3.3 等比数列(1)

显然公比q≠1，由已知可得： 解：显然公比 ，由已知可得：
a1 = 1 解得 q = 3 . n = 4
题型2 题型 等比数列中的证明问题 2. (1)已知数列 n}，其中 n=2n+3n，且数 已知数列{c ，其中c 已知数列 为等比数列， 列{cn+1-pcn}为等比数列，求常数 为等比数列 求常数p; (2)证明：(1)中数列 n}不是等比数列 证明： 中数列 中数列{c 不是等比数列 不是等比数列. 证明 解：(1)解法 ：因为 n+1-pcn是等比数列， 解法1：因为c 是等比数列， 解法 故有(c 故有 n+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1). 代入上式， 将cn=2n+3n代入上式， 得［2n+1+3n+1-p(2n+3n)］2=［2n+2+3n+2］ ［ p(2n+1+3n+1)］·［2n+3n-p(2n-1+3n-1)］， ］［ ］，
第一课时
题型1 知三求二” 题型 a1，q，n，Sn，an中“知三求二” ， ， 1. 已知等比数列 n}中,a1+an=66,a2an-1=128, 已知等比数列{a 中 Sn=Байду номын сангаас26，求项数 和公比 的值 和公比q的值 ，求项数n和公比 的值.
a1 + an = 66 所以 a a =128 , 1 n
第 三 章
数
列
3.3
等比数列
考点 搜索 高考 猜想
●等比数列的概念 ●等比数列的判定方法 ●等比数列的性质 ●有关等比数列的综合应用 以选择题形式考查等比数列的基 础知识，和函数、不等式、 础知识，和函数、不等式、向量交汇 考查等比数列的综合应用. 考查等比数列的综合应用
一、等比数列的判定与证明方法
(2)要证 n}不是等比数列只需证 22≠c1·c3. 要证{c 不是等比数列只需证 不是等比数列只需证c 要证 事实上， 事实上，c22=(22+32)2=169, c1·c3=(2+3)(23+33)=175, 不是等比数列. 因此， 因此，c22≠c1·c3,故{cn}不是等比数列 故 不是等比数列 点评： 点评：判断一个数列是等比数列或处理相 关问题,基本解法是定义法和等比中项法 基本解法是定义法和等比中项法,如 关问题 基本解法是定义法和等比中项法 如(1) 中的解法1和解法 解法3用了特殊值探路 和解法2,解法 用了特殊值探路,一般 中的解法 和解法 解法 用了特殊值探路 一般 化证明的思路,符合人们认识问题的一般规律 符合人们认识问题的一般规律,也 化证明的思路 符合人们认识问题的一般规律 也 是一种一般解法.(2)中否定一个命题只需要举一 是一种一般解法 中否定一个命题只需要举一 个反例就够了,若在证明过程中采用否定 若在证明过程中采用否定c 个反例就够了 若在证明过程中采用否定 n2≠cn的形式，就会使问题复杂化. 1·cn+1的形式，就会使问题复杂化
am
在等比数列{a 中 ， 拓展练习在等比数列 n}中，a3-a1=8， a6-a4=216，Sn=40，求公比 ，a1及n. ， ，求公比q，
a q2 - a = 8 1 1 a1 q 5 - a1 q 3 = 2 1 6 , a 1 (1 - q n ) = 40 1- q
2.三个数成等比数列可设这三个数为13 三个数成等比数列可设这三个数为 a a,aq __________，四个正数成等比数列可设这四个 ， q aq a , aq,aq3 数为14 ____________. 3 q an2=an-1·an+1,n≥2,n∈N*;③ ana1 = qn-1n∈N*;④ ∈ ③ ④ ,∈
即 ［ (2-p)2n+(3-p)3n ］ 2= ［ (2-p)2n+1+(3p)3n+1］·［(2-p)2n-1+(3-p)3n-1］， ［ 整理得
1 6
(2-p)(3-p)·2n·3n=0，解得 ，解得p=2或p=3. 或
cn+1 - pcn =q cn - pcn-1
解法2：因为 是等比数列， 解法 ：因为{cn+1-pcn}是等比数列， 是等比数列 故存在非零常数q使得 故存在非零常数 使得 对n≥2都成立 都成立. 都成立 代入化简得(4-2p-2q+pq)·2n-1+(9-3p将cn=2n+3n代入化简得 3q+pq)·3n-1=0,
设数列 的前n项和为 的前 项和为 拓展练习 设数列{an}的前 项和为Sn，已 知数列{Sn}是等比数列，且公比q≠1，试判断 知数列 是等比数列，且公比 ， 是等比数列 {an}是否为等比数列 是否为等比数列. 是否为等比数列 由已知S 解：由已知 n=S1qn-1=a1qn-1. 所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a1qn-2·(q-1)， 所以 当 时 ，
4-2 p -2q + pq = 0 所以 , 9-3 p -3q + pq = 0
解得p=3或p=2. 或 解得
解法3： 解法 ：cn+1-pcn=2n+1+3n+1-p·2n-p·3n， 故c2-pc1=13-5p， ， c3-pc2=35-13p， ， c4-pc3=97-35p. 由题意可知(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)， 由题意可知 ， 解得p=3或p=2. 或 解得 符合题意; 当p=2时，cn+1-pcn=3n，符合题意 时 也符合题意. 当p=3时，cn+1-pcn=-2n，也符合题意 时 从而p=3或p=2. 或 从而
解得q=2，于是n=6; ，于是 解得 若a1=64，an ， 由
32 1 64(1 q) 1 a1 (1 - q n ) 32 解得q= 2 Sn = = = 126, 解得 1- q 1- q
n-1=2,所以 n= 1 =2，则64·q 所以q ， 所以
q. ，n=6.
点评： 点评：首项和公比是等比数列中的两个基 本量， 本量，求这两个基本量的方法一是利用方程 的思想得基本量的方程(组 ，然后求解即可； 的思想得基本量的方程 组)，然后求解即可； an n-m 利用a 求通项公式. 二是利用q = 求q,利用 n=amqn-m求通项公式 利用
an+1 =q (常数 ，n∈N* 常数) 常数 1.定义法 ①____________________. 定义法:① an 定义法
an2=an-1·an+1,n≥2,n∈N* ∈ 2.等比中项法 ②________________________. 等比中项法:② 等比中项法
an = qn-1, n∈N* ∈ 3.通项公式法：③_________________. 通项公式法： 通项公式法 a 1
q 2 2
3. 则a1a2+a2a3+…+anan+1=( C ) A. 16(1-4-n) B. 6(1-2-n) 32 C. (1-4-n) D. 32 (1-2-n)
3 3
1 已知{a 是等比数列 是等比数列， 已知 n}是等比数列，a2=2,a5= 4
，
设数列{a 的公比为 的公比为q. 解：设数列 n}的公比为 是等比数列， 由{an}是等比数列， 是等比数列 也是等比数列且公比为q 知{anan+1}也是等比数列且公比为 2. 也是等比数列且公比为 1 3= 1 ，所以 所以a 又a2=2,a5= ，所以 5a2=q 4 8 1 q= ,则a1=4. 则 2 a1a2 [1- (q 2 )n ] 所以a 所以 1a2+a2a3+…+anan+1= 32 1- q 2 = 3 (1-4-n).故选 故选C. 故选
因为{a 是等比数列 所以a 是等比数列,所以 解:因为 n}是等比数列 所以 1·an=a2·an-1， 因为
a1 = 2 解得 a n = 64
所以q 若a1=2，an=64，则2·qn-1=64,所以 n=32q. ， ， 所以
a1 = 64 或a = 2 . n
a1 (1- qn ) 2(1-32q) 由 Sn = = = 126, 1- q 1- q
an+1 = q (常数 ∈N*;② 盘点指南： 常数),n∈ 盘点指南：① 常数 ② an
⑧=;⑨q;⑩成等比数列；11± ac ; 12 等差数列； ⑨ ⑩成等比数列； 等差数列；
a 13 q
na1 (q = 1) a1·qn-1,n∈N*;⑤qn-m;⑥a1(1- qn ) ∈ ⑤ ⑥ ; 1- q (q ≠ 1)
na1 (q = 1) ⑦ a1 - anq (q ≠ 1) ; 1- q
, a,aq;
aq a , 14 3 q
,aq,aq3
c
2.已知等比数列 n}的公比为正数，且 已知等比数列{a 的公比为正数 的公比为正数， 已知等比数列 a3·a9=2a52，a2=1,则a1=( B ) 则
1 A. 2 C. 2 2 B. 2 D. 2
设公比为q,由已知得 解：设公比为 由已知得 a1q2·a1q8=2(a1q4)2,故q2=2. 故 又因为等比数列{a 的公比为正数 的公比为正数， 又因为等比数列 n}的公比为正数，
q= 2,故 a1 = a2 = 1 = 2 , 故选 故选B. 所以
a1 (1 - q n ) = 80, 1- q a1 (1 - q 2 n ) = 6560. 1- q
① ②
②÷①得 ②÷①得1+qn=82，即qn=81. ， 所以q＞1，故前n项中 n最大. 所以 ＞ ，故前 项中a 最大 项中
代入① 将qn=81代入①，得a1=q-1.③ 代入 ③ 又an=a1qn-1=54，所以 ，所以81a1=54q.④ ④ 联立③④解得a1=2，q=3. 联立③④解得 ③④解得 ，