2013年长沙市高考模拟试卷(一)数学文
2013年高考模拟系列试卷(1)—数学(文)含答案
2013年高考模拟系列试卷（一）数学试题【新课标版】（文科)题 号 第Ⅰ卷第Ⅱ卷总分一二171819202122得 分注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷(阅读题）和第Ⅱ卷(表达题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的 1．复数z=i 2（1+i)的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．– 1D ．– i2．设全集()()2,{|21},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-,则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤ 3。
已知各项均为正数的等比数列｛na }中,1237895,10,a a aa a a ==则456a a a =（ )UA.52B.7 C 。
6 D 。
424.已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a <<B. c a b <<C 。
b c a <<D .b ac <<5.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ )A ．3242π- B ．243π- C ．24π-D ．242π-6．设,m n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ )A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β"成立的充要条件B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥"的充分不必要条件C ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件D ．当α⊂m 时，“α⊥n "是“n m ⊥"的充分不必要条件7。
2013年高考数学模拟试题(文科)及答案[1]
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凹凸教育高考文科数学模拟题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．下列有关命题的说法正确的是（A ）命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． （B ）“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．（C ）命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． （D ）命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（)a b <，再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是（A ） （B ） （C ） （D ）5．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是（A ）17⎡⎢⎣,⎪⎭⎫31 （B ）（0，13） （C ）（0，1） （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,716．如图是一个算法程序框图，当输入的x 值为3时，输出的结果恰好是31，则空白框处的关系式可以是 （A ）xy -=3 （B ）xy 3= （C ） 31-=x y （D ） 31x y =7．底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（A ）π4（B ）34π（C ）π2（D ） π38．若]2,0(π∈x ，则使x x x x cot tan sin cos <<<成立的x 取值范围是 （A ）（2,4ππ） （B ）（ππ,43） （C ）（ππ45,） （D ）（ππ2,47）9. 设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 （A ）103（B ）31（C ）91 （D ）81 10．已知函数x x f x 2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >． 其中可能成立的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 11．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2=++，那么（A ） AO OD = （B ） 2AO OD = （C ） 3AO OD = （D ） 2AO OD =12．函数)(x f 、)(x g 都是定义在实数集R 上的函数，且方程-x [])(x g f =0有实根，则函数[])(x f g 的解析式可能是（A ）342++x x （B ）542+-x x （C ） 322++x x （D ）532+-x x二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 落在单位圆221x y +=内的概率为 ． 14. 过圆04622=-++x y x 与028622=-++y y x 的交点,并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程是 .15.设21,F F 是椭圆1162522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的动点（不能重合于长轴的两端点），I 是21F PF ∆的内心，直线PI 交x 轴于点D ，则=IDPI. 16．老师给出一个函数=y )(x f ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+；乙：在(]0,∞-上函数递减；丙：在()+∞,0上函数递增；丁：函数的最小值为０.如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（本小题满分12分）函数πφωφω<>>+=||,0,0),sin()(A x A x f 的图象的一部分如图 （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式 ；（Ⅱ）求函数)(x g 的解析式，使得函数)(x f 与)(x g 的图象关于)1,4(π对称.18．（本小题满分12分）如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，过A 1, C 1 , B三点的平面截去长方体的一个角后得到几何体111D C A ABCD -，且这个几何体的体积为340. （Ⅰ）证明：直线A 1B // CDD 1C 1； （Ⅱ）求 A 1 A 的长；（Ⅲ）求经过A 1、C 1、B 、D 四点的球的表面积.19．（本小题满分12分）某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；（Ⅱ）从成绩落在)5.0.5,650（和)5.100,5.90(的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，13a =，对于*N n ∈，以1,n n a a +为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，，且满足(1)(1)2αβ--=.（Ⅰ）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）求{}n a 的前n 项和n S .21．（本小题满分12分）已知点)0,1(),0,1(C B -，P 是平面上一动点，且满足CB PB BC PC ⋅=⋅||||. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）直线l 过点（-4，43）且与动点P 的轨迹交于不同两点M 、N ，直线OM 、ON （O 是坐标原点）的倾斜角分别为α、β.求βα+的值.22．（本小题满分14分）若存在实常数k 和b ，使函数)(x f 和)(x g 对于其定义域上的任意实数x 分别满足b kx x f +≥)(和b kx x g +≤)(，则称直线b kx y l +=:为曲线)(x f 和)(x g 的“隔离直线”.已知函数2)(x x h =，x e x ln 2)(=ϕ（e为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数)()()(x x h x F ϕ-=的极值；（Ⅱ）函数)(x h 和)(x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线；若不存在，请说明理由.参考答案1. B 解析：312|1|≤≤-⇔≤-x x ；42086<<⇔<+-x x x ， ()U C A B =],32(.选B.2. C 解析：23213332iii z --=+-=，故选C.3. D 解析：“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，∴其逆否命题为真命题.故选D.4. C 解析：匀速沿直线前进，图象应为斜率为正的直线；休息的一段时间s 应为常数，沿原路返回，图象应为斜率为负的直线；再前进，图象应为斜率为正的直线.故选C.5. A 解析：要使函数)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-<<041301310a a a a ，解得3171<≤a ，故选A.6. B 解析：根据框图，空白框处函数一个满足31)1(=-f ，故选B. 7. D 解析：底面边长为2，则侧棱长为1.三棱锥的外接球，即为棱长为1的正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则31112222=++=R ，此球的表面积为S =πππ343442=⋅=R .故选D. 8. C 解析：4个选项逐一验证，可知应选C. 9. A 解析：3184=S S ，得2:1)(:484=-S S S , )(),(),(,1216812484S S S S S S S ---成等差数列，∴4:3:2:1)(:)(:)(:1216812484=---S S S S S S S ，168S S =103432121=++++，故选A. 10. A 解析：如图，由在同一个坐标系内xy )31(=和xy 2log =图象可知，正实数a 、b 、c 与d 的大小关系应为，c d a b <<<，②③成立.故选B.11. A 解析：D 为BC 边中点,OD OC OB 2=+∴， 02=++OC OB OA ，0=+∴OD OA ,即AO OD =，故选A.12. B 解析：设1x 是-x [])(x g f =0的实数根，即=1x [])(1x g f ，则有=)(1x g []{})(1x g f g .令=)(1x g 2x ，则[])(22x f g x =，∴方程[]0)(=-x f g x 有实根，故选B. 13.332π解析： 如图 ，设阴影部分的面积为1S , 则所求的概率为3231π=∆AOB S S ． 14. 0192722=++-+y x y x 解析：由题意，可把所求圆的方程设为028*******=-+++-++）（y y x x y x λ，即028*******=--+++++λλλλy x y x ，其圆心坐标为)1313(λλλ+-+-，，代入04=--y x 得041313=-+++-λλλ，解得7-=λ，∴所求圆的方程S 是0192722=++-+y x y x 15.35 解析：I 是21F PF ∆的内心，=D F PF 11ID PI ;=D F PF 22ID PI .∴=ID PI35222121==++c a D F D F PF PF . 16. |2|)(2x x x f -= 解析：若甲、乙、丁正确，丙不正确的一个函数可以是|2|)(2x x x f -=；若乙、丙、丁正确，甲不正确可以是2)(x x f =.答案不唯一，写出一个即可. 17.解：（Ⅰ）根据图象，5.1=A ,-------------------------------------------------------------------------------------------1分πππ=-⋅=)365(2T ,222===πππωT ,---------------------------------------------------------------------------------------3分 于是，)2si n(5.1)(φ+=x x f ，2z k k ∈=+⋅,23πφπ， z k k ∈-=,322ππφ，-----------------------------5分πφ<|| ，32πφ-=∴.函数)(x f 的解析式为)322si n(5.1)(π-=x x f .-------------------------------------------6分 （Ⅱ）设点),(y x P 是函数)(x g 图象上任意一点，点P 关于直线4π=x 对称的点为),('''y x P ，------------------7分12,42''=+=+y y x x π，y y x x -=-=2,2''π.-------------------------------------------------------------------------------9分 ),('''y x P 在函数)(x f 的图象上，∴]32)2(2si n[5.12ππ--=-x y ，化简得2)32si n(5.1+-=πx y .∴函数)(x g 的解析式为2)32si n(5.1)(+-=πx x g .---------------------------------------------------------------------------12分18．解：（Ⅰ）法一：1111D C B A ABCD -是长方体，∴平面//1AB A 平面11C CDD , AB A B A 11平面⊂，111C CDD B A 平面⊄,∴直线A 1B //平面CDD 1C 1.---------------------------------------------------------------------------3分法二：连接1CD ,1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC AD D A ////11,且BCAD D A ==11,∴四边形11B C DA 是平行四边形，∴11//CDB A .111C CDD B A 平面⊄,111C CDD CD 平面⊂,∴直线A 1B //平面11C CDD .----------------------------------------------------------------------------------------------------3分 （Ⅱ）设h A A =1, 几何体ABCD - A 1C 1D 1的体积是340. 340111111111=-=∴---C B A B D C B A ABCD D AC ABCD V V V ,------------------------------------------------------------------------------5分 即34022213122=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯h h ，解得4=h .--------------------------------------------------------------------------7分 （Ⅲ）法一：如图，连接B D 1,设B D 1的中点为O ,连OD OC OA ,,11,ABCD - A 1B 1C 1D 1是长方体,⊥∴11D A 平面AB A 1,AB A B A 11平面⊂,⊥∴11D A B A 1.----------------------------------------------------8分B D OA 1121=∴.同理B D OC OD 1121==,∴OB OC OD OA ===11. ∴经过A 1、C 1、B 、D 的球的球心为点O .---------------------------------------------------10分2424222222121121=++=++=∴AB A A D A B D .∴πππ24)2(4)(42121=⨯==B D OD S 球.-------------------------------------------------------------------------------12分 法二：A 1、C 1、B 、D 四点同时在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的外接球上，而空间四边形BD C A 11的外接球是唯一的.所以经过A 1、C 1、B 、D 的球，就是长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的外接球.--------------------------------------------10分设长方体外接球的半径为R ，则244222222=++=R .∴ππ2442==R S 球.-------------------------------------------------------------------------------------------------------12分19. 解：（Ⅰ）设第一小组的频率为x ，则1075.0175.032=++++x x x ，解得125.0=x . 第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为4025.10210=⨯人.------------------------------------------3分依题意,分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为5.2075.0075.10=+，所以估计本次竞赛的优秀率为%25.----------------------------------------------------6分（Ⅱ）落在)5.0.5,650（和)5.100,5.90(的学生数分别为54025.10=⨯；34075.00=⨯.-----------------7分 落在)5.0.5,650（的学生设为：)5,4,3,2,1(=i A i ；落在)5.100,5.90(的学生设为：)3,2,1(=j B j ， 则从这8人中任取两人的基本事件为：),,(),,(),,(),,(),,(),,(322212312111B A B A B A B A B A B A),,(),,(),,(),,(),,(),,(342414332313B A B A B A B A B A B A ),(),,(),,(352515B A B A B A ,),,(),,(),,(323121A A A A A A ),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251413121B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 共28个基本事件；------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 其中“成绩落在同一组”包括),,(),,(),,(323121A A A A A A),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251413121B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B 共包含13个基本事件，故所求概率为2813.----------------------------------------------12分20. 解：（Ⅰ）由题意得：12n n a a αβ++=，1na αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=整理得： 1111()323n n a a +-=--，---------------------------------------------------------------------------------------------------4分当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠，由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列.-----------------------6分（Ⅱ）由（1）知1181()332n n a --=⨯-，∴1811()323n n a -=⨯-+. -------------------------------------------------------------------------9分 （Ⅲ）n S 218111[1()()()]32223n n-=+-+-++-+16161()9923n n=-⨯-+ . -------------------------------------------------------------------------12分21. 解：（Ⅰ）设),(y x P ，则),1(y x PC --=，)0,2(=BC ，),1(y x PB ---=，)0,2(-=CB ，---------1分CB PB BC PC ⋅=⋅||||，∴)1(22)()1(22x y x +⋅=⋅-+-，----------------------------------------------------------------4分化简得动点P 的轨迹方程是：x y 42=.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由于直线l 过点（-4，43），且与抛物线x y 42=交于两个不同点，所以直线l 的斜率一定存在，且不为0.设)4(34:+=-x k y l --------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分⎩⎨⎧=+=-x y x k y 4)4(342，消去x 得，0)31616(42=++-k y ky ， 0)31616(442>+-=∆k k ，232232-<<--k ，且0≠k . ky y k y y 31616,42121+==+.---------------------------------------------------------------------------------------------------------8分 =-+=-+=+212122111tan tan 1tan tan )tan(x x y y x y x y βαβαβα3316316161616)(41614421212121=-+=-+=-+kk y y y y y y y y ，-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分,20,0πβαπβα<+<∴<≤，所以6πβα=+67π或.--------------------------------------------------------------------------------------------------12分22. 解：（Ⅰ）x e x x x h x F ln 2)()()(2-=-=ϕ，xe x x e x x F 2222)(2'-=-=， ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1分022)(2'=-=xex x F ，解得e x =，e x -=（舍）----------------------------------------------------2分∴当e x =时，)(x F 取得极小值，)(x F 极小值=0)(=-=e e e F --------------------------------------------5分（Ⅱ）若函数)(x h 和)(x ϕ存在隔离直线b kx y l +=:，则)()(x b kx x h ϕ≥+≥，由（1）知∴当e x =时，)(x F 取得极小值0.∴e e e h ==)()(ϕ，点),(e e 在b kx y l +=:上.-------------------------------------------------6分∴),(e x k e y -=-∴e k e kx y -+=，b kx x h +≥)(，即02≥+--e k e kx x 在),(+∞-∞∈x 上恒成立. ∴0)2()(422≤-=+--=∆e k e k e k ，e k 2=∴.---------------------------------------------------------8分 代入:l e k e kx y -+=得，y l :=e x e 22-.----------------------------------------------------------------------9分)(x b kx ϕ≥+，即x e e x e ln 222≥-在),0(+∞∈x 上恒成立.即022ln 2≤+-e x e x e 在),0(+∞∈x 上恒成立. 令=)(x g e x e x e 22ln 2+-，xx e e e x e x g )(222)('-=-=，易知当),0(e x ∈时)(x g 递增，当),(+∞∈e x 时)(x g 递减，当e x =时，)(x g 在),0(+∞取最大值,-----------------------------------------------11分 02)()(m ax =+-==e e e e g x g ，即022ln 2≤+-e x e x e 在),0(+∞∈x 上恒成立.-----------------------13分综上所述：函数)(x h 和)(x ϕ存在隔离直线y =e x e 22-.------------------------------------------------------14分。
2013年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖南，文1，5分】复数()i 1i z =⋅+（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】()i 1i i 11i z =⋅+=-=-+，故选B ．（2）【2013年湖南，文2，5分】“12x <<”是“2x <”成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】∵“12x <<”能推出“2x <”成立，但“2x <”不能推出“12x <<”成立，故选A ． （3）【2013年湖南，文3，5分】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n =（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）12 （D ）13 【答案】D【解析】抽样比为316020=，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴13n =，故选D ． （4）【2013年湖南，文4，5分】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【答案】B【解析】∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()2(11)f g -+=，即()()112f g -+= ①()14)1(f g +-=，即()()114f g += ② 由①+②得()13g =，故选B ．（5）【2013年湖南，文5】在锐角ABC ∆中，角A ，B 所对的边长分别为,a b ．若2sin a B =，则角A 等于（ ）（A ）3π （B ）4π （C ）6π （D ）12π【答案】A【解析】∵2sin a B =，∴2sin in As B B =．∵sin 0B ≠，∴sin A ．∵π0,2A ⎛∈⎫⎪⎝⎭，∴π3A =，故选A ．（6）【2013年湖南，文6，5分】函数()ln f x x =的图像与函数2()44g x x x =-+的图像的交点个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】C【解析】利用图象知，有两个交点，故选C ． （7）【2013年湖南，文7，5分】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧）（A （B ）1 （C（D【答案】D【解析】如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的俯视图为ABCD ，侧视图为11BB D D ，故该正方体的正视图应为11AA C C ．又因AC =D ． （8）【2013年湖南，文8，5分】已知a,b 是单位向量，0a b =．若向量c 满足1-=-c a b ，则|c |的最大值为（ ）（A 1- （B （C 1+ （D 2+ 【答案】C【解析】可利用特殊值法求解．可令10()a =,，01()b =,，()c x y =，．由||1c a b --=，得1=，∴22()(11)1x y -+-=．c即为可看成M 上的点到原点的距离，∴11max c OM +=，故选C ．（9）【2013年湖南，文9，5分】已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使APB ∆的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB =（ ）（A ）12 （B ）14（C（D【答案】D【解析】如图，设2AB x =，2AD y =．由于AB 为最大边的概率是1，则P 在EF 上运动满足条件，且12DE CF x ==，即A B E B=或AB FA =．∴2x =即2224494x y x =+，即22744x y =，∴22716y x =．∴y x =22AD y y AB x x ===，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置． （10）【2013年湖南，文10，5分】已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===，则U ()A B =ð ．【答案】{6}8,【解析】{}68U A =,ð，∴6826868(){}{}{}U A B ==,,,,ð．（11）【2013年湖南，文11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若直线121:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为 ． 【答案】4【解析】1l 的普通方程为：21x y =+，2l 的普通方程为：12x a y =⋅+，即22a ax y =+，∴4a =．（12）【2013年湖南，文12，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入1a =，2b =，则输出的a 的值为 ． 【答案】9 【解析】输入12a b ==，，不满足a >8，故3a =；3a =不满足8a >，故5a =；5a =不满足8a >，故7a =；7a =不满足8a >，故9a =，满足8a >，终止循环．输出9a =．（13）【2013年湖南，文13，5分】若变量,x y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则x y +的最大值为 ． 【答案】6【解析】画出可行域，令z x y =+，易知z 在2(4)A ,处取得最大值6．（14）【2013年湖南，文14，5分】设12F F ，是双曲线C ，22221x y a b-= (0a >，0b >)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为 ． 1【解析】如图所示，∵12PF PF ⊥，1230PF F ∠=︒，可得2PF c =．由双曲线定义知，12PF a c =+，由2221212F F PF PF =+得222)4(2c a c c =++，即222440c ac a --=，即2220e e --=，∴e =，∴1e = （15）【2013年湖南，文15，5分】对于{}12100,,,E a a a =的子集{}12,,,k i i i X a a a =，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中 121k i i i x x a ====，其余项均为0，例如子集{}23,a a 的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0 ．（1）子集{}135,,a a a 的“特征数列”的前三项和等于 ；（2）若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 满足11p =，11i i p p ++=，199i ≤≤；E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q 满足11q =，121j j j q q q ++++=，198j ≤≤，则PQ 的元素个数为 ．【答案】（1）2；（2）17 【解析】（1）{}135,,a a a 的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，0，∴前3项和为2．（2）根据题意知，P 的特征数列为1，0，1，0，1，0，…，则13599{}P a a a a =⋯，，，，有50个元素，Q 的特征数列为1，0，0，1，0，0，1，…，则14710100{}Q a a a a a =⋯，，，，，有34个元素， ∴171397{}P Q a a a a =⋯，，，，，共有9711176-+=个．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2013年湖南，文16，12分】已知函数()cos cos()3f x x x π=-．（1）求2()3f π的值；（2）求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．解：（1）2π2ππcos cos 333f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=ππcos cos 33-⋅=21124⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（2）()()211cos cos π1cos co cos s n cos 1cos 222243x x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫- =⋅=⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝=⎭=++ 1π1cos 2234x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．()14f x <等价于1π11cos 22344x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即πcos 2<03x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 于是3π222223k x k k ππππ+<-<+∈，Z ．解得11π12512k x k k πππ+<<+∈，Z ．故使()14f x <成立的x 的取值集合为5π11π|ππ,1212x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（17）【2013年湖南，文17，12分】如图，在直棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =13AA =，D 是BC 的中点，点E 在菱1BB 上运动．（1）证明：1AD C E ⊥；（2）当异面直线1AC C E ，所成的角为60︒时，求三棱柱121C A B E -的体积． 解：（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥．①又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥．②由①，②得AD ⊥平面11BB C C ．由点E 在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C ，所以1AD C E ⊥． （2）因为11//AC AC ，所以11A C E ∠是异面直线AC ，1C E 所成的角，由题设，1160AC E ∠=︒，因为11190B AC BAC ∠=∠=︒，所以1111AC A B ⊥，又111A A A C ⊥，从而11AC ⊥平面11AABB ，于是111AC A E ⊥．故111cos60C AC E =︒=112B C ==，所以12B E =，从而1111111111223323A B E C A B E V C S A ∆-=⨯⨯=⨯=三棱锥．（18）【2013年湖南，文18，12分】某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示： 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． （1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；514845424Y 频数；（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg 的概率．解：（1）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为：15=19227012615++6904615==．（2）由（1）知，512()15P Y ==，484()15P Y ==．故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为()()()48512421581455P Y P Y P Y ≥==+=+==．（19）【2013年湖南，文19，13分】设n S 为数列{}n a 的前项和，已知10a ≠，112n n a a S S -=⋅，*n N ∈．（1）求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和．解：（1）令1n =，得21112a a a -=，即211a a =．因为10a ≠，所以11a =．令2n =，得222211a S a -==+．解得22a =．当2n ≥时，由112121n n n n a S a S ---=-=，两式相减得122n n n a a a --=．即12n n a a -=． 于是数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．因此，12n n a -=．所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． （2）由（1）知，1·2n n na n -=．记数列1{·2}n n -的前n 项和为n B ，于是21122322n n B n -=+⨯+⨯+⋯+⨯① 2321222322n n B n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯．② ①-②得：2112222212n n n n n B n n --=+++⋯+-⋅=--⋅．从而()112n n B n =+-⋅．（20）【2013年湖南，文20，13分】已知1F ，2F 分别是椭圆22:15x E y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线20x y +-=的对称点是圆C 的一条直径的两个端点． （1）求圆C 的方程；（2）设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ．当ab 最大时，求直线l 的方程． 解：（1）由题设知，1F ，2F 的坐标分别为(20)-,，(2)0,，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线20x y +-= 的对称点．设圆心坐标为00()x y ，，由000012022y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得0022x y =⎧⎨=⎩，圆C 的方程为()()22224x y -+-=．（2）由题意，可设直线l 的方程为2x my =+，则圆心到直线l 的距离d =．所以b =．由22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22540)1(m y my ++-=． 设l 与E 的两个交点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，则12245y m y m -=++，21215y y m -+=．于是a==．从而ab ===≤==m =故当m =时，ab 最大，此时，直线l 的方程为2x =+或2x =+， 即20x -=，或20x +-=．（21）【2013年湖南，文21，13分】已知函数21()1xx f x e x -=+． （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<．解：（1）函数()f x 的定义域为()-∞+∞，．()221111x x x x x x e x f e --⎛⎫' ⎪++⎝⎭'=+=2222211e 11x x x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦=222[12]e 1xx x x -(-)+(+)． 当0x <时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<．()f x 的单调递增区间为()0-∞，，单调递减区间为(0)+∞，．（2）当1x <时，由于2101xx->+，0x e >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．当()()()1212f x f x x x =≠ 时，不妨设12x x <，由（1）知10()x ∈-∞，，2)1(0x ∈，．下面证明：)01(x ∀∈,，()()f x f x <-，即证2211e e 11x x x x x x --+<++，等价于(11)0e x x x e x --+<．令()1()e 1xxg x x e x -+=-，则()2()1x x g x xe e -'=--． 当)1(0x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而g (x )<g (0)=0．即(11)0ex x x e x--+<．所以)01(x ∀∈,，()()f x f x <-．而2)1(0x ∈,，所以()22()f x f x <-，从而()12()f x f x <-． 由于1x ，20()x -∈-∞,，()f x 在()0-∞，上单调递增，所以12x x <-，即120x x +<．。
2013年高三数学文科一模试题(带答案)
2013年高三数学文科一模试题（带答案）2013年高三教学测试（一）文科数学试题卷注意事项：1.本科考试分试題卷和答題卷，考生须在答題卷上作答.答题前，请在答題卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试題卷分为第1卷（选择題）和第π卷（非选择題）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟.参考公式：如果事件，互斥，那么棱柱的体积公式如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式球的表面积公式球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i为虚数单位，则复数=A.iB.-iC.D.-2.函数的最小正周期是A.B.πC.2πD.4π3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A.OB.-1C.D.4.已知α,β是空间中两个不同平面，m,n是空间中两条不同直线，则下列命题中错误的是A.若m//nm丄α,则n丄αB.若m//ααβ,则m//nC.若m丄α,m丄β，则α//βD.若m丄α,mβ则α丄β5如图，给定由6个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取2个点，则两点间的距离为2的概率是ABCD6.已知函数，下列命题正确的是A.若是增函数，是减函数，则存在最大值B.若存在最大值，则是增函数，是减函数C.若,均为减函数，则是减函数D.若是减函数，则,均为减函数7.已知a,b∈R,a.b≠O,则“a>0,b>0”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线c:,以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N(异于原点O),若|MN|=,则双曲线C的离心率是A.B.C.2D.9已知在正项等比数列{an}中，a1=1,a2a4=16则｜a1-12｜+｜a2-12｜+…+｜a8-12｜=A224B225C226D25610.已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A={x丨f(x)=0},B={x|f(f(x)))=0},若存在x0∈B，x0A则实数b的取值范围是ABbCD非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.已知奇函数f(x),当x>0时，f(x)=log2(x+3),则f(-1)=__▲__12.已知实数x,y满足则z=2x+y的最小值是__▲__13.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__▲__14.某高校高三文科学生的一次数学周考成绩绘制了如右图的频率分布直方图，其中成绩在40，80]内的学生有120人，则该校高三文科学生共有__▲__人15.已知正数x,y满足则xy的最小值是=__▲__.16.已知椭圆C1：的左焦点为F，点P为椭圆上一动点，过点以F为圆心，1为半径的圆作切线PM，PN，其中切点为M，N则四边形PMFN 面积的最大值为__▲__.17.若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是__▲_.三、解答题:本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟•18.(本题满分14分）在ΔABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且a=c+bcosC.(I)求角B的大小(II)若，求a+c的值.19.(本题满分14分）已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5,a1,a2.a5成等比数列(I)求数列{an}的通项公式：(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an求数列{bn}的通项公式20.(本题满分15分）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，=90°,BC=CD=,AD=BD：EC丄底面ABCD,FD丄底面ABCD且有EC=FD=2.(I)求证：AD丄BF:(II)若线段EC的中点为M，求直线AM与平面ABEF所成角的正弦值21(本题满分15分）已知函数f(x)=mx3-x+，以点N（2，n）为切点的该图像的切线的斜率为3（I）求m,n的值（II）已知.，若F(x)=f(x)+g(x)在0，2]上有最大值1，试求实数a的取值范围。
2013年湖南高考仿真考试数学试题(文)
2013年湖南高考仿真考试数学试题（文史类）本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。
时间120分钟，满分150分。
一、选择题：(本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若p 则q ”的逆命题是（ ）A.若q 则pB.若p ⌝则q ⌝C.若q ⌝则p ⌝D.若p 则q ⌝2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（ ）A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}3.已知某三棱锥的三视图（单位:cm ）如图所示,则该三棱锥的体积是（ ）A.1cm 3B.2cm 3C.3cm 3D.6cm 34.已知命题}1|{:>∈∈x R x x p ,}32|{:<<∈∈x R x x q ,则p 是q 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ）A. -3 B .-10 C. 0 D. -26.已知向量a 与b 的夹角为3π，||2a = ，||1b = ，则a ·﹙2a b + ﹚的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 77.等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知423S S =，则242a a -的值是（ ） A. 1 B. 3 .C 2 .D 08.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ） A.)32,31( B. )32,31[ C. )32,21( D. )32,21[ 9.已知以F 为焦点的抛物线28y x =上的两点,A B 满足3AF FB = ,则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A.83 .B 53 .C 163 .D 103二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在对应题号后的横线上。
2013年湖南高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算及复平面．【考查方式】给出复数的乘法形式，间接地考查了复数的代数与几何之间的关系． 【参考答案】B【试题解析】 i(1i)1i z =+=-+，∴复数z 对应复平面上的点是(1,1)-，该点在第二象限．2．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】命题的基本关系，充分、必要条件． 【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件． 【参考答案】A【试题解析】设{|12}A x x =<<，{|2}B x x =<，∴A B Ü，即当0x A ∈时，有0x B ∈，反之不一定成立．因此“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = ( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【测量目标】分层抽样．【考查方式】根据分层抽样的特点，结合实际问题用比例法求解样本容量的多少． 【参考答案】D 【试题解析】3=601208060n++，13n ∴= 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，()()114f g +-=，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】函数的奇偶性、函数的求值．【考查方式】给出两个奇、偶函数的关系式，结合奇、偶函数的性质求解g (1)． 【参考答案】B【试题解析】根据奇、偶函数的性质，将(1)f -和(1)g -转化(1),(1)f g -为列方程再求解． (f x ）是奇函数，(1)(1).f f ∴-=-又()g x 是偶函数， (1)(1)g g ∴-=，（步骤1） (1)(1)2,(1)(1)2f g g f -+=∴-= ． ①（步骤2）又(1)(1)4,(1)(1)4f g f g +-=∴+=． ②（步骤3） 由①②，得(1)3g =．（步骤4）5．在锐角三角形ABC 中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ．若2sin a B =，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．π12【测量目标】正弦定理．【考查方式】给出三角形的边角之间的关系，根据正弦定理，求出其中一个角的大小． 【参考答案】A【试题解析】在△ABC 中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为△ABC 的圆半径)，2sin ,2sin sin a B A B B =∴=sin A ∴=，又△ABC 为锐角三角形，π3A ∴=．6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【测量目标】函数的图像与性质，数形结合思想．【考查方式】给出对数函数和二次函数，考查了两个函数的图像与交点． 【参考答案】C【试题解析】22()44(2)g x x x x =-+=-在同一平面直角坐标系内画出函数()ln f x x =与2()(2)g x x =-的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点． 第6题图7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( )A B ．1 C D 【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法．【考查方式】给出正方体的三视图面积，间接地考查了对正方形三视图的认识，并求出正视图的面积． 【参考答案】D【试题解析】由于该正方形的俯视图是面积为11的矩形，所以8．已知,a b 是单位向量，0∙=a b ，若向量c 满足0--=c a b ，则c 的最大值为 ( )A 1-BC 1D 2 【测量目标】向量的运算律、向量的数量积及模．【考查方式】给出模为零的向量，间接地考查了向量的运算律、数量积及模的综合应用，并求出其中一个向量的模． 【参考答案】C【试题解析】 ,a b 是单位向量， ∴1==a b ，（步骤1）又0∙=a b ，∴⊥a b ，（步骤2）∴+=a b ．（步骤3） ∴22222()+21--=-∙+∙++=c a b c c a b αb a b ．22()10∴-∙++=c c a b ，22()1∴∙+=+c a b c ．（步骤4） ∴21+c 2cos θ=+c a b (θ是c 与+a b 的夹角)．（步骤5）∴21+c cos θ=…，∴210-+c …．（步骤6）∴11c 剟，∴c 1．（步骤7） 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB= ( )A ．12 B ．14C D【测量目标】几何概型．【考查方式】给出事件发生的概率并与代数相结合，求出几何概型的概率． 【参考答案】D【试题解析】由于满足条件的点P 发生的概率为12，点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB AB =（当P 点超过点E 向点D 运动时，PB AB >）．设AB x =，过点E 作EF AB ⊥交AB 于点F ，则34BF x =．在Rt FBE △中，222222716EF BE FB AB FB x =-=-=，即EF x =，AD AB ∴=第9题图 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===，则()U A B ð= ． 【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算． 【参考答案】{6,8}【试题解析】因为{2,3,6,8},{2,3}U A ==，所以{6,8}U A =ð，所以(){6,8}{2,6,8}{6,8}U A B == ð． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为 ．【测量目标】参数方程、两直线的位置关系，转化思想的应用．【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，间接考查了直线方程与直线位置的关系． 【参考答案】4 【试题解析】由21,x s y s=+⎧⎨=⎩消去参数s ，得21x y =+．由,21x at y t =⎧⎨=-⎩消去参数t ，得2x ay a =+．12l l ∥，21, 4.2a a ∴=∴=12．执行如图所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为 ． 【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】程序框图的逻辑关系，并根据程序框图求出a 的值． 第12题图【参考答案】9【试题解析】当1,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为3．当3,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为5．当5,a =2b =时，8a >不成立，执行a ab =+后a 的值为7．当7,a =2b =时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为9．由于98>成立，故输出的a 值为9．13．若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y +的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6． 第13题图14．设12,F F 是双曲线C 22221x y a b-= ()0,0a b >>的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=，则C 的离心率为___________． 【测量目标】双曲线的定义及其相关性质．【考查方式】给出双曲线上的点到两焦点之间直线的关系，根据双曲线的定义及性质求解其离心率．1【试题解析】如图，利用12PF PF ⊥及1230PF F ∠=，求出a ，c 的关系式． 设点P 在双曲线右支上． 12PF PF ⊥，122F F c =，且1230PFF ∠= ，∴2PF c =，1PF =．又点P 在双曲线右支上，∴12PF PF-1)c =2a =．∴c e a==1=． 第14题图 15．对于12100{,,,}E a a a = 的子集12{,,,}k i i i X a a a = ，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ．其余项均为0，例如子集23{,}a a 的“特征数列”为0，1，0，0， 0⑴子集135{,,}a a a 的“特征数列”的前三项和等于___________；⑵若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p ⋅⋅⋅ 满足11p =，11i i p p ++=，199i剟；E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q ⋅⋅⋅满足11q =，121j j j q q q ++++=，198j剟，则P Q 的元素个数为_________．【测量目标】集合的子集、交集定义的理解以及数列中项、项数概念的理解及应用． 【考查方式】根据给定“特征数列”的新定义，明确其性质，结合集合及数列性质求解． 【参考答案】⑴2 ⑵17【试题解析】子集中元素的个数为“特征数列”中项1的个数，并且1所在的项记为“特征数列”中的第i 项． ⑴子集{}135,,a a a 的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0,,0. 故该数列前3项的和为2．⑵E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 中，由于11p =，11(199)i i p p i++=剟，因此集合P 中必含有元素1a ．又当1i =时，121p p +=，且11p =，故20p =同理可求得31p =，40p =，51p =，60p =，…．故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,,1,0 ，即{}1,35799,,,,.P a a a a a =⋅⋅⋅E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q ⋅⋅⋅中，由于11q =，121j j j q q q ++++=(198)j剟，因此集合Q 中必含有元素1a ．当1j =时，1231q q q ++=，当2j =时，2341q q q ++=，当3j =时，3451q q q ++=，…故11q =230q q ==，41q =，560q q ==，71q =，…．故，所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,1⋅⋅⋅，即{}14710100,,,,,Q a a a a a =⋅⋅⋅．因为1001(1)3n =+-⨯，故34n =，所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此，P Q {}17131997,,,,,a a a a a =⋅⋅⋅共有17个元素． 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-．⑴求2π()3f 的值； ⑵求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．【测试目标】三角函数的定义及性质，三角函数的恒等变换．【考查方式】利用三角函数的恒等变换将函数转化成正弦函数，根据三角函数图像的性质求出x 的范围．【试题解析】(1)ππ()cos (cos cossin sin )33f x x x x =⋅⋅+⋅111(sin 2cos 2)2224x x =⋅+⋅+ 1π1sin(2)264x =++2π13π1()sin3224f ⇒=+14=-，所以2π1()34f =-． （2）由（1）知，1π11()sin(2)2644f x x =++<1π11cos(2)2344x ⇔-+<，即πcos(2)03x -<于是ππ3π2π22π232k x k +<-<+5π11π(π,π),1212x k k k ⇒∈++∈Z ．故使1()4f x <成立的x 的取值集合为5π11π,1212x kx x kx k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 17．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC ==13AA = ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．⑴证明：1AD C E ⊥；⑵当异面直线AC ，1C E 所成的角为60时，求三棱柱111C A B E -的体积．【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行 第17题图 的性质与判定，异面直线所成角，三棱柱的体积．【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱111E A B C -的高1EB 再求体积． 【试题解析】⑴AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．(步骤1) ① 又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面11BB C C ，∴1AD BB ⊥．（步骤2） ② 由①②，得AD ⊥平面11BB C C ，由E 点在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C 1C E AD ∴⊥．（步骤3）⑵11CA C A ∥，1160AC E ∴∠=⇒在11Rt AC E △中，1A E =，（步骤4） ⇒在11Rt A B E △中，12EB =．（步骤5） 111ABC A B C - 是直棱柱，1EB ∴是三棱柱111E A B C -的高．（步骤6） 11111111111212333C A B E E A B C A B C V V S EB --==⨯⨯=⨯⨯=△．所以三棱柱111C A B E -的体积是23．（步骤7）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． ⑴完成下表，并求所种作物的平均年收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．【测量目标】频数分布表及平均数、简单随机事件的概率．【考查方式】考查识图能力及数据处理能力及分类讨论思想，结合图形解决概率与统计的相关知识，根据图形找出Y 对应的频数．【试题解析】(1) 由图知，三角形中共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)． 与周围格点的距离不超过１米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3)．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)． 如下表所示：平均年收获量5124844564234615u ⨯+⨯+⨯+⨯==．(2)在15株中，年收获量至少为48kg 的作物共有246+=个． 所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48kg 的概率60.415p ==． 19．（本小题满分13分）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，112n n a a S S -=∙，*n ∈N ．⑴求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和．【测量目标】等比数列的公式、性质及数列的前n 项和的公式、性质．【考查方式】利用递推公式1n n n a S S -=-(2)n …消去n S 得到关于n a 的通项公式，并用错位相减法求{}n na 的前n 项和．【试题解析】⑴ 11S a = ∴令1n =，得21112a a a -=.1,011=≠⇒a a (步骤1)令2n =，得2221a S -=21a =+22a ⇒=．（步骤2） 当2n …时，由21nn a S -=，1121n n a S ---=两式相减，得122n n n a a a --=，即12n n a a -=．（步骤3） 于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（步骤4） 因此，12,n na n -*=∈N ，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（步骤5） ⑵由⑴知，12n n na n -=⋅．记数列{}12n n -⋅的前n 项和为n T ，于是21122322n nT n -=+⨯+⨯++⨯ ①2321222322n n T n ⇒=⨯+⨯+⨯++⨯ ② （步骤6）①－②，得21122...22n n nT n --=++++-⋅212n n n =--⋅(1)21,n n T n n *⇒=-⋅+∈N ．（步骤7） 20．（本小题满分13分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：2215x y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．⑴求圆C 的方程；⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ．当ab 最大时，求直线l 的方程．【测量目标】点关于直线对称点的求法，圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线的方程以及利用函数求最值问题．【考查方式】考查了对称思想在求解实际问题中的应用，求出圆C 的方程．由勾股定理求出弦长b ，根据焦半径的公式求出弦长a ，构造函数判断单调性，求出ab 最大值，求出l 的方程．【试题解析】⑴先求圆C 关于直线20x y +-=对称的圆D ，由题意知，圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心是(0,0)D，半径2r c ==，（步骤1） 圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒． ⇒圆的方程是22(2)(2)4x y -+-=（步骤2）⑵由⑴知2(2,0)F ，根据题可设直线l 方程为:2,x my m =+∈R ． 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意．圆C :4)2()2(22=-+-y x 到直线l的距离d =．（步骤3）⇒在圆中，由勾股定理，得22222444(4)11m b m m =-=++．（步骤4） 直线与椭圆相较于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线与椭圆方程，得22(5410m y my ++-=）12x x ⇒+12()4m y y =++2445m mm -=++2205m =+，由椭圆的焦半径公式得：12)a x x =+=2215m m +=+2215m ab m +∴=+25m =+（步骤5）令()0f x x =…()y f x ⇒=在[0,3]上单调增，在[3,)+∞单调减，（步骤6） 令()(3)f x f …⇒当23m =时，取ab最大值，这时直线方程为2x =+，所以当取ab最大值，直线方程为2x =+．（步骤7） 21．（本小题满分13分）已知函数21()e 1xx f x x-=+．⑴求()f x 的单调区间；⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法．【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（）， 2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯< ，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=…单调递减．∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x ->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3） 当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4） 下面证明：(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，即证2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5） 令1()(1)e ex x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6） 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x xx x +--<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．（步骤7）而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8） 由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9）。
2013年长沙市高考模拟试卷文数
2013年长沙市高考模拟试卷数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 10.2． 11.2312.3 13. 15314(1)4±(2)[]5,5-15.(1)0 (2)1093三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）3,2,13,7163==∴==a d a a ， ……2分()12213+=⨯-+=∴n n a n ，()()22123+=++=n n n n S n……6分 （2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=+=-=111411412221112n n n n n n a b n n ……8分所以数列{}n b 的前项的和()1411141111312121141+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n nn n n T n ……12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据共调查了40人，其中男生25人，女生15人．男生中有15人爱好体育，另外10人爱好文娱．女生中有5人爱好体育，另外10人爱好文娱，得到列联表．()()()()()()072.2667.238152520205015040222>≈=⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ，而()15.0072.22=>K p ，∴有85%的把握可以认为性别与是否更喜欢体育有关系． （2）从男生中选出3人记为C B A ,,，从女生中选出2人记为b a ,，从这5人中选出2人的基本事件为 ()B A ,、()C A ,、()a A ,、()b A ,、()C B ,、()a B ,、()b B ,、()a C ,、()b C ,、()b a ,共10种，两人性别相同的情形有()B A ,、()C A ,、()C B ,、()b a ,共4种，故概率.52104==P 18．（本小题满分12分）解：⑴因为⊥PA ABCD ，⊂DE ABCD ，所以⊥PA DE ，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF 是梯形ABCD 的中位线，所以AB EF //且22=+=CDAB EF ， ……2分 在ADC Rt ∆和DEF Rt ∆中，090=∠=∠ADC EFD ，2==DCAD DF EF ， 所以EFD ∆∽ADC ∆，DAC FED ∠=∠，所以DE AC ⊥ ……5分 因为A AC PA = ，所以⊥DE 平面PAC ． ……6分 ⑵由⑴知平面⊥PDE 平面PAC ， ……7分 设G AC DE = ，连接PG ，在PAG Rt ∆中作PG AH ⊥，垂足为H ， 则⊥AH 平面PDE ，所以APH ∠是PA 与平面PDE 所成的角， ……9分由⑴知，在ADG Rt ∆中，2=AD ，21tan ==∠AD CD CAD ， 所以54cos =∠⨯=CAD AD AG ，因为⊥PA ABCD ，所以56=PG ，32sin sin ==∠=∠PG AG APG APH ，即为PA 与平面PDE 所成角的正弦值.……12分 19．（本小题满分13分）解：（1）过O 作H BC OH ,⊥为垂足． 当04π≤∂≤时，E 在边AB 上，F 在线段BH 上，（如图1），此时2tan ,2tan ,4AE FH π⎛⎫=∂=-∂⎪⎝⎭……2分-4-2tan -2tan -4OAE OHF OABH S S S S π∆∆⎛⎫∴=-=∂∂ ⎪⎝⎭正方形……4分当04π≤∂≤时，E 在线段BH 上， F 在线段CH 上，此时22,,3tan tan 4EH FH π==∂⎛⎫-∂ ⎪⎝⎭……5分，综上所述，42tan 2tan ,044112,3tan 42tan 4S πππππ⎧⎛⎫⎛⎫-∂--∂≤∂< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫=⎨ ⎪⎛⎫⎪ ⎪+≤∂< ⎪⎪∂⎛⎫ ⎪⎝⎭-∂⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ……7分(2)当04π≤∂≤时，24-2t a n -2t a n-821t a n 41t a n S π⎛⎫⎛⎫=∂∂=-+∂+⎪ ⎪+∂⎝⎭⎝⎭，9分200tan 1,11tan 2,1tan 41tan π≤∂≤≤∂≤≤+∂≤∴+∂+≥+∂，2211,,233tan tan tan tan 44EOFEF S S ππ∆⎛⎫⎪ ⎪∴=+∴==+∂∂⎛⎫⎛⎫ ⎪-∂-∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24≤∴S ,当tan ∂=时，S 取得最大值为24-8． ……13分20．（本小题满分l3分）解：（1）设椭圆C 的方程为：22221x y a b+=（a ＞b ＞0），则a 2－b 2=1．①∵当l 垂直于x 轴时，A ，B 两点坐标分别是（1，2b a ）和（1，－2b a ），∴ OA OB =（1，2b a ）•（1，－2b a ）=1－42b a ，则1－42b a＝12，即a 2=2b 4．②由①，②消去a ，得2b 4－b 2－1=0．∴b 2=1或b 2=－12． 当b 2=1时，a 2=2 ．因此椭圆C 的方程为2212x y +=． ……5分（2）当直线斜率不存在时，易求A （1，B （1，P （0,1），所以PA ＝（1－1），PB ＝（1－1），PF ＝（1，－1）， 由t PA PB tPF +=使，得t ＝2，直线l 的方程为x ＝1 ……7分 当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x －1），A ＝（x 1，y 1），B ＝（x 2，y 2）， 所以，PA ＝（x 1，y 1－1），PB ＝（x 2，y 2－1），PF ＝（1，－1）， 由t PA PB tPF +=使，得121211x x t y y t +=⎧⎨-+-=-⎩即12122x x ty y t+=⎧⎨+=-⎩因为y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），所以，y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－2），解得k ＝－1 此时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1， ……9分联立22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得3x 2－4x ＝0，t ＝x 1＋x 2＝43，所以，当直线斜率存在时，t ＝43，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，综上所述，存在实数t 且t ＝2时，直线方程为x ＝1，当t ＝43时，直线l 的方程为y ＝－x ＋1，……13分 21．（本小题满分l3分）解：由2e k =得()()=-=x g x f y ,2x e e x -所以2'e e y x -=，……2分……5分……7分……9分……11分……13分倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
2013年高考数学文科模拟试卷(含答案详解版)
开始 0k =k ＝k ＋131n n =+150?n >输出k ,n结束是 否输入n2013年高考数学模拟试卷（文）第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B xx =>，则A B =A ．B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅ 2．已知i 为虚数单位，则212ii-++的值等于 ( )A. i -B.12i -C. 1-D.2．定义{|,,}x A B z z x y x A y B y⊗==+∈∈.设集合{0,2}A =，{1,2}B =3．如果奇函数f(x) 是[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是（ ） A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值是－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值是－5 4．如果实数x,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ．23 D ．35．阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()O AO BA B +⋅＝（ ）A.6B.4C.4-D.6-7．在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（ ） A.72种 B.36种 C.144种 D.108种O xyAB第6题图图18．已知函数()y f x =的定义域为2(43,32)a a --， 且(23)y f x =-为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3或－1B ．－3或1C ．1D ．－19．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
2013年湖南省高考模拟试题数学(文科)
一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（ ）A ．()1,2-B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2- 2．（原创）复数ii-12的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）条件。
A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4．（根据2012年河北衡水市高三期末考试改编）已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=-my x 的离心率为（ ）A ．23或25 B ．23 C ．5 D ．23或5 5．（原创）设,a b 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b B ．若a ∥α，a ∥β且b ∥a ，则b ∥α C ．若a α⊥，b β⊥且α∥β，则a ∥b D ．若a α⊥，a β⊥且b ∥α，则b ∥β 6．（引用2011年深圳一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．137．（根据09年陕西高考改编）设曲线1()n y xn N ++=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201312013220132012log log ....log x x x +++的值为 （ ）A ． 2011log 2010B ． 1-C ．2011log 20101-D ． 1俯视图正(主)视图 侧(左)视图8．（根据09年惠州调研改编）已知平面区域A ：003230x y x y ⎧≥⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆()()222:C x a y b r -+-=及其内部所覆盖，现向此圆内部投一粒子，则粒子恰好落在平面区域A 内的概率为（ ） A ．22πB ．3 C ．2πD ．39．（根据12年浙江杭州市第四次月考改编）若n m -表示[,]()m n m n <的区间长度，函数()(0)f x a x x a =-+>的值域区间长度为21-，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2D ．110．（原创）在ABC ∆中，,E F 分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为123,,,S S S S ，记312123,,S S SS S Sλλλ===，则23λλ取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．32- D ．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
2013年高考数学模拟题(文)(附详细答案,打印版)
()图27 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4侧视图（第4题图1）（第4题图2）（第8题图）≤≥12013年高考数学模拟题（文）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知命题:p 所有指数函数都是单调函数，则p ⌝为（ ）A ．所有的指数函数都不是单调函数B ．所有的单调函数都不是指数函数C ．存在一个指数函数，它不是单调函数D ．存在一个单调函数，它不是指数函数 2．已知{}2,M a a =≥{}2(2)(3)0,A a a a a M =--=∈则集合A 的子集共有（ ） A ．1个B ．2个C ．4个D ．8 个3．“10<<a ”是“0122>++ax ax 的解集是实数集R ”的（ ） A ．充分而非必要条件 B ．必要而非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。
那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．105．已知,A B 是单位圆上的动点，且AB =O ，则OA AB ∙=（ ）A．B C ．32-D ．326．两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a=-的焦点坐标为（ ）A ．5(,0)16-B ．1(,0)5-C ．1(,0)5D ．2(,0)5-7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．12B ．815C ．1631D ．16298．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（ ） A ．1:2 B ．2:1C ．1:1D ．1:49．定义：曲线C上的点到直线l 的距离的最小值称为 曲线C 到直线l 的距离；已知曲线1:C y a =到直线:20l x y -=a 的值为（ ）A ． 3或-3B ．23或-C ．2D ．-310．已知x ∈R ,用符号[]x 表示不超过x 的最大整数。
2013年高考数学模拟(文科)试题及答案
文科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集R U =，集合}03|{},0)1)(2(|{<≤-=>-+=x x B x x x A ，则)(B C A U 为 (A) }02|{≥-<x x x 或 (B) }12|{>-<x x x 或(C)}03|{≥-<x x x 或 (D) }13|{>-<x x x 或 2. 已知R a ∈，且ii a -+-1为实数，则a 等于(A) 1 (B) 1- (C)2 (D)2-3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是(A)(B)(C)(D) 834. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是(A)若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 (B)若11<<-x ，则12<x (C)若11-<>x x ，或，则12>x (D)若11-≤≥x x ，或，则12≥x5.当x y 、满足不等式组1101x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y =+的最大值是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 6. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为(A)π23 (B)π32 (C)6π(D)34π7.对变量,x y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i = ，得散点图1；对变量,u v 有观测数据(,)(1,2,,10)i i u v i = ，得散点图2. 由这两个散点图可以判断.（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关俯视图8. 如图，是一个计算1922221++++ 的程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的(A)i 19≥ (B) i 20≥ (C)i 19≤ (D)i 20≤9. 已知函数)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 是R 上的偶函数，则ϕ的值为(A)6π(B)3π(C)32π (D)65π10.已知ABC ∆的三边长为c b a 、、，满足直线0=++c by ax 与圆122=+y x 相离，则ABC ∆是 (A )锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 以上情况都有可能 11. 已知集合}),()(|)({R x x f x f x f M ∈=-=，}),()(|)({R x x f x f x f N ∈-=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f P ∈+=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f Q ∈+-=-=，若R x x x f ∈-=,)1()(3，则(A)M x f ∈)( (B) N x f ∈)( (C)P x f ∈)( (D)Q x f ∈)(12. 王先生购买了一步手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算.(A) 300秒 (B) 400秒 (C) 500秒 (D) 600秒 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 设向量(12)(23)a b == ，，，，若向量a b λ+ 与向量(47)c =--，共线，则=λ ．14．ΔABC 中，3=a ，2=b ，45=∠B ，则A ∠= .15.考察下列三个命题，是否需要在“ ”处添加一个条件，才能构成真命题（其中m l ,为直线，βα,为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“ ”划掉. ① αα//_____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂ ② αα//_____////l m ml ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③ αβαβ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥l l _____// 16. 若从点O 所做的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2，与点N 1，N 2，则面积之比 11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅.若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线OP ，OQ ，OR 上分别有点P 1，P 2，Q 1，Q 2，R 1，R 2，则能推导出的结论是 . 三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围．18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线. （Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a .（Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．附：答案及评分标准：一．选择题：AACDD CCBAC DB1. 解析：A.{|12}A x x x =><-或;{|03}U C B x x x =≥<-或，得{|02}U A C B x x x =≥<- 或.2. 解析：A.2()(1)111122a i a i i a a i ii-+-++---==+--，∴1a =.3. 解析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为222=，其体积12233V =⨯⨯⨯=.4. 解析：D.“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，易知应选D.5. 解析：D.如图，易求点B 的坐标为（2，3），所以当2,3x y ==时t 取最大值5.6. 解析：C. 最大球为正方体的内切球，则内切球的半径为12，341()326V ππ=⋅=.7. 解析：C.由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关，选C.8. 解析：B.当1922221++++ 时，19=i ，而1i i =+，此时20i =，输出S 为1922221++++ .9. 解析：A .)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f =12(sin(2)))22x x φφ+++=2sin(2)3x πφ++；∵()f x 为偶函数，∴()32k k Z ππφπ+=+∈，又∵0φπ<<，∴6πφ=.10. 解析：C. 根据题意，圆心（0，0）到直线0=++c by ax 的距离1d =>，∴222c a b >+，故选C.11. 解析：D. ()f x M ∈，则函数()f x 关于y 轴对称；()f x N ∈，则函数()f x 关于原点对称；()f x P ∈，则函数()f x 关于直线1x =对称；()f x Q ∈，则函数()f x 关于(1,0)中心对称；3()(1),f x x x R =-∈关于（1，0）中心对称，故选D.12. 解析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足50.3650.60120.060.076060x x x x ⋅⋅++≤+，解得400x ≥.二．填空题：13.2；14.3π或32π；15. α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）；16. 体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.13. 解析：2.a b λ+ =（322++λλ，），a b λ+ 与向量(47)c =-- ，共线，则0)4()32()7()2(=-⋅+--⋅+λλ，解得=λ 2.14. 解析：3π或32π.45sin 2sin 3sin sin =⇒=ABb Aa 23sin =⇒A ，A ∠=3π或32π.15. 解析：α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.根据线面平行和线面垂直的判定定理，3个位置依次填α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.16. 解析：根据结论11221122OM N OM N S O M O N S O M O N ∆∆⋅=⋅可类比得到，在空间中有体积之比222111222111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=--.三．解答题17. （本小题满分12分）已知函数.cos2)62sin()62sin()(2x x x x f +-++=ππ（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 解：（Ⅰ）x x x x f 2cos2)62sin()62sin()(+-++=ππ12cos 6sin2cos 6cos2sin 6sin2cos 6cos2sin ++-++=x x x x x ππππ--------------1分12cos 2sin 3++=x x 1)62sin(2++=πx --------------------------------------3分ππωπ===22||2T ------------------------------------------------------------5分Z k k x k ∈+≤+≤+-,226222πππππ,Z k k x k ∈+≤≤+-∴,63ππππ，函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6,3[ππππ-----------------------------7分（Ⅱ）由()2f x ≥ 得2sin(2)126x π++≥， 21)62sin(≥+∴πx πππππ6526262+≤+≤+∴k x k )(Z k ∈----------------------------9分)(3Z k k x k ∈+≤≤∴πππ ，2)(≥∴x f 的x 的取值范围是},3|{Z k k x k x ∈+≤≤πππ---------------------------12分18. （本小题满分12分）在四棱锥P - ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，PAD ∆是等边三角形，已知BD = 2AD =8, AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点， （Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．证明：（Ⅰ）AB =54，BD =8, AD =4,则AB 2 = BD 2+AD 2.∴BD ⊥AD .------------------------------------------2分 设AD 的中点为E ，连接AE ，因为PAD ∆是等边三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面ABCD ，------------------------------------------4分 BD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥BD .E PE AD =⋂，∴BD ⊥平面PADBD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面P AD .-------------------------------------------------------------------------6分 解（Ⅱ）3223==AD PE ，----------------------------------------------------------------------------------------8分ABCD S 梯形==+∆∆BCD ABD S S ABD ABD ABD S S S ∆∆∆=+2321=2484432123=⋅⋅=⋅⋅⋅DB AD .--------------------------------------------------------------10分 316322431=⋅⋅=-ABCD P V ---------------------------------------------------------------12分19. （本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx axx f（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率. 解：（Ⅰ）分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b 全部可能的基本结果有：（-1，-2），（-1，-1），（-1,1），（-1，2），(-1，3)，(1，-2)，（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，1),，（3，2)，（3，3）.共20个基本结果.-------------------------------------------------------------------------------3分函数14)(2+-=bx axx f 的对称轴a bx 2=，要使函数)(x f 在),1[+∞上是增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>120ab a ， ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分于是满足条件的基本结果为：（1，-2），（1，-1），（2，-2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1）共8个.函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率52208==P .----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 所表示的区域如图OAB ∆所示，从区域内取点且函数)(x f y =在),1[+∞上是增函数需满足 的条件⎪⎩⎪⎨⎧≤>>200x y y x 如图阴影部分OAC ∆所示.-----------------------------------------------------------------------------9分解⎪⎩⎪⎨⎧==+28x y y x 得C （38,316）.---------------------------------------------------------------------------------------10分 函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率OABOAC S S P ∆∆=31838==----------------------------------------12分20. （本小题满分12分）设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线.（Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,21[上是减函数，求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）根据题意，)1()1(),1()1(''g f g f ==；--------------------------------------------------------------2分4)1(,4)(''==g x x g ，又∵a x x f +=2'3)(，----------------------------------------------------------------------3分∴41(3)1(''==+=）g a f ，∴1=a ；21)1(=+=a f ，∴2)1(2)1(==+=g b g ，得0=b .---5分∴函数)(x f 与)(x g 的解析式为：x x x f +=3)(，22)(x x g =------------------------------------------6分 （Ⅱ）232)()()(mx x x x g m x f x F -+=⋅-=；143)(2'+-=mx x x F ------------------------------7分 ∵函数)(x F 在区间]3,21[上是减函数，∴0143)(2'≤+-=mx x x F 在区间]3,21[上恒成立.-----------8分⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0)3(0)21('F F ‘---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分 =⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯-⨯≤+⨯-⨯013433012144132m m 37≥⇒m . 实数m 的取值范围是),37[+∞∈m -------------------------------------------------------------------------------------12分21. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为552的椭圆的一个顶点是抛物线241x y =的焦点 .（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线l 过点），（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点M ，且.,21BF MB AF MA λλ==求21λλ+的值．解：（Ⅰ） 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by ax ；∵241x y =y x42=⇒的焦点坐标为（0，1），∴1=b . -------------------------------------------------------------------------------------2分⇒==552a c e 5412222=-=a a ac ，得5=a .--------------------------------------------------------------------4分∴所求的椭圆的方程为1522=+yx.-----------------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为点），（02F 在椭圆内部，且直线与y 轴相交，所以直线l 不与x 轴垂直，斜率一定存在.设l ：)2(-=x k y ------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分则052020)51(15)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k k x y x x k y --------------- ①设),0(),,(),,(02211y M y x B y x A由①得2221222151520;5120kkx x kkx x +-=+=+，---------------------------------------------------------------8分1M A AF λ= 即 1101111,)(2,)M A x y y AF x y λλ=-==--（得110111,)(2,)x y y x y λ-=--（，111(2)x x λ=-即1112x x λ=-，同理2222x x λ=-------------------------------------------------------------------------------------------------9分12λλ+=112x x -+222x x -=121212122()242()x x x x x x x x +--++=222222222222202052()2()4040101515102020542040542()1515kk k k k k k k k k k k---+++==--+---+++ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 22. （本小题满分14分）数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((21*N n t a b n nn ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得33222127a a =++=29a ⇒=.2212219a a =++=12a ⇒=.--------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥1111122n n nn a a --++⇒=+*(,2)n N n ∈≥---------------------------------------------------------6分 1111122n n nn a a --++⇒-=*(,2)n N n ∈≥，令*1(1)()2n n nb a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =.----------------------------------------------------------------------------------------------8分（Ⅲ））}{n b 成等差数列，1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=+-=.121(1)22n n nn b a +=+=；得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.--------------------------------------------------------------10分n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+++⋅- -----------①2n S =23325272(21)22nn n ⋅+⋅+⋅+++⋅- --------------------② ① - ② 得213222222(21)2n nn S n n --=+⋅+⋅++⋅-+⋅+ --------------------------------------------11分11 233222(21)2n n n n =++++-+⋅+ 14(12)3(21)212n nn n --=+-+⋅+- =(21)21n n n -+⋅+-.所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------------------------------14分.解法二：（Ⅱ）))((21*N n t a b n n n ∈+=且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数. 11111()()22n n n n n n b b a t a t +++-=+-+*()n N ∈ 1111(221)()22n n n n n a t a t ++=+++-+*()n N ∈111112222n n n n n n t t a a ++=++--*()n N ∈ 1112n t+-=+*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.---------------------------------8分。
【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学文
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学文一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析：z=i·(1+i)=-1+i，故复数z对应的点为(-1，1)，在复平面的第二象限.答案：B.2.(5分)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件.答案：A.3.(5分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=( )A. 9B. 10C. 12D. 13解析：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13.答案：D.4.(5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，则g(1)等于( )A. 4B. 3C. 2D. 1解析：由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数得，-f(1)+g(1)=2①，f(1)+g(1)=4②，由①②消掉f(1)得g(1)=3，答案：B.5.(5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB=b，则角A等于( )A.B.C.D.解析：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB= sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=.答案：D.6.(5分)函数f(x)=lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：在同一个坐标系中，画出函数f(x)=㏑x 与函数g(x)=x2-4x+4=(x-2)2的图象，如图所示：故函数f(x)=㏑x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为2，答案：C.7.(5分)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.B. 1C.D.解析：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：.答案：D.8.(5分)已知，是单位向量，·=0.若向量满足|--|=1，则||的最大值为( )A.B.C.D.解析：∵||=||=1，且，∴可设，，.∴.∵，∴，即(x-1)2+(y-1)2=1.∴的最大值==.答案：C.9.(5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=( )A.B.C.D.解析：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图.设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得，从而.答案：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.解析：由题意∵U={2，3，6，8}，集合A={2，3}，∴C U A={6，8}，又B={2，6，8}，故(C U A)∩B={6，8}.答案：{6，8}.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线(s为参数)和直线(t为参数)平行，则常数a的值为.解析：直线l1的参数方程为(s为参数)，消去s得普通方程为x-2y-1=0，直线l2的参数方程为(t为参数)，消去t得普通方程为2x-ay-a=0，∵l1∥l2，x-2y-1=0的斜率为k1=，∴2x-ay-a=0的斜率k2==，解得：a=4.答案：4.12.(5分)执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为.解析：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是 7 2第四圈是 9 2第五圈否故最终输出的a值为9.答案：9.13.(5分)若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为.解析：画出可行域如图阴影部分，由得A(4，2)，目标函数z=x+y可看做斜率为-1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+2=6.答案：6.14.(5分)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为.解析：依题意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a=(-1)c，∴e==.答案：.15.(5分)对于E={a1，a2，….a100}的子集X={a i1，a i2，…，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中x i1=x i2=…x ik=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为.解析：(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0.故前三项和等于1+0+1=2；(2)∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足P1+P i+1=1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0.其中奇数项为1，偶数项为0.又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，可知：j=1时，q1+q2+q3=1，∵q1=1，∴q2=q3=0；同理q4=1=q7=…=q3n-2.∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1.则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97.∵97=1+(17-1)×6，∴共有17相同的元素.答案：2，17.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=cosx·cos(x-).(1)求f()的值.(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合.解析：(1)将x=代入f(x)解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；(2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合.答案：(1)f()=cos cos(-)=cos cos=-cos2=-；(2)f(x)=cosxcos(x-)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=cos(2x-)+，∴f(x)＜，化为cos(2x-)+＜，即cos(2x-)＜0，∴2kπ+＜2x-＜2kπ+(k∈Z)，解得：kπ+＜x＜kπ+(k∈Z)，则使f(x)＜成立的x取值集合为{x|kπ+，kπ+(k∈Z)}.17.(12分)如图.在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积.解析：(1)根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；(2)根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角.由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1=60°，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1-A1B1E的体积.答案：(1)∵直棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；(2)∵直棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角，∵∠BAC=∠B1A1C1=90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1=A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E，因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1=60°，可得cos∠EC1A1==，得C1E=2A1C1=2，又∵B1C1==2，∴B1E==2，由此可得V=S △×A1C1=×=.18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(Ⅰ)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率.解析：(Ⅰ)根据题意可知所种作物的总株数为1+2+3+4+5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y=51)=，P(Y=48)=，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率.答案：(Ⅰ)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，列表如下.所种作物的平均所收获量为：(51×2+48×4+45×6+42×3)==46，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y=51)=，P(Y=48)=，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.19.(13分)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0，2a n-a1=S1·S n，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{na n}的前n项和.解析：(Ⅰ)令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n-1得到2a n-1-1=S n-1，两个式子相减得a n=2a n-1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出na n=n·2n-1，再由错位相减法求出此数列的前n项和.答案：(Ⅰ)令n=1，得2a1-a1=，即，∵a1≠0，∴a1=1，令n=2，得2a2-1=1·(1+a2)，解得a2=2，当n≥2时，由2a n-1=S n得，2a n-1-1=S n-1，两式相减得2a n-2a n-1=a n，即a n=2a n-1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n=2n-1，即数列{a n}的通项公式a n=2n-1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，na n=n·2n-1，设数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1，①2T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②①-②得，-T n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n，∴T n=1+(n-1)2n.20.(13分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程.解析：(I)由题意可知：F1(-2，0)，F2(2，0)，可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；(II))由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d=，再利用弦长公式即可得到b=.把直线l的方程为x=my+2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论.答案：(I)由题意可知：F1(-2，0)，F2(2，0).故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).则，解得.∴圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4；(II)由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，∴b=.由得(5+m2)y2+4my-1=0.设l与E的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2).则，. ∴a===，∴ab===.当且仅当，即时等号成立.故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即.21.(13分)已知函数f(x)=.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，x1+x2＜0.解析：(I)利用导数的运算法则求出f′(x)，分别解出f′(x)＞0与f′(x)＜0的x取值范围即可得到单调区间；(II)当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(I)可知：x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1).利用导数先证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(-x).而x2∈(0，1)，可得f(x2)＜f(-x2).即f(x1)＜f(-x2).由于x1，-x2∈(-∞，0)，f(x)在(-∞，0)上单调递增，因此得证.答案：(I)易知函数的定义域为R.==，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，单调递减区间为(0，+∞).(II)当x＜1时，由于，e x＞0，得到f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(I)可知：x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1).下面证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(-x)，即证＜.此不等式等价于.令g(x)=，则g′(x)=-xe-x(e2x-1).当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)＜g(0)=0.即.∴∀x∈(0，1)，f(x)＜f(-x).而x2∈(0，1)，∴f(x2)＜f(-x2).从而，f(x1)＜f(-x2).由于x1，-x2∈(-∞，0)，f(x)在(-∞，0)上单调递增，∴x1＜-x2，即x1+x2＜0.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
长沙一中2013届高考适应性考试
长沙一中2013届高考适应性考试数学（文科）试题 2013-05-10考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：高三数学备课组参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率p n (k )=C kn P k (1―P )n ―k球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径球的体积公式V =34πR 3，其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合x x y y x M ,1|),{(2-==、R}∈y ，1|),{(==x y x N ，R}∈y ，则N M 等于A ．{(1,0)}B ．}10|{≤≤y yC ．{1,0}D ．Φ2．如图所示的是2008年北京奥运会的会徽，其中的“中国印”由四个色块构 成，可以用线段在不穿越其他色块的条件下将其中任意两个色块连接起来 (如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种3．已知过球面上A 、B 、C 三点的平面到球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则该球的球面面积为A ．π916B ．π38C ． π932D ．π964 4．已知函数f (x )满足)1(||1)(2xf x x f =-，则f (x )的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．225．如图所示是二次函数c bx ax y ++=2的图像，则||||OB OA ⋅等于A ．ac B ．a c - C ．a c ± D ．无法确定6.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果 将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法数为A ．504B ．210C ．336D ．1207．已知函数f (x )的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f (x )的图像最有可能的是右图 中的8．已知a >0，a ≠0，x a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，均有21)(<x f ，则实数a 的取值范 围是 A ．),2[]21,0(+∞ B ．]4,1()1,41[ C ．]2,1()1,21[ D ．),4[]41,0(+∞ 9．如左图所示，在正四棱锥S -ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界 上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可有 是右图中的10．已知y =f (x )是奇函数，且满足)1()1(-=+x f x f ，当0(∈x ,1)时，xx f -=11log )(2，则y =f (x )在(1,2)内是A ．单调增函数，且f (x )<0B ．单调减函数，且f (x )>0C ．单调增函数，且f (x )>0D ．单调减函数，且f (x )<0第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．圆222=+y x 上到直线04=--y x 距离最近的点的坐标是___________．12．设球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上三点，A 与B 、A 与C 的球面距离都为R 2π，B 与C 的球面距离为R 32π，则球O 在二面角B -OA -C 内的那一部分的体积是______． 13．n x )1(+的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是________．14．若圆锥曲线15222=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是________________． 15．由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列21，41，81，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为71，则此子数列的通项公式为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知定义在区间],2[ππ-上的函数y =f (x )的图象关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时，函数f (x )=sin x ．（Ⅰ）求)2(π-f ，)4(π-f 的值； （Ⅱ）求y =f (x )的函数表达式；（Ⅲ）如果关于x 的方程f (x )=a 有解，那么将方程在a 取某一确定值时所求得的所有 解的和记为M a ，求M a 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围．17．（本小题满分12分）下面是玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点， 乙盒中放一球；若掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球．设掷n 次后，甲、乙、 丙各盒内的球数分别为x 、y 、z ．（Ⅰ）当n =6时，求x ，y ，z 成等比数列的概率；（Ⅱ）当n =3时，求x ，y ，z 成等差数列的概率．18．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1，已知侧面BB 1C 1C 与底面ABC 垂直，且︒=∠90BCA ，︒=∠601BC B ，BC =BB 1=2，若二面角A -B 1B -C 为︒30．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ； （Ⅱ）求AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正切值；（Ⅲ）在平面AA 1B 1B 内找一点P ，使三棱锥P -BB 1C 为正三棱锥，并求P 到平面BB 1C 的距离．19．（本小题满分12分） C AA 1B B 1C 1已知y =f (x )是偶函数，当x >0时，)0()(>+=a xa x x f ，且当]1,3[--∈x 时，m x f n ≤≤)(恒成立，求n m -的最小值．20．（本小题满分13分）设),(111y x P 、),(222y x P 是函数222)(+=x x x f 图象上的两点，且)(2121OP OP OP +=， 点P 的横坐标为21． （Ⅰ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值； （Ⅱ）若*1N ,)(∈=∑=n ni f S n i n ，求n S ； （Ⅲ）记T n 为数列})2)(2(1{1+++n n S S 的前n 项和，若)2(1+<+n n S a T 对一切*N ∈n 都成立，试求a 的取值范围．21．（本小题满分14分） 椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x G 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，M 是椭圆上一点，且满足021=⋅F F（Ⅰ）求离心率e 的取值范围；（Ⅱ）当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为25． ①求此时椭圆G 的方程；②设斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问：A 、B 两点能否关于过点)33,0(-P 、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值 范围；若不能，请说明理由．。
2013年高考真题解析——湖南卷(数学文)纯word版
2013·湖南卷(文科数学)1． 复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 1．B [解析] z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.2． “1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．A [解析] 1<x <2，一定有x <2；反之，x <2，则不一定有1<x <2，如x ＝0.故“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件，选A.3． 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．133．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n120＋80＋60，解得n ＝13，选D.4． 已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．14．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)．根据f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，可得2g (1)＝6，即g (1)＝3，选B.5． 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π125．A [解析] 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A.6．， 函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．A [解析] 方法一：作出函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4的图像如图所示可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)x 1 2 4 f (x )＝ln x 0 ln 2(>0) ln 4(<4) g (x )＝x 2－4x ＋414可知它们有2个交点，选C.7． 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( ) A.32B ．1 C.2＋12D. 2 7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.8． 已知，是单位向量，＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋28．C [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x ，y )，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又||＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知||max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.9． 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32 D.749．D [解析] 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上，则BF ＝AB ，不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋⎝⎛⎭⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74，选D.10． 已知集合U ＝{2，3，6，8}，A ＝{2，3}，B ＝{2，6，8}，则(∁U A )∩B ＝________． 10．{6，8} [解析] 由已知得∁U A ＝{6，8}，又B ＝{2，6，8}，所以(∁U A )∩B ＝{6，8}． 11． 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s(s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a－1，解得a ＝4.12． 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．图1－112．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a ＝1，b ＝2→a ＝3→a ＝5→a ＝7→a ＝9，满足条件，输出a ＝9.13． 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．13．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点B (4，2)处x ＋y 取最大值为6.14． 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝23－1＝3＋1.15．， 对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P ∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．16． 已知函数f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．16．解：(1)f 2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－122＝－14.(2)f (x )＝cos x ·cos x －π3＝cos x ·12cos x ＋32sin x＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos2x －π3＋14. f (x )<14⇔12cos2x －π3＋14<14，即cos2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈，解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈17． 如图1－2所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．(1)证明：AD ⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．图1－217．解：(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以AD ⊥BC .①又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥BB 1.②由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C .由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以AD ⊥C 1E .(2)因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设∠A 1C 1E ＝60°. 因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1， 于是A 1C 1⊥A 1E .故C 1E ＝A 1C 1cos 60°＝2 2.又B 1C 1＝A 1C 21＋A 1B 21＝2， 所以B 1E ＝C 1E 2－B 1C 21＝2.从而V 三棱锥C 1－A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ·A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23.图1－318． 某人在如图1－3所示的直角边长为4 m 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m. (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y 51 48 45 42 频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：Y 51 48 45 42 频数2463所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.19． 设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈ (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)2n .20． 已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程．20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y 0x 0＝1，x 02＋y 02－2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝2.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m 2，所以b ＝2 22－d 2＝41＋m 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 25＋y 2＝1得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5. 于是a ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（1＋m 2）16m 2（m 2＋5）2＋4m 2＋5＝2 5（m 2＋1）m 2＋5.从而ab ＝8 5·m 2＋1m 2＋5＝8 5·m 2＋1（m 2＋1）＋4＝8 5m 2＋1＋4m 2＋1≤8 52m 2＋1·4m 2＋1＝2 5.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立． 故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＝3y ＋2或x ＝－3y ＋2， 即x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0.21． 已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0. 21．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x＝－x （x －1）2＋2（1＋x 2）2e x.当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x <1时，由于1－x 1＋x2>0，e x>0，故f (x )>0； 同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，1)． 下面证明：∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )，即证1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x. 此不等式等价于(1－x )e x －1＋xe x <0.令g (x )＝(1－x )e x －1＋xex ，则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0，即所以∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )． 由x 2∈(0，1)，所以f (x 2)<f (－x 2)， 从而f (x 1)<f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.。
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绝密★启用前2013年长沙市高考模拟试卷（一）数 学（文科）长沙市教科院组织名优教师联合命制 满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卷指定位置上.一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知z 是复数，i 是虚数单位，()z i -1在复平面中对应的点为P ，若P 对应的复数是模等于2的负实数，那么=z A ．i --1B ．i +-1C ．i -1D ．i -2．已知不等式b ax x +-2>0的解集为(-1，2)，m 是a 和b 的等比中项，那么33223b a a m += A ．3B ．-3C ．-1D ．13．以双曲线15422=-y x 的离心率为首项，以函数()24-=xx f 的零点为公比的等比数列的前n 项的和=n SA ．()23123--⨯nB ．n 233-C ．32321-+nD ． 3234n-4．当()x f y =是下列的( )时，f ′(x)一定是增函数。
A ．二次函数B ．反比例函数C ．对数函数D ．指数函数5．已知几何体M 的正视图是一个面积为2π的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为 A ．6π和334πB ．6π+43和338πC ．6π+43和334πD ．4(π+3)和334π7．与抛物线x y 82=相切倾斜角为0135的直线l 与x 轴和y 轴的交点分别是A 和B ，那么过侧视俯视A 、B 两点的最小圆截抛物线x y 82=的准线所得的弦长为 A ．4B ．22C ．2D ．28．已知直线l 与平面α平行，P 是直线l 上的一点，平面α内的动点B 满足：PB 与直线l 成060。
那么B 点轨迹是A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．两直线9．使得函数()()b x a x x x f ≤≤--=5754512的值域为[]()b a b a <,的实数对()b a , 有( )对A ．1B ．2C ．3D ．无数二．填空题：(每大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)选做题（从14题、15题中选一题作答，全做则按14题记分） 10．()x G 表示函数3cos 2+=x y 的导数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,3上，随机取值a ,()1<a G 的概率为 ；11．从正方体的两相邻表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成60o 的概率为 ；12．已知x ∈(0，2π)时，sinx<x<tanx ，若p=23sin 18π+21cos 18π 、oo q 10tan 110tan 22+=,oo r 20tan 3120tan 3+-=,那么p 、q 、r 的大小关系为 ；13．已知向量()y x ,=，()1,2-=x ，设集合{}b a x P⊥=|，{Q =，当x P Q ∈ 时，y 的取值范围是 ；14．（极坐标和参数方程4-4）极坐标系中，质点P 自极点出发作直线运动到达圆：0cos 4=+θρ的圆心位置后顺时针方向旋转60o 后直线方向到达圆周0cos 4=+θρ上，此时P 点的极坐标为 ；15．（优选法和试验设计初步4-7）一个单峰函数()x f y =的因素x 的取值范围是[20，30]，用黄金分割法安排试点，x 1，x 2，x 3，x 4 …中，若x 1<x 2，x 1，x 3依次是好点，则x 4= 。
16．方程a x 2+by 2=1(∈b a ,{1，2，3，4，…，2013})的曲线中，所有圆面积的和等于 ，离心率最小的椭圆方程为 .三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设函数())0(sin sin cos 2cos sin 22πϕϕϕ<<-+=x x x x f 在π=x 处取最小值.(1)求ϕ的值;(2)在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 22)(-=B f ，求值)cos()sin()3sin(2θθθ+++-C C C .18．如图一，△ABC 是正三角形，△ABD 是等腰直角三角形，AB=BD=2。
将△ABD 沿边AB 折起，使得△ABD 与△ABC 成直二面角C AB D --,如图二，在二面角C AB D --中. (1)求证：BD ⊥AC ； (2)求D 、C 之间的距离；(3)求DC 与面ABD19．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当2416≤≤x 时，这种食品市场日供应量p 万千克与市场日需量q 万千克近似地满足关系:()()0,16,1442≥≥-+=t x t x p ，()2416,20ln824≤≤+=x xq 。
当q p =市场价格称为市场平衡价格。
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；（2）为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？ABDC图一图二20．设命题p:函数()1)5(+++=x bx a x f 在(0，+∞)上是增函数；命题q:方程022=-+-+b x a x 有两个不相等的负实数根，若p ∧q 是真命题。
(1)求点P(a ，b)的轨迹图形的面积； (2)求a+5b 的取值范围。
21．数列{n a }中，a 1=3，1)1(21--+=+n a nn a n n ， (1)求a 1、a 2、a 3、a 4；(2)用合情推理猜测n a n -关于n 的表达式(不用证明)； (3)用合情推理猜测{nna n -}是什么类型的数列并证明； (4)求{n a }的前n 项的和。
22．已知)0,41(A ，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若 2=+,()0,4M . (1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线a x =，以PM 为直径的圆与直线a x =的相交弦长为定值，若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。
2013年长沙市高考数学模拟试卷（一） 一．选择题：(本大题共9小题,每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案ADBDCBCAB二．填空题：(每大题共小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中的横线上)10.87 11. 3212. q<p<r13. (-8，1] 14. (23，65π) 15. 21．4616. π2027091； 20122x +20132y =1和20132x +20122y =1，三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解: 解：(1) f (x)=2x x x sin sin cos 2cos sin 2-+ϕϕ=sinx(2cos 22ϕ-1)+cosxsin ϕ= sinxcos ϕ+ cosxsin ϕ=sin(x+ϕ),依题意，sin(π+ϕ)=-1， 0<ϕ<π, ∴ϕ=2π;………………4分(2)由(1) f (x)= sin(x+ϕ)= sin(x+2π)=cosx, 22)(-=B f ，∴cosB= -22，0<B <π, ∴ B=43π； ,2,1==b a 由正弦定理，B A sin sin =b a =21sinA=21， a<b ，∴A<B ，∴0<A<2π, ∴A=6π∴C=π-A -B=12π；………………………9分∴)cos()sin()3sin(2θθθ+++-C C C =)15cos()15sin()45sin(20θθθ+++-oo=)15cos()15sin())15(60sin(20θθθ++++-o o o =)15cos()15cos(60sin 20θθ++oo =3………12分 18.解: 解：(1)依题意，面ABD ⊥面ABC ，AB 是交线，而BD ⊥AB ，∴BD ⊥面ABC ，又AC ⊂面ABC ， ∴ BD ⊥AC ；…………………………4分 (2)由(1)知，BD 面ABC ，而BC ⊂面ABC ，∴ BD ⊥BC ；Rt ∆DBC 中，BC=BA=2，BD=2，∴DC=22BC DB +=2222+=22；…………………8分 (3)取AB 的中点H ，连CH 、DH 和DC ， △ABC 是正三角形，∴CH ⊥AB ，又 面ABC ⊥面ABD ，∴ CH ⊥面ABD ，∴DH 是DC 在面ABD 内的射影， ∴∠CDH 是DC 与面ABD 成的角。
而CH=23BC=3，由(2)DC=22， ∴sin ∠CDH=CD CH =223=46即为所求。
………………12分 19.解: （1）由P=Q 得2(x + 4t -14 )= 24+8ln x20（16≤x ≤24 ，t>0）。
t=213-41x+ ln x20（16≤x ≤24）。
………………………3分 t ′=-41-x 1<0，∴t 是x 的减函数。
∴t min =213-41⨯24+ ln 2420=21+ln 2420=21+ ln 65;………………………5分t max =213-41⨯16+ ln 1620=25+ ln 45, ∴值域为[21+ ln 65，25+ ln 45]…………7分（2）由(1) t=213-41x+ ln x 20（16≤x ≤24）。
而x=20时，t=213-41⨯20 + ln 2020=1.5(元/千克) ……………………9分t 是x 的减函数。
欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克。
……2分 20. 解：(1) f (x) =1)5(+++x bx a ，f ′(x)= 2)1(5+-+x b a ，∴p 真⇔x ∈(0，+∞)时，2)1(5+-+x b a >0⇔a -b+5>0,(2′) 方程x 2+a - x+b -2=0有两个不相等的负实数根ABDCH⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+-->-<--084)(0202b a b a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>-<084020b a b a ， 即q 真⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-+>-<084020b a b a ；…………… 5分 若p ∧q 是真命题。