2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第266—370题(含答案解析)
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第226—230题(含答案解析)
感知高考刺金226题函数())02f x x π≤≤的值域是__________．解：()()2232cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+-设1sin ,1cos x a x b -=-=，则问题变为求y =的值域 解法一：当0a ≠时，有y =将b a 视为圆()()22111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知0b a≥， 所以10y -≤<， 当0a =时，0y =综上可知，[]1,0y ∈-解法二：注意到y =联想其结构特征与三角函数中的正余弦定义式相似于是设直线OP 的倾斜角为θ，则02πθ≤≤所以[]cos 1,0y θ=-∈- 感知高考刺金227题已知(),a xb yc x y =+∈ R ，2a b == ，1c = ，()()0a c b c -⋅-= ，则a b - 的取值范围是________．解法一：考虑向量模的几何意义 由2a b == 和()()0a c b c -⋅-= ，可作出图形 c 的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上 又1c = ，故c 的终点C 必在以O 为圆心，1为半径的圆上所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点注意到'O 的半径为22ABa b-= ，圆心距1'2OO a b =+所以两圆相交需满足11222a ba ba b-+--≤≤+ 且有2222216a b a b a b ⎛⎫++-=+= ⎪⎝⎭作一个整体换元，设a b x += ，a b y -=问题转化为规划问题，已知2216222,x y x y x y x y +⎧+=⎪-≤-≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩R ，求y 的取值范围。
如图可得1y ⎤∈⎦解法二：代数方法a b -= ，因此只需求a b 的取值范围 由()()0a c b c -⋅-= 得()20a b a b c c -++= 所以()1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+ 即()2221282a b a a b b a b +≤++=+ ，解得77a b -≤≤所以a b -= ，故1a b ⎤-∈⎦ 解法三：解析几何坐标方法解：设()1,0c = ，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点，且AC ⊥BC ，则 | a －b | = AB = 2 MC ．∵MO 2 + MA 2 = OA 2，而MA = MC ，∴MO 2 + MC 2 = 4．设(),M x y ，则2222(1)4x y x y ++-+=， 即2232x y x +-=．（*） | a －b | = AB = 2 MC== 由（*x ，∴11．11a b ≤-≤ ．感知高考刺金228题已知实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是________． 解：记2,2,2a b c x y z ===，则x y xy x y z xyz+=⎧⎨++=⎩ 1111xy z xy xy ==+--因为4x y xy xy +=≥≥ 故141113xy z xy xy ==+≤-- 即c 的最大值是24log 3感知高考刺金229题设函数()241xf x x =+，()cos2cosg x x k x ππ=+，若对任意的1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得()()21g x f x =成立，则实数k 的取值范围是________．解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，易得()f x 的值域是[]2,2-设cos t x π=，则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域，再通过分类讨论进行解答()()141212k h h ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤-⎨⎪≥⎪⎪⎩或()210482812k k h ⎧-≤-≤⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩或()201482812k k h ⎧<-<⎪⎪--⎪≤-⎨⎪⎪-≥⎪⎩或()()141212k h h ⎧-≥⎪⎪⎪≤-⎨⎪-≥⎪⎪⎩解得(),k ⎡∈-∞-+∞⎣解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ,若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根,且它们成等差数列,则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个,即左右两个函数的交点有且仅有三个, 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动,但是有规律的移动,“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的,而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()11x a =-()21x a =- 由32x x+=解得31x =-,43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限,一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >,故a =综上,95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=,点O 为三角形外接圆的圆心,若OA xOB yOC =+ ,则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题,常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=,得23BOC π∠=,不妨如图固定,,O B C 三点,因为ABC ∆是锐角三角形,所以点A 在 'DC上运动,取OB 的中点为'B ()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ,于是作出了',',B C E 三点共线。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第346—350题(含答案解析)
感知高考刺金346题设非零向量,,a b c r r r 满足a b a b +=-r r r r 且1a b a b c ==++=r r r r r ，则a c a r r g r 的取值范围是 ． 解：由a b a b +=-r r r r 得a b ⊥r r ，且1a b ==r r又()1a b c c a b ++=---=r r r r r r ，即c OC =r u u u r 的终点C 在以()a b OD -+=r r u u u r 的终点D 为圆心，1为半径的圆上cos a c c a θ=r r r g r 就是c r 在a r 上的投影，显然[]2,0a c a ∈-r r g r感知高考刺金347题已知()222,0,,f x mx m m m x =++≠∈∈R R ，若1x y +=，则()()f y f x 的取值范围是 ．解：()()222222222222m y m f y my m f x mx m m x m ⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭==⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭()()f y f x 的取值范围问题等价于曲线1x y +=上的点(),P x y 与点2222,22m m A m m ⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭连线的斜率的范围问题．此时点A 在()(),22,y x x ⎤⎡=∈-∞+∞⎦⎣U 上，由图可知：()()21,22f y f x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣感知高考刺金348题若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．解：如图，点G 在以AB 为直径的圆上运动，且由于点G 为ABC ∆的重心，所以3OC OG = 故点G 在以O 为圆心，以32AB 长为半径的圆上运动， 问题转化为圆上一点与线段AB 形成的张角问题。
如图，画一个最小圆，即CO AB ⊥时，其余的'C 都在圆外，根据圆外角小于圆上角，可知当CO AB ⊥时，C ∠最大，即sin C 最大此时由11sin 22ABC S AB CO AC BC C ∆=⋅=⋅⋅得3sin 5C = 或二倍角公式3sin 2sin cos 22251010θθθ==⋅⋅=感知高考刺金349题在ABC ∆中，过中线AD 中点E 作一直线分别交边AB ，AC 于,M N 两点，设AM xAB =u u u u r u u u r ，()0AN y AC xy =≠u u u r u u u r ，则4x y +的最小值为 ．解：因为D 是BC 中点，所以1122AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r 又因为E 为AD 中点，所以11114444AE AB AC AM AN x y=+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r 因为,,M E N 三点共线，所以11144x y+= 所以()11594444444y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当33,84x y ==时等号成立。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第261—265题(含答案解析)
感知高考刺金261题在ABC ∆中，D 是边AC 上一点，6AB AC ==，4AD =，若ABC ∆的外心O 恰在线段BD 上，则BC = ．解：设()()2113AO AB AD AB AC λλλλ=+-=+- 因为ABC ∆是等腰三角形，故()213λλ=-，即25λ=故有2355AO AB AC =+ 再对上式两边同时与AB 作数量积，有2355AO AB AB AC AB ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得1cos 4A =故由余弦定理得2222cos 54BC AB AC AB AC A =+-=即BC =点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO 在,AB AC 方向的分量一样，即系数一致求出λ。
其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。
感知高考刺金262题已知平面α和β相交形成的四个二面角中的其中一个为60，则在空间中过某定点P 与这两个平面所成的线面角均为30的直线l 有 条． 解：设平面α和平面β过点P 的法线（垂直于平面的直线）分别为,m n ，则,60m n =而直线l 与两个平面所成的线面角均为30可转化为直线l 与法线,m n 所成的角均为60由“鸡爪定理”可知，直线l 与法线,m n 所成角为60的直线有3条。
点评：平面的法向量是平面方向的代表。
“鸡爪定理”：如图，若直线,m n 所成角为θ，则与直线,m n 所成角相同的直线l 一定在直线,m n 的角平分面上，且该角的取值范围是,22θπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和,22πθπ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦其中2θ与2πθ-就是直线l 正好为直线,m n 的两条角平分线时，2π就是垂直时取得。
感知高考刺金263题已知向量,a b 满足231+=a b ，则⋅a b 最大值为 。
解法1：（方程构造法）构造方程()2223(23)24+--=⋅a b a b a b则⋅a b 222(23)(23)1(23)12424242424+--=-=-≤a b a b a b ，当且仅当23=a b ，且14=a 时，上式等号成立．解法2：（不等式法）对于条件231+=a b ，则有2249121++=a b ab ， 又因()2230-≥a b ，则有224912+≥⋅a b a b ，则12112⋅≤-⋅a b a b ， 因此⋅a b 最大值为124解法3：（极化恒等式法）设2a OA =，3b OB =，取AB 的中点为M ，12OM =，对于OAB ∆，因B O A ∠可以变化，当BOA ∠趋向于0度时，MB 趋向于0，而12OM =，则23⋅a b 2211044OA OB OM MB =⋅=≤=－-，因此⋅a b 最大值为124感知高考刺金264题已知过点()0,1A ，且斜率为k 的直线l 与圆C ：()222(3)1x y -+-=相交于,M N 两点．则AM AN ⋅= ．解法1：（普通方法）设直线l 与圆的交点为1122(,),(,)M x y N x y ， 则1122(,1),(,1)AM x y AN x y =-=-，由直线1y kx =+与圆()222(3)1x y -+-=联立得()2214(1)70k x k x +-++=，因此有12122274(1),11k x x x x k k+=+=++，()221212122124111k k y y k x x k x x k ++=+++=+，212122642()21k k y y k x x k +++=++=+，因此可得121212()1AM AN x x y y y y ⋅=+-++222227124164217111k k k k k k k++++=+-+=+++ 解法2：（极化恒等式）如图所示，取MN 的中点为G ，则CG MN ⊥，由极化恒等式可得22224MN AM AN AG AG MG ⋅=-=-()2222()AC CG MC CG =--- 22AC MC =-21817AC =-=-=点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第66—70题(含答案解析)
感知高考刺金661．已知离心率为e 的椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线221x y -=有相同的焦点，且直线y ex =分别与椭圆相交与,A B 两点，与双曲线相交于,C D 两点，若,,C O D 依次为线段AB 的四等分点，则e = ．解：设()00,D x ex ，则()002,2B x ex所以22220002111x e x x e -=⇒=-且2220022441x e x a b +=，222a b =+ 所以化简得42480b b --=，解得2223b =+，所以22262232423e b -===-=++ 2． 5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 。
解：31122133521531332222550381C C C C C C A A A A +=感知高考刺金671．已知双曲线()222210x y a b a b-=>>，圆222:O x y a +=，过双曲线第一象限内任意一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，其切点分别为,A B ．若AB 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，则2222b a OM ON -=（ ）A 、22b aB 、22b a -C 、22a bD 、22c a解：直线200:AB x x y y a +=当0y =，20a x x =，2a OM x = 当0x =，20a y y =，2a ON y =2222200442b x a y b a a a-= 2．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染色方法。
解：解第一行染2个黑格有246C =种染法，第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法；（2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有246C =种染法，第四行随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列，这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列，这是第三行的染法有2种，第四行随之确定。
高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第266—370题(含答案解析)
感知高考刺金266题在平面直角坐标系xOy 中，,A B 是x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点）为y 轴上一个定点，若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且APB ∠的大小为定值，则OP = ．解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ，半径为r ，则可设()(),0,,0A t r B t r -+ 由两圆相外切得()2241t r +=+ 而tan t r OPB OP +∠=，tan t r OPA OP -∠= ()2222tan tan 22tan tan 1tan tan 23OPB OPA r OP r OP APB OPB OPA OPB OPA OP t r OP r ∠-∠⋅⋅∠=∠-∠===+∠⋅∠+-+- 因为APB ∠是定值，所以tan APB ∠为常数，所以OP感知高考刺金267题已知等比数列{}n a 的公比1q >，其前n 项和为n S ，若4221S S =+，则6S 的最小值为 ．解法1：从等比数列的基本量入手由4221S S =+得()()4211121111a q a q q q --=+--，得1421121a q q q =--+- 所以()()()()()62426421622222111111111a q q q q q q q S q q q q --++-++====----- 令21q t -=，则6333S t t=++≥当且仅当21q =时取得等号。
解法2：从等比数列的性质入手因为等比数列有性质：()()242264S S S S S -=⋅-将4221S S =+代入，得622133S S S =++又因为4221S S =+得34121a a a a +=++，即()2211S q -=，因为1q >，所以20S >所以6221333S S S =++≥，当且仅当2S =感知高考刺金268题已知22:4O x y +=，点()4,0M ，过原点的直线（不与x 轴重合）与O 交于,A B 两点，则ABM ∆的外接圆的面积的最小值为 ． 解：2sin AB R ABM=∠，要求外接圆的面积的最小值，即求R 的最小值，即求sin ABM ∠的最大值 设()2cos ,2sin A αα，()2cos ,2sin B αα--()2cos 4,2sin MA αα=-，()2cos 4,2sin MB αα=--- 由极化恒等式知22164124AB MA MB MO =-=-=故3cos 5ABM ∠==≥ 故4sin 5ABM ∠≤ 所以4254sin 5AB R ABM =≥=∠，所以52R ≥，254S π≥感知高考刺金269题已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，记n n n n n n n c a T b S a b =⋅+⋅-⋅，若20152015S =，201520142015T =，则数列{}n c 的前项和为 ． 解：当1n =时，11111c a b S T =⋅=⋅当2n ≥时，()()()()111111n n n n n n n n n n n n n n n c S S T T T S S S T T S T S T ------=-⋅+-⋅--⋅-=⋅-⋅()()()12311221133222015201520142014201520152014n c c c c S T S T S T S T S T S T S T S T ++++=+-+-++-==感知高考刺金270题钝角ABC ∆中，()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-，则()sin A B -= ． 解：由()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-得22222sin sin sin sin sin A C A C B ⋅=+- 故222222sin sin sin sin cos sin 2sin sin 22A C B a c b A B B A C ac π+-+-⎛⎫====- ⎪⎝⎭故2A B π=-或2A B ππ+-= 由于ABC ∆为钝角三角形，故2A B π-=，所以()sin 1A B -=。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第366—370题(含答案解析)
感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O 为坐标原点，则OA OB的最小值为 ． 解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=综上，2OA OB ≥解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。
如图，不妨设直线():0OB y kx k =<由22122x y y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得2221B x k =-，22221B k y k =-故OB =显然点A 运动到，在点A 处的双曲线的切线（即AC ）与OB垂直时，此时OA 在OB上的投影达到最小值 此时切线AC 的方程为0x ky +故OA 在OB 上的投影等于点O 到直线AC故2OA OB OC OB =⋅解法三：设()()1122,,,A x yB x y121212*********OA OB x x y y x x x x x x x x x x =+≥≤--又因为1x ≥2x 122x x ≥所以()121222OA OB x x x x ≥--=解法四：设()()1122,,,A x y B x y22112x y -=，22222x y -=两式相乘得()()222211224x y xy --=即22222222121212124x x y y x y x y +=++ 等式两边同时加上12122x x y y ，得()()221212121244x x y y x y y x +=++≥故12122OA OB x x y y =+≥解法五：三角换元设)Aαα，)Bββ所以22sin sin 1sin sin 2cos cos cos cos cos cos OA OB αβαβαβαβαβ+=+=⋅()22221sin sin 1sin sin 1sin sin 1sin sin 24442cos cos cos cos 22sin sin 2sin sin OA OB αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=⋅≥⋅=⋅≥⋅=++-+ 解法六：前同解法五，令1sin sin cos cos y αβαβ+=，则cos cos sin sin 1y βαβα-=()1αϕ+= 1即222cos sin 1y ββ+≥故21y ≥，又因为0y ≥，所以1y ≥，22OA OB y =≥感知高考刺金367题设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12,x x 和34,x x ，若1324x x x x <<<，则a 的取值范围是 ． 解：2110x ax a x x--=⇒=- 22202x x x x a a ---=⇒=在同一个坐标系中画出1y x x=-和22x x y -=的图象如图所示由212x x x x --=，化简得32320x x -+=显然有根1x =，故可因式分解为()()3221331220x x x x x --+=---=解得1x =或1x =或1x =当1x =y =；当1x =时，y =，由图可知，0a <<感知高考刺金368题设,a b ∈R ，关于x 的方程()()22110x ax x bx -+-+=的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若1,23q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ab 的取值范围是 ．解：设等比数列为23,,,m mq mq mq ，从而有231m q =由题意知()()()()3223221111ab m mq mq mq m q q q q q qq =++=++=+++2112q q q q ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1102,3q t q ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故22ab t t =+-在102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故1124,9ab ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金369题已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为111,,a b e ，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为222,,a b e ，共同的半焦距为c则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12PF F ∆中应用余弦定理得()()()()222121212124122a a a a ca a a a ++--=+-化简得2221234a a c +=，即2212134e e +=，问题要求1211e e +的取值范围。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题第356—360题(含答案解析)
感知高考刺金题
已知实数满足关系式，则的最小值是．
解法一：题干中出现的全是两数的和、平方和与乘积，所以考虑用均值不等式链条。
由或
所以
点评：这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性，所以不能直接用来
求的取值范围，所以改为用重要不等式来来做。
虽然答案正好一样，但做法要注意。
解法二：遇到结构，所以用代数的极化恒等式变形。
令，则问题转变为已知，求的最小值。
因为
所以还需要计算定义域，即
所以
解法三：设，则视为的两根
所以
所以或
当且仅当时取得最小值。
感知高考刺金题
已知点为圆与圆的公共点，圆，圆，若，，则点与直线上任意一点之间的距离的最小值为．
解：设，，则，
所以，即
同理
所以是方程的两个实根
所以
所以点的轨迹方程为
所以点到直线的最短距离为
感知高考刺金题
已知向量满足，，则的取值范围是．
解：（一）几何角度
由和可以画图，找到向量模长的几何意义。
解法一：基底法
因为
因为三者都未知，属于一问三不知问题，所以考虑转基底做。
那么题目中哪些向量适合做基底呢？显然两个
向量长度已知，适合做基底。
（这里夹角未知是应该的，不然整个图就确定下来，就
不会是求最小值了。
）
所以由三点共线，且，可知
所以
解法二：解三角形
设，
则在与中运用余弦定理得
解得
又在中，利用三角形两边之和大于等于第三边得，即
所以
（二）代数角度
解法三：换元思想。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第236—240题(含答案解析)
感知高考刺金236题★已知函数()()2,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是 ． 解：()()2,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象交点横坐标由()()22x a a x b b --=--解得12a b x +-= 函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。
故21122b a b a b a ----⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，解得2b a ->感知高考刺金237题在ABC ∆中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ∆的面积取得最大值时，最长的边长等于 ．解法一：设CH h =，AH x =，由题知2210a b +=，2c =，12ABC S ch h ∆== 因为()()22222222223144h b x a x h x x x =-=--⇒=-++=--+≤故()max 2ABC S ∆=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时2a b c ===解法二：由余弦定理知2223cos sin 2AC BC AB C C AC BC AC BC +-==⇒=⋅⋅故1sin 22ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=当且仅当AC BC ==感知高考刺金238题如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围是 ．解法一：极化恒等式角度()AC BD AD DC BD DC DB =+=- 显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ，则由极化恒等式知()2222221111222DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥-≥-=- 故14,2AC BD ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解法二：投影角度AC BD AC CE =要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第36—40题(含答案解析)
感知高考刺金361． 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上的增函数,且()()12f ax f x +≤-对任意的1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,则a 的取值范围是 ． 解：由题意,()()12f ax f x +≤-对任意的1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立等价于12ax x +≤-对任意的1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立． 1312211a a ⎧+≤⎪⎨⎪+≤⎩,解得20a -≤≤ 2． 在()()612x x --的展开式中,3x 的系数是 ． 答案：－55感知高考刺金371．若函数()2221f x x a x a ax =---+有且仅有3个零点,则实数a 的取值范围是 ．解法一：令t x a =-,则()22210y t at a t =-+-≥则()22210y t at a t =-+->有两个零点,其中一个为0,一个大于0．所以210a -=,解得1a =± 经验证,可知1a =解法二：222210212x a x a ax x ax a x a ---+=⇔-+=-等价于2()21g x x ax =-+,()2h x a x a =-恰有三个公共点,结合图象可得210a -=,且0a >,所以1a =2．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,3,…,9的9个小正方形（如图）,使得任意两个相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同,且“3,5,7”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂色方法有 种．解：“3,5,7”号数字涂相同的颜色,共有3种选择2涂色有2种,24同色有1种,1有2种；24异色有1种,1有1种 故涂完1,2,4有()22+1=6⨯种 同理涂完6,7,8也有6种 综上,共有366=108⨯⨯种感知高考刺金381．方程1ax x -=的解集为A ,若[]0,2A ⊂,则实数a 的取值范围是 ． 解法一：()()22112100ax x a x ax x -=⇔--+=≥ 当1a =时 ,[]10,22A ⎧⎫=⊂⎨⎬⎩⎭当1a =-时 ,[]0,2A =∅⊂ 当1a ≠±时,()221210ax ax --+=的解为1211,11x x a a ==+- 要使[]0,2A ⊂,则需101101a a ⎧<⎪⎪+⎨⎪<⎪-⎩或1011021a a ⎧<⎪⎪+⎨⎪<≤⎪-⎩或1011021a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪<≤⎪+⎩或10211021a a ⎧<≤⎪⎪+⎨⎪<≤⎪-⎩解之得131122a or a or a <--≤<≥综上得131122a or a or a ≤--≤≤≥解法二：1ax x -=等价于1a x x-=或()10ax x x -=-≥分别作出1y ax =-,y x =,y x =-的图象如图所示 由图可知：131122a or a or a ≤--≤≤≥解法三：1ax x -=等价于11a x -=或()110a x x+=≥分别作出11,1,y a y a y x=-=+=图象如图所示, 所以由图知：112112a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或11210a a ⎧+≥⎪⎨⎪-≤⎩或10a +≤ 解得131122a or a or a ≤--≤≤≥解法四：当0a =时显然成立当0a ≠时,分别作出函数1,y ax y x =-=的图象如图所示由图可知：1y ax =-的图象最低点1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭只能落在横轴的实线部分故可得131122a or a or a ≤--≤≤≥2． 225(425)(1)x x x --+的展开式中,含4x 项的系数是 ． 答案：－30感知高考刺金391． 已知三个实数,,a b c ,当0c >时满足23b a c ≤+且2bc a =,则2a cb-的取值范围是 ． 解法一：（齐次化思想）由2bc a =知0b ≥因为0b ≠时,所以0b >。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第256—260题(含答案解析)
感知高考刺金256题已知非零向量a r 和b r 互相垂直，则a b +r r 和2a b +r r 的夹角余弦值的最小值是 ．解：()()222cos 2a b a b a b a b θ++==+⋅+r r r r r r g r r r r 令22,a x b y ==r r ，则cos θ=感知高考刺金257题已知正数,a b 满足1910a b a b +++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1910t a b +=-又因为()1991916b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥ ⎪⎝⎭即()1016t t -≥，解得28t ≤≤当且仅当13,22a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=感知高考刺金258题已知实数,0x y >，若22x y +，则3x y +的最小值是． 解法一：待定系数法1,02y x λλλ⎛⎫+>⎪⎝⎭ 1122212222y x y x y x x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭待定系数法，令11:21:322λλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ= 故1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得解法二：()()()()()()323213221321x y x y x y xy x y xy xy λλλλλλλ+-=+---=-+--≥---令()()213210λλ---=，即76λ=时，1237x y +≥，当且仅当91,77x y ==时取得 解法三：三角换元设,a x b y ==，原问题转化为2222a ab b ++=，求223a b +的最小值令cos a r θ=，sin 3b θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知222222cos sin sin cos 233r r r θθθθ++=，求2r 的最小值 于是2222261cos sin sin cos sin 235363r πθθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故2212,37r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦评注：这里又遇到()223a b +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，sin 3b θ=，10月1日每日征解有相同的处理方法。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第336—340题(含答案解析)
感知高考刺金336已知22252259x x a x a x c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c += ．解：用两边夹逼的方法，令225259x x x x ++=++，解得2x =-故7447a a c ≤-+≤，即7c =所以()()22252712120x x ax ax a x a x ++≤++⇒-+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以 ()()()221013221810230a a a a a a ->>⎧⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨∆=---≤-≤⎪⎪⎩⎩ 故172a c += 点评：这又是夹逼形式的好题，解法中让不等号两边同时取到，求出临界点的方法要注意。
感知高考刺金337已知非零向量a 与向量 b 的夹角为钝角，2b = ，当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，则()a b a -= ．解法一：由当2t =-时，()b ta t -∈R 取最小值65，可知本题是“神图”的应用，如图所示，设,a b θ= ，则()635sin 25πθ-== 即4cos 5θ=-45a = 故()24825a b a a b a -=-=- 解法二：22222b ta b a bt a t -=-+当且仅当22a b t a ==- 时，222364425b ta b a b a -=++= 所以22a b a =- 且3644225a b a b +-= ，得232225a b a =-=- 故()24825a b a a b a -=-=-感知高考刺金338已知椭圆()2211221110,0x y a b a b +=>>和双曲线()2222222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，若2222OF OP OF = ，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 解：222222222cos ,OF OP OF OF OP OF OP OF =⇒=2222222P P OF c x OF x a =⇒==> 故2222c e a =>感知高考刺金339已知函数()12x f x e x -=+-，()23g x x ax a =--+，若存在实数12,x x 使得()()120f x g x ==，且121x x -≤，则实数a 的取值范围是 ． 解：因为()f x 是增函数，且()10f =，故11x =，所以原条件等价于230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即231x a x +=+在[]0,2上有解 因为[]412,0,21y x x x =++-∈+的值域为[]2,3，所以实数a 的取值范围是[]2,3感知高考刺金340在ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=，若椭圆E 以AB 为长轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是 ．解：如图，作CD AB ⊥于D ，则3t a n CD AD CD A==，BD CD =设()2,0B ，则44AB AD BD CD ==+=， 所以1OD CD ==，所以()1,1C 设椭圆的方程为22221x y a b+=，将2a =与()1,1C 代入可得24b=，28 3c=故e=。
【配套K12】2018数学高考一轮复习刺金四百题：第366—370题(含答案解析)
感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O 为坐标原点，则OA OB 的最小值为 ． 解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=综上，2OA OB ≥解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。
如图，不妨设直线():0OB y kx k =<由22122x y y kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可得2221B x k =-，22221B k y k =-故OB =显然点A 运动到，在点A 处的双曲线的切线（即AC ）与OB 垂直时，此时OA 在OB 上的投影达到最小值 此时切线AC的方程为0x ky +=故OA 在OB 上的投影等于点O 到直线AC故22OA OB OC OB=⋅=解法三：设()()1122,,,A x y B x y121212*********OA OB x x yy x x x xx x x x x x =+≥≤--又因为1x ≥2x ≥122x x ≥ 所以()121222OA OB x x x x ≥--= 解法四：设()()1122,,,A x y B x y22112x y -=，22222x y -=两式相乘得()()222211224x y xy --=即22222222121212124x x y y x y x y +=++ 等式两边同时加上12122x x y y ，得()()221212121244x x y y x y y x +=++≥ 故12122OA OB x x y y =+≥ 解法五：三角换元 设)Aαα，)Bββ所以22sin sin 1sin sin 2cos cos cos cos cos cos OA OB αβαβαβαβαβ+=+=⋅()22221sin sin 1sin sin 1sin sin 1sin sin 24442cos cos cos cos 22sin sin 2sin sin OA OB αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=⋅≥⋅=⋅≥⋅=++-+解法六：前同解法五，令1sin sin cos cos y αβαβ+=，则cos cos sin sin 1y βαβα-=()1αϕ+= 1即222cos sin 1y ββ+≥故21y ≥，又因为0y ≥，所以1y ≥，22OA OB y =≥感知高考刺金367题设关于x 的方程210x ax --=和220x x a --=的实根分别为12,x x 和34,x x ，若1324x x x x <<<，则a 的取值范围是 ．解：2110x ax a x x--=⇒=- 22202x xx x a a ---=⇒=在同一个坐标系中画出1y x x=-和22x x y -=的图象如图所示由212x x x x --=，化简得32320x x -+=显然有根1x =，故可因式分解为()()3221331220x x x x x --+=---=解得1x =或1x =或1x =当1x =y =；当1x =y =由图可知，0a <<感知高考刺金368题设,a b ∈R ，关于x 的方程()()22110x ax x bx -+-+=的四个实根构成以q 为公比的等比数列，若1,23q ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ab 的取值范围是 ．解：设等比数列为23,,,m mq mq mq ，从而有231m q =由题意知()()()()3223221111ab m mq mq mq m q q q q q qq =++=++=+++2112q q q q ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1102,3q t q ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故22ab t t =+-在102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，故1124,9ab ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦感知高考刺金369题已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．解法一：设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为111,,a b e ，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为222,,a b e ，共同的半焦距为c则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12PF F ∆中应用余弦定理得()()()()222121212124122a a a a ca a a a ++--=+-化简得2221234a a c +=，即2212134e e +=，问题要求1211e e +的取值范围。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第376—380题(含答案解析)
感知高考刺金376题设函数()3,f x x a a a x=--+∈R ，若关于x 的方程()2f x =有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数a 的取值构成的集合是 ． 解：3322x a a x a a x x--+=⇒-+=+ 方程的根有且仅有三个，即左右两个函数的交点有且仅有三个， 故考查函数1,2,x x a y x a a a x x a≥⎧=-+=⎨-<⎩与232y x =+的图象 这里要注意1y x a a =-+的图象虽然随着a 的变化在移动，但是有规律的移动，“V ”型图的尖底(),a a 是沿着y x =移动的，而232y x =+的图象是确定不变的。
由322a x x+=-解得()11x a =- ()21x a =- 由32x x+=解得31x =-，43x = 故画出图象只有两种情况（两个交点在第三象限，一个在第一象限（此时0a <）或三个交点都在第一象限（此时0a >））即1312x +=-⋅（如左图）或1232x x +=（如右图）即()9155a a -=-⇒=-或()()1321a a -=-+24810340a a a a ⇒-⇒--=⇒=又因为此时0a >，故a =综上，95a ⎧⎪∈-⎨⎪⎪⎩⎭感知高考刺金377题已知锐角ABC ∆的内角3A π=，点O 为三角形外接圆的圆心，若OA xOB yOC =+，则2x y -的取值范围是 ．解法一：这是典型的求平面向量基本定理系数和问题，常用“作三点共线”的办法来解决。
由3A π=，得23BOC π∠=，不妨如图固定,,O B C 三点，因为ABC ∆是锐角三角形，所以点A 在'DC 上运动，取OB 的中点为'B()2''OA xOB yOC xOB y OC =+=+-这样就构造出了系数和2x y -作直线OA 与直线''B C 交于E ，于是作出了',',B C E 三点共线。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第396—400题(含答案解析)
感知高考刺金396题 已知椭圆22221x y a b +=，12,F F 是椭圆的左、右焦点，,A C 是椭圆上关于x 轴对称的两点，B 为短轴的端点，线段AB 恰好过右焦点，若1AB CF ⊥，则椭圆的离心率e = ． 解：设()0,B b ，()2,0F c ，()2,BF c b =- ，()22,F A BF c b λλλ==- ，()(),,A A x c y c b λλ-=-即,A A x c c y b λλ=+=-，则(),C c c b λλ+ 所以12F C bk c c λλ=+，2F B bk c =-1212F C F B bb k kc c c λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪+⎝⎭2222cb c λ⇒=- 点A 在椭圆上，所以2222222222222211c c c b b c b c a b ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=化简得2245a c a e =⇒=感知高考刺金397题【2017新课标卷II,理14】若x,y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，,则z x y =+的最大值为____________。
解：第一步：由约束条件，画出可行域 ，如图 先确定满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，的可行域，作出3条直线，围成一个三角形区域；第二步：把目标函数()0z ax by b =+≠化为a z y xb b =-+，作直线a y x b =-将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，作直线y x =-； 第三步：平移直线a y x b =-，确定目标函数最值把直线y x =-进行平行,确定平移到什么位置截距最大,然后把该点坐标代入z x y =+求最大值.当z 取最大值时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D （1，12），则z x y =+的最大值为23感知高考刺金398题【2017新课标卷II,理14】函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是____________． 解：()22311cos cos 44f x x x x x =--=-+=2(cos 1x -+,由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1． 点评：本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．感知高考刺金399题【2017全国Ⅱ，文8】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是____________。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第1—5题(含答案解析)
感知高考刺金11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ． 解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1APx y AQ +=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形,所以不妨设为等腰直角三角形,则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中,x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点,将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段,这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个感知高考刺金21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故 (1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两倍同学要站在一起,则不同的站法有 种．答案：192种感知高考刺金31．已知直线l ⊥平面α,垂足为O ．在矩形ABCD 中,1AD =,2AB =,若点A 在l 上移动,点B 在平面α上移动,则O ,D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ,则E 点的轨迹是球面的一部分,1OE =,DE所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有 种．答案：30种感知高考刺金41． 在平面直角坐标系xOy 中,设定点(),A a a ,P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为则满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为0x >,则12x x+≥,分两种情况： （1）当2a ≥时,min AP =,则a（2）当2a <时,min AP =则1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有 种．答案：90种感知高考刺金51．已知,x y ∈R ,则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =,22y x=-,则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上,故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方, 令222080222y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩,所以y x =+1y x =平行的22y x =-的切线,故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为4 2． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会,其中甲、乙两位教师不能同时参加,则邀请的不同方法有 种．答案：140种。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第266—370题(含答案解析)
感知高考刺金266题在平面直角坐标系xOy 中,,A B 是x 轴正半轴上的两个动点,P （异于原点）为y 轴上一个定点,若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切,且APB ∠的大小为定值,则OP = ．解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ,半径为r ,则可设()(),0,,0A t r B t r -+ 由两圆相外切得()2241t r +=+ 而tan t r OPB OP +∠=,tan t r OPA OP -∠= ()2222tan tan 22tan tan 1tan tan 23OPB OPA r OP r OP APB OPB OPA OPB OPA OP t r OP r ∠-∠⋅⋅∠=∠-∠===+∠⋅∠+-+- 因为APB ∠是定值,所以tan APB ∠为常数,所以OP =感知高考刺金267题已知等比数列{}n a 的公比1q >,其前n 项和为n S ,若4221S S =+,则6S 的最小值为 ．解法1：从等比数列的基本量入手由4221S S =+得()()4211121111a q a q q q --=+--,得1421121a q q q =--+- 所以()()()()()62426421622222111111111a q q q q q q q S q q q q --++-++====----- 令21q t -=,则6333S t t=++≥当且仅当21q 时取得等号。
解法2：从等比数列的性质入手因为等比数列有性质：()()242264S S S S S -=⋅-将4221S S =+代入,得622133S S S =++又因为4221S S =+得34121a a a a +=++,即()2211S q -=,因为1q >,所以20S >所以6221333S S S =++≥,当且仅当2S =感知高考刺金268题已知22:4O x y +=,点()4,0M ,过原点的直线（不与x 轴重合）与O 交于,A B 两点,则ABM ∆的外接圆的面积的最小值为 ． 解：2sin AB R ABM=∠,要求外接圆的面积的最小值,即求R 的最小值,即求sin ABM ∠的最大值 设()2cos ,2sin A αα,()2cos ,2sin B αα--()2cos 4,2sin MA αα=-,()2cos 4,2sin MB αα=--- 由极化恒等式知22164124AB MA MB MO =-=-=故3cos 5ABM ∠==≥ 故4sin 5ABM ∠≤ 所以4254sin 5AB R ABM =≥=∠,所以52R ≥,254S π≥感知高考刺金269题已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ,记n n n n n n n c a T b S a b =⋅+⋅-⋅,若20152015S =,201520142015T =,则数列{}n c 的前2015项和为 ． 解：当1n =时,11111c a b S T =⋅=⋅ 当2n ≥时,()()()()111111n n n n n n n n n n n n n n n c S S T T T S S S T T S T S T ------=-⋅+-⋅--⋅-=⋅-⋅()()()12311221133222015201520142014201520152014n c c c c S T S T S T S T S T S T S T S T ++++=+-+-++-==感知高考刺金270题钝角ABC ∆中,()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-,则()sin A B -= ． 解：由()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-得22222sin sin sin sin sin A C A C B ⋅=+- 故222222sin sin sin sin cos sin 2sin sin 22A C B a c b A B B A C ac π+-+-⎛⎫====- ⎪⎝⎭故2A B π=-或2A B ππ+-=由于ABC ∆为钝角三角形,故2A B π-=,所以()sin 1A B -=。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第326—330题(含答案解析)
感知高考刺金326在△ABC 中,已知BC = 4,AC = 3,cos (A - B ) = 34,则△ABC 的面积为 ． 解：在角A 中作出A - B ,即在BC 上取一点D ,使DB = DA ,设DB = x ,则DC = 4 - x ．在△ACD 中,cos ∠CAD = cos (A - B ) = 34, ∴223(4)9234x x x -=+-⨯⨯⨯,得x = 2．则DA = DC = DB ,∠BAC = 90︒,AB = △ABC． 感知高考刺金327若ABC ∆的外接圆是半径为1的圆O ,且120AOB ∠=,则AC CB 的取值范围是 。
解法一：AC CB CA CB =-是同一个C 点出发的两个向量作点积,且终点连线AB =,显然用极化恒等式是一个不错的选择。
222344AB AC CB CA CB CD CD =-=-+=-（其中D 为AB 中点）点C 在圆上运动,故R OD CD R OD -≤≤+,即1322CD ≤≤故31,22AC CB ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又C 不与,A B 重合,所以0AC CB ≠,所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 解法二：如图建系设点。
()1,0A ,12B ⎛-⎝⎭,()cos ,sin C θθ ()1cos 1cos sin sin 2111cos sin 2262AC CB θθθθπθθθ⎫⎛⎫=---+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭因为202,0,3πθπθ≤≤≠,所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦解法三：基底角度,一问三不知转基底()()()111cos 222AC CB OC OA OB OC OC OA OB OC OD θ=--=+-=-=-由于C 不与,A B 重合,所以31,00,22AC CB ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦感知高考刺金328如图,点,,A B C 是以O 为圆心,1为半径的圆O 上任意三点,则AC BC 的最小值是 。
2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题：第66—70题含解析
感知高考刺金661．已知离心率为e 的椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线221xy -=有相同的焦点，且直线y ex =分别与椭圆相交与,A B 两点,与双曲线相交于,C D 两点，若,,C O D 依次为线段AB的四等分点，则e = ． 解：设()0,D x ex ，则()02,2B x ex所以2222002111x e x x e -=⇒=-且2220022441x e x a b+=，222a b =+所以化简得42480b b --=,解得2223b=+,所以222622322423e b -===-=++ 2． 5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 。
解：31122133521531332222550381C C C C C C A A A A +=感知高考刺金671．已知双曲线()222210x y a b a b -=>>，圆222:O xy a +=，过双曲线第一象限内任意一点()0,P x y 作圆C 的两条切线，其切点分别为,A B ．若AB 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点,则2222b a OMON-=（ ）A 、22b aB 、22b a- C 、22a bD 、22c a 解：直线2:AB x x y y a+=当0y =，20a x x =，2a OM x =当0x =,2a y y =，2a ON y =2222200442b x a y b a a a-= 2．将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染色方法。
解：解第一行染2个黑格有246C =种染法，第一行染好后，有如下三种情况：(1）第二行染的黑格与第一行同列，这时其余两行只有1种染法； (2）第二行染的黑格与第一行均不同列，这时第三行有246C =种染法，第四行随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行同列,这样的染法有4种，而第一、第二行染好后，第三行染的黑格必然有一个于上面的黑格均不同列,这是第三行的染法有2种，第四行随之确定. 因此共有()6164290⨯++⨯=种。
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感知高考刺金266题
在平面直角坐标系xOy 中，,A B 是x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点）为y 轴上一个定点，若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且APB ∠的大小为定值，则OP = ．
解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ，半径为r ，则可设()(),0,,0A t r B t r -+ 由两圆相外切得()2
241t r +=+ 而tan t r OPB OP +∠=，tan t r OPA OP -∠= ()2222tan tan 22tan tan 1tan tan 23
OPB OPA r OP r OP APB OPB OPA OPB OPA OP t r OP r ∠-∠⋅⋅∠=∠-∠=
==+∠⋅∠+-+- 因为APB ∠是定值，所以tan APB ∠
为常数，所以OP =
感知高考刺金267题
已知等比数列{}n a 的公比1q >，其前n 项和为n S ，若4221S S =+，则6S 的最小值为 ．
解法1：从等比数列的基本量入手
由4221S S =+得()()4
2
11121111a q a q q q --=+--，得1421121
a q q q =--+- 所以()()()()()6
2426
42
16222
22111111111a q q q q q q q S q q q q --++-++====----- 令21q t -=
，则6333S t t
=++≥
当且仅当21q 时取得等号。
解法2：从等比数列的性质入手
因为等比数列有性质：()()2
42264S S S S S -=⋅-
将4221S S =+代入，得622133S S S =++ 又因为4221S S =+得34121a a a a +=++，即()
2211S q -=，因为1q >，所以20S >
所以6221333S S S =++≥
，当且仅当2S =
感知高考刺金268题
已知22:4O x y += ，点()4,0M ，过原点的直线（不与x 轴重合）与O 交于,A B 两点，则ABM ∆的外接圆的面积的最小值为 ． 解：2sin AB R ABM
=∠，要求外接圆的面积的最小值，即求R 的最小值，即求sin ABM ∠的最大值
设()2cos ,2sin A αα，()2cos ,2sin B αα--
()2cos 4,2sin MA αα=- ，()2cos 4,2sin MB αα=--- 由极化恒等式知2
2164124
AB MA MB MO =-=-=
故3cos 5
ABM ∠==≥ 故4sin 5
ABM ∠≤ 所以4254sin 5
AB R ABM =≥=∠，所以52R ≥，254
S π≥
感知高考刺金269题
已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，记n n n n n n n c a T b S a b =⋅+⋅-⋅，若20152015S =，
201520142015
T =
，则数列{}n c 的前2015项和为 ． 解：当1n =时，11111c a b S T =⋅=⋅ 当2n ≥时，()()()()111111n n n n n n n n n n n n n n n c S S T T T S S S T T S T S T ------=-⋅+-⋅--⋅-=⋅-⋅ ()()()12311221133222015201520142014201520152014n c c c c S T S T S T S T S T S T S T S T ++++=+-+-++-==
感知高考刺金270题
钝角ABC ∆中，()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-，则()sin A B -= ．
解：由()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-得22222sin sin sin sin sin A C A C B ⋅=+- 故222222sin sin sin sin cos sin 2sin sin 22A C B a c b A B B A C ac π+-+-⎛⎫====- ⎪⎝⎭
故2A B π
=-或2A B π
π+-=
由于ABC ∆为钝角三角形，故2A B π-=
，所以()sin 1A B -=。