2010年石景山区高三期末理科数学试卷

石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．2. 本试卷共10页，其中第10页为草稿纸．各题答案均答在本题规定的位置．题号 一 二 三总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M N = （ ）A ．{1}x x <B ．{21}x x -<<C ．{2}x x <-D ．{21}x x -≤<2．复数11i i=－＋（ ）A ．22B ． 2C ．iD ． i-3．幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ． (2,)-+∞B ． [1,)-+∞C ． [0,)+∞D ． (,2)-∞-为14．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ） A ． π3 B ． π2 C ． π23D ． π45．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A ． 65 B ． 644题图主视图俯视图左视图C ． 63D ． 626．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ） A ．130B ．110 C ．140 D ．1207．在A B C ∆中，A B 3=，BC 1= ， cos cos AC B BC A =，则AC AB ⋅= （ ）A ．32或2 B ． 32或2 C ． 2 D ．32或28．如果对于函数()y f x =的定义域内的任意x ，都有()N f x M ≤≤（,M N 为常数）成立，那么称)(x f 为可界定函数，M 为上界值，N 为下界值．设上界值中的最小值为m ，下界值中的最大值为n ．给出函数2()2f x x x=+，1(,2)2x ∈，那么n m +的值（ ）A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不存在二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知向量=(1,3)a ,=(3,)b n ，如果a 与b 共线，那么实数n 的值是______．10．阅读右面程序框图，如果输入的5n =，那么输出的S 的值为______．11．函数sin (0)y x x π=≤≤的图象与x 轴围成图形的面积为 ． 甲乙 3 1 8 6 3 2 4 59 7 3 2 6 714 5 75题图12．二元一次不等式组2,0,20,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为 ， x y +的最大值为 ．13．已知函数()31x f x x =+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -=（n N *∈，且2n ≥），如果11a =，那么2a = ，n a = ．14．给出下列四个命题：①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”；②在空间中，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥，那么m β⊥； ③将函数x y 2cos =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图象；④函数()f x 的定义域为R ，且21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞. 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值.16．（本小题满分13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和； （Ⅲ）设9(27)(21)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切n N *∈都成立的最大正整数k 的值.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P A B C D-的底面为正方形，侧棱P A⊥底面A B C D，且==，,,2PA ADPA PD AB的中点．E F H分别是线段,,（Ⅰ）求证：P B//平面E F H；（Ⅱ）求证：P D⊥平面A H F；（Ⅲ）求二面角H EF A--的大小．18．（本小题满分13分）某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销.（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次．．中奖都获得m 元奖金.假设顾客每次．．抽奖时获奖与否的概率都是21，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？19．（本小题满分13分）将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，0k ）．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应是多少？dx横梁断面图20．（本小题满分14分）已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =.（Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x'=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．石景山区2009—2010学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．题号 12345678答案DDCCBCAB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+cos 2sin 2x x =+ ………………………………4分 2sin(2)4x π=+………………………………6分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………8分 （Ⅱ）44x ππ-≤≤， ∴32444x πππ-≤+≤， ………………………………9分∴12sin(2)24x π-≤+≤， ………………………………11分∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2. …………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+--37(21)3222n n =-+=+． ……………………………2分又15a =满足32n a n =+， ……………………………3分题号 91011121314答案91428，614，132n a n =-（n N *∈） ③④32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………4分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ………………5分（Ⅱ）由已知得2na nb = ()n N *∈， ………………………………6分∵+1+13+12==2=2=82n n nna a -a n a nb b ()n N *∈， ……………………7分又11232a b ==，∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. ………………8分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187nn-=--. ……………9分（Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===----+-+ ……10分∴1111111[()()()]213352121n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121nn n =-=++． ……………………11分∵110(23)(21)n n T T n n +-=>++ ()n N *∈，∴n T 单调递增． ∴m in 11()3n T T ==． …………………12分∴1357k >，解得19k <，因为k 是正整数， ∴m ax 18k =． ………………13分17．（本小题满分14分） 解法一：（Ⅰ）证明：∵E ，H 分别是线段P A ，AB 的中点，∴E H //P B ． ………………………2分又∵⊂EH 平面E F H ，⊄PB 平面E F H ，∴P B //平面E F H ． ……………………………4分（Ⅱ）解：F 为PD 的中点，且P A A D =，P D A F ∴⊥，又PA ⊥ 底面A B C D ，BA ⊂底面A B C D ， A B P A ∴⊥． 又 四边形A B C D 为正方形，AB AD ∴⊥．又PA AD A = ，AB ∴⊥平面P A D ． ……………………………………7分 又P D ⊂ 平面P A D ，AB PD ∴⊥ ． ……………………………………8分 又AB AF A = ，P D ∴⊥平面A H F ． ……………………………………9分 （Ⅲ）PA ⊥ 平面A B C D ，PA ⊂平面P A B ，∴平面PAB ⊥平面A B C D ，A D ⊂ 平面ABCD ，平面PAB 平面A B C D A B =，A D A B ⊥， AD ∴⊥平面P A B ，E ，F 分别是线段P A ，PD 的中点， EF ∴//A D ， EF ∴⊥平面P A B ．E H ⊂ 平面P A B ，EA ⊂平面P A B ，E F ∴⊥E H ，E F ∴⊥E A ， ……………………10分 HEA ∴∠就是二面角H EF A --的平面角． ……………………12分在Rt H AE ∆中，111,1,22AE PA AH AB ====45AEH ∴∠=，所以二面角H EF A --的大小为45. ………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴, )2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H .………………2分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)P B =- ，(1,0,1)E H =-，∴2PB EH = ,∵⊄PB 平面E F H ，且E H ⊂平面E F H ， ……………………4分 ∴P B //平面E F H . ……………………5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =- ，(1,0,0)A H = ，(0,1,1)A F =， ……………………6分0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=……………………8分 ,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A = ，P D ∴⊥平面A H F . ………………………9分（Ⅲ）设平面H E F 的法向量为),,(z y x n =,因为(0,1,0)EF =，(1,0,1)E H =-，则0,0,n E F y n E H x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取).1,0,1(=n………………………………12分又因为平面A E F 的法向量为),0,0,1(=m所以10012cos ,,2||||212m n m n m n ⋅++<>====⨯…………………13分,45,m n ∴<>=所以二面角H EF A --的大小为 45． …………………14分18．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) 从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有37C 种选法. ……………………………2分 选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有34C 种， ………………………4分 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为353113734=-=CC P .………………………5分（Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，m ，2m ，3m . ……………………6分0X =时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以(),81212103003=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ……………………7分同理可得(),8321212113=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P……………………8分 (),83212121223=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P …………………9分 ().81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P…………………10分 所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为： X0 m 2m 3m P18383818于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是m m m m EX 5.181383283810=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………11分（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5150m <，所以100m <. ………………… 12分 故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利. …… 13分19．（本小题满分13分）解： 设断面高为h ，则222h d x =-．横梁的强度函数2()f x k xh =⋅，所以22()()f x kx d x =⋅- ，0x d <<． ……………………………5分 当()0,x d ∈时，令22()(3)0f x k d x '=-=． ……………………………7分解得33x d =±（舍负）． ……………………………8分 当30 3x d <<时，()0f x '>； ……………………………9分当3 3d x d <<时，()0f x '<． ……………………………10分因此，函数()f x 在定义域(0,)d 内只有一个极大值点33x d =．所以()f x 在33x d =处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………12分 即当断面的宽为33d 时，横梁的强度最大． ……………………13分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．………1分 当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-，由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数， 所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >，所以0a >． ……………………3分当0a <时，不符合题意．综上，a 的取值范围是0a ≥． ……………………4分 （Ⅱ）把方程()()(21)g x f x a x'=-+整理为2(21)lnx ax a x=+-+，即为方程2(12)0ax a x lnx +--=. ……………………5分设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间(1,e e)内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间(1,e e )内有且只有两个零点. ……………………6分1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)a x a x a xx xx+--+-==…………………7分令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或12x a=-（舍） …………………8分当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数. …………………10分()H x 在(1,e e)内有且只有两个不相等的零点, 只需m in 1()0,()0,()0,H eH x H e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩…………………13分即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,a a a e a eee eH a a aae a e e e a e⎧--++++=>⎪⎪⎪=+-=-<⎨⎪+--=-+->⎪⎪⎩∴22,211,1,2e eaeaeae e⎧+<⎪-⎪⎪>⎨⎪-⎪>-⎪⎩解得2121e eae+<<-, 所以a的取值范围是(21,21e ee+-) ．…………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。