(完整版)第四章变形体静力学基础b

2)力与变形的物理关系： 二杆均为单向拉压，轴力为：
FNBC=FB=31.1kN(拉);
FNCD=-FCx=-22kN
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(压) 17
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由力与变形间的物理关系知各杆变形为： B
DlBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.344×10-3 m DlCD=FNCDlCD/EACD=-0.1375×10-3 m
AB AB AB
和
y
=
lim
dy0
AD AD AD
y
D'
C'
D
切应变：过A点直角形状的改变。
C
dy A'
B'
=
lim (
BAD)
dx0 2
dy 0
A dx B
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
16
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4.7 变形体静力学分析
B
FB FCy
再论利用力的平衡、变形几
45
何协调及力与变形间的关系，
C
3)变形几何协调条件：(求位移)
D v
D' u
变形后D点应移至以B、C为圆心， 以杆变形后的长度为半径的二圆弧交 点D’处。变形量与原尺寸相比很小，
DlCD
D2
H
45
D DlBD
D1 K
用切线代替圆弧。几何关系如放大图。 D'
故变形后D点的位移为： 水平位移：u=DD2=DlCD=0.137 mm () 垂直位移：v=D2H+HD'=DD1/cosa+DD2 =DlBD+｜DlCD｜ =2.038 mm () 18
4)杆的总伸长为： DlAD=DlAB+DlBC+DlCD=0.68mm
8
讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB
段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面
D位移为零，F2应为多大？
解：画轴力图。
l
A F1 -F2
B
有： DD=DlAD=DlAB+DlBD
l
F2
D
l
=FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即：
C
F1
F1
DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
注意：
固定端A处位 移为零。
9
4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
一、 应力
内力连续分布在截面上， 截面法确定的是内力的合力。
1) 定义：
DF
O
DA
一点的应力T是该处内力的集度，定义为：
DF T = lim
DA0 DA
a=0时，a=， a=0， 横截面上正应力最大； a=45时，a=/2， a=/2，
45斜截面上剪应力最大，且max=/2。
如：铸铁试样受压时， a=45斜
截面上的应力a和a为：
a=-/2;
a=-/2
铸铁抗压能力远大于抗剪或
抗拉能力，故实验时先发生与
轴线大约成45，剪切破坏。
F
a a x a
B B
F
7
2)求各段应变：
AB=AB/E钢=125/(210×103)
0.6×10-3
BC=BC/E铜=50/(100×103)
=0.5×10-3
CD=CD/E铜=0.6×10-3
F2=8kN F1=40kN
DC
l
l
Bl A
FN 48kN
40kN
DC B A
3)求各段伸长： 注意: Dl=l=l/E=FNl/AE DlAB=ABlAB=0.6×10-3×400mm=0.24mm DlBC=BClBC=0.2mm； DlCD=CDlCD=0.24mm
Maz
BMxxb
最一般情况： 截面内力有六个分量。
基本 变形
轴向拉压
扭转
弯曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
3
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4.5 杆的轴向拉伸和压缩
先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。
L1+DL1
a a dx a
是单向应力状态。
斜截面？
12
斜截面上的应力：
设已知，A点在法向与轴线夹
A
dy dx
角a之截面上应力为a、a，
a
a
由单位厚度微元力的平衡条件可得： a
Fx=a(dx/sina)×1×cosa
y
dx a
x
+a(dx/sina)×1×sina -(dx/tga)×1=0
a (dx/sina)×1×cosa
解答为： FAy
=
6FE2 A2 4E2 A2 + E1A1
2F
FAy
12
F1 F2 l
F1
=
3F
12 FE2 4E2 A2 +
A2 E1 A1
;
F2
=
6FE2 A2 4E2 A2 + E1A1
A
B
a a aF
变形讨体静若不二定杆问相同题，的E求1=解E2=方E法，A为1=：A2=A；有：
静论不
F1=力3F的/5平；衡F方2=程6F/5；联FA立y=-4反F力/5 、内力
应变是无量纲量。
E是-直线的斜率，应力量纲。与材料有关。
因为卸载后变形可以恢复，故E称为弹性模量。
轴向拉压杆的应力、应变和变形DL可表达为：
= FN
A
= DL
L
DL = L = L = FN L
E
EA
EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。 5
轴向拉压杆变形分析汇总： 求轴力FN？
轴向拉压杆的应力、应变定义为：
截面法求解内力的步骤为：
求 约 束 反 力
截 取 研 究 对 象
受力 图， 内力 按正 向假 设。
列 平 衡 方 程
求内 力，
内力 方程
内力图： FN、FQ、 M图
2
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4.4 杆件的基本变形
y
Fy
F
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。
直杆：杆件的轴线为直线。
1 My
C
Fx
z
A
x
Fz
第四章 变形体静力学基础
4.1 变形固体的力学分析方法
4.2 基本假设
4.3 内力、截面法
4.4 杆件的基本变形
4.5 杆的轴向拉伸和压缩
4.6 一点的应力和应变
4.7 变形体静力学分析
4.8 应力集中的概念
1
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前节回顾：
研究变形体力学问题的主线是：
力的平衡 变形的几何协调 力与变形之关系
轴力FN=F，故杆的缩短为： DLR=FL/EA
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3) 变形几何协调条件：
约束使杆长不变，必有：
B
C
DLT=DLR
即： aDT•L=FL/EA
故得到二端约束反力为：
L DLT
FB B
C FC
F=aDT•EA
DLR
杆内的应力（压应力）为：
=F/A=aDT•E
可知：温度变化将在静不定构件内引起温度应力。
FN 杆3 2 1 =FN/A
F
L1
F
L2+DL2
F
L2
F
L3+DL3
F
L3
F
0
DL
0
=DL/L
轴力 即:
ALF13N>>=DLAFL21，==LA可F3A2；N；见L ，或F写N-为DL间=存FA在N=着E D线LL 性= E关 系。
得到最简单的物理关系--Hooke定律： =E 注意：-关系与试件几何（L、A）无关。
材料线膨胀系数a越大、弹性模量E越大、DT
越大，温度应力越大。
如除掉C端固定约束，则构件成为静定的。 静定结构允许温度引起的变形，不产生温度应力。
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对于单向拉、压杆，任 一点 A的应力状态为：
F
A
/2
/2
A
或
A =/2
a=0
a=45
只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。
结剪 单 力 面论应互交元：力 等 线体123互 ，)()))。d等 指应 一 可x x定 向以点力dy理 相用的是x： 对微应矢1)(小力量互同单与。垂时元过截指体该面向各点上或面的的离上截剪开的面应截应取力向描有z述关A一。
应力 斜面长 厚
Fy=a(dx/sina)×1×sina -a(dx/sina)×1×cosa=0
面积 斜面法向内力
注意式中各项是力的投影分量。 法向内力在x轴的投影
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求得A点在与轴线夹角为a之截面上的应力为: a=(1+cos2a)/2； a=sin2a/2
可见：拉压杆斜截面上有正应力和切应力。
二个物体，6个平衡方程 三处铰链，6个约束力 问题是静定的。
FB B FCy
45
C FCx l=3m
D
F=22kN
变形体力学静定问题的求解方法为：
静定 问题
平衡 方程
求反力 物理 内力 方程
几何
求变形 方程 求位移
应力
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例4.10 刚性梁AB如图。杆1、2的截面积和弹性模量 分别为A1、A2；E1、E2。求各杆内力。
DA是围绕O点的面积微元； DF作用在DA上的内力。
T
O
DA 0
T是矢量，法向分量称正应力；切向分量称切应力。
10
2) 轴向拉压杆横截面上的应力：
FN
截面上只有轴力，故应力为正应力。 变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布，
因为 =const. 故有： FN = dA = A
A
注意：一般情况下， 内力非均匀分布， 截面各点应力不同。
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=E 是材料的一种应力—应变关系模型，
称为线性弹性应力—应变（物理）关系模型。
=FN/A，单位面积上的内力，称为应力(平均应力)。
量纲是力/［长度］2，单位用帕斯卡(Pa), 1 Pa=1 N/m2；1 MPa=106 Pa； 1 GPa=109 Pa 。
=DL/L，是单位长度的变形，称为应变(平均应变)。
C FCx l=3m
分析变形体静力学问题的基本方法。
D
F=22kN
例4.9 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为30×80mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。
解：1)力的平衡： 画受力图。有平衡方程：
MC(F)=FBsin45-F=0 FB=31.1kN Fx=FCx-FBcos45=0 FCx=22kN Fy=FCy+FBsin45-F=0 FCy=0 亦可由三力平衡判断
解：1)力的平衡：平衡方程为：
MA(F)=F1a+2F2a-3Fa=0 Fy=FAy+F1+F2=0
FAy
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F1 F2 l
三个未知力，二个方程，一次静不定。
2)力与变形间的物理关系：
A
Dl1 Dl2
a aa
B
F
Dl1=F1l/E1A1 ； Dl2=F2l/E2A2
3)变形几何协调条件: 变形后应有：
Dl2=2Dl1 ； 即 F2l/E2A2=2F1l/E1A1。
解得： F1
=
3F
12 FE2 4E2 A2 +
A2 E1 A1
;
F2
=
6FE2 A2 4E2 A2 + E1A1
;
FAy
=
6FE2 A2 4E2 A2 + E1A1
2F
求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。 20
3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力 问题是一次静不定的。
Mz= dy点x1的xd应x-力d状xx态1x。dy=0 =
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二、 应变
变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。
用应变表示，如拉压杆（应变=Dl/l0），与几何尺寸无关。
一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定 义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。
线应变：过A点沿坐标方向线段的尺寸改变。
x
= lim dx0
C
已知弹性模量E、线膨胀系数a。若温 度升高DT，求反力和杆内应力。
解：温度升高时，杆BC要伸长。二 FB B 端约束限制伸长，引起约束反力。
L DLT
C FC
DLR
约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短，
故二端约束力如图。
1)力的平衡:
FB=FC=F
2)物理关系: （温度与变形、力与变形关系）
设温度升高后杆的伸长为： DLT=aDT•L
应力： = FN
A
应变： = DL
L
力—变形的物理关系： =E
称为线性弹性应力—应变（物理）关系模型。
轴向拉压杆的变形DL可表达为：
在物理模型=E下有： DL = L = L = FN L
E
EA
EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。
N、L、E、A改变，则须分段计算。
6
例4.7 杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2， BD段 为铜，A2=800mm2， E钢=210GPa；E铜=100GPa；
定问 若去掉杆材1料，物成理为方静程定结构，则：变形、应力、
题
变形F2几=3何F/方2；程 FAy求=-解F/2。位移...
静不定问结题构，可反减力小、构内件力内、力应，力增均加与刚材度料，有减关小。变形。 21
温度应力 无外力作用时，温度变化在静不定
构件内引起的应力。
例4.11 二端固支杆BC长L，截面积A。 B
11
3) 一点的应力状态：
F
A
由定义有：T = lim DF 故可知，
DA0 DA
一点的应力与过该点之截面的取向有关。
一点的应力状态用围绕该点截取的 微小单元体上的应力来描述。单元体尺
寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。
A
dy dx
单向拉压杆横截面上只有正应力。 故 A点的应力状态可用由横截面、水 平面截取的微小单元体上的应力描述。
l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量DAD。
解：1)求内力(轴力)， 画轴力图。
2)求各段应力：
AB=FNAB/A1
=40×103N/(320×10-6)m2
+向
F2=8kN F1=40kN
48kN D C
l
l
Bl A
FN 48kN
40kN
DC B A
=125×106Pa=125MPa
BC=FNBC/A2=40×103/(800×10-6) =50MPa； CD=FNCD/A2=48×103/(800×10-6)= 60MPa