1993年全国试卷一
1993年普通高等学校招生全国统一考试语文试卷及答案
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1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π (C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和. 六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.b aa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性. 将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得 ()2F x '=-.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x'=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(2)【解析】先写出旋转面S 的方程：2223()212x z y ++=. 令 222(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为{},,6,4,6F F F n x y z x y z ⎧⎫∂∂∂=±=±⎨⎬∂∂∂⎩⎭,所以在点处的法向量为{{0,42n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为()0220,0,||0nn n ====. (3)【答案】23π【解析】按傅式系数的积分表达式 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰,所以 22311()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx xxdx πππππππππ---=+=+⎰⎰⎰.因为2sin 3x x 为奇函数,所以2sin 30xxdx ππ-=⎰；sin3x xdx 为偶函数,所以30sin 32sin 3b x xdx x xdx πππ-==⎰⎰01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰22sin 323333x πππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. (4)【答案】2221x y z ++【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x y z ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u zz x y z∂=∂++, 将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++, 因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z ∂∂∂=++=∂∂∂++.(5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 22203423230000sin()()sin(sin )cos sin(sin )limlim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++, 所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||1cos |cos(,)|2||||66l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关⇔((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x∂∂-=-∂∂, 即 (())cos ()cos xf x e y f x y '-=-,化简得 ()()xf x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '⎡⎤=⎣⎦, 解之得 21()2xx e f x e C =+, 所以 21()()2x x f x e e C -=+.由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2x xf x e e -=-,故应选(B). 【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy +⎰在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是P Qy x∂∂=∂∂. (5)【答案】(C)【解析】若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令1t x=,则当x →∞时,0t →, 1021lim(sin cos )lim(sin 2cos )xt x t t t x x→∞→+=+, 这是1∞型未定式,11sin 2cos 1sin 2cos 10lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)t t t t t tt t t t t t +-⋅+-→→+=++-,而1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t e +-→++-=.所以 01sin 2cos 1sin 2cos 1limlim(sin 2cos )lim t t t t t t ttt t t t ee→+-+-→→+==.而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21t t t t t tt →→+--=洛,故 221lim(sin cos )x x e x x→∞+=.(2)【解析】方法一：222x==⎰.t =,则 222ln(1),1tdtx t dx t =+=+,所以22222122(1)111tdt t t dt dt t t t =⋅==-+++⎰⎰⎰22arctan t t C C =-+=, 所以22x=2C =. 方法二t =,则 22221,ln(1),1xtdte t x t dx t =+=+=+, 所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t t dt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰222222ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+⎰⎰. 关于221t dt t +⎰的求解同方法一,所以22ln(1)4(arctan )xt t t t C =+--+2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2y 得2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.令1yz -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x'-=-, 即 31()z x x '=-,积分得 212z x C x -=+.由1yz -=得2112x C xy -=+, 即 2212xy Cx =+,代入初始条件1|1x y ==,得 12C =,所以所求方程的特解是221x y x =+.解法二：所给方程可写成 2()y yy xx'=-的形式,此方程为齐次方程. 令yu x=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得(2)du dxu u x=-,积分得112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u-=. 以yu x=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为221xy x =+.四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是22240cos sin I zdV d d d ππθϕρϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2342sin sin d d ππϕϕρρ=⋅⎰⎰242401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,2000(1)(1)(1)(1)1()222n n nn nn n n n n n n A ∞∞∞===--+--==+-∑∑∑.第二个级数是几何级数,它的和已知112()1231()2n n ∞=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察1(1)(||1)1nn n x x x∞=-=<+∑. 2()(1)(1)((1))nn n n n n S x n n xx ∞∞-==''=--=-∑∑312()1(1)x x ''==++, 所以 230(1)(1)11124()1222427(1)2n n n n n S ∞=--===+∑. 因此原级数的和 422227327A =+=.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞. 由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)xxf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->.从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 baa b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x-'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即baa b >.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,它的特征方程是22200||03(2)(69)003E A a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--.f 经正交变换化成标准形22212325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的特征值.把1λ=代入特性方程,得240a -=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得 1(0,11)TX =-.对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得2(1,0,0)TX =.对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,得3(0,1,1)TX =.将123,,X X X 单位化,得1230101,0,1101γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭. 故所用的正交变换矩阵为123010(,,)00P γγγ⎛⎫⎪ ⎪ ==⎝. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型.令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k k k βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k Bk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤.又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0dy y Ydx x -=-,即 .dyY y xdx=- (1) 又由dYv dt =,222()()dy dx v dt dt =+,得22()()2dy dx dY dt dt dt+=. 由题意,()x t 单调增,0dxdt>,所以 21()2dx dy dY dt dx dt +=.亦即 21()2dy dY dx dx+=. (2) 由(1),(2)消去Y ,dY dx,便得微分方程 2210xy y '''++=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=.方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪ ≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Y y f y F y <<'== ⎩其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x =在(0,4)内单调,反函数()x h y =(0,2)内可导,且导数()h y '=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y 的概率密度为[]1,04,04,()(),042()0,0,0,X Y y y h y f h y y f y << <<'⎧ <<⎪===⎨ ⎪⎩ ⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =十一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰. (因为被积函数||2x x e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 22||2||20()()211222x x x x D X x f x dx e dx x e dx x e dx +∞+∞--∞-∞+∞+∞---∞===⋅⎰⎰⎰⎰偶函数积分的性质220222() 2.x xx x x xx e dx x e xe dxxe e dx e +∞+∞--+∞-+∞-+∞--+∞==-+=-=-=⎰⎰⎰（+）(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)cov X Y E X X E X E X =-来计算协方差.因为||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,所以 ||(,)(||)0(||)(||)1||()||0.2x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞--∞-∞=-====⎰⎰(因为被积函数||||2x xx e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且{}01P X a <<<,所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.方法二：因为11111111{1}()1112222x x x P X f x dx e dx e dx e e+∞---+∞-∞-∞≤===-=+=-⎰⎰⎰； 又1111011011{1}()12x x xP X f x dx e dx e dx e e-----≤====-=-⎰⎰⎰，显然有{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.。
1993年老高考语文试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试语文本试卷分第I卷（1至4页）和第II卷（5至10页）两部分，共五大题，30小题。
满分120分。
考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一.（24分）1.下列加点字读音全都正确的一组是（3分）A.脉．脉．(mò) 间．（jiān）隙分蘖．(niè) 踉踉．(liànɡ)跄跄B.吮．(shǔn)吸咀．(jū)嚼负荷．(hè) 泰然处．(chǔ)之C.蛮横．(hènɡ) 创．(chuānɡ)伤可汗．(hán) 殒．(yǔn)身不恤D.涔涔．(cén) 牲畜．(chù) 中．(zhōnɡ)肯衣衫褴褛．(lǚ)2.下列词语没有错别字的一组是（3分）A.生杀予夺直截了当贻笑大方隐约其辞B.自惭形秽莫可名状名列前矛轻手蹑脚C.深沟险壑影影绰绰满目疮痍暴戾恣睢D.花团锦簇好高鹜远谬种流传贫瘠不堪3.在下列句子中，“走”字在用法上与其他三句不同的一句是（3分）A.两股战战，几欲先走．。
B.扁鹊望桓侯而还走．。
C.操引军从华容道步走．。
D.首尾相接，可烧而走．也。
4.依次填入下文中四个标号处的词语最恰当的一组是（2分）一个受过高等护理教育的护士，应该①有理论②有实践经验。
这实践经验，③仅仅指能打针、发药、插管、看心电图、会心脏监测④指会使用人工呼吸或体外循环机等比5A.公司能有今天的规模并在社会上享有这么高的知名度，是他苦心孤诣地经营的结果。
B.我本来就对那里的情况不熟悉，你却硬要派我去，这不是差强人意吗？C.这篇论文观点新颖，论据有力，材料丰富，文字精当，堪称不刊之论。
D.大熊猫憨态可掬，小猴子顽皮可爱，使得周围的大人们忍俊不禁，孩子们更是笑得前仰后合。
6.下列各句家电的部分与“学校对我们的意见．．．．．．很重视”中加点的部分结构相同的一句是（2分）A 老师对学生的表扬．．．．．．非常及时。
1993年全国统一高考数学试卷(文科)
1993年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=04．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．45．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．110．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．4514．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有种取法（用数字作答）．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．1993年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）（1993•全国）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．【考点】H1：三角函数的周期性．【分析】把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．【解答】解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选：A．【点评】本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）（1993•全国）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．【解答】解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（1993•全国）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．【解答】解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选：B．【点评】本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．4．（4分）（1993•全国）i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】A5：复数的运算．【分析】利用i的幂的运算性质，对n为奇数和偶数分类讨论，可以得到结果．【解答】解：因为i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i；由复数i2n﹣3+i2n﹣1+i2n+1+i2n+3=2（i2n+1+i2n+3），当n是偶数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i+i3）=0；当n是奇数时2（i2n+1+i2n+3）=2（i3+i）=0．故选：B．【点评】本题考查复数i的幂的运算，复数代数形式的运算，是基础题．5．（4分）（1993•全国）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数【考点】4X：幂函数的性质．【专题】31 ：数形结合．【分析】做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．【解答】解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选：A．【点评】本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）（1993•全国）的值为（）A．B．C．D．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．【解答】解：==．【点评】本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•江苏）已知集合M={x|x=+，k∈Z}，N={x|x=+，k∈Z}，则（）A．M=N B．M⊃N C．M⊂N D．M∩N=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】首先分析M、N的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案．【解答】解：对于M的元素，有x=π，其分子为π的奇数倍；对于N的元素，有x=π，其分子为π的整数倍；分析易得，M⊂N；故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系．8．（4分）（1993•全国）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．【解答】解：原式=]==，故选：A．【点评】在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）（1993•全国）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是（）A．6 B．4 C．5 D．1【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可．【解答】解：圆的圆心坐标（0，0），到直线3x+4y﹣25=0的距离是，所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选：B．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，数形结合的思想，是基础题．10．（4分）（1993•全国）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】72：不等式比较大小．【专题】15 ：综合题．【分析】由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．【解答】解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＜0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选：D．【点评】本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）（1993•全国）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【考点】KA：双曲线的定义．【专题】11 ：计算题．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）（1993•全国）如果圆柱的轴截面的周长l为定值，则圆柱体积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题；15 ：综合题．【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．【解答】解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选：A．【点评】本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（1993•全国）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45【考点】DA：二项式定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．【解答】解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r+1∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选：D．【点评】本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）（1993•全国）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．【解答】解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选：D．【点评】本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）（1993•全国）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定【考点】87：等比数列的性质．【分析】用作差法比较即可．【解答】解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0另解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1﹣q3）（1﹣q4），由各项都大于零的等比数列，公式q≠1，不管q＞1还是0＜q＜1，即可判断a1+a8﹣（a4+a5）＞0．故选：A．【点评】本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（1993•全国）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）（1993•全国）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种 B．9种 C．11种D．23种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．【解答】解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选：B．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）（1993•全国）设a＞1，则=﹣a2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11 ：计算题．【分析】当n→∞时，a n→∞．由此能够推导出=的值．【解答】解：===﹣a2．【点评】本题考查极限的应用，解题时要注意等价转化的前提条件．19．（4分）（1993•全国）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或} ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．【解答】解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．【点评】熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）（1993•全国）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．【考点】D5：组合及组合数公式；D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．【解答】解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．【点评】本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）（1993•全国）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．【考点】4R：反函数．【专题】11 ：计算题．【分析】欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．【解答】解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）（1993•全国）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题；16 ：压轴题．【分析】欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x 的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．【解答】解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）（1993•全国）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE 和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．【解答】解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．【点评】本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）（1993•全国）求tan20°+4sin20°的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11 ：计算题．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======2sin60°=．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力．25．（12分）（1993•全国）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．【考点】4K：对数函数的定义域；3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）由对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．【解答】解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x ∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．【点评】本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．26．（12分）（1993•全国）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【专题】14 ：证明题．【分析】观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．【解答】解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立【点评】本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．27．（12分）（1993•全国）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．【考点】LW：直线与平面垂直．【专题】14 ：证明题；16 ：压轴题．【分析】（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．【解答】证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b ∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．【点评】本题考查证明线面垂直的证明方法．28．（12分）（1993•全国）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．【解答】解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．=1，∴c=，即P点坐标为．由题设条件S△MNP由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．【点评】本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．考点卡片1．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．2．充分条件、必要条件、充要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q 是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．3．函数奇偶性的性质与判断【知识点的认识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．例题：函数y=x|x|+px，x∈R是（）A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶D．与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．因为f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．故选B．【命题方向】函数奇偶性的应用．本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．4．对数函数的定义域【知识点归纳】一般地，我们把函数y=log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．5．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x=g （y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g（y）就表示y是自变量，x 是因变量是y的函数，这样的函数y=g（x）（x∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作y=f（﹣1）（x）反函数y=f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f （x）的值域、定义域．【性质】。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
n(n 1)( 1)n
( 1)n ,
n0
2n
n0
2 n0 2
……1 分
其中 ( 1)n 1 2 ,
n0 2
1
1 2
3
……2 分
设 S(x)
n(n 1)xn2, x (1,1) ，则
x
[
x
S(x)dx]dx
xn
x2
n2
00
n2
1 x
故
S(x)
x2 ( 1 x
)
2 (1 x)3
n0
（B）
(A) 等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
(2) 双纽线 (x2 y2 )2 x2 y2所围成的区域面积可用定积分表示为
（A）
(A) 2 4 cos2d
(B) 4 4 cos2d
(C) 2 4 cos2 d
1
(D)
4 cos2 2 d
0
0
0
20
1993 年 • 第 3 页
(0, ) 内有且仅有一个零点．
x
x
证：在[0, ) 上，由 f '(x) k 得 f '(x)dx kdx ，即 f (x) kx f (0) .
导数，且 f (0) 0 ，则 f (x) 等于
(B)
ex ex
(A)
2
ex ex
(B)
2
(C) e x ex 1 2
(D) 1 e x ex 2
1 2 3
(5) 已知 Q= 2
4
t
，P
为三阶非零矩阵，且满足
PQ
=
0，则
(C)
3 6 9
1993年全国高考语文试卷
-----1993年全国高考语文试卷-----一、（30分）1.下列词语中红字的字读音全都正确的一组是（2分）A.引擎（qíng）联袂（mèi）泊位（pò）恬不知耻（tián）B.羞赧（nǎn）果脯（pǔ）澎湃（pài）咬文嚼字（jué）C.湍急（tuān）阐（shàn）明天堑（qiàn）一曝十寒（pù）D.破绽（zhàn）怯懦（nuò）颤动（chàn）一叶扁舟（piān）2.下列有两个错别字的一句是（3分）A.市场上商品琳琅满目，五颜六色，令人眼花乱。
B.书市上人群熙熙攘攘，穿流不息，好不热闹。
C.你别把这些官野史当真，里面尽是些虚无缥渺的事。
D.老人虽已年逾古稀，但依然身体硬朗，精神铄。
3.对下列成语中红字的字解释的一项是（3分）A.乔装打扮。
乔：装假。
B.少不更事。
更：经历。
C.每下愈况。
况：比较，引申为“通过比较而明显”。
D.生灵涂炭。
涂：涂抹，引申为“沉溺于……之中”。
4.对下列两个句子分析正确的一项是（3分）①王老师对全班同学说：“同学们，别忘了我们是学生，我们的主要任务是学习。
” ②他埋怨我说：“你让我给你借小说，人家借来了，你又不看。
”A.①②代词使用均没有毛病。
B.①②代词使用均有毛病。
C.①代词使用有毛病，②代词使用没有毛病。
D.①代词使用没有毛病，②代词使用有毛病。
5.下列标点符号使用没有错误的一项是（3分）A.“这究竟是怎么回事呢？同志们。
”厂长严肃地说。
B.我要给爷爷理发，爷爷笑了：“你？笤帚疙瘩戴帽子——充人哩。
”C.基础知识究竟扎实不扎实？对今后的继续深造有重要影响。
D.今天去呢？还是明天去呢？我实在拿不定主意。
6.依次填入下文①—⑤五个标号处的词语最恰当的一组是（3分）一些同志①懂得建设社会主义精神文明的重要，②知道它在建设有中国特色的社会主义当中的地位，③在一定时期内能够做到两个文明一起抓。
1993年全国高考物理试卷及答案(word)
1993年试题第Ⅰ卷(选择题共50分)一、本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中 设 、 为这两个电子的运动轨道半径 、 是它们的运动周期 则≠ ≠ ≠≠同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星它可以在地面上任一点的正上方 且离地心的距离可按需要选择不同值它可以在地面上任一点的正上方 但离地心的距离是一定的它只能在赤道的正上方 但离地心的距离可按需要选择不同值它只能在赤道的正上方 且离地心的距离是一定的由自感系数为 的线圈和可变电容器 构成收音机的调谐电路 为使收音机能接收到 千赫至 千赫范围内的所有电台的播音 则可变电容器与 对应的电容 和与 对应的电容 之比为若元素 的半衰期为 天 元素 的半衰期为 天 则相同质量的 和 经过 天后 剩下的质量之比图中所示是用干涉法检查某块厚玻璃板的上表面是否平的装置 所用单色光是用普通光源加滤光片产生的 检查中所观察到的干涉条纹是由下列哪两个表面反射的光线叠加而成的的上表面和 的下表面 的上表面和 的上表面的下表面和 的上表面 的下表面和 的下表面一物体经凸透镜在屏上成一放大的实像 凸透镜主轴沿水平方向 今将凸透镜向上移动少许 则屏上像的位置向上移动屏上像的位置向下移动屏上像的位置保持不动 但像变大屏上像的位置保持不动 但像变小下图所示的天平可用来测定磁感应强度 天平的右臂下面挂有一个矩形线圈 宽为 共 匝 线圈的下部悬在匀强磁场中 磁场方向垂直纸面 当线圈中通有电流 方向如图 时 在天平左、右两边加上质量各为 、 的砝码 天平平衡 当电流反向 大小不变 时 右边再加上质量为 的砝码后 天平重新平衡 由此可知磁感应强度的方向垂直纸面向里 大小为磁感应强度的方向垂直纸面向里 大小为磁感应强度的方向垂直纸面向外 大小为磁感应强度的方向垂直纸面向外 大小为一列沿 方向传播的横波 其振幅为 波长为 某一时刻波的图象如图所示 在该时刻 某一质点的坐标为 经过四分之一周期后 该质点的坐标为下图为万用表欧姆挡的原理示意图 其中电流表的满偏电流为 内阻 调零电阻最大阻值 串联的固定电阻 电池电动势 用它测量电阻 能准确测量的阻值范围是～ ～～ ～、 、 三物块质量分别为 、 和 作如图所示的联结绳子不可伸长 且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计 若 随 一起沿水平桌面作匀速运动 则可以断定物块 与桌面之间有摩擦力 大小为物块 与 之间有摩擦力 大小为桌面对 对 都有摩擦力 两者方向相同 合力为桌面对 对 都有摩擦力 两者方向相反 合力为图中接地金属球 的半径为 球外点电荷的电量为 到球心的距离为 该点电荷的电场在球心的场强等于小物块位于光滑的斜面上 斜面位于光滑的水平地面上 从地面上看 在小物块沿斜面下滑的过程中 斜面对小物块的作用力 垂直于接触面 做功为零 垂直于接触面 做功不为零不垂直于接触面 做功为零 不垂直于接触面 做功不为零图中容器 、 各有一个可自由移动的轻活塞 活塞下面是水 上面是大气 大气压恒定 、 的底部由带有阀门 的管道相连 整个装置与外界绝热 原先 中水面比 中的高 打开阀门 使 中的水逐渐向 中流 最后达到平衡 在这个过程中大气压力对水做功 水的内能增加水克服大气压力做功 水的内能减少大气压力对水不做功 水的内能不变大气压力对水不做功 水的内能增加二、本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 至少有一项是正确的 全部选对的得 分 选对但不全的得 分 有选错或不答的得 分入射光照射到某金属表面上发生光电效应 若入射光的强度减弱 而频率保持不变 那么从光照至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加逸出的光电子的最大初动能将减小单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减少有可能不发生光电效应分子间的相互作用力由引力 引和斥力 斥两部分组成 则斥和 引是同时存在的引总是大于 斥 其合力总表现为引力分子之间的距离越小 引越小 斥越大分子之间的距离越小 引越大 斥越小如图所示 一理想变压器的原、副线圈分别由双线圈 和 匝数都为 、 和 匝数都为 组成 用 和 表示输入电流和电压 和 表示输出电流和电压 在下列四种连接法中 符合关系与 相连 以 、 为输入端 与 相连 以 、 为输出端与 相连 以 、 为输入端 与 相连、 与 相连作为输出端与 相连、 与 相连作为输入端 与 相连 以 、 为输出端与 相连、 与 相连作为输入端 与 相连、 与 相连作为输出端一个标有“ ”的白炽灯泡 加上的电压 由零逐渐增大到 在此过程中 电压 和电流 的关系可用图线表示 题中给出的四个图线中 肯定不符合实际的是在质量为 的小车中挂有一单摆 摆球的质量为 小车 和单摆 以恒定的速度 沿光滑水平地面运动 与位于正对面的质量为 的静止木块发生碰撞 碰撞的时间极短 在此碰撞过程中 下列哪个或哪些说法是可能发生的小车、木块、摆球的速度都发生变化 分别变为 、 、满足摆球的速度不变 小车和木块的速度变 和 满足摆球的速度不变 小车和木块的速度都变为 满足小车和摆球的速度都变为 木块的速度变为 满足图中 、 是一对中间开有小孔的平行金属板 两小孔的连线与金属板面相垂直 两极板的距离为 两极板间加上低频交流电压 板电势为零 板电势 现有一电子在 时穿过 板上的小孔射入电场 设初速度和重力的影响均可忽略不计 则电子在两极板间可能以 间的某一点为平衡位置来回振动时而向 板运动 时而向 板运动 但最后穿出 板一直向 板运动 最后穿出 板 如果 小于某个值 小于某个值一直向 板运动 最后穿出 板 而不论 、 为任何值第Ⅱ卷 非选择题 共 分三、本题共 小题 前 小题每题 分 后 小题每题 分 共 分 把答案填在题中的横线上用电磁波照射某原子 使它从能量为 的基态跃迁到能量为 的激发态 该电磁波的频率等于两根长度相等的轻绳 下端悬挂一质量为 的物体 上端分别固定在水平天花板上的 、 点 、 两点间的距离为 如图所示 已知两绳所能经受的最大拉力均为 则每根绳的长度不得短于有一游标卡尺 主尺的最小分度是 毫米 游标上有 个小的等分刻度 用它测量一工件的长度 如图所示 图示的读数是 毫米一位同学用单摆做测量重力加速度的实验 他将摆挂起后 进行了如下步骤测摆长 用米尺量出摆线的长度测周期 将摆球拉起 然后放开 在摆球某次通过最低点时 按下秒表开始计时 同时将此次通过最低点作为第一次 接着一直数到摆球第 次通过最低点时 按秒表停止计时 读出这段时间为实验的最后结果写入报告中去指出上面步骤中遗漏或错误的地方 写出该步骤的字母 并加以改正 不要求进行误差计算如图所示 、 是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为 和 与桌面之间的滑动摩擦系数分别为 和今给 以某一初速度 使之从桌面的右端向左运动 假定 、 之间 与墙之间的碰撞时间都很短 且碰撞中总动能无损失 若要使木块 最后不从桌面上掉下来 则 的初速度最大不能超过如图 所示的电路中 两二极管均可视为理想二极管 端对 端的电压与时间的关系如图 的上图所示 请在图 的下图中作出 端对 点的电压与时间的关系图线 最少画一个周期 可用铅笔作图将量程为 微安的电流表改装成量程为 毫安的电流表 并用一标准电流表与改装后的电流表串联 对它进行校准 核对 改装及校准所用器材的实物图如下 其中标准电流表事先已与一固定电阻串联 以防烧表 校准时要求通过电流表的电流能从 连续调到 毫安 试按实验要求在所给的实物图上连线某人透过焦距为 厘米 直径为 厘米的薄凸透镜观看方格纸 每个方格的边长均为 厘米 他使透镜的主轴与方格纸垂直 透镜与纸面相距 厘米 眼睛位于透镜主轴上离透镜 厘米处 问他至多能看到同一行上几个完整的方格答四、本题包括 小题 共 分 解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤 只写出最后答案 不能得分 有数值计算的题 答案中必须明确写出数值和单位分 一个密闭的气缸 被活塞分成体积相等的左右两室 气缸壁与活塞是不导热的 它们之间没有摩擦 两室中气体的温度相等 如图所示 现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间 达到平体的温度分 两金属杆 和 长均为 电阻均为 质量分别为 和 用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路 并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧 两金属杆都处在水平位置 如图所示 整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中 磁感应强度为 若金属杆 正好匀速向下运动 求运动的速度分 有一准确的杆秤 今只给你一把有刻度的直尺 要求用它测出这杆秤的秤砣的质量 试导出表示秤砣质量的公式 并说明所需测量的量分 一平板车 质量 千克 停在水平路面上 车身的平板离地面的高度 米 一质量 千克的小物块置于车的平板上 它到车尾端的距离 米 与车板间的滑动摩擦系数 如图所示 今对平板车施一水平方向的恒力 使车向前行驶 结果物块从车板上滑落 物块刚离开车板的时刻 车向前行驶的距离 米 求物块落地时 落地点到车尾的水平距离 不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦 取 米 秒年答案一、答案及评分标准 全题 分 每小题 分 答错的或不答的 都给 分二、答案及评分标准 全题 分 每小题 分 每小题全选对的给分 选对但不全的给 分 有选错的给 分 不答的给 分、、 、 、 、三、答案及评分标准 全题 分 前 小题每题 分 后 小题每题 分 答案正确的 按下列答案后面括号内的分数给分 答错的 不答的 都给 分分分要用卡尺测摆球直径 摆长 等于摆线长加 分 如果说明用米尺量摆长时 摆长的下端从球心算起 也给这 分应测量多次 然后取 的平均值做为实验最后结果 分如果说明摆长和周期的测量要进行多次 并取它们的平均值为 和 算出 也给这 分分 作图时应使图线的上半部和下半部看起来基本象是峰值不同的正弦曲线的一部分 图线的最高点、最低点及与横轴的交点位置必须正确 有任何错误都不给这 分分 电路连接有错误 但电表改装部分的接线正确 指电阻箱与微安表并联 给 分只要电表改装部分的电路连接有错误就给 分分四、参考解答及评分标准解设加热前 左室气体的体积为 温度为 压强为 加热后 气体的体积为 温度为 压强为 则有由题意知 加热前右室气体的体积、压强和温度也分别为 、 和若加热后变为 、 和 则有评分标准 全题 分 列出左、右两室气体的气态方程占 分 加热前和加热后 两室中气体的压强都相等各占 分求得加热后右室气体的体积占 分 求得最后结果占 分 解设磁场方向垂直纸面向里中的感应电动势 方向由 →中的感应电动势 方向由 →回路中电流方向由 → → → 大小为受到的安培力向上 受到的安培力向下 大小均为当 匀速下滑时 对 有对 有式中 为杆所受到的导线的拉力解得评分标准 全题 分 正确求得电流 值 得 分 求得作用于两杆的安培力得 分 求得两杆做匀速运动时力的平衡式得分 求得速度再得 分若设磁场方向垂直纸面向外 正确的 同样给分解法一秤的结构如图所示 秤钩 到提钮的距离为 零刻度 即定盘星 到提钮的距离为 满刻度 到提钮的距离为 秤杆和秤钩所受的重力为 秤水平时 对提钮的力臂为 设秤砣的质量为 杆秤的最大秤量为当空秤平衡时 有①当满秤量平衡时 有②解①、②两式得从秤杆上读出最大秤量 用直尺测出 和从 点到 点的距离 代入上式即可求得评分标准 全题 分 ①、②两式都正确给 分 只有一式正确给 分 求得③式再给 分 说出用直尺测量两个量给 分 缺少其中任何一个量都不给这 分 说分别测量、 、 的也给这 分 但缺少其中任何一个量都不给这 分把定盘星放在提钮的另一侧 正确的 同样给分解法二秤的结构如图所示 设秤钩 到提钮的距离为 秤杆和秤钩所受的重力为 秤水平时 对提钮的力臂为 秤砣的质量为 设想先把秤砣挂在秤杆读数为 处 该处到提钮的距离为 平衡时有①再把秤砣挂在秤杆的读数为 处 该处到提钮的距离为 平衡时有②解①、②两式得从秤杆上读出 、 用直尺测得 和从 处到 处的距离 代入上式即得评分标准 与解法一相同解法三秤的结构如图所示 秤钩 到提钮的距离为 是零刻度 即定盘星 是满刻度 设秤砣的质量为 当把秤砣挂放在零刻度上 秤平衡时秤钩是空的 若把秤砣从 点移到 点 对提钮增加的力矩为 为 间的距离 则在秤钩上挂一质量为 的物体后 秤又平衡 这表示重物对提钮增加的力矩 与 大小相等即①从秤上读出最大秤量 用直尺量出 和 代入上式即求出评分标准 全题 分 在分析正确 说理清楚的前提下 直接得到①式给 分 说出用直尺测量 、 两个量给 分 缺少其中任何一个量 不给这 分解法一设作用于平板车的水平恒力为 物块与车板间的摩擦力为 自车启动至物块开始离开车板经历的时间为 物块开始离开车板时的速度为 车的速度为 则有③④⑤由①、②得由②、⑤式得米 秒由⑥、⑦式得物块离开车板后作平抛运动 其水平速度 设经历的时间为 所经过的水平距离为 则有⑧× 米物块离开平板车后 若车的加速度为 则于是米评分标准 全题 分正确求得物块开始离开车板时刻的物块速度 给 分 车的速度 给 分 求得作用于车的恒力 再给 分正确求得物块离开车板后平板车的加速度给 分正确分析物块离开车板后的运动 并求得有关结果 正确求出物块下落过程中车的运动距离 并由此求得 的正确数值共给 分 最后结果有错 不给这 分解法二设作用于平板车的水平恒力为 物块与车板间的摩擦力为 自车启动至物块离开车板经历的时间为 在这过程中 车的加速度为 物块的加速度为 则有①②③以及由②、③两式得× 米 秒由④、⑤两式得由①、③两式得× × × 牛顿物块开始离开车板时刻 物块和车的速度分别为 和 则物块离车板后作平抛运动 其水平速度为 所经历的时间为 走过的水平距离为 则有⑥× 米在这段时间内车的加速度米评分标准 全题 分正确求得物块离开车板前 物块和车的加速度 、 占 分 求得物块开始离开车板时刻的速度 和此时车的速度占 分 求得作用于车的恒力 占 分正确求得物块离开车板后 车的加速度 占 分正确分析物块离开车板后物块的运动并求得有关结果 正确求得物块下落过程中车的运动距离 并由此求得 的正确结果共占 分 最后结果错误 不给这 分。
1993年老高考语文试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试语文本试卷分第I卷（1至4页）和第II卷（5至10页）两部分，共五大题，30小题。
满分120分。
考试时间150分钟。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一.（24分）1.下列加线字读音全都正确的一组是（3分）A.脉脉．(mî) 间．（jīān）隙分蘖．(niè) 踉踉．(liànɡ)跄跄B.吮．(shǔn)吸咀．(jū)嚼负荷．(hè) 泰然处．(chǔ)之C.蛮横．(hènɡ) 创．(chuānɡ)伤可汗．(hán) 殒．(yǔn)身不恤D.涔涔．(cén) 牲畜．(chù) 中．(zhōnɡ)肯衣衫褴褛．(lǚ)2.下列词语没有错别字的一组是（3分）A.生杀予夺直截了当贻笑大方隐约其辞B.自惭形秽莫可名状名列前矛轻手蹑脚C.深沟险壑影影绰绰满目疮痍暴戾恣睢D.花团锦簇好高鹜远谬种流传贫瘠不堪3.在下列句子中，“走”字在用法上与其他三句不同的一句是（3分）A.两股战战，几欲先走．。
B.扁鹊望桓侯而还走．。
C.操引军从华容道步走．。
D.首尾相接，可烧而走．也。
4.依次填入下文中四个标号处的词语最恰当的一组是（2分）一个受过高等护理教育的护士，应该①有理论②有实践经验。
这实践经验，③仅仅指能打针、发药、插管、看心电图、会心脏监测④指会使用人工呼吸或体5A.公司能有今天的规模并在社会上享有这么高的知名度，是他苦心孤诣地经营的结果。
B.我本来就对那里的情况不熟悉，你却硬要派我去，这不是差强人意吗？C.这篇论文观点新颖，论据有力，材料丰富，文字精当，堪称不刊之论。
D.大熊猫憨态可掬，小猴子顽皮可爱，使得周围的大人们忍俊不禁，孩子们更是笑得前仰后合。
6.下列各句家电的部分与“学校对我们的意见．．．．．．很重视”中加点的部分结构相同的一句是（2分）A．老师对学生的表扬．．．．．．非常及时。
B.大家对他的关心．．．．．使他很受感动。
1993全国小学数学奥林匹克
1993全国小学数学奥林匹克试题部分初赛（A ）卷1 1．计算．计算2 2．设．设a 和b 是选自前100个自然数中的两个不同的数，那么b a ba -+的最大可能值是能值是 。
3 3．有三个圆心相同的半圆，它们的．有三个圆心相同的半圆，它们的直径分别为1、3、5，用线段分割成8块(如图所示图所示))。
如果每块的字母代表这一块的。
如果每块的字母代表这一块的面积，并且相同的字母表示相同的面积，面积，并且相同的字母表示相同的面积，那么，那么，A A ：B B 。
4．50枚棋子围成一个圆圈，依次编上号码1，2，3，…，5050，按顺时针方，按顺时针方向每个一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止。
如果剩下的这枚棋子的号码是3939，那么第一个被取走的棋子是，那么第一个被取走的棋子是号。
号。
5.5.张师傅以张师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，又以2元钱5个的价格将这些苹果卖出去，如果他要挣的10元钱利润，那么他必须卖出苹果那么他必须卖出苹果 个。
个。
6 6．甲、乙、丙三人进行．甲、乙、丙三人进行200米赛跑，当甲到达终点时，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。
如果甲、乙、丙赛跑时的速度都不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有达终点时，丙离终点还有 米。
米。
7 7．某个七位数．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数是么它的最后三位数是 。
8．从1，2，3，4，5中选出四个数，填入右图中选出四个数，填入右图中的方格内，使得右边的数比左边的大，下面的中的方格内，使得右边的数比左边的大，下面的数比上面的大，那么，共有数比上面的大，那么，共有 种填法。
种填法。
9 9．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是．有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140140，如果把所有这，如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是样的分数从小到大排列，那么第三个分数是 。
1993年全国高考物理试卷及答案(word)
1993年试题第Ⅰ卷(选择题共50分)一、本题共13小题;每小题2分,共26分.在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.1.两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中.设r1、r2为这两个电子的运动轨道半径,T1、T2是它们的运动周期,则(A)r1=r2,T1≠T2(B)r1≠r2,T1≠T2(C)r1=r2,T1=T2(D)r1≠r2,T1=T22.同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星.(A)它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同值(B)它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的(C)它只能在赤道的正上方,但离地心的距离可按需要选择不同值(D)它只能在赤道的正上方,且离地心的距离是一定的3.由自感系数为L的线圈和可变电容器C构成收音机的调谐电路.为使收音机能接收到f1=550千赫至f2=1650千赫范围内的所有电台的播音,则可变电容器与f1对应的电容C1和与f2对应的电容C2之比为4.若元素A的半衰期为4天,元素B的半衰期为5天,则相同质量的A 和B,经过20天后,剩下的质量之比m A:m B=(A)30:31 (B)31:30 (C)1:2 (D)2:15.图中所示是用干涉法检查某块厚玻璃板的上表面是否平的装置.所用单色光是用普通光源加滤光片产生的.检查中所观察到的干涉条纹是由下列哪两个表面反射的光线叠加而成的?(A)a的上表面和b的下表面(B)a的上表面和b的上表面(C)a的下表面和b的上表面(D)a的下表面和b的下表面6.一物体经凸透镜在屏上成一放大的实像.凸透镜主轴沿水平方向.今将凸透镜向上移动少许,则(A)屏上像的位置向上移动(B)屏上像的位置向下移动(C)屏上像的位置保持不动,但像变大(D)屏上像的位置保持不动,但像变小7.下图所示的天平可用来测定磁感应强度.天平的右臂下面挂有一个矩形线圈,宽为l,共N匝,线圈的下部悬在匀强磁场中,磁场方向垂直纸面.当线圈中通有电流I(方向如图)时,在天平左、右两边加上质量各为m1、m2的砝码,天平平衡.当电流反向(大小不变)时,右边再加上质量为m 的砝码后,天平重新平衡.由此可知(A)磁感应强度的方向垂直纸面向里,大小为(m1-m2)g/NI l(B)磁感应强度的方向垂直纸面向里,大小为mg/2NI l(C)磁感应强度的方向垂直纸面向外,大小为(m1-m2)g/NI l(D)磁感应强度的方向垂直纸面向外,大小为mg/2NI l8.一列沿x方向传播的横波,其振幅为A,波长为,某一时刻波的图象如图所示.在该时刻,某一质点的坐标为(,0),经过四分之一周期后,该质点的坐标为9.下图为万用表欧姆挡的原理示意图,其中电流表的满偏电流为300A,内阻r g=100,调零电阻最大阻值R=50k,串联的固定电阻R0=50,电池电动势=1.5V.用它测量电阻R x,能准确测量的阻值范围是(A)30k～80k(B)3k～8k(C)300～800(D)30～8010.A、B、C三物块质量分别为M、m和m0,作如图所示的联结.绳子不可伸长,且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦均可不计.若B随A一起沿水平桌面作匀速运动,则可以断定(A)物块A与桌面之间有摩擦力,大小为m0g(B)物块A与B之间有摩擦力,大小为m0g(C)桌面对A,B对A,都有摩擦力,两者方向相同,合力为m0g(D)桌面对A,B对A,都有摩擦力,两者方向相反,合力为m0g11.图中接地金属球A的半径为R,球外点电荷的电量为Q,到球心的距离为r.该点电荷的电场在球心的场强等于12.小物块位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上.从地面上看,在小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对小物块的作用力(A)垂直于接触面,做功为零(B)垂直于接触面,做功不为零(C)不垂直于接触面,做功为零(D)不垂直于接触面,做功不为零13.图中容器A、B各有一个可自由移动的轻活塞,活塞下面是水,上面是大气,大气压恒定.A、B的底部由带有阀门K的管道相连.整个装置与外界绝热.原先,A中水面比B中的高.打开阀门,使A中的水逐渐向B中流,最后达到平衡.在这个过程中,(A)大气压力对水做功,水的内能增加(B)水克服大气压力做功,水的内能减少(C)大气压力对水不做功,水的内能不变(D)大气压力对水不做功,水的内能增加二、本题共6小题:每小题4分,共24分.在每小题给出的四个选项中,至少有一项是正确的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错或不答的得0分.14.入射光照射到某金属表面上发生光电效应,若入射光的强度减弱,而频率保持不变,那么(A)从光照至金属表面上到发射出光电子之间的时间间隔将明显增加(B)逸出的光电子的最大初动能将减小(C)单位时间内从金属表面逸出的光电子数目将减少(D)有可能不发生光电效应15.分子间的相互作用力由引力f引和斥力f斥两部分组成,则(A)f斥和f引是同时存在的(B)f引总是大于f斥,其合力总表现为引力(C)分子之间的距离越小,f引越小,f斥越大(D)分子之间的距离越小,f引越大,f斥越小16.如图所示,一理想变压器的原、副线圈分别由双线圈ab和cd(匝数都为n1)、ef和gh(匝数都为n2)组成.用I1和U1表示输入电流和电压,I2和U2表示输出电流和电压.在下列四种连接法中,符合关系(A)b与c相连,以a、d为输入端;f与g相连,以e、h为输出端(B)b与c相连,以a、d为输入端;e与g相连、f与h相连作为输出端(C)a与c相连、b与d相连作为输入端;f与g相连,以e、h为输出端(D)a与c相连、b与d相连作为输入端;e与g相连、f与h相连作为输出端17.一个标有“220V 60W”的白炽灯泡,加上的电压U由零逐渐增大到220V.在此过程中,电压(U)和电流(I)的关系可用图线表示.题中给出的四个图线中,肯定不符合实际的是18.在质量为M的小车中挂有一单摆,摆球的质量为m0.小车(和单摆)以恒定的速度V沿光滑水平地面运动,与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞,碰撞的时间极短.在此碰撞过程中,下列哪个或哪些说法是可能发生的?(A)小车、木块、摆球的速度都发生变化,分别变为v1、v2、v3,满足(M+m0)V=Mv1+mv2+m0v3(B)摆球的速度不变,小车和木块的速度变v1和v2,满足MV=Mv1+mv2(C)摆球的速度不变,小车和木块的速度都变为v,满足MV=(M+m)v(D)小车和摆球的速度都变为v1,木块的速度变为v2,满足(M+m0)V=(M+m0)v1+mv219.图中A、B是一对中间开有小孔的平行金属板,两小孔的连线与金属板面相垂直,两极板的距离为l.两极板间加上低频交流电压,A板电势为零,B板电势u=U0cos t.现有一电子在t=0时穿过A板上的小孔射入电场.设初速度和重力的影响均可忽略不计.则电子在两极板间可能(A)以AB间的某一点为平衡位置来回振动(B)时而向B板运动,时而向A板运动,但最后穿出B板(C)一直向B板运动,最后穿出B板,如果小于某个值0,l小于某个值l 0(D)一直向B板运动,最后穿出B板,而不论、l为任何值第Ⅱ卷(非选择题共50分)三、本题共8小题;前6小题每题3分,后2小题每题4分,共26分.把答案填在题中的横线上.20.用电磁波照射某原子,使它从能量为E1的基态跃迁到能量为E2的激发态,该电磁波的频率等于.21.两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M、N点,M、N两点间的距离为s,如图所示.已知两绳所能经受的最大拉力均为T,则每根绳的长度不得短于.22.有一游标卡尺,主尺的最小分度是1毫米,游标上有20个小的等分刻度.用它测量一工件的长度,如图所示,图示的读数是毫米.23.一位同学用单摆做测量重力加速度的实验.他将摆挂起后,进行了如下步骤(A)测摆长l:用米尺量出摆线的长度.(B)测周期T:将摆球拉起,然后放开.在摆球某次通过最低点时,按下秒表开始计时,同时将此次通过最低点作为第一次,接着一直数到摆球第60次通过最低点时,按秒表停止计时.读出这段时间t,为实验的最后结果写入报告中去.指出上面步骤中遗漏或错误的地方,写出该步骤的字母,并加以改正.(不要求进行误差计算)24.如图所示,A、B是位于水平桌面上的两个质量相等的小木块，离墙壁的距离分别为L和l,与桌面之间的滑动摩擦系数分别为A和.今给A以某一初速度,使之从桌面的右端向左运动.假定A、B之B间,B与墙之间的碰撞时间都很短,且碰撞中总动能无损失.若要使木块A最后不从桌面上掉下来,则A的初速度最大不能超过.25.如图A所示的电路中,两二极管均可视为理想二极管,R1=R2.a端对b端的电压与时间的关系如图B的上图所示.请在图B的下图中作出a 端对c点的电压与时间的关系图线(最少画一个周期,可用铅笔作图).26.将量程为100微安的电流表改装成量程为1毫安的电流表,并用一标准电流表与改装后的电流表串联,对它进行校准(核对).改装及校准所用器材的实物图如下(其中标准电流表事先已与一固定电阻串联.以防烧表).校准时要求通过电流表的电流能从0连续调到1毫安.试按实验要求在所给的实物图上连线.27.某人透过焦距为10厘米,直径为4.0厘米的薄凸透镜观看方格纸,每个方格的边长均为0.30厘米.他使透镜的主轴与方格纸垂直,透镜与纸面相距10厘米,眼睛位于透镜主轴上离透镜5.0厘米处.问他至多能看到同一行上几个完整的方格?答: .四、本题包括4小题,共24分,解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤.只写出最后答案,不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.28.(5分)一个密闭的气缸,被活塞分成体积相等的左右两室,气缸壁与活塞是不导热的,它们之间没有摩擦.两室中气体的温度相等,如图所示.现利用右室中的电热丝对右室中的气体加热一段时间.达到平体的温度.29.(5分)两金属杆ab和cd长均为l,电阻均为R,质量分别为M和m,M>m.用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧.两金属杆都处在水平位置,如图所示.整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B.若金属杆ab正好匀速向下运动,求运动的速度.30.(6分)有一准确的杆秤.今只给你一把有刻度的直尺,要求用它测出这杆秤的秤砣的质量.试导出表示秤砣质量的公式,并说明所需测量的量.31.(8分)一平板车,质量M=100千克,停在水平路面上,车身的平板离地面的高度h=1.25米,一质量m=50千克的小物块置于车的平板上,它到车尾端的距离b=1.00米,与车板间的滑动摩擦系数=0.20,如图所示.今对平板车施一水平方向的恒力,使车向前行驶,结果物块从车板上滑落.物块刚离开车板的时刻,车向前行驶的距离s0=2.0米.求物块落地时,落地点到车尾的水平距离s.不计路面与平板车间以及轮轴之间的摩擦.取g=10米/秒2.1993年答案一、答案及评分标准:全题26分,每小题2分.答错的或不答的,都给0分.1.D2.D3.D4.C5.C6.A7.B 8.B 9.B 10.A 11.D 12.B13.D二、答案及评分标准:全题24分,每小题4分.每小题全选对的给4分,选对但不全的给2分,有选错的给0分,不答的给0分.14.C 15.A 16.A、D17.A、C、D 18.B、C 19.A、C三、答案及评分标准:全题26分,前6小题每题3分,后2小题每题4分.答案正确的,按下列答案后面括号内的分数给分;答错的,不答的,都给0分.20.(E2-E1)/h (3分)22.104.05 (3分)23.A.要用卡尺测摆球直径d,摆长l等于摆线长加d/2. (1分)如果说明用米尺量摆长时,摆长的下端从球心算起,也给这1分.C.g应测量多次,然后取g的平均值做为实验最后结果. (1分)如果说明摆长和周期的测量要进行多次,并取它们的平均值为l 和T,算出g,也给这1分.25.(3分)作图时应使图线的上半部和下半部看起来基本象是峰值不同的正弦曲线的一部分,图线的最高点、最低点及与横轴的交点位置必须正确,有任何错误都不给这3分.26.(4分)电路连接有错误,但电表改装部分的接线正确(指电阻箱与微安表并联),给1分;只要电表改装部分的电路连接有错误就给0分.27.26 (4分)四、参考解答及评分标准28.解设加热前,左室气体的体积为V0,温度为T0,压强为p0.加热后,气体的体积为V1,温度为T1,压强为p1,则有:由题意知,加热前右室气体的体积、压强和温度也分别为V0、p0和T0,若加热后变为V2、p2和T2,则有评分标准:全题5分.列出左、右两室气体的气态方程占1分;加热前和加热后,两室中气体的压强都相等各占1分;求得加热后右室气体的体积占1分;求得最后结果占1分.29.解设磁场方向垂直纸面向里,ab中的感应电动势1=Bv l,方向由a→b.cd中的感应电动势2=Bv l,方向由d→c.回路中电流方向由a→b→d→c,大小为ab受到的安培力向上,cd受到的安培力向下,大小均为f当ab匀速下滑时,对ab有T+f=Mg对cd有T=f+mg式中T为杆所受到的导线的拉力解得2f=(M-m)g评分标准:全题5分.正确求得电流i值,得2分;求得作用于两杆的安培力得1分;求得两杆做匀速运动时力的平衡式得1分;求得速度再得1分.若设磁场方向垂直纸面向外,正确的,同样给分.30.解法一:秤的结构如图所示,秤钩B到提钮的距离为d,零刻度(即定盘星)A到提钮的距离为l0,满刻度D到提钮的距离为l,秤杆和秤钩所受的重力为P,秤水平时,P对提钮的力臂为d0,设秤砣的质量为m,杆秤的最大秤量为M.当空秤平衡时,有mg l 0=Pd0①当满秤量平衡时,有Mgd=Pd0+mg l②解①、②两式得从秤杆上读出最大秤量M,用直尺测出d和从A点到D点的距离(l0+l),代入上式即可求得m.评分标准:全题6分.①、②两式都正确给3分,只有一式正确给1分;求得③式再给1分;说出用直尺测量d,(l0+l)两个量给2分,缺少其中任何一个量都不给这2分;说分别测量d、l 0、l的也给这2分,但缺少其中任何一个量都不给这2分.把定盘星放在提钮的另一侧,正确的,同样给分.解法二:秤的结构如图所示.设秤钩B到提钮的距离为d,秤杆和秤钩所受的重力为P.秤水平时,P对提钮的力臂为d0,秤砣的质量为m.设想先把秤砣挂在秤杆读数为M1处,该处到提钮的距离为l1,平衡时有:M1gd=Pd0+mgl1①再把秤砣挂在秤杆的读数为M2处,该处到提钮的距离为l2,平衡时有: M2gd=Pd0+mgl2②解①、②两式得从秤杆上读出M1、M2,用直尺测得d和从M1处到M2处的距离l2-l1,代入上式即得m.评分标准:与解法一相同.解法三:秤的结构如图所示,秤钩B到提钮的距离为d,A是零刻度(即定盘星),D 是满刻度.设秤砣的质量为m.当把秤砣挂放在零刻度上,秤平衡时秤钩是空的.若把秤砣从A点移到D点,对提钮增加的力矩为mg l,l为AD间的距离,则在秤钩上挂一质量为M的物体后,秤又平衡.这表示重物对提钮增加的力矩Mgd与mg l大小相等即Mgd=mg l①从秤上读出最大秤量M,用直尺量出d和l,代入上式即求出m.评分标准:全题6分.在分析正确,说理清楚的前提下,直接得到①式给4分;说出用直尺测量l、d两个量给2分,缺少其中任何一个量,不给这2分.31.解法一:设作用于平板车的水平恒力为F,物块与车板间的摩擦力为f,自车启动至物块开始离开车板经历的时间为t,物块开始离开车板时的速度为v,车的速度为V,则有(F-f)t=MV ③ft=mv ④f=mg ⑤由①、②得由②、⑤式得=2米/秒由⑥、⑦式得物块离开车板后作平抛运动,其水平速度v,设经历的时间为t1,所经过的水平距离为s1,则有s1=vt1⑧s1=2×0.5=1米物块离开平板车后,若车的加速度为a则于是s=s2-s1=2.6-1=1.6米评分标准:全题8分正确求得物块开始离开车板时刻的物块速度v给1分,车的速度V给2分;求得作用于车的恒力F再给1分.正确求得物块离开车板后平板车的加速度给1分.正确分析物块离开车板后的运动,并求得有关结果,正确求出物块下落过程中车的运动距离s2并由此求得s的正确数值,共给3分.最后结果有错,不给这3分.解法二:设作用于平板车的水平恒力为F,物块与车板间的摩擦力为f,自车启动至物块离开车板经历的时间为t,在这过程中,车的加速度为a1,物块的加速度为a2.则有F-f=Ma1①f=ma2②f=mg ③以及由②、③两式得a2=g=0.2×10=2米/秒2由④、⑤两式得由①、③两式得F=mg+Ma1=0.2×50×10+100×4=500牛顿物块开始离开车板时刻,物块和车的速度分别为v和V,则物块离车板后作平抛运动,其水平速度为v,所经历的时间为t1,走过的水平距离为s1,则有s1=vt1⑥s1=vt1=2×0.5=1米在这段时间内车的加速度s=s2-s1=2.6-1=1.6米评分标准:全题8分正确求得物块离开车板前,物块和车的加速度a1、a2,占2分,求得物块开始离开车板时刻的速度v和此时车的速度V占1分,求得作用于车的恒力F占1分.正确求得物块离开车板后,车的加速度a占1分.正确分析物块离开车板后物块的运动并求得有关结果,正确求得物块下落过程中车的运动距离,并由此求得s的正确结果,共占3分.最后结果错误,不给这3分.。
1993年全国统一高考数学试卷(理科)
1993年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0D．﹣3x+4y+5=04．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．焦点到准线距离为的椭圆B．焦点到准线距离为的双曲线右支C．焦点到准线距离为的椭圆D．焦点到准线距离为的双曲线右支5．（4分）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数6．（4分）的值为（）A．B．C．D．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=ΦA．B．C．D．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过 C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ）A ． a 2＞b 2B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．11．（4分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）A ． 圆B ． 椭圆C ． 双曲线的一支D ． 抛物线12．（4分）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．13．（4分）（+1）4（x ﹣1）5展开式中x 4的系数为（ ） A ． ﹣40B ． 10C ． 40D ． 4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周 A ． 2π B ． C ．D ． 16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=_________．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=_________．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．1993年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：）D．﹣3x+4y+5=0A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0借助斜率，比较简单．4．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．焦点到准线距离为的椭圆B．焦点到准线距离为的双曲线右支C．焦点到准线距离为的椭圆D．焦点到准线距离为的双曲线右支考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离，从而确定选项．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=＞1，表示双曲线，且焦点到准线距离为．故选B．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数考点：幂函数的性质．专题：数形结合．分析：做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．解答：点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（）A．B．C．D．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=Φ考点：集合的包含关系判断及应用．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N==当k=2m﹣1（为奇数）时，N===M∴M⊂N故选B点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法．A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．解答：解：原式=]==，故选A点评：在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：将参数方程化为普通方程，然后再对A、B、C、D进行判断；解答：解：∵x=|cos+sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．专题：综合题．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）D．抛物线A．圆B．椭圆C．双曲线的一支考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用两角和正玹公式展开，利用反三角函数值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）==故答案为；点评：本题考查三角函数求值，不过学生对反三角函数不是很理解，希望学生能抓住实质，加大训练量．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或}．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：压轴题．分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．解答：解法一。
1993年全国统一高考数学试卷(理科)
1993年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分） 1．（4分）函数f （x ）=sinx+cosx 的最小正周期是（ ） A ． 2π B ． C ． π D ．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x ﹣4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ） A ． 3x+4y ﹣5=0 B ． 3x+4y+5=0 C ． ﹣3x+4y ﹣5=0D ． ﹣3x+4y+5=04．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数 6．（4分）的值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（ ）A ． M =NB ． M ⊂NC ． M ⊃ND ． M ∩N=Φ 8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（ ） A ． B ． C ． D ．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．11．（4分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 双曲线的一支 D ． 抛物线 12．（4分）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．（4分）（+1）4（x ﹣1）5展开式中x 4的系数为（ ） A ． ﹣40 B ． 10 C ． 40 D ． 4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ．C ．D ．15．（4分）已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8＜a 4+a 5 C ． a 1+a 8=a 4+a 5 D ． a 1+a 8和a 4+a 5的大小关系不能由已知条件确定 16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内； 乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时（ ） A ． 乙是丙的充分而不必要条件 B ． 乙是丙的必要而不充分条件 C ． 乙是丙的充分且必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=_________．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=_________．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．1993年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）D．﹣3x+4y+5=0A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．借助斜率，比较简单．4．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离，从而确定选项．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=＞1，表示双曲线，且焦点到准线距离为．故选B ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数考点： 幂函数的性质． 专题： 数形结合． 分析：做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性． 解答：解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（）A．B．C．D．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=Φ考点：集合的包含关系判断及应用．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N==当k=2m﹣1（为奇数）时，N===M∴M⊂N故选B点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法．8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）考点： 三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项． 解答：解：原式=]==，故选A点评： 在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 计算题．分析： 将参数方程化为普通方程，然后再对A 、B 、C 、D 进行判断； 解答：解：∵x=|cos+sin|，∴x 2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ）， ∴y=x 2，是抛物线； 当x=1时，y=；故选B ．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ． C ． l g （a ﹣b ）＞0 D ．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定考点：等比数列．分析：用作差法比较即可．解答：解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0故选A点评：本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件考点：空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．专题：证明题；压轴题．分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．解答：解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选C．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用两角和正玹公式展开，利用反三角函数值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）==故答案为；点评：本题考查三角函数求值，不过学生对反三角函数不是很理解，希望学生能抓住实质，加大训练量．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或}．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：压轴题．分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．因0＜θ＜π，故有（ⅰ）当时，得或，这时都有，得，适合题意．（ⅱ）当时，得或，这时都有，得，不适合题意，舍去．综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．解法二z4=cos4θ+isin4θ．记φ=4θ，得．．==．∵，，①②③∴当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ），或（ⅱ），解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）或．点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．。
1993年全国高考历史试卷
1993年全国高考历史试卷一、选择题（每题1分，共5分）A.禹建立夏朝，标志着我国原始社会的结束B.夏朝是我国历史上第一个奴隶制国家C.夏朝的建立是在公元前2070年A.墨子B.老子C.孔子D.韩非子A.分封制B.郡县制C.行省制D.三公九卿制A.汉朝B.唐朝C.宋朝D.明朝A.郑和是明朝初年的航海家B.郑和下西洋的目的是为了寻找黄金C.郑和下西洋到达了红海沿岸和非洲东海岸二、判断题（每题1分，共5分）1.商朝的建立是在公元前1600年。
（）2.儒家学派的创始人是老子。
（）3.秦始皇统一了文字、货币、度量衡。
（）4.“光武中兴”出现在东汉时期。
（）5.唐朝的都城是长安。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.西周时期，周王实行了________制度，巩固了统治。
2.春秋战国时期，社会发生了急剧变化，许多思想家提出了解决社会问题的主张，形成了不同的________。
3.秦始皇统一六国后，采取了一系列措施加强中央集权，其中在文化方面，统一了________。
4.汉武帝时期，为加强中央集权，采纳了董仲舒的建议，实行了“罢黜百家，独尊________”政策。
5.唐太宗统治时期，政治比较清明，经济发展较快，国力逐步加强，历史上称当时的统治为“________”。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述商鞅变法的内容。
2.简述张骞通西域的意义。
3.简述三国鼎立局面形成的经过。
4.简述唐朝的民族关系。
5.简述宋代的经济发展状况。
五、应用题（每题2分，共10分）1.请结合所学知识，分析秦始皇统一六国的意义。
2.请结合所学知识，分析北魏孝文帝改革的意义。
3.请结合所学知识，分析唐朝开明的民族政策。
4.请结合所学知识，分析宋代的科技发展状况。
5.请结合所学知识，分析元朝巩固统一的措施。
六、分析题（每题5分，共10分）1.结合所学知识，分析百家争鸣局面的形成原因及其影响。
2.结合所学知识，分析我国古代经济发展状况及其原因。
1993年全国卷高考理科数学真题及答案
1993年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=04．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．焦点到准线距离为的椭圆B ．焦点到准线距离为的双曲线右支C．焦点到准线距离为的椭圆D．焦点到准线距离为的双曲线右支5．（4分）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数6．（4分）的值为（）A．B．C．D．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M ∩N=Φ8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过10．（4分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）= _________ ．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________ ．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________ 种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）= _________ ．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________ ．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________ 度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．1993年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0 D．﹣3x+4y+5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．故选B．点评：本题是直线的对称问题，一般要用垂直平分解答；本题方法较多，由于对称轴是坐标轴，所以借助斜率，比较简单．4．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（）A．焦点到准线距离为的椭圆B．焦点到准线距离为的双曲线右支C．焦点到准线距离为的椭圆D．焦点到准线距离为的双曲线右支考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离，从而确定选项．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=＞1，表示双曲线，且焦点到准线距离为．故选B．点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（）A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数考点：幂函数的性质．专题：数形结合．分析：做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性．解答：解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．故选A．点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（）A．B．C．D．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=Φ考点：集合的包含关系判断及应用．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N==当k=2m﹣1（为奇数）时，N===M∴M⊂N故选B点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法．8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项．解答：解：原式=]==，故选A点评：在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（）A．双曲线的一支，这支过点B．抛物线的一部分，这部分过C．双曲线的一支，这支过点D．抛物线的一部分，这部分过考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题．分析：将参数方程化为普通方程，然后再对A、B、C、D进行判断；解答：解：∵x=|cos +sin|，∴x2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ），∴y=x2，是抛物线；当x=1时，y=；故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）若a、b是任意实数，且a＞b，则（）A．a2＞b2B．C．l g（a﹣b）＞0 D．考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，当R=，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积，圆锥的高，下底减上底得圆锥的高为1，圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定考点：等比数列．分析：用作差法比较即可．解答：解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0故选A点评：本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件考点：空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．专题：证明题；压轴题．分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．解答：解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选C．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）= ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用两角和正玹公式展开，利用反三角函数值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）==故答案为；点评：本题考查三角函数求值，不过学生对反三角函数不是很理解，希望学生能抓住实质，加大训练量．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或} ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100 种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）= 1 ．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760 ．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30 度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：压轴题．分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．因0＜θ＜π，故有（ⅰ）当时，得或，这时都有，得，适合题意．（ⅱ）当时，得或，这时都有，得，不适合题意，舍去．综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．解法二z4=cos4θ+isin4θ．记φ=4θ，得．．==．∵，，①②③∴当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ），或（ⅱ），解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）或．点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．。
1993年全国高考数学试题
一九九三年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共18个小题;每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
把所选项前的字母填在题后括号内。
（1）若双曲线实半轴长为2，焦距为6，那么离心率是 ( C ) （A)23 （B ）26 (C ）23(D ）2 （2)函数xtg xtg y 212122+-=的最小正周期是 （ B ） （A)4π （B ）2π （C ）π （D ）π2 （3)当圆锥的侧面积和底面积的比值是2时,圆锥的轴截面顶角是 （A)450 （B)600 （C ）900 (D)1200 （ C ) (4）当21i z --=时，150100++z z 的值等于 （ D )(A ）1 （B ）-1 （C ）i （D ）-i(5）直线bx+ay=ab （a 〈0，b 〈0）的倾斜角是 （ C ) (A ）)(a b arctg - （B ）)(ba arctg - (C ）)(ab arctg --π （D ）)(ba arctg --π（6）在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB （ B ) （A)有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21，但无最小值 （C ）即无最大值也无最小值 (D ）有最大值1，但无最小值 （7）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，若965=a a ,则2313log log a a +=++103log a （ B )(A)12 （B ）10 （C ）8 (D ）5log 23+ (8）)0)(()1221()(≠-+=x x f x F x是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f （A)是奇函数 （B ）是偶函数 （ A ） (C ）可能是奇函数也可能是偶函数 (D ）不是奇函数也不是偶函数（9)曲线的参数方程为⎩⎨⎧≤≤-=+=)50(.1,2322t t y t x ，则曲线是 （ A ) （A ）线段 （B ）双曲线的一支 (C ）圆弧 (D ）射线 (10)若b a ,是任意实数，且b a >，则 （ D ) （A ）22b a > （B ）1<ab （C ）0)lg(>-b a (D ）b a )21()21(< （11）已知集合}sin |{},20,sin cos |{θ<θθ=π≤θ≤θ<θθ=tg F E ，那么F E ⋂为区间 （ A )(A ）),2(ππ (B ）)43,4(ππ （C ）)23,(ππ （D))45,43(ππ （12)一动圆与两圆：x 2+y 2=1和x 2+y 2—8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （ C ） (A ）抛物线 （B)圆 （C ）双曲线的一支 （D)椭圆 （13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． (A ）三棱锥 (B)四棱锥 （C ）五棱锥 (D)六棱锥( D ）（14）如果圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是 ( A ）（A)π3)6(l（B)π3)3(l （C)π3)4(l (D ）π3)4(41l（15)由1003)23(+x 展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 （ B )（A)50项 (B ）17项 （C ）16项 (D)15项(16）设c b a ,,都是正数，且c b a 643==,那么 ( B ） （A ）b a c 111+= （B)b a c 122+= （C ）b a c 221+= (D ）ba c 212+= （17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 （ B ） （A ）6种 (B)9种 (C ）11种 (D)23种(18）已知异面直线b a 与所成角为500,P 为空间一定点，则过点P 且与b a ,所成的角都是300的直线有且仅有 （ B ） （A)1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条二．填空题:本大题共6小题；每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上。
1993年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷)
1993年全国普通高等学校招生统一考试上海 物理试题一、（32分）单项选择题。
每小题4分，每小题只有一个正确答案前面的字母填写在题后的方括号内，选对的4分；选错或不答的，得0分；选两个或两个以上的，得0分。
填写在方括号外的字母，不作为选出的答案。
1.以下几个原子核反应中，X 代表α粒子的反应式是（ ）A.X C Be He +→+1269442B.X Pa Th +→2349123490 C.X n H H +→+103121 D.X Si P +→301430152.在图电路中已知交流电源电压u=200sin100πt 伏，电阻R=100欧，则电流表和电压表的读数分别为（ ）A ．1.41安，200伏 B. 1.41安，141伏 C. 2安，200伏 D. 2安，141伏3. 如图所示，U 形管封闭端内有一部分气体被水银封住，已知，大气压强为P 0，则被封部分气体的 P （以Hg 为单位）为（ ）A ．P 0+h 2B ．P 0－h 1C ．P 0－(h 1+h 2 )D ．P 0+h 2－h 14.下列关于物体受静摩擦力作用的叙述中，正确的是（ ）A.静摩擦力的方向一定与物体的运动方向相反B. 静摩擦力的方向不可能与物体的运动方向相同C. 静摩擦力的方向可能与物体的运动方向垂直D. 静止物体所受静摩擦力一定为零5.如图所示，两根细线挂着两个质量相同的小球A 、B ，上、下两根细线中的拉力分别是T A 、T B .现在使A 、B 带同种电荷，此时，上、下两根细线中的拉力分别是T A /、T B /，则（ ）A ．T A /=T A ，TB /> T B B ．T A /=T A ，T B /<T BC ．T A /<T A ，T B /> T BD ．T A />T A ，T B /<T BTATA B6.如图所示，半径相同的两个金属小球A 、B 带有电量相等的电荷，相隔一定距离，两球之间的相互吸引力的大小是F 。
1993年全国高考物理试卷及答案(word)
１993年试题第Ⅰ卷(选择题共50分）一、本题共13小题;每小题2分,共２６分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的.1。
两个电子以大小不同的初速度沿垂直于磁场的方向射入同一匀强磁场中。
设r1、r2为这两个电子的运动轨道半径，T1、T2是它们的运动周期,则（A)ｒ1＝r2,T1≠T2ﻩ(B)r1≠r2，Ｔ1≠T2（C）ｒ1=r２,T1＝T２（D）r1≠r2,T1＝T２2.同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星.（A)它可以在地面上任一点的正上方,且离地心的距离可按需要选择不同值(B）它可以在地面上任一点的正上方,但离地心的距离是一定的(C）它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值（D）它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的3。
由自感系数为L的线圈和可变电容器Ｃ构成收音机的调谐电路.为使收音机能接收到f１＝5５0千赫至f2=165０千赫范围内的所有电台的播音,则可变电容器与f１对应的电容C1和与f2对应的电容C2之比为４。
若元素A的半衰期为4天,元素B的半衰期为5天,则相同质量的A和B,经过20天后，剩下的质量之比m A:ｍB=(A)30:31ﻩ(Ｂ)31:30ﻩ(C)1:２ﻩ(Ｄ)2：１5。
图中所示是用干涉法检查某块厚玻璃板的上表面是否平的装置.所用单色光是用普通光源加滤光片产生的.检查中所观察到的干涉条纹是由下列哪两个表面反射的光线叠加而成的？(A)ａ的上表面和ｂ的下表面ﻩ(Ｂ)ａ的上表面和b的上表面（C)a的下表面和b的上表面(D)a的下表面和b的下表面6。
一物体经凸透镜在屏上成一放大的实像．凸透镜主轴沿水平方向。
今将凸透镜向上移动少许，则(A)屏上像的位置向上移动（B)屏上像的位置向下移动(C)屏上像的位置保持不动，但像变大(Ｄ）屏上像的位置保持不动，但像变小7。
下图所示的天平可用来测定磁感应强度.天平的右臂下面挂有一个矩形线圈，宽为l，共N匝，线圈的下部悬在匀强磁场中,磁场方向垂直纸面。
1993年全国高考试卷
选择题已知集合A = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，B = {x | x^2 - 2x - 3 = 0}，则A ∩ B = ( )A. {1, 3}B. {-1, 3}C. {1}D. {-1}复数z满足z(1 + i) = 2 - i（其中i为虚数单位），则z = ( )A. 1 + iB. 1 - iC. -1 + iD. -1 - i若函数f(x) = ax^3 + bx^2 + c的导数为f'(x) = 3x^2 + 2x，则a和b的值分别为( )A. a = 1, b = 1B. a = 3, b = 2C. a = 1, b = 0D. a = 3, b = 0下列命题中，正确的是( )A. 平行四边形的对角线相等B. 菱形的对角线互相垂直且平分C. 矩形的对角线互相垂直D. 等腰梯形的对角线互相平分若函数y = f(x)的图象过点(1, 2)，则函数y = f(x + 2)的图象必过点( )A. (1, 2)B. (2, 2)C. (3, 2)D. (-1, 2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2 + a5 = 12，则S6 = ( )A. 24B. 36C. 48D. 72填空题已知等比数列{an}的首项a1 = 1，公比q = 2，则a5 = _______。
若函数y = x^2 - 4x + 3在区间[m, m + 1]上的最小值为1，则m = _______。
已知双曲线C: x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)的离心率为2，则C的渐近线方程为_______。
已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0，则圆心C的坐标为_______。
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b = 2a，B = A + 60°，则A = _______。
函数y = sin(2x + π/6)在区间[0, π/2]上的最大值为_______。
1993年高考数学试卷
高考数学试卷一、单选题1.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（ ）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤2.函数2x y +=的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞3.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．56 5.tan 3π=（ ）A ．3B ．3C ．1D 36．定义区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -，已知函数||2x y =的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]，则区间[,]a b 的长度的最大值与最小值的差为（ ）A.1B.2C.3D.127.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB与CD所成角为（）A．30° B．60° C．90° D．120°8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（）A．13 B．24 C．3D．6二、填空题9.25(0),()8(0).x xf xx x⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。
10.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题11.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y）2的值.（3）若不等式f（2x）≧m·2x对xЄR恒成立，求实数m的取值范围。
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1993年全国律师资格考试试卷一
一.解释下列名词（每题３分，共１５分）
１．准据法２．最惠国待遇３．提单４．私营经济５．法律制裁
二.简答题（每题５分，共２５分）
１．简述法和国家的关系。
２．我国八届人大通过的宪法修正案从哪些方面确定和保障了社会主义市场经济？
３．和平共处五项原则的主要内容是什么？
４．什么是公共秩序保留，其作用是什么？并以我国法律举例说明。
５．什么是我国对外贸易管制，其基本措施有哪些？
三.案例分析（本题共６分）
１９９１年１０月，甲（公司）与乙（公司）签订了螺纹钢购销合同。
合同约定甲为乙提供螺纹纲１０００吨，履行期限为１９９２年１０月。
在价金条款上，合同暂定每吨价金２５００元。
同时约定，如果在１９９２年９月市场价格涨幅或跌幅不超过２００元，将按每吨２５００元履行。
合同还约定，在１９９２年９月双方就合同价金达成一致意见时，乙应预付定金８０万元。
乙签约后，于１９９１年１２月又分别与丙（公司）和丁（公司）签约。
乙分别提供丙、丁螺纹钢各５００吨，每吨价金３０００元，履行期限为１９９２年１０月。
合同还约定，如供货不能或中途退货均须支付３０％的违约金。
至１９９２年９月，螺纹钢市场价格已涨至每吨３４００～３５００元。
乙急速向甲汇去定金８０万元，甲收到定金当即如数退还。
时至１９９２年１１月，乙因无法履行合同被丙、丁分别追索。
乙无奈，便向陈律师讨教。
陈律师提供了下列４点意见：１．甲与乙之间的购销合同属于协议变更或解除的情况，按照《经济合同法》第２８条规定，协议变更或合同解除之前，原合同继续有效。
故乙有权要求甲按原价格继续履行合同。
２．甲如坚持解除合同，乙有权要求甲赔偿损失。
３．甲如坚持解除合同，除赔偿损失外，乙有权要求甲双倍返还定金。
４．丙、丁如坚持要求赔偿，乙可按显失公平请求撤销合同。
乙便以甲为被告诉至法院。
丙、丁也以乙为被告诉至法院。
１．设：法院受理了乙诉甲和丙、丁诉乙两案，并合并审理。
乙的诉讼代理人为陈律师，提出了上述意见。
你作为律师，被甲聘为诉讼代理人，请提出对甲最有利的答辩意见要点。
２．陈律师所说的第４点意见是否正确？为什么？
四.审查经济合同，提出修改意见（本题１４分）
某服装厂与某服务公司签订一份服装合同，其文本如下：
供货合同
卖方：某服装厂
买方：某服务公司
（１）卖方为买方生产２００件工作服，买方向卖方提供所需布料××米。
（２）卖方于１９９１年１０月自备车辆将成品送到买方，双方在到达地验收，
运费由买方负担。
（３）买方向卖方支付货款××元，货到付款。
（４）本合同自双方签字盖章之日起生效。
一式两份，双方各持一份。
卖方：某服装厂（章）买方：某服务公司生产部（章）
１９８９年１１月５日
五.案例分析（本题１８分）
我国某进出口公司Ａ（卖方）与英国某实业公司Ｂ（买方）以ＣＩＦ伦敦条件签订了一份出口一万吨大米的合同。
货物由保险公司Ｄ办理了海洋运输货物保险后按时由承运人某远洋公司Ｃ装船运输。
因在海上遭受暴风雨袭击，迟延３０天到达目的港，并因船员的过失使三分之一的大米变质。
英国Ｂ公司因此向有关部门提出索赔。
请选择回答下列问题。
１．应与承运人远洋公司Ｃ签订运输合同的是：
①公司Ａ（）②公司Ｂ（）
２．应向保险公司办理货物保险手续并支付保险费的是：
①公司Ａ（）②公司Ｂ（）③公司Ｃ（）
３．Ａ公司的交货地点在：
①目的地港（）②装运港的船上（）
４．设Ａ公司已取得合同规定的单据并及时提交给了Ｂ公司。
在货物海上运输到达目的港，Ｂ公司按规定验收货物之前，Ａ公司向Ｂ公司凭装运单据要求付款，Ｂ公司是否应付款：①应付款（）②不应付款（）
５．对货物迟延３０天到达目的港而造成的损失，Ｂ公司应向谁提出索赔：
①向Ａ公司（）②向Ｃ公司（）③向Ｄ公司（）
６．对三分之一大米变质，Ｂ公司应向谁提出索赔：
①Ａ公司（）②Ｃ公司（）③Ｄ公司（）
７．对三分之一大米变质，根据《海牙规则》，承运人Ｃ公司是否承担责任：
①承担责任（）②不承担责任（）
８．设Ｂ公司按时收到了货物，货物质量、数量等完全符合合同规定，但Ａ公司所提交的装运单据与合同规定有所不符，Ｂ公司能否据此拒付货款：
①可以（）②不可以（）
９．设Ｂ公司向Ｃ公司提出诉讼，按照《汉堡规则》的规定，诉讼时效为：
①半年（）②一年（）③二年（）
六.解答法律咨询（本题１２分）
王教授的一部专著被李某剽窃，引起诉讼，经法院调解，双方达成协议：李某在１９９２年４月底之前赔偿王教授２０００元，并在《西江日报》登报向教授赔礼道歉。
法院制作了调
解书并送达了双方当事人。
李某在１９９２年４月底前付清了赔款，但一直未登报赔礼道歉。
１９９３年４月１５日王教授向律师表示，希望通过法院迫使李某履行赔礼道歉的义务，但不知法院可以采取何种法律上的措施解决这一问题，王教授应该怎么做。
如果你是值班律师，应如何解答王教授的咨询？
七.解答法律咨询（本题１０分）
１９９２年７月１０日，村民章君浩与村民程闺民因宅基地纠纷引起争吵，章君浩首先出口骂程，然后又动手打程。
程被迫还击，打章一耳光，正打在章左耳上。
事后章左耳出现耳鸣、听力减弱，住医院治疗花去５０００多元，听力基本恢复。
章君浩向程闺民要求赔偿，遭拒绝。
１９９３年６月１０日，章找乡司法助理员，经调解，章、程二人均表示自己有过错，双方达成协议：程于１９９３年８月１０日前赔偿章３０００元。
后来程未如期交付赔偿款。
１９９３年９月章想向法院起诉，乡司法助理员说："你先骂人，出手打人，是你不对，你起诉要求赔偿是不合理的，法院不会受理。
再说，事情过去一年多了，诉讼时效已经超过了，法院怎么会受理你的起诉讼！"章向律师咨询：乡司法助理员的话是
否正确。
如果你是值班律师，请解答章君浩的咨询，并说清理由。