实变函数复习题(学生用)
实变函数期末考试题
实变函数期末考试题考试题目：本次实变函数期末考试题旨在考察学生对实变函数的理解、分析和应用能力。
考试时间为120分钟，共分为两部分，选择题和解答题。
请同学们仔细阅读每个问题，并在考试纸上作答。
祝各位同学好运！第一部分：选择题选择题共有10道题，每题4分，共40分。
请在A、B、C、D四个选项中选择正确答案，并填涂在答题纸上。
1. 设函数f(x) = x^2 + 2x - 1，那么f'(x)的导函数是：A. 2x + 2B. 2x + 1C. 2x - 1D. 2x + 22. 实变函数f(x) = e^x，则f''(x)的导函数是：A. e^xB. e^x - 1C. e^x + 1D. e^x + e^x3. 设函数f(x) = 3x^2 + 5，那么f(0)的值为：A. 5B. 3C. 0D. 84. 函数f(x) = |x - 2|的定义域为：A. (2, +∞)B. (-∞, 2)C. [2, +∞)D. (-∞, +∞)5. 函数f(x) = log(2x - 1)的定义域为：A. (1/2, +∞)B. (-∞, 1/2)C. [1/2, +∞)D. (-∞, +∞)6. 函数f(x) = sin(2x)的最小正周期为：A. πB. 2πC. π/2D. π/47. 函数f(x) = arctan(x)的值域为：A. (-∞, +∞)B. (-π/2, π/2)C. (-π/4, π/4)D. [0, π/2)8. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x)的导数为：A. 1/xB. xC. x - 1D. 1/(x - 1)9. 函数f(x) = x^3在闭区间[0, 1]上的最大值为：A. 27B. 9C. 1D. 310. 函数f(x) = sqrt(x)在闭区间[0, 4]上的最小值为：A. 0B. 1C. 2D. 4第二部分：解答题解答题共有3道题，共60分。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数复习题
1.若E有界,则m*E<正无穷2.可数点集的外测度为零3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为07.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B）8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。
10.设是一列可测集，证明和都是可测集且11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=012.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A）13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。
设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。
次可数可加性证明卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？2.设{fn}为E上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。
散点集也是可测的。
3.设E是[0，1]中的不可测集，令问f（x）在[0，1]上是否可测？|f（x）|是否可测？4.设fn（x）（n=1，2，...）是E上a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数f，则对任意的e>0存在常数c与可测集E0包含于E，m（E\E0）<e,使在E0上对一切n有|fn（x）|<=c.这里mE<无穷。
实变函数复习题.docx
《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
实变函数(复习资料_带答案)资料
集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
（第 7 页，共 19 页）
3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
实变函数复习题
《实变函数》一、单项或多项选择题1、下列正确的是（ 2 3 4 ）（1）\(\)(\)\A B C A B C = （2）()()()A B C A B A C =（3）()()cc \AB C AB C = （4）()(\)\\A B C A B C =2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集；（2）超越数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q 表示全体有理数集，则2014Q 是可数集.3、在R 中令111{1,,,,},23A n=则（ 3 4 ） （1）A 为闭集 （2）A 为开集 （3）{}'0A = （4）A 为疏集 4、设A R ⊂满足0mA =，则（ 1 3 ）（1）A 为Lebesgue 可测集 （2）A 为可数集 （3）任意可测函数f 在A 上可积 （4）A 为疏集5、在R 上定义()f x ，当x 为有理数时，()1f x =，当x 为无理数时，()0f x =，则（ 3 4 ）（1） f 几乎处处连续 （2）f不是可测函数（3） f 在R 上处处不连续 （4）f 在R 上为可测函数 6、设,(X),n f f M ∈则（1 2 3 4 ）（1）()f M X +∈ （2）()f M X ∈（3）()2f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈7、若f 在[]0,1上L 可积，则下列成立的是（ 1 2 ）（1）f <+∞在[]0,1上几乎处处成立 （2）f 在[]0,1上L 可积 （3）f 在[]0,1上几乎处处连续 （4）2f 在[]0,1上非L 可积8、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 13 ）（1）若,..,n f f a u →则,.e.;n f f a →（2）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,n f f μ→则,...n f f a u →9、若{}n A 为降列，且12A μ=，则lim n n A μ→∞（ 4 ）（1）0 （2）∅ （3）1n n A μ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）1n n A μ∞=⎛⎫⎪⎝⎭10、有界实函数f 在区间[]a b ，上Riemann 可积的充要条件是f 的不连续点集为（ 4 ） （1）空集 （2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集 11、设[],f BV a b ∈，则下列成立的是（ 1 4 ） （1）f 在[],a b 上有界； （2）f 在[],a b 上连续； （3）f 在[],a b 上可微； （4）f 是两个增函数之差.12、整数集的内部和闭包分别为（ 1 ）（1）∅， （2）， （3）∅， （4），13、设()[](],0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，令()12A x f x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则mA =（ 2 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）314、下列哪些集合是测度为零的不可数集（ 3 ）（1） （2） （3）Cantor 集 （4）15、设()[]1013,10,0,1\x n f x x n ⎧⎧⎫∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎧⎫⎪∈⎨⎬⎪⎩⎭⎩，则()[]0,1f c dm =⎰（ 1 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）103 16、超越数的个数为（ 3 ）（1）2 （2）a （3）c （4）2c17、[0,1],(0)2,f AC f ∈=且0,.f a e '=，则()f x = 3 （1）0 （2）1 （3） 2 （4）318、设12,A A 是R 的可测集，且12A A ，则下列正确的是（ 2 4 ）（1）12mA mA < （2）12mA mA ≤（3）()1212\mA mA m A A -= （4）()1122\mA m A A mA =+ 19、当f 在[)1,+∞上连续且Lebesgue 可积时，则lim ()x f x →+∞= 1（1） 0 （2）1 （3）-1 （4）+∞ 20、21[0,1]n A -=，2[0,2]n A =,()1,2,n =，则lim n nA 和lim n nA 分别为（ 3 ） （1） [][]0,1,0,2 （2）[][]0,1,0,2 （3）[][]0,2,0,1 （4）[][]0,2,0,2 21、下列正确的是（1 4 ） （1）()()()\\C \AB C A B C = （2）()()A B C A B C =（3）\(\)(\)\A B C A B C = （4）()(\)\\A B C A BC =22、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 2 4 ） （1）()1A ff A -= （2）()()()111f AB f A f B ---= （3）()1B f f B -= （4）()()()111f A B f A f B ---=23、下列与有相同基数的集合是（ 2 3 ）（1） []0,1 （2） （3）（4）24、设A 是[]0,1上所有有理数构成的集合，则'A =（3 ） （1） A （2）[]0,1\A （3）[]0,1 （4）以上都不对 25、下列说法正确的是（ 1 2 3 ） （1）是上的闭集（2）上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（3）是上的疏集（4）的子集不是开集就是闭集 26、下列正确的是（ 1 ） （1）有理数集是可数集；（2）代数数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等，则它们的基数也相等； （4）[]0,2内包含的点比[]0,1内包含的点多。
实变函数(复习资料_带答案)资料
2页，共19页） 3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数 4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页，共19页） 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设,MN是两集合，则 ()MMN=（ ） (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()fx是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积； (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集，则 P ，mP_____，oP=________。 3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS 4、鲁津定理：__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
(完整版)实变函数(复习资料_带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数复习题(学生用)
实变函数复习题一、填空题1. 设10,1i A i ⎡⎫=+⎪⎢⎣⎭,1,2,.i = 则1i i A ∞== . 2. 若A =ℵ, B =ℵ, 则=⋃B A 。
3. 给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 .4. 设222{(,):1}E x y R x y =∈+<, 则E '= 。
5. 设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间 。
6. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是开集.7. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是闭集.8. 设12,E E 为可测集，且21,E E ⊂2mE <+∞，则12()m E E -= 。
9. 设0x 为E 的内点，则*m E 0。
(填大于、等于或小于)10. 设Q 是有理数集，则mQ = 。
11. 设I 为n R 中的开区间，则*m I = 。
12. 设C 是Cantor 集，则mC = 。
13. 叙述可测函数的四则运算性 。
14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。
15. (鲁津定理)设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则0δ∀>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在 上是连续函数,且()m E F δδ-<.16. 叙述伯恩斯坦定理 。
17．叙述可测集与开集的关系 。
18. 叙述测度的可数可加性 。
19. 叙述叶果洛夫定理 。
20. 叙述()k f x 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义 。
21. 叙述中开集的结构定理 。
22. 叙述R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即 C.Caratheodory 定义) 。
23. 叙述测度的可数可加性 。
24. 叙述可测函数的定义 。
25. 叙述F.Riesz 定理(黎斯定理) 。
二、单选题1. E 是实数全体，则E 是 ( )A. 可数集；B.不可数集；C.有限集；D.不可测集.2. 有限个可数集的并集是 ( )A.可数集；B.不可数集；C.有限集；D.以上都不对.3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集, 则 ( )A. A B 是可数集；B. A B 是不可数集；C. 0A B =ℵ ；D. A B A = .4. 设{}G λλ∈Λ是一族开集,G G λλ∈Λ= , 则G 一定是 ( ) A. 开集; B. 闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.5. 点集E ⊂R n 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A. 开核;B. 边界;C. 导集;D. 闭包.6. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ= ,则F 一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.F σ型集; D. 开集，也是闭集.7. 设{}n F 是一列闭集,1n n F F∞== ,则F 一定是 ( )A.开集;B.闭集;C.F σ型集;D. 开集，也是闭集.8. 设Q 是1中有理数全体，则mQ = ( )A.0;B.+∞;C.1;D.不存在.9. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是A. P 无内点;B. P 中的点都为孤立点;C. P 中的点都为聚点;D. P 是闭集.10. 设E 是任一可测集, 则 ( )A.E 是开集; B ．E 是闭集;C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得()m G E ε-<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.11. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂ ,则有 ( ) A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 12. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃ ,1mE <+∞,则有 ( )A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ; C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )A. 简单函数一定是可测函数;B. 简单函数列的极限是可测函数;C. 简单函数与可测函数是同一概念;D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.14. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )A ．{}sup ()n nf x 是可测函数;B ．{}inf ()n nf x 是可测函数; C. 若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则()f x 是可测的; D ．若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则() ()n f x f x → a .e . 于E . 15. 若)(x f 是连续函数，则它必是. ( )A. 可测函数；B. 单调函数；C.简单函数；D.连续函数列的极限.16. 设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( ) A.|)(|x f ； B.)(x f ； C.)(x f +； D.)(x f -。
实变函数(复习资料,带答案).doc
《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数第五章复习题及解答
第五章 复习题一、判断题1、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，由于()baV f 总存在，所以()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（× ）2、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数⇔()baV f <+∞。
（√ ）3、设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（√ ）4、设()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。
（√ ）5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。
（√ ）6、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则()()()bcbaacV f V f V f =+。
（√ ）7、设[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数的充要条件是()f x 既是[,]a c 上的有界变差函数，也是[,]c b 上的有界变差函数。
（√ ） 8、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 既是[,]a b 上的一致连续函数，也是()f x 是[,]a b 上的连续函数。
（√ ） 9、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。
（√ ） 10、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 一定是[,]a b 上的绝对连续函数。
（× ） 11、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，()g x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()()f x g x ±，()()f x g x 都是[,]a b 上的绝对连续函数。
实变函数测试题与答案
实变函数测试题与答案实变函数试题⼀，填空题1. 设1,2n A n ??=,1,2n = ,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的⼀⼀映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ?= . 4. 若集合nE R ?满⾜E E '?, 则E 为集.5. 若(),αβ是直线上开集G 的⼀个构成区间, 则(),αβ满⾜:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体⽆理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上 .8. 设nE R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上⼏乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的⼦列{}()j n f x , 使得 .⼆, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n ?=的闭集.4. 任意多个闭集的并集是闭集.三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中⼼,有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→→∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??.求10(L)()f x dx ?.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3 x , ⽽在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n = , 求1()f x dx ?.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+?.实变函数试题解答⼀填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a ππ=--∈??-??3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??=≠≤6. b a -.7. ⼏乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.9. lim ()()0n n mE f x f x σ→∞-≥= 10. ()()n f x f x → a.e.于E . ⼆判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=?.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ??=-, 3,4n = 是⼀系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞== 不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,使得E I ?, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ . 三, 计算证明题. 1. 证明如下:()()()()()()()()S SS S S A B C A B CA B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何⼀个元素可以由球⼼(,,)x y z , 半径为r 唯⼀确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞== , 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从⽽()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()132030(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中⼀切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+===∑??∑?∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +?存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +?的值相等. 易知323232323211sin .11122nx nx nx nx n x n x n x x x≤≤?≤+++ 由于12x 在()0,1上⾮负可测，且⼴义积分1012dx x收敛，则12xlim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n xnx nx dx n x dx →∞→∞→∞=++?? = ?+?? ==.⼀、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每⼩题3分）1.⾮可数的⽆限集为c势集2.开集的余集为闭集。
实变函数复习题
一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。
2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。
3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。
4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。
证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。
5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。
证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。
6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。
7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。
8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。
9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。
求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。
10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。
实变函数复习题(一)
实变函数复习题(一)实变函数复习题实变函数是数学分析中一门重要的课程，是几乎所有科学学科的一个基础，也是微积分的基础。
在学习实变函数的过程中，我们需要复习一些理论知识和解题技巧。
以下是一些重要的复习题目。
一、理论知识1. 实变函数的定义和性质2. 连续性和一致连续性的定义及其关系3. 极限的定义及其性质4. 导数的定义及其性质5. 高阶导数的定义及其性质6. 麦克劳林公式及其应用7. 极值和最值的定义及其求解方法8. 函数的单调性、凸性和拐点的定义及其求解方法9. 不定积分的定义及其性质10. 定积分的定义及其性质11. 变限积分和重积分的定义及其性质12. 广义积分的定义及其性质二、解题技巧1. 理解定理的证明过程，掌握其具体应用2. 运用极限的定义求解无穷小量、无穷大量等问题3. 对于特殊函数如三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数等，需要熟悉其性质和求导规则4. 对于一些常用函数的不定积分，如$\int \frac{1}{x^2+a^2}dx$，$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$，$\int e^{ax}dx$，需要掌握其求解方法5. 对于求解最大值、最小值、拐点等问题，需要作图、求导、判别法等多种方法相结合6. 对于解决变限积分、重积分、广义积分等问题，需要根据相关定理进行计算和判定三、练习题1.$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}$2.证明函数$f(x)=x^3$在$x=0$处连续，但不一致连续3.证明$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$4.求函数$f(x)=x^5-5x^4+10x^3+10x^2-5x+1$的极值和最值5.求函数$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$的单调性、凸性和拐点6.求$\int\limits_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$7.求$\iint\limits_D(x^2+y^2)dx dy$，其中$D$是由$x^2+y^2=1$及$x^2+y^2=4$围成的区域8.求$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{1+x^2}dx$的值9.证明$\int_1^\infty\frac{1}{x^\alpha}dx$收敛当且仅当$\alpha>1$10.证明$\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}$以上是实变函数复习的一些基本知识、技巧和练习题，通过对这些内容的熟练掌握和灵活运用，可以在以后的学习和科研中起到重要的作用。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
实变函数试题库参考答案
实变函数试题库参考答案(共37页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《实变函数》试题库及参考答案（完整版）选择题1,下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、全体自然数B 、0,1 之间的实数全体C 、[0, 1]上的实函数全体D 、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{全体小个子}D 、{x ：x>1}3、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体小孩子}B 、{全体整数}C 、{x ：x>1}D 、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是:（ ）A 、{全体实数}B 、{全体大人}C 、{x ：x>1}D 、{全体整数}7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I∈⋃= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)8、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1]9、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、(0, +∞)10、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、(1, 2)11、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}12、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0}13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2]B 、[0, 2]C 、[0, 1]D 、[0, 1]15、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞)16、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ 17、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 18、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0, n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 19、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(A-B)= ( )A 、B B 、AC 、A ⋂BD 、A ⋃B20、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋃C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C21、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B ⋂C)= ( )A 、(A-B)⋂(A-C)B 、(A-B)⋃(A-C)C 、A ⋂BD 、A ⋂C22、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s -= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B A C s ⋂23、设A 、B 、S 是三个集合, 且S A ⊂, S B ⊂, 则)(B A C s ⋃= ( )A 、BC A C s s ⋃ B 、B C A C s s ⋂ C 、B A C s ⋃D 、B C A s ⋃24、设A 、B 、C 是三个集合, 则A-(B-C) = ( )A 、 A ⋃C-B B 、 A-B-C C 、 (A-B)⋃(A ⋂C)D 、 C-(B-A)25、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包26、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包28、E-E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}29、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包30、设点P 是集合E 的边界点, 则 ( )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点31、设)3,2()1,0(⋃=G , 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(21, 1) C 、[0, 1] D 、(0, 2) 32、设)1,0(1=G , )2,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(-1, 21) D 、(-1, 2) 33、设)4,0(1=G , )4,3()1,0(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(3, 4)C 、(0, 4)D 、 (1, 4)34、设)1,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 3)C 、(0, 4)D 、(1, 4)35、设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(0, 1)B 、(0, 2)C 、(1, 2)D 、(1, 4)36、设)2,1()1,0(1⋃=G , )23,21()0,1(2⋃-=G 21G G G ⋃=, 则下列那一个是G 的构成区间: ( )A 、(21, 23) B 、(1, 2) C 、(0, 1) D 、(-1, 0) 37、若B A ⊂ ，则下列命题错误的是： ( )A 、B A ⊂ B 、A ＇⊂B ＇C 、B A ∂⊂∂D 、B A ⊂38、若C B A =⋃, 则下列命题正确的是：（ ）A 、 CB A =⋃ B 、 A ＇⋃B ＇=C ＇ C 、C B A ∂=∂⋃∂D 、{A 的孤立点}⋃{B 的孤立点}={C 的孤立点}39、若C B A =⋂, 则下列命题错误的是：（ ）A 、 CB A =⋂ B 、C ＇⊂ A ＇⋂B ＇ C 、C B A =⋂D 、{A 的孤立点}⋂{B 的孤立点}={C 的孤立点}40、设CA 是A 的余集，则下列命题正确的是：（ ）A 、 )()(CA A C =B 、)(CA A ∂=∂C 、C(A ＇)＝（CA ）＇D 、CA A C =)(41、设A －B=C, 则下列命题正确的是：（ ）A 、CB A ∂=∂-∂ B 、C B A =- C 、A ＇－B ＇＝C ＇D 、{A 的孤立点}－{B 的孤立点}={C 的孤立点}42、 (2-4-1-2) 下列命题错误的是：（ ）A 、A 是闭集B 、A ＇是闭集C 、A ∂是闭集D 、 A 是闭集43、若A 是闭集，B 是开集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断44、若A 是开集，B 是闭集，则A －B 是：（ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断45、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断46、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断47、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断48、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断49、若]1,0[ Q E =，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、350、下述结论（ ）正确.A 、E m E m **>B 、E m E m *≥*C 、E m E m **<D 、E m E m **≤51、下列说法正确的是（ ）A 、xx f 1)(=在（0，1）有限 B 、xx f 1)(=在)1,21(无界 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]1,0(,1)(x x x x f ，在[0，1]有界 52、函数列n n x x f =)(在[0，1]上（ ）于0.A 、a ，e 一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、基本上一致收敛53、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=E x E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -54、若)(x f 可测，则它必是（ ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限55、若Q E -=]1,0[，则=mE （ ）A 、0B 、1C 、2D 、356、下列说法不正确的是（ ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、n R 的测度无限57、（4-4-2-1）下述论断正确的是（ ）A 、x x f tg )(=在)4,0(π无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2,)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有限 C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=2,1)2,0[,tg )(ππx x x x f 在]2,0[π有界 D 、x x f tg )(=在)2,0(π有限58、函数列n n x x f )21()(=在[0, 2]上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、.一致收敛59、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -60、一个函数在其定义域中的（ ）点处都是连续的.A 、边界点B 、内点C 、聚点D 、孤立点.61、0P 是康托尔（cantor ）集，则=0mP （ ）A 、0B 、1C 、2D 、362、设A 是B 的真子集，则（ ）A 、B m A m **< B 、B m A m **≤C 、B m A m **>D 、B m A m **≥63、下列说法正确的是（ ）A 、x x f ctg )(=在)2,4(ππ无界 B 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]2,0(ctg )(x x x x f π在]2,0[π有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,1]2,0(ctg )(x x xx f π在]2,0[π有界 D 、x x f ctg )(=在)2,0(π有限64、函数列n n n x x f 2)(=在]21,0[上（ ）于0. A 、收敛 B 、一致收敛、 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛65、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ ）. A 、)(x f B 、)(x f + C 、|)(|x f D 、)(x f -66、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f67、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、368、设21,S S 都可测，则21S S （ ）A 、可测B 、不可测C 、可能可测也可能不可测D 、以上都不对 69、下列说法正确的是（ ） A 、x x f sec )(=在)4,0(π上无界B 、x x f sec )(=在)4,0(π上有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=2)2,0[sec )(ππx x xx f 在]2,0[π上有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=21)2,0[sec )(ππx x x x f 在]2,0[π上有界 70、函数列n n n x x f 3)(=在]31,0[上（ ）于0 A 、收敛 B 、一致收敛 C 、基本上一致收敛 D 、a. e.一致收敛71、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 72、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数 73、()=-)2,1()1,0( m ( ) A 、1、 B 、2 C 、3 D 、4 74、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）A 、mB mA ≥ B 、B m mA *≥C 、B m mA *=D 、以上都不对 75、下列说法正确的是（ ） A 、21)(x x f =在(0, 1)有限、 B 、21)(xx f =在]1,21[无界C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0,]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有限D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=1,1]1,0(,1)(2x x x x f 在[0, 1]有界76、函数列x x f n n sin )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、收敛B 、基本上一致收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛77、设⎩⎨⎧-∈∈-=Ex x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f - 78、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念79、()=-]3,2()1,1[ m （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 80、L 可测集类，对运算（ ）不封闭.A 、可数和B 、有限交C 、单调集列的极限D 、任意和. 81、下列说法正确的是（ ） A 、31)(x x f =在)1,21(无界 B 、31)(xx f =在)1,0(有限C 、⎪⎩⎪⎨⎧=∞+∈=0]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有限 D 、⎪⎩⎪⎨⎧=∈=01]1,0(1)(3x x xx f 在[0, 1]有界82、函数列x x f n n cos )(=在]2,0[π上（ ）于0.A 、基本一致收敛B 、收敛C 、一致收敛D 、a. e.一致收敛83、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f - 84、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上.收敛于.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f85、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 86、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积B 、)(x f +与)(x f -皆可积C 、)(x f +与)(x f -不一定可积D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 87、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ）A 、)(x f 在E 上不一定可测B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0D 、)(x f 在E 上不可积 88、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数89、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 90、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 1 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 17、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋂=8、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, 则ααA I∈⋃=9、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋂=10、若I A ∈αα}{是任意集族, 其中I 是指标集, S 是一集合, 则)(ααA C IS ∈⋃=11、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim12、若}{n A 是任意一个集合列, 则=∞→n n A lim13、欧氏空间n R 中, 任意两点),,(21n x x x x =, ),,(21n y y y y =的距离d(x, y)=14、C[a, b]空间中,任意两元素x(t), y(t) 的距离 d(x, y)= 15、2l 空间中, 任意两元素 ),,,(21 n x x x x =, ),,(21 n y y y y =的距离 d(x, y)=16、欧氏空间2R 中, 任意两点),(21x x x =, ),(21y y y =的距离 d(x, y)= 17、欧氏空间3R 中, 任意两点),,(321x x x x =, ),,(321y y y y =的距离d(x, y)=18、欧氏空间4R 中, 任意两点),,,(4321x x x x x =, ),,,(4321y y y y y =的距离d(x,y)=19、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E =20、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E =21、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ∂= 22、设2R X =,}1:),{(22<+=y x y x E ,则E ＇=23、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则 E ∂= 24、设3R X =, }1:),,{(222<++=z y x z y x E , 则E ＇= 25、设A= [0, 1] , B = [3, 4] , 则 d(A, B) = 26、设C 是康托完备集, G= [0, 1]－C , 则d (C, G) = 27、设C 是康托完备集, 则C 的半径)(C δ=28、两个非空集合A, B 距离的定义为 d (A, B ) = 29、一个非空集合A 的直径的定义为)(A δ= 30、设A = [0, 1] ⋂Q, 则)(A δ=31、nR E ⊂，对每一列覆盖E 的开区间 ∞=⊃1i i E I ，定义=E m *________。
（完整版）实变函数期末复习
（完整版）实变函数期末复习实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则（）A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （） A.（-1,1） B.[0,1] C.? D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的（）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是（）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是（）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是（）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ?)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上（）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则?=10)()(dx x D L （）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛn E E E 21，且+∞<1mE ，则有（）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤??? ???lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=?B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=?B A5、若c A =, n B =, 则=?B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =?∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实变函数复习题一、填空题1. 设10,1i A i ⎡⎫=+⎪⎢⎣⎭,1,2,.i = 则1i i A ∞== . 2. 若A =ℵ, B =ℵ, 则=⋃B A 。
3. 给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 .4. 设222{(,):1}E x y R x y =∈+<, 则E '= 。
5. 设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间 。
6. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是开集.7. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是闭集.8. 设12,E E 为可测集，且21,E E ⊂2mE <+∞，则12()m E E -= 。
9. 设0x 为E 的内点，则*m E 0。
(填大于、等于或小于)10. 设Q 是有理数集，则mQ = 。
11. 设I 为n R 中的开区间，则*m I = 。
12. 设C 是Cantor 集，则mC = 。
13. 叙述可测函数的四则运算性 。
14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。
15. (鲁津定理)设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则0δ∀>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在 上是连续函数,且()m E F δδ-<.16. 叙述伯恩斯坦定理 。
17．叙述可测集与开集的关系 。
18. 叙述测度的可数可加性 。
19. 叙述叶果洛夫定理 。
20. 叙述()k f x 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义 。
21. 叙述中开集的结构定理 。
22. 叙述R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即 C.Caratheodory 定义) 。
23. 叙述测度的可数可加性 。
24. 叙述可测函数的定义 。
25. 叙述F.Riesz 定理(黎斯定理) 。
二、单选题1. E 是实数全体，则E 是 ( )A. 可数集；B.不可数集；C.有限集；D.不可测集.2. 有限个可数集的并集是 ( )A.可数集；B.不可数集；C.有限集；D.以上都不对.3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集, 则 ( )A. A B 是可数集；B. A B 是不可数集；C. 0A B =ℵ ；D. A B A = .4. 设{}G λλ∈Λ是一族开集,G G λλ∈Λ= , 则G 一定是 ( ) A. 开集; B. 闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.5. 点集E ⊂R n 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A. 开核;B. 边界;C. 导集;D. 闭包.6. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ= ,则F 一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.F σ型集; D. 开集，也是闭集.7. 设{}n F 是一列闭集,1n n F F∞== ,则F 一定是 ( )A.开集;B.闭集;C.F σ型集;D. 开集，也是闭集.8. 设Q 是1中有理数全体，则mQ = ( )A.0;B.+∞;C.1;D.不存在.9. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是A. P 无内点;B. P 中的点都为孤立点;C. P 中的点都为聚点;D. P 是闭集.10. 设E 是任一可测集, 则 ( )A.E 是开集; B ．E 是闭集;C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得()m G E ε-<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.11. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂ ,则有 ( ) A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 12. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃ ,1mE <+∞,则有 ( )A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ; C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )A. 简单函数一定是可测函数;B. 简单函数列的极限是可测函数;C. 简单函数与可测函数是同一概念;D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.14. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )A ．{}sup ()n nf x 是可测函数;B ．{}inf ()n nf x 是可测函数; C. 若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则()f x 是可测的; D ．若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则() ()n f x f x → a .e . 于E . 15. 若)(x f 是连续函数，则它必是. ( )A. 可测函数；B. 单调函数；C.简单函数；D.连续函数列的极限.16. 设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( ) A.|)(|x f ； B.)(x f ； C.)(x f +； D.)(x f -。
17. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意的实数a ,有 ( )A ．()E f a ≥是闭集;B ．()E f a >是开集;C. ()E f a =是零测集; D ．以上都不对.18. 设()f x 是定义在E 上的实值函数.令{}()max (),0f x f x +=, {}()max (),0f x f x -=-, 则下述哪个说法不成立的是 ( )A ．()f x +与()f x -都是定义E 上的非负函数;B ．()()()f x f x f x +-=-,()()()f x f x f x +-=+; C. (0)(0)E f E f +-≥≥=∅ ;D ．()f x 在E 上可测⇔()f x +与()f x -都在E 上可测.19. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中错误的是( )A ．{}sup ()n n f x 是可测函数;B ．{}inf ()n nf x 是可测函数;C. 若()()n f x f x ⇒,则()f x 是可测的; D ．若()()n f x f x ⇒,则() ()n f x f x →.20. 设在可测集E 上()()n f x f x ⇒,()()n f x g x ⇒. 则 ( )A.()()f x g x =,x E ∈;B. ()()f x g x ≠,x E ∈;C. ()()f x g x =..a e 于E ;D. ()()E Ef x dxg x dx =⎰⎰. 21. 设()f x 是可测集E 上的可测函数,则()f x 是 ( )A. ()f x 在E 上基本一致连续;B. ()f x 在E 上几乎处处连续;C.存在简单函数列{}()n x ϕ使()()n x f x ϕ→.a e 于E ;D. ()0mE f =+∞=.22. 集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包23. 集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包24. 集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包25. E -E ＇所成的集合是 ( )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点}26. E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A 、开核B 、边界C 、导集D 、闭包27. 设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ ）（A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE =28. 若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是： （ ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断29. 若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断30.若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断31.若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是： （ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断三、判断题1、任意集合都有子集 。
（ ）2、E 的孤立点必然属于E. （ ）3、lim {|n n A x →∞=当n 充分大以后都有}.n x A ∈. （ ） 4、 若+∞<mE ，且f f n ⇒，)()(lim x f x f n n =∞→ a , e 于E （ ） 5、函数()f x 在E 上可测，当且仅当对于每一个实数a ,集合()E f a =可测. （ × ）6、若0=mE ，则E 一定是可数集 （ ）7、设M 是n R 中的紧集，则M 是n R 中的有界闭集. ( )8、凡博雷尔集都是可测集.. ( )9、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(+∞=f E 也可测。
（ ）10、若+∞<mE ，且f f n ⇒，)()(lim x f x f n n =∞→ a , e 于E （ ） 11、设21,S S 都可测，则21S S -也可测，且2121)(mS mS S S m -=-。
（ ）12、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意可测子集上也可测（ ）。
13、若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上可测（ ）14、设A ,B 是两个集合，则()A B B A -= 。
（ ）15、E '和E 都是闭集。
（ ）16、对任意nE R ⊆，*m E 都存在。
（ ） 17、任何可测集总可表示成某个Borel 集与零测集的差集。
（ ）18、若E 是无限集，且*0m E =，则E 是可数集。
（ ）19、设()f x 是定义在可测集n E R ⊆上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数等价于对某个实数a ， [()]E x f x a ≥为可测集。
（ ）20、设E 是零测集，()f x 是E 上的实函数，则()f x 为E 上的可测函数。