2017届人教A版直线与圆锥曲线的位置关系单元检测无答案

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直线与圆锥曲线的位置关系检测题与详解答案

直线与圆锥曲线的位置关系测试题与详解答案A 级——保大分专练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截得的弦长为45，则抛物线C 的方程为( )A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选 C 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标分别为(0,0)和(4p,8p )，则4p28p2＝4 5.∵p ＞0，∴p ＝1.故抛物线C 的方程为x 2＝2y .故选C.2．若直线x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y2＝5上，则m 的值为( )A ．± 2B ．±2C ．±1D ．± 3解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x －y ＋m ＝0，得x 2－2mx －m 2－2＝0(Δ＞0)，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m ，∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，∴m 2＋(2m )2＝5，∴m ＝±1.3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，所以4m 2＋n2＞2，所以m 2＋n2＜4.所以m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2≤1，所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y24＝1的内部，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个．4．过点P (2,2)作直线与双曲线x 24－y 2＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，则这样的直线( )A ．存在一条，且方程为x －4y ＋6＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为x －4y ＋6＝0或x ＋4y －10＝0D ．不存在解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，且有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x224－y 22＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 24－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，即直线AB 的斜率k ＝14，故所求直线方程为y －2＝14(x －2)，即x －4y ＋6＝0.联立直线AB 和双曲线方程得，3y 2－12y ＋8＝0，Δ＝(－12)2－4×3×8＝48＞0，故该直线存在．5．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．413x .解析：选B 法一：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝ ±设两条渐近线的夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示．在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3.故选B.法二：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则 ∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2,0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －2y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B.6．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，94x 2＋5bx ＋b 2＋36＝0，因为直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)＞0，解得b ＜－92或b ＞92.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞7．经过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为π6的直线交C 于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为94，则抛物线的方程为________．解析：法一：直线MN 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得y 2－23py －p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝23p ，y 1y 2＝－p 2，S △OMN ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12·|OF |y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×p2×23p2－4p 2＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .法二：直线MN 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝33x －3p 6，代入y 2＝2px 整理得13x 2－ 73px ＋112p 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝7p ，|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝7p ＋p ＝8p ，又原点O (0,0)到直线MN 的距离d ＝36p 23＝p 4，∴S △OMN ＝12|MN |d ＝12×8p ×p 4＝94，即p 2＝94，得p ＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .答案：y 2＝3x8．设直线l ：2x ＋y ＋2＝0关于原点对称的直线为l ′，若l ′与椭圆x 2＋y 24＝1的交点为A ，B ，点P 为椭圆上的动点，则使△PAB 的面积为12的点P 的个数为________．解析：易知直线l ′的方程为2x ＋y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得交点分别为椭圆顶点(1,0)和(0,2)，则|AB |＝5，由△PAB 的面积为12，得点P 到直线AB 的距离为55，而平面上到直线2x ＋y －2＝0的距离为55的点都在直线2x ＋y －1＝0和2x ＋y －3＝0上，而直线2x ＋y －1＝0与椭圆相交，2x ＋y －3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P 有2个．答案：29．已知点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．解：(1)设M (x ，y )，因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·yx －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，即为动点M 的轨迹方程． (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．法一：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x 21＋y 21＝2，2x 22＋y 22＝2，两式相减，整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2x 1＋x 2y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.法二：当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，62，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－62，此时CD 的中点不是N ，不符合题意．故设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将其代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，化简得(2＋k 2)x 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2＝0(x ≠±1)，所以Δ＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－4(2＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 22－2＞0，①则x 1＋x 2＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k22＋k2，又由N 为线段CD 的中点，得x 1＋x 22＝－k ⎝⎛⎭⎪⎫1－k 22＋k 2＝12，解得k ＝－1，将k ＝－1代入①中可知满足条件．此时直线l 的方程为y －1＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0.10．(2019·合肥调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，左焦点为 F (－3，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右顶点，过点F 且斜率为12的直线交椭圆E 于M ，N 两点，求△AMN 的面积．解：(1)由题意得椭圆E 的右焦点为(3，0)，即c ＝3，则由椭圆的定义得3＋32＋14＋12＝2a ，解得a ＝2. 又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)过F (－3，0)且斜率为12的直线的方程为y ＝12(x ＋3)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋3x24＋y 2＝1消去x ，得8y 2－43y －1＝0，显然Δ＞0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝32，y 1y 2＝－18，∴|y 1－y 2|＝52， ∵A 是椭圆E 的右顶点，∴|AF |＝2＋3，∴△AMN 的面积S ＝12|AF |·|y 1－y 2|＝12×(2＋3)×52＝25＋154.B 级——创高分自选1．(2019·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求证：点(m ，k )在定圆上．解：(1)由已知得e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2－b 2＝c 2，∴b ＝1，a ＝2， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，∴点(m ，k )在定圆x 2＋y 2＝54上．2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0,1)，离心率为32，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝2x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝20351，求直线l 的方程．解：(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝32，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题设知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝3，所以圆心到直线l 的距离d ＝|m |5，由d ＜3得|m |＜15. 所以|CD |＝23－d 2＝2515－m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y ，得17x 2＋16mx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－16m 17，x 1x 2＝4m 2－417，所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝451717－m 2，由|AB ||CD |＝20351，得 17－m 215－m 2＝233，解得m ＝±3，满足|m |＜15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋3或y ＝2x －3.。

学年高中数学考点直线与圆锥曲线的位置关系含高考试题新人教A版

学年高中数学考点直线与圆锥曲线的位置关系含高考试题新人教A版 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】考点38直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.(2017·全国甲卷文·T12)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F,的直线交C 于点M(M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为 ( )【命题意图】抛物线的性质、直线与抛物线的关系以及点到直线的距离公式,意在考查学生的推理论证能力和运算求解能力.【解析】选C.方法一:由题意知与抛物线y 2=4x 联立得3x 2-10x+3=0,解得x 1=13,x 2=3,所以),因为MN ⊥l,所以N(-1,23),又F(1,0),所以NF:y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以M到直线NF的距离为()2233233=2331⨯+-+.方法二:由方法一知3则3()()22223-+设M到NF的距离为d,则S△MNF=12|NF|d=12|MN|·yM即4d=4×3故d=23.、二、填空题2.(2017·全国甲卷理科·T16).已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .【命题意图】本题考查抛物线的几何性质和两点间的距离公式.意在考查学生的数形结合的思想以及运算能力.【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M 1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭,点M 在抛物线上,所以24a =8,解得a=±4,所以N(0,±),那么|FN|=答案:6 三、简答题3.(2017·全国乙卷理科·T20)已知椭圆C:22x a+22y b =1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,P 41,2⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程.(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.【命题意图】主要考查椭圆的标准方程的求法,直线与圆锥曲线的位置关系问题,突出考查考生解决综合问题及运算能力. 【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P 3,P 4,又P 4横坐标为1,椭圆必不过P 1,所以过P 2,P 3,P 4三点,将P 2()0.1,P 31,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得22211,3141,b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a 2=4,b 2=1.所以椭圆C 的方程为:24x +y 2=1.(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A (),A m y ,B (),A m y -,2P A k +2P B k =1A y m -+1A y m --=2m-=-1,得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.① 斜率存在时,设l:y=kx+n ()1n ≠,A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立22440y kx nx y =+⎧⎨+-=⎩整理得()214k +x 2+8knx+4n 2-4=0,x 1+x 2=2814knk -+,x 1·x 2=224414n k -+,则2P A k +2P B k =121211y y x x --+=()()21212112x kx n x x kx n x x x +-++-=222228888144414kn k kn knk n k --++-+=()()()81411k n n n -+-=-1, 又n ≠1n=-2k-1,此时Δ=-64k,存在k 使得Δ>0成立, 所以直线l 的方程为y=kx-2k-1, 当x=2时,y=-1, 所以l 过定点()2,1-.【反思总结】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知斜率情况,则一定要讨论直线斜率不存在和存在的情况,接着通法是联立方程组,求判别式、根与系数的关系,根据题设关系进行化简.4.(2017·天津高考理科·T19)设椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px(p>0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程.(2)设l 上两点P,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B(B 异于点A),直线BQ 与x 轴相交于点D.若△APD 求直线AP 的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力. 【解析】(1)设F 的坐标为(-c,0).依题意,c a= 12, P2=a,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+243y =1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P 21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故Q 21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.将x=my+1与x 2+243y=1联立,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0,或y=2634mm -+.由点B 异于点A,可得点B 222346,3434m m m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭.由Q 21,m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可得直线BQ 的方程为262,34mm m -⎛⎫- ⎪+⎝⎭(x+1)-22342134m y m m ⎛⎫-+⎛⎫+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=0,令y=0,解得x=222332m m -+,故D 2223,032m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭,所以|AD|=1-222332m m -+=22632m m +.又因为△APD 的面积为故12×22632m m +×2m 整理得3m 2|m|+2=0,解得所以m=±3.所以,直线AP 的方程为y-3=0,或y-3=0.5.(2017·天津高考理科·T20)已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为22 b.(1)求椭圆的离心率.(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.【命题意图】本题考查圆锥曲线的定义、方程、几何性质以及直线与圆锥曲线综合问题,考查学生的应用能力和计算能力.【解析】(1)设椭圆的离心率为e,由已知,可得12(c+a)c=22b.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=1 2 .所以,椭圆的离心率为1 2 .(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为1 m .由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为2x c +yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP 的方程联立,可解得x=()2m-2c m+2,y=32cm +,即点Q 的坐标为()223,22m c c m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 由已知|FQ|=32c ,有()2222m c c m -⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦+232c m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=232c ⎛⎫ ⎪⎝⎭,整理得3m 2-4m=0,所以m=43,即直线FP 的斜率为34.②由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为222243x y c c+=1.由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立22223430143x y c x y c c-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得7x 2+6cx-13c 2=0,解得x=-137c(舍去),或x=c.因此可得点P 3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭,进而可得=5c 2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=32c-32c=c.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP.因为QN ⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan ∠QFN=32c ×34=98c,所以△FQN 的面积为12|FQ||QN|=22732c ,同理△FPM 的面积等于27532c ,由四边形PQNM 的面积为3c,得27532c -22732c =3c,整理得c 2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为2211612x y +=.6.(2017·全国甲卷文·T20)(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C:22x +y 2=1上,过点M 作x 轴的垂线,垂足为N,点P 满足NP. (1)求点P 的轨迹方程.(2)设点Q 在直线x=-3上,且OP ·PQ =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【命题意图】椭圆的几何性质、曲线与方程,向量的坐标运算以及直线方程.意在考查学生的数形结合能力和逻辑推理、运算能力. 【解析】(1)设P(x,y),M(x',y'),N(x',0),已知NP,即(0,y'),所以0x x y '-=⎧⎪⎨'=⎪⎩所以x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩因为M 在椭圆上,所以代入椭圆方程得x 2+y 2=2, 所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)设P(x 1,y 1),Q(-3,y 2),椭圆的左焦点为F(-1,0), OP =(x 1,y 1),PQ =(-3-x 1,y 2-y 1),OP ·PQ =x 1·(-3-x 1)+y 1(y 2-y 1)=1,即-3x 1-21x + y 1·y 2-21y =1,-3x 1+y 1·y 2-(21x +21y )=1,即-3x 1+y 1·y 2=3,①,故l OQ :y=-23y ·x.所以过P 与直线OQ 垂直的直线l 为:y-y 1=23y ·(x-x 1), 当x=-1时,y=y 1+23y (-1-x 1)=y 1+23y --123x y =y 1-123x y -23y =12123y y x y ⋅--23y ,将①代入得y=0, 所以过P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.。

2017届人教A版直线与圆锥曲线的位置关系三年高考两年模拟题

第六节直线与圆锥曲线的位置关系A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·四川，10)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( ) A.(1,3)B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)2.(2016·新课标全国Ⅱ，21)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积. (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.3.(2016·新课标全国Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4.(2016·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.5.(2016·山东，21)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值.6.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P ⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆E 上. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.(2015·天津，19)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |. ①求λ的值；②若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程.8.(2015·北京，20)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.9.(2015·江苏，18)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程.10.(2015·湖北，22)一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由.11.(2015·山东，21) 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎫3，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.12..(2015·湖南，20)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向. (1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.13.(2014·山东，21)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，直线y ＝x 被椭圆C 截得的线段长为4105.(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点(A ，B 不是椭圆C 的顶点).点D 在椭圆C 上，且AD ⊥AB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.①设直线BD ，AM 的斜率分别为k 1，k 2.证明：存在常数λ使得k 1＝λk 2，并求出λ的值； ②求△OMN 面积的最大值.14.(2014·江西，20)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.15.(2014·北京，19)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点.若点A 在直线y ＝2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB ,求线段AB 长度的最小值.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·东北四校联考)设P 是椭圆x 225+y 29＝1上一点,M ,N 分别是两圆：(x +4)2+y 2＝1和(x -4)2+y 2=1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，122.(2016·四川成都第二次诊断)已知抛物线y ＝x 2的焦点F ，过点(0，2)做直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点F 关于直线OA 的对称点为C ，则四边形OCAB 面积的最小值为( ) A.23B.3C.32D.33.(2016·山东东营第二次质量检测)已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2a 2－y 216＝1相交于A ，B两点，点F 为抛物线的焦点，△ABF 为直角三角形，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.2C.6D. 34.(2016·湖北八校联考)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A.2B.3C.5D. 65.(2015·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|AF 2|，∠F 1AF 2＝90°，则双曲线的离心率为( ) A.6＋32 B.6＋3C.5＋222D.5＋2 2 6.(2015·马鞍山模拟)以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲线交于M 点(第一象限)，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂足恰为OF 2的中点，则双曲线的离心率为( ) A.3－1 B.3C.3＋1 D.27.(2016·云南师大附中适应性月考)已知点P (x ，y )在椭圆x 264＋y 239＝1上，若定点A (5，0)，动点M 满足|AM →|＝1，且PM →²AM →＝0，则|PM →|的最小值是________.8.(2015·广西南宁三模)已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，以抛物线y 2＝16x 的焦点为其中一个焦点，以双曲线x 216－y 29＝1的焦点为顶点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点，则当直线PE ，PF 的斜率都存在，并记为k PE ，k PF 时，k PE ²k PF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.9.(2015·巴蜀中学一模)已知椭圆的焦点坐标是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过点F 2垂直于长轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3. (1)求椭圆的方程；(2)过F 2的直线与椭圆交于不同的两点M ，N ，则△F 1MN 的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)＝4(x 1-x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当l 的斜率存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22²y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0²k ＝2，由CM ⊥AB 得k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0k ＝5－x 0，2＝5－x 0，∴x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，有－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4，故选D.答案D2.解(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (-2,0),因此直线AM 的方程为y =x +2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0,解得y ＝0或y ＝127,所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k 1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0，设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8,则k 是f (t )的零点,f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0,所以f (t )在(0,＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.3.(1)证明由题设F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ,设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝12|b -a |·|FD |＝12|b -a |⎪⎪⎪⎪x 1－12,S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)，设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ).当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE ，可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1).而a ＋b 2＝y .所以y 2＝x －1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 4.(1)解由椭圆过点A (2，0)，B (0，1)知a ＝2，b ＝1.所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1，又c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆离心率e ＝c a ＝32.(2)证明设P 点坐标为(x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，由B 点坐标(0，1)得直线PB方程为：y －1＝y 0－1x 0(x －0)，令y ＝0，得x N ＝x 01－y 0，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，由A 点坐标(2，0)得直线P A 方程为y －0＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝2y 02－x 0，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，所以S 四边形ABNM ＝12|AN |²|BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2.即四边形ABNM 的面积为定值2.5.(1)解设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0).由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.②解设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).直线P A 的方程为y ＝kx ＋m . 直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62. 6.解(1)由已知，a ＝2b ，又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P ⎝⎛⎭⎫3，12，故34b 2＋14b 2＝1,解得b 2＝1.所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式为Δ＝4m 2－4(2m 2－2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.所以M 点坐标为⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ，由方程组⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22.所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2). 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2). 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.7.解 (1)设F (-c ，0).由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2,可得a ＝5c ,b ＝2c ,又因为B (0,b )，F (-c ,0)，故直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc ＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M ).①由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ,与椭圆方程联立,消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c21.又因为λ＝|PM ||MQ |，及x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.②由①有|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝⎝⎛⎭⎫0＋5c 32＋⎝⎛⎭⎫2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1.所以，椭圆方程为x 25＋y 24＝1.8.解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行. 9.解(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.10.解 (1)因为|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立；同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立. 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12³4³4＝8.②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝⎛⎭⎫k ≠±12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)2x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4.①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝⎛⎭⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|m |1＋k 2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ＝12|PQ |²d ＝12|m ||x P －x Q |＝12²|m |²⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.②将①代入②得，S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8|4k 2＋1||4k 2－1|. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝⎛⎭⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2. 因0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝⎛⎭⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时取等号.所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 11.解 (1)由题意知3a 2＋14b 2＝1.又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1，又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，① 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k 2＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0＜t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3.由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.12.解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4).因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0. 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4³649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162³9（k 2＋1）（9＋8k 2）2，所以(9＋8k 2)2＝16³9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.13.解 (1)由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2.椭圆C 的方程可简化为x 2＋4y 2＝a 2.将y ＝x 代入可得x ＝±5a 5，因此2³25a 5＝4105，可得a ＝2.因此b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设A (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，D (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，因为直线AB 的斜率k AB ＝y 1x 1，又AB ⊥AD ，所以直线AD 的斜率k ＝－x 1y 1.设直线AD 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知k ≠0，m ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1可得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0. 所以x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，因此y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋4k 2. 由题意知x 1≠－x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14k ＝y 14x 1.所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1). 令y ＝0，得x ＝3x 1，即M (3x 1，0).可得k 2＝－y 12x 1.所以k 1＝－12k 2，即λ＝－12.因此存在常数λ＝－12使得结论成立.②直线BD 的方程y ＋y 1＝y 14x 1(x ＋x 1)，令x ＝0，得y ＝－34y 1，即N ⎝⎛⎭⎫0，－34y 1.由①知M (3x 1，0)，可得△OMN 的面积S ＝12³3|x 1|³34|y 1|＝98|x 1||y 1|.因为|x 1||y 1|≤x 214＋y 21＝1，当且仅当|x 1|2＝|y 1|＝22时等号成立，此时S 取得最大值98，所以△OMN 面积的最大值为98.14.证明(1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2,代入x 2＝4y ,得x 2＝4(kx ＋2),即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上.(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2、y ＝－2得N 1、N 2的坐标为N 1⎝⎛⎭⎫2a ＋a ，2，N 2⎝⎛⎭⎫－2a ＋a ，－2，则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝⎛⎭⎫2a －a 2＋42－⎝⎛⎭⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8. 15.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →²OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0-t )2＋(y 0-2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2+4＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12.] 答案C2.解析不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<0<x 2)，即点A 在点B 左侧，当直线斜率不存在时，不满足题意，故可设直线方程为y ＝kx ＋2，联立抛物线方程可得x 2－kx －2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，y 1y 2＝4∴S OCAB ＝S △OAB ＋S △OF A ＝12×2×(x 2－x 1)＋12×14×(－x 1)＝x 2＋98(－x 1)≥298（－x 1x 2）＝3. 答案 D3.解析由题意知，抛物线的准线x ＝－2，△ABF 是等腰直角三角形，如图易知A (－2，4)，代入x 2a 2－y 216＝1，即得a ＝2，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋16a ＝182＝3.答案 A4.解析不妨设点A 在第一象限，A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，C 2的渐近线为y ＝±b a x ，得b a ·p 2＝p ，即ba ＝c 2－a 2a ＝2，e ＝ 5. 答案C5.解析设|AF 1|＝x ，|AF 2|＝y ，则有y －x ＝2a ①，又因为∠F 1AF 2＝90°，所以x 2＋y 2＝4c 2 ②，F 2A ⊥BF 1，又因为|AB |＝|AF 2|＝y ，所以BF 2＝2y ，则|BF 1|－|BF 2|＝x ＋y －2y ＝2a ③，联立①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选B.答案B6.解析过点M 作x 轴垂线，交x 轴于点A ，由|MF 2|2＝|F 2A |·|F 1F 2|得|MF 2|＝c ，由双曲线定义|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得|MF 1|＝2a ＋c ，由|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，得c 2－2ac －2a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，得e ＝3＋1. 答案C7.解析由|AM →|＝1可知点M 的轨迹为以点A 为圆心，1为半径的圆，过点P 作该圆的切线，则|P A |2＝|PM |2＋|AM |2，得|PM |2＝|P A |2－1，所以要使|PM →|的值最小，则要|P A →|的值最小，而|P A →|的最小值为a －c ＝3，此时|PM →|＝2 2. 答案2 28.解(1)由抛物线y 2＝16x 的焦点为(4，0)可得c ＝4.可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0).∵双曲线x 216－y 29＝1的焦点为(±5，0).∴由题意知a ＝5，b 2＝a 2－b 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)k PE ·k PF 为定值，该定值为－925.理由：E ，F 是椭圆上关于原点对称的两点.设E (m ，n )，则F (－m ，－n )，又设P 点坐标为(x ，y ).则m 225＋n 29＝1，x 225＋y 29＝1.两式相减可得x 2－m 225＋y 2－n 29＝0，即y 2－n 2x 2－m 2＝－925. (由题意知x 2－m 2≠0).又k PE ＝y －n x －m ，k PF ＝y ＋n x ＋m ，则k PE ·k PF ＝y 2－n 2x 2－m 2＝－925.∴k PE ·k PF 为定值，且为－925. 9.解(1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由交点的坐标得c ＝1,由|PQ |＝3,可得2b 2a ＝3,解得a ＝2,b ＝3,故椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，不妨设y 1＞0，y 2＞0，设△F 1MN 的内切圆半径是R ，则△F 1MN 的周长是4a ＝8， S △F 1MN 最大，R 就最大， S △F 1MN ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝y 1－y 2，由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，解得y 1＝－3m －6m 2＋13m 2＋4，y 2＝－3m ＋6m 2＋13m 2＋4，则S △F 1MN ＝12m 2＋13m 2＋4，令t ＝m 2＋1，则t ≥1，则S △F 1MN ＝123t ＋1t ，令f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2，当t ≥1时，f ′(t )≥0，f ′(t )在[1，＋∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)＝4，S △F 1MN ≤124＝3，即当t ＝1，m ＝0时，S △F 1MN ≤124＝3，S △F 1MN ＝4R ，所以R max ＝34，此时所求内切圆面积的最大值是9π16，故直线l ：x ＝1，△F 1MN 内切圆的面积最大值是9π16.。

2018届人教A版直线与圆锥曲线的位置关系单元测试

直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12 C ．－4D ．－116解析：由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A (－14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－116. 答案：D2．(2016·浙江舟山模拟)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝22(m ＝－22舍)．答案：B3．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．答案：A4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.32 6解析：设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4. ∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4k (k －1)2k ＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303.答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：由题，易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴所求距离为d ＝|35|5＋4＝ 5.答案：A6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky 2－8y ＋16k 2＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案：C7．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.答案：C8．(2016·河南洛阳统考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA→＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( ) A. 3 B.233 C.43D ．3解析：由题意得直线方程为y ＝x ＋c ，代入双曲线的方程并整理可得(b 2－a 2)x 2－2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c b 2－a 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2c b 2－a2，∴OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c b 2－a2，2b 2c b 2－a 2，又∵OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，∴2a 2c b 2－a 2＝3·2b 2c b 2－a2，∴a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝233.故选B.答案：B9．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613B.22613C.21313D.41313解析：由题意可知，c ＝2，由e ＝c a ＝2a .可知e 最大时需a 最小．由椭圆的定义|P A |＋|PB |＝2a ，即使得|P A |＋|PB |最小，设A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点D (x ，y )，由⎩⎨⎧y －0x ＋2·1＝－1，0＋y 2＝－2＋x2＋3，可知D (－3,1)．所以|P A |＋|PB |＝|PD |＋|PB |≥|DB |＝12＋52＝26，即2a ≥26. 所以a ≥262，则e ＝c a ≤2262＝22613.故选B.答案：B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2D. 6解析：由双曲线的定义及已知可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ，则cos ∠F 1PF 2＝PF 1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝－6a 26a ·4a ＝－14，设双曲线的焦距为2c (c >0)，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×(－14)，所以c 2＝16a 2，故双曲线的离心率为c a ＝4.故选B.答案：B 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________．解析：椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1,0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k2，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →·PF →＝2k 2(1＋2k 2)2－k 2(1＋2k 2)2＝k 2(1＋2k 2)2＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →·PF →＝0，当k ≠0时，OP →·PF →＝k 21＋4k 2＋4k4＝14＋1k 2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →·PF→>0.当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合，所以OP →·PF →＝0. 综上，OP →·PF →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1812．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．解析：由弦长公式知|AB |＝35，只需点P 到直线AB 距离最大就可保证△APB 的面积最大．设与l 平行的直线y ＝2x ＋b 与抛物线相切，解得b ＝12. ∴d ＝9510，∴(S △APB )max ＝12×35×9510＝274. 答案：27413．(2016·河南郑州质检)已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．解析：∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n .由题意可得m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0，得m ＋2>2. ∴0<1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12. 而0<e 1<1，∴22<e 1<1. 答案：22<e 1<114．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．解析：把x ＝4－y 代入椭圆方程并整理，得y 2－2y ＋1＝0，它有两个相等的根，∴l 与椭圆相切．如图，连接PF 1，与椭圆交于Q (由于P 在椭圆外，则Q 在P ，F 1之间)，连接QF 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|PQ |＋|PF 2|≥|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝43，当且仅当Q 在线段PF 2上，即P 在椭圆上时取等号，∴|PF 1|＋|PF 2|的最小值是4 3. 答案：相切 4 3 三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程； (2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．解：(1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)． ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M (－12，t )，则圆半径r ＝|(－12)－(－2)|＝32. 由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2.∴所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ±2)2＝94. (2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1.整理，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根，如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1.∴AB 的垂直平分线NG 的方程为 y －y 0＝－1k (x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.∵k ≠0，∴－12<x G <0.∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋42，又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝223a ，所以a ＝3，c ＝22，故b 2＝a 2－c 2＝1. 椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)方法1：不妨设直线BC 的方程为y ＝n (x －3)，(n >0)．则直线AC 的方程为y ＝－1n (x －3)．由⎩⎨⎧ y ＝n (x －3)，x 29＋y 2＝1，得(19＋n 2)x 2－6n 2x ＋9n 2－1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为3x 2＝81n 2－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2－39n 2＋1. 同理可得x 1＝27－3n 29＋n 2. 所以|BC |＝1＋n 269n 2＋1，|AC |＝1＋n 2n 6n 29＋n 2， S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2(n ＋1n )(n ＋1n )2＋649.设t ＝n ＋1n ≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋649t≤38，当且仅当t ＝83时取等号．所以△ABC 面积的最大值为38.方法2：不妨设直线AB 的方程x ＝ky ＋m (m ≠3)．由⎩⎨⎧ x ＝ky ＋m ，x 29＋y 2＝1，消去x ，得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2－9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9k 2＋9.① 因为以AB 为直径的圆过点C (3,0)，所以CA →·CB→＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)，得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式．得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2＝0. 将①代入上式，解得m ＝125或m ＝3(舍)．所以m ＝125(此时直线AB 经过定点D (125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S △ABC ＝12|DC ||y 1－y 2|＝12×35(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝9525(k 2＋9)－14425(k 2＋9)2. 设t ＝1k 2＋9，0<t ≤19，则S △ABC ＝95－14425·t 2＋t .所以当t ＝25288∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19时，S △ABC 取得最大值38.。

高考数学(理)一轮复习分层演练：8.9直线与圆锥曲线的位置关系(含答案)

第9讲直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P180])1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1k2|y 1－y 2| ＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.1．辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．2．“点差法”求解弦中点问题的步骤设点—设出弦的两端点坐标 ↓代入—代入圆锥曲线方程 ↓作差—两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓整理—转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解1．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.12 B ．13C.14D ．4C [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.2．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左，右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－baB ．k ＜baC ．k ＞b a 或k ＜－b aD ．－b a ＜k ＜baD [解析] 由双曲线渐近线的几何意义知－b a ＜k ＜ba.3．过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定B [解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－14.故选B ．4．过点A (1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．[解析] 过A (1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. [答案] 2 65．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有________条．[解析] 结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0，1)且平行于x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．[答案] 3直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P181][典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．【解】 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P (0，1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组错误!将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．弦长问题[学生用书P181][典例引领](2017·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋1交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 的面积．【解】 (1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22，由2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22x －3＝0，且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22x 1x 2＝－34，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3·12＋3＝422.又P 到直线AB 的距离为d ＝13，所以S △P AB ＝12|AB |·d ＝12·422·13＝144.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．[注意] 两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .(1)求轨迹Z 的方程；(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．[解] (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|P A |＝|AM |＝8，所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆，所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 212＝1.(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以x 1＋x 2＝16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k 2，同理可得|FG |＝24（1＋k 2）4＋3k 2，所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2（4＋3k 2）（3＋4k 2），设t ＝k 2＋1，则t >1，所以|DE |＋|FG |＝16812＋t －1t2，当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0<y ≤14，所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.中点弦问题[学生用书P182][典例引领](2015·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解】 (1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b 1(k ≠0，b 1≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 1代入x 28＋y 24＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kb 1x ＋2b 21－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 12k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b 1＝b 12k 2＋1.于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－12k ，即k O M ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则x 218＋y 214＝1，① x 228＋y 224＝1，② ①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）8＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－12.又y 1＋y 2＝2y 0，x 1＋x 2＝2x 0，所以2y 02x 0·k AB ＝－12.即k OM ·k AB ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值－12.在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.求M 的方程．[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2（x 2＋x 1）a 2（y 2＋y 1）＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.[学生用书P370(独立成册)]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)C [解析] 因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得ba>2，所以e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋4＝ 5.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8C [解析] 因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3，23)，所以AK ＝4，所以S △AKF ＝12×4×23＝4 3.3．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条B [解析] 若直线AB 的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 为y ＝k (x －12)，代入抛物线y 2＝2x 得，k 2x 2－(k 2＋2)x ＋14k 2＝0，因为A 、B 两点的横坐标之和为2.所以k ＝±2.所以这样的直线有两条．4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3. A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条C [解析] 直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13B [解析] 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，所以OA →·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时，也可得OA →·OB →＝－13.6．(2017·江西五市八校二模)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则ab的值为( ) A ．－32B ．－233C ．－932D ．－2327A [解析] 由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22)．即a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)，由题意可知x 1≠x 2，且x 1＋x 2≠0，所以y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，所以－32×(－1)＝－a b ，所以a b ＝－32，故选A.7．(2017·广州市高考模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为AF →＝2FB →，所以1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，所以x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.[答案] 948．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．[解析] c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215. [答案] 32159．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于________． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线l 的倾斜角为60°，则直线l 的方程为y －0＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2，即y ＝3x －32p ，联立抛物线方程，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，则x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AF ||BF |＝32p ＋12p 12p ＋16p ＝3. [答案] 310．(2017·辽宁沈阳二中模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．[解析] 由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1，0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组错误!消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0. 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. [答案] 55311．已知点Q 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)上异于坐标原点O 的点，过点Q 与抛物线C 2：y ＝2x 2相切的两条直线分别交抛物线C 1于点A ，B ．若点Q 的坐标为(1，－6)，求直线AB的方程及弦AB 的长．[解] 由Q (1，－6)在抛物线y 2＝2px 上，可得p ＝18，所以抛物线C 1的方程为y 2＝36x .设抛物线C 2的切线方程为y ＋6＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝k （x －1），y ＝2x 2，消去y ，得2x 2－kx ＋k ＋6＝0， Δ＝k 2－8k －48.由于直线与抛物线C 2相切，故Δ＝0，解得k ＝－4或k ＝12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝－4（x －1），y 2＝36x ，得A ⎝⎛⎭⎫14，－3；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋6＝12（x －1），y 2＝36x ，得B ⎝⎛⎭⎫94，9. 所以直线AB 的方程为12x －2y －9＝0，弦AB 的长为237.12．已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2，1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．[解] (1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为M (2，1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6.故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)，即6x －y －11＝0.13．(2017·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，则直线AD 的斜率k 2＝( )A.12B ．－12C ．－14D ．－2B [解析] 设AB 的中点为G ，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，则GO ∥AD ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有错误!两式相减得错误!＝－错误!，整理得x 1＋x 22（y 1＋y 2）＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，故选B ． 14．(2017·湖南四地联考)若抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m对称，且x 1x 2＝－12，则实数m 的值为________． [解析] 由题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝2x 2得2x 2＋x －b ＝0，所以x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－b 2＝－12，所以b ＝1，即直线AB 的方程为y ＝－x ＋1.设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，代入y 0＝－x 0＋1，得y 0＝54，则M ⎝⎛⎭⎫－14，54，又M ⎝⎛⎭⎫－14，54在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m .所以m ＝32. [答案] 3215．(2017·北京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围．[解] (1)由题意知e ＝c a ＝12，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，所以a 2＝43b 2. 因为双曲线y 22－x 2＝1的焦点坐标为(0，±3)，所以b ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线l 的倾斜角为0°时，不妨令A (－2，0)，B (2，0)，则OA →·OB →＝－4，当直线l 的倾斜角不为0°时，设其方程为x ＝my ＋4，由错误!⇒(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，由Δ>0⇒(24m )2－4×(3m 2＋4)×36>0⇒m 2>4，设A (my 1＋4，y 1)，B (my 2＋4，y 2)．因为y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4，所以OA →·OB →＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＋y 1y 2＝1163m 2＋4－4，因为m 2>4，所以OA →·OB →∈⎝⎛⎭⎫－4，134. 综上所述，OA →·OB →的取值范围为⎣⎡⎭⎫－4，134. 16．(2017·赣南五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝t OP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．[解] (1)由题意知，以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a ，(*) 因为椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，将直线l 的方程代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8>0，所以k 2<12. 设P (x 0，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，对于OS →＋OT →＝t OP →，当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上任意位置均适合题意．当t ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k 1＋2k 2，所以x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2. 因为点P 在椭圆上，所以32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1，整理得t 2＝16k 21＋2k 2，由k 2<12知，0<t 2<4，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)．综上可得t ∈(－2，2)．。

直线与圆锥曲线综合(一)(人教A版)(含答案)

直线与圆锥曲线综合（一）（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.直线与曲线()的公共点的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题2.已知抛物线的方程为,过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题3.若直线与圆没有公共点,则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是( )A.0B.1C.2D.1或2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题4.过抛物线的焦点的弦两端点的横坐标分别是,若,则的长为( )A.20B.24C.16D.18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题6.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于两点,若线段的中点的横坐标为4,则等于( )A.14B.12C.10D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题7.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点,则等于( )A.3B.4C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题8.若椭圆上有两点关于直线对称,则的中点的坐标是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与圆锥曲线的综合问题。

高考数学(文科)- 直线与圆锥曲线的位置关系-专题练习(含答案与解析)

因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故所以0⋅=，OA OB212高考数学（文科）专题练习直线与圆锥曲线的位置关系解析1．解析：直线y=kx-k+1，即y-1=k(x-1)，恒过点A(1，1)．因为+<1，所以点A在椭圆内，故直线与椭圆相交，选A．2．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p=4，又p=1，所以x1+x2=3，所以点C的横坐标是=．3．解析：由解得A(，)，B(-，-)．故|AB|=|-(-)|=．而F(，0)，点F到直线y=x的距离d==．故△FAB的面积S=|AB|×d=××=．故选B．4．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y=-(x-)，与抛物线方程联立，消去y整理得x2-3px+=0，可得x1+x2=3p．根据中点坐标公式，有=3，p=2，因此抛物线的准线方程为x=-1．故选C．5．解析：设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8，y1+y2=4，两式相减，得+=0，所以=-，所以k==-．故选B．6．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x=-2的垂线，垂足分别为D，E．因为|PA|=|AB|，所以又得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．选A．7．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4，由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|，所以|FA|+|FB|=4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：+=1(y≠0)8．解析：设A(x A，y A)，B(x B，y B)，因为y2=4x，所以抛物线的准线为x=-1，F(1，0)，又A到抛物线准线的距离为4，所以x A+1=4，所以x A=3，因为xAxB==1，所以xB=，所以|AB|=xA+xB+p=3++2=．答案：9．解：(1)由直线l1的方程知，直线l1与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为，短轴端点到直线l1的距离为，求得a=2，b=1．所以C1的标准方程为+y2=1．(2)依题意设直线l：y=x+t(t≠0)由得5x2+8tx+4t2-4=0，判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-<t<，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则故y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t2=．因为以AB为直径的圆恰过坐标原点，故OA⊥OB，所以·=0，即x1x2+y1y2=+=0，解得t=±，满足-<t<且t≠0，故所求直线l的方程为y=x+或y=x-．【能力提升】10．解析：因为△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆的半径为，所以△ABF2的面积为×4×5×=5，又因为△ABF2的面积为|y2-y1|×|F1F2|=3|y2-y1|，所以3|y2-y1|=5，所以|y2-y1|=，故选D．11．解析：圆心O到直线l的距离d==3，所以|AB|=2=2，由题知直线l的倾斜角为30°，所以|CD|===4．答案：412．略13．略14．略。

2017届高三数学(理)新课标一轮复习练习：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系含解析

§10。

4 直线与圆锥曲线的位置关系考点直线与圆锥曲线的位置关系8。

（2014辽宁,10,5分）已知点A(-2,3）在抛物线C ：y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B,记C 的焦点为F,则直线BF 的斜率为( ）A.12 B 。

23 C 。

34 D 。

43答案 D 易知p=4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2=8x,与直线AB 的方程y-3=k(x+2)联立，消去x 整理得ky 2-8y+16k+24=0,由题意知Δ=64—4k （16k+24）=0,解得k=—2或k=12。

因为直线与抛物线相切于第一象限,故舍去k=—2，故k=12,可得B(8,8),又F （2,0）,故k BF =8-08-2=43,故选D.9。

（2013浙江,15,4分）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点,过点P （-1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点。

若|FQ ｜=2，则直线l 的斜率等于。

答案 ±1解析设直线AB 方程为x=my-1,A （x 1，y 1),B(x 2,y 2），联立直线和抛物线方程，整理得，y 2-4my+4=0，由根与系数关系得y 1+y 2=4m ，y 1·y 2=4。

故Q(2m 2-1，2m ）.由｜FQ ｜=2知：√(2m)2+(2m 2-1-1)2=2,解得m 2=1或m 2=0(舍去),故直线l 的斜率等于±1(此时直线AB 与抛物线相切,为满足题意的极限情况）。

10。

(2012浙江，16，4分）定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l ：y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+（y+4）2=2到直线l ：y=x 的距离，则实数a= 。

答案94解析曲线C 2到l 的距离d 等于圆心到直线的距离减去半径，即d=|4|√2-√2=√2,所以曲线C 1到l 的距离为√2，而C 1到l 的距离为与l 平行的直线l’与C 1相切时两直线间的距离。

直线与圆锥曲线的位置关系的判断

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切．(×)(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交．(×)(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．(√)(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．(√)。

新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册

章末复习一、圆锥曲线的定义及标准方程 1．求圆锥曲线方程的常用方法(1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：动点满足已知曲线的定义,可先设定方程,再确定其中的基本量．(3)代入法：动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．(4)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型,可设出方程形式,再根据条件确定待定的系数． 2．求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养．例1 (1)已知动点M 的坐标满足方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|,则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．以上都不对答案 C解析把轨迹方程5x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|写成x 2＋y 2＝|3x ＋4y －12|5.∴动点M 到原点的距离与它到直线3x ＋4y －12＝0的距离相等．∴点M 的轨迹是以原点为焦点,直线3x ＋4y －12＝0为准线的抛物线．(2)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ,设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时,动点M 满足PD →＝2MD →,动点M 形成的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程．解方法一由PD →＝2MD →,知点M 为线段PD 的中点,设点M 的坐标为(x ,y ),则点P 的坐标为(x ,2y )．因为点P 在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 2＋(2y )2＝4,所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.方法二设点M 的坐标为(x ,y ),点P 的坐标是(x 0,y 0), 由PD →＝2MD →,得x 0＝x ,y 0＝2y , 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以x 20＋y 20＝4,(*)把x 0＝x ,y 0＝2y 代入(*)式,得x 2＋4y 2＝4, 所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.反思感悟 (1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决．(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决．跟踪训练1 (1)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________．答案 x 2－y 23＝1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，ca＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝3,因此双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点,F 是抛物线的焦点,点M 的坐标是(2,3),求|PM |＋|PF |的最小值,并求出此时点P 的坐标．解抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2,那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离,过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2,垂足为D ,那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如图所示,根据平面几何知识,当M ,P ,D 三点共线时,|PM |＋|PF |的值最小, 且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4, 所以|PM |＋|PF |的最小值是4.此时点P 的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3. 二、圆锥曲线的几何性质1．本类问题主要有两种考查类型：(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质,其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程,基本方法是待定系数法,其步骤可以概括为“先定位、后定量”．2．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养．例2 (1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4,|F 1F 2|＝2 3.因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12,所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4, 所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8, 所以|AF 2|－|AF 1|＝22,因此对于双曲线有a ＝2,c ＝3, 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62.(2)已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为________．答案 x ±2y ＝0解析设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2,则e 1＝a 2－b 2a ,e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32,所以a 4－b 4a 2＝32,即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14,所以b a ＝22. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±22x , 即x ±2y ＝0.反思感悟求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观．跟踪训练2 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距是c ,A ,B 分别是长轴、短轴的一个端点,O 为原点,若△ABO 的面积是3c 2,则此椭圆的离心率是( ) A.12 B.32 C.22 D.33 答案 A解析 12ab ＝3c 2,即a 2(a 2－c 2)＝12c 4,所以(a 2＋3c 2)(a 2－4c 2)＝0,所以a 2＝4c 2,a ＝2c ,故e ＝c a ＝12.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的焦距为2c ,右顶点为A ,抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ,且|FA |＝c ,则双曲线的渐近线方程为_________．答案 x ±y ＝0 解析 c 2＝a 2＋b 2,①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知, 双曲线过点⎝⎛⎭⎪⎫c ，－p 2,即c 2a 2－p 24b2＝1.② 由|FA |＝c ,得c 2＝a 2＋p 24,③由①③得p 2＝4b 2.④将④代入②,得c 2a 2＝2.∴a 2＋b 2a 2＝2,即ba＝1,故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ,即x ±y ＝0. 三、直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定,通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程,考虑该一元二次方程的判别式．2．借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的数学核心素养．例 3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |＝534,求直线l 的方程．解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2,b ＝3,c ＝1, ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1,∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5, 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0,由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ,x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4m 2－3]＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534,得 4－m25－4m2＝1, 解得m ＝±33,满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.反思感悟 (1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断． (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具．跟踪训练3 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),其焦点为F 1,F 2,离心率为22,直线l ：x ＋2y－2＝0与x 轴,y 轴分别交于点A ,B .(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点,求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,求a 的取值范围．解 (1)由椭圆的离心率为22,得a ＝2c , 由A (2,0),得a ＝2, ∴c ＝2,b ＝2, ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)由e ＝22,设椭圆方程为x 2a 2＋2y2a2＝1,联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0,若线段AB 上存在点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,则线段AB 与椭圆E 有公共点,等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解．设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f 0≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥43，4－a 2≥0，∴43≤a 2≤4, 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤233，2. 四、圆锥曲线的综合问题1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定值、最值问题,解决的基本思路是利用代数法,通过直线与圆锥曲线的方程求解．2．圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养．例4 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)经过点P (2,2),A ,B 是抛物线C 上异于点O 的不同的两点,其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA ⊥OB ,求△AOB 面积的最小值．解 (1)由抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (2,2)知4p ＝4,解得p ＝1. 则抛物线C 的方程为y 2＝2x .抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,准线方程为x ＝－12.(2)由题意知,直线AB 不与y 轴垂直,设直线AB ：x ＝ty ＋a ,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋a ，y 2＝2x ，消去x ,得y 2－2ty －2a ＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2t ,y 1y 2＝－2a . 因为OA ⊥OB ,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0,即y 21y 224＋y 1y 2＝0,解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－4. 所以－2a ＝－4,解得a ＝2.所以直线AB ：x ＝ty ＋2. 所以直线AB 过定点(2,0)．S △AOB ＝12×2×||y 1－y 2＝y 21＋y 22－2y 1y 2＝y 21＋y 22＋8≥2||y 1y 2＋8＝4. 当且仅当y 1＝2,y 2＝－2或y 1＝－2,y 2＝2时,等号成立．所以△AOB 面积的最小值为4.反思感悟 (1)解决最值问题常见的题型,可用建立目标函数的方法求解．(2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手,利用直线系或曲线系方程或函数方程思想,通过联想与类比,使问题获解．跟踪训练4 已知动圆P 与圆O 1：x 2－x ＋y 2＝0内切,且与直线x ＝－1相切,设动圆圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上一点M (2,y 0)(y 0>0)作两条直线l 1,l 2与曲线C 分别交于不同的两点A ,B ,若直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2,且k 1k 2＝1.证明：直线AB 过定点．(1)解由题意可知,动圆圆心P 到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与到直线x ＝－12的距离相等,所以点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为焦点,直线x ＝－12为准线的抛物线,所以曲线C 的方程为y 2＝2x .(2)证明易知M (2,2),设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的方程为x ＝my ＋b ,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋b ，y 2＝2x ，得y 2－2my －2b ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m 2＋2b ，x 1x 2＝b 2，因为k 1k 2＝y 1－2x 1－2·y 2－2x 2－2＝1, 即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2), 所以b 2－2b －4m 2＋4m ＝0, 所以(b －1)2＝(2m －1)2, 所以b ＝2m 或b ＝－2m ＋2.当b ＝－2m ＋2时,直线AB 的方程为x ＝my －2m ＋2过定点(2,2)与M 重合,舍去；当b ＝2m 时,直线AB 的方程为x ＝my ＋2m 过定点(0,－2),所以直线AB 过定点(0,－2)．1．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°答案 D解析由题意可得－b a＝tan 130°, 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130° ＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.2．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 D解析由题意知,抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0,椭圆的焦点坐标为(±2p ,0), 所以p2＝2p ,解得p ＝8,故选D.3．(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |,|AB |＝|BF 1|,则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0),连接F 1A ,令|F 2B |＝m ,则|AF 2|＝2m ,|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知,4m ＝2a ,得m ＝a2,故|F 2A |＝a ＝|F 1A |,则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点),则sin θ＝c a＝1a.在等腰三角形ABF 1中,cos 2θ＝2m2＋3m 2－3m 22×2m ·3m＝13,因为cos 2θ＝1－2sin 2θ,所以13＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2,得a 2＝3.又c 2＝1,所以b 2＝a 2－c 2＝2,椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1,故选B.4．(2019·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为(1,0),且经过点A (0,1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点,直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2,求证：直线l 经过定点． (1)解由题意,得b 2＝1,c ＝1, 所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1. 令y ＝0,得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1.又y 1＝kx 1＋t ,从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理,|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0,则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2,x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k t －1x 1＋x 2＋t －12＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t .又|OM |·|ON |＝2,所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2.解得t ＝0,所以直线l 经过定点(0,0)．。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：8.9.1直线与圆锥曲线的位置关系Word版含答案

1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．至多一个 B ．2 C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1，则34≤u ≤2，|AB |＝22u 4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43.解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知，|PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有： 1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题．探究一由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p ＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32，选A.答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨] (1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评]对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3)C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]±33x .解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x .设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3.答案：3 37．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca ＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12，设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点，故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12，∴k 2＝12，解得k ＝±22.故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0.法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0，即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0.答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k2.此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3). 若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433.10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程； (2)求|AB ||MN |的最大值．解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p .由抛物线的定义知， 2p ＋p2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0.Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，① y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2.同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3. 代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3. 因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ，则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43，故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433.B 组高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.由已知|AF |＝3，得2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a ca 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF1|＝4a，即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。

高考数学课时28直线与圆锥曲线的位置关系单元滚动精准测试卷文

课时28 直线与圆锥曲线的位置关系模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故应选B.2．已知椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，若直线PA 的斜率k PA ＝12，则直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32 C ．－34 D ．－32【答案】D3．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x【答案】D【解析】分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105【答案】C【解析】设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4105.5．如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24，其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1，圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24B.p 23C.p 22 D ．p 2【答案】A6．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是( )A ．(－21313，2213)B ．(－21313，21313)C ．(－213，21313) D ．(－2313，2313) 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 21＝12 ①，3x 22＋4y 22＝12 ②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 联立得x ＝－m ，y ＝－3m ，而M (x ，y )在椭圆的内部，则m 24＋9m 23<1，即－21313<m <21313.7．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－18.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】(13，25)【解析】设椭圆的半焦距为c ，长半轴长为a ，由椭圆的定义及题意知，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ＝10，得到a －c －5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<2c 10－2c <2，∴52<c <103，∵e ＝c a ＝cc ＋5＝1－5c ＋5，且13<1－5c ＋5<25，∴该椭圆的离心率的取值范围是(13，25)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆C 上任意一点到椭圆C 两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (0,1)，且|PA |＝|PB |，求直线l 的方程．【解析】(1)由已知2a ＝6，e ＝ca ＝63，解得a ＝3，c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 23＝1y ＝kx －2得，(1＋3k 2)x 2－12kx ＋3＝0，10．椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆G 上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0.(1)求离心率e 的取值范围；(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为5 2. (ⅰ)求此时椭圆G 的方程；(ⅱ)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P (0，33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．【解析】(1)设M (x 0，y 0)，∵M 在椭圆G 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1，①又F 1M →·F 2M →＝0，∴(x 0＋c ，y 0)·(x 0－c ，y 0)＝0.②由②得y 20＝c 2－x 20，代入①整理得x 20＝a 2(2－a 2c2)．又0≤x 20≤a 2，∴0≤a 2(2－a 2c2)≤a 2，解得(c a )2≥12，即e 2≥12，又0<e <1，∴e ∈[22，1)． (2)(ⅰ)当e ＝22时，设椭圆G 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b .[新题训练] （分值：15分建议用时：10分钟）11．（5分）当x >1时，直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，4)【解析】由题可知，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝ax －a ，整理可得x 2－ax ＋a ＝0，当Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切，因为直线横过定点(1,0)，结合图形可知当a ∈(－∞，4)，x >1时直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方．12．（10分）如图，已知点D (0，－2)，过点D 作抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的切线l ，切点A 在第二象限，如图16－3.(1)求切点A 的纵坐标；(2)若离心率为32的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若k 1＋2k 2＝4k ，求椭圆方程．【解析】 (1)设切点A(x0，y0)，且y0＝x202p ，由切线l 的斜率为k ＝x0p ，得l 的方程为y ＝x0p x －x202p ，又点D(0，－2)在l 上，k1＋2k2＝y0x0＋2y1x1＝x1y0＋2x0y1x0x1＝。

《直线与圆锥曲线的位置关系》过关检测题.doc

第七专题《直线与圆锥曲线的位置关系》过关检测题（本卷满分150分，考试时间120分钟）10小题，每小题5分，共50分.1．已知直线1l 和2l 的斜率是方程0162=-+x x 的两个根，则1l 与2l 的夹角为（） A 、15B 、30C 、45D 、602．与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程是（）A 、032=+-y xB 、032=--y xC 、012=+-y xD 、012=--y x 3．若、d 、b a 分别表示同一直线在x 轴、y 轴上的截距及原点到直线的距离，则、d 、b 满足（） A 、222d b a =+ B 、222111d b a =+ C 、222211db a =+ D 、2222d b a =+ 4．已知21、F F 是双曲线的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的）A 、324+B 、13-C 、213+ D 、13+ 5．过点)0,2(A 与圆1622=+y x 相内切的圆的圆心P 的轨迹是（）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、圆6．P 为双曲线12222=-b y a x 上任意一点，21、F F 为焦点，θ=∠21PF F ，则21PF F S ∆是A 、2cot 2θbB 、θsin 21abC 、2tan ||22θa b - D 、θsin )(22b a +7．设y x z -=，式中变量x 和y 满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+0203y x y x ，则z 的最小值为（） A 、1 B 、1- C 、3 D 、3-8．椭圆131222=+y x 的焦点为21F F 和，点P 在椭圆上，线段1PF 的中点在y 轴上，那||1PF 是||2PF 的（）A 、7倍B 、5倍C 、4倍D 、3倍9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于、Q P 两点，线段PF 和FQ、q p ，则qp 11+等于（）A 、a 2B 、a 21C 、a 4D 、a410．已知直线l 交椭圆805422=+y x 于、N M 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是（）A 、02865=-+y xB 、02865=--y xC 、02856=-+y xD 、02856=--y x 6小题，每小题4分，共24分.11．圆心为)2,1(且与直线07125=--y x 相切的圆的方程为_____________________.12．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于、Q P 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率=e ____________.13．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c =_____.14．已知B 是椭圆1162522=+y x 上的动点，F A ),2,2(-是左焦点，当||35||BF AB +取最小值时，点B 的坐标是_________________.15．过点)0,4(的直线与双曲线112422=-y x 的右支交于、B A 两点，则直线AB 的斜率k 的取值范围是___________________.16．对任意实数k ，直线b kx y +=与椭圆)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 的取值范围是_____________________.三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分13分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21、F F 在x 轴上，长轴21A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，1:2||:||111=F A MA .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线P m m x l ),1|(|1>=为1l 上的动点，使21PF F ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标（用m 表示）.18（本小题满分13分）已知定点R 的坐标为)3,0(-，点P 在x 轴上，⊥，线段PM 与y 轴交于点Q ，且2=.（Ⅰ）若点P 在x 轴上运动，求点M 的轨迹E ；（Ⅱ）求轨迹E 的倾斜角为4π的切线0l 的方程.如图，、B A 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，满足O OB OA (⊥为坐标原点). 求证：（Ⅰ）、B A 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；（Ⅱ）直线AB 经过一个定点.20（本小题满分13分）设点)0)(,(≥x y x P 为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标原点），点P 到定点)0,21(M 的距离比点P 到y 轴的距离大21.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若直线l 与点P 的轨迹相交于、B A 两点，且OB OA ⊥，点O 到直线l 的距离为2，求直线l 的方程.已知椭圆1C 的方程为1422=+y x ，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（Ⅰ）求双曲线2C 的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点，且l 2C 的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.22（本小题满分12分）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ，过抛物线C 上一点)0)(,(000≠x y x P 别为21、k k 的两条直线交抛物线C 于),(),(2211y x 、B y x A 两点、B 、A P (同)，且满足)10(012-≠≠=+λλλ且k k .（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线AB 上一点M 满足BM λ=，证明线段PM 的中点在y 轴上；（Ⅲ）当1=λ时，若点P 的坐标为)1,1(，求PAB ∠为钝角时点A 的纵坐标1y 值范围.。

专题13.8 直线与圆锥曲线的位置关系(专题训练卷)(解析版)

专题13.8 直线与圆锥曲线的位置关系（专题训练卷）一、单选题 A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】设直线方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入22y px =，得22704p x px -+=，而1284AB x x p p =++==，故12p =. 故选：A ．点睛：一般地，过焦点的直线与抛物线()220y px p =>的交点为()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++，解题中注意利用该公式简化计算.A ．16B ．32C ．D ．【答案】A 【解析】由题意可知点M 为短轴端点时，12MF A △的面积取最大值，因为椭圆方程为：2212516x y +=，所以5,4,3a b c ===，即有11()841622S a c b =+⨯=⨯⨯=. 故选：A. A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.A 3B ．3C ．43D ．12【答案】B 【解析】依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =，又2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以21 x x =-，又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，所以121232y yx x ==+ 因为12y y =，21x x =-，所以11x =-，21x =，123y y ==所以(3A -，将其代入22221x y a b+=，得22131a b+=➀ 又2c =，所以2224a b c -==②所以联立①②解得24a =+2b =故选：B.A ．x -2y -1=0B ．2x +y -2=0C ．x+2y -1=0D ．2x -y -2=0【答案】A 【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，由△P AB 为“阿基米德三角形”，可得P 点必在抛物线的准线上，则点P （﹣1，4），直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A ．A B ．C D ．【答案】B 【解析】易得直线的方程为1y x =-，焦点()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y .联立24y x =可得2440y y --=，故12124,4y y y y +==-，所以1212AOBAOFBOFSSSOF y y =+=⋅⋅-==故选：BA ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝4y ，得214y x =，则y ′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =，由0PA PB ⋅=，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣4．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-．故选：A ． A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】A 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由2222221y x b x a y a b=+⎧⎨-=⎩，消去y 得()222222220b a x a x a a b ----=， 212222a x x b a ∴+=-，2221222a ab x x b a--=-，由于1(,0)F c -，2(,0)F c ，可知11,33x y G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可得0OG OH ⋅=，12120x x y y +=，()1212210x x x x ∴+++=，222222222210a a b a b a b a--∴⨯++=--，即22222b a a b -=，22112a b -=. 故选：AA ．1BC D【答案】B 【解析】分析：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，利用“点差法”可得2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=，00122121,04x y y y x x b -=-∴-=-，即2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或3tan 1,tan 41tan παθαθα+=-=±-，又200tan 4y b x α==，由2214314b b +=-，解得22b =，即b = B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力. 对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. A ．2 B C ．5 D ．163【答案】B 【解析】由题意可得21a b ==，,则椭圆的方程为2214x y +=，设(),P x y（1）若直线12,l l 中有一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0. 设直线1l 的方程为0x =，则直线2l 的方程为1y =由(),P x y 在椭圆2214x y +=上，则2244x y =-所以()2222221211+15323533d d x y y y y ⎛⎫=+-=--=-+++ ⎪⎝⎭，11y -≤≤故当13y =-时，2212+d d 有最大值163（2）当直线12,l l 的斜率都存在，且不为0,时设直线1l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+= 则直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=所以12d d ==所以()()2222221221+211kx y x ky k d d x y y k -+++-==+-++2224421532y y y y y =-+-+=--由（13. 故选：B 二、多选题A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =【答案】BD 【解析】对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质4212AB OM k k ⋅=-=-≠-，所以A 项不正确；对于B 项，根据2AB OM k k ⋅=-，所以2AB k =-，所以直线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为1y x =+，点14(,)33M ，则1442AB OM k k ⋅=⋅=≠-，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为2y x =+，与椭圆方程22124x y +=联立，得到222(2)40x x ++-=，整理得：2340x x +=，解得1240,3x x ==-，所以4033AB =-=，所以D 正确；故选：BD.A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-.又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABCA ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC 【解析】如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 3tan 3AFM ∠=3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =2,32p A ⎛+ ⎝，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =；故选：ABC .A ．OPQS的最大值为32B ．OPQS的最大值为33C ．Q 的轨迹是2213648x y +=D ．Q 的轨迹是2214836x y +=【答案】AC 【解析】根据题意，作图如下：不妨设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 坐标为(),m n ，故切点MN 所在直线方程为：12mx ny +=；又点P 为椭圆上的一点，故切线方程MN 所在直线方程为：11143x yx y +=；故可得11,124123x y m n ==.即113,4m x n y == 不妨设直线MN 交OQ 于点H ，故PH OQ ⊥ 设直线OQ 方程为：0nx my -=，故1122nx my PH m n-=+22OQ m n =+故可得三角形OPQ 的面积111122S OQ PH nx my =⨯⨯=- 221111111111143222x y x y x y x y =-==222221111111312122432443x y x y ⎛⎫=⨯⨯≤⨯⨯+=⎪⎝⎭，当且仅当221143x y =，且2211143x y +=时，即221132,2x y ==时取得最大值.因为点P 在椭圆上，故2211143x y +=，又113,4m x n y ==，故可得2211149316m n ⨯+⨯=，整理得2213648m n +=.故动点Q 的轨迹方程为：2213648x y +=.故选：AC . 三、单空题【答案】2【解析】双曲线是等轴双曲线，则其渐近线为y x =±，直线10x y -+=与直线y x =，所以等轴双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上点P 到直线10x y -+=的距离大于2，即m的最大值为2．．【答案】247【解析】设122()()A x y B x y ，，，联立22217880143y x x x x y =-⎧⎪⇒--⎨+=⎪⎩＝ 644782880∆=+⨯⨯=>，121288,77x x x x +==-，∴24||7AB ==．故答案为：247．点睛：圆锥曲线中弦长公式12x =-12y y -（斜率存在）.【答案】3 【解析】由()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：24y x =上两点，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得()()()1212124y y y y x x +-=-，由线段AB 的垂直平分线与x 轴相交，则直线AB 的斜率存在且不为0，所以1212124y y x x y y -=-+，线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即121,2y y +⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为1221y y m+--，即1221y y m +-所以1212121212422111y y y y y y x x m y y m++-⋅=⋅=---+-，解得3m =. 故答案为：3 四、双空题【答案】12221131252416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为||2||BF AF =，所以111222222B A y y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得92B y =，代入抛物线的方程得点B 的坐标为93,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的斜率92123(2)2AB k -==--. 直线AF 的斜率1232204AF k -==---，直线BF 的斜率91422303BF k -==-，则1AF BF k k ⋅=-，直线AF 与直线BF 相互垂直，即ABF 为直角三角形，则ABF 的外接圆的圆心为92322,22⎛⎫+ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，即113,24⎛⎫ ⎪⎝⎭，半221955(23)2224⎛⎫--+-=⎪⎝⎭，所以外接圆的标准方程为221131252416x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：12； 221131252416x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】6 (2,0) 【解析】因为22143x y +=，其左焦点为()1,0F -设(,)P x y ，[]2,2x ∈-，则22(,)(1,)OP FP x y x y x x y =+=++，又点P 在椭圆上，所以222222311(3)3(2)2444x x y x x x x x x ++=++-=++=++，又22x -，所以当2x =时，21(2)24x ++取得最大值为6，即OP FP 的最大值为6，此时0y =即()2,0P故答案为：6；(2,0). 【答案】21 【解析】由于点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，由于y x =的倾斜角为π4,画出图像如下图所示，由于O 是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知12QF F ∆为等腰直角三角形，且Q 为短轴的端点，故离心率π2cos 42c a ==.不妨设2,a t b c t ===，则椭圆方程化为222220x y t +-=，设直线AB 的方程为10x my t m k ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，代入椭圆方程并化简得()222220m y mty t +--=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12222mt y y m +=+①，21222t y y m -⋅=+②.由于113AF F B =，故123y y =-③.解由①②③组成的方程组得1m =，即11,1k k==. 故填：（1）2；（2）1.【答案】2a c3【解析】设双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线方程为： b y x a =，因为过右焦点F (c ，0)的直线l 与之垂直，设直线为 ()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得 2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭，联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B ab a b ，因为4FB FA =，所以22224⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭a ca c c abc ，化简得：422431180-+=c a c a ，所以4231180-+=e e ，解得283=e 或21e =（舍去），解得=e 故答案为：①2a c；②3五、解答题（1）求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；（2）过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两个不同点，若AB 的中点为(3,2)M -，求OAB 的面积. 【答案】（1）()1,0，1x =-；（2）【解析】（1）∵()1,2P 在抛物线C 上，422p P ∴=∴=，， ∴点F 的坐标为()1,0，抛物线C 的准线方程为1x =-；（2）设,A B 的坐标分别为()()1122,,x y x y ，，则1228AB x x =++=，1MF k =-，∴直线AB 的方程为1y x =-+ ，点O 到直线AB的距离=2d =，12OABSAB d ∴=⋅=. 23.给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程．【答案】22240x y x y --+= 【解析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)，将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+=且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）若4AF =，求点A 的坐标；（2）若直线l 的倾斜角为45︒，求线段AB 的长.【答案】(1) 点A 的坐标为(3,23)或(3,23)-. (2) 线段AB 的长是8 【解析】由24y x =，得2p =，其准线方程为1x =-，焦点(1,0)F . （2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y .（1）由抛物线的定义可知，12pAF x =+，从而1413x =-=. 代入24y x =，解得123y =±∴ 点A 的坐标为24y x =或(3,3)-. （6分）（2）直线l 的方程为0tan 45?(1)y x -=︒-，即1y x =-.与抛物线方程联立，得21{4y x y x=-=，（9分）消y ，整理得2610x x -+=，其两根为12,x x ，且123y =±. 由抛物线的定义可知，12628AB x x p =++=+=. 所以，线段AB 的长是8. （14分）(1)求直线l 的方程； (2)求△ABF 的面积.【答案】(1) 6y x =2(323)7. 【解析】(1)因为直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的斜率为1,设直线l 的方程为：y x m =+,362m =⇒=.又因为点Q 在y 轴右侧,所以6m =-所以直线l 的方程为：6y x =-(2) 设()()1122,,,A x y B x y由226143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,可得：2786120x x -+=, ()21212121212861246||1124777x x x x AB x x x x x +===+-=+-=右焦点F 的坐标为(1,0),所以点F 到直线l 的距离为：|16|1(232)22d -==,所以△ABF的面积为12 ||(323)27AB d=-26. 如图，椭圆C: x2＋3y2＝3b2 (b＞0).（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且|AB | ＝3，求△AOB面积的最大值.【答案】（Ⅰ6；（Ⅱ3【解析】(Ⅰ)解：由x2＋3y2＝3b2 得222213x yb b+=，所以e＝ca22233b bb-236．(Ⅱ)解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△ABO的面积为S．如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为33，此时S＝133234；如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，由22,33,y kx mx y=+⎧⎨+=⎩得x2＋3(kx＋m) 2＝3，即(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，又Δ＝36k2m2－4(1＋3k2) (3m2－3)＞0，所以x1＋x2＝－2613kmk+，x1x2＝223313mk-+，(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝()()2222121313k mk+-+，①由|AB|()()22121k x x+-|AB|3得(x 1－x 2)2＝231k+， ② 结合①，②得m 2＝(1＋3k 2)－()()2221341k k ++．又原点O 到直线AB 的距离为21m k+，所以S ＝12⋅231m k⋅+，因此S 2＝34⋅ 221mk +＝34⋅[22131k k ++－()()22221341k k ++]＝34⋅[－14(22131k k++－2)2＋1] ＝－316⋅(22131k k ++－2)2＋34≤34，故S ≤3．当且仅当22131k k ++＝2，即k ＝±1时上式取等号．又3＞34，故S max ＝3． 27．设椭圆方程222+1(50)25x y b b =>>，F 为椭圆右焦点，P 为椭圆在短轴上的一个顶点，∆POF 的面积为6,（O 为坐标原点）；（1）求椭圆方程；【答案】（1）22+1259x y =或22+12516x y =（2）579579579579(,),(,),(,),(,).4444----【解析】（1）设∵为椭圆在短轴上的一个顶点，且的面积为6,∴.又∵∴或∴椭圆方程为或（2）假设存在点，使的中垂线过点.若椭圆方程为，则，由题意，∴点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆.设，则其轨迹方程为显然与椭圆无交点.即假设不成立，点不存在.若椭圆方程为，则，∴点的轨迹是以为圆心，以4为半径的圆.则其轨迹方程为则，∴，故满足题意的点坐标分别为，，，.点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数或转化条件；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用22,(,PA PBbk k A Ba⋅=-关于原点对称，,,A B P为椭圆上三点).。

人教A版文科数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系A专题精选课时习题(含解析)

课时作业(五十三)A [第53讲直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．过点P (－1,0)的直线l 与抛物线y 2＝5x 相切，则直线l 的斜率为( )A ．±22B ．±32C ．±52D ．±622．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．03．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 64．方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．能力提升5．直线y ＝x ＋m 与抛物线x 2＝2y 相切，则m ＝( )A ．－12B ．－13C ．－14 D.126．“|C |A 2＋B 2≤a ”是“曲线Ax ＋By ＋C ＝0与x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)有公共点”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．抛物线x 2＝16y 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是( ) A ．16 3 B ．8 3 C ．4 3 D ．2 38．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )A.32B.3－1C.22D.2－1 9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 510．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫p k 2＋p ，p k ，则弦MN 的中点坐标为________．11．若直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，则a ＝________.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.14．(10分) 已知动圆P 过点F ⎝⎛⎭⎫0，14且与直线y ＝－14相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．15．(13分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆的方程．难点突破16．(12分)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，C 2的离心率为22，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．课时作业(五十三)A【基础热身】1．C [解析] 显然斜率存在不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入抛物线方程消去x 得ky 2－5y＋5k ＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k 2＝0，得k ＝±52.故选C. 2．A [解析] 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.3．C [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，依题意有y 0x 0＝2x 0.又y 0＝x 20＋1，解得x 0＝±1，所以b a ＝2x 0＝2，b ＝2a ，所以e ＝1＋b 2a2＝ 5.故选C. 4．m <12且m ≠0 [解析] 首先m ≠0，m ≠1，根据已知，m 2<(m －1)2，即m 2－(m 2－2m ＋1)<0，解得m <12.所以实数m 的取值范围是m <12且m ≠0. 【能力提升】5．A [解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x 2－2x －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12.故选A. 6．B [解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d ＝|C |A 2＋B 2≤a ；反之不一定成立．故选B.7．A [解析] 抛物线的准线为y ＝－4，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，这两条直线与y ＝－4的交点是A (－43，－4)，B (43，－4)，故围成三角形的面积为S ＝12|AB |×4＝12×83×4＝16 3.故选A. 8．D [解析] 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2b2＝1，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.故选D.9．B [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝b ax 得b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.10．(k 2p ＋p ，－kp ) [解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l 2的斜率为－1k，只需将弦PQ 中点坐标中的k 替换为－1k，就可以得到弦MN 的中点坐标，于是得弦MN 的中点坐标为(k 2p ＋p ，－kp )． 11．0或－1或－45 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.当a ≠－1时，令Δ＝a 2＋4a (a＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－45；当a ＝－1时，方程仅有一个根y ＝－1，符合要求．所以a ＝0或－1或－45. 12.x 24－y 23＝1 [解析] 椭圆方程为x 216＋y 29＝1，则c 2＝a 2－b 2＝7，即c ＝7，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e ＝72，又c ＝7，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝7－4＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1. 13．2 [解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2，过点M 的直线方程为y ＝3(x －1)，所以交点A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.因为AM →＝MB →，所以点M 是线段AB 的中点，由中点公式得B ⎝⎛⎭⎫2＋p 2，3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.又点B 在抛物线上，于是3⎝⎛⎭⎫1＋p 22＝2p ×⎝⎛⎭⎫2＋p 2，即p 2＋4p －12＝0，解得p ＝－6(舍去)或p ＝2. 14．[解答] (1)由已知，点P 到点F ⎝⎛⎭⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2，故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22. 两式相减，得x N ＝x 1＋x 22. 又x M ＝x 1＋x 22，所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．15．[解答] (1)由b ＝21＋1得b ＝2， ∴又2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，故有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得：y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2.由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，则－b 2a 2＝－14，由a ＝2得b ＝1，故所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. 【难点突破】16．[解答] 由e ＝22，得c a ＝22，得a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设椭圆C 2方程为x 22b 2＋y 2b2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由圆心为(2,1)，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b2＝1，两式相减，得x 21－x 222b 2＋y 21－y 22b2＝0. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－1，所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.将上述方程代入x 22b 2＋y 2b2＝1，得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0，(*)又直线AB 与椭圆C 2相交，所以Δ＝24b 2－72>0. 且x 1，x 2是方程(*)的两根，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝6－2b 23. 由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×203，得2×8b 2－243＝2×203. 解得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 28＝1.。

人教A版(文科数学) 直线与圆锥曲线的位置关系单元测试(含答案)

解答题1．(2018·永州二模)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l 经过点P(0，－1)，且与椭圆交于A ，B 两点，若AP →＝2PB →，求直线l 的方程．解：(1)依题意可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，∵2c ＝4，e ＝c a ＝22，∴a ＝22，∴b2＝a2－c2＝4， ∴椭圆C 的方程为x28＋y24＝1． (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为：y ＝kx －1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x28＋y24＝1得(2k2＋1)x2－4kx －6＝0，且A ＞0，则x1＋x2＝4k 2k2＋1，x1·x2＝－62k2＋1，∵AP →＝2PB→，即(－x1，－1－y1)＝2(x2，y2＋1)， ∴x1＝－2x2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x2＝4k 2k2＋1，－2x22＝－62k2＋1消去x2并解关于k 的方程得：k ＝±3010，∴l 的方程为：y ＝±3010x －1．2．(2018·江淮联考)已知抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ． (1)若斜率为－1的直线l 过点F 与抛物线C 交于A 、B 两点，求|AF|＋|BF|的值；(2)过点M(m,0)(m ＞0)作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FA →·FB →＜0，求m 的取值范围．解：(1)依题意，F(1,0)；设A(xA ，yA)，B(xB ，yB)，则直线l ：y ＝－x ＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y2＝4x ，y ＝－x ＋1则(－x ＋1)2＝4x ，则x2－6x ＋1＝0，则xA ＋xB ＝6；由抛物线定义可知，|AF|＋|BF|＝xA ＋xB ＋2＝8．(2)直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，l 与曲线C 的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＝14y21，x2＝14y22．将l 的方程代入抛物线的方程，化简得y2－4ty －4m ＝0，判别式Δ＝16(t2＋m)＞0，y1＋y2＝4t ，y1y2＝－4m ． ∵FA →＝(x1－1，y1)，FB →＝(x2－1，y2)， ∴FA →·FB →＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2 ＝116(y1y2)2＋y1y2－14(y21＋y22)＋1 ＝116(y1y2)2＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1．又∵FA →·FB →＜0，∴m2－6m ＋1－4t2＜0恒成立，∴m2－6m＋1＜4t2恒成立．∵4t2＞0，∴m2－6m＋1＜0只需即可，解得3－22＜m＜3＋22．∴所求m的取值范围为(3－22，3＋22)．3.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T19)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为.(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程.(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.【解析】(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.代入+y2=1可得,点A的坐标为或.所以直线AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为线段AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=+.则x由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.所以,x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0.从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.2.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T20)设抛物线C:y2=2x,点A,B,过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程.(2)证明:∠ABM=∠ABN.【解析】(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k+k BN=+=.①BM将x+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.3.(2018·全国卷II高考理科·T19)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.4.(2018·全国卷II高考文科·T20)(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【命题意图】本题考查抛物线、圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系,着重考查学生的逻辑推理和数学运算的综合能力.【解析】(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.5.(2018·全国Ⅲ高考理科·T20)(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M.(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.【命题意图】本题考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质,考查推理论证能力、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.试题难度:难.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=.②将m=代入①得k=-1.所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.6.(本小题14分)(2018·北京高考理科·T19)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,=λ,=μ,求证:+为定值.【命题意图】考查圆锥曲线中的取值范围与定值问题,意在考查知识的运用能力,推理能力,培养学生的逻辑推理能力与运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,(1)方法一(代数法):显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以Δ=-16k+16>0且k2+(2k-4)+1≠0,即k<1,且k≠-3,且k≠1,所以k<1,且k≠-3,即直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=(x-1),令x=0得y=-+2,即点M为(0,-+2),所以=(0,-+1),又=(0,-1),=λ,所以(0,-+1)=λ(0,-1),所以λ=-1=,=,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以===-,同理=-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=,所以+=-+-=-=-·=-·==2,即+为定值2.7.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A 的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(Ⅰ)求椭圆的方程.(Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力.【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以,k的值为或.8.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T19)设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为,|AB|=.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M 均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.【解题指南】(Ⅰ)结合离心率,线段AB的长,利用方程思想,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)注意△BPM与△BPQ同底,且△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,再利用解析法即可求解.【解析】(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|==,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为+=1.(II)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组消去y,可得x2=.由方程组消去y,可得x1=.x1,可得=5(3k+2),两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,由x或k=-.当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.所以,k的值为-.9.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T18)如图,在平面直角坐标系xOy,0),中,椭圆C过点,焦点FF,0),圆O的直径为F1F2.2((1)求椭圆C及圆O的方程.(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.【解析】(1)因为椭圆C的焦点为F,0),F2(,0),可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.y0)(x0>0,y0>0),则+=3,(2)①设直线l与圆O相切于P(x所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+..(*)由消去y,得(4+)x2-24x因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.所以Δ=(-24xy0>0,所以x0=,y0=1.因为x因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·.因为+=3,所以AB2==,即2-45+100=0,解得=(=20舍去),则=,因此P的坐标为.综上,直线l的方程为y=-x+3.10.(2018·浙江高考T21)(本题满分15分)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C 上.(Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴.(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.【解析】(Ⅰ)设P(x0,y0),A,B.因为PA,PB的中点在抛物线上,所以y1,y2为方程=4·即y2-2y 0y+8x0-=0的两个不同的实数根.所以y1+y2=2y0.因此,PM垂直于y轴.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知-3x0,|y1-y2|=2.所以|PM|=(+)-x=|PM|·|y1-y2|=(-4x0.因此,△PAB的面积S所以-4x0=-4-4x0+4∈[4,5].因为+=1(x因此,△PAB面积的取值范围是.关闭Word文档返回原板块。

人教A版理科数学课时试题及解析(51)直线与圆锥曲线的位置关系

课时作业(五十一) [第51讲直线与圆锥曲线的位置关系][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1,4)B ．[1，＋∞)C ．[1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，－1B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为( )A.21p 4B.21p 2C.136pD.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分) P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．难点突破16．(12分) 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程；(2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设AP →＝λPB →，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C [解析] 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B [解析] 当x ≥0时，方程是y 29－x 24＝1，当x <0时，方程是y 29＋x 24＝1，作图即知．4．A [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，解不等式组得－153<k <－1.【能力提升】5．B [解析] 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|F A |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ，∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 6．B [解析] 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以x 21a2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0(x －x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b 2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|F A |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223.9．D [解析] 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45，故选D.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴FB →＝(3,4)，F A →＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝－85×2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) [解析] 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 [解析] 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x [解析] 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l的方程是y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56[解析] 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9，则|PQ |＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|.所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．[解答] (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm ＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m，∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－n y 21－y 1y 2＋y 2－n y 22－y 1y 2 ＝2p ·y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ·n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ·n y 1y 2＝2p ·n －2pm＝－n m又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m＝－n2m ，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 15．[解答] (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x a 2－y b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．[解答] (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线， ∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意，设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点．设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2] ＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2， ∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42， ∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)，∴k ＝0或k ＝2.当k ＝0时，方程(*)的解为x ＝±2 2. 若x 1＝22，x 2＝－22，则λ＝2－22－22－2＝3－22；若x 1＝－22，x 2＝22，则λ＝2＋2222－2＝3＋2 2.当k ＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x 1＝4＋22，x 2＝4－22，则λ＝－2－222－22＝3＋22；若x 1＝4－22，x 2＝4＋22，则λ＝－2＋222＋22＝3－2 2.所以λ＝3＋22或3－2 2.。

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第九节直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝1＋1k2|y2－y1|＝1＋k2Δ|a|.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．( )(3)若抛物线上存在关于直线l 对称的两点，则l 与抛物线有两个交点．( )(4)过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.( ) 2．直线y ＝k(x －1)＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 3．(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB|＝( )A ．3B ．6C ．9D ．124．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．5．已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_______一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．两种思想直线与圆锥曲线的位置关系，弦长计算，定点、最值问题很好地渗透函数与方程思想和数形结合思想，是考查数学思想方法的热点题型．两种技巧1．涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)．2．涉及弦中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．三点注意1．重视圆锥曲线定义、平面几何性质的应用．2．“点差法”具有不等价性，要考虑判别式“Δ”是否为正数． 3．涉及定点、定值问题，切忌“特殊代替一般”，盲目简单化．一、选择题1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条2．(2015·四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB|＝( )A.433 B ．23 C ．6 D ．4 33．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M(－1，m)，若MA→·MB →＝0，则m ＝( ) A.2B.22 C.12D ．0 4．已知抛物线y 2＝2px(p>0)与直线ax ＋y －4＝0相交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F ，那么|FA|＋|FB|等于( )A ．5B ．6C ．3 5D ．75．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1B.x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1 D.x 245＋y 236＝1 二、填空题6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．7．(2015·山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P.若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．9．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．三、解答题10．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C 的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若|AB|＝8，求线段AB 的垂直平分线l′的方程．11．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(0，3)，离心率为12，左右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．平面解析几何中的高考热点题型圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是每年高考必考的一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常作为压轴题的形式出现．热点一圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．(2015·重庆卷)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.本题主要考查椭圆的定义、方程和离心率．用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时注意数形结合思想的应用．【变式训练】已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．热点2圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设O为坐标原点，k OA·k OB＝－b2a2，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．(1)求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．【变式训练】设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为e ＝22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－62.(1)求椭圆E 的方程．(2)设椭圆E 的左顶点是A ，若直线l ：x －my －t ＝0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N(M ，N 与A 均不重合)，若以MN 为直径的圆过点A ，试判定直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．热点3 圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．(2015·浙江卷)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．【变式训练】已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一坐标是(2，－2)的交点．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．热点4 圆锥曲线中的探索性问题(满分现场)圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．涉及这类命题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系问题．(2015·课标全国Ⅰ卷)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a(a>0)交于M ，N两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．【满分规则】 (1)本题的易失分点①在第(2)问中，不能把条件∠OPM ＝∠OPN 适当转化为k 1＋k 2＝0，找不到解题的思路和方法，而不能得分．②运算能力差或运算不细心，导致运算结果错误而扣分或者不得分．(2)满分规则①得关键点分：本题的关键点一是利用导数的几何意义求切线方程，二是把条件中转化为只需直线PM ，PN 的斜率之和为0.②得步骤分：阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有则得分，无则扣分，所以解题时要写全关键步骤．③得运算分：解析几何问题对运算能力要求较高，题目一般运算量较大，解题时一定要细心准确，否则可能是思路正确，但是运算结果错误，而不得分．【构建模板】第一步：分别求出曲线y ＝x 24在M 点，N 点处的导数．第二步：利用点斜式分别写出在M 点、N 点的切线方程．第三步：联立直线y ＝kx ＋a 与抛物线y ＝x 24，并写出根与系数的关系式．第四步：由k PM ＋k PN ＝0，结合根与系数的关系式，探索点P 的坐标．第五步：检验反思，查关键点，规范步骤．【变式训练】 (2015·四川卷)如图所示椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．1．(2015·天津卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率；(2)设直线BF 与椭圆交于点P(P 异于点B)，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q(Q 异于点B)，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM|＝λ|MQ|.①求λ的值；②若|PM|sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．2．已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．3．如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C 相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O 为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．4．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上某定点M ，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＋2x ＋1＋x 2＋y 2－2x ＋1＝4，经过点(－1，0)作斜率为k 的直线l ，l 与曲线C 交于A 、B 两点，l 与直线x ＝－4交于点D ，O 是坐标原点．(1)若OA→＋OD →＝2OB →，求k 的值； (2)是否存在实数k ，使△AOB 为锐角三角形？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．6．过x轴上动点A(a，0)引抛物线y＝x2＋1的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q.(1)求证：k1·k2为定值，并且直线PQ过定点．(2)记S为面积，当S△APQ|PQ→|最小时，求AP→·AQ→的值．。