岩石流变力学-数值

或： 式中： 式中：
{∆δ } = [ K ] ∆V
n T n −1
n n T
n
③
ˆ B ndΩ K = ∫ [B ] Dn ˆ ε& n ∆ t d Ω + ∆ F n ∆ V = ∫ [ B ] D n vp n
n n T
5 岩石流变问题数值方法
将
∆δ
n
代入②求得： 代入②求得： 代入①求得： 代入①求得：
α ( S 11 + S 22 ) 2α S 2 2 2α S 1 2
2α S 1 2 2α S 1 2 0
5 岩石流变问题数值方法
S M 4 = S 11 S 22 2 S 11 S 12
2 11
S 11 S 22 S 2 S 22 S 12
2 22
2 S 11 S 12 2 S 22 S 12 2 4 S 12
5 岩石流变问题数值方法
∂Q ε& vp = γ φ ( F ) 令F ≡ Q ∂σ ∂F = γ φ ( F ) a a 流动矢量 ε& vp = γ φ ( F ) ∂σ n+1 n 设tn时刻为 ε& 设tn＋1时刻为 ε& vp ＋ vp
则在∆tn ＝tn+1-tn内，采用Euler时间积分法 则在 采用 时间积分法
已求出
1. 计算 计算n+1步单元节点荷载 步单元节点荷载
=
∑ ∆λ F , ∑ ∆λ
i i=1
i
=1
∆F
n+1
= ∆ λ n+1F
5 岩石流变问题数值方法
ˆ n ][ B n ]d Ω 2. 计算 K = ∫ [ B ] [ D i
e ij n T i
Ω
∂N i ∂x [ B in ] = 0 ∂N i ∂y
5 岩石流变问题数值方法
对平面问题： 对平面问题：
α 2 M 1 = α 0
2
α 2 α 0
2
0 0 0
M
3
2 3 1 = − 3 0
1 − 3 2 3 0
0 0 0
2α S 1 1 α ( S + S ) M2 = 11 22 2α S 1 2
αI1 + J 2 m φ =( − 1) k
αI1 + J 2 dφ m −1 = m( − 1) dF k
5 岩石流变问题数值方法
等效节点荷载计算： 等效节点荷载计算：
ⅰ 重力荷载
p ei x e= p yi
1 1
∫ Ω
ρ g s in θ N dΩ − ρ g cos θ
] σ
n+1
dΩ − F
n+1
ϕ
为第n个迭代步结束时的不平衡力， 为第 个迭代步结束时的不平衡力，将 个迭代步结束时的不平衡力 该力转移到第n+1个荷载增量上去 该力转移到第 个荷载增量上去
n+1
n+1
∆V
= ∫ [B
n+1 T
ˆ n + 1 ε& n + 1 ∆ t + σ n + 1 } d Ω ] {D vp n+1
5 岩石流变问题数值方法
求解步骤： 求解步骤：
求解从t=0开始。 时为静弹性解其位移 求解从 开始。t=0时为静弹性解其位移 δ 开始 0 0 均已知， 应力 σ 应变 ε ，初始屈服 F 0 均已知，
0
ε
0 vp
=0
F
，设tn时刻的 δ
n+1 n+1 i=1
n
,σ , ε , ε
n n
m
n vp
岩石流变力学
1 2 3 4 5 6 7 8 绪论 岩石流变的力学特性 岩石流变本构理论 岩石流变问题解析方法 岩石流变问题数值方法 岩石流变室内试验 岩体蠕变现场试验与变形时效监测 岩石流变问题的工程应用
5 岩石流变问题数值方法
主要介绍弹——粘塑性问题的有限元解法。 粘塑性问题的有限元解法。 主要介绍弹 粘塑性问题的有限元解法 平衡方程： 平衡方程：
p, q = 1L n )
=
∑∑T
p=1 q =1
n
n
e ij
( ξ p , η q )W pW q
W p ,W q
为加权因子
对体积力， 对体积力，边界力转化为单元节点力的计算类同
5 岩石流变问题数值方法
H矩阵的计算： 矩阵的计算： 矩阵的计算
∂F H = , ε& vp = γ φ ( F ) a , a = ∂σ ∂σ
∆σ = D∆ε n n n ∆ σ = D ( ∆ ε − ∆ ε vp )
n T n
由前述
ε = B{∆δ } ⇒ ∆ε = B {∆δ }
n
n T
5 岩石流变问题数值方法
则： σ ∆
= D ( B { ∆ δ } − ε& ∆ t n − C ∆ σ ) n ˆ n ( B n { ∆ δ n } T − ε& n ∆ t ) ② ∆σ = D vp n 式中： ˆ 式中： D n = ( I + D C n ) − 1 D = ( D − 1 + C n ) − 1
e i e i
s in θ = ∫ ∫ N ρg t de t Jd ξ d η −1 −1 − cos θ n n s in θ e = ∑ ∑ N i (ξ p , ξ q ) ρ g t de t J ⋅ W p ⋅ W q p=1 q =1 − cos θ
∂ ε& vp
F = αI1 + J 2 − k
dφ T ∂a H = γ [φ ( F ) T + aa ] dF ∂σ T σ = {σ x σ y σ z σ x y σ yz σ z x }
5 岩石流变问题数值方法
S 11 S 22 S 33 ∂F a= α+ α+ = [α + ∂σ 2 J2 2 J2 2 J2 2 S 12 2 J2 2 S 23 2 J2 2 S 31 T ] 2 J2
e T i e e i
令： ije T
= [ B ] [ D ][ B ]h de t J
e T i
e ij
e
e i
K 则：
=
∫ ∫
1
1
−1 −1
T dξdη
e ij
5 岩石流变问题数值方法
对单元内n× 个抽样点 [ 个抽样点： 对单元内 ×n个抽样点： ξ p , η q ]( 上述积分： e 上述积分： ij K
∫B
∫ [B
n T
T
σ dΩ − F = 0
时间间隔内（ 在tn~tn+1时间间隔内（∆tn）
] ∆ σ dΩ − ∆ F = 0
n n
5 岩石流变问题数值方法
对弹－粘塑性变形，总应变： 对弹－粘塑性变形，总应变：
ε = ε e + ε vp ε& = ε& e + ε& vp σ& = D ε& e
∆σ = D∆ε e
5 岩石流变问题数值方法
1 E D= µ 2 1− µ 0
平面应力： 平面应力：
µ 1
0
0 0 1− µ 2
µ 1− µ
0 0 0 1 − 2µ 2
1 − µ E µ 平面应变： = 平面应变： D ( 1 + µ )( 1 − 2 µ ) 0
ˆ D n = ( D −1 + C n ) −1 0 Cn =Θ∆t H n n ∂N i ∂ y Θ 为时间步进参数 ∂N i ∂ ε& vp n H = ∂x
∂σ
σ =σ
n
5 岩石流变问题数值方法
3. 组集总刚矩阵 [ K
n
n T
] 计算位移增量
n −1 T n
∆ ε = ∆ t n (1 − Θ )ε& + Θ ε& 其中： 其中：0 ≤ Θ ≤ 1
n vp n vp
[
n+1 vp
]
5 岩石流变问题数值方法
展开为Taylor级数 将 ε& n + 1 展开为 级数
vp
ε&
n+1 vp
= ε& +
n vp
∂ ( ε& vp ) ∂σ
n
⋅ ∆σ
σ =σ
n
n
∆δ = [K ] ∆V n n T ˆ n n & vp ∆ t n d Ω + ∆ F n ∆V = ∫ [B ] D ε
4.由 由
∆ ε = [ B ]∆ δ
n n
n
n
计算应变增量
n
∆ε
n
由 ∆σ
ˆ (B n∆δ = Dn
n & vp ∆ t n ) −ε
计算应力增量
∆σ
n
5 岩石流变问题数值方法
∂y dy = dξ ∂ξ
p
e xi
∫N = ∫N
= =
e i e i e i
p xdy ( ptdx − pndy )
∫
∂x ∂y N ( pt )d ξ − pn ∂ξ ∂ξ
e i e i e i
p
e yi
∫N = ∫N
= =
p ydx ( pndx + ptdy )