二次方程根系关系
方程两个根的关系
方程两个根的关系【最新版】目录1.引言：介绍方程及方程根的基本概念2.方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系3.方程根的性质：根的判别式4.实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用5.总结：方程根的关系的重要性和应用价值正文一、引言方程是数学中常见的一种表达形式，它由等号连接左右两边的代数式。
方程的解，也称为方程的根，是指能够使方程左右两边相等的未知数的值。
在代数学中，研究方程根与系数之间的关系具有重要意义。
二、方程根的关系：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
一元二次方程的两个根 x1 和 x2 满足以下关系：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a通过这两个关系式，我们可以根据已知的系数求解方程的根，也可以根据方程的根求解系数。
三、方程根的性质：根的判别式方程的根的性质可以通过判别式来描述。
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其判别式Δ = b^2 - 4ac。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：1.当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；2.当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；3.当Δ < 0 时，方程无实根。
四、实际应用：方程根的关系在解决实际问题中的应用方程根的关系在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理、化学、生物、经济等领域，我们常常需要通过建立数学模型，利用方程根的关系来求解问题。
五、总结方程根的关系是代数学中的基本概念，它对于理解和解决实际问题具有重要意义。
第十二讲 一元二次方程的根系关系(提尖班)
第十二讲一元二次方程的根系关系一、直接应用【韦达定理】若1x 、2x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c[证明]使用求根公式，有：1b x a -=，22b x a --=故122222b bb b x x a a a a-+---+=+==-()22124b ac c x x --⋅==【示例】1x 、2x 是方程2560x x -+=的两个根，则12x x +=5，12x x ⋅=6。
1x 、2x 是方程22310x x -+=的两个根，则12x x += 1.5，12x x ⋅=0.5。
1x 、2x 是方程2810x x -++=的两个根，则12x x +=8，12x x ⋅=-1。
【题型】[已知一根，求另一根]已知5、a 是方程250x mx -+=的两个根，则a =_____，m =_____。
解：由韦达定理，得：555a m a +=⎧⎨=⎩，解得：16a m =⎧⎨=⎩。
[对称式]利用韦达定理求诸如：12x x +、12x x ⋅、2212x x +、221212x x x x +、1211x x +、2112x x x x +已知1x 、2x 是方程2310x x -+=的两个根，则2112x x x x +=_____。
解：由韦达定理，得：121231x x x x +=⎧⎨=⎩，故222221121212121212()232171x x x x x x x x x x x x x x ++--⨯+====[根据根系关系求参数的值或范围]已知1x 、2x 是方程22210x kx k ++-=的两个根，且()()12110x x ++=，则k =_____。
解：22(2)4(1)40k k ∆=-⨯-=>，故k 可以取任意值，由韦达定理，得：1221221x x k x x k +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故()()2121212111121x x x x x x k k ++=+++=--+，由题意，得：21210k k --+=，解得：0k =或2[补充题1]已知1x 、2x 是关于x 的方程()()23x x m --=的两个实数根，(1)求m 的取值范围；(2)若121210x x x x --+=，求m 的值。
二次方程的根
二次方程的根
二次方程是一种常见的数学方程，其形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
求解二次方程的根是求解该方程的重要问题之一。
求解二次方程的根有多种方法，其中最常见的方法是使用求根公式。
求根公式是一个通用公式，可以用来求解任何形式的二次方程的根。
该公式如下：
x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a
其中±表示两个符号取正负号各一次，即x有两个根。
如果b²-4ac>0，则方程有两个不相等实数根；如果b²-4ac=0，则方程有一个重根；如果b²-4ac<0，则方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
除了使用求根公式外，还可以利用因式分解和配方法等方法来求解二
次方程的根。
这些方法虽然不如求根公式通用，但在某些特定情况下
可以更加简便和高效。
例如，在某些情况下，二次方程可能具有特殊形式，如完全平方形式
或双平方形式等。
对于这些特殊形式的二次方程，可以直接利用其特
点进行化简和求解。
此外，在实际问题中，二次方程常常代表着某种物理或几何意义。
例如，二次方程可以用来描述物体的运动轨迹、曲线的形状、图像的变化等。
因此，在求解二次方程的根时，需要结合具体问题进行分析和解释。
总之，求解二次方程的根是数学学习中不可避免的一部分。
掌握多种求解方法和技巧，加深对其物理和几何意义的理解，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
第七讲 二次函数与根系关系教师版(部分内容)
AB= AS2+BS2= (1+k2)[(xA+xB)2–4xA•xB]= (1+32)(52–44)= 3 10. y=x2–2x–3
(2) 由 A(1，–4)可知直线 l：y=kx–k–4，联立 y=kx–k–4，整理得 x2–(2+k)x+k+1=0，xA+xB=2+k，xA•xB=k+1，
法，如图：m<a<b<n，故选 A.
【点法归纳】
(1) 用函数观点看一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数） 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）可以看作是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0， a，b，c 为常数）的函数值 y 等于 0 时的情形.一元二次方程 ax2+bx+c=0 有无实数根，就看 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有无交点，当有交点时，方程的根 x 等于抛物线与 x 轴的交点的 横坐标.反过来，若△=b2–4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，此时抛物线与 x 轴有两
易得 AB= AS2+BS2= (1+k2)[(xA+xB)2–4xA•xB]= (1+k2)[(2+k)2–4(k+1)]= 3 10，两边平方得 k4+k2–90=0，解得 k=±3，直线 l 的解析式是：y=3x–7，B 的坐标(4，5)或 y=–3x–1，B 的坐标(–2，
5).
【例 4】 如图，抛物线 y=x2–2x–3 与坐标轴交于 A、B、C 三点，y=kx+b(b>–3)与抛物线交于 E、F 两点(点 E 在点 F 的左边)，且 y 轴平分△CEF 的面积，求 k 的值.
一元二次方程组的根与系数的关系
一元二次方程组的根与系数的关系稿子一嘿，朋友！今天咱们来聊聊一元二次方程组的根与系数的关系，这可有趣啦！你知道吗，当我们面对一个一元二次方程的时候，比如说ax² + bx + c = 0 ，这里面的 a、b、c 可都有着大作用呢！根与系数之间有着神奇的联系。
假设方程的两个根是 x₁和 x₂，那么它们的和 x₁ + x₂就等于 b/a ，而它们的积 x₁ · x₂则等于c/a 。
是不是感觉有点神奇？想象一下，就好像这几个数字之间在悄悄地传递着秘密信号。
比如说，给你一个方程x² 5x + 6 = 0 ，那两个根是 2 和3 。
算一下，2 + 3 正好等于 5 ，也就是 (5)/1 ；2×3 呢，正好是6 ，也就是 6/1 。
掌握了这个关系，解起方程来可就多了一条捷径呢！有时候，就算方程的根不好直接求出来，通过这个关系也能大概知道根的一些情况。
怎么样，是不是觉得一元二次方程组的根与系数的关系很有意思呀？稿子二亲爱的小伙伴，咱们来唠唠一元二次方程组的根与系数的关系哈。
你看哈，这一元二次方程就像是一个藏着宝藏的小盒子，而根与系数的关系就是打开这个盒子的小钥匙。
比如说一个方程像这样：2x² + 3x 5 = 0 。
这里面的系数 2 、3 、5 ，和它的根有着特别的关联呢。
两个根假设是 x₁和 x₂，那它们相加，也就是 x₁ + x₂，结果就是 3/2 哟，是不是有点意外？这其实就是 b/a 啦。
再看看它们相乘，x₁ · x₂等于 5/2 ，也就是 c/a 。
这就好像是数学世界里的小魔法，是不是很神奇？咱举个实际的例子，假如有个方程x² + 2x 3 = 0 ，很快就能算出根是 1 和 3 。
然后你验证一下，1 + (3) 正好是 2 ，1×(3) 就是 3 。
这种关系在解题的时候可好用啦，能让咱们更快更准地找到答案。
所以呀，别小看这一元二次方程组的根与系数的关系，它能帮咱们在数学的海洋里畅游得更欢快呢！。
二次函数根与系数的关系
二次函数根与系数的关系
韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2。
则根与系数的关系为x1+x2=-b/a, x1x2=c/a。
根的判别式：Δ= b2－4ac，当Δ＞0时，x1和x2结果为-b+√Δ/2a和-b-√Δ/2a。
Δ=0 时，x1=x2=-b/2a。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
一元二次方程的根的判别式为Δ= b2－4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
二次方程与二次不等式的根的关系求解
二次方程与二次不等式的根的关系求解二次方程与二次不等式是数学中重要的概念，它们的根之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨二次方程与二次不等式的根的求解方法，并解释它们之间的联系。
一、二次方程的求解二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a\neq 0$。
我们可以使用求根公式来解二次方程。
求根公式如下：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$通过求根公式，我们可以得到二次方程的两个根。
其中，$\sqrt{b^2-4ac}$ 称为判别式，它可以反映二次方程的根的性质：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根；2. 当判别式 $b^2-4ac=0$ 时，方程有两个相等的实数根；3. 当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，方程没有实数根，但有复数根。
二、二次不等式的求解二次不等式的一般形式为：$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中$a\neq 0$。
我们可以通过以下步骤来求解二次不等式：1. 将二次不等式转化为二次方程，即将不等式中的等号改为等号；2. 解二次方程，得到方程的两个根；3. 根据二次方程的根的性质，判断不等式的解集。
当二次不等式为$ax^2+bx+c>0$时，根据二次方程的根的性质可得：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
此时解集为$x<x_1$ 或 $x>x_2$；2. 当判别式 $b^2-4ac=0$ 时，方程有两个相等的实数根。
此时解集为$x\neq x_0$；3. 当判别式 $b^2-4ac<0$ 时，方程没有实数根。
此时解集为$x\in R$。
当二次不等式为$ax^2+bx+c<0$时，根据二次方程的根的性质可得：1. 当判别式 $b^2-4ac>0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
二次方程的根与判别式
二次方程的根与判别式二次方程是数学中常见的一种形式，它的一般表示形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是实数且a≠0。
在解二次方程时，我们常常需要求出方程的根。
而方程的根与判别式之间存在一定的关系，下面将详细介绍二次方程的根以及判别式的求法和其意义。
1. 二次方程的根对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，解方程即求出方程的根，也就是使得方程左边等于0的x的取值。
根据二次方程的求解公式，可以得到方程的两个根。
这个公式被称为二次方程的根公式，它的表达形式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)在这个公式中，±代表着两个根的取正负号。
而√(b^2 - 4ac) 则是方程的判别式，下面将详细介绍判别式的概念和意义。
2. 判别式的概念和求法判别式是二次方程的一个重要概念，它用于判断方程的根的性质。
二次方程的判别式的表达式为Δ = b^2 - 4ac，其中Δ读作delta。
根据判别式的值可以具体判断方程的根的情况如下：a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
此时根的取值为x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b - √Δ) / (2a)。
b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，也称为重根。
此时根的取值为x1 = x2 = -b / (2a)。
c) 当Δ < 0时，方程没有实根，而是存在两个共轭复根。
此时根的取值为x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)，x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)，其中i为虚数单位。
因此，通过计算判别式的值，我们可以判断二次方程的根的个数和性质。
3. 判别式的意义判别式在解二次方程时起着重要的作用，它不仅能够告诉我们方程的根的个数，还能够揭示方程图像与x轴的交点情况和方程的性质。
a) 当Δ > 0时，方程的图像与x轴有两个交点，即方程的图像与x 轴相交于两个不同的点。
二次方程的根与判别式
二次方程的根与判别式二次方程是一个非常重要的数学概念，它在数学和科学的许多领域中起着重要的作用。
在本文中，我们将重点讨论二次方程的根以及如何使用判别式来解决这些方程。
一、二次方程的标准形式首先，让我们回顾一下二次方程的标准形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c是实数常数，且a不等于0。
方程中的x表示我们要解决的未知数。
二、二次方程的根根据二次方程的定义，我们知道它的根是能够使方程等于零的x值。
一个二次方程可能具有以下三种不同的根的情况：1. 有两个不同的实数根：当判别式（b^2 - 4ac）大于零时，方程有两个实数根。
我们可以使用以下公式来计算这些根：x = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2ax = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a这两个根的值是不同的，一个是加号，一个是减号。
2. 有两个相等的实数根：当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
我们可以使用以下公式来计算这些根：x = -b / 2a也就是说，两个根的值是相同的。
3. 没有实数根：当判别式小于零时，方程没有实数根。
这种情况下，方程的解是复数，通常以a+bi或a-bi的形式呈现，其中a和b都是实数。
三、判别式的作用判别式在解决二次方程时起着至关重要的作用。
根据判别式的值，我们可以得出以下结论：1. 当判别式大于零时，方程有两个不同的实数根。
2. 当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
3. 当判别式小于零时，方程没有实数根。
通过判别式，我们可以轻松确定二次方程的解的性质，从而更好地理解和解决各种数学和科学问题。
四、示例分析让我们通过一个示例来演示如何使用判别式解决二次方程。
假设我们有一个方程：2x^2 + 5x + 2 = 0首先，我们可以计算判别式：判别式 = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9由于判别式大于零，我们可以得出结论，该方程有两个不同的实数根。
二次方程的根与因式分解
二次方程的根与因式分解二次方程是一种常见的数学表达式，它的一般形式为 ax^2 + bx + c= 0，其中 a、b、c 为实数且a ≠ 0。
解二次方程的方法有很多，其中最常见的是利用求根公式，求出方程的根。
此外，二次方程还可以通过因式分解的方法进行求解。
本文将通过介绍二次方程的根和因式分解方法，帮助读者更好地理解和应用二次方程。
一、求二次方程的根对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 为实数且a ≠ 0，我们可以利用求根公式来求解方程的根。
求根公式的表达式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)根据求根公式，我们有以下几种情况：1. 当 b^2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数解。
这时，我们可以计算出方程的两个根。
2. 当 b^2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数解。
这时，我们可以计算出方程的重根。
3. 当 b^2 - 4ac < 0 时，方程无实数解。
这时，方程的解为复数解，一般以复数形式表示。
通过求根公式，我们可以轻松求解二次方程的根，进而解决与二次方程相关的问题。
二、利用因式分解法解二次方程除了求解二次方程的根，我们还可以通过因式分解的方法来求解方程。
对于形如 ax^2 + bx + c = 0 的二次方程，我们可以将其因式分解为(px + q)(rx + s) = 0 的形式。
具体的因式分解步骤如下：1. 首先，我们需要将二次方程化简为标准形式，即将所有项移到等式的一侧，使方程等于零。
2. 然后，我们通过观察常数项 c 的因数，找到外层括号 (px + q) 和内层括号 (rx + s) 的系数。
3. 接下来，我们根据二次方程的一般形式将两个括号展开，得到(pr)x^2 + (ps+qr)x + qs = 0。
4. 对比展开后的方程与原方程的各项系数，得到以下等式：pr = aps + qr = bqs = c5. 根据上述等式，我们可以通过解方程组找到 px + q 和 rx + s 的值，从而得到方程的因式分解形式。
二次方程的根
二次方程的根介绍二次方程是高中数学中非常重要的一个概念。
对于一个二次方程 $ax^2+bx+c=0$，我们需要求出它的根（解），这对于解决某些实际问题非常有用。
根的个数与判别式二次方程的根有三种情况：1. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 大于零时，方程有两个不相等的实数根。
2. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 等于零时，方程有两个相等的实数根。
3. 当判别式 $D=b^2-4ac$ 小于零时，方程没有实数根，但可能有复数根。
根的求解公式根据求根公式，我们可以用以下公式来求解二次方程的根：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$其中，$D$ 是判别式的值。
实例分析例子1：求解方程 $x^2+2x+1=0$解：根据判别式的公式，我们可以计算出判别式的值：$$D = 2^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 0$$因为判别式等于零，所以方程有两个相等的实数根。
代入求根公式，可以得到根的值：$$x = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$$所以方程的根为 $x=-1$。
例子2：求解方程 $x^2-5x+6=0$解：计算判别式的值：$$D = (-5)^2-4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$$因为判别式大于零，所以方程有两个不相等的实数根。
通过求根公式，可以得到根的值：$$x_1 = \frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 3$$$$x_2 = \frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2 \cdot 1} = 2$$所以方程的根为 $x_1 = 3$ 和 $x_2 = 2$。
总结二次方程的根可以通过求根公式来计算，根的个数可以通过判别式的值来判断。
掌握这些概念和方法，能够帮助我们解决一些实际问题。
根系关系,二次函数
一元二次方程根与系数的关系在二次函数综合题中的运用1已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。
（1）使用a 、c 表示b ;（2）判断点B 所在象限，并说明理由；（3）若直线y 2=2x+m 经过点B ，且于该抛物线交于另一点C (,8cb a+),求当x ≥1时y 1的取值范围。
2如图，抛物线y=ax 2+c （a ≠0）经过C （2，0），D （0，﹣1）两点，并与直线y=kx 交于A 、B 两点，直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为点M 、N ．（1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM ； （3）探究：①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时的值；②试说明无论k 取何值，的值都等于同一个常数．3已知关于x 的二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+m 的图象与关于x 的函数y=kx+1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）；（x 1＜x 2） （1）当k=1，m=0，1时，求AB 的长；（2）当k=1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）．4如图所示，已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-时，y 取最大值254. （1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P 是直线AC 上一点，且S ABP ：S BPC 1:3=，求点P 的坐标； （3）若直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线交于M 、N 两点，问: ①是否存在a 的值，使得090MON ∠=？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；②猜想当090MON ∠>时，a 的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，则M ，N 两点1解析：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；（2）B在第四象限．理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∴，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a＞0，且顶点在第四象限；（3）∵，且在抛物线上，∴b+8=0，∴b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，即解得：，如图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，．2解析：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．得AB=|x；AB=，得AB=|x，得AB=|x，得•4解析：（1）由题意得212(1)24(1)254(1)4b c b ⎧-=⎪⎪⨯-⎨⨯--⎪=⨯-⎪⎩解得{16b c =-=∴抛物线的解析式为26y x x =--+ ∴(3,0)A -，(2,0)B ∴直线AC 的解析式为26y x =+ ································· （2分） （2）分两种情况：①点P 在线段AC 上时，过P 作PH x ⊥轴，垂足为H ∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴14AP AC = ∵PH ∥CO ∴14PH AH AP CO AO AC === ∴32PH =，34AH = ∴94HO =∴93(,)42P -②点P 在线段CA 的延长线上时，过P 作PG x ⊥轴，垂足为G∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴12AP AC = ∵PG ∥CO ∴12PG AG AP CO AO AC === ∴3PG =，32AG = ∴92GO =∴9(,3)2P --综上所述，193(,)42P -或29(,3)2P -- ···························· （4分） （3）①方法1：假设存在a 的值，使直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在N 的左侧），使得090MON ∠=由2126y x a y x x ⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩ 得2232120x x a ++-= ∴1232x x +=-，126x x a ⋅=-又1112y x a =+，2212y x a =+∴121211()()22y y x a x a ⋅=++2121211()42x x x x a a =⋅+++26344a a a -=-+ ∵090MON ∠= ∴222OM ON MN += ∴2222211222121()(x y x y x x y +++=-+∴12120x x y y ⋅+⋅=∴2636044a a a a --+-+= 即22150a a +-= ∴3a =-或52a =∴存在3a =-或52a =使得090MON ∠= ······················ （3分）方法2：假设存在a 的值，使直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在x 轴上侧），使得090MON ∠=，如图，过M 作MP x ⊥于P ，过N 作NQ x ⊥于Q可证明 MPO △∽OQN △∴MP POOQ QN=即1122y x x y -= ∴1212x x y y -= 即12120x x y y ⋅+⋅= 以下过程同上 ②当532a -<<时，090MON ∠> ······························ （1分）。
方程的两个根的关系
方程的两个根的关系方程是数学中一个非常重要的概念，它描述了数值之间的关系，并且在各个领域中都有广泛的应用。
在方程中，根是方程的解，即满足方程的数值。
方程的两个根的关系是指方程中两个根之间的联系和特点。
本文将从不同类型的方程入手，探讨方程的两个根的关系。
一元二次方程是最常见的方程之一，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的两个根可以通过求根公式来求解，即x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
根据求根公式可以看出，一元二次方程的两个根与方程中的系数a、b、c之间有密切的关系。
当方程的判别式(b^2-4ac)大于0时，方程有两个不相等的实数根。
这时，方程的两个根之间的关系是互不相等且符号相反。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，它的两个根分别为2和3，满足2×3=6，2+3=5，即两个根的乘积等于常数项c的值，两个根的和等于一次项系数b的相反数。
当方程的判别式(b^2-4ac)等于0时，方程有两个相等的实数根。
这时，方程的两个根之间的关系是相等且为同一个数。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，它的两个根都为2，满足2×2=4，2+2=4，即两个根的乘积等于常数项c的值，两个根的和等于一次项系数b 的相反数。
当方程的判别式(b^2-4ac)小于0时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
这时，方程的两个根之间的关系是共轭复数关系。
例如，对于方程x^2 + 2x + 5 = 0，它的两个根为-1+2i和-1-2i，满足(-1+2i)(-1-2i)=5，(-1+2i)+(-1-2i)=-2，即两个根的乘积等于常数项c的值，两个根的和等于一次项系数b的相反数。
除了一元二次方程外，还有其他类型的方程，如一元一次方程、高次方程等。
这些方程也有两个根，它们之间的关系也有其特点。
一元一次方程是最简单的方程之一，它的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数。
二次方程根公式大全,二次函数两个根的公式推导
二次方程根公式大全，二次函数两个根的公式推导二次方程根公式大全？一元二次方程_31、大多数情况下形式ax²+bx+c=0(a≠0)这当中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
2、变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0)；ax²+c=0(a、c是实数，a≠0)；ax²=0(a是实数，a≠0)。
一元二次方程的根与根的判别式当中有请看下方具体内容关系：（1）当△0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
(这当中，△=b²-4ac，a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数还有常数项。
)二次函数两个根的公式？二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c是常数）中含有两个变量x、y，我们只要先确定这当中一个变量，就可利用剖析解读式得出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，其实二次函数的图象就是由大量个这样的点构成的图形。
设ax^2+bx+c=0的两根为x1，x2。
由韦达定理：(x1+x2)=-b/a,x1x2=c/a==b=-a(x1+x2)c=ax1x2ax^2+bx+c=ax^2-a(x1+x2)+ax1x2=a(x^2-(x1+x2)x+x1x2)。
由十相乘法字法得：ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)二次函数两根之积的公式：x1x2=c/a （应是一元二次方程两根之积或是说二次函数与x轴交点）其他公式韦达定理：两根之和公式x1+x2=-b/a 两根之积公式x1x2=c/a二次函数的根计算公式？因为二次函数 y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标，就是当y=0时，即求方程ax²+bx+c=0的根则两个根为:x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
一元二次方程之根系关系及应用题
根系关系及应用题题型一：根与系数关系一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：ac x x a b x x =⋅-=+2121,. 【例1】 不解方程，求下列方程两根的积与和．⑴25100x x --= ⑵22710x x ++= ⑶23125x x -=+ ⑷()137x x x -=+【例2】 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．⑴求实数m 的取值范围；⑵当22120x x -=时，求m 的值．【例3】 已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数. ⑴ 求m 的取值范围；⑵ 当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.【探究对象】根系关系的进一步应用 【探究方式】在做含参一元二次方程根系关系的问题时，先考虑二次项系数不为0→再判断∆→然后根据题意看是否有两根的特殊关系（如例3，已知中强调两根不互为相反数，则根据根系关系能够得出0m ≠）．在这里主要探讨一下根的正负性问题： 利用根与系数的关系，我们可以不直接求方程2++=0ax bx c 的根，而知其根的正、负性． 在2=40b ac ∆-≥的条件下，我们有如下结论：①当<0c a时，方程的两根必一正一负．若0ba -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若<0ba-，则此方程的正根小于负根的绝对值．①当>0c a时，方程的两根同正或同负．若>0b a -，则此方程的两根均为正根；若<0b a -，则此方程的两根均为负根．【探究1】已知关于x 的一元二次方程x 2－2ax +a 2－9=0 （1）a 为何值时，方程有两个正根？（2）a 为何值时，方程有一正根、一负根？【探究2】已知关于x 的一元二次方程（m +2）x 2+2mx +232m -=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若 362m <<，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．【探究3】已知方程22430x x k -+-=，k 为实数且k ≠0，证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1．题型二：一元二次方程的应用题列一元二次方程解应用题的时候，要注意检验得到的根是否符合题意．【引例】 ⑴某汽车销售公司2019年盈利1500万元， 2020年盈利2160万元，且从2019年到2020年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）．A ．()2150012160x += B ．2150015002160x x += C ．215002160x = D ．()()215001150012160x x +++=⑵某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ． （3）某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设 二、三月份平均每月增长率为x ，根据题意，可列出方程为（ ） A ．50（1+x ）2=60 B ．50（1+x ）2=120C ．50+50（1+x ）+50（1+x ）2=120D ．50（1+x ）+50（1+x ）2=120【例4】 某商品进价为40元的衬衫按50元售出时.每月能卖500件.这种衬衫每涨价1元，其销售量减少10件.如果商场计划每月赚8000元利润.售价应定为多少?练习1.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
二次函数根与系数关系专题
二次函数根与系数关系【知识归纳】1.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根与系数之间的关系为：x1+x2=-ba，x1x2=ca.2.利用跟与系数的关系与方程的两根相关的问题转化为与系数相关的方程或不等式.3.求出参数的值后，一定要检查其合理性，即是否满足a¹0且∆³0.4.构建二次项系数为1的一元二次方程的基本方法为：①以x1，x2为根的一元二次方程为：x2-(x1+x2)x+x1x2=0；②如果a+b=m，ab=n，那么以a, b为根的方程为x2-mx+n=0.类型一、求对称式的值例1、已知x1,x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）(x1-x2)2（2）x1-x2（3）x12-x22（4）(x1-2)(x2-2)类型二、已知根求方程中的参数例1、若方程x2-4x+c=0的一个根为2c的值.练1、已知关于x的方程x2-13x+k=0的两根a ,b满足条件a-3b=1，求k的值．类型三、根系关系+根的定义例1、已知a, b是方程x2+2x-5=0的两个实数根，a2+ab+2a的值为例2、已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两根，求x13+8x2+20的值.练1、已知a、b是一元二次方程x2-2x-1=0的两个实根，求x13+2x22+x2-3的值.练2、已知x1，x2是方程x2+x-3=0的两根，求x13-4x22+19的值.类型四、根系关系中的隐含条件例1、已知a, b是方程x2+3x+1=0的两根，则练1、 已知a, b 是方程x 2+5x +2=0.类型五、根系关系求参数例1、已知关于x 的方程x 2+(2k -3)x +k 2-3=0有两个实数根x 1,x 2，且x 1+x 2=1x 1+1x 2，求k 值.练1、 设x 1,x 2是方程x 2-2(k +1)+k 2+2=0的两个不同的实根，(x 1+1)(x 2+1)=8，求k 值. 练2、 已知关于x 的方程x 2+2(m +2)x +m 2-5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值.类型六、根系关系解决根的分布例1、已知x 1,x 2是方程ax 2+(a +2)x +9a =0的两根，且x 1<1<x 2,求a 的取值范围. 练1、若关于x 的一元二次方程x 2-(2k -3)x +(2k -4)=0的一个根大于3，一个根小于3，求k 的取值范围.类型七、条件中含绝对值的处理例1、已知x 1,x 2是一元二次方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根，且x 1x 2=32，则m =__________练1、已知关于x 的方程x 2-(k +2)x +14k 2+1=0的两个实根x 1,x 2(x 1<x 2)满足x 1+x 2=3，求k 的值.类型八、利用根系关系构造新方程例1、若ab ¹1，且有5a 2+2001a +9=0及9b 2+2011b +5=0，则a b = ，a +1b= 练1、已知2m 2-5m -1=0，1n 2+5n -2=0且m ¹n ，求1m +1n的值.类型九、根系关系与判别式的结合求最值例1、设x 1，x 2是方程2x 2-4mx +2m 2+3m -2=0的两个实根，当m 为何值时，x 12+x 22有最小值，并求出这个最小值.练1、若关于x的二次方程(m2-4)x2+(2m-1)x+1=0（m为实数）的两实根的倒数和为S，求S的取值范围.【知识总结】思想：转化思想，分了思想，方程思想，整体思想.方法：1.利用跟与系数的关系将于一元二次方程的根有关的问题转化为与系数相关的式子，结合二次项系数a¹0和判别式∆³0求值或求取值范围2.由方程的两根x1，x2构建二次项系数为1的一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0.3.与根的符号相关的问题，一般先转化为x1+x2和x1x2的符号问题，列不等式求解. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。