2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)

2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．124．（5分）将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6的一个伸缩变换为（）A．B．C．D．5．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n8．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤89．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8在x=﹣4时的值，V2的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．3410．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知点P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把89化成二进制数为．14．（5分）在随机数模拟试验中，若x=3*rand（），y=2*rand（），（rand （）表示生成0到1之间的随机数），共做了m次试验，其中有n次满足+≤1，则椭圆+=1的面积可估计为．15．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，420]的人做问卷A，编号落入区间[421，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．16．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则k的值．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若一枚骰子掷两次所得点数分别是a，b，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．18．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．19．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋的面积x（单位：m2）的数据：（1）求线性回归方程=x；（2）并据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（精确到0.1万元）．=，=﹣．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．21．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格），众数和中位数；（保留整数）（3）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．22．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．2017-2018学年黑龙江省大庆铁人中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分．）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．4．（5分）将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6的一个伸缩变换为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设这个伸缩变化为，由伸缩变化公式分析可得m、n的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设这个伸缩变化为，若将直线x+y=1变换为直线2x+3y=6，即x+y=1，则有m=3，n=2；即，故选：A．【点评】本题平面直角坐标系下的伸缩变化，关键是掌握伸缩变化的公式．5．（5分）k＞9是方程表示双曲线的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【分析】k＞9⇒方程表示双曲线；方程⇒k＞9或k＜4．【解答】解：∵k＞9，∴9﹣k＜0，k﹣4＞0，∴方程表示双曲线，∵方程表示双曲线，∴（9﹣k）（k﹣4）＜0，解得k＞9或k＜4，∴k＞9是方程表示双曲线的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．6．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．【点评】本题考查两个变量的线性相关，本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于线性相关的刻画．7．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n ∉N*，f（n）＞n【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式：∃n∈N*，f（n）＞n．故选：C．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．8．（5分）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，结合输出的S是126，即可得到退出循环的条件．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+22+…+2n的值，由于S=2+22+…+26=126，故①中应填n≤6．故选：B．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8在x=﹣4时的值，V2的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于函数f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8=（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8，当x=﹣4时，分别算出v0=3，v1=﹣4×3+5=﹣7，v2=34，即可得出．【解答】解：由于函数f（x）=3x4+5x3+6x2+79x﹣8=（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8，当x=﹣4时，分别算出v0=3，v1=﹣4×3+5=﹣7，v2═﹣4×（﹣7）+6=34，故选：D【点评】本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论．【解答】解：由茎叶图知，甲的平均数是=82，乙的平均数是=87∴乙的平均数大于甲的平均数，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，故选D．【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心．11．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O 为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故应选C．【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的相交问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）已知点P是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【分析】在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．【解答】解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，∴ON∥PF1，又ON的斜率为，∴tan∠PF1F2=，在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，∴bt﹣at=2a，在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，又c2=a2+b2，则t=2a，即b=2a，∴双曲线的离心率是==，故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于基础题．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）把89化成二进制数为1011001（2）．【分析】利用“除2取余法”即可得出．【解答】解：利用“除2取余法”可得：∴89（10）=1011001（2）．故答案为：1011001（2）．【点评】本题考查了“除2取余法”把“十进制”数化为“2进制”数，属于基础题．14．（5分）在随机数模拟试验中，若x=3*rand（），y=2*rand（），（rand （）表示生成0到1之间的随机数），共做了m次试验，其中有n次满足+≤1，则椭圆+=1的面积可估计为．【分析】先根据题意：满足条件+≤1的点（x，y）的概率是，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：满足条件+≤1的点（x，y）的概率是，设阴影部分的面积为S，则有=，∴S=．故答案为：．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想是解题的关键．15．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，420]的人做问卷A，编号落入区间[421，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为11．【分析】根据系统抽样的定义确定抽样间隔，根据第一组抽到的号码，求出计算n的值．【解答】解：根据系统抽样的定义确定抽样间隔为960÷32=30，第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，则抽到号码数为a n=9+30（n﹣1）=30n﹣21，由421≤30n﹣21≤750，解得14≤n≤25，∴n的取值为11，∴编号落入区间[421，450]内的人数为11．故答案为：11．【点评】本题主要考查系统抽样的定义及应用问题，是基础题．16．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点，若，则k的值±．【分析】设A（x0，y0），由抛物线定义得|AF|=，根据斜率公式由两点间距离公式把表示出来并进行适当变形，即可求得答案．【解答】解：设A（x0，y0），则M（﹣，0），由抛物线定义得，|AF|=，因为，所以=，两边平方并化简得，即=，所以k==，故答案为：．【点评】本题考查直线斜率公式、两点间距离公式抛物线定义等基础知识，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0（1）若一枚骰子掷两次所得点数分别是a，b，求方程有两正根的概率；（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．【分析】（1）由题意知本题是古典概型，计算基本事件（a，b）的总数，和“方程有两个正根”的事件数，计算所求的概率值；（2）由题意知本题是几何概型，计算试验的全部结果构成区域，和满足条件的事件组成区域，计算面积比即可．【解答】解：（1）由题意知，本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件；依题意知，基本事件（a，b）的总数共有36个；一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，等价于，即；….3分设“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1），（6，2），（6，3），（5，3）共4个，因此，所求的概率为P（A）==；….5分（2）由题意知本题是几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16；满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，其面积为S（B）=×π×42=4π，…8分因此，所求的概率为P（B）==．…10分【点评】本题考查了古典概型的概率与几何概型的概率计算问题，是综合题．18．（12分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【分析】（Ⅰ）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；由直线l过定点P，倾斜角为，写出直线l的参数方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，由根与系数的关系以及t的几何意义求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的互化以及应用问题，解题时应明确参数方程中参数的几何意义，并能灵活应用，是基础题．19．（12分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y（单位：万元）和房屋的面积x（单位：m2）的数据：（1）求线性回归方程=x；（2）并据（1）的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格（精确到0.1万元）．=，=﹣．【分析】（1）求出，，根据回归直线过样本中心点，求出回归系数a、b即可写出回归方程；（2）根据上一问求出的线性回归方程，代入x=150计算函数的值即可．【解答】解：（1）=x i=109，=23.2，（x i﹣）2=1570，（x i﹣）（y i﹣）=308，则=≈0.1962，=﹣=23.2﹣0.1962×109=1.8142．故所求回时直线方程为=0.1962x+1.8142．（2）由（1）得：当x=150时，销售价格的估计值为=0.196×150+1.8142=31.2442≈31.2（万元）．答：当房屋面积为150 m2时的销售价格估计为31.2（万元）．【点评】本题考查了求回归直线的方程的应用问题，关键是求回归直线方程的系数，是综合性题目．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【分析】（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BED与平面SBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【解答】（1）证明：∵SD⊥底面ABCD，SD⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD…（2分）∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，又DE⊂平面SAD，∴DE⊥AB，…（4分）∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA=A，DE⊥AB，DE⊥SA，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）（2）解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz，不妨设AD=2．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，S（0，0，2），E（1，0，1），∴，，，…（8分）设是平面BED的法向量，则，即，令x 1=﹣1，则，∴是平面BED的一个法向量．设是平面SBC的法向量，则，即，解得x 2=0，令，则z2=1，∴是平面SBC的一个法向量．…（10分）∵，∴平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．21．（12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格），众数和中位数；（保留整数）（3）从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率（成绩在同一组的为同一分数段）．【分析】（1）由各组的频率和等于1，能求出第四组的频率，并能作出频率分布直方图．（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为0.75，由此能出抽样学生成绩的及格率，由频率分布直方图能求出众数．（3）由频率分布直方图得：[70，80），[80，90），[90，100]的人数是18，15，3．从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，能求出他们在同一分数段的概率．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3（3分）直方图如下图所示…．（3分）（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75，所以，抽样学生成绩的及格率是75%，…（6分）众数为：=75．…（8分）（3）由频率分布直方图得：[70，80），[80，90），[90，100]的人数是18，15，3．所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，他们在同一分数段的概率：=．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．22．（12分）已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=﹣，求点P的坐标；（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．【分析】（1）求得椭圆的a，b，c，可得左右焦点，设P（x，y）（x＞0，y＞0），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得P的坐标；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由∠AOB为锐角，即为，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求k的范围．【解答】解：（1）因为椭圆方程为，知a=2，b=1，，可得，，设P（x，y）（x＞0，y＞0），则，又，联立，解得，即为；（2）显然x=0不满足题意，可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，由△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．，．又∠AOB为锐角，即为，即x1x2+y1y2＞0，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，又，可得k2＜4．又，即为，解得．【点评】本题考查椭圆方程的运用，向量的数量积的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及角为锐角的条件：数量积大于0，考查解方程和解不等式的运算能力，属于中档题．。