创新设计浙江专用2017届高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件

3T 11π π 解析 根据图象可知，A＝2， 4 ＝ 12 － 6 ， 2π 所以周期 T＝π，由 ω＝ T ＝2. π 又函数过点 ，2 ， 6 π 所以有 sin2× ＋φ ＝1，而 0＜φ＜π. 6 π π 所以 φ＝ 6 ，则 f(x)＝2sin2x＋ ， 6 π 2π π 因此 f ＝2sin ＝1. ＋ 3 6 3
2π π 由题意得 ＝2· ，所以 ω＝2. 2 ω 故 f(x)＝2sin 2x.因此
π f 6 ＝2sin
π 3 ＝ 3.
π (2)将 f(x)的图象向右平移 6 个单位后， π 得到 fx－ 的图象， 6 π π π 所以 g(x)＝fx－ ＝2sin2x－ ＝2sin2x－ . 6 6 3 π π π 当 2kπ － 2 ≤2x－ 3 ≤2kπ ＋ 2 (k∈Z)， π 5π 即 kπ － ≤x≤kπ ＋ (k∈Z)时，g(x)单调递增， 12 12 π 5π 因此 g(x)的单调递增区间为kπ － ，kπ ＋ (k∈Z). 12 12
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点 内容，主要从以下两个方面进行考查： 1.三角函数的图象，
主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以
选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三 角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答 题的形式考查.
π π 1 故 f(x)＝Asin(2x＋ 6 ).于是 f(0)＝2A，f(2)＝Asin(4＋ 6 )， 13π π 5π π f(－2)＝Asin－4＋ ＝Asin 又∵－ 2 < 6 －4<4－ －4， 6 6 7π π π π π 4＋ 6 ＝ Asin π－4＋ 6 ＝ 6 < 6 < 2 ， 其 中 f(2) ＝ Asin 5π 13π 13π Asin －4 ， f( － 2) ＝ Asin －4 ＝ Asin π－ －4 ＝ 6 6 6 π π 7π Asin4－ . 又 f ( x ) 在 － ， 内单调递增， 6 2 2 ∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选 A.
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
2.三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ (k∈Z)时为奇函数； π 当 φ＝kπ ＋ 2 (k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ π ＋ 2 (k∈Z)求得. π (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ ＋ 2 (k∈Z)时为奇函数；
解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋ 3cos(ωx＋φ)
π 3 ＝2sinω x＋φ＋ . cos （ ωx ＋ φ ） 2 3 π 因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)＝2sinφ ＋ ＝0， 3 π π 又 0＜|φ|＜ 2 ，可得 φ＝－ 3 ， 所以 f(x)＝2sin ω x， 1 ＝2 sin（ωx＋φ）＋ 2
A.f(2)<f(－2)<f(0)
B.f(0)<f(2)<f(－2)
C.f(－2)<f(0)<f(2)
解析
D.f(2)<f(0)<f(－2)
由于 f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2， 2π 即 f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当 x＝ 时， 3 4π π 2x＋φ＝ 3 ＋φ＝2kπ－ 2 (k∈Z)， 11π π ∴φ＝2kπ－ 6 (k∈Z)，又 φ>0，∴φmin＝ 6 ，
A.11
B.9
C.7
D.5
解析
π π 因为 x＝－ 为 f(x)的零点，x＝ 为 f(x)的图象的对称轴， 4 4
π 2π π T kT 所以 4 －－ ＝4 ＋ 2 ， 得 T＝ (k∈Z)， 则 ω＝2k＋1(k∈Z)， 4 2k＋1
又因为
π 5π 5π π π T 2π f(x)在 ， 上单调，所以 36 －18＝12≤2 ＝ ，即 36 2ω 18
探究提高
在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还
是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果 x 的系数不是 1 ，就要把这个系数提取后再确定变换的单位 长度和方向.
[微题型2] 由三角函数图象求其解析式
【例 1－2】 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω ，φ 为常数，A＞0， π ω ＞0，0＜φ＜π )的图象如图所示，则 f 3 的值为______.
φ) ω
π ＞0，0＜|φ|＜ 2 为奇函数，且函数 y＝f(x)的图象的两相 π 邻对称轴之间的距离为 2 . π (1)求 f 6 的值； π (2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 6 个单位后， 得到函数 y＝g(x) 的图象，求函数 g(x)的单调递增区间.
π 0＝sin2× 6 π ＋φ可得 3
＋φ＝kπ ，k∈Z，
π 即 φ＝kπ － 3 ，k∈Z，
π π 因为|φ|＜ 2 ，所以φ ＝－ 3 ， 故函数 f(x)的解析式为 (2)根据条件得 当
π x∈0， 8 π f(x)＝sin2x－ 3 ， .
当 φ＝kπ (k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ (k∈Z) 求得. (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当 φ＝kπ (k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
热点一 三角函数的图象 [微题型1] 三角函数的图象变换
【 例 1 － 1 】 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ π φ)ω >0，|φ|< 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分 2 数据，如下表：
π 解析 由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移12个单位长度后 π π π 得到函数的解析式为 y＝2sin2x＋ ，由 2x＋ ＝kπ＋ 得函 6 2 6 kπ π 数的对称轴为 x＝ 2 ＋ 6 (k∈Z)，故选 B.
答案 B
2.(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω ，φ 均为正的 2π 常数)的最小正周期为π ，当 x＝ 3 时，函数 f(x)取得最小值， 则下列结论正确的是( )
答案 A
3.(2016· 浙江卷)设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周 期( ) B.与b有关，但与c无关 D.与b无关，但与c有关
A.与b有关，且与c有关 C.与b无关，且与c无关
2
cos 2x 1 解析 因为 f(x)＝sin x＋bsin x＋c＝－ ＋bsin x＋c＋ ，其 2 2 cos 2x 1 中当 b＝0 时，f(x)＝－ 2 ＋c＋2，f(x)的周期为π；b≠0 时， f(x)的周期为 2π.即 f(x)的周期与 b 有关但与 c 无关，故选 B.
ω x＋φ x Asin(ωx＋φ)
0
π 2 π 3 5
π
3π 2 5π 6 －5
2π
0
0
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将 y＝f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得 到 y＝g(x)的图象.若 θ 的最小值.
5π y＝g(x)图象的一个对称中心为 12 ，0，求
答案 1
探究提高
已知图象求函数 y ＝ Asin(A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的解析式
时，常用的方法是待定系数法 . 由图中的最高点、最低点或 特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以 从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练 1】 (2016· 绍兴模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) π (A＞0，ω ＞0，|φ|＜ 2 )的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横 1 坐标缩短到原来的2倍，再把所得的函数图象向左平移 π 6 个单位长度，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)
π 在区间0， 8 上的最小值.
解 (1)设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 T 2π π π A＝1，2＝ 3 － 6 ＝ 2 ， 2π 即 T＝π ，所以π ＝ ，解得 ω＝2， ω 故 f(x)＝sin(2x＋φ). 由
(2)由(1)知
π f(x)＝5sin2x－ 6
，得
π g(x) x 的对称中心为(kπ ，0)，k∈Z. π kπ π 令 2x＋2θ－ ＝kπ ，解得 x＝ ＋ －θ，k∈Z. 6 2 12 5π 由于函数 y＝g(x)的图象关于点 ，0 成中心对称， 12 kπ π 5π kπ π 令 ＋ －θ＝ ，解得 θ＝ － ，k∈Z.由 θ>0 可知， 2 12 12 2 3 π 当 k＝1 时，θ 取得最小值 . 6
π 解 (1)根据表中已知数据，解得 A＝5，ω ＝2，φ ＝－ 6 .数据补 全如下表：
ω x ＋φ x Asin(ωx＋φ)
且函数表达式为
0 π 12 0
π 2 π 3 5
π 7π 12 0
.
3π 2 5π 6 －5
2π 13 π 12 0
π f(x)＝5sin2x－ 6
π 5π π ω≤12，又当 k＝5 时，ω＝11，φ＝－ ，f(x)在 ， 18 上不单 4 36 π 5π π 调；当 k＝4 时，ω＝9，φ＝ ，f(x)在 上单调，满足题 ， 18 4 36 意.由此得 ω 的最大值为 9，故选 B.