[精品]2019高中数学第一章1.2.1任意角的三角函数问题导学案新人教A版必修78

1.2.1 任意角的三角函数问题导学一、利用定义求角的三角函数值活动与探究1已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为cos α和tan α的值．迁移与应用已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是( )A．1或－1 B．25或25-C．1或25- D．－1或25利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，点的坐标含有参数时，应分类讨论．二、三角函数值的符号问题活动与探究2判断下列各式的符号：(1)sin α·tan α，其中α是第四象限角；(2)sin 3·cos 4·tan23π4⎛⎫-⎪⎝⎭.迁移与应用若sin α·cos α＜0，则α的终边在( )A．第一或第二象限 B．第一或第三象限C．第一或第四象限 D．第二或第四象限准确确定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．三、诱导公式一的应用活动与探究3求下列各式的值：(1)si n 1 470°；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫-⎪⎝⎭.迁移与应用求下列各式的值：(1)25π15πcos+tan34⎛⎫-⎪⎝⎭；(2)sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cos 360°.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．四、三角函数线的简单应用活动与探究4求下列函数的定义域：(1)y(2)y＝lg(3－4sin2x)．迁移与应用利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)2πsin3与4πsin5；(2)2πtan3与4πtan 5.用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下几点：(1)熟悉角θ的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期； (3)注意区间是开区间还是闭区间． 当堂检测1．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知sin α＝35，cos α＝45-，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在[0,2π]上满足sin α≥2的α的取值范围是( ) A ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π2π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 4．11π12πsin cos tan 4π65⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭＝__________. 5．函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为__________．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(1)y x (2)x 2＋y 2y r sin α＝y r R x r cos α＝x r R y x tan α＝y x ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α≠k π＋π2，k ∈Z预习交流1 提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．预习交流2 提示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．其含义是：第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负．3．sin α cos α tan α 终边相同的角的同一三角函数的值相等预习交流3 提示：不一定．如sin 30°＝sin 150°＝12．4．正弦线 余弦线 正切线预习交流4 提示：当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，余弦线不变； 当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，正弦线不变． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可先用正弦函数的定义，求出M 点的纵坐标，再用点在圆上，求出点的横坐标，得cos α与tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意可知，sin α＝－22，即y 1＝－22．∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1，解得x 1＝22，或x 1＝－22． ∴cos α＝22，tan α＝－1，或cos α＝－22，tan α＝1． 迁移与应用 B 解析：r ＝(－4m )2＋(3m )2＝5|m |，∴sin α＝3m 5|m |，cos α＝－4m5|m |，∴2sin α＋cos α＝6m －4m 5|m |＝2m 5|m |＝－25或25，故选B ．活动与探究2 思路分析：先判断角所在的象限，再根据三角函数值的象限符号判断每个式子的符号． 解：(1)∵α是第四象限角， ∴sin α＜0，tan α＜0， ∴sin α·tan α＞0．(2)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，∴sin 3＞0，cos 4＜0．∵－23π4＝－6π＋π4，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4＝tan π4＞0， ∴sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4＜0．迁移与应用 D 解析：∵sin α·cos α＜0， ∴sin α与cos α异号，∴α的终边在第二或第四象限．活动与探究3 思路分析：利用诱导公式一转化成0～2π(或0°～360°)内的特殊角求解．解：(1)sin 1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin 30°＝12．(2)cos 9π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝cos π4＝22． (3)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝tan π6＝33． 迁移与应用 解：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32．(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°) ＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 0° ＝4．活动与探究4 思路分析：先列出不等式约束条件，作出单位圆，然后根据各问题的约束条件用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围．解：(1)如图．∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12． ∴x ∈ππ2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．(2)如图．∵3－4sin 2x ＞0，∴sin 2x ＜34．∴－32＜sin x ＜32． ∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )． 迁移与应用 解：如图画出角2π3与4π5的正弦线、正切线，由图形观察所得：|M 1P 1|＞|M 2P 2|，|AT 1|＞|AT 2|，结合有向线段的方向，得M 1P 1＞M 2P 2，AT 1＜AT 2．又∵2πsin 3=M 1P 1，4πsin 5=M 2P 2，2πtan 3=AT 1，4πtan 5=AT 2， ∴(1)2πsin 3＞4πsin 5，(2)2πtan 3＜4πtan 5．【当堂检测】1．B 解析：对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝12，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝si n 120°＝32，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．2．B 解析：由sin α＝35＞0得角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．3．B 解析：如图．∵sin α≥22， ∴在[0,2π]上，α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．4．12 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 12π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋0＝12． 5．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 解析：要使函数有意义，必须使sin x 与tan x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ．。