2.2函数极限
函数的极限
对于一个函数，当自变量发生变化时，函数值 一般也会发生变化。极限反映的就是函数值在自 变量的某一变化过程中的变化趋势问题。
数列｛xn｝可以看作是定义在正整数集上的函数， 它的极限是一种特殊的函数的极限。下面讨论一般的 定义在实数集上的连续自变量的函数y=f(x)的极限概 念和运算法则。
3
函数极限问题是研究当自变量 x 趋向于 x0
线y=- 2 为渐近线．
lim arctan x 2
x
lim arctan x 2
x
lim arctan x lim arctan x limarctan x不存在.
x
x
x
lim arc cot x lim arc cot x 0
x
x
limarc cot x不存在.
x
内容小结
比较极限的定义，找出共同特征：
x0
x0
x0
x0
观察函数 y 1 1 (x 0) 当 x 时的变化趋势. x
1 y1 x
y
2
1
10
8
6
4
2
x
2
4
6
8
1
2
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面的观察:
当 x 无限增大时, f (x) 1 1 无限接近于 1. x
第二章 极限与连续
2.2 函数的极限
教学目标： 掌握函数极限的相关定义，能够利用
定义求一些简单的极限
1
芝诺悖论“阿基里斯永远追不上乌龟”。
阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,假 设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，现在他前面 100米处有一只乌龟，阿基里斯和乌龟同向而行,当 阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,乌龟已经往前爬了 10米,当阿基里斯再追10米时,乌龟又往前爬了1米.. 这样，每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟 都要往前面爬一点距离,所以阿基里斯永远也追不上 乌龟。
函数极限连续知识点总结
函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。
对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。
1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。
上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。
通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。
这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。
1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是高等数学中的重要部分，也是数学分析的基础。
函数极限的求解需要运用一些方法和技巧，通过适当的方案来解除一些复杂问题。
本文将详细介绍一些常用的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解。
一、函数极限的概念及性质1.1 函数极限的定义函数极限的定义是指在自变量趋于某个值的时候，因变量的取值也趋于某个值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数极限具有一些重要的性质，包括：唯一性、有界性、保号性和四则运算法则等。
具体来说，函数在某点处的极限是唯一的，即函数在一点的极限只有一个值；如果函数在某点处的极限存在，则函数在这一点是有界的；如果函数在某点处的极限为正值（或负值），那么函数在该点的邻域内是恒大于零（或恒小于零）的；以及函数的极限具有四则运算法则，即两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数极限的和、差、积、商的极限。
二、求函数极限的方法2.1 代数法代数法是求函数极限的一种基本方法，通常用于求解简单的极限问题。
代数法的核心思想是利用基本代数运算性质来对原函数进行适当的变形，从而得到函数极限的解。
对于极限lim(x→a) (f(x) + g(x))，可以利用极限的唯一性和四则运算法则，将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)的形式，然后再分别求出f(x)和g(x)在x趋于a时的极限值，最终求得原函数的极限。
2.2 几何法几何法是一种直观的方法，通常用于求解具有几何意义的极限问题。
几何法的核心思想是通过几何图形的分析和推理，来推导出函数极限的解。
对于极限lim(x→a) f(x)，可以将函数f(x)的图像画出来，然后通过图像的趋近性来判断极限的存在性和极限值。
高等数学系列经典学习资料2.2函数的极限2
x
lim 无穷小：若 x→ x f ( x ) = 0
0
特点: (1+ “ f(x)” )的“ f(x) 的倒数”次方， 则其极限为e.
华东师范大学软件学院xlq
15
计算此类极限问题中常使用指数公式
(i)
a xy = a
( )
x y
= a kx
( )
y k
(ii)
a x = a x + k − k = a x −k ⋅ a k
1 1 = 1 ⋅ ⋅1 = 2 2
华东师范大学软件学院xlq
6
例.
1 求 lim x sin . x x →∞
解:
1 sin 1 x =1 lim x sin = lim x x →∞ 1 x →∞ x
1 lim x sin = 1 x→∞ x
比较:
1 lim x sin = 0 x→0 x
和
华东师范大学软件学院xlq
x ⋅k ⎞k
=e
k
17
华东师范大学软件学院xlq
例. 解:
求 lim (1 −
x→0
k x) x . k x) x
lim (1 −
x→0
=
k lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 − ⋅( − k ) lim (1 + (− x)) x x →0
=
1 −k ⎡ − ⎤ lim ⎢(1 + (− x)) x ⎥ x →0
华东师范大学软件学院xlq
3
sin 3 x 例. 求 lim x →0 x
解:
sin 3 x sin 3 x lim = lim 3 ⋅ x →0 x →0 x 3x
第二节 函数极限的定义
x − x0 =
任给 ε > 0, 要使 f ( x ) − A < ε ,
只要 x − x 0 <
x − x0 x − x0 , ≤ x0 x + x0
x 0 ε 且不取负值 . 取δ = min{ x 0 , x 0 ε },
当0 < x − x 0 < δ时,
δ = x0
o o
x0
δ = x0ε
23
[注意] 注意] 求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的 求分段函数的极限的方法就是 计算它在指定点的 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 左极限和右极限是否存在并且是否相等。 例如： 例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限
x +1, x > 2 x → 2 ⑵ sin x, x < 0 x → 0 ⑴ y = 1 y = 3 x, x > 0 解： x, x < 2 3 ⑴ ∵ lim− y = 2 , lim+ y = 3 ，lim y ≠ lim y
x → x0
x 例8 验证 lim 不存在. x→0 x
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
x → −0
y
1
o
−1
x
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
4
[人影长度 ]
考虑一个人沿直线走向路灯 的正下方时其影子的长度． 的正下方时其影子的长度．若目 标总是灯的正下方那一点， 标总是灯的正下方那一点，灯与 地面的垂直高度为 H。由日常生 。 活知识知道，当此人直向目标时， 活知识知道，当此人直向目标时， 其影子长度越短， 其影子长度越短，当人越来越接 近终点（数学上如何描述） 近终点（数学上如何描述）时， 其影子的长度逐渐趋于0（ 其影子的长度逐渐趋于 （ 数学 上如何描述 ）。
2.2函数的极限
0 | x x0 | 的x, 对 应 的 函 数 值 满
0.0001 0.000000010
足 | f (x) A | ，那 么 称 当x x0
时 ，f
(x)以A为 极 限. 记 为lim xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
例1： 证 明lim(3x 2) 4 x2
证 明 ： 0, 要 使 | (3x 2) 4 || 3x 6 | 3 | x 2 |
来 找M.
注：2. 定 义 中 刻 画 了f (x)与A的 接 近 程 度 ，M刻 画
了x充 分 大 的 程 度 。
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证 0, 取 M 1 , 则 当x M时 恒 有
sin x 0 1 1 ,
x
xx
故 lim sin x 0. x x
| f (x) A |
则 称 当x 趋 于 无 穷 时 ， 函 数f (x)以A为 极 限 。 记 为
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x
证 明lim
sin
x
0.
证
x x 0,
取M 1,
则 当| x | M时 恒 有
sin x 0
1
1
,
x
x |x|
y sin x x
当x在x0的去心邻 A
域时,函数y f ( x)
A
A
图形完全落在以直
线y A为中心线,
o
宽为2的带形区域内.
y f (x)
x0 x0 x0
x
(2).单侧极限
左极限
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
2.2 函数极限
一
y g( x ) x 1
x=1时， g(x)有定义，当x从左从右 无限趋近于1时， g(x) 无限接近于2。 问题1：函数y=g(x)在x → x0的过程中， 对应函数值g(x)无限接近于确定值A。
f ( x ) A 表 f ( x ) A 任意小;
2 1 O
x2 1 f ( x) x 1
x x0
lim f ( x ) A
f ( x 或 0 ) A．
x x0
lim f ( x ) A
或 f ( x0 ) A ．
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) ;
x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
x X 表示x 的过程.
定义4: 如果当|x|大于某一正数时 f(x)无限接近于某一常 数A 则常数A叫做函数f(x)当x时的极限 记为
x
lim f (x)A
函数 极限
arctan x 是否存在？ 例 讨论极限 lim x 题 解 由函数 f ( x) arctan x 的图形知 六
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
当 x 0 时， f ( x) x 1 ，则函数 f ( x) 的右极限
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
因为左极限和右极限存在但不相等，所以当 x 0 时 f ( x) 的极限不存在．
x
lim arctan x ， x 2 2 arctan x ， lim arctan x 都存在，但不相等， 由于极限 xlim x
lim极限函数公式总结
lim极限函数公式总结在数学中，极限是研究函数的重要概念之一。
它描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的变化趋势和取值的极限情况。
极限函数是一类特殊的函数，通过对自变量趋于某一特定值的分析，可以得到函数在该点附近的性质。
本文将总结一些常见的极限函数公式，帮助读者更好地理解和应用极限函数的相关知识。
1. 极限定义极限定义是理解和应用极限函数的基础。
对于函数$f(x)$在$x=a$处的极限，可以使用以下定义：$\\lim_{x \\to a}f(x) = L \\quad \\text{if and only if} \\quad\\forall \\epsilon > 0, \\exists \\delta > 0, \\text{such that}\\quad 0 < |x - a| < \\delta \\Rightarrow |f(x) - L| < \\epsilon$该定义表明，当自变量$x$与$a$的距离小于$\\delta$时，函数值$f(x)$与$L$的差的绝对值小于$\\epsilon$。
2. 常用极限函数公式下面介绍一些常见的极限函数公式：2.1 常数函数极限对于常数函数$f(x) = c$，其中$c$为常数，它在任意点$x=a$处的极限为：$\\lim_{x \\to a}f(x) = c$这意味着常数函数在任意点的值都等于该常数。
2.2 幂函数的极限对于幂函数$f(x) = x^n$，其中$n$为实数，它在$x=0$处的极限为：$\\lim_{x \\to 0}f(x) = 0$这表明当自变量$x$趋近于0时，幂函数的值趋近于0。
2.3 正弦函数、余弦函数和正切函数的极限常见三角函数的极限为：$\\lim_{x \\to 0}\\sin(x) = 0$$\\lim_{x \\to 0}\\cos(x) = 1$$\\lim_{x \\to 0}\\tan(x) = 0$这些极限可以通过函数的图像或极限定义进行证明。
2.2 函数的极限
x 例8 验证 lim 不存在. x0 x x x 证 lim lim x 0 x x 0 x
lim ( 1) 1
x0
y
1
o
1
x
x x lim 1 1 lim lim x0 x 0 x x 0 x
f ( x ) 不存在. 左右极限存在但不相等, lim x0
3
y
1 y x2 2
2
1 当x 2时, 函数f ( x ) x 2的值 2 无限接近于3.
O
x 2时,f ( x ) 的变化趋势
2
x
1 x2 2
定义3 设函数f ( x)在点x0的左右近旁有定义(点x0可除外), 如果 当x x0时, 函数f ( x )无限接近于一个确定的常数A, 那么A就叫作 函数f ( x)当x x0时的极限,记作 lim f ( x) A或当x x0时, f ( x )
二、函数极限的性质
1.唯一性
定理 若 lim f ( x )存在,则极限唯一.
2.局部有界性
x x0
几何解释:
sin x lim 0. x x
sin x x
y
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x )图形完全落在以 直线y A 0为中心线, 宽为2的带形区域内.
例2：观察反正切函数的图像
y
/2
y=arctanx
O
x
-/2
写出自变量三种变化情况下函数的极限.
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 使当 x X时 , 恒有 f ( x ) A .
极限重要知识点总结
极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。
数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。
对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。
1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。
在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。
这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。
2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。
在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。
2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。
这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。
2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
经济数学.微积分.朱来义.第二章.2.2 函数极限
右极限
左极限
简记为 x x0 ;
简记为 x ; 简记为 x ;
x 沿数轴正方向趋于无穷大,
x 沿数轴负方向趋于无穷大, x 趋于无穷大,
简记为 x ;
用记号 x X 统一表示 6 种极限过程 如果在极限过程 x X 下, f ( x ) 无限趋于
一个确定的数 A , 则称 x X 时, f ( x ) 收敛于 A ,
lim f ( x ) lim 2 x 1, 而 2 x 1 初等函数, x1
x 1
x 1 在其定义域内, 可得
lim f ( x ) lim 2 x 1 3 .
x1
x 1
x 0 时, f ( x ) 表达式不统一,
且 x 0 时, x 0 时,
x 0
x
三、由函数值认识函数的极限
x2 1 例6 由函数 y 的值的变化趋势考察极 限 2x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 lim , lim , lim , lim . x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1
x
例5 由 y sin x 的图形考察极限 lim sin x , lim sin x , lim sin x ,
x 0 x 0 x 0 x
lim sin x ,
x
lim sin x , lim sin x .
x
y
y sin x
π 2
解
x 0
由 y sin x 的图形我们得到
经济数学 微积分 朱来义主编
§2.2 函数极限
一、函数极限的记法
二、由函数图形认识函数极限 三、由函数值认识函数的极限
数学 函数极限知识点总结
数学函数极限知识点总结一、基本概念1.1 函数极限的概念函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体地说，设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-A|<ε成立，那么称函数f(x)当x趋于a时的极限为A，记为lim(x→a)f(x)=A。
1.2 函数极限的图像解释在图像上，函数f(x)在点x=a处的极限为A，就是指当x趋于a时，函数曲线逐渐接近点(x，A)。
特别地，如果对于任意给定的ε，总存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，函数曲线都在点(x，A)的ε-邻域内，那么称函数f(x)在点x=a处的极限存在，并且等于A。
1.3 函数极限的表达方式函数极限通常有三种表达方式，分别是极限右侧、极限左侧和双侧极限。
其中，当x趋于a时，如果函数f(x)的极限只依赖于x大于a时的情况，那么记为lim(x→a+)f(x)=A；如果函数f(x)的极限只依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a-)f(x)=A；如果函数f(x)的极限既依赖于x大于a时的情况，又依赖于x小于a时的情况，那么记为lim(x→a)f(x)=A。
1.4 无穷大与无穷小当函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大时，即lim(x→a)f(x)=∞或lim(x→a)f(x)=-∞，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷大；当函数f(x)在点x=a处的极限为0时，即lim(x→a)f(x)=0，就称函数f(x)在点x=a处的极限为无穷小。
二、求解方法2.1 用极限定义求解对于一般的函数极限问题，可以使用极限的定义求解。
具体地说，通过设定ε-δ的方式，利用函数的性质和运算规则，逐步推导出函数在特定点的极限。
通常包括利用夹挤定理、利用三角不等式、利用数列极限等方法来求解函数极限。
函数极限ppt课件
满足不等式0<|x-x0|d 时 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|e
那么常数A就叫做函数f(x)当xx0时的极限 记为
lim
x x0
f(x)A
或
f(x) A(当
x
x0
)
•定义的简记形式
lim
x x0
f(x)A或fe(x>)0 Ad(x>0x当0)。0<|x-x0|<d
但f(g(x))在x0时无极 . 限
取 x n 2 n 1,x n 0 ,而 y n f( g ( x n ) )f( 0 ) 0 .
取 x n 2 n1 +,x n 0 ,而 y n f(g (x n ) )f(2 n+ 2 ) 1 . 2
取 xnn22(n1,2, )n , +, xn +, 且s有 inxnsin n)(0 0.
取xn(2n+2)2(n1,2, ),n+ ,xn+ ,
且有 sinxn
sin2n(+)11.
2
首页
上页
返回
下页
结束
铃
❖收敛函数的运算法则 •定理5(四则运算法则)
自变量的同一变化过程中，若lim f(x)A lim g(x)B 那么
返回
下页
结束
铃
例例33
求 lim
x3
x-3 x2 -9
解解 lim x - 3 lim x - 3 lim 1 x 3 x 2 - 9 x 3 (x - 3)(x + 3) x 3 x + 3
lim 1
x3
1
高等数学中函数极限的求法技巧解析
高等数学中函数极限的求法技巧解析【摘要】高等数学中函数极限是一个重要的概念，在数学领域有着广泛的应用。
本文首先介绍了函数极限的基本概念，包括函数极限的定义和性质。
然后详细解析了函数极限的求法技巧，包括利用代数运算、夹逼准则等方法。
通过例题详解，读者可以更好地理解函数极限的求解过程。
对常用方法进行总结，为读者提供了解题的指导。
在我们对本文内容进行了总结归纳，并展望了函数极限在未来的研究方向。
通过本文的阐述，读者可以更深入地了解函数极限，并掌握有效的求解方法。
【关键词】高等数学、函数极限、求法技巧、大纲、引言、基本概念、性质、例题、常用方法、总结、结论、展望未来1. 引言1.1 引言概述函数极限是高等数学中一个非常重要的概念，它在微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。
函数极限的求法技巧在数学学习中起着至关重要的作用，它不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能够帮助我们解决复杂的数学问题。
本文将通过对函数极限的基本概念解析、性质分析、求法技巧探讨、例题详解以及常用方法总结，来帮助读者更好地掌握函数极限的求解方法，提高数学分析能力。
通过本文的学习，读者将能够深入了解函数极限的定义及其性质，掌握函数极限的求法技巧和方法，通过例题的讲解来加深对函数极限相关知识的理解，最终能够总结出常用的函数极限求解方法，并能够灵活运用于数学问题的解决中。
本文的内容将为读者提供一个全面而系统的函数极限学习平台，为提高数学分析能力和解题水平提供有力支持。
1.2 研究意义函数极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在许多数学问题和实际应用中都起着至关重要的作用。
函数极限的研究意义主要包括以下几个方面：函数极限是建立数学分析的基础。
在数学分析的学习中，函数极限是最基本的概念之一，它是后续学习微积分和实变函数等内容的前提。
只有深入理解和掌握函数极限的求法技巧，才能更好地理解微积分的相关知识。
函数极限在研究数学问题和物理问题中具有广泛的应用。
高数课件-函数的极限
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
第2章第2节极限运算(一)
课名：高等数学（上）教师：杨勇
班级：编写时间：
课题：2.2函数极限的运算（一）
授课时数
2节
教学目的及要求：
1、掌握极限的四则运算。2、会应用两个重要极限。
教学重点：求极限的方法常用方法和两个重要极限公式
教学难点：两个重要极限
教学步骤及内容：
一、极限的四则运算：
1、定理1若
2、 （也可记作 ）
例：求下列极限
1、 2、
解：略
三、小结：
四、作业布置： 二（1，3，5）
板书设计
一、极限的常用方法
二、两个重要极限公式
三、例题分析
旁批栏：
（1）
（2）
（3）
注意：（1）、（2）可以推广到有限个函数的情形，特别地，
在（2）中若 ，则有 。极限的四则运算成立的条件是函数 和 在点 都有极限。
例：求下述极限：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） .
解:略
旁批栏：
二、两个重要极限
1、
例：求下列极限：
1、 2、
3、 4、
解：略
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x f ( x ) a
lim f ( x ) a >0, X>0, 当 x>X 时, x 恒有|f(x)a|< . lim f ( x ) a >0, X>0, 当 x<-X 时, x 恒有|f(x)a|< .
, 函数2 x 是当x 时的无穷大量. lim 2
x x
数列作为函数的特例，也有无穷大量.
数列2n 是当n 时的无穷大量.
无穷小量
定义1 . 若
(或x )
时, 函数
则称函数
为
(或x )
时的无穷小量 .
x , x , n
x
f ( x ) a
x x0
3. 自变量x的绝对值无限增大时的情形
sin x 当x时的变化趋势 观察函数 x
定义：当|x|无限增大时,函数 f ( x ) 以常数A为极限.
记作 lim f ( x ) A.
x
sin x 则， lim 0 x x
当x>0或x<0时,函数f(x)的极限分别记作
即
若函数 f(x) 在某个极限过程中以零为极
限, 则称f(x)为该过程中的无穷小量, 简称无穷 小.
注：(1) 无穷小(除0函数外)是变量, 不是很小的常量; (2) 零作为常量, 可以看作是特殊的无穷小量.
例如 :
0， 函数
0，函数
当
当
时为无穷小;
lim sin x 0， 函数sinx是当x0时的无穷小. x0
推论(极限保序性) 若f(x)≤g(x), 且
lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则A≤B. x x
0
x x0
极限定义内容小结
函数极限的统一定义
lim f ( n) A;
n
lim f ( x ) A;
x
x x0
x
lim f ( x ) A;
x
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A;
lim f ( x ) A 0, 时刻, 从此时刻以后, 恒有 f ( x ) A .
(见下表)
0,
过 时 程 刻
n x x x
N , X
从此时刻以后
2.2
函数极限
第二章
由数列极限到函数极限
给函数f(x), 当x取自然数时，得到一个数列。
a , 1 f (1), a , 2 f (2), a , ..., 3 f (3), ..., a ...; n f ( n), ...;
n an
a
n f (n) a
f ( x ) a
结论： 当 x 从点 x0=1 的左右近旁越来越接近于 1 时,
函数 f(x) 的值越来越接近于常数 2.
y g( x ) x 1 (xR且x1) 例2 考察函数 x 1
2
当x1时的变化趋势. 与f(x)不同，g(x)在点x0=1处无定义,
由于x1, 则g(x)=x+1=f(x).
lim arctan x . x 2 lim arctan x . x 2
x
y
π 2
lim arctan x ?
不存在.
π y 2
定量极限定义---将离散的改为连续的
lim an lim f ( n) a n n >0, N>0, 当 n>N 时, 恒有|ana|< .
lim f ( x ) a >0, X>0, 当 |x|>X 时, x 恒有|f(x)a|< .
定义 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
lim f ( x) A
x X 或x X
A f ( x) A
x ， x , n
注(1) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.
(2) 勿将 lim f ( x ) 认为极限存在. xx 0
虽然说是以无穷为极限，但是仍是 极限不存在的情况.
例如
1 1 lim , 函数 是当x 0时的无穷大量 . x 0 x x
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f (x)
x
例如， 都有水平渐近线 y 0 ;水平渐近线 y 1.
注：在xx0或x的变化过程中,不是 所有的函数都有极限.
例如y=sinx和y=x当x时不存在极限
1 ysin x
1
例5 证明
证
4x2 1 lim 2 1 2x 1 x
2
任给 >0,
4x2 1 要使|f(x)A| 2 < 成立, 2x 1 1 由于x≠ , 即2x-1 ≠0, 只要 2
1 |f(x)A|=| 2x-1 |= 2 x 2
< 或
1 x 2 2
成立.
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) x
x
定理:
lim f ( x ) A
x
xlim f ( x ) A 且 lim f ( x ) A
x
1 例：y x
y
1
(1,1)
o
1
x
1 lim x x
0.
y
1 x
例：y arctan x
lim 例4 证明 x x x x 0
0
证
任给 >0 , 要使|f(x)A| =|xx0| < 成立，
只需取 = , 显然 当0<|xx0|< 时, 恒有|f(x)A| < 成立. 故得证.
| f ( x ) A | h | x x0 | ) . (
h 1 ( ) 1 | x x0 | h ( )
当x1时, 函数f(x)与g(x)均以2为极限.
结论：极限与函数在x0处是否有定义无关.
y = f(x) = x+1 (xR)
问题:函数 y f ( x ) 在 x x 0 的过程中,对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
与数列极限类似
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小;
或称函数f(x)在点x0有极限 . 记作
x x0
lim f ( x) A 或
当 时, 有
即
几何解释: y A A A
O
y f (x)
这表明:
极限存在
0 x x0
定义
x0
x
注意:
(1) 函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关 (2) 与有关系
lim 用- 定义证明 x x f ( x ) A 的步骤：
为此取 = /2，
由前面的推导过程可知, 当0<|xx0|< 时, 4x2 1 |f(x)A| 2 < 恒成立. 故得证.
2x 1
4. 函数极限的性质 (讨论xx0的情形, x类似) 定理1 局部保号性定理 若 lim f ( x ) A， 且A>0 (或 A<0),
y
1
y x
1
2
o
1
x
虽然当x , y=x的极限不存在，
但是我们称y=f(x)=x的极限是无穷大,记 作f(x) (x).
1.自变量x无限趋近于有限数x0的情形 例1 考察函数 y = f(x) = x+1 (xR)
当 x 趋近于常数 x0=1 时的变化趋势.
x 0.9 0.98 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.02 1.1 f(x) 1.9 1.98 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.02 2.1
0
(1) 任给 (2) 由|f(x)A|<求满足0<|xx0|<的正数 (3)按照定义的模式写出结论
| f ( x ) A | h | x x0 | ) . (
h 1 ( ) 1 | x x0 | h ( )
1
lim 例3 证明 x x C C (C为常数).
y
1 过程中， 就可以任意大。 x
y 1 x
1
(1,1)
o
1
x
定义 在某一变化过程中，绝对值无限增大 的变量称函数为该过程中的无穷大量，简称 无穷大. 或：以无穷大为极限的函数，称为无穷大量.
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
时为无穷小; 当
0， 函数
( 1)n lim 0， n n
时为无穷小.
( 1) n 数列 { } 是当n时的无穷小. n
变量、极限与无穷小量的关系定理：
定理1 函数f(x)在某个极限过程中以常数A为极限, 的充分必要条件 是函数f(x)能表示为常量 A 与 无穷小量 (x)之和的形式,即
x x0
lim f ( x ) A，
与已知f(x)≥0矛盾，故得证.
思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能!
反例：f(x)=x2
(x0) >0 ,而 lim x 0 x 0
2
x x0
结论： 如果f(x)>0, 且 那么A≥0.