弹性地基上矩形贮液结构的液_固耦合振动特性

第28卷第2期 V ol.28 No.2 工 程 力 学 2011年 2 月 Feb. 2011 ENGINEERING MECHANICS186———————————————收稿日期：2009-07-09；修改日期：2010-03-19基金项目：国家自然科学基金项目(50778077)；兰州理工项目博士基金项目(SB04200802)；兰州理工大学优秀青年教师培养计划项目(Q200809)；甘肃省建设厅科技攻关项目(JK2008-28)；甘肃省教育厅科技攻关项目(0803-10)作者简介：*程选生(1972―)，男，甘肃人，教授，博士，主要从事结构工程、流-固耦合等方面的教学和科研工作(E-mail: cxs702@)； 杜永峰(1962―)，男，甘肃人，教授，博士，博导，主要从事结构工程的研究(E-mail: dooyf@).文章编号：1000-4750(2011)02-0186-07弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动特性*程选生，杜永峰(兰州理工大学土木工程学院，兰州 730050)摘 要：针对无旋、无粘和不可压缩的理想液体，根据Winkler 弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动分析模型，通过引入无量纲参数建立了矩形贮液结构的液-固耦合系统的振动方程。

为简化计算，根据梁的振型函数和频率方程，将三维问题转化为一维问题来处理，利用振型函数的正交性求解了Winkler 弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合振动频率。

最后，为便于工程应用，结合工程实际讨论了无量纲参数对矩形贮液结构液-固耦合振动频率的影响，从而为以后工程结构中矩形贮液结构的设计计算提供了理论依据。

关键词：弹性地基；矩形；贮液结构；弹性底板；液-固耦合；振动特性 中图分类号：TU357; TU311.3 文献标识码：AVIBRATION CHARACTERISTIC ANALYSIS OF RECTANGULAR LIQUID-STORAGE STRUCTURES CONSIDERING LIQUID-SOLIDCOUPLING ON ELASTIC FOUNDATION*CHENG Xuan-sheng , DU Yong-feng(School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)Abstract: In connection with the irrotational, inviscid and incompressible ideal liquid, and according to a liquid-solid coupling vibration analysis model of rectangular liquid-storage structures on a Winkler elastic foundation, the vibration equation of rectangular liquid-storage structures considering liquid-solid coupling is established by introducing dimensionless parameters. In order to simplify the calculation, the three-dimension problem is transformed into the one-dimension by the mode shape function and frequency equation of a beam. The liquid-solid coupling vibration frequency of rectangular liquid storage structures on the Winkler elastic foundation is obtained through using the orthogonality of vibration mode functions. Finally, for the convenience of engineering application, the influence of dimensionless parameters on the liquid-solid coupling vibration frequency of rectangular liquid-storage structures is discussed considering engineering practice. Thusly, the theory base about the design calculation of the rectangular liquid-storage structures is provided for corresponding engineering structures.Key words: elastic foundation; rectangle; tank; elastic soleplate; liquid-solid coupling; vibration characteristics随着城市和工业建设的发展，特别是石油和化学工业的发展，大型钢筋混凝土矩形贮液结构的建设日益增多。

这类结构在长周期地震波的作用下，液面会出现较大幅度的晃动。

现有文献已对刚性矩形贮液结构的液面晃动效应进行了广泛的研究。

诸如，王照林等[1―2]分别对失重时方形贮液容器内液工程力学 187体的自由晃动和微重情况下带有隔板的球形贮箱内液体的晃动特性进行了研究，Choun等[3]对具有水下挡块的刚性矩形贮液结构进行了晃动特性分析，Ikeda等[4]对刚性矩形贮液结构由于水的晃动所引起的非线性振动进行了分析，Warnitchai等[5]对具有阻尼装置的刚性矩形贮液结构进行了晃动特性分析，陈科等[6]针对刚性矩形贮箱进行了非线性晃动的动力学建模与分析，岳宝增等[7]研究了带有弹性隔板的圆柱形贮箱中液体的耦合晃动问题，程绪铎等[8]研究了带弹性隔板的矩形贮箱中液体的耦合晃动问题，张素侠等[9]针对矩形弹性壳液耦合系统进行了模态试验，刘习军等[10]进行了重力波分析，傅衣铭等[11]进行了弹性底板矩形贮箱流固耦合系统的自由振动分析，程选生[12]针对钢筋混凝土弹性壁板进行了液动压力计算，并针对钢筋混凝土弹性顶板和弹性底板进行了液-固耦合振动分析。

这些研究对贮液结构的液-固耦合振动分析典定了坚实的基础。

为此，本文针对Winkler弹性地基和理想液体的情况，考虑底板的弹性建立矩形贮液结构液-固耦合振动方程。

为使结论具有广泛性，引入无量纲参数建立矩形贮液结构液-固耦合系统的自由振动方程，根据梁的振型函数和频率方程得到Winkler弹性地基上矩形贮液结构的液-固耦合自振频率。

结合工程实际，讨论无量纲对矩形贮液结构液-固耦合自由振动频率的影响，从而为以后工程结构中矩形贮液结构的设计计算提供了理论依据。

1 液-固耦合振动分析模型和基本方程1.1分析模型根据现有文献[13―14]，当地基承载力的特征值不小于100kN/m2时，矩形贮液结构的底板可采用构造底板，底板的厚度不宜小于120mm，常用150mm―200mm，并在底板顶面配置不少于φ8@200的钢筋网。

可以看出，底板的刚度远远小于壁板的刚度，因此，为简单起见，视壁板为完全刚性，构造底板为弹性。

如图1所示的矩形贮液结构，OXYZ为惯性坐标系，oxyz为连体坐标系(其坐标原点根据分析问题的方便来定)，V为液体域，S f0为静止的液体表面，S f为液体的自由表面，S为液体与贮液结构壁板的接触面，dS为液体与贮液结构底板的接触面，wρ为液体的质量密度，cρ为贮液结构的质量密度，液体的深度为H。

假定贮液结构内的液体是理想(忽略粘滞力的影响)、无旋(忽略角速度的影响)和不可压缩的。

图1物理模型Fig.1 Physical model1.2 基本方程设沿x、y、z方向流场内一点的速度分量分别为u、v、w，速度势函数为(,,,)x y z tϕ。

根据速度分量和势函数间的关系：uxϕ∂=∂、vyϕ∂=∂、wzϕ∂=∂，则由连续性方程为[15]：0 w w w wwu v w u v wt x y z x y zρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂++++++=⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠考虑到不可压缩的(wρ为常量)条件，从而有：2(,,;)0x y z tϕ∇=，在V内(1) 其中，2(,,;)x y z tϕ∇=222222x y zϕϕϕ∂∂∂++∂∂∂。

液体自由表面的方程为：(,;)(,;)0fS x y t z x y tη=−=(2) 其中：(,;)x y tη为液体的表面波函数。

由流体力学理论[16]，设p为液体压力，则理想无旋有势流体的兰姆——葛罗米柯方程为：1()02wpgztϕϕϕρ∂+∇⋅∇++=∂(3)其中，x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂i j k。

如设σ为液体的表面张力系数，则由式(2)和式(3)可知，自由面的动力学条件可表示为：1()02wgtϕσκϕϕηρ∂+∇⋅∇+−=∂(4)188 工 程 力 学其中：222ηηηηηηηηηκ+++−=。

自由面的运动学条件可表示为：0t x x y y zηϕηϕηϕ∂∂∂∂∂∂++−=∂∂∂∂∂∂ (5) 考虑到常见液体的wσρ很小[17]，约为10−5，故为简单和工程实用起见，忽略表面张力σ的作用。

另外，忽略式(5)的二阶微量，由式(1)、式(4)和式(5)得：22(,,)0z x y t g z t ηϕϕ=⎛⎞∂∂+=⎜⎟∂∂⎝⎠ (6) 为便于分析，如图2所示，取oxyz 为坐标系，设贮液结构的长为b ，宽为a 。

图2 简化模型 Fig.2 Simplified model由于贮液结构的壁板为刚性，故液体在贮液结构的壁板处的边界条件为：000;0x y x ay bxyϕϕ====∂∂==∂∂ (7)液体振动的初始条件为：000 ,t t t t t x yzt ϕϕϕηη=====⎧∂∂∂===⎪∂∂∂⎪⎨∂⎪=⎪∂⎩= (8)根据Bernoulli 方程，底板的液动压力为：(,,;)wd w z H p x y z t t ϕρ=−∂=−∂ (9)则弹性底板在弹性地基上的运动控制方程为：242w z H w D w m kw t tϕρ=−′∂∂′′∇++=∂∂ (10)其中：3212(1)Eh D μ=−；h 为弹性底板的厚度；E 和μ分别为弹性底板的弹性模量和泊松比；m 为弹性底板的单位质量；w ′为从平衡位置算起的弹性底板的挠度。