2019年分类汇编专项训练(四)平面向量(文).doc
平面向量-高考真题文科数学分项汇编(原卷版)
专题 11平面向量1．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．a+2bB ．2a+bC ．a –2bD ．2a – b2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC BC=1，则点 C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP AB 的取值范围是A ．(2,6) C ．(2,4)B ．(6,2) D ．(4,6)4．【2019年高考全国 I 卷文数】已知非零向量 a ，b 满足|a | 2|b|，且(a b) b ，则 a 与 b 的夹角为πB ． πA ．C ． 6 2π 3 5πD ．365．【2019年高考全国 II 卷文数】已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A ． 2 B ．2 C ．5 2D ．506．【2018年高考全国 I 卷文数】在△ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB1A ． AB1 AC3 B ． AB3 AC4 3 44 1 4C ．AB 1 AC D ．AB 3 AC 4 44 47．【2018年高考全国 II 卷文数】已知向量 a ，b 满足|a | 1， a b 1，则 a (2a b)A ．4 C ．2B ．3 D ．08．【2018年高考浙江卷】已知 a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量 a 与 e 的夹角为 π3，向量 b 满足 b −4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是2A ． 3 −1 C ．2B ． 3 +1 D ．2− 39．【 2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知BC·OM的值为OM 1,ON 2,MON 120,BM 2MA,CN 2NA,则A ．15C ． 6B ．9D．010．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m11．【2020年高考天津】如图，在四边形ABCD 中， B 60, AB 3，BC 6，且.AD BC, AD AB 3，则实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且| MN2则DM DN的最小值为_________．12．【2020年高考北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP 1 (AB AC)，则| PD |_________；2PB PD _________．13．【2020年高考浙江】已知平面单位向量e1，e2满足| 2e 1 e2 | 2．设a e 1 e2，b 3e 1 e2，向量a，b 的夹角为，则cos的最小值是_______．14．【2020年高考江苏】在△ABC中，AB 4，AC 3，∠BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP 2若PA mPB (3 m)PC（m为常数），则CD的长度是▲．215．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且a b，则m=__________．a b16．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b___________.17．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC, AB 2 3, AD 5, A 30，点E 在线段CB 的延长线上，且 AEBE ，则 BD AE _____________．18．【2019年高考江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA ，AD 与 CE 交于点O .若 AB AC6AO EC ，则ABAC 的值是_____. 19．【2019年高考浙江卷】已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|1AB 2BC 3CD 4DA 5AC 6BD|的最小值是________；最大值是_______.20．【2018年高考全国 III 卷文数】已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c ∥2a + b ，则________．21．【2018年高考北京卷文数】设向量 a=（1,0），b=（−1,m ）,若 a (mab)，则 m=_________.22．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点 A 1，0、 B2，0， E 、 F 是 y 轴上的两个动点，且|EF| 2 ，则 AE BF 的最小值为___________．23．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系 xOy 中， A 为直线l : y 2x 上在第一象限内的点，B 5,0，以 AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点 D ．若 AB CD0，则点 A 的横坐标为___________．。
平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)+Word版含解析
专题 平面向量1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________． 【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，5,AB AD ==则B ，5()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE y x =-，直线AE 的斜率为y =.由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-，所以1)E -.所以35(,)(3,1)12BD AE =-=-.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6ABAC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____..【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE=2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】0；则(1,0),(0,1),(1,0),(0,1),(1,1),(1,1)AB BC CD DA AC BD ===-=-==-(AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++=所以当()135λλλ-+和()245λλλ-+分别取得最大值时，y 有最大值， 所以当1256341,1λλλλλλ======-时，有最大值max y ===故答案为0；【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCD 中，4AB =uu u r,2AD =．若点M ，N 分别是CD ，BC 的中点，则AM MN ⋅= A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：12AM AD DM AD AB =+=+， 1122MN CN CM CB CD =-=-11112222BC DC AD AB =-+=-+.∴111222AM MN AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111||||41622424AD AB =-⋅+⋅=-⋅+⋅=. 故选：C ．【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题．9．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a ，b 满足||1=a ，||=b 且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a bA ．12B ．32-C ．12-D ．32【答案】A【解析】()()221222312+-=-+⋅=-+=a b a b a b a b . 故选A.【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．10．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()λ+⊥a b c ，则实数λ=A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ， 所以()12,23λλλ-+a +b =， 又()λ+⊥a b c ，所以()0λ+⋅=a b c ， 即()()4125230+=λλ-+，解得2λ-= . 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.11．【2019届北京市通州区三模数学试题】设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】因为a ，b 均为单位向量， 若a 与b 夹角为2π3，则||1+===a b ，因此，由“a 与b 夹角为2π3”不能推出“||+=a b ”；若||+a b ||+=a b 解得1cos ,2=a b ，即a 与b 夹角为π3，所以，由“||+a b a 与b 夹角为2π3”因此，“a 与b 夹角为2π3”是“||+=a b ”的既不充分也不必要条件. 故选D【名师点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，以及向量的数量积运算，熟记充分条件与必要条件的概念，以及向量的数量积运算法则即可，属于常考题型.12．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试数学（二)】在ABC △中，2AB AC AD +=，AE DE +=0，若EB xAB y AC =+，则 A ．3y x = B ．3x y =C ．3y x =-D ．3x y =-【答案】D【解析】因为2AB AC AD +=，所以点D 是BC 的中点，又因为AE DE +=0，所以点E 是AD 的中点，所以有：11131()22244BE BA AE AB AD AB AB AC AB AC =+=-+=-+⨯+=-+，因此 31,344x y x y =-=⇒=-，故题选D.【名师点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.13．【2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学试题】已知直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数m =A ．1±B ．2±C ．2±D ．12±【答案】C【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx +m 2−1=0， ∵直线y =x +m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴∆=-2m 2+8＞0，解得x <<，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=−m ，21221-=m x x ，y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=23，解得m =2±． 故选：C ．【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档题．14．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1A E A F ⋅=，则λ的值为 A ．3 B ．2C ．23D ．52【答案】B【解析】由题意可得：()()113AE AF AB BE AD DF AB BC BC AB λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111133AB BC AB BC λλ⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭，且：224,22cos1202AB BC AB BC ==⋅=⨯⨯=-， 故()44112133λλ⎛⎫+++⨯-= ⎪⎝⎭，解得：2λ=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AC ==与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为E ，则AE EC ⋅=A ．572B ．14425C ．125D ．2512【答案】B 【解析】如图：由3AB =，4=AD得：5BD ==，125AB AD AE BD ⋅== 又()AE EC AE EO OC AE EO AE OC AE EO AE AO ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅AE BD ⊥，0AE EO ∴⋅=，又2144cos 25AE AE AO AE AO EAO AE AO AE AO⋅=∠=⋅==14425AE EC ∴⋅=. 故选B.【名师点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为模长和夹角已知的向量之间的数量积问题.16．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.17．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________.【答案】8.【解析】向量4,36,m =-=⊥（），（），，a b a b则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b .【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB ⋅的值为__________. 【答案】8. 【答案】5-【解析】设(1,1)M -，圆心(2,0)C -，∵10112MC k -==-+，根据圆的性质可知，1AB k =-，∴AB 所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，联立方程224500x y x x y ⎧++-=⎨+=⎩可得，22450x x +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1252x x =-， 令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x ⋅=+==-，故答案为：-5．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用，属于常考题型.。
【高考】2019年高考总复习：平面向量word资料5页
平面向量（2019年高考总复习）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与△ABC 的关系为是 （ ） A ．P 在△ABC 内部B ． P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ． P 在△ABC 的AC 边的一个三等分点上2．已知向量)4,4(),1,1(1-==OP OP ，且P 2点分有向线段1PP 所成的比为－2，则2OP 的坐标是（ ）A ．()23,25-B ．(23,25-) C ．（7，－9） D ．（9，－7） 3．设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2,0(πθ。
若用α来表示与的夹角，则α等于（ ）A ．θB ．θπ+2C ．θπ-2D ．θπ-4．若向量a =(cos α,sin α)，b =(cos β,sin β)，则a 与b 一定满足 （ ） A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．(a ＋b )⊥(a －b ) C ．a ∥b D ．a ⊥b5．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+则△ABC 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 6．设非零向量a 与b 的方向相反，那么下面给出的命题中，正确的个数是 （ ） （１）a ＋b ＝0 （２）a －b 的方向与a 的方向一致（３）a ＋b 的方向与a 的方向一致 （４）若a ＋b 的方向与b 一致，则|a |<|b | A ．１个 B ．２个 C ．３个 D ．４个 7．已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，则以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长为 （ ）A ．14B ．15C ．15D ．168．下列命题中： ①∥⇔存在唯一的实数R ∈λ，使得λ=；②为单位向量，且∥，则=±||·；③3||||a a a a =⋅⋅；④与共线，与共线，则与共线；⑤若=≠⋅=⋅则且,其中正确命题的序号是（ ）A ．①⑤B ．②③④C ．②③D ．①④⑤ 9．在△ABC 中，已知AC AB S AC AB ABC ⋅===∆则,3,1||,4||的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．±4D ．±210．已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ）A ．)1010,10103(-= B ．)1010,10103()1010,10103(--=或C ．)2,6(-=eD ．)2,6()2,6(或-=e11．设点P 分有向线段21P P 所成的比为43，则点P 1分P 2所成的比为 （ ）A ．73-B ．47-C ．37-D ．74-12．已知k 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为（ ）A ．17B ．18C ．19D ．20二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．） 13．已知向量b a ,的夹角为3π，=-⋅+==||||,1||,2||b a b a b a 则 ． 14．把一个函数图像按向量)2,3(-=πa 平移后，得到的图象的表达式为2)6sin(-+=πx y ，则原函数的解析式为 ． 15．在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则=++2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ．16．已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ⋅取得最小值的点P 的坐标是 ．三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应有证明过程或演算步骤） 17．（本题12分）已知△ABC 中,∠C ＝120°，c=7,a+b=8,求)cos(B A -的值。
(完整版)平面向量知识点及练习题有答案,推荐文档
(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
2019年度-2020年度高考数学小题集训平面向量(含解析)
,.2019-2020年高考数学小题集训——平面向量（一）一、选择题uuur uuur(uuur uuur uuur0, n 0) ，若 m n[1,2] ，则1.已知向量OA(3,1) ， OB1,3) ， OC mOA nOB (muuur| OC | 的取值范围是（）A．[ 5, 25] B ．[5, 210) C ．(5, 10) D ．[ 5,210]r r r r rr r r r a2.已知a，b为平面向量，若a b 与 a 的夹角为， a b 与 b 的夹角为，则 r（）34bA ．3B ．6C ．5D ．6 3433 r r r r rr r3.设a(1,2) ， b(1,1) ， c a kb .若 b c，则实数k的值等于（）A ．5B ．5C ．3D ．3 33224.已知△ABC 中， AB2， AC 4 ，BAC 60ouuur uuur ，P 为线段 AC 上随意一点，则PB PC的范围是（）A ．[1,4]B ．[0,4]C．[－2,4]9D ．[ ,4]45.在实数集R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，近似的，我们这D r r(x, y), x R, y R 上也能够定义一个称为“序”的关系，记为平面向量会合 a | aur uur ur uur“＞” ．定义以下：对于任意两个向量 a1( x1 , y1) ， a2( x2 , y2 ) ， a1a2当且仅当“ x1x2”或“ x1x2且 y1y2”，按上述定义的关系“ ”，给出以下四个命题：ur uur r ur uur r①若 e1(1,0)， e2(0,1) ，0(0,0) ，则e1e20 ；ur uur uur uur ur uur②若 a1a2， a2a3，则 a1a3；,.ur uur r ur r uur r③若 a1a2，则对于随意的a D ，a1 a a2 a ；r r r ur uur r ur r uur④对于随意的向量 a 0 ，此中 0 (0,0) ，若a1a2，则 a a1 a a2．此中正确的命题的个数为（）A ．4B．3C． 2 D ．16.如图，在OMN 中，A、B 分别是 OM 、ONuuur uuur uuur的中点，若OP xOA yOB （ x ，y R ），且点P落在四边形ABNM内（含界限），则y1的取值范围是（）x y2A．1,2B．1,3C．1,3D．1,2 333444437. 在△ABC中，BAC 60， AB3， ACuuur uuur uuur uuur uuurR ），且2 .若BD2DC ， AE AC AB （uuur uuur的值为（）AD AE4，则A ．3B．4C.5D ．6 111111118.设 P 是△ABC 内随意一点， S△ABC表示△ABC 的面积，λ1＝SPBC，λ2＝SPCA，λ3＝SABC SABCS S PABABC,定义f（）=（1,2,3） ,若 G 是△ABC 的重心，（Q）＝（1，1，1），则（P f236）A ．点 Q 在△GAB 内B．点 Q 在△GBC 内C．点 Q 在△GCA 内D．点 Q 与点 G 重合9.在直角梯形 ABCD中，AB2AD4，同一平面内的两个动点P，M知足,.|CP | 1,PMMA，则| BM |的取值范围为（）A ．[ 10 1,10 1]B ．[10 1 , 101]2 2C. [ 1,3]D ． [21 37 ]2,2ABC uuur uuur uuur uuur uuuruuur2，且 B , 2uuur uuur10. 在△ 中， BC CA CA AB ， BABC 33 ，则 BA BC 的取值范围是（）A ．[－2,1)B ．2,1C ． 2,2D ． 2,23 33r rr r r r11. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 °，a1,0 ， b 2 ，则 2a b （）A ． 3B ．2C ．2 3D ．42 2PA PB12. 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点 ,点 P 为线段 CD 的中点 ,A ．2B ．4C ．5D ．102（ ）PC13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别为 x 轴， y 轴上一点，且 AB 1，若点uuur uuur uuurP 1, 3 ，则 AP BP OP 的取值范围是（）A ．[5,6]B ．[6,7] C.[6,9]D ．[5,7]uuuruuur uuur10 ，则△ABC 是钝角三角形的概率是（14. 已知 k R, AB k,1 , AC2,4 ，若 AB）A ．1B ．1C.2D ．56 3 3 6,.15.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上。
【优质文档】必修四《平面向量》全章练习题(带测试含答案)
∵ |A→D |＝ 2，
∴ |E→G|＝ |B→H |＝ 2.
又
|B→C
|＝
5，
∴
→ |HC
|＝
3.
又 E、 F 分别为腰 AB、 DC 的三等分点．
∴ G 为 DH 的三等分点，
∴
G→F
∥
Hห้องสมุดไป่ตู้C
且|G→F
|＝
1 3|
→ HC
|，
∴ |G→F |＝ 1，
∴
|E→F
|＝
→ |EG
|＋
→ |GF
|＝
2＋
2
鸡西市第十九中学高一数学组 3
鸡西市第十九中学高一数学组
答案
1． D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形
8． 解 (1) 与 a 的模相等的向量有 23 个．
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有
→ OD
，
B→C
，
A→O
，
F→E.
(3)与
a 共线的向量有
→ EF
，B→C
，O→D
1＝
3.
11．解 (1) 向量 A→D， D→C，C→B ，A→B如图所示．
(2)由题意知 A→D＝ B→C，
∴ AD 綊 BC ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ A→B＝ D→C，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “北偏东 60°， 6 千米 ”． 12． 证明 (1) ∵AA→′＝ B→B′ ，
与 b 都是单位向量．其中能使 a∥ b 成立的是 ________． (填序号 )
7．
在四边形
ABCD
中，
→ AB
＝
D→C
专题07平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)Word版含解析
专题07 平面向量1.【2019年高考全国I 卷文数】已知非零向量 a , b 满足|a 卜2| b |，且(a - b ) _ b ,则a 与b 的夹角为n B .—35 nD .6【答案】Bn夹角为一，故选B .3【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹 角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,二].2 .【2019年高考全国II 卷文数】已知向量 a =(2，3)，b =(3，2)，则|a - b|=C . 5、. 2D . 50【答案】A【解析】由已知，a-b 二(2,3) -(3,2) =(-1,1)， 所以 | a - b |»；(-1)2 12」/，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的 考查.由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过 程中出错.3.【2019年高考北京卷文数】 已知向量a = ( -，3)， b = (6，m )，且a 丄b ，贝V m= ________________【答案】8【解析】向量 a 二(-4,3), b -(6, m)， a _ b,则a b 二 0, -4 6 3^ = 0，m = 8.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与 化归思想的应用•属于容易题.C .【解析】因为(a-b )_ b ,所以=0，所以ab=b 2 , a b 所以C0^=丽I b |22| b |2-，所以a 与b 的 24.【2019年高考全国III 卷文数】已知向量a 二(2,2), b = ( -8,6)，则cos a , b =【答案】—210【解析】cos a , b =10【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.5.【2019年高考天津卷文数】 在四边形 ABCD 中，AD // BC, AB = 2込，AD = 5, . A30，点 E在线段CB 的延长线上，且 AE 二 BE ,BD AE 二 ______________【答案】-1【解析】建立如图所示的直角坐标系,/ DAB=30 ° , AB =2 .3, AD =5,则心,。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面向量(原卷版)
!!!" AC
×
!B!C!"=1，则
点 C 的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
!!!" !!!" 6．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB
的取值范围是
A． (-2, 6)
B． (-6, 2)
C． (-2, 4)
D． (-4, 6)
AE
=
BE
，则
!!!" BD
×
!!!" AE
= _____________．
23．【2019 年高考江苏卷】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，
21．【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量 a = (2, 2), b = (-8, 6)，则
cos a, b =___________.
22．【2019 年高考天津卷文数】在四边形 ABCD中，
AD ∥ BC, AB = 2 3, AD = 5, ÐA = 30° ，点 E 在线段 CB的延长线上，且
P2 (cos b , - sin b )， P3 (cos (a + b ),sin (a + b ))， A(1, 0)，则（ ）
!!!" !!!" A． OP1 = OP2
!!!" !!!" B． AP1 = AP2
!!!" !!!" !!!" !!!" C． OA × OP3 = OP1 × OP2
2
|
!!!" PD
|=
_________；
《精品》专题07 平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(原卷版)
专题07平面向量1．【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足|a |2|b|，且(a b)b，则a与b的夹角为A．C．π62π3B．D．π35π62．【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A．2C．52B．2D．503．【2019年高考北京卷文数】已知向量a=（–4，3），b=（6，m），且a b，则m=__________．4．【2019年高考全国III卷文数】已知向量a (2,2),b (8,6)，则cos a,b ___________. 5．【2019年高考天津卷文数】在四边形ABCD中，AD∥BC,AB 23,AD 5,A 30，点E 在线段CB的延长线上，且AE BE ，则BD AE _____________．6．【2019年高考江苏卷】如图，△在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若AB AC 6A O EC ，则ABAC的值是_____.7．【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i 1,2,3,4,5,6)取遍时，|AB BC CD DA AC BD|123456的最小值是________；最大值是_______.8．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】在矩形ABCDuu r中，AB=4,AD 2．若点M，N分别是C D，BC的中点，则AM MNA．4B．3C．2D．19．【福建省漳州市2019届高三下学期第二次教学质量监测数学试题】已知向量a，b满足|a|1，|b|3，1且与 b的夹角为6，则(a b ) (2a b )A ．1 2B ．32C ．12D ．3 210．【安徽省江淮十校 2019 届高三年级 5 月考前最后一卷数学试题】已知向量a (1,2)，b (2,3)，c (4,5) ，若 (ab )c ，则实数A ．12B ．1 2C ．2D ． 211．【2019 届北京市通州区三模数学试题】设a ， b均为单位向量，则“ a 与 b夹角为 2π”是“ 3| a b | 3 ”的A ．充分而不必要条件C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．【辽宁省丹东市 2019 届高三总复习质量测试数学（二)】在△ABC 中，ABAC 2 A D ，AE DE 0 ，若 EBxAB y AC ，则A ．C ．y 3xy3xB ．D ．x 3 yx3y13．【2019 年辽宁省大连市高三 5 月双基考试数学试题】已知直线 y =x +m 和圆 x +y =1 交于 A 、B 两点，O为坐标原点，若AO AB3 2，则实数 m =A ．1B ．32C ．2 2D ．1 214．【天津市和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学试题】已知菱形ABCD的边长为 2，BAD120，点 E ，F 分别在边 BC， DC上，BC3BE，DCDF ，若 AE AF1，则 的值为A ．3B ．2a 222C．32D．5215．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】在矩形ABCD中，AB 3,AD 4,交于点O，过点A作AE B D，垂足为E，则AE ECAC与BD相A．C．725125B．D．14425122516．【湖师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F 为CE的中点，则AFA．31AB AD44B．13AB AD44C．12AB AD D．31AB AD4217．【2019年北京市高考数学试卷】已知向量a=（－4，3），b=（6，m），且a b，则m=__________. 18．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)数学试题】已知圆x2y24x 50的弦AB的中点为(1,1)，直线AB交x轴于点P，则PA PB的值为__________.3。
专题07 平面向量-2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(文)(解析版)(1)
A、B 两点，O 为坐标原点，若 AO AB = 3 ，则实数 m=( ) 2
A． 1
B． 3 2
C． 2 2
D． 1 2
【答案】C
y=x+m
【解析】联立
x2
+
y2
=1
，得 2x2+2mx+m2−1=0，
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，
∴ =-2m2+8＞0，解得 − 2 x 2 ，
DC = DF ，若 AE AF = 1，则 的值为( )
A．3
B．2
C． 3 2
D． 5 2
【答案】B
【解析】由题意可得：
( ) ( ) AE AF =
AB + BE
AD + DF
=
AB
+
1 3
BC
BC
+
1
AB
=
1
2
AB
+
1 3
2
BC
+
1 3
+1
AB BC
，
且：
2
AB
=
2
BC
b = (−2,3) ， c = (4,5) ，若 (a + b) ⊥ c ，则实数 = ( )
A． − 1 2
B． 1 2
C． −2
D． 2
【答案】C
【解析】因为 a = (1, 2) ， b = (−2,3) ，
所以 a + b = (1− 2, 2 + 3 ) ，
又 (a + b) ⊥ c ，所以 (a + b) c = 0，
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
2019版数学人教A版必修4训练：2.3.3 平面向量的坐标运算 Word版含解析
2.3.3平面向量的坐标运算课时过关·能力提升基础巩固1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)解析:因为点A(0,1),B(3,2),所以=(3-0,2-1)=(3,1).又向量=(-4,-3),所以=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).答案:A2.下列各式正确的是()A.若a=(-2,4),则-a=(1,2)B.若a=(5,2),b=(2,4),则b-a=(-3,2)C.若a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(0,1)D.若a=(1,1),b=(1,2),则2a+3b=(4,8)答案:B3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则用a,b表示c等于()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b解析:设c=x a+y b,则(4,2)=x(1,1)+y(-1,1),∴-解得-∴c=3a-b.答案:B4.在平行四边形ABCD中,若=(2,4),=(1,3),则=()A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4)解析:=()--2=(1,3)-(4,8)=(-3,-5).答案:B5.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于 ()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)解析:∵a=(1,1),b=(1,-1),∴a=,-b=-.∴a-b=(-1,2).答案:D6.已知A(3,-5),B(-1,3),点C在线段AB上,且=3,则点C的坐标是.解析:(方法一)设C(x,y),则=(x-3,y+5),3=3(-1-x,3-y)=(-3-3x,9-3y).∵=3,∴----解得即点C的坐标是(0,1).(方法二)∵A(3,-5),B(-1,3),∴=(3,-5),=(-1,3).∵=3,∴=3(),∴4+3=(3,-5)+3(-1,3)=(0,4),∴=(0,1),∴点C坐标为(0,1).答案:(0,1)7.已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),则a=,b=.解析:a+b+a-b=(1,3)+(5,7),即2a=(6,10),解得a=(3,5).a+b-(a-b)=(1,3)-(5,7),即2b=(-4,-4),解得b=(-2,-2).答案:(3,5)(-2,-2)8.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设向量=a,=b,=c.(1)若a=m b+n c,求实数m,n的值;(2)若=-2b,=3c,求向量的坐标.解:(1)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),∴a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).∵a=m b+n c,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8),∴---解得m=n=-1.(2)∵=-2b,=3c,b=(-6,-3),c=(1,8),=-2b-3c=(9,-18).能力提升1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为()A.--B.--C.-D.解析:∵M(3,-2),N(-5,-1),∴=(3,-2),=(-5,-1).∵,∴),∴)=[(3,-2)+(-5,-1)]=(-2,-3)=--.∴点P的坐标为--.答案:B2.设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=p a+q b,则实数p,q的值为()A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=1D.p=1,q=4解析:∵a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=p a+q b,∴(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),∴---解得答案:D3.★已知向量集合M={a|a=(1,2)+m(3,4),m∈R},N={b|b=(-2,-2)+n(4,5),n∈R},则M∩N等于()A.{(1,2)}B.{(1,2),(-2,-2)}C.{(-2,-2)}D.⌀解析:a=(1+3m,2+4m),b=(-2+4n,-2+5n),由a=b,得--解得-∴M∩N={a|a=(1+3×(-1),2+4×(-1))}={(-2,-2)}.答案:C4.设m=(a,b),n=(c,d).规定两个向量之间的一个运算为m n=(ac-bd,ad+bc),若p=(1,2),p q=(-4,-3),则q=.答案:(-2,1)5.已知A(3,4),B(-5,5),且a=(x-3,x2+4x-4).若a=,则x=.解析:=(-5,5)-(3,4)=(-8,1),又a=,∴(x-3,x2+4x-4)=(-8,1),∴---解得x=-5.答案:-56.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ,λ∈R,试求当点P在第三象限时,λ的取值范围.解:设点P(x,y),则=(x-2,y-3).∵+λ=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3)=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),即--又点P在第三象限,∴解得λ<-1.∴λ的取值范围为(-∞,-1).7.★已知四边形OABC为菱形,菱形的中心为点E(5,2),点A的坐标为(3,7),求菱形的其余顶点B,C 的坐标.解:设B(x1,y1),C(x2,y2),如图.∵,且=(2,-5),=(x2-5,y2-2),∴----又,且=(5,2),=(x1-5,y1-2),∴--∴点B的坐标为(10,4),点C的坐标为(7,-3).。
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量
2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,AB AB -则与向量同方向的单位向量为（ ）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A2 ．（2019年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 （ ）A B C ．D ． 【答案】A3 ．（2019年高考大纲卷（文））已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（ ）A ．4-B ．3-C ．-2D ．-1[【答案】B4 ．（2019年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____C ．____ （ ）A 1-BC 1D 2【答案】C5 ．（2019年高考广东卷（文））设a 是已知的平面向量且≠0a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题:[①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ; 上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4(一)必做题(11~13题) 【答案】B 6 ．（2019年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（ ）A ．BC ．D ．0【答案】C7 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有（ ）A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭D ．3310b a b a a-+--= 【答案】C8 ．（2019年高考福建卷（文））在四边形ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．52C ．5D ．10【答案】C 二、填空题9 ．（2019年高考四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.【答案】210．（2019年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为______.【答案】1211．（2019年高考重庆卷（文））OA 为边,OB 为对角线的矩形中,(3,1)OA =-,(2,)OB k =-,则实数k =____________.【答案】412．（2019年高考山东卷（文））在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90oABO ∠=,则实数t 的值为______【答案】513．（2019年高考浙江卷（文））设e 1.e 2为单位向量,非零向量b=xe 1+ye 2,x.y∈R..若e 1.e 2的夹角为6π,则|x||b|的最大值等于_______.【答案】214．（2019年高考安徽（文））若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______.【答案】13-15．（2019年上海高考数学试题（文科））已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ;以C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c .若{},,,1,2,3i j k l ∈且,i j k l ≠≠,则()()i j k l a a c c +⋅+的最小值是________.【答案】5-。
2019年人教版高中数学必修四考点练习：平面向量基本定理及应用(含答案解析)
法二：利用坐标法，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角
( ) ( ) 坐标系(图略)，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，E
1 ，1 2
―AE→ ，∴ ＝
1 ，1 2
，
( ) ―AB→
―AC→
＝(1,0)， ＝(1,1)，则
1 ，1 2
1 ＝λ(1,0)＋μ(1，1)，∴λ＋μ＝2.
7. 解析：选A ―AD→＝―AC→＋―CD→＝―AC→＋13―BC→＝―AC→＋13(―AC→－―AB→)＝43―AC→－13 ―AB→＝－13―AB→＋43―AC→.
8. 解析：依题意得―BD→＝―AD→－―AB→＝12(―A→S ＋―AC→)－―AB→＝－―AB→＋12―AC→＋12―A→S ，因此
AP AB AD ，则 的最大值为（ ）.
A．3
D．2
B． 2 2
C. 5
二、坐标运算
a 3, 2
1. 在下列向量组中，可以把向量
表示出来的是（ ）.
A. e1 0,0,e2 1, 2 B. e1 1, 2, e2 5, 2
C. e1 3,5, e2 6,10 D. e1 2, 3, e2 2,3
一、非坐标运算 1. 解析：选C 如图，
平面向量基本定理及应用
∵―EC→＝2―AE→，∴―EM→＝―EC→＋―CM→＝23―AC→＋12―C→B ＝23―AC→＋12(―AB→－―AC→)＝16―AC→＋12 ―AB→
.
2.
解析：选A 由题意知―O→P ＝―O→B ＋―BP→，又―BP→＝2―PA→，所以―O→P ＝―O→B ＋23
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点， ＝x ＋y ，且 ＝2 ，则( )
2019年高中数学必修四《平面向量》经典例题
2019年高中数学必修四《平面向量》经典例题一、选择题1．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 的夹角的余弦值是( )A ．－13 B.13 C.23 D ．－23考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的夹角答案 A解析 由|a |＝|a ＋2b |得a 2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ，即a·b ＝－b 2，所以cos θ＝a·b |a||b|＝－b 23|b |·|b |＝－13. 2．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则b 等于( )A.⎝⎛⎭⎫32，12B.⎝⎛⎭⎫12，32 C.⎝⎛⎭⎫14，334 D ．(1,0) 考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 B解析 设b ＝(x ，y )，其中y ≠0，则a·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，y ≠0，解得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.故选B. 3．(2017·辽宁葫芦岛高一期末)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k 的值为( )A ．－92B ．0C ．3 D.152考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵2a －3b ＝(2k －3，－6)．又(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0，即(2k －3)×2＋(－6)×1＝0，解得k ＝3.4．如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM →·AO→等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7考点 平面向量数量积的概念与几何意义题点 平面向量数量积的概念与几何意义答案 B解析 取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC .∵M 是边BC 的中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →·AO →＝12(AB →＋AC →)·AO →＝12AB →·AO →＋12AC →·AO →＝AD →·AO →＋AE →·AO →.由数量积的定义可得AD →·AO →＝|AD →||AO →|cos 〈AD →，AO →〉，而|AO →|·cos 〈AD →，AO →〉＝|AD →|，故AD →·AO →＝|AD →|2＝4，同理可得AE →·AO →＝|AE →|2＝1，故AD →·AO →＋AE →·AO →＝5，故选B.5．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，那么2a －b 等于() A ．(4,0) B ．(0,4)C ．(4，－8)D ．(－4,8)考点 向量共线的坐标表示的应用题点 已知向量共线求向量的坐标答案 C解析 由a ∥b 知4＋2m ＝0，所以m ＝－2，2a －b ＝(2，－4)－(m,4)＝(2－m ，－8)＝(4，－8)．6．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心考点 平面向量数量积的应用题点 数量积在三角形中的应用答案 C解析 如图，D 为BC 的中点，因为NA →＋NB →＋NC →＝0，所以NB →＋NC →＝－NA →，依向量加法的平行四边形法则，知|NA →|＝2|ND →|，故点N 为△ABC 的重心，因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝CA →·PB →＝0，同理AB →·PC →＝0，BC →·P A →＝0，所以点P 为△ABC 的垂心．由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心．7．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(x ，y )(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(12,12)，6秒后点P 的坐标为(0,18)，则(x ＋y )2 017等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．2 012考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求参数答案 A解析 由题意，(12,12)＋6(x ，y )＝(0,18)，即(12＋6x,12＋6y )＝(0,18)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故(x ＋y )2 017＝(－2＋1)2 017＝－1.二、填空题8．已知|OA →|＝|OB →|＝1，|AB →|＝3，则OA →·OB →＝________，|OA →＋OB →|＝________.考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的模答案 －121 解析 由|OA →|＝|OB →|＝1，|AB →|＝3，可知以向量OA →，OB →为邻边的平行四边形是菱形，OA →，OB →的夹角为2π3， ∴OA →·OB →＝cos 2π3＝－12，|OA →＋OB →|＝1＋1－1＝1. 9．(2017·山东)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．考点 平面向量数量积的应用题点 已知向量夹角求参数答案 33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2.同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 10．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，且|AB →|＝213，则点B 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标 答案 (5,4)解析 设AB →＝(2λ，3λ)(λ>0)，则|AB →|＝4λ2＋9λ2＝213，∴13λ2＝13×22，∴λ＝2，∴AB →＝(4,6)，∴OB →＝OA →＋AB →＝(1，－2)＋(4,6)＝(5,4)．∴点B 的坐标为(5,4)．11．关于平面向量有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②已知a ＝(k,3)，b ＝(－2,6)，若a ∥b ，则k ＝－1；③⎝⎛⎭⎫a |a |＋b |b |·⎝⎛⎭⎫a |a |－b |b |＝0.其中正确的命题为________．(写出所有正确命题的序号)考点 平面向量数量积的运算性质与法则题点 向量的运算性质与法则答案 ②③解析 ①中，由a ·b ＝a ·c ，得a ·(b －c )＝0，当a ＝0，b ≠c 时也成立，故①错；②中，若a ∥b ，则有6×k ＝－2×3，得k ＝－1，故②正确；③中，⎝⎛⎭⎫a |a |＋b |b |·⎝⎛⎭⎫a |a |－b |b |＝⎝⎛⎭⎫a |a |2－⎝⎛⎭⎫b |b |2＝a 2|a |2－b 2|b |2＝0，故③正确． 12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,2)，b ＝(4，y )，c ＝(1，－2)，且a ⊥c ，b ∥c .则|a ＋b |＝________. 考点 向量平行与垂直的坐标表示的应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 10解析 由a ⊥c 及b ∥c ，得x －4＝0且x ×(－2)－y ＝0，即x ＝4，y ＝－8.∵a ＝(4,2)，b ＝(4，－8)，∴a ＋b ＝(4,2)＋(4，－8)＝(8，－6)．∴|a ＋b |＝82＋(－6)2＝10.三、解答题13．(2017·福州高一检测)已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34. (1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值． 考点 平面向量数量积的应用题点 向量模与夹角的综合应用解 (1)因为(a －b )·(a ＋b )＝34，即a 2－b 2＝34，即|a |2－|b |2＝34， 所以|b |2＝|a |2－34＝1－34＝14，故|b |＝12. (2)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋|2b |2＝1－1＋1＝1，故|a ＋2b |＝1.又因为a ·(a ＋2b )＝|a |2＋2a ·b ＝1－12＝12， 所以cos θ＝a ·(a ＋2b )|a |·|a ＋2b |＝12， 又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 四、探究与拓展14．(2017·长春高一检测)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b|的取值范围是________．考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 [1，13]解析 由题意，b |b|＝(0,1)， 根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪a －t b |b|表示向量t b |b|的终点到向量a 的终点的距离d ，所以d ＝12＋(3－t )2，所以当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b |b|的取值范围是[1，13]． 15．(2017·山东济宁一模)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．考点 平面几何中的向量方法题点 利用向量解决平面几何问题答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧ m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，(m －3)2＋n 2的几何意义为点P (3,0)到点M 的距离的平方，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为OP＋1＝3＋1＝4，其中O为坐标原点，故(m－3)2＋n2的最大值为42＝16.。
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平 面 向 量 （文）姓名__________ 班级___________ 成绩____________一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b += （ ）A ．5B ．10C ．25D ．102 ．（2012年高考（浙江文））设a,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a+b|=|a|-|b|,则a ⊥bB ．若a ⊥b,则|a+b|=|a|-|b|C ．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λaD ．若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|3 ．（2012年高考（天津文））在ABC ∆中,90A ∠=︒,1AB =,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,则λ= （ ）A ．13B ．23 C ．43 D ．24 ．（2012年高考（辽宁文））已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a ·b = 1,则x = （ ）A ．—1B ．—12C ．12D ．15 ．（2012年高考（广东文））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b （ ）A ．12B ．1C ．32D ．526 ．（2012年高考（广东文））(向量)若向量()1,2AB =,()3,4BC =,则AC = （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．()2,2--D ．()2,27 ．（2012年高考（福建文））已知向量(1,2),(2,1)a x b =-=,则a b ⊥的充要条件是 （ ）A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．0x =8 ．（2012年高考（大纲文））ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =（ ）A ．1133a b - B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b -二、填空题9．（2012年高考（浙江文））在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅=________.10．（2012年高考（上海文））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ . 11．（2012年高考（课标文））已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b |=10,则|b |=_______. 12．（2012年高考（江西文））设单位向量(,),(2,1)m x y b ==-。
若m b ⊥,则|2|x y +=_______________。
13．（2012年高考（湖南文））如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP =且AP AC = _____.A DBCP14．（2012年高考（湖北文））已知向量(1,0),(1,1)a b ==,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a -与向量a 夹角的余弦值为____________.15．（2012年高考（北京文））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________.16．（2012年高考（安徽文））设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.参考答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】0202a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,22|||(2,1)(1,2)|3(1)10a b +=+-=+-=【考点定位】本题主要考查向量的数量积运算及向量垂直的充要条件,本题属于基础题,只要计算正确即可得到全分. 2. 【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系. 【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3.【解析】如图,设cAC b AB ==, ,则,2,1=∙==c b c b ,又c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=,bc AP CA CP λ+-=+=,由2-=∙CP BQ 得2)1(4)1()(])1([22-=--=--=+-∙-+-λλλλλλb c b c c b ,即32,23==λλ,选B. 4. 【答案】D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=,故选D【点评】本题主要考查向量的数量积,属于容易题. 5. 解析:C.⋅==⋅a a b a b b b b 1cos 2k θ=,=b b a a 2cos 2k θ=,两式相乘,可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1k 、2k 都是正整数,于是2121cos 124k k θ<=<,即1224k k <<,所以123k k =.而0≥>a b ,所以13k =,21k =,于是32=a b . 6. 解析:A.()4,6AC AB BC =+=.7. 【解析】有向量垂直的充要条件得2(x-1)+2=0 所以x=0 .D 正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质,要明确性质. 8. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.【解析】由0a b ⋅=可得90ACB ∠=︒,故5AB =,用等面积法求得255CD =,所以455AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D二、填空题9. 【答案】-16【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用.【解析】由余弦定理222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠,222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC=+-⋅∠=+-⨯⨯∠,0180AMB AMC ∠+∠=,两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=,2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯,68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯.10. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1),C (2,1).设t CD CN BC BM ==||||||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2,t ),N (2-2t ,1),故AN AM ⋅=4-4t +t =4-3t=f (t ),因为t ∈[0,1],所以f (t )递减, 所以(AN AM ⋅)max = f (0)=4,(AN AM ⋅)min = f (1)=1.11. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.【解析】∵|2-a b |=10,平方得224410-=a a b+b ,即22260--=|b ||b |,解得|b |=32或2-(舍)12. 【答案】5【解析】由已知可得20x y -=,又因为m 为单位向量所以221x y +=,联立解得55255x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或55255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入所求即可. 【考点定位】本题考查向量垂直的充要条件.A BD C y x21 (O )M N13. 【答案】18【解析】设ACBD O =,则2()AC AB BO =+,AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 14. (Ⅰ)31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)255- 【解析】(Ⅰ)由()()1,0,1,1a =b =,得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =,则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >,解得310,1010.10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由()()1,0,1,1a =b =,得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ,则()()()32,11,025cos 3551θ--===--⨯b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查. 15. 【答案】1;1【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. 16. 【解析】a =2 1(3,3),()3(1)3022a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=。