北师大版(文科数学)空间向量与立体几何 名师精编单元测试
2020届北师大版(文科数学) 立体几何与空间向量 单元测试
2020届北师大版（文科数学）立体几何与空间向量单元测试1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是()A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C.2．(2018·泸州模拟)设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是()A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．α∥β，a⊂α，则a∥β答案 D解析由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面知，在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质得a∥β，故D正确．3．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是()答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.4．(2018·昆明模拟)一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正(主)视图和侧(左)视图都是由三个边长为2的正三角形组成，则该几何体的表面积为()A．13πB．12πC．11πD．23π答案 B解析由三视图可知，该几何体是一个圆台，内部挖去一个圆锥．圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，圆锥底面为圆台的上底面，顶点为圆台底面的圆心．圆台侧面积为π(1＋2)×2＝6π，下底面面积为π×22＝4π， 圆锥的侧面积为π×1×2＝2π.所以该几何体的表面积为6π＋4π＋2π＝12π.5．(2018·洛阳统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.233B.152C.476 D ．8 答案 A解析 根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是由正方体切割而成的， 记正方体为ABCD －A 1B 1C 1D 1，取A 1D 1的中点M ，取D 1C 1的中点N ， 该几何体就是正方体切去一个三棱锥D －MND 1之后剩余的部分， 故其体积为V ＝23－13×12×1×1×2＝233.6．现有编号为①，②，③的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③答案 B解析 根据题意可得三个立体几何图形如图所示：由图一可得侧面ABD ，ADC 与底面垂直，由图二可得面ACE 垂直于底面，由图三可知，无侧面与底面垂直．7．将正方体纸盒展开如图，则直线AB ，CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交成60°角D ．异面且成60°角答案 D解析 如图，直线AB ，CD 异面．因为CE ∥AB ，所以∠ECD 即为直线AB ，CD 所成的角，因为△CDE 为等边三角形，故∠ECD ＝60°.8．长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．75π D.12523π答案 B解析 设球的半径为R ，由题意可得(2R )2＝32＋42＋52＝50，∴4R 2＝50，球的表面积为S ＝4πR 2＝50π.9.如图，三棱锥A －BCD 的棱长全相等，点E 为棱AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.36B.32C.336D.12答案 A解析 方法一 取AB 中点G ，连接EG ，CG .∵E 为AD 的中点，∴EG ∥BD .∴∠GEC 为CE 与BD 所成的角．设AB ＝1， 则EG ＝12BD ＝12，CE ＝CG ＝32， ∴cos ∠GEC ＝EG 2＋EC 2－GC 22×EG ×EC＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫3222×12×32＝36. 方法二 设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫12AD →－AC →·(AD →－AB →) ＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB → ＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14.∴cos〈CE→，BD→〉＝CE→·BD→|CE→||BD→|＝1432＝36，故选A.10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.64 B.104C.22 D.32答案 A解析如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，则O(0,0,0)，B(3，0,0)，A(0，－1,0)，B1(3，0,2)，则AB→1＝(3，1,2)，则BO→＝(－3，0,0)为侧面ACC1A1的法向量，故sin θ＝|AB→1·BO→||AB→1||BO→|＝64.11.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若AMMB＝ANND，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．答案平行解析由AMMB＝ANND，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.12．如图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条．答案 6解析 如图，连接EG ，EH ，FG ，EF ，HG ， ∵EH ∥FG 且EH ＝FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′， EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ， 可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行， ∴符合条件的共有6条．13．点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成角的大小是________． 答案 π3解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形ABCD 的边长为1，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，PB →＝(1,0，－1)，AC →＝(1,1,0)，因此 cos 〈PB →，AC →〉＝1＋0×1＋0×(－1)12＋02＋(－1)2·12＋12＋02＝12， 因此PB 和AC 所成角的大小为π3.14．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ α∥β，α∥γ⇒β∥γ；②⎩⎪⎨⎪⎧ α⊥β，m ∥α⇒m ⊥β； ③⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ∥β⇒α⊥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ∥n ，n ⊂α⇒m ∥α. 其中，正确的命题是________．(填序号) 答案 ①③解析 ①中平行于同一平面的两平面平行是正确的；②中m ，β可能平行，相交或直线在平面内；③中由面面垂直的判定定理可知结论正确；④中m ，α可能平行或线在面内． 15．如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图(2)所示的五棱锥P －ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥P A ；(2)求四棱锥P －BFED 的体积．(1)证明 ∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ， ∴EF ⊥AO ，EF ⊥PO .∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA ， 又P A ⊂平面POA ， ∴BD ⊥P A .(2)解 设AO ∩BD ＝H .连接BO ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形， ∴BD ＝4，BH ＝2， HA ＝23，HO ＝PO ＝3， 在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO .∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ， BO ⊂平面BFED ， ∴OP ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P －BFED 的体积 V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.16.如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．(1)证明 如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )．∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )， AC →·BE →＝a 2－a 2＋0·λa ＝0，∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE . (2)解 显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0，取z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)， ∵二面角C －AE －D 的大小为60°， ∴|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m |||n ||m ＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]，∴λ＝22.。
北师大版高二数学空间向量与立体几何单元测试题二
高二（2）部数学《空间向量与立体几何》单元测试卷二班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一、选择题（每小题5分，共60分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与MB 1相等的向量是A .－21a +21b +c B .21a +21b +c C .21a －21b +c D .－21a －21b +c 2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A.--=23 B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ⋅等于A.41 B.41- C.43 D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A .9πB .10πC .11πD .12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A .BD ∥平面CB 1D 1 B .AC 1⊥BDC .AC 1⊥平面CB 1D 1D .异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 AB .552 CD10.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为 A.5 B.41 C.4 D.5211.已知AB =(1, 5, －2)，BC =(3, 1, z )，若AB ⊥BC ，BP=(x －1, y , －3)且BP ⊥平面ABC ，则BP=( )（A ）(407, －157, －4) （B ）(407, －157, －3) （C ）(337, －157, 4) （D ）(337, －157, －3)12．已知)32,2,2(=+b a ，)0,2,0(=-b a ，则><b a,cos 等于( )(A)36 (B) 66(C) 31 (D) 61二、填空题（每小题6，共24）13.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy . 14.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________.15.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ 的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ．俯视图正(主)视图 侧(左)视图16.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==1B 到平面P AD 的距离为 .三、解答题（共64分）17.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,．（1）试用c b a ,,表示出向量；（2）求BM 的长．18.如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG ..正视图MPDC BA俯视图侧视图正视图E D CA P 19．已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;（3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E AF C --的余弦值．PBECDFA。
北师大版(文科数学)空间向量与立体几何名师精编单元测试
1．已知α，β，γ是三个不同学的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的．如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 把α，β换成直线a ，b 时，则该命题可改写为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α，γ换成直线a ，b 时，则该命题可改写为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β，γ换成直线a ，b ，则该命题改为“a ∥α，b ⊥α⇒a ⊥b ”，显然成立．故选C. 2．“m >n >0”是“方程m 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 方程可化为x 21m ＋y 21n ＝1.若m >n >0⇒0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.3．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( ) A ．－103B ．6C ．－6 D.103答案 B 解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1－2(λD ＝/0)．∴λ＝6. 4．已知空间四面体O －ABC 中，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则MN →等于( ) A.12a ＋12b －23c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a －23b ＋12c D.23a ＋23b －12c解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12b ＋12c －23a . 5．已知抛物线y 2＝2p (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ． ＝1 B ． ＝－1 C ． ＝2 D ． ＝－2答案 B解析 抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝ －p 2，即 ＝y ＋p 2，代入y 2＝2p 得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线方程为y 2＝4 ，准线方程为 ＝－1. 6．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，AC →＝(5,1，－7)，于是BC →·AC →＝10－3－7＝0，而|BC →|＝14，|AC →|＝53，所以△ABC 是直角三角形．7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值是( ) A ．0 B.37070 C ．－37070D.7070答案 A解析 建立如图所示的空间直角坐标系D y ，则D 1(0,0,3)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)．所以BD 1→＝(－2，－2,3)，AC →＝(－2,2,0)，所以cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝0.8．设集合U ＝{( ，y )| ∈R ，y ∈R }，若A ＝{( ，y )|2 －y ＋m >0}，B ＝{( ，y )| ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( ) A ．m >－1，n <5 B ．m <－1，n <5 C ．m >－1，n >5 D ．m <－1，n >5答案 A解析 A ∩(∁U B )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋m >0，x ＋y －n >0，∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m >0，2＋3－n >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，n <5. 二、填空题9．已知a ＝(t ＋1,1，t )，b ＝(t －1，t,1)，则|a －b |的最小值为 ． 答案 2解析 |a －b |2＝22＋(1－t )2＋(t －1)2＝2(t －1)2＋4， 所以当t ＝1时，|a －b |取得最小值2.10．双曲线 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是 ．答案 m >1解析 依题意，e ＝c a ，e 2＝c 2a 2>2，得1＋m >2，所以m >1.11．在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，则平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值为 ．答案63解析 建立如图所示的空间直角坐标系A y ，则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 平面SAB 的法向量 AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0，并求得平面SCD 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，12， 则cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝63.三、解答题12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量．(1)解 如图所示，以CA ，CB ，CC 1所在直线为 轴，y 轴， 轴建立空间直角坐标系C y ，依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解 依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明 依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N (1,0,1)， ∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)， BN →＝(1，－1,1)∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0， ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M ∩C 1N ＝C 1， ∴BN →⊥平面C 1MN ，∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．13.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面P AD .证明 以C 为坐标原点，CB ，CD ，CP 所在直线为 轴，y 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系C y ， ∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角， ∴∠PBC ＝30°；∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，32，∴DP →＝(0，－1,2)，DA →＝(23，3,0)，CM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，(1)方法一 令n ＝( ，y ， )为平面P AD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴⎩⎨⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2,1)，∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →，又CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD . 方法二 ∵PD →＝(0,1，－2)，P A →＝(23，4，－2)，令CM →＝ PD →＋yP A →，则⎩⎨⎧32＝23y ，0＝x ＋4y ，32＝－2x －2y ，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝14，∴CM →＝－PD →＋14P A →，由共面向量定理知CM →与PD →，P A →共面，又∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD ，(2)取AP 的中点E ，连接BE ，则E (3，2,1)， BE →＝(－3，2,1)， ∵PB ＝AB ，∴BE ⊥P A .又∵BE →·DA →＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， ∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA ， 又P A ∩AD ＝A . ∴BE ⊥平面P AD ， 又∵BE ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AD . 四、探究与拓展14.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32 B ．2 C.10－24D.94答案 D解析 由题意可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2. 〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°. ∴|BP →|2＝⎝⎛⎭⎫12BA →－12BC →＋BD →2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD → ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 15.如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系A y ，设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M ⎝⎛⎭⎫12，1，12.BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，所以cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)证明 由AM →＝⎝⎛⎭⎫12，1，12，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 所以CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，AM ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，故CE ⊥平面AMD . 又CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE . (3)解 设平面CDE 的法向量为μ＝( ，y ， )． 则⎩⎪⎨⎪⎧μ·CE →＝0，μ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0， 令 ＝1，得μ＝(1,1,1)，又平面ACD 的法向量为v ＝(0,0,1)， ∴cos 〈μ，v 〉＝μ·v |μ||v |＝33，∵二面角A －CD －E 为锐角， ∴二面角A －CD －E 的余弦值为33.。
北师大高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何单元测试卷
北师大高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何单元测试卷(原卷版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝()A.10B.－10C.4D.－42.在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD 上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝()A.－a＋b＋cB.a＋b－cC.a－b＋cD.a＋b－c3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P 的长度的最大值为()A. B.2C.2D.34.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.2B.3C. D.45.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为()A. B.C.6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是()A. B.C. D.7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB ＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为()A. B.C.1D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基B.空间的基有且仅有一组C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有()A.2B.－2C. D.－11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是()A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为90°D.AB与CD所成的角为30°12.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是()A.3B.5C.8D.11三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为1.14.四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则－1；－1.15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝－1.16.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是－1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?(O为原点)18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.(1)求证：直线DE∥平面ABC；(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面P AD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.21.(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.22.(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.北师大高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何单元测试卷(解析版)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a＝，b＝，且a∥b，则t＝(D)A.10B.－10C.4D.－4解析：因为a＝(3，－1，2)，b＝(－6，2，t)，且a∥b，则a＝λb，即(3，－1，2)＝λ(－6，2，t)＝(－6λ，2λ，tλ)，由相等向量可知解得故选D.2.在空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，P在线段AD 上，且DP＝2PA，Q为BC的中点，则＝(A)A.－a＋b＋cB.a＋b－cC.a－b＋cD.a＋b－c解析：由DP＝2PA，则a，()＝b＋c，所以a＋b＋C.故选A.3.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P 的长度的最大值为(D)A. B.2C.2D.3解析：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P(a，b，0)，则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2)，∵B1P⊥D1E，∴＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，0≤b≤1，∴点P的轨迹是一条线段，2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可得当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P的长度的最大值为3.故选D.4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－2，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(C)A.2B.3C. D.4解析：∵a⊥c，∴a·c＝2x－2＋2＝0，得x＝0，又∵b∥c，则，得y＝－1，∴a＝(0，1，1)，b＝(1，－1，1)，∴a＋b＝(0，1，1)＋(1，－1，1)＝(1，0，2)，∴|a＋b|＝.故选C.5.正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点B1到平面AD1C的距离为(A)A. B.C.解析：以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，则＝(－2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，－2，0).设平面AD1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝1，则x＝y＝2，所以n＝(2，2，1)，所以点B1到平面AD1C的距离d＝，故选A.6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段C1D1上的动点，则直线BC1与直线AP所成角余弦值的范围是(A)A. B.C. D.解析：设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).设P(0，t，1)(0≤t≤1)，则＝(－1，t，1)，＝(－1，0，1)，所以cos＜＞＝＝.又因为0≤t≤1，所以≤cos＜＞≤1.故选A.7.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB ＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(A)A.30°B.45°C.60°D.90°解析：取AB的中点D，连接CD，以AD所在直线为x轴，以CD 所在直线为y轴，以平行于BB1的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得A(1，0，0)，A1(1，0，3)，故＝(1，0，3)－(1，0，0)＝(0，0，3)，而B1(－1，0，3)，C1(0，，3)，设平面AB1C1的一个法向量为m＝(a，b，c)，根据m·＝0，m·＝0，取c＝2，解得m＝(3，－，2)，则cos＜m，.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.8.已知四棱锥P－ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则点P到底面ABCD的距离为(D)A. B.C.1D.2解析：设n＝(x，y，z)是平面ABCD的一个法向量，则由题设即令x＝1，得即n＝，由于n·＝－6＋8－，|n|＝，＝2，所以|cos＜n，，故点P到平面ABCD的距离d＝·|cos＜n，＞|＝2＝2，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是(ABD)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一组基B.空间的基有且仅有一组C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一组基D.基{a，b，c}中基向量与基{e，f，g}基向量对应相等解析：A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基，所以A错误；B项空间基有无数组，所以B错误；C项符合空间向量基的定义，故C正确；D项中因为基不唯一，所以D错误.故选ABD. 10.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，则下列λ的值中使a，b的夹角的余弦值为的有(BC)A.2B.－2C. D.－解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝×3×.解得λ＝－2或.故选BC.11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下列结论正确的是(AB)A.AC⊥BDB.△ACD是等边三角形C.AB与平面BCD所成的角为90°D.AB与CD所成的角为30°解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，AC，则AO⊥BD，CO⊥BD.又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，A中结论正确；∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；，不妨设AB＝1，则＝()2＝＋2＋2＋2，∴1＝1＋2＋1＋2＋2＋2cos＜＞，∴cos＜，∴＜＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选AB.12.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4，5，5，则这只小球的半径可以是(AD)A.3B.5C.8D.11解析：如图，设长方体的三个面共点为O，以OE，OF，OG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心A(r，r，r)，因为小球上一点P到三个面的距离分别为4，5，5，所以设点P(4，5，5)，则＝(r，r，r)，＝(4，5，5)，由＝(4－r，5－r，5－r)，∴2＝(4－r)2＋(5－r)2＋(5－r)2＝r2，即r2－14r＋33＝0，解得r＝3或r＝11，故选AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正四面体PABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为－1.解析：由题意，设＝a，＝b，＝c，建立空间的一组基{a，b，c}，在正四面体中(a＋b)，＝c－b，所以(a＋b)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2)＝(2×2cos60°－2×2cos60°＋2×2cos60°－2×2)＝－1.14.四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则；.解析：如图，设BD的中点为G，连接CG，AG.由题可知该四面体为正四面体，所以三角形ABD，三角形BCD为正三角形，所以AG⊥BD，CG⊥BD，因为CG，AG⊂平面ACG，且CG∩AG＝G，所以BD⊥平面ACG.因为AC⊂平面ACG，所以BD⊥AC.因为点E，F分别为棱AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD＝1，所以AC⊥EF.所以2＝()2＝＋2＝4＋1＋0＝5，所以，因为，所以.15.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°，则|BD|＝.解析：分别过B，D两点作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足为E，F，如图所示，可求出，＝5－2×.沿对角线AC把矩形折成二面角D－AC－B的平面角为60°时，则2＝2＋2＋2＋2＋2＋2×2＋＋0＋0＋2××cos，∴.16.如图，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.解析：设过点B，D'作BB1，D'D1分别与AC垂直，垂足为B1，D1，设二面角B－AC－D'的大小为θ(0＜θ≤π)，则有，，，，2＝()2＝＋0＋0＋2××(－cos θ)＝9－5cosθ，又＝()·××cos∠ACD'－××cos∠ACB＝1×－3×＝1－3＝－2.所以直线AC与BD'所成角的余弦值为|cos＜＝，当θ＝0，即cosθ＝1时，直线AC与BD'所成角的余弦值最大，最大值是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b?(O为原点)解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝＝5.(2)假设存在点E，设，则＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时E点坐标为E.18.(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点.(1)求证：直线DE∥平面ABC；(2)求B1E与平面AB1F所成角的正弦值.解：(1)证明：如图，设AB的中点为G，连接DG，CG，则DG∥AA1∥EC，且DG＝AA1＝EC.四边形DGCE为平行四边形，∴DE∥GC，又DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)以点A为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(2，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，＝(2，0，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，2，－1)，设平面AB1F的一个法向量n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1).设B1E与平面AB1F所成的角为θ，∴sinθ＝.19.(12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面P AD是边长为2的等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值.解：(1)证明：取PA中点F，连接EF，BF.因为E为PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD，由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝AD，所以EF BC，四边形BCEF为平行四边形，CE∥BF.又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，)，＝(1，0，－)，＝(1，0，0)，设M(x，y，z)，则＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝(0，0，1)是底面ABCD的一个法向量，所以＝sin45°，，即(x－1)2＋y2－z2＝0.①又M在棱PC上，设＝λ，则x＝λ，y＝1，z＝λ.②由①②得(舍去)或所以M，从而设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的一个法向量，则即所以可取m＝(0，－，2).于是cos＜m，n＞＝.因此二面角M－AB－D的余弦值为.20.(12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解：(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系G－xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以＝(1，)，.故cos＜.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.21.(12分)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点.由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，＝(－2，1，1)，＝(0，2，0)，＝(2，0，0).设n＝(x，y，z)是平面MAB的一个法向量，则即可取n＝(1，0，2).又＝(2，0，0)是平面MCD的一个法向量，因此cos＜n，，sin＜n，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.22.(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点.(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)求二面角A－EB1－A1的余弦值；(3)在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：(1)证明：由题意，因为BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，∴BC2＋B，∴BC1⊥BC，∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1.又∵AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴直线C1B⊥平面ABC.(2)以B为原点，分别以和的方向为x，y和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(0，0，2)，B1(－1，，0)，E，A1，设平面AB1E的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，＝(－1，，－2)，.∵∴令y1＝，则x1＝1，∴n＝(1，，1).设平面A1B1E的一个法向量为m＝(x，y，z)，＝(0，0，－2)，，∵令y＝，则x＝1，∴m＝(1，，0)，∵|m|＝2，|n|＝，m·n＝4，∴cos＜m，n＞＝.设二面角A－EB1－A1为α，由m，n的方向知cosα＝cos＜m，n＞＝.∴二面角A－EB1－A1的余弦值为.(3)假设存在点M，设M，＝λ，λ∈[0，1]，∴(x－1，y，z)＝λ(－1，0，2)，∴M(1－λ，0，2λ)，∴，∵平面A1B1E的一个法向量为m＝(1，，0)，∴，得69λ2－38λ＋5＝0.即(3λ－1)(23λ－5)＝0，∴λ＝或λ＝，∴存在这样的点M，或.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若AB =4,AC =6,BD =6，则线段CD 的长为（ ）A ．29B ．10C ．241D ．2132．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（ ）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b3．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A 13B 213C ．2613D 2264．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，过顶点A 的三条棱所在直线两两夹角均为60︒，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线1AC 的长为（ ）A 3B ．2C 5D 65．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量,AB CD ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD 6．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．88．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为 A ．55B ．52C ．53D ．359．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为4的正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为平面ABCD 上的动点，且满足•0MP MC =，则点M 到直线AB 的最远距离为（ ）A ．25B ．35+C ．45+D ．422+10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C ．233D ．4311．已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，11114A E AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（ ）A ．14B ．34-C ．1D ．1212．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．13C ．33D ．233二、填空题13．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）14．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC 截面PQMN ； ②AC BD ⊥；③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成的角为045. 15．若非零向量,αβ满足αβαβ+=-，则α与β所成角的大小为___．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 22EF =，现有如下四个结论： ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______．17．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.18．已知在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=2,E 是侧棱BB 1的中点,则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为_____.19．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题： (1)四边形ABC 1D 1的面积为1AB BC (2)11AD A B 与的夹角为60°；(3)22111111111111()3();(4)()0AA A D A B A B AC A B A D ++=⋅-=； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)20．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，90BAD ∠=︒ ，60A AB A AD ''∠=∠=︒ ，则AC '= __________． 三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若123AA =DE 与平面BDC 1所成角的正弦值.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===，和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.23．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，60DAB ∠=，AD AB PB ==，PC PA ⊥，PC PA =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】CD CA AB BD =++，利用数量积运算性质可得2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++．根据CA AB ⊥，BD AB ⊥，可得0CA AB =，0BD AB =，由60︒二面角可得；cos120CA BD CA BD =︒，代入计算即可得出． 【详解】解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，1cos12066182CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-．∴222264621852CD =++-⨯=， ∴213CD =．故选：D ． 【点睛】本题考查了利用向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2．D解析：D 【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解， 得到答案. 【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+， 在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-， 在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-， 故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3．C解析：C【解析】 【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值 【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴， CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 1（3，1，2），A （310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-，0，12-），1AC =（3-，﹣1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．D解析：D 【分析】由()2211+BC CC ,AC AB =+根据已知条件能求出结果【详解】∵()2211+BC CC AC AB =+=222111222AB BC CC AB BC AB CC BC CC +++⋅+⋅+⋅=1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×co s60°+2×1×1×cos60°=6． ∴AC =． 故选D ． 【点睛】这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.5．D解析：D 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A 错误； 因为a b =仅表示a 与b 的模相等，与方向无关，选项B 错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB CD >这种写法，选项C 错误；∵0AB CD +=，∴AB CD =-，∴AB 与CD 共线，故AB //CD ，选项D 正确. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时， 设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键.7．A解析：A 【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2i AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB BP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅， 故集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A. 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.8．A解析：A 【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D ，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 据此可得：()110,1,0A D =，111,0,2A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：1110102y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩， 据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，而()1,1,0C ，据此有：()11,1,1AC =-，则点C 到平面11A D E 的距离为11555AC m m⋅==. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【分析】建立空间直角坐标系，求出点M 的轨迹，然后求出点M 到直线AB 的最远距离 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系则(2,0,23P ,()0,4,0,C 设(),,0M a b ，04,04a b ≤≤≤≤(2,,23MP a b ∴=--,(),4,0MC a b =--•0MP MC =,22•240MP MC a a b b ∴=-+-+=，整理得()()22125a b -+-=M ∴为底面ABCD 内以()12O ，为圆心，以5r =为半径的圆上的一个动点 则点M 到直线AB 的最远距离为41535-+=+ 故选B 【点睛】本题考查了运动点的轨迹问题，需要建立空间直角坐标系，结合题意先求出运动点的轨迹，然后再求出点到线的距离问题10．D解析：D 【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可. 【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩令1z =，得(2,2,1)n =. 又11(2,0,0)BC =-，∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||243||221n B C h n ⋅-===++，故选：D . 【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.11．B解析：B 【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-.故选：B . 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．B解析：B 【分析】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭.易知平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，计算夹角得到答案. 【详解】如图所示，建立空间之间坐标系，设正方体边长为1，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭. 根据1,n AC n AD ⊥⊥得到平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，11,1,22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故22cos 3n DE n DEα⋅==⋅，故1sin 3α=， 直线DE 与平面ACD 1所成角θ，满足1cos sin 3θα==. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.二、填空题13．①②【分析】取D的中点N连接MNEN根据四边形MNEB为平行四边形判断①②假设DE⊥C得出矛盾结论判断③【详解】取D的中点N连接MNEN 则MN为△CD的中位线∴MN∥CD且MN=CD又E为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设DE⊥1A C得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D的中点N，连接MN，EN，则MN为△1A CD的中位线，∴MN∥12CD，且MN=12CD又E为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE∥12CD，且BE=12CD∴MN∥BE，且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，又EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，∴BM∥平面1A DE，故①正确；由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；取DE的中点O，连接1A O，CO，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ， 若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ， ∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°， ∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ，而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．14．①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件若不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为是正方形所以所以平面又平面平面于所以所解析：①②④ 【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件，若P Q M N 、、、不是其所在线段中点时可判断③ 【详解】因为PQMN 是正方形，所以//PQ MN ，所以//PQ 平面ACD ，又平面ACD ⋂平面ABC 于AC ，所以//AC PQ ，所以//AC 截面PQMN ，故①正确；同理可得//BD MQ ，所以AC BD ⊥，即②正确；又//BD MQ ，PMQ 45∠=︒，所以异面直线PM 与BD 所成的角为045，故④正确；根据已知条件，无法确定AC BD 、长度之间的关系，故③错. 故答案为①②④ 【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关知识点即可求出结果，属于常考题型.15．90°【分析】对该方程两边分别平方即可得到即可【详解】则∴α与β所成角的大小为90°故答案为90°【点睛】本题考查了向量模去绝对值问题可以通过对向量模平方去掉绝对值即可解析：90° 【分析】对该方程两边分别平方，即可得到0αβ⋅=，即可． 【详解】αβαβ+=-222222ααββααββ∴+⋅+=-⋅+则0αβ⋅=∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90° 【点睛】本题考查了向量模去绝对值问题，可以通过对向量模平方，去掉绝对值，即可．16．①②③【分析】根据平面可判断①；根据可判断②；利用体积公式判断③；设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可得平面故②正确；三棱锥的体积为定值故③正确；建立解析：①②③ 【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④. 【详解】连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ， 而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确； 由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 可得//EF 平面ABCD ，故②正确；1132A BEF BEFV SAC -=⋅ 112211232=⨯=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；建立坐标系如图所示;设1102D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭,则()1,0,0A ，()1,1,0B，,,122E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,122F ⎫++⎪⎪⎝⎭，21,,122AE a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭，211,,12222BF a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ， 则cos a AE BFAE BFa θ⋅==⋅=2232222a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭ ∴当0a =时，cos θ取得最大值2，θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误；故答案为：①②③ 【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.17．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间 解析：2【解析】 【分析】设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离. 【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=， 所以22232x y z ++=2，【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.18．【分析】建立空间直角坐标系得到相关点的坐标后求出直线AE 的方向向量=(011)和平面A1ED1的法向量然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A1ED1垂直于是得所求角为【详解】以D 为原点以DADCDD 解析：90【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求出直线AE 的方向向量AE =(0,1,1)和平面A 1ED 1的法向量()0,1,1n =，然后利用向量的共线可得直线AE 与平面A 1ED 1垂直，于是得所求角为90． 【详解】以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0),E (1,1,1),A 1(1,0,2),D 1(0,0,2), 于是AE =(0,1,1),1A E =(0,1,-1),11A D =(-1,0,0)． 设平面A 1ED 1的法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A E y z n A D x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩得,0,y z x =⎧⎨=⎩令1z =，得()0,1,1n =． 所以AE ∥n ,故直线AE 与平面A 1ED 1垂直,即所成角为90°. 故答案为90° 【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．19．(1)(3)(4)【分析】结合正方体图形分别对四个命题进行判断【详解】⑴由面故所以四边形的面积为正确⑵是等比三角形又因为异面直线与所成的夹角为但是向量的夹角为故错误⑶由向量的加法可以得到则故正确⑷由解析：(1) (3) (4) 【分析】结合正方体图形，分别对四个命题进行判断 【详解】⑴由AB ⊥面11BB CC ，故1AB BC ⊥，所以四边形11ABC D 的面积为1AB BC 正确 ⑵1ACD 是等比三角形，160AD C ∠∴=︒，又因为11A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量11AD A B 与的夹角为120︒，故错误⑶由向量的加法可以得到111111AA A D A B AC ++=，()221113AC A B =，则 ()()2211111113AA A D A B A B ++=，故正确⑷111111A B A D D B -=，由11D B ⊥面11AC C ，故111D B AC ⊥，可得111)0AC D B ⋅=，故正确 【点睛】本题主要考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系以及夹角和面积，用到向量的加减法，夹角及向量的数量积，熟练掌握正方体中的线线位置关系及夹角与向量的有关知识方法是做好本题的关键。
北师大版高中数学选择性必修一 精品单元测卷 第三章 空间向量与立体几何
北师大版高中数学选择性必修一 精品单元测卷 第三章 空间向量与立体几何学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1、已知空间向量,,||1,||==a b a b 且-a b 与a 垂直,则a 与b 的夹角为( ) A.60°B.30°C.135°D.45°2、已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -,其上底面1111A B C D 的中心为1O ,则1AO AC ⋅的值为( ) A.1- B.0 C.1D.23、已知空间向量,||2,||3,||4++====0a b c a b c ,则cos ,〈〉=a b ( ) A.12 B.13C.12-D.14 4、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,对角线1AC 和1BD 相交于点 O ,则( )A.2112AB A C a ⋅=B.212AB AC a ⋅=C.212AB AO a ⋅=D.21BC DA a ⋅=5、已知点(1,2,1)A ,(1,3,4)B -,(1,1,1)D ,若2AP PB =,则||PD =( )A.13B.236、在四面体P ABC -中,PA ,PB ,PC 两两相互垂直,M 是平面ABC 内一点,且M 到平面PBC 、平面PAC 、平面PAB 的距离分别是2,3,6,则M 到顶点P 的距离是( ) A.7B.8C.9D.107、在平面直角坐标系中,(2,3)A -,(3,2)B -,沿x 轴把平面直角坐标系折成120︒的二面角,则AB 的长为( )B.211C. D.8、若已知两个向量(1,2,3)AB =，(3,2,1)AC =，则平面ABC 的一个法向量为( ) A.(1,2,1)--B.(1,2,1)C.(1,2,1)-D.(1,2,1)-9、已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)y =n ，若AB α⊥，则( ) A.6x =，2y =B.2x =，6y =C.3420x y ++=D.4320x y ++=10、已知空间三点坐标分别为(1,1,1)A ，(0,3,0)B ，(2,1,4)C --，点(3,,3)P x -在平面ABC 内，则实数x 的值为( ) A.1B.-2C.0D.-1二、多项选择题11、下列说法中正确的是( )A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直D.如果向量,a b 与平面α共面,且向量n 满足,⊥⊥n a n b ,那么n 就是平面α的一个法向量 12、下列命题错误的是( )A. ||||||-<+a b a b 是向量a,b 不共线的充要条件B.在空间四边形ABCD 中，0AB CD BC AD CA BD ⋅+⋅+⋅=C.在棱长为1的正四面体A BCD -中，12AB BC ⋅=D.设A ,B ,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若1233OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ,C 四点共面三、填空题13、已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,且有(2,1,4)AB =--,(4,2,0)AD =,(1,2,1)AP =--.给出结论:①AP AB ⊥;②AP AD ⊥;③AP 是平面ABCD 的法向量;④AP BD .其中正确的是__________.14、在正四面体OABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =______________.(用,,a b c 表示)15、如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E 是BD 上一点，3BE ED =,以{},,AB AC AD 为基底，则GE =___________.16、已知空间向量,,a b c ,化简1212(23)53(2)2323⎛⎫+-+-+--+= ⎪⎝⎭a b c a b c a b c ____________.四、解答题17、如图,在三棱柱111ABC A B C -中,,且侧棱1AA ⊥底面ABC .试利用空间向量的方法解决下列问题：(1)设侧棱长为1,求证：11AB BC ⊥； (2)设1AB 与1BC 的夹角为π3,求侧棱长. 18、如图,在三棱锥A BCD -中,底面边长与侧棱长均为,,a M N 分别是棱,AB CD 上的点,且12,2MB AM CN ND ==,求MN 的长.参考答案1、答案：D 解析：-a b 与 a 垂直,()0∴-⋅=a b a ,2||||||cos ,∴⋅-⋅=-〈〉a a a b a a b a b11cos ,0=-〈〉=a b ,cos ,∴〈〉a b .0,180,,45〈〉≤∴︒〈〉=≤︒︒a b a b .2、答案：C解析：()111111111111(),22AO AA AO AA A B A D AA AB AD AC AB AD =+=++=++=+,则()2211||||12AO AC AB AD ⋅=+=,故选C. 3、答案：D 解析：2222,,()||||2||++=∴+=-∴+=++⋅=0a b c a b c a b a b a b c ,31,cos ,2||||4⋅∴⋅=∴〈〉==a b a b a b a b .4、答案：C解析：()111122AB AO AB AC AB AB AD AA ⋅=⋅=⋅++=()2221111||||222AB AB AD AB AA AB a +⋅+⋅==.5、答案：C解析：设(,,)P x y z ，则(1,2,1)AP x y z =---，(1,3,4)PB x y z =----.由2AP PB =知13x =-，83y =,3z =，即18,,333P ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，所以45,,233PD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以4||3PD ⎛= . 6、答案：A解析：以P 为坐标原点，PA ,PB ,PC 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（图略）.由已知，可得(2,3,6)M ，所以2||27MP ==，故选A. 7、答案：B解析：过A ,B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A ', B '，则3AA '=，2BB '=，5A B ''=.又AB AA A B B B ''''=++，所以22221||352232442AB =+++⨯⨯⨯=，即||211AB =. 8、答案：A解析：设平面ABC 的法向量(,,)x y z =n ，由AB ⊥n ，AC ⊥n ，得230,320,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩所以,2,z x y x =⎧⎨=-⎩令1x =-，解得2,1,y z =⎧⎨=-⎩所以(1,2,1)=--n ，故选A. 9、答案：A解析：因为AB α⊥，所以//AB n ，由2413xy ==，得6x =，2y =，34228x y ++=，43232x y ++=.故选A.10、答案：A解析：(1,2,1)BA =-，(2,4,4)BC =--，(3,3,3)BP x =--，可设(,)BP yBA zBC y z =+∈R ，则23,1,243,1,43 1.y z z y z x y y z x -=-=⎧⎧⎪⎪--=-⇒=-⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩故选A. 11、答案：ABC解析：选项A,B,C 的命题显然正确.对于D 选项,只有当,a b 不共线时,才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 12、答案：ACD解析：当||||||-<+a b a b 时，向量,a b 可能共线，例如共线向量,a b 的模分别是2,3，此时||||||-<+a b a b 也成立，故A 中命题错误;在空间四边形ABCD 中,()AB CD BC AD CA BD AC CB CD CB AD AC BD⋅+⋅+⋅=+⋅-⋅-⋅()()0AC CD BD CB CD AD AC CB CB CA =⋅-+⋅-=⋅+⋅=,故B 中命题正确;在棱长为1的正四面体A BCD -中,111cos1202AB BC ⋅=⨯⨯=-, 故C 中命题错误;由共面向量定理可知，若P ,A ,B ,C 四点共面，则需满足OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=，因为1212133++=≠，所以P ,A ,B ,C 四点不共面，故D 中命题错误.故选ACD.13、答案：①②③解析：由2240AP AB ⋅=--+=知AP AB ⊥，故①正确； 由4400AP AD ⋅=-++=知AP AD ⊥，故②正确；由①②知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确，④不正确. 14、答案：111244a b c ++ 解析：如图，1111111()()2222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⨯+=++.15、答案：1131234AB AC AD --+ 解析：连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则32321()()43432GE AE AG AB BD AM AB AD AB AB AC =-=+-=+--⨯+1131234AB AC AD =--+16、答案：597626+-a b c解析：根据空间向量的数乘运算法则可知,原式131051059736322323626=+-+-+-+-=+-a b c a b c a b c a b c . 17、答案：(1)1111,AB AB BB BC BB BC =+=+. 1BB ⊥平面11,0,0ABC BB AB BB BC ∴⋅=⋅=.又ABC 为正三角形, π2π,π,π33AB BC BA BC ∴〈〉=-〈〉=-=. ()()1111AB BC AB BB BB BC ⋅=+⋅+ 2111AB BB AB BC BB BB BC =⋅+⋅++⋅ 21||||cos ,AB BC AB BC BB =⋅⋅+11=-+0=, 11AB BC ∴⊥.(2)结合(1),知221111||||cos ,1AB BC AB BC AB BC BB BB ⋅=⋅⋅〈〉+=-. 又()2211112AB AB BB BB BC =+=+=,211111211111cos ,22AB BC BB AB BC AB BC BB ⋅-∴===+,12BB ∴=,即侧棱长为2.解析： 18、答案：MN MB BC CN =++21()()33AB AC AB AD AC =+-+- 112333AB AD AC =-++,22112333MN AB AD AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭222124414999999AB AD AB AB AC AC AD AD AC =-⋅-⋅+⋅++ 222222112214999999a a a a a a =--+++ 259a =,5||MN ∴=,即MN =. 解析：。
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(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：a ＋2y －1＝0与直线l 2： ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( ) A ．“若a >b ，则a －1≤b －1” B ．“若a >b ，则a －1<b －1” C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D ．“若a <b ，则a －1<b －1” 答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．设 <3， ≠0，则二次曲线x 23－k －y 2k ＝1与x 25＋y 22＝1必有( )A ．不同学的顶点B ．不同学的准线C ．相同学的焦点D ．相同学的离心率 答案 C解析 当0< <3时，0<3－ <3，∴x 23－k －y 2k ＝1表示焦点在 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.∴两曲线有相同学焦点； 当 <0时，－ >0且3－ >－ ，∴x 23－k ＋y 2－k ＝1表示焦点在 轴上的椭圆． a 2＝3－ ，b 2＝－ .∴a 2－b 2＝3＝c 2与已知椭圆有相同学焦点． 4．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A ．4B ．22C ．8D ．4 2 答案 C解析 依题意知，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8.5．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 答案 D解析 由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6．若命题“∃ ∈R ，使 2＋(a －1) ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3 D ．－1≤a ≤1 答案 B解析 根据题意可得∀ ∈R ，都有 2＋(a －1) ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7．已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263C. 3 D ．2 答案 A解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±2a，若∠AOB ＝π3，则θ＝π6，tan θ＝2a ＝33，∴a ＝6> 2.又∵c ＝6＋2＝22， ∴e ＝c a ＝226＝233.8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12B ．y 2＝－12C ．y 2＝6D ．y 2＝－6答案 A解析 由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)， 故p2＝3，∴抛物线方程为y 2＝12 . 9．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ： 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．( ＋2)2＋2y 2＝4B ．( ＋2)2＋2y 2＝4(－1< ≤0)C ． 2＋2(y ＋2)2＝4D ． 2＋2(y ＋2)2＝4(－1< ≤0) 答案 B解析 设A ( 1，y 1)，B ( 2，y 2)，Q ( ，y )，则 1＋ 2＝2 ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， ⇒ 22－ 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒ AB ＝－x 2y ⇒ PQ ＝y x ＋4＝－x2y ⇒( ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为( ＋2)2＋2y 2＝4(－1< ≤0)．10．已知命题p ：“若a >b >0，则12log a <12log b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有l 12log a <12log b ，则必有l 12log a <l 12log b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当12log a <12log b ＋1时，得12log a <12log 2b ，得a >b2>0，不一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M ( 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥ 轴于点N ( 1,0)， ∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin60°＝3a ， 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos60°＝2a .将点M (2a ，3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，故选D. 12．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33C.23D.13答案 A解析 设AB ＝1，则AA 1＝2，分别以D 1A 1―――→，D 1C 1―――→，D 1D →的方向为 轴，y 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则D (0,0,2)，C 1(0,1,0)，B (1,1,2)，C (0,1,2)，DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1，－2)，DC →＝(0,1,0)， 设n ＝( ，y ， )为平面BDC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －2z ＝0，取n ＝(－2,2,1)，设CD 与平面BDC 1所成角为θ，则sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝ . 答案 －2解析 因为P 与不共线三点A ，B ，C 共面，所以2＋1＋λ＝1，所以λ＝－2.14．已知命题p ：一元一次不等式a ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ，命题q ：关于 的不等式( －a )( －b )<0的解集为{ |a < <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是 ． 答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．15．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为 ．答案 120°解析 在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7. 因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16．已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为 ． 答案63解析 建立空间直角坐标系D y 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量． 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AB →，BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线 ＋y －m ＝0与圆( －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“m 2－ ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，綈p 为真，求m 的取值范围． 解 对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程m 2－ ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f ( )＝m 2－ ＋m －4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4. ∵綈p 为真，∴p 假． 又∵p ∨q 为真，∴q 为真． 由数轴可得2＋1≤m <4. 故m 的取值范围是[2＋1,4)．18．(12分)已知直线y ＝a ＋1与双曲线3 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2) 2－2a －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A ( 1，y 1)，B ( 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴ 1 2＋y 1y 2＝0， 即 1 2＋(a 1＋1)(a 2＋1)＝0， 即(a 2＋1) 1 2＋a ( 1＋ 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，符合题意， 故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆与双曲线2 2－2y 2＝1有公共焦点， 且过(2，0)，求： (1)椭圆的标准方程；(2)椭圆上斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 解 (1)依题意得，将双曲线方程标准化为 x 212－y 212＝1， 则c ＝1.因为椭圆与双曲线有公共焦点， 所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，因为椭圆过(2，0)，所以2a 2＋0a 2－1＝1，即a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线方程为y ＝2 ＋b ，弦的中点坐标为(x ，y )，直线与椭圆交点为( 1，y 1)，( 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，x 22＋y 2＝1，得9 2＋8b ＋2b 2－2＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8b 9，y 1＋y 2＝2b9，即⎩⎨⎧x ＝－4b 9，y ＝b9，所以y ＝－14x .令Δ＝0，则64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3， 所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2 ±3， 即当x ＝±43时，斜率为2的直线与椭圆相切．所以平行弦的中点轨迹方程为 y ＝－14 ⎝⎛⎭⎫－43≤x ≤43. 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为 轴，y 轴， 轴，建立空间直角坐标系O y ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝( ，y ， )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得 ＝0,4y ＝3 ，令 ＝4，则n ＝(0,3,4)， 所以平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)． 由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又FG ⊄平面BOE ，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(1)证明 因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A y ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4，0,4), 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝( ，y ， )， 又A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0，令 ＝3，则 ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3). 同学理可得，平面BB 1C 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－2，且右焦点到直线 ＝a 2c 的距离等于短半轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于 轴对称． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OM →·ON →的取值范围；(3)证明：直线TN 恒过某定点． (1)解 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－2，a2c －c ＝b ，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)解 由题意知直线MN 的斜率存在， 设直线MN 的方程为y ＝ ( －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 22＝1，得(2 2＋1) 2－16 2 ＋32 2－4＝0. Δ＝(－16 2)2－4(2 2＋1)(32 2－4)＝16－96 2>0， 解得0≤ 2<16.设点M ( 1，y 1)，N ( 2，y 2)，则 1＋ 2＝16k 22k 2＋1，1 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1y 2＝ 2( 1－4)( 2－4)＝12k 22k 2＋1，从而OM →·ON →＝ 1 2＋y 1y 2＝44k 2－42k 2＋1＝22－262k 2＋1.因为0≤ 2<16，所以OM →·ON →∈⎣⎡⎭⎫－4，52. (3)证明 由(2)知T ( 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1( － 2)．令y ＝0，得 ＝ 2－y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1.将y 1＝ ( 1－4)，y 2＝ ( 2－4)代入， 整理得 ＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8.( )由(2)知 1＋ 2＝16k 22k 2＋1， 1 2＝32k 2－42k 2＋1，……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………代入( )式整理，得＝1.所以直线TN恒过定点(1,0)．11。