竞赛讲义-力矩平衡——上课

解： F 2 ( m g s in)2 fm a x m gc o s
F
F m inm g 2c o s2 sin 2
2.40(N)
f
s in m g s in ta n 0 .7 2 2 4 6 .2 0 fm a x
F
mg sin
力矩、定轴转动物体的平衡
决定物体转动效果的两个因素：1.力的大小；2.力臂。 力和力臂的乘积越大，力对物体的转动作用就越大
tan P1 2P2
2F
（2） 以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此
N F2 P22
N
N 的方向与水平线的夹角满足：
A
F
ta n P2
F
B P2
两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚
性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示。
已知小球a和b的质量之比为 3 ，细杆长度是球面半 径的 2 倍。两球处于平衡状态时，细杆与水平面的
夹角 是： （ D ）
O
A． 45° C．22.5°
B．30° D．15°
b a
θ
解： 细杆长度是球面半径的 2倍, ∴∠aOb=90°
过O作竖直线OD，作ab的垂线OC，
aO D 4 5
由力矩平衡条件，ΣMO =0
m a g R sin m b g R cosO
tan mb 3
ma
，
M3= 3 N·m ；其中使直角尺向逆时针方向转动的力
矩有 M2 、M3 ，使直角尺向顺时针方向转动的力矩
有 M1 ，试判断尺能否平衡？
A●
F2
30cm
●
B
40cm
C
F3
F1
如图所示，一根轻质木棒AO，A端用光滑铰链固定于墙上，
在O端下面吊一个重物，上面用细绳BO系于顶板上，现将B点 逐渐向右移动，并使棒AO始终保持水平，则下列判断中正确
2 将（1）式代入（2）式，可解得
F = 2 mg 4
O
A
C
D B
O
F
l
mg
A
D
fA
2．当 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球后，三棒的受力
情况都发生了改变，且不再对称，但 OB 与 OC 两棒受力情况 相同，此二棒顶端的受力可看成是除原受力 F 外，再各受一个
Mg L F L 2
F Mg 2
若不发生相对滑动，此时应满足
F Mg
1 2
FC
后
M A
G
6．质量为 m，长为 l 的均匀杆 AB，下端靠在竖直墙
上，借助绳 CD 保持倾斜状态。如图所示，绳的一端系
在墙上 C 点，一端系在杆上 D 点， AD 2 AB ，绳和 3
墙成 角，杆和墙成 角平衡。试求：为保持平衡，
到临界状态时，定义tanφ0=μs=fm/N， 则称φ0为静摩擦角。
例 2.1 如图所示，有一固定的斜面，其倾角=300，一质
量为 m=0.5kg 的物体置于斜面上，它与斜面之间的摩擦系
数为=0.8。起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边
缘平行的力 F 作用在物体上，F 从零逐渐增大。问：F 为 多大时，物体开始运动，开始运动的方向怎样？
平衡时： M顺= M逆（杠杆的平衡只是两个力矩的平衡）
拓展 三个力矩平衡时： M顺= M逆
一直角尺可绕过A点垂直纸面的轴转动，直角尺AB
边的长度为30cm , BC边的长度为40cm ，F1=F2=F3=10N ,
F1⊥BC ，F2⊥AC ，F3沿着BC的方向 (如图 )，则此三个
力对轴A的 力矩M1= 4 N·m ， M2= 5 N·m
O
A
C
B
1．三根棒的顶端相互靠在一起，如图所示。
由对称性可知，任何一棒（如 OA 棒）的顶端受到其余两棒对
它的作用力的合力 F 必沿水平方向。如图所示，D 是 BC 的中点，有
AD= DO= 3 l 2
cos = 3 （1）
3
由 OA 棒所受外力相对 A 点力矩平衡，得 Fl sin -mg l cos =0 （2）
墙面和杆间摩擦系数应取多大？
你可能需要的公式：
sin sin cos cos sin
C
A
cos cos cos m sin sin
a sin b c o sa 2 b 2sin ( )
D
( 为辅助角， tana )
B
b
解: 杆平衡时，取 B 轴，受力如图，则
T l sin( ) G l sin
取两个球整体为研究对象，则地面对球的支持力
N 2P
取筒及两个球组成的系统为研究对象，受力情 况如图所示
N(2R r) Q R P r P(2R r) N
O2
Q 2(R r) P R
O1
P
P
Q
如果筒有底，则筒底总有弹力，因此筒无论如何都
不会翻。
25
解法二：（隔离法）
O2 球受力如图所示，根据平衡条件可知
3
2
T
3sin
G
2 sin( )
沿水平竖直方向分解，则可得：
f [1 3sin cos ]G 2 sin( )
N 3sin sin G 2 sin( )
C
A
T
D
B
G
故若 f 0 ，即 2tg tg 时， 可取任意值。
若 f 0 ，即 f 方向向上，即 2tg tg 时， 1 ( 2 1 )
O
α
解：
（1 ）球 受 力 情 况 如 图 所 示 ，以 球 与 斜 面
交点为转动轴，根据力矩平衡可得
T (R R cos ) GR sin T GR sin 10 N R R cos
T
NO
A
f GB
α
（2）解法一：
以 球 心 为 转 轴 ， 由 力 矩 平 衡 条 件 得 fR TR
力偶：二个大小相等、方向相反而不在一直线上 的平行力称为力偶。 力偶中的一个力与力偶臂（两力作用线之间的垂 直距离）的乘积叫做力偶矩。
转动平衡：有转动轴的物体在力的作用下，处于 静止或匀速转动状态。
即：力矩的代数和为零或所有使物体向顺时针方向转动的 力矩之和等于所有使物体向逆时针方向转动的力矩之和。
3
β
β
θ
b
a
θC
30
D
mbg
4 53 0
mag
12 、 如 图 所 示 ， 均 匀 球 重 为 G 30N , 放 在 倾 角 为
37 的 固 定 斜 面 上 ， 球 的 顶 端 用 一 根 水 平 绳 子 拉
住，球静止。求： （1）绳子对球的拉力 T ；
（2）斜面对球的弹力 N 和摩擦力 f 。
α
1．两个质量分布均匀的球，半径为 r ，重为 P ，
置于两端开口的圆筒内，圆筒半径为 R
(r R 2r) ， 并 竖 直 放 在 水 平 面 上 （ 如 图 所 示 ）。
设所有接触面均光滑，为使圆筒不至于倾倒，圆
筒的最小重量 Q 为多少？如果换成有底的圆筒，
情况又如何？
O2 O1
解法一：（整体法）
水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用
力。
O
A P1
F
B
P2
解：
（1）
以AB为研究对象，有
Fl2sinP2 l22 cos
tan P2
2F
O
A P1
F
B
以OA+AB为研究对象，有
P2
P 1 l 2 1 c o s P 2 ( F l 1 c o s l 2 2 ) F ( l 1 s i n l 2 s i n)
O
N1
N1 N2
由②③式得 N2=10N
G
28
3、重为 80 千克的人沿如图所示的梯子从底部向上 攀登，梯子质量为 25kg ，顶角为 30 。 已知 AC 和 CE 都为 5m 长且用铰链在 C 点处相连。 BD 为一 段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与 地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻 绳中张力的变化规律。 （取重力加速度 g 10m/s2 ）
F
后
M
前
L
解：（1）如图图所示，当立方体向前翻滚时，以 B
点为转动轴，根据力矩平衡的条件可知，当力
臂最大时，施加的力最小，则施加的力 F 应垂
直于 BC
Mg L F 2 L
2
C
F 2Mg
M
4
若不发生相对滑动，此时应满足
(Mg F sin 45o) F cos 45o
1
3
F
前
B G
（2）如图所示，当立方体向后翻滚时，以 A 点为转 动轴，根据力矩平衡条件可知，当力臂最大时，施加 的力最小，则施加的力 F 应垂直于 AC
3 tg tg
若 f 0 ，即 f 方向向下，即 2tg tg 时， 1 ( 1 2 ) 3 tg tg
35
8、三根质量为 m 、长为 l 的相同匀质棒，如图所示地紧靠在一起， 三棒与地接触点的连线构成一边长为 l 的正三角形。已知三个棒与地 面间的摩擦系数相等。 1．试求 OA 棒顶点所受作用力的大小与方向； 2．若在 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球，再求其顶端所受作 用力的大小和方向； 3．固定小球后，要使体系保持静止，则棒与地面之间的摩擦系数至 少为多少？
C
B
D
A
E
解：
设梯子质量为 M ，长为 l ；人的质量为 m ，人到 A 点的距
离为 x 以整体为研究对象，受力情况如图所示 C
N1 N2 Mg mg
以 C 点为轴，应满足