1.1二阶行列式与三阶行列式
矩阵论基础1.1二阶和三阶行列式
矩阵论基础1.1⼆阶和三阶⾏列式第⼀节⼆阶和三阶⾏列式在介绍⾏列式概念之前，我们先构造⼀个数学玩具：把4个数放在⼀个正⽅形的四个⾓上，在加上两条竖线，即，规定这个玩具对应于⼀个结果：两个对⾓线上的数的乘积之差。
即例如所在⽅向的对⾓线称为主对⾓线，所在⽅向的对⾓线称为副对⾓线。
定义1 4个数称为⼀个⼆阶⾏列式；所在的⾏称为第⼀⾏，记为（r来源于英⽂row），所在的列称为第⼆列，记为（c来源于英⽂column），因其共有两⾏两列，所以称为⼆阶⾏列式，是第⼆⾏第⼀列的元素。
⼀般地⽤表⽰第i⾏第j列的元素，i是⾏标，j是列标。
可叙述为：⼆阶⾏列式的对应值等于主对⾓线上两元素之积减去的副对⾓线上⼆元素之积所得的差, 这⼀计算法则称为对⾓线法则.此玩具的⽤途在于：求解⽅程组⽤消元法，先消去所在的项，⽅程(2)´a11，⽅程(1)´a21得（3）-（4），得再消去所在的项，⽅程(2)´a12，⽅程(1)´a22得（5）-（6），得我们发现其规律为：若记是⽅程组的系数⾏列式，则是⽤常数项替代D中的第⼀列所得的⾏列式；是⽤常数项替代D中的第⼆列所得的⾏列式。
若D≠0，⽅程组的恰好是：,此规律被称为Cramer定理。
例1 求解⼆元线性⽅程组解：,,,因此 , .同理类推，⽤对⾓线法则可以定义3阶⾏列式如下：其中来⾃三条主对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加正号；来⾃三条副对⾓线上三个元素的乘积，前⾯加负号。
例2 计算3阶⾏列式解：D=1×2×2+3×1×1+3×1×（-1）-1×2×3-（-1）×1×1-2×1×3=-7D1=6×2×2+4×1×1+11×1×（-1）-1×2×11-（-1）×1×6-2×1×4=-7D2=1×4×2+3×11×1+3×6×（-1）-1×4×3-（-1）×11×1-2×6×3=-14D3=1×2×11+3×1×6+3×1×4-6×2×3-4×1×1-11×1×3=--21实际上，D，D1，D2，D3来⾃线性⽅程组。
§1二阶与三阶行列式
性质
总结词
二阶行列式具有交换律、结合律、代数余子式等性质。
详细描述
二阶行列式满足交换律，即|A|=|AT|，其中AT是矩阵A的转置矩阵。结合律表现为|AB|=|A|*|B|，其中A、B为可 乘矩阵。代数余子式是去掉一个二阶行列式中的一个元素后得到的二阶行列式，其值等于原行列式除以被去掉元 素所在的行和列的乘积。
等于零、代数余子式的乘积等于零等。
应用
03
代数余子式在计算高阶行列式的值、求解线性方程组等领域有
广泛的应用。
转置行列式
定义
转置行列式是将n阶行列式的行和列互换后得到的新 行列式。
性质
转置行列式的值等于原行列式的值，即|A|=|AT|。
应用
转置行列式在求解线性方程组、判断矩阵是否可逆等 领域有广泛的应用。
性质
线性性质
三阶行列式满足线性性质，即|ka b c| = k|a b c|，其中k是标量。
交换律
|a b c| = |c b a|。
结合律
(|a b c| + |d e f|) = |a b c| + |d e f||a d|。
分配律
|a+b c d| = |a b c| + |b c d||a b c|。
矩阵的转置
行列式可以用于计算矩阵的转置，通过计算转置矩阵的行列式，可以得到原矩阵 的行列式。
05
CATALOGUE
二阶与三阶行列式的扩展
高阶行列式
定义
高阶行列式是n阶方阵的展开式，其一般形式为D=∑(-1)^t * M(t1,t2,...,tn) * A(t1,t2,...,tn)，其中t为对角线上的元素下标的排列顺序，M为排列数，A为n阶行列式中 元素的下标构成的排列。
线性代数§1.1二阶、三阶行列式
线性代数§1.1⼆阶、三阶⾏列式本章说明与要求⾏列式的理论是⼈们从解线性⽅程组的需要中建⽴和发展起来的，它在线性代数以及其他数学分⽀上都有着⼴泛的应⽤。
在本章⾥我们主要讨论下⾯⼏个问题：(1) ⾏列式的定义；(2) ⾏列式的基本性质及计算⽅法；(3) 利⽤⾏列式求解线性⽅程组(克莱姆法则)。
本章的重点：是⾏列式的计算，要求在理解n阶⾏列式的概念，掌握⾏列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶⾏列式。
计算⾏列式的基本思路是：按⾏(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利⽤⾏列式性质通过对⾏列式的恒等变形，使⾏列式中出现较多的零和公因式，从⽽简化计算。
常⽤的⾏列式计算⽅法和技巧：直接利⽤定义法，化三⾓形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利⽤已知⾏列式法。
⾏列式在本章的应⽤：求解线性⽅程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应⽤的条件。
本章的重点：⾏列式性质；⾏列式的计算。
本章的难点：⾏列式性质；⾼阶⾏列式的计算；克莱姆法则。
==============================================§1.1 ⼆阶、三阶⾏列式⾏列式的概念起源于解线性⽅程组，它是从⼆元与三元线性⽅程组的解的公式引出来的。
因此我们⾸先讨论解⽅程组的问题。
设有⼆元线性⽅程组()()------1 ------2ax by c dx ey f +=+=?? ⽤消元法求解：()()12:e b - ()ae bd x ce bf -=-?，ce bf x ae bd-=-， ()()21:a d - ()ae bd y af dc -=-?，af dc y ae bd-=-。
即得⽅程组的解：ce bf x ae bd af dc y ae bd -?=??-?-?=?-?。
这就是⼀般⼆元线性⽅程组的解公式。
但这个公式很不好记忆，应⽤时⼗分不⽅便。
由此可想⽽知，多元线性⽅程组的解公式肯定更为复杂。
1.1二阶三阶行列式
在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面比5大的数0个,故逆序数为0; 1的前面比它大的数有3个,故逆序数均为3.
4的前面比它大的数有1个,故逆序数均为1. 3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列32514的逆序数为
N (32514) 0 1 0 3 1 5.
nn 1 , 2 当 n 4k ,4k 1
12 (n 1) n
时为偶排列； 时为奇排列.
当 n 4k 2,4k 3
方法2 分别计算出排在1,2 , , n 1, n 前面比它大的数 n 码之和即分别算出 1,2 , , n 1, n 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
设排列为 2）
欲 a1 al a b1 bm b c1 cn 即 a1 al a b1 bm b c1 cn 对换 a , b
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn a1 al ab1 bm bc1 cn ,
（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式. a11 a12 a13 记为 a a a
21 22 23
a31
a32
a33
2、计算
1)对角线法则 a11 a12 a13
a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11 D a21
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
行列式的计算方法
1利用行列式的定义直接计算1.1.1二阶行列式的定义1.1.2三阶行列式的定义1.1.3阶行列式的定义也就是说阶行列式等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积的代数和。
这里是1,2…的一个排列，当是偶排列时，式取正号，当是奇排列时式取负号。
定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用，即阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。
对于一个级行列式,按定义展开后共有！项,计算它就需要做！（-1）个乘法,当较大时,！是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的,因此,定义法一般适用于阶数较低的行列式。
1.2利用行列式的性质计算性质1.行列互换，行列式的值不变，即=D性质2.交换行列式中两行对应元素的位置，行列式变号。
推论：若一个行列式中有两行的对应元素相同，则这个行列式的值为零。
性质3.把行列式中某一行的所有元素同乘以数k，等于用数k乘以这个行列式。
推论1.行列式某一行有公因子时，可以把这个公因子提到行列式的符号外面。
推论2.如果行列式某两行的对应元素成比例，则这个行列式为零。
性质4.如果行列式第i行的各元素都是两元素的和，则这个行列式等于两个行列式之和，这两个行列式分别以这两个元素作为第i行对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同（i=1,2，……n）。
性质5.行列式某一行的各元素加上另一行对应元素的k倍，行列式的值不变。
性质6.n阶行列式D=等于它的任一行的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即：D=++…+，i=1,2，…n.推论：若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代数余子式之和。
1.3化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
线代第一章讲义
线性代数与几何（Ａ）主讲教师殷洪友E-mail: hyyin@第一章n 阶行列式1.1二阶和三阶行列式1.2排列1.3n阶行列式的概念1.4行列式的性质1.5行列式的展开定理1.6Cramer法则求解如下二元线性方程组)1.1(,,22221211212111⎩⎨⎧=+=+b x a x a b x a x a 1.1 二阶和三阶行列式其中a 11, a 12, a 21, a 22 称为方程组（1.1）的系数，b 1, b 2 称为常数项．方程组（1.1）的系数按所在的位置排成了一个两行两列的数表，称为（1.1）的系数矩阵.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a;212221*********b a a b x a a a a −=−）（根据消元法，可得.211211*********a b b a x a a a a −=−）（时，当021122211≠−a a a a 方程组(1.1)有唯一解：，211222112122211a a a a b a a b x −−=.211222112112112a a a a a b b a x −−=由系数矩阵确定．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a aa a设是一个两行两列的数表，则表达式称为该数表所确定的二阶行列式，记作⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛22211211a a a a 21122211a a a a −.2112221122211211a a a a a a a a −=其中称为行列式的元素，下标i j 表示该元素位于第i 行，第j 列．ij a11a 12a 22a 21a 主对角线副对角线2211a a =.2112a a −注意二阶行列式的计算满足对角线法则根据二阶行列式的定义，有.,211211221111212221222121a b b a b a b a b a a b a b a b −=−=若记,22211211a a a a D =对于二元线性方程组（1.1），,2221211a b a b D =.2211112b a b a D =则当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解：,2221121122212111a a a a a b a b D D x ==.2221121122111122a a a a b a b a D D x ==,333213232212312111⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛a a a a a a a a a 记,312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 则称其为该数表所确定的三阶行列式.类似地，设有9 个数排成的三行三列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.322311a a a −计算三阶行列式的对角线法则注意 1. 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号;2. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．322113a a a +312312a a a +312213a a a −332112a a a −如果三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111,,bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =,0≠利用三阶行列式求解三元线性方程组若记,3332323222131211a a b a a b a a b D =,3333123221131112a b a a b a a b a D =,3323122221112113b a a b a a b a a D =2-43-122-4-21D =计算三阶行列式例1.1则三元线性方程组有唯一解:,11DD x =,22DD x =.33DD x =.094321112=xx 求解方程例1.2例1.3 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+−=−+−=+−.0,132,22321321321x x x x x x x x x 解方程组的系数行列式111312121−−−−=D 5−=,0≠所以方程组有唯一解.因为113111221−−−−=D ,5−=113121212−−−−=D ,10−=0111122213−−−=D ,5−=故方程组的唯一解为:,111==DD x ,222==DD x .133==DD x思考题使得求一个二次多项式),(x f ()()().283,32,01=−==f f f定义1.1由自然数组成的一个有序数组称为一个n 阶排列．通常用表示n 阶排列．n ,,2,1"n j j j "21 定义1.2在一个排列中，如果一个较大数排在一个较小数之前，就称这两个数构成一个逆序．一个排列的逆序总个数称为这个排列的逆序数．排列具有自然顺序，即逆序数为0，称之为自然排列．n "3 2 1 1.2排列排列的逆序数记为).(21n j j j t " n j j j "21如果一个排列的逆序数为偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列．计算排列的逆序数有两种方法：向前记数法和向后记数法．()2179863541()()()321212"−−n n n ()()()()()()kk k k k k 11322212123+−−−"例1.４计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.定理1.1对换改变排列的奇偶性．在一个排列中，把其中两个数的位置互换，而保持其余数的位置不动，这种变换称为一个对换．定理1.2在全部n 阶排列中，奇偶排列各占一半．()2≥n 定理1.3任意一个n 阶排列可经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换次数的奇偶数与这个排列的奇偶性相同．1.3n 阶行列式的概念考察三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =332112322311312213aa a a a a a a a −−−（1）三阶行列式的展开式共有３！＝６项；（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，并且每个这样的乘积都出现在展开式中；322113312312332211a a a a a a a a a ++=不难发现以下特征：.)1(321321321321)(333231232221131211∑−=j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a （4）如果以表示对所有３阶排列求和，则有∑321j j j （3）每项的行指标按自然顺序排列，其正负号取决于列指标构成的排列的奇偶性；其中表示对所有n 阶排列求和．∑nj j j "21定义1.3由数表所确定的n 阶行列式定义为：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a """""""212222111211()(),121212121212222111211n n nnj j j j j j t j j j nnn n n n a a a a a a a a a a a a """"""""""∑−=n 阶行列式的展开式主对角线副对角线几点说明：（1）行列式是一种特定的算式，它是为求解线性方程组而定义的;（2）n 阶行列式是项的代数和;!n （3）n 阶行列式的每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积;（5）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆；a a =（4）一般项前面所带符号为n nj j j a a a "2121();1)(21nj j j t "−（6）定义中的n 阶行列式可以简记为.n ij a D =例1.5证明上三角行列式nnnna a a a a a D """""""0022211211=.2211nn a a a "=同理可证下三角行列式和对角行列式nnn n a a a a a a """""""21222111000.2211nn a a a "=nna a a """""""0000002211=例1.6试证0000000052514241323125242322211514131211==a a a a a a a a a a a a a a a a D思考题已知()1211123111211xx x xx f −=.3的系数求x注意n 阶行列式的展开式也可表为：()()ni i i i i i t i i i nnn n n nn n n a a a a a a a a a a a a """"""""212122221112112121211∑−==′D ,nna a a %2211"#n n a a a 2112#""2121n n a a a 1.４行列式的性质行列式D'称为行列式D 的转置行列式．记#""n na a a 2112"#2121n n a a a =D nna a a %2211性质1.1行列式与它的转置行列式相等．注意性质1.1表明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立．性质1.2互换行列式的两行（列）的位置,行列式反号，即推论1.1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于０．.111111111111nnn pn p qn q n nn n qn q pn p n a a a a a a a a a a a a a a a a "##"##"##""##"##"##"−=性质1.3用数k 乘行列式的某一行（列），等于用数k 乘此行列式，即nnn n pn p p na a a ka ka ka a a a """""""""""""""""212111211推论1.2如果行列式的某一行（列）元素全为０，则此行列式等于０．.212111211nnn n pn p p na a a a a a a a a k """""""""""""""""=推论1.3如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式等于０.性质1.4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，即nn n n pnpn p p p p na a a a a a a a a a a a """""""""""21221111211′+′+′+.212111211212111211nnn n pn p p nnnn n pn p p na a a a a a a a a a a a a a a a a a """"""""""""""""""""""′′′+=nn n qn q pn p n a a a a a a a a "##"##"##"111111.1111111nnn qnq qnpn q p n a a a a ka a ka a a a "##"##"##"++=×k 性质1.5 把行列式的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上去，行列式的值不变，即例1.7计算四阶行列式2421164214112111−−−−−=D 例1.8试证3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++例1.9计算n 阶行列式abbbba b b bbabb b b a D """""""""=具有如下形式的行列式称为反对称行列式,0000321323132231211312"""""""""nnnn n n a a a a a a a a a a a a D −−−−−−=证明：奇数阶反对称行列式等于0.例1.101.5行列式的展开定理312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a −−−++=333231232221131211a a a a a a a a a 注意到三阶行列式可以改写为：()3223332211a a a a a −=()3123332112a a a a a −−()3122322113a a a a a −+323122211333312321123332232211a a a a a a a a a a a a a a a +−=()ij ji ij M A +−=1叫做元素a ij 的代数余子式．例如44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +−=.23M −=行第j 列，由余下的元素按原来的排法构成的n -1 阶行列式叫做元素的余子式，记作ij a .M ij 定义1.4在n 阶行列式中，划去元素所在的第i ij a,44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =,33323123222113121144a a a a a a a a a M =().144444444M M A =−=+注意 1.行列式的每个元素都对应一个余子式和一个代数余子式；2.每个元素的余子式和代数余子式只与这个元素的位置有关，而与这个元素的大小无关．n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a D """""""212222111211=等于它的任意一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即ni A a A a A a D in in i i i i ,,2,1,2211""=+++=),,2,1,(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j ""=+++=定理1.4中任一行（列）的所有元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于０，即n 阶行列式nnn jn j in i n a a a a a a a a D "##"##"##"111111=.j i ,A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211").,0(2211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++"定理1.5关于代数余子式的重要性质⎩⎨⎧≠===∑=.,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk jk ik 当当δ则当当如果记⎩⎨⎧≠===,,0,,1,j i j i a D ij nij δ例1.11计算n 阶行列式xyy x y x y x D n 000000000000""#####""=例1.12证明范德蒙德(Vandermonde)行列式.2,)(1111112112222121≥−==∏≤<≤−−−n x xxxxxx xx x x D ni j j in nn n nn n "###"""例1.13计算三对角行列式βααβαββααββα+++=11%%%%%%%n D例1.14,000111111111111nnn n nkn k kk k k b b b b c c c c a a a a D "##""##""##""##"=设,11111kkk ka a a a D "##"=,11112nnn nb b b b D "##"=.21D D D =证明:例1.14中的行列式D 称为准下三角行列式..00011111111111111111111nnn nkk k k nnn nknk nkk k k b b b b a a a a b b b b c c c c a a a a "##""##""##""##""##""##"⋅=同理可以证明准上三角行列式思考题阶行列式设n )1(10001030012321"#%###"""n nD n −−−=求第一行各元素的代数余子式之和.11211n A A A +++"（2）设计一个n 阶行列式D n ，使得并计算这个行列式.,12+++=n n n D D D1.6Cramer法则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""设线性方程组,,,,21不全为零若常数项n b b b "则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.,,,,21全为零若常数项n b b b "如果线性方程组)2.1(22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a D """"""""""定理1.7则该线性方程组有唯一解：)3.1(.,,,2211D D x D D x DD x n n ===".,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a D nnj n nj n n nj j nj j j """"""""""""""==+−+−+−其中推论２推论１)4.1(000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a """""""""""""""的系数行列式,0≠D 如果齐次线性方程组则其只有零解;若(1.4)有非零解，.0=D 则必有如果线性方程组(1.2)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.。
第一讲 二阶、三阶、N阶行列式
第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式； 掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义 难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。
行列式的若干种计算方法
内蒙古财经大学本科学年论文行列式的若干种计算方法作者姚淑娟系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级2009级学号902094131指导教师李明远导师职称讲师内容提要的矩阵A,取值为一个标量,写作行列式在数学中是一个函数,其定义域为n nA.行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中det()也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（Laplace）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（Vandermonde）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.关键词: n级行列式初等变换降阶法拉普拉斯（Laplace）定理范德蒙德（Vandermonde）行列式.目录一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法 (1)(一)解二阶行列式 (1)(二)解三阶行列式 (1)二、n阶行列式的概念及其解法 (2)（一）逆序数 (2)（二）n阶行列式的定义 (2)（三）n阶行列式的性质 (3)三、n阶行列式的解法 (4)（一）定义法求解行列式 (4)（二）化三角形法求解行列式 (5)（三）利用初等变换求解行列式 (5)（四）将行列式按行或按列展开求解行列式 (6)（五）加边法或升阶法 (8)（六）拉普拉斯（Laplace）定理 (8)（七）范德蒙德（Vandermonde）行列式 (11)参考文献 (14)行列式的若干种计算方法行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式对二元线性方程组111222a xb y d a x b y d +=⎧⎨+=⎩ 进行消元可得12121212()a b b a x d b b d -=-, 12121212()a b b a y a d d a -=-.若1212a b b a -0≠则方程组有唯一解1212121212121212d b b d x a b b a a d d a y a b b a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩, 为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]11122122a a a a 11221221a a a a =-其中ij a 叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为11221122d b d bx a b a b =,11221122a d a d y a b a b =.例1.1 计算二阶行列式111212121222335155a b a b b a a b b a a b =⨯-=-.(二)解三阶行列式为了得出关于三元线性方程组的类似解法,我们引入三阶行列式111213212223112233213213122331132231233211122133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.若方程组的系数行列式1112223330a b c D a b c a b c =≠ 则方程组有唯一解1D x D =,2Dy D =,3D z D =.其中1111222333d b c D d b c d b c =,1112222333a d c D a d c a d c =,1113222333a b d D a b d a b d =.例1.2 计算三阶行列式12121311(1)(2)(3)(1)12111(1)(2)2(1)1(3)1111--=⨯⨯-+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯---⨯⨯--⨯-⨯-- 5=-.从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了n 阶行列式的概念.二、n 阶行列式的概念及其解法（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ .[2] （二）n 阶行列式的定义111212122212nn n n nna a a a a a a a a等于取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列.上述定义可表示为:111212122212nn n n nna a a a a a a a a121212()12(1)n nnj j j j j nj j j j a a a τ=-∑ .这里12()n j j j τ 表示n 阶排列的逆序数,12nj j j ∑表示对所有n 阶排列求和.（三）n 阶行列式的性质性质1 行列互换行列式不变,即111211121121222122221212=n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a.由性质1可以得到下三角行列式112122112212300000nn n n n nna a a a a a a a a a = .性质2 一行的公因式可以提出来,即111211112112121212n n i i in i i inn n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =.事实上如果k 0=就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0. 性质3 把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变. 即111211112111221212121212n ni k i k in kni i ink k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a +++=.性质4 对换行列式中两行（列）的位置行列式反号. 即1112111121121212121212n n i i in k k knk k kn i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-.以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.性质5 如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同. 即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ . 性质6 如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质7 如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0. 即11121111211212121212120n n i i in i i ini i in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==.行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.三、n 阶行列式的解法（一）定义法求解行列式例3.1 解行列式0000000000b f d a c e123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ=-∑.观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知12343,1,4,2,j j j j ====因此1234()(3142)3,j j j j ττ==则33112432400000(1)00000b f da a a a abcd a ce =-=-.（二）化三角形法求解行列式思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.例3.2 计算行列式12137185258213024D =解: 首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.12137185258213024D =1213023140421906115---=------121302314008470837---=---12130231400847010---=----160=（三）利用初等变换求解行列式思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到转换成上三角或下三角行列式. 例3.3 计算行列式-25-131-91373-15-528-7-10解:第一步是互换第1,2行以下都是把一行的倍数加到另一行.-25-131-91373-15-528-7-10191372513315528710---=-----1913701325170263426263324--=-----19137013251700168001710--=-1913701325170016830002--=-3(13)16()131833122=--⋅⋅=⋅⋅=(四)将行列式按行或按列展开求解行列式思路:行列式等于某一行的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和. 在行列式111111j n i ijinn nj nna a a a a a a a a中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1n -级的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n i i j i j i nn n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+,称为元素ij a 的余子式记为ij M .111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,100100j j j n i i j i ji j i nij i i j i ji j i nn n j njn j nna a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a -+-----+-++-++++-+=111,11,1111,11,11,11,1,()()1,11,11,11,1,1,1,1(1)00001j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i ni j n n j n j nn nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+---+-++-++++-+=-2()(1)(1)n i j i j ij ij M M -++=-=-.这里的ij A 称为元素ij a 的代数余子式. 例3.4.1 计算行列式5312017252023100414002350----解:这里第一步是按第5列展开然后再按第1列展开这样就归结到一个三级行列式的计算.5312017252023*******02350---- 2553120231(1)204140235+--=---23110072066-=-- 72(10)(2)20(4212)108066-=--=--=- 常用的按行（列）展开方法中还有一种解法叫做降阶法 例3.4.2 计算行列式000000000000n x y x y D x y yx=解:利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开10000000(1)0000000n n x y y x y D xy x y xx y +=+-.降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式故原行列式的值为!(1)n n n n D x y +=+-. （五）加边法或升阶法思路:加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子那么升阶之后就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0 这样就达到简化计算的效果 例3.5 求行列式的值2112122122212111n nn n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+ 解:行列式第1列有共同元素1x 第2列有共同元素2x ,…,第 n 列有共同元素n x .根据这些特点给原行列式加边得1221121221222121010101n n n nn n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++给加边后的行列式的第1行乘i x 加到第i 行上(1,2,,i n = )得222121212121110001000100010011n n n n nx x x x x x x x x x D x x ++++-=-=-222121+n x x x =+++ 211ni i x ==+∑.（六）拉普拉斯（Laplace ）定理 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行,由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 例3.6 在行列式1214012110130131D =中取定第一、二行.得到六个子式:11201M =-,21102M =,31401M =,42112M =-,52411M =-,61421M =.它们对应的代数余子式为(12)(12)''111(1)A M M +++=-=,(12)(13)''222(1)A M M +++=-=-,(12)(14)''333(1)A M M +++=-=,(12)(23)''444(1)A M M +++=-=, (12)(24)''555(1)A M M +++=-=-,(12)(34)''666(1)A M M +++=-=.根据拉普拉斯定理112266D M A M A M A =+++121311031401013102110113=⋅-⋅+⋅-211324111410120111032101+⋅-⋅+⋅-- (1)(8)2(3)1(1)5163(7)1=-⨯--⨯-+⨯-+⨯-⨯+-⨯ 86151877=+-+--=-从这个例子来看利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.推论 两个n 级行列式1D =111212122212nn n n nna a a a a a a a a和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212nn n n nnc c c c c c C c c c =.其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和,1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ .证明:作一个2n 级行列式111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nna a a a a a a a a Db b b b b b b b b =---根据拉普拉斯定理将D 按前n 行展开.则因D 中前n 行除去左上角那个n 级子式外其余的n 级子式都等于0.所以11121111212122221222121212n n n n n n nn n n nna a ab b b a a a b b b D D D a a a b b b ==.现在来证D C =.对D 作初等变换.将第1n +行的11a 倍第2n +行的12a 倍…第2n 行的1n a 倍加到第一行得111211222212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nn c c c a a a a a a D b b b b b b b b b =--- .再依次将第1n +行的1(2,3,,)k a k n = 倍第2n +行的2k a 倍…第2n 行的kn a 倍加到第k 行就得111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn nn n nn c c c c c c c c c D b b b b b b b b b =---.这个行列式的前n 行也只可能有一个n 级子式不为0,因此由拉普拉斯定理111212122212nn n n nnc c c c c c D c c c =(12)(122)100010(1)01n n n n C ++++++++--⋅-=-.定理得证.（7）范德蒙德（Vandermonde ）行列式12322221231111231111n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a ----=(1)称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式.我们来证明对任意的n (2)n ≥n 级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积.我们对n 作归纳法 当2n =时,211211a a a a =-结论是对的.设对于1n -级的范德蒙德（Vandermonde ）行列式结论成立;现在来看n 级的情形.在行列式d 中第n 行减去第1n -行的1a 倍,第1n -行减去第2n -的1a 倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的1a 倍有21311222212313112121221231311111000n n nn n n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------2131122221231311212122123131n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=---1232222213111231111231111()()()nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=---后面这个行列式是1n -级的范德蒙德行列式根据归纳法假设它等于所有可能差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积;而包含1a 的差全在前面出现了.因此结论对n 级范德蒙德行列式也成立.用连乘号这个结果可以简写为123222212311111231111()n n i j j i nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ≤≤≤----=∏-.由这个结果立即得出范德蒙德行列式为0的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等. 例3.7 证明111111111111111111110000kk r k kk k r k kkr rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =.我们对k 用数学归纳法 当k =1时上式的左端为11111111100r r r rr a c b b c b b按第一行展开就得到所要的结论.假设上式对1k m =-,即左端行列式的右上角是1m -级时已经成立,现在来看k m =的情形,按第一行展开有1111111111110000k k kk k r r rk r rra a a a c cb bc c b b222211121111210000m m mmmr r rm r rra a a a a c cb bc c b b =+212,12,121,1,111111,11,111111,1,110000(1)i i m m m i m i mmi i i i m r r r i r i rm r rr a a a a a a a a a c c c c b b c c c c b b -+-++-+-++-+212,11,111111,11111,110000(1)m m m m mmm r r r m r rra a a a a c cb bc c b b --+--+-222212,12,12212,111111121,1,11,1(1)(1)m i i m m i m i mm mm m m i m i mmm m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-++-+-⎡⎤⎢⎥=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1111r r rr b b b b ⋅ 11111111k rk kkr rr a a b b a a b b = .这里第二个等号是用了归纳法假定最后一步是根据按一行展开的公式.根据归纳法原理上式普遍成立.行列式的解法有很多,以上介绍的是计算行列式最常用的几种方法,行列式类型有很多在具体的求解过程中要根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法.通常选取的方法是初等变换法和画三角形法,而行列式的性质也是求解行列式的非常简便的方法之一,因此要熟记行列式的性质.另外, 拉普拉斯（Laplace ）定理及范德蒙德（Vandermonde ）行列式有其特定行列式的形式,因此二者适合于满足其条件的行列式的求解问题.参考文献[1] 俞正光,李永乐,詹汉生,线性代数与解析几何,北京,清华大学出版社,1998.5;[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,高等代数高等教育出版社,2003.7,第3版;[3] 行列式的计算方法,/view/1e09d981e53a580216Fcfe10.html,2012.5.10;[4] 行列式的计算方法ppt,/f/11605140.html?from=like,2012.5.10.后记在本论文的写作过程中,我的导师李明远老师对我帮助很大,从写作提纲,到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题,严格把关,循循善诱,并给我提供了很多建议,非常耐心的对我进行指导,告诉我应该注意的细节问题,细心的给我指出错误,在此我表示衷心感谢.。
线性代数(赵树嫄)第1章行列式
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式 引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义
即
定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行，
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 副对角线及其副对角线方向上的三个元 积 带正号， 素的乘积 带负号， 所得六项的代数和就是三阶行列 式的展开式．
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
线性代数 课件
例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。 解：2k 的逆序数为 2k 1 ； 的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ； 的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ； 的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如 果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说
第一章行列式(1-2节)
a15 a25 a35 a45 a55
a21 a22 例:计算D = 0 0 0 0 0 0
17
a1 a2 例:计算D= b1 0 0 0 b2 0
a 3 a n1 an 0 0 0 0 0 0
bn1
3
例:求多项式 求多项式
5x 1 2 x D= 1 x
x 1 2 中x 3的系数 2 x 3 1 2 2x
D1 x1 = D
D2 x2 = D
D3 x3 = D
其中, 其中, D = b 1 2
b3 a11 D2 = a21 a31
a11 D3 = a21 a31
a12 a22 a32
b1 b2 b3
6
例:
2
0
1
1 4 1 8 3 1
= 2 × ( 4) × 3 + 0 × ( 1) × ( 1) + 1 × 1 × 8 1 × ( 4) × ( 1) 0 × 1 × 3 2 × ( 1) × 8 = 24 + 8 4 + 16 = 4
a13
寻找规律: 寻找规律: 规律 1. 三阶行列式是 3! 项的代数和. ! 项的代数和. 2. 每一项都是 取自不同行,不同列的 3 个 元素的乘积. 元素的乘积. 取自不同行,
其任一项可写成: 其任一项可写成:
a1 j a2 j a3 j
1 2
其中
3
j 1 j 2 j 3 是123的一个排列 的一个排列
0 0
a22
= a11a22 ann
15
an 2 ann
a11
(3)
D=
a22 ann
= a11a22 ann (显然) 显然)
a1n
1-1 二阶与三阶行列式
ai j
行标
即元素 aij 位于第 i 行第 j 列.
列标
二阶行列式的计算 —— 对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22
例1 计算行列式 D
5 10
29 8
.
解 D 5 8 29 ( 10) 330 例2 当 a 为何值时，行列式 解 因为
三阶行列式的计算 —— 对角线法则
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号, 虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
a2 3 a 1 a
2
a 1
3
的值不为 0？
a 3a a(a 3),
2
要使行列式的值不为 0，必有 a 0 且 a 3.
二、三阶行列式
定义2 设有 9 个数排成 3 行 3 列的数表 a11 a12 a13 a21 a22 a23 , a31 a32 a33 记 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 , 称为该数表所确定的三阶行列式.
注意 对角线法则仅适用于二阶与三阶行列式的计算，但 对于三阶以上的行列式则不适用.
1
2 4
例3 计算行列式 D 2 2 1 . 3 4 2
§1.1 二阶和三阶行列式
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 = , = D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 = . = D a11 a12 a21 a22
例1 求解二元线性方程组
3 x 1 − 2 x 2 = 12 , 2 x1 + x 2 = 1 .
解
3 −2 = 3 − ( − 4 ) = 7 ≠ 0, D= 2 1
代入方程验算
D3 x3 = = 1. D
例5
求一个二次多项式 f ( x ), 使
f (1) = 0, f (2 ) = 3, f (− 3 ) = 28.
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) = ax 2 + bx + c ,
由题意得
f (1) = a + b + c = 0,
f (2 ) = 4a + 2b + c = 3, f (− 3 ) = 9a − 3b + c = 28,
12 − 2 3 12 = −21, D1 = = 14, D2 = 1 1 2 1
D1 14 D2 − 21 ∴ x1 = = = 2, x 2 = = = − 3. D 7 D 7
用行列式小软件验算 D1 , D2
1.1.2、三阶行列式
定义1.1.2 定义1.1.2 设有9个数排成 3行 3列的数表 a11 a12 a13
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − ( −4 ) × 2 × ( −3 )
= −4 − 6 + 32 − 4 − 8 − 24
= −14.
1 1
例3 解
第一章行列式
课 题第一章行列式 §1.1二阶与三阶行列式-§1.3 n 阶行列式的定义教学内容二阶与三阶行列式，全排列与逆序数，n 阶行列式的定义教学目标 理解n 阶行列式的定义；掌握几个特殊行列式的求法。
教学重点 n 阶行列式的定义教学难点 n 阶行列式的定义双语教学内容、安排 行列式：determinant ；对角线法则：diagonal rule ；全排列：total permutation教学手段、措施行列式是研究方程组解的问题的重要工具之一。
本次课主要介绍行列式的定义。
教学过程及教学设计备注 第一章 行列式（determinant ）§1.1二阶与三阶行列式一、 二阶行列式（determinants of order two ） 引例 解二元线性方程组1112121222(1)(2)a x a yb a x a y b +=⎧⎨+=⎩解：利用消元法解得122122*********b a a b x a a a a -=-，112211211221221a b a b x a a a a -=-于是得定义：规定11222112a a a a -为二阶行列式，并记为22211211a a a a 。
注意：①元素ij a )2,1;2,1(==j i ，i 称行标，j 称列标。
（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）本节要求掌握二、三阶行列式定义，及对角线法则。
②对角线法则求2112221122211211a a a a a a a a -=。
③D a a a a a a a a =-=2112221122211211，1222121212221D a b a b b a a b ==-，2221111211211D b a b a a b b a ==- 。
例1 解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=-1212232121x x x x 解：由于2412123,1411212,07122321-===-=≠=-=D D D 故3,22211-====DDx D D x 。
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
1.1线代课件
个，所以有2种放法；而 这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第 n
个位置上，只有 1 种取法. 于是
字，所以只有1种放法.
这六个不同的三位数是 Pn = n • (n – 1) • · · ·• 3 • 2 •1= n! .
排列的逆序数定义 定义 对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间有
一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到
三、n 阶行列式的定义
定义 设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 a n2
t
… … …
a1 n a2 n ann
………...
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符
号(-1)t，得到形如
( 1) a1 p1 a2 p2 anpn
的项，
例 例3 3 求解方程 求解方程
1 1 2 2 4 4 1 1 3 3 9 9 1 1 x 0 0. . x 2 2 x
解 方程左端的三阶行列式
D 3x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 5x 6, 由 x 2 5x 6 0 解得 x = 2 或 x = 3.
例7 设有四阶行列式
x 4 D4 2x 1 2 5x 1 x 1 2 2x 4x 3x 5 , 3 2
问该行列式的展开式是几次多项式，并求最高幂的系 数．
解 由行列式的定义，知
D4 (1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4 ,
t
由 n 阶行列式的定义可知，当 n 较大时，用定义 计算行列式运算量很大． 例如，计算一个20 阶的行列式 需作1920! 次乘法，若用每秒运算亿万次的电脑，也要 算一千年才行！ 因此如何有效地计算行列式，这是我们 要解决的一个重要课题．
1_1_二阶三阶行列式
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
二元线性方程组 { a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2 (1) (2)
用消元法解： (1) × a22 − (2) × a12 得： x= b1 a22 − a12 b2 a11 a22 − a12 a21 a11 b2 − b1 a21 a11 a22 − a12 a21
§1.1 二阶三阶行列式 6/12 ▹ ◃ △ ▽
三元线性方程组 a11 x + a12 y + a13 z = b1 a21 x + a22 y + a23 z = b2 a x + a y + a z = b 31 32 33 3 用消元法解： (2) × a13 − (1) × a23 得： (a21 a13 − a11 a23 )x + (a22 a13 − a12 a23 )y = b2 a13 − b1 a23 (3) × a13 − (1) × a33 得： (a31 a13 − a11 a33 )x + (a32 a13 − a12 a33 )y = b3 a13 − b1 a33
4/12 ▹ ◃ △ ▽
(1) × a21 − (2) × a11 得： y=
§1.1 二阶三阶行列式
定义二阶行列式： a11 a12 = a11 a21 − a12 a22 a21 a22 则方程的解可简单地表示为： b1 b2 x= a11 a21 a12 a22 , a12 a22 a11 a21 y= a11 a21 b1 b2 a12 a22
3/12 ▹ ◃ △ ▽
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（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
对角线法则 a11 a12
a13 a23 a33
a21 a22 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 1上述式子表明三阶行列式有含6项． 2每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
例1 求解二元线性方程组
3 x1 2 x2 12, 2 x1 x2 1.
全排列及其逆序数
引例 解
百位
十位 个位
用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
共有 3 2 1 6
种放法.
问题
把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？
定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
二阶与三阶行列式
二阶行列式的引入 三阶行列式
课程特点
公式多 式子大 符号繁 规律性强
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2 (1) (2)
b1a22 a12b2 x1 ， a11a22 a12a21
利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 a12 a13 的系数行列式 D a21 a22 a23 0, a31 a32 a33
下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法. 不妨设n个元素为1到n这n个自然数，并规定从小到大 为标准次序.设 为这n个自然数的一个排列，考虑元素 pi (i 1, 2,n) ， 如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有 ti 个，就说 pi 这 个元素的逆序数是 ti .这个排列的逆序数为
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
b1 D1 b2 b3
a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a13 a23 , a33
a11 b1 D2 a21 b2 a31 b3
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 同理
P =3 2 1=6 3
P =n (n-1) (n-2)3 2 1=n ！ n
当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1个逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排 列叫做偶排列.
即
( 5)
a11 a12 D a11a22 a12a21 . a21 a22
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法（记忆）
a11a22 a12a21 .
a11 a12
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
1
2 -4
例２ 计算三阶行列式 D - 2 2
1 -3 4 -2
1 1
例3
1 x 0. x2
求解方程 2 3 4 9
例4
解线性方程组
x1 2 x2 x3 2, 2 x1 x2 3 x3 1, x x x 0. 1 2 3
若记 系数行列式
a11 a12 D , a21 a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
b1 D1 b2 a12 , a22
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
a11 a12 D , a21 a22
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a12 a11a22 a12a21 . a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
p1 p2 pn
t1 t2 tn ti
t 1
n
例1
求排列32514的逆序数.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
217986354
例3 求排列 1 3 2n-1 2 4 2n 的逆 序数.
a11b2 b1a21 x2 . a11a22 a12 a21
由方程组的四个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（ ）所确定的二阶 4 a11 a12 行列式，并记作 a21 a22
正负号的规律的原则：红线上三元素的乘积冠以正号，蓝 线上三元素的乘积冠以负号．
三阶行列式的计算Biblioteka a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行3列的数表 a11 a12 a21 a22 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11
a31 a32
a21 a31
a12 a13 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a32 a33