课件：27.2.1相似三角形的判定(第1课时)
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27.2.1___相似三角形的判定____(第1课时)
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
E A D
E C
B （图2） C
如图,DE//BC,写出图中所有的比例式.
“A”型
A
（图1）D
AD AE DE AB AC BC
AD AB DE BC AD AE BD EC BD CE AB AC AD BD AB AE EC AC
等等
A
E
C
当D不是边AB的中点时，如图,DE//BC, △ADE与△ABC还相似吗? 说明理由.
解：相似，理由如下： 在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC AD AE ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AB AC 过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF AC BC ∵四边形DBFE是平行四边形 ∴DE=BF B
,等
平行线分线段成比例定理：三条 平行线截两条直线，所得的对应 线段的比相等。
推论：平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段的比相等。
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交 AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 解：△ADE∽△ABC，理由如下：
相似多边形的性质是什么？相似多边形的判定是什么？ 在相似多边形中最简单的是相似三角形,如图,△ABC 与△A’B’C’相似,它们的对应边和对应角有什么关系?
如何判断两个三角形相似呢?
相似三角形及其表示
在△ABC和△A’B’C’中,如果
∠A=∠A’, ∠B=∠B’, ∠C=∠C’, 我们就说△ABC与△A’B’C’相似, 记作:△ABC∽△A’B’C’ k就是它们的相似比.
A
D
D F
E
27.2.1相似三角形判定(20141219 SSS、SAS)
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB BC AC = = , 例2.如图已知, AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE. A D B E C
1.图中的两个三角形是否相似?
2如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠A′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '
27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
侵权必究
侵权必究
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
侵权必究
段平 成行 比线 例分
线
课堂小结
基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段成比例
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边延长线），所得的对应线段成比例
判定三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似
3.如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角 形一共有（ C ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
侵权必究
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，以下结论正确的是( C )
A. AE AD AC BD
C. AE AD CE BD
B. AE BD AC AB
D. AC AD CE BD
E
B
C
侵权必究
想一想：
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们需要
证明什么？
由前面的结论，我们可以得 到什么？还需证明什么？
A
D
E
B
C
侵权必究
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
A
证明：
D 在 △ADE与 △ABC中，∠A=∠A.
E
∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
侵权必究
B
C
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平 行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
27.2.1相似三角形的判定(1)ppt课件
知识要点
三角形相似判定定理之一
如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。
A
B
C
B1
A1
即：
如果
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
那么 △ABC∽△A1B1C1. C1
15
小练习
已知：AB BC AC ，求证：∠BAD=∠CAE。
A′
A
B
C B′
C′
19
知识要点
三角形相似判定定理之三
如果一个三角形的两个角与另一个三角 形的两个角对应相等，那么这两个三角形相
似。两角对应相等，两三角形相似。
A
A1 即：如果∠A =∠A1，∠B =∠B1 .
B
C
那么 △ABC∽△A1B1C1.
B1
C1
20
如果两个三角形有一个内角对应相等， 那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似。
21
小练习
找出图中所有的相似三角形。
“双垂直”三角形 C
有三对相似三角形： △ACD∽ △CBD △CBD∽ △ABC △ACD∽ △ABC
A
D
B
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
22
探究5
A
B
C
已知：Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1.
AB BC k,
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
,
A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一)三边成比例的两个三角形相似课件
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ AB BC AC ,
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°. D
A
C E
相似三角形的判定（一）
三边成比例的两个三角形相似
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理； 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考
A
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
D
E
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边
来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴∠BAC=∠DAE.
(2)AB=4， ∴ △PAC ∽ △PDB
所以△ABC∽△A′B′C′. 证明：设____________= k . DE＝20， EF＝16， DF＝8.
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
27.2.1相似三角形的判定课件(1)
D
A
E
即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
M
B
N
C
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
直角三角形相似的判定
• 1。有一锐角对应相等的两个直角三角形相似。 2。两组直角边的比对应相等的两个直角三 角形相似。
3。直角三角形被斜边上的高分成两 个直角三角形和原直角三角形相似。
探究5
已知： Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. AB BC k, A1 B1 B1C1
A
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义（三边对应成比例，三角相等） 相似三角形判定的预备定理 三边对应成比例，两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
两角对应相等，两三角形相似
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似
2. 相似三角形的性质：
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. 又A A' , ABC ∽ A' B' C '
A
E
即： 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC 你能证明吗？
M
B
N
C
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 图中共有____对相似三角形。 AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
直角三角形相似的判定
• 1。有一锐角对应相等的两个直角三角形相似。 2。两组直角边的比对应相等的两个直角三 角形相似。
3。直角三角形被斜边上的高分成两 个直角三角形和原直角三角形相似。
探究5
已知： Rt△ABC 和 Rt△A1B1C1. AB BC k, A1 B1 B1C1
A
求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
课堂小结
1. 相似图形三角形的判定方法：
通过定义（三边对应成比例，三角相等） 相似三角形判定的预备定理 三边对应成比例，两三角形相似 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
两角对应相等，两三角形相似
两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似
2. 相似三角形的性质：
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
∠A’=1200,A’B’=3cm,A’C’=6cm.
(2)AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 7 AC 14 7 解 : (1) , , A' B' 3 A' C ' 6 3 AB AC A' B' A' C '. 又A A' , ABC ∽ A' B' C '
《相似三角形的判定》相似PPT课件(第1课时)
成比例
A
B
=
=
,
是否有△ABC ∽ △A1B1C1？
A1
C
B1
C1
知识讲解
相似三角形判定
定理2： 三边成比例的两个三角形相似.
A
在△ABC 与△A1B1C1 中，
如果
=
=
A
,
B
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
1
C B
在②～⑤中，与①相似的是( B ).
A.②③④
B.③④⑤
C.②④⑤
D.②③⑤
随堂训练
解析: 设网格中小正方形的边长为1，
则三角形①的三边长分别为2,2 2,2 5,,三边的比为1∶ 2∶ 5；
三角形②的三边长分别为2,2 5,4 2,则三角形②的三边比为1∶ 5∶2 2；
三角形③的三边长分别为4,4 2,4 5,则三角形③的三边比为1∶ 2∶ 5;
A
找出图中的相似三角形.
D
F
△ADE∽△ AFG∽△ABC
B
E
G
C
知识讲解
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____.
A
D
E
F
B
G
H
I
C
知识讲解
练一练
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
/kejian/shengwu/
地理课件：/keji an/dili/
/kejian/lis hi/
A
B
=
=
,
是否有△ABC ∽ △A1B1C1？
A1
C
B1
C1
知识讲解
相似三角形判定
定理2： 三边成比例的两个三角形相似.
A
在△ABC 与△A1B1C1 中，
如果
=
=
A
,
B
那么△ABC ∽ △A1B1C1.
1
C B
在②～⑤中，与①相似的是( B ).
A.②③④
B.③④⑤
C.②④⑤
D.②③⑤
随堂训练
解析: 设网格中小正方形的边长为1，
则三角形①的三边长分别为2,2 2,2 5,,三边的比为1∶ 2∶ 5；
三角形②的三边长分别为2,2 5,4 2,则三角形②的三边比为1∶ 5∶2 2；
三角形③的三边长分别为4,4 2,4 5,则三角形③的三边比为1∶ 2∶ 5;
A
找出图中的相似三角形.
D
F
△ADE∽△ AFG∽△ABC
B
E
G
C
知识讲解
2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
1:4
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____.
A
D
E
F
B
G
H
I
C
知识讲解
练一练
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
/kejian/shengwu/
地理课件：/keji an/dili/
/kejian/lis hi/
27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例 人教版数学九年级下册课件
解：∵
EF∥BC，∴
AE BE
AF FC
.
∴ 7 AF ， 74
A
E
F
解得 AF = 4.
B
C
(2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？
解：∵ EF∥BC，∴ AE AF .
AB AC
∴6 5，
10 AC
解得
AC =
25 3.
∴ FC = AC－AF = 25 5 10 .
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明
三角形相似，可以怎样做呢？
可以将 DE 平移 到 BC 边上去
A
D
E
B
C
如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？
问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，
A
它们的边长是否对应成比例？
D
E
B
C
问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平 行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC， 且只要 DE∥BC，这个结论恒成立.
第二十七章 相 似
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例
复习引入
1. 相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，对 应边的比叫做 相似比 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？ 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
C
O C B
A
E
D
B
D
B
D 图3
C
F
图1
图2
△ABC∽△ACD
△AOC∽△BOD
△ABC∽△EDF
例1
动动手，练一练
如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中 一边的 长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边 长5cm， 其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪 其他两边 5㎝ 的实际长度。
解：20m=2000cm 设其他两边的实际长度都是x cm，
(1)求∠AED和∠ADE的大小；
50cm
(2)求DE的长。
A
70cm 450
D
B
小组讨论，领悟新知
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？相 似的 两个三角形一定全等吗？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两 个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两 个等边三角形呢？ 4、 相似的两个三角形一定大小不等吗？为什 么
OD OF . OA OC
EF∥BC，
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
新知应用
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1， ∴AE=3. ∵ DE∥BC， AD AE . ∴ AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
新知应用
例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB， OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证： OD∶OA＝OE∶OB DF∥AC， 证明：
第二十七章
相 似
27.2.1
相似三角形的判定（1）
相似三角形
倍 速 课 时边形呢？
各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形
2、你能类似的给相似三角形下一个定义 吗？
倍 速 课 时 学 练
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个 三角
形 叫相似三角形
相似三角形
三、注意该定理在三角形中的应用
拓展延伸，作业布置
如图，Δ ABC中，BC=a. (1)若AD1= 1 AB，AE1= 1 AC，则D E = 1 1
1 1 (2)若D1D2= D B，E1E2= 3E1C，则D2E2= 3 1
1 1 (3)若D2D3= D2B，E2E3= 3 E2C，则D3E3= 3
A
D
F
E
C
归纳
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A
你还能画出其 他图形吗？
B
D
E C
即在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
1
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 ,那么， ？ BC 3 EF 3
AB 3 DE 3 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
A
D
l3
l4
B C
E F
AB DE 即： BC EF
除此之外，还有 其他对应线段成比例 吗？
l5
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 还可以得到 l1
BC EF AB DE
AB DE ， AC DF
AB DE BC EF
，
BC EF ， AC DF
等等.
A
B C
l2
D
E F
l3 l4 想一想：通过探究， 你得到了什么规律 呢？
l5
归纳
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的 比相等.
思考
A
B C
图1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
1 或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 . k A1 想一想:如果k=1，这 A
两个三角形有怎样的关 系？
B
C B1
C1
学以致用
从图象中观察并找出下列各对相似 三角形的对应角和对应边： A
3
3
； ； ；…… .
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找 出哪些角的关系？边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
随堂练习，巩固新知
1、在下面的两组图形中，各有两个相似三角 形，试确定x , y , m , n 的值。
x
20 33 3a 48
n°
10 2a
50° y m°
22
30
85° 45°
45°
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和 在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与 DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, l2 l EF的长度, 它们的比值还相等吗？
3.5cm 20m X
3.5cm
x 2000 3.5 5
解得：
x 1400 1400 cm 14m
X
所以，草坪其他两边的实际长度都是14m
运用知识，拓展思维
例2、如图，已知△ ABC∽ △ADE， AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
C E
30cm 400
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
如图,在△ABC中， DE//BC, DE分别交AB于D，交 AC于E ，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A. ∵ DE//BC，
AD AE . ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AB AC 过E作EF//AB交BC于F， AE BF 则 . B AC BC ∵ 四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF， AE DE AD AE DE ， ， AC BC AB AC BC ∴△ADE∽△ABC.
l1 l2
D
E F
l3 l4
（D） A
B C
E F
图2（1）
l5
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
l2
A
B C
图1
D
E F
l3 l4
E A
D
B
C
l5
图2（2）
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
对应角相等、对应边成比例的三角形 D 叫做相似三角形. A
C B F
相似的表示方法 符号： ∽
E
读作：相似于
A
A1 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
B
注意 C B1 C1
当∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.
C
O C B
A
E
D
B
D
B
D 图3
C
F
图1
图2
△ABC∽△ACD
△AOC∽△BOD
△ABC∽△EDF
例1
动动手，练一练
如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中 一边的 长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边 长5cm， 其他两边的长度都是3.5cm。求该草坪 其他两边 5㎝ 的实际长度。
解：20m=2000cm 设其他两边的实际长度都是x cm，
(1)求∠AED和∠ADE的大小；
50cm
(2)求DE的长。
A
70cm 450
D
B
小组讨论，领悟新知
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？相 似的 两个三角形一定全等吗？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？两 个等腰直角三角形呢？ ３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两 个等边三角形呢？ 4、 相似的两个三角形一定大小不等吗？为什 么
OD OF . OA OC
EF∥BC，
OF OE ， OC OB OD OE . OA OB
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D E F C D B A E F
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
新知应用
例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4 ， AB=3，EC=1.求AD和BD.
解∵AC=4，EC=1， ∴AE=3. ∵ DE∥BC， AD AE . ∴ AB AC
∴AD=2.25，
∴BD=0.75.
新知应用
例2 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB， OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证： OD∶OA＝OE∶OB DF∥AC， 证明：
第二十七章
相 似
27.2.1
相似三角形的判定（1）
相似三角形
倍 速 课 时边形呢？
各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形
2、你能类似的给相似三角形下一个定义 吗？
倍 速 课 时 学 练
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个 三角
形 叫相似三角形
相似三角形
三、注意该定理在三角形中的应用
拓展延伸，作业布置
如图，Δ ABC中，BC=a. (1)若AD1= 1 AB，AE1= 1 AC，则D E = 1 1
1 1 (2)若D1D2= D B，E1E2= 3E1C，则D2E2= 3 1
1 1 (3)若D2D3= D2B，E2E3= 3 E2C，则D3E3= 3
A
D
F
E
C
归纳
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A
你还能画出其 他图形吗？
B
D
E C
即在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
1
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 ,那么， ？ BC 3 EF 3
AB 3 DE 3 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
A
D
l3
l4
B C
E F
AB DE 即： BC EF
除此之外，还有 其他对应线段成比例 吗？
l5
事实上，当l3 //l4 // l5时，都可以得到 还可以得到 l1
BC EF AB DE
AB DE ， AC DF
AB DE BC EF
，
BC EF ， AC DF
等等.
A
B C
l2
D
E F
l3 l4 想一想：通过探究， 你得到了什么规律 呢？
l5
归纳
平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线,所得到的对应线段的 比相等.
思考
A
B C
图1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比 会相等吗？依据是什么？
相似比
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，
则△ABC 与△A1B1C1 的相似比为 k .
1 或△A1B1C1 与△ABC 的相似比为 . k A1 想一想:如果k=1，这 A
两个三角形有怎样的关 系？
B
C B1
C1
学以致用
从图象中观察并找出下列各对相似 三角形的对应角和对应边： A
3
3
； ； ；…… .
(4)若Dn-1Dn=
1 Dn-1B，En-1En= 1 E C，则D E = n n 3 3 n-1
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找 出哪些角的关系？边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
随堂练习，巩固新知
1、在下面的两组图形中，各有两个相似三角 形，试确定x , y , m , n 的值。
x
20 33 3a 48
n°
10 2a
50° y m°
22
30
85° 45°
45°
请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两条线段AB, BC和 在l2 上截得的两条线段DE, EF的长度, AB： BC与 DE：EF相等吗？任意平移l5 , 再量度AB, BC, DE, l2 l EF的长度, 它们的比值还相等吗？
3.5cm 20m X
3.5cm
x 2000 3.5 5
解得：
x 1400 1400 cm 14m
X
所以，草坪其他两边的实际长度都是14m
运用知识，拓展思维
例2、如图，已知△ ABC∽ △ADE， AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
C E
30cm 400
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
不经历风雨，怎么见彩虹 没有人能随随便便成功!
如图,在△ABC中， DE//BC, DE分别交AB于D，交 AC于E ，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A. ∵ DE//BC，
AD AE . ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AB AC 过E作EF//AB交BC于F， AE BF 则 . B AC BC ∵ 四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF， AE DE AD AE DE ， ， AC BC AB AC BC ∴△ADE∽△ABC.
l1 l2
D
E F
l3 l4
（D） A
B C
E F
图2（1）
l5
思考
l1
如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚 落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
l2
A
B C
图1
D
E F
l3 l4
E A
D
B
C
l5
图2（2）
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例. l l l l A D l E l
对应角相等、对应边成比例的三角形 D 叫做相似三角形. A
C B F
相似的表示方法 符号： ∽
E
读作：相似于
A
A1 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上.
B
注意 C B1 C1
当∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似， 记作△ABC ∽ △A1B1C1.