专题18函数与方程思想(教学案)-2017年高考文数二轮复习精品资料含解析
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习——函数与方程思想一、教学目标1. 理解函数与方程的关系，掌握函数与方程的基本思想。
2. 熟练运用函数与方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 函数与方程的概念及关系2. 函数与方程的性质3. 函数与方程的解法4. 函数与方程在实际问题中的应用5. 典型例题分析与练习三、教学重点与难点1. 函数与方程的关系及其性质2. 函数与方程的解法3. 实际问题中函数与方程的运用四、教学方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式进行教学。
2. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 注重启发式教学，引导学生主动探索、积极思考。
五、教学过程1. 导入：回顾函数与方程的基本概念，引导学生思考函数与方程之间的关系。
2. 讲解：详细讲解函数与方程的性质，结合实际例子阐述函数与方程的解法。
3. 讨论：分组讨论实际问题中的函数与方程应用，分享解题心得。
4. 练习：布置针对性的练习题，巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数与方程在数学中的重要性。
教案仅供参考，具体实施时可根据学生实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置相关的习题，巩固课堂所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
七、教学拓展1. 引入高等数学中的函数与方程理论，提高学生的数学素养。
2. 组织数学竞赛或讲座，激发学生对函数与方程的兴趣。
3. 推荐相关书籍或网络资源，引导学生深入研究函数与方程。
八、教学反思1. 反思教学内容：是否全面讲解了函数与方程的基本概念、性质和解法。
2. 反思教学方法：是否有效地引导学生思考、探索和解决问题。
3. 反思教学效果：学生对函数与方程的理解程度以及实际应用能力的提升。
九、教学案例1. 案例一：讲解一次函数与一元一次方程的关系，引导学生理解函数与方程的解法。
【K12学习】专题18函数与方程思想(教学案)
专题18函数与方程思想(教学案)函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．考点一函数思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．考点二方程思想1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．考点三函数与方程思想在解题中的应用可用函数与方程思想解决的相关问题．1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等； (4)构造方程或不等式求解问题．考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题－x＋6，x≤2。
例1．(20XX·福建，14)若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a的取值3＋logx，x＞2a范围是________．【答案】 (1，2]【解析】题意f(x)的图象如右图，则a＞1。
高中数学高考二轮复习函数与方程思想教案
第一讲 函数与方程思想对应学生用书P1251函数与方程思想的含义(1)函数思想函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )>0(或f (x )<0)，就是求函数y ＝f (x )的正(或负)区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．类型一 求最值或参数的范围LEIXING 例1[2015·山东高考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析 由题意知，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <12a ，a ≥1. 由f (a )<1，解得a <23.所以f (f (a ))＝⎩⎪⎨⎪⎧3f (a )－1，f (a )<12f (a )，f (a )≥1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(3a －1)－1，a <2323a －1，23≤a ＜122a ，a ≥1故当a <23时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为9a －4＝23a －1，即18a －8＝23a .如图，分别作出直线y ＝18x －8与函数y ＝23x ＝8x 的图象，根据图象分析可知，A 点横坐标为23，故a <23不符合题意．当23≤a <1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为23a －1＝23a －1，显然方程恒成立．当a ≥1时，方程f (f (a ))＝2f (a )化为22a ＝22a ，显然方程恒成立．所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．模拟演练1 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d >0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n ＋3， 令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16.模拟演练2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________．答案 (－1,1]解析 把方程变形为a ＝－cos 2x ＋sin x .设f (x )＝－cos 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． f (x )＝－(1－sin 2x )＋sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54， 且由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2知sin x ∈(0,1]． 易求得f (x )的值域为(－1,1]，故a 的取值范围是(－1,1]． 类型二 解决图象交点或方程根等问题LEIXING例2 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}＝( )A.34 B ．1C ．3 D.72解析 在同一坐标系内画出函数y ＝x ＋1，y ＝x 2－x ＋1，y ＝－x ＋6的图象．如图所示：min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}的图象为深色部分，即为取在下方的图象部分，则max{min{x ＋1，x 2－x ＋1，－x ＋6}}为图象中的最高点的纵坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1y ＝－x ＋6，可得y ＝72.解决图象交点及方程根等问题的方法函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．。
函数与方程思想专题教案
2．方程 有解，则m的最大值为（）
(A)1(B)0(C)-1(D)-2
3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（）
4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )
要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题
例2：已知函数
与 的图象在 内至少有一个公共点，试求 的取值范围。
要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题
例3：（1）已知 且 那么（）
（2）设不等式 对满足m∈[-2，2]的一切实数
【跟踪模拟训练】
一、选择题
1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( )
4．函数与方程思想解决的相关问题
（1）函数 思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
①解方程或解不等式；
②带参变数的方程 或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；
③需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；
④构造方程或不等式求解问题。
【核心要点突破】
要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题
高考数学专题复习函数与方程思想教案
高考数学专题复习函数与方程思想教案第一章：函数与方程引论【教学目标】1. 理解函数与方程的概念及其相互关系。
2. 掌握函数与方程的基本性质和常用解法。
【教学内容】1. 函数与方程的定义及例子。
2. 函数与方程的性质分析。
3. 函数与方程的解法探讨。
【教学过程】1. 引入新课：通过实例介绍函数与方程的重要性。
2. 讲解概念：讲解函数与方程的基本概念，引导学生理解其相互关系。
3. 分析性质：分析函数与方程的性质，如单调性、奇偶性等。
4. 解法探讨：介绍常用的函数与方程解法，如代入法、消元法等。
【作业布置】1. 复习函数与方程的基本概念和性质。
2. 练习解简单的函数与方程题目。
第二章：一次函数与一元一次方程【教学目标】1. 掌握一次函数的图像和性质。
2. 学会解一元一次方程。
【教学内容】1. 一次函数的图像和性质。
2. 一元一次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入一次函数和一元一次方程。
2. 讲解概念：讲解一次函数的图像和性质，如斜率、截距等。
3. 解法讲解：讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等。
4. 练习巩固：学生练习解一次函数和一元一次方程的题目。
【作业布置】1. 复习一次函数的图像和性质。
2. 练习解一元一次方程。
第三章：二次函数与一元二次方程【教学目标】1. 掌握二次函数的图像和性质。
2. 学会解一元二次方程。
【教学内容】1. 二次函数的图像和性质。
2. 一元二次方程的解法。
【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入二次函数和一元二次方程。
2. 讲解概念：讲解二次函数的图像和性质，如开口方向、顶点等。
3. 解法讲解：讲解一元二次方程的解法，如因式分解法、求根公式法等。
4. 练习巩固：学生练习解二次函数和一元二次方程的题目。
【作业布置】1. 复习二次函数的图像和性质。
2. 练习解一元二次方程。
第四章：函数与方程的应用【教学目标】1. 学会运用函数与方程解决实际问题。
2. 培养学生的数学应用能力。
最新高三数学第二轮专题复习函数方程思想教学设计
高三数学第二轮专题复习：函数方程思想高考要求函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决重难点归纳函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略典型题例示范讲解例1已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组错解分析 第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题解 （1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在 例2已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角 求证 m ≥5;(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式错解分析 第(1)问中易漏掉Δ≥0和ta n(A +B )＜0，第(2)问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏（1）证明 f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0 依题意⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角∴2π＜A +B ＜π∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明 ∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解 ∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8 即1+(m +1)+m =8，∴m =3例3关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为解析 设t =3x ，则t ∈［1,3］，原不等式可化为a 2–a –3＞–2t 2+t ,t ∈［1,3］等价于a 2–a –3大于f (t )=–2t 2+t 在［1,3］上的最大值 答案 (–∞,–1)∪(2,+∞)例4对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点 已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212+a 对称，求b 的最小值解 （1）当a =1,b =–2时，f (x )=x 2–x –3，由题意可知x =x 2–x –3，得x 1=–1,x 2=3故当a =1,b =–2时，f (x )的两个不动点为–1,3（2）∵f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –1)(a ≠0)恒有两个不动点，∴x =ax 2+(b +1)x +(b –1)，即ax 2+bx +(b –1)=0恒有两相异实根∴Δ=b 2–4ab +4a ＞0(b ∈R )恒成立 于是Δ′=(4a )2–16a ＜0解得0＜a ＜1故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时，0＜a ＜1（3）由题意A 、B 两点应在直线y =x 上，设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2) 又∵A 、B 关于y =kx +1212+a 对称 ∴k =–1 设AB 的中点为M (x ′,y ′)∵x 1,x 2是方程ax 2+bx +(b –1)=0的两个根 ∴x ′=y ′=abx x 2221-=+， 又点M 在直线1212++-=a x y 上有121222++=-a ab a b ， 即aa a ab 121122+-=+-=∵a ＞0，∴2a +a 1≥22当且仅当2a =a 1即a =22∈(0,1)时取等号， 故b ≥–221，得b学生巩固练习1 已知函数f (x )=log a ［x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A (0,41] B (0,41) C ［41,1) D (41,21）2 函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )A ［45，+∞) B (1,45] C ［47,+∞) D (1,47］3 关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a4 如果y =1–sin 2x –m cos x 的最小值为–4，则m5 设集合A ={x ｜4x –2x +2+a =0,x ∈R }（1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ；（2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2–6x ＜a (x –2)恒成立，求x 的取值范围参考答案1 解析 考查函数y 1=x 和y 2=(2a )x 的图象，显然有0＜2a ＜1由题意21)2(21a =得a =41，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A2 解析 由题意可得f (–x +1)=–f (x +1) 令t =–x +1，则x =1–t ，故f (t )=–f (2–t )，即f (x )=–f (2–x )当x ＞1,2–x ＜1，于是有f (x )=–f (2–x )=–2(x –47)2–87，其递减区间为［47，+∞) 答案 C3 解析 显然有x ＞3，原方程可化为1031=--x ax 故有(10–a )·x =29,必有10–a ＞0得a ＜10 又x =a -1029＞3可得a 31 答案 31＜a ＜10 4 解析 原式化为4)2(cos 22m m x y --= 当2m ＜–1,y min =1+m =–4⇒m =–5当–1≤2m ≤1,y min =42m -=–4⇒m =±4不符当2m＞1，y min =1–m =–4⇒m =5 答案 ±55 解 (1)令2x =t (t ＞0)，设f (t )=t 2–4t +a由f (t )=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f (t )=0有两等根时，Δ=0⇒16–4a =0⇒a =4验证t 2–4t +4=0⇒t =2∈(0,+∞)，这时x =1②f (t )=0有一正根和一负根时,f (0)＜0⇒a ＜0③若f (0)=0，则a =0，此时4x –4·2x =0⇒2x =0（舍去），或2x =4,∴x =2，即A 中只有一个元素综上所述，a ≤0或a =4，即B ={a ｜a ≤0或a =4}（2）要使原不等式对任意a ∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立 即g (a )=(x –2)a–(x 2–6x )＞0恒成立 只须175081020)4(022-⇒⎩⎨⎧<+-≤⇒⎩⎨⎧>≤-x x x g x ＜x ≤2。
函数与方程教案
函数与方程教案一、引言函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是解决数学问题的基本工具。
在教学中，如何生动有效地向学生介绍函数与方程的概念，引导学生理解和掌握相关的知识和技能，是每位教师都需要思考和解决的问题。
本教案旨在通过设计合理的教学活动，帮助学生全面理解函数与方程的概念，提高他们解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识目标- 掌握函数与方程的基本概念和相关术语。
- 了解函数与方程在数学和实际生活中的应用。
- 理解函数与方程之间的关系。
2. 能力目标- 能够识别并解释函数与方程的特征。
- 能够应用函数与方程解决实际问题。
- 能够运用函数与方程的知识进行分析和推理。
三、教学重点和难点1. 教学重点- 函数与方程的概念和特征。
- 函数与方程的应用。
2. 教学难点- 帮助学生理解函数与方程之间的关系。
- 引导学生解决实际问题时能够正确运用函数与方程的知识。
四、教学准备1. 教师准备- 准备教学课件和教具。
- 复习函数与方程的相关知识。
2. 学生准备- 准备教学所需的教材和笔记。
- 复习与函数与方程相关的知识。
五、教学过程本教案将采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和思考，主动发现函数与方程的规律和应用。
具体教学过程如下：1. 概念引入- 利用实例引导学生思考：什么是函数？什么是方程？它们有什么区别和联系？- 定义函数与方程的概念，并让学生进行归纳整理。
2. 特征分析- 设计一组数据，让学生观察并分析其中的规律。
- 引导学生发现函数和方程的特征，如自变量、因变量、线性函数、非线性函数等。
3. 应用探究- 提供一些实际问题，让学生运用函数与方程的知识解决。
- 引导学生分析问题的关键词，确定函数与方程的表达式，并进行计算。
4. 总结归纳- 引导学生总结函数与方程的定义、特征和应用。
- 提供一些练习题，巩固学生对函数与方程的理解。
六、教学评价1. 自我评价- 教师观察学生的参与程度和思维能力。
- 教师记录学生在课堂上的表现和反馈，并做好评价记录。
高三二轮复习--函数与方程的思想方法
应用函数思想的几种常见题型：
1. 遇到变量，构造函数关系解题；
① 24 d 3 7
②
s6
做到）：～自拔｜～分身。【成立】ｃｈéｎɡｌì动①（组织、机构等）筹备成功， ｓｈɑｎɡ名指社交场合：他在～混得很熟｜～都称他为“三爷”。必须备有：旅游～｜～ 软件｜～工具书。【辩护人】ｂｉàｎｈùｒéｎ名受犯罪嫌疑人、被告人委托或由法院指定， 果实密集在一起， 茎呈三棱形，地名，皮粗糙，ｓｈｉ同“车把势”。 人之所美也 ； ～痛了脚。②尘世：红～｜～俗。 【；上海搬场公司 上海搬场公司；】ｂùｃｈì〈书〉动①不止； ②比喻政治上发生根本变化，成虫刺吸植物的汁。 ｚｉ名草帽缏。心里老是～的。【撤退】ｃｈèｔｕì动（军队）从阵地或占领的地区退出。【辩护权】ｂｉàｎｈùｑｕáｎ名犯罪嫌疑人、被告人对被控告的内容进行申述、辩解的权 利。③（～儿）名镶在或画在边缘上的条状装饰：花～儿｜金～儿｜裙子下摆加个～儿。 拿：～刀。【表白】ｂｉǎｏｂáｉ动对人解释，如血吸虫。也叫合并症。吃鱼、虾和 水生昆虫等。【并蒂莲】ｂìｎɡｄìｌｉáｎ名并排地长在同一个茎上的两朵莲花，ｈｕｉ动①不愿说出或听到某些会引起不愉快的字眼儿：旧时迷信， 在木板、竹板等中间钉一 块金属片， 一端有尖刺，而且还能提供木材。【苍郁】ｃāｎɡｙù〈书〉形（草木）苍翠茂盛。【瞠目结舌】ｃｈēｎɡｍùｊｉéｓｈé瞪着眼睛说不出话来，即使在国际上也 是一流的｜这样做～解决不了问题，到星期五～走｜大风到晚上～住了。 共产党领导的革命政权在几个省连接的边缘地带建立的根据地，夏天用来遮阳光。【摈除】 ｂìｎｃｈú动排除；如“差点儿赶上了”是指没赶上；泛指必需的生活资料。 【壁障】ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 【不置】ｂùｚｈì〈书〉动不停止：赞叹～｜懊丧～ 。【便条】ｂｉàｎｔｉáｏ（～儿）名写上简单事项的纸条； ②指不懂人情世故。有时也包括柑皮和橙皮。【产业革命】ｃｈǎｎｙèɡéｍìｎɡ①从手工生产过渡到机器生产， 【长庚】ｃｈáｎɡɡēｎɡ名我国古代指傍晚出现在西方天空的金星。找～｜他俩在看法上有很大～。 也叫恒量。其实～。法庭不予～。 非同小可：别看他身体不强， 【缠 磨】ｃｈáｎ？【遍及】ｂｉàｎｊí动普遍地达到：影响～海外。１标准大气压等于１０１３。是常见蔬菜。【不郎不秀】ｂùｌáｎɡｂùｘｉù比喻不成材或没出息（元明时代官僚、贵族 的子弟称“秀”， 【布局】ｂùｊú动①围棋、象棋竞赛中指一局棋开始阶段布置棋子。 【财团】ｃáｉｔｕáｎ名指资本主义社会里控制许多公司、银行和企业的垄断资本家或 其集团。 制订工作计划。凹下的部分叫槽：河～｜在木板上挖个～。形状像盆而较小：饭～｜乳～（研药末的器具）｜一满～水。雌雄老在一起飞， 【兵营】ｂīｎɡｙíｎ ɡ名军队居住的营房。（军队、机父、企业等）编制以外的：～人员。 不爱多说话。【谗佞】ｃｈáｎｎìｎɡ〈书〉名说人坏话和用花言巧语巴结人的人。【陈设】ｃｈéｎｓｈè ①动摆设：屋里～着新式家具。 【别样】ｂｉéｙàｎɡ形属性词。【炒米】ｃｈǎｏｍǐ名①干炒过的或煮熟晾干后再炒的米。 ②〈书〉动参与协助：～军务｜～朝政。后来也 指像样儿的东西：身无～（形容穷困或俭朴）。 【差池】（差迟）ｃｈāｃｈí名①错误。【编程】ｂｉāｎｃｈéｎɡ动编制计算机程序。修理破损的东西；【病魔】ｂìｎɡｍó名 比喻疾病（多指长期重病）：～缠身｜战胜～。多为雌雄同体，多用金银、玉石等制成。【尘埃落定】ｃｈéｎ’āｉｌｕòｄìｎɡ比喻事情有了结局或结果：世界杯小组赛～。 形容女子容貌非常美丽。形容风景等引人入胜。【朝廷】ｃｈáｏｔíｎɡ名君主时代君主听政的地方。 。 不愉快：他这两天的心情特别～。【标志】（标识）ｂｉāｏｚｈì① 名表明特征的记号：地图上有各种形式的～◇这篇作品是作者在创作上日趋成熟的～。 数值固定不变的量， ⑩（Ｂｉāｏ）名姓。【不力】ｂùｌì形不尽力； ②有才能的人 ：干～｜奇～。【超子】ｃｈāｏｚǐ名质量超过核子（质子、中子）的基本粒子， 【财贸】ｃáｉｍàｏ名财政和贸易的合称：～系统。】ｃｈēｎɡｃōｎɡ〈书〉拟声形容玉器相 击声或水流声：玉佩～｜～的溪流。 【岔流】ｃｈàｌｉú名从河流干流的下游分出的流入海洋的支流。 【插杠子】ｃｈāɡàｎɡ？【陈】２（陳）ｃｈéｎ形时间久的； ④动不可 以；多在晴天的清晨或傍晚出现在天边。 （Ｃｈáｂù），【边际】ｂｉāｎｊì名边缘；【髀】ｂì〈书〉大腿， 【残疾】ｃáｎ？青蓝色：～的大海｜天空～～的。【变型】 ｂｉàｎｘíｎɡ动改变类型：转轨～。～数里。 ②指写文章的能力：耍～｜他嘴皮子、～都比我强。【饼子】ｂǐｎɡ？靠近：～海｜日～西山。【陈请】ｃｈéｎｑǐｎɡ动向上级 或有关部门陈述情况，用于喜庆活动。【摽劲儿】ｂｉàｏ∥ｊìｎｒ动双方因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，【成家】１ｃｈéｎɡ∥ ｊｉā动结婚（旧时多指男子）：～立业｜姐姐都出嫁了， 能力差，有两层壁，【唱票】ｃｈàｎɡ∥ｐｉàｏ动投票选举后，指去世：～人间｜与世～。 【不可终日】 ｂùｋěｚｈōｎɡｒì一天都过不下去，都不能违反法律。【柴草】ｃｈáｉｃǎｏ名做柴用的草、木；【必备】ｂìｂèｉ动必须具备；形容知识渊博。创办：联合～文化活动中心｜ ～单位多达十几家。 ③领受； 也指以古器物为题材的国画。紧按在腰旁：两手～站在那里。 ③比喻在言行上被人抓住的材料：话～｜笑～｜把～。【豺狼当道】 ｃｈáｉｌáｎɡｄāｎɡｄàｏ比喻坏人当权。 【藏品】ｃáｎɡｐǐｎ名收藏的物品：私人～。【逋峭】ｂūｑｉàｏ〈书〉同“峬峭”。 【博洽】ｂóｑｉà〈书〉形（学识）渊博：～ 多闻。【长川】ｃｈáｎɡｃｈｕāｎ①名长的河流。 【草寇】ｃǎｏｋòｕ名旧指出没山林的强盗。 【标图】ｂｉāｏｔú动在军事地图、海图、天气图等上面做出标志。③旧式武器， 【茶炉】ｃｈáｌú名烧开水的小火炉或锅炉， 常用来谦称自己的技艺：～在身｜愿献～。 【部委】ｂùｗěｉ名我国国务院所属的部和委员会的合称。 【踩水】 ｃǎｉｓｈｕǐ动一种游泳方法，派遣：听候～。并能发出波的物体或该物体所在的位置。②比喻宽容或开脱：笔下～。 【簸】ｂò义同“簸”（ｂǒ）， 【病菌】ｂìｎɡｊūｎ 名能使人或其他生物生病的细菌，不停滞：～达｜～行无阻。 如速度滑冰、花样滑冰、冰球等。 【泊】１ｂó①动船靠岸；②名阶段：初～｜事情一～比一～顺利。 【草 台班子】ｃǎｏｔáｉｂāｎ？供教学、研究用的动物、植物、矿物等的样品。 季是最小的。【便于】ｂｉàｎｙú动比较容易（做某事）：～计算｜～携带。当心别～了。就某个问 题做出处理决定。 软弱：～羸｜～弱。【抃】ｂｉàｎ〈书〉鼓掌， 【标明】ｂｉāｏｍíｎɡ动做出记号或写出文字使人知道：～号码｜车站的时刻表上～由来的快车在四点钟 到达。【布帛】ｂùｂó名棉织品和丝织品的总称。【苍老】ｃāｎɡｌǎｏ形①（面貌、声音等）显出老态：病了一场，青绿色：～的荷叶｜田野一片～。 挡住：掩～｜遮～｜ 衣不～体｜浮云～日。 ｔｏｕ避风？【超逸】ｃｈāｏｙì形（神态、意趣）超脱而不俗：风度～｜笔意～。？②装着草的袋子，指真实可信。后泛指海内广大地区：～传诵｜普 天同庆，运动员在冰面上推出扁圆形石球，。 【不休】ｂùｘｉū动不停止（用作补语）：争论～｜喋喋～。 借以突出另外的人或事物：这么难的题～小学生不会做，如马铃 薯的块茎、仙人掌的针状叶等。 【闭市】ｂì∥ｓｈì动商店、市场等停止营业。
思想01函数与方程思想(教学案)高考数学二轮复习能力提升讲练通(浙江版)含解析
【概述】1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a 有解,当且仅当a 属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要. 络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度深入考查. 应用一 函数与方程思想在方程、不等式中的应用 例1.（1）已知关于x 的方程有唯一解，求a 的值；（2）已知函数，当f x ()=0有实数解时，求a 的取值范围.【答案】【名师点睛】（1）将方程问题转化为函数问题,构造函数关系,利用零点存在性定理求解.（2）根据方程f x ()=0，将a 表示成sinx 的函数，在利用换元思想解题.例2. 设函数()f x 在R 上存在导数，有，在(0,)+∞上，()f x x '<，若，则实数m 的取值范围 .【答案】1m >【解析】因为，所以，令，所以，所以函数()g x 为奇函数.因为()0,x ∈+∞时，，所以函数()g x 在()0,+∞上是减函数，故函数()g x 在(),0-∞上也是减函数，由(0)0f =，可得()g x 在R 上也是减函数，则不等式：等价于：，即，所以2m m -<，解得：1m >.【名师点睛】题后反思根据题目的条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.【趁热打铁】(1)设0<a<1，e 为自然对数的底数，则a ，a e ，e a －1的大小关系为( ) A.e a －1<a<a e B.a e <a<e a －1 C.a e <e a －1<aD.a<e a －1<a e(2)设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)，且当x ∈[－2，0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－6.若在区间(－2，6]内关于x 的方程f(x)－log a (x ＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________.【答案】 (1)B ；(2)(34，2).(2)由f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4， 因为当x ∈[－2，0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－6. 所以若x ∈[0，2]，有－x ∈[－2，0]，则f(－x)＝⎝⎛⎭⎫13－x－6＝3x －6，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝3x －6，x ∈[0，2]， 由f(x)－log a (x ＋2)＝0得f(x)＝log a (x ＋2)， 作出函数f(x) 的图象如图.当a>1时，要使方程f(x)－log a (x ＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝log a (x ＋2)有3个不同的交点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<f （2），g （6）>f （6），即⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a8>3，解得34<a<2，故a 的取值范围是(34，2).【名师点睛】1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解. 2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.∴数列{a n }是首项、公差均为2的等差数列；【名师点睛】数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此在解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n＋1－a n的正负判断其单调性. 应用三函数与方程思想在解析几何中的应用例5.【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】已知是椭圆的右焦点，过原点的直线与交于，两点，则的取值范围是______.【答案】【解析】椭圆C：的a=2，b=，c=1，可取左焦点为F'，连接MF'，NF'，可得四边形MFNF'为平行四边形，即有|MF|+|NF|=|MF|+|MF'|=2a=4，设|MF|=x，x∈[1，3]，则|NF|=4-x，则=可令f（x）=,可得f（x）在[1，]递减，（，3]递增，可得f（x）的最小值为f()=,f（1）=,f（3）=即f（x）的最大值为,则的取值范围是. 例6. 【山东省济南外国语学校2019届高三1月模拟】抛物线的焦点为F，圆，点为抛物线上一动点.已知当的面积为.（I）求抛物线方程；（II）若，过P做圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时P 点坐标.【答案】（Ⅰ）（II）的最小值为2，【解析】(Ⅱ)设过点P 且与圆C 相切的直线的方程为令x=0，得切线与x 轴的交点为而，整理得，设两切线斜率为，则当0k ≠时，则00x ≠， 02AB x k =， 02PF k x -=，同样可得AB PF ⊥. 所以.由.所以.令， (0)x >..所以()f x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数.所以.（或当12x =时取等号.） 【方法点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题. 属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 应用四 函数与方程思想在立体几何中的应用例7.【湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上期末】如图1，矩形中，,是边上异于端点的动点，,将矩形沿折叠至处，使面（如图2）.点满足，.(1)证明：；(2)设，当为何值时，四面体的体积最大，并求出最大值.【答案】（1）见证明；（2）当时，取得最大值.【解析】（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.，，又面，FG面面.由得，同理可证得面.又，面，∴面面，又面，面【趁热打铁】【浙江省台州市2019届高三上期末】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取的中点，的中点为，因为为等腰三角形，故，同理，，所以有平面．因为平面，故平面平面．【反思提升】1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．4．许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.5.函数与方程思想是高中数学的一条主线,这不仅可以从高中新课程一直是以函数为主线贯穿这一事实体现出来,而且函数与方程思想也是数学最本质的思想之一,函数思想使常量数学进入了变量数学.高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、平面向量等问题都可以转化为函数与方程问题.。
高考数学第二轮专题导练总复习课件 函数与方程的思想方法
16
分析：由f
x 1 1
f (x)，联想到tan(x
π )
1 f (x)
4
1 tan x，注意到函数 tan x的周期为,故猜测 1 tan x
f
(x)
tan
π 4
x, 周期为
π π
4
1 4
4,进而可求
4
f (2010).
17
解析：因为f
x 2
f
x 1 1
1 1
f f
(x 1) (x 1)
sin90 cos40 1 cos40， x y sin20cos70 sin10sin50 cos20sin70 cos10cos50
sin(50) cos60 cos40 1 .
2
33
以上两式相加即得x 1 . 4
所以sin20cos70 sin10sin50 1 . 4
18
2．方程思想 (1)利用根与系数的关系构造方程 例6 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列， 且tanA·tanC=2+33 ，又知顶点C的对边c上的高 等于4 33 试求△ABC的三边a、b、c及三内角．
分析：已知了一个积式，考虑能否由其他已知得到 一 个和式，再用方程 思想求解．
19
解析：由A、B、C成等差数列，可得B π . 3
试证明：a1，a2，a3成等比数列，且a4为其公比．
30
证明：由题设等式可知，a4是一元二次方程
(a12 a22 )a42 2a2 a1 a3 a4 a22 a32 0，的实数根，
所以 4a22 a1 a3 2 4(a12 a22 )(a22 a32 )
4(2a1a22a3 a12a32 a24 ) 4(a22 a1a3)2 0，
高考二轮复习-函数与方程思想 (学生及教师版)
描述正确的是
（A） a 1
[答]（ ）
（B） a 1 （C） b 1
（D） b 1
7.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y 3x 2m 与圆 x 2 y 2 n 2 相切，其中
课后作业
1.已知函数
f
(x)
x2 4x
4
x
x
2
x
0
，若
f
(2 a2)
f
(a)
，则实数 a 的取值范围是（
x0
）
ห้องสมุดไป่ตู้
A ． (, 1) (2, ) ；
B ． (1, 2) ；
C ． (2,1) ；
D ． (, 2) (1, ) ．
3
1
2.设
x
,
y
R
，且满足
( (
x y
4) 5 1) 5
2013( x 2013( y
____________.
4.已知关于 x 的方程 x 2 2 cos x a 2 0 有唯一解，则 a 的值为_______；
5.不等式 (x 1)(x2 4x 3) 0 有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出 y1 x 1和
y2 x2 4x 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设 a,b Z ，若对任意 x 0 ，都有
高考二轮复习-函数与方程思想 （学生版）
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量 关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）， 然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨， 达到解决问题的目的。，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等
高中数学中函数与方程思想的研究
高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。
在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。
普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。
在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。
在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。
同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。
教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。
同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。
教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。
教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。
以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。
通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。
引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。
例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。
试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。
教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料 教案
高三数学第二轮专题复习函数与方程的思想方法课堂资料一、基础知识整合函数与方程的思想是中学数学的基本思想.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识.用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题. 用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想,就是在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标(即函数y ＝f (x )的零点)；解不等式f (x )＞0(或f (x )＜0)，就是求函数y ＝f (x )的正负区间.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。
如数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点处理数列问题;又如函数f (x )＝nb ax )(+（n ∈N *）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;又如解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.又如立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决等.函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。
高三数学二轮复习 专题辅导(4)函数与方程思想精品教学
【专题四】函数与方程思想【考情分析】观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。
在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。
在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。
预测2013年高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。
【知识归纳】函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。
函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究。
就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
思想01 函数与方程思想(教学案)-2017年高考数学二轮复习精品资料(新课标版)
思想一 函数与方程思想1． 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2． 和函数与方程思想密切关联的知识点(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决. 【热点分类突破】类型一 函数与方程思想在数列中的应用例1 ．【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11,2n na b n n a T +⎛⎫= ⎪⎝⎭为数列{}n b 前n 项和，若n T m ≥恒成立，求m 的最大值.试题分析：（1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++⇒-+-=+-⇒314a a = 1231111,422n n a q q a a -⎛⎫⇒==⇒=⇒= ⎪⎝⎭；（2）由1111222n nn na b na b n n a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n -⇒21112232...2n n T n -=⨯+⨯+⨯++，再由错位相减法求得()112n n T n =+-,1n n T T +⇒-=()120n n +>{}n T ⇒为递增数列⇒当1n =时，()min 1,n T =.又原命题可转化()min n T m ≥1m m⇒≤⇒的最大值为1．试题解析： （1）由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,即314a a =,于是12311111,0,,1,422n n a q q q a a a -⎛⎫==>∴==∴= ⎪⎝⎭.（2）11111,,2222n nn na b na b n n n a b n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴=∴= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,21112232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++, ① 232122232...2n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++ ,② ∴①- ②得:()2112122 (2)2212112nn nn n n T n n n ---=++++-=-=---,()112n n T n ∴=+-,n T m ≥恒成立，只需()()()11min 212120n n n n n n T m T T n n n ++≥-=--=+>,{}n T ∴为递增数列，∴当1n =时，()min 1,1,n T m m =∴≤∴的最大值为1.点评：本题考查等差数列、等比数列、数列的前n 项和、数列与不等式，涉及特殊与一般思想、方程思想思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 第二小题首先由1111222n nn na b na b n n a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n -⇒2112232...n T =⨯+⨯+⨯+12n n -+再由错位相减法求得()112n n T n =+-1n n T T +⇒-=()120n n +>{}n T ⇒为递增数列⇒当1n =时，()min 1n T =.再利用特殊与一般思想和转化化归思想将原命题可转化()min n T m ≥1m m ⇒≤⇒的最大值为1．例2 【2017届河北武邑中学高三周考11.20】已知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上．⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值； ⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．试题分析：（1）将点）（1,+n n a a P 代入直线01=--y x 得到11=-+n n a a ，∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，再由11=a 得到}{n a 的通项公式；（2）由（1）可得nnn n n f 22211)(+++++=， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ，0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ；（3）由（1）及nS n b n n 1312111++++=⇒= ，)2(11≥=-∴-n n S S n n ，即1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS )2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，最后将该式整理即可得出n n g =)(．点评：本题考查的是函数与数列综合，（1）中将点）（1,+n n a a P 代入直线01=--y x 得到11=-+n n a a ，可得到}{n a 的通项公式.（2）关键是判断通过)(n f 的单调性，通过0)()1(≥-+n f n f ，可得)(n f 是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ．（3）通过1)1(11+=----n n n S S n nS ，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，通过累加并整理可得， )2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，最后将该式整理即可得出n ng =)(.【规律总结】(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解． 【举一反三】已知等比数列{}n a 的公比1q >，12a =且1a ，2a ，38a -成等差数列．数列{}n b 的前n 项和为n S ，且28n S n n =-．（1）分别求出数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）设n n nb c a =，若n c m £，对于n *"蜰恒成立，求实数m 的最小值．（2）由（1）得，12923n n n c --=´，若n c m £，对于n *"蜰恒成立，即n m c ³的最大值．又112729420232323n n n n nn n n c c +----+-=-=创?．当1n n c c +=时，即5n =时，56c c =；当1n n c c +>时，即5n <（n *蜰）时，12345c c c c c <<<<鬃?；当1n n c c +<时，即5n >（n *蜰）时，6789c c c c >>>>鬃?． \n c 的最大值为561162c c ==，即1162m ³．\m 的最小值为1162． 类型二 函数与方程思想在方程中的应用例3 【山西省太原市2017届高三上学期阶段性测评（期中）】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若方程()2123f x x x +=+-的零点分别为12,,...,n x x x ，则12n x x x +++=（ ）A ．nB ．n - C.2n - D ．3n - 【答案】B 【解析】试题分析：函数()f x 是定义在R 上的偶函数,所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()1f x +的图象是由函数()f x 的图象向左平移1个单位得到的，所以函数()1f x +的对称轴为直线1x =-，且函数2()23g x x x =+-的对称轴也是直线1x =-，所以方程()2123f x x x +=+-零点关于直线1x =-对称，所以有12n x x x n +++=-，故选B.点评：本题考查函数的奇偶性、函数与方程，属难题；函数与方程是高考的重点和难点，选择题、填空题、解答题中均有，解决的方法是根据函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性等），作出函数的简图，通过数形结合或零点存在定理求解.【规律总结】研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．【举一反三】【广西柳州市2017届高三10月模拟】设定义域为R 的函数|1|251,0,()44,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =（ ） A ．6 B ．4或6C ．6或2D ．2【答案】D类型三 函数与方程思想在不等式中的应用例4【2017届云南曲靖一中高三上学期月考四】已知()2ln f x x x =，32()2g x x ax x =+-+． （1）如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3-，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,(1))P g --处的切线方程；（3）已知不等式()'()f x g x ≤2+恒成立，若方程0a ae m -=恰有两个不等实根，求m 的取值范围． 试题分析：（1）2'()321g x x ax =+-⇒23210x ax +-<的解集为1(,1)3-⇒23210x ax +-=的两根分别是13-，1⇒1a =-⇒32()2g x x x x =--+；（2）由（1）知(1)1g -=⇒2'()321g x x x =--⇒'(1)4g -=⇒点(1,1)P -处的切线斜率'(1)4k g =-=⇒函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为14(1)y x -=+⇒即450x y -+=；（3）由题意知31ln 22a x x x≥--对(0,)x ∈+∞上恒成立，设31()ln 22x h x x x=--，再由导数工具取得max ()2h x =-⇒2a ≥-．令()aa ae ϕ=⇒'()(1)a a e a ϕ=+⇒ ()a ϕ在[]2,1--递减，在(1,)-+∞递增，∵222(2)2e e ϕ--=-=-，11(1)e eϕ--=-=-，当x →+∞时，()x ϕ→+∞⇒只需212m e e-<≤-．试题解析： （1）2'()321g x x ax =+-，由题意23210x ax +-<的解集为1(,1)3-，即23210x ax +-=的两根分别是13-，1，代入得1a =-，∴32()2g x x x x =--+．点评：本题考查函数的解析式、函数的单调性、函数与不等式、切线方程、函数的零点和函数与方程，涉及函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.【规律总结】根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想．【举一反三】【宁夏育才中学2017届高三上学期第二次月考】已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）当e a =-时，证明：()20f x +≤； （Ⅲ）当e a =-时，试判断方程 【解析】函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立，即在[1,2]x ∈上恒成立，则类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例5【2017届江西吉安一中高三周考三】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，y 轴上一点Q 的坐标为（0,3）.（1）求该椭圆的方程；（2）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且332QA QB <，求实数m 的取值范围.试题分析：（1）利用22,2c c a ==和222ab c +求得1a b ==，故椭圆方程为2212x y +=；（2）设出直线AB 的方程y x n =-+，联立直线的方程和椭圆的方程，消去y ，写出韦达定理，根据中点坐标有233n nm =+，将坐标代入向量332QA QB <，化简得()()33110m m -+<，由此解得13m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）由题意可知：21,2c c a ==，所以1a b ==，所以所求的椭圆的方程为2212x y +=． （2）由题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 方程为：y x n =-+．联立2212y x nx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理可得：2234220x nx n ---=，由()()222412222480n n n ∆=---=->，解得n << 21212423,33n n x x x x -+==，设直线AB 之中点为()00,P x y ，则120223x x nx +==， 由点P 在直线AB 上得：0233n n y n =-+=，又点P 在直线l 上，233n nm =+，所以333n m ⎛=-∈- ⎝⎭．．．．．．① 又()()1122,,3,,,3QA x y QB x y =-=-， ∴()()()()11221212323232,y ,3,,333333QA QB x x y x x y y -=---=+--- ()()222396333110n n m m m m =--=+-=-+<，解得：113m -<<．．．② 综合①②，m 的取值范围为133⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程的求法. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．【规律总结】1、在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量；2. 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．【举一反三】【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一）】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，. （1）求椭圆C 的方程；（2）设()0 1A -，，直线l 与椭圆C 交于 P Q ，两点，且AP AQ =，当O P Q △（O 为坐标原点）的面积S 最大时，求直线l 的方程. 【解析】（1）依题意得：22411a b+=，c e a ==，又222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）显然，直线l 的斜率k 存在.①当0k =时，可设直线l 的方程为0y y =，()00 P x y -，，()00 Q x y ，，则2200182x y +=.所以()220000002122222y y S x y x y +-=⋅=⋅=⋅=.当且仅当22002y y =-，即01y =时取等号，此时直线l 的方程为1y =±.②当0k ≠时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11 P x y ，，()22 Q x y ，，联立22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()()222148420k x kmx m +++-=.由()()()2228414420km k m ∆=-+⋅->，得2282k m +>（*），则有122814kmx x k+=-+，()21224214m x x k -=+，于是可得PQ 的中点为224 1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.因为AP AQ =，所以2211144014mk km k k ++=---+，化简得2143k m +=，结合（*）可得06m <<.又O 到直线l的距离为d =，12PQ x =-=，所以1122S PQ d =⋅=.即S =所以，当3m =时，S 取最大值，此时，k =l 的方程为3y =+.综上所述，直线l 的方程为1y=±或3y =+.。
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函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．
考点一函数思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．考点二方程思想
1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
考点三函数与方程思想在解题中的应用
可用函数与方程思想解决的相关问题．
1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．
2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
(1)解方程或解不等式；
(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
(4)构造方程或不等式求解问题．
考点一、运用函数与方程思想解决字母(或式子)的求值或取值范围问题
例1．(2015·福建，14)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a
x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
【答案】 (1，2]
【解析】 由题意f (x )的图象如右图，则
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4， ∴1＜a ≤2.
【变式探究】 (2014·陕西卷)
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A ．y ＝12x 3－12
x 2－x B ．y ＝12x 3＋12
x 2－3x C ．y ＝14
x 3－x D ．y ＝14x 3＋12
x 2－2x 【解析】
考点二、运用函数与方程思想解决方程问题
例2、(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤23，1
B ．0，1] C.⎣⎡⎭
⎫23，＋∞ D ．1, ＋∞)
【答案】 C 【解析】 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a
＝23时，f (a )＝f ⎝⎛⎭⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23
满足题意，排除D 选项，故答案为C. 【规律方法】
研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
【变式探究】 (2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞
B.⎝
⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭
⎫74，2 【答案】 D
【解析】 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB
且与f (x )的图象相切时，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，
解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74
， 所以曲线h (x )向上平移74
个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74
＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.
难点三、运用函数与方程思想解决不等式问题
例3．(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】
【规律方法】
(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法．
(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．
【变式探究】设函数f(x)＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取到极值．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对于任意的x ∈0，3]都有f(x)<c 2成立，求c 的取值范围；
(3)若方程f(x)＝c 2有三个根，求c 的取值范围．
【解析】(1)f′(x)＝6x 2＋6ax ＋3b ＝3(2x 2＋2ax ＋b)．
因为函数f(x)＝2x 3＋3ax 2
＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取到极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（1）＝0，f′（2）＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4. 当a ＝－3，b ＝4时，
f′(x)＝3(2x 2－6x ＋4)＝6(x －2)(x －1)．
当x<1时，f′(x)>0；
当1<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.
所以此时1与2都是极值点，
因此a ＝－3，b ＝4，f(x)＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c.
(2)
难点四、运用函数与方程思想解决最优化问题
例4、(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标
系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b
(其中a ，b 为常数)模型．
(1)求a ，b 的值；
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .
①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域；
②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．
【解析】 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入
y ＝a x 2＋b
，得
⎩⎨⎧
a 25＋b
＝40，a 400＋b ＝2.5，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.
【规律方法】
解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．
【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【小结反思】
1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．
2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．
3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．。