已知向量AB ， 且|AB → | ＝ 2. 若 AP → ＝ λ AB → ＋ AC → ，且 AP → ⊥ BC → ，则实数 λ 的值为 | AC ________．
[思路点拨]
→ ＋MB → ＋MC → ＝0，可知 M 是△ABC 的重心． (1)由MA
1 7 1)×3×2×－2－λ×9＋4＝0，∴λ＝12.
7 答案 (1)B (2)12
[探究提升] 1.第(1)题主要利用向量共线的坐标表示，第(2)题运用 → ＝OB →－ 平面向量垂直的条件是求解的关键， 要注意避免错误“BC → ”． OC 2．运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平 行四边形．使用三角形加法法则要特别注意 “首尾相接”；使用 减法法则时，向量一定“共起点”．
解析 (1)由 a，b 为单位向量且 a· b＝0，可设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，
又设 c＝(x，y)，代入|c－a－b|＝1 得(x－1)2＋(y－1)2＝1，又|c|＝ x2＋y2，故由几何性质得 12＋12－1≤|c|≤ 12＋12＋1，即 2－ 1≤|c|≤ 2＋1. → |＝|OQ → |，得 x2＋y2＝100，① (2)设点 Q(x，y)，由|OP 3π → → ∵向量OQ与OP的夹角为 4 ，且点 Q 在第三象限，
→ 绕点 O (2)在平面直角坐标系中，点 O(0,0)，P(6,8)，将向量OP 3π →， 按逆时针方向旋转 4 后得向量OQ 则点 Q 的坐标是________．
[思路点拨](1)由a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)利用向
量的代数意义求解．(2)依据向量的夹角与模的坐标计算公式求 解．
共同点：两种推理的结论不一定正确，有待于证明．
真题感悟
考向一
平面向量概念与运算的考查
常考查：①以平面图形为载体，借助向量考查数量关系与位置
关系；②向量的线性运算及几何意义；③以平面向量基本定理 为基石，与向量的坐标运算、数量积交汇命题，主要以客观题 为主，难度不大，约占5分左右．
→ ＋MB → ＋MC → ＝0，若存在实 【例 1】 (1)已知△ABC 和点 M 满足MA → ＋AC → ＝mAM → 成立，则 m＝ 数 m 使得AB A．2 C．4 B．3 D．5 ( )．
→ ＝a，CA →＝ 【变式训练 1】 在△ABC 中，AB 边的高为 CD，若CB →＝ b，a· b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD 1 1 A.3a－3b 3 3 C.5a－5b 2 2 B.3a－3b 4 4 D.5a－5b ( )．
解析
如图，∵a· b＝0，∴a⊥b，
∴∠ACB＝90° ， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 5. 又 CD⊥AB， 4 5 ∴AC ＝AD· AB，∴AD＝ 5 .
范围之间的关系？
π π 提示：(1)a· b＞0⇔0≤θ＜2；(2)a· b＜0⇔2＜θ≤π； π (3)a· b＝0⇔θ＝2.
[ 思考 3]
已知 z1 ＝ a ＋ bi ， z2 ＝ c ＋ di(a ， b ， c ， d∈R) ，若 z1 ＞
z2，则a＞c说法正确吗？ 提示： 正确，因为 z1 ， z2 至少一个为虚数时是不能比较大小 的，故z1，z2均为实数，即z1＝a，z2＝c，从而a＞c. [思考4] 归纳推理和类比推理的共同特点与区别分别是什么？ 提示：不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理 是由特殊到特殊的推理．
答案 (1)C (2)(－7 2，－ 2)
[探究提升] 1.第(1)题求解的关键是利用数量积的性质求出|a＋b|＝ 2.第(2)题主要利用向量模与夹角的性质，转化为代数运算，该题 常见的错误是忽视隐含条件(点 Q 在第三象限)导致增解． 2．向量的坐标表示，可使向量运算代数化；从而用代数方法研究 几何问题，有关向量的长度、夹角与垂直问题常运用平面向量的 数量积的性质解决．
第2讲 平面向量、推理证明与复数
[思考1] 设向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b；(2)a⊥b(a，b均不是零向量)的充要条件是什么？ 提示：(1)a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
[思考2] 两非零向量a，b的夹角为θ，试写出数量积a·b与θ取值
→· → x，y· 6，8 3 OP OQ ∴cos 4π＝ ＝ → → 10×10 |OP|· |OQ| 6x＋8y ＝ 100 . ∴6x＋8y＝－50 2.②
x＝ 2， 由①②得 y＝－7 2 x＝－7 2， 或 y＝－ 2.
又∵点 Q 在第三象限， ∴点 Q 的坐标为(－7 2，－ 2)．