有关多种群的数学模型

自然界的多种群模型分析

摘要：在我们生活的大自然中，有着太多太多的秩序和规则。种群之间的你争我斗，弱肉强食也是非常激烈。种群，顾名思义就是指同一种生物的一个集合。不同种群之间的关系大致分为四种：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系和寄生与寄主关系。我们这次的建模就是围绕着种群之间的关系来展开的，下面我将从这几个方面来进行分类讨论，由于寄生与寄主的关系不是很常见，关系也比较简单，在此便不再赘述。

捕食与被捕食关系：这种关系很简单，大家也能很容易地理解，通俗地解释，就是指一种生物以另一种生物为食，举个例子大家也许会更容易地理解。比如说狼和羊的关系，狼是捕食者，羊是被捕食者，狼以羊为食，是羊的天敌。

互利共生关系：指两种生物共同生活在一个区域有助于提高另一种生物的种群密度，假如其中一种生物的数量减少，也会影响另一种生物的数量，使其数量减少。比如草地和森林优势植物的根多与真菌共生形成菌根，多数有花植物依赖昆虫传粉，大部分动物的消化道也包含着微生物群落，最典型的就是大豆与根瘤菌。大豆给根瘤菌提供养分，根瘤菌给大豆提供氮元素。

相互竞争关系：有种内和种间两种竞争方式。这里是指两种共居一起，为争夺有限的营养、空间和其他共同需要而发生斗争的种间关系。竞争的结果，或对竞争双方都有抑制作用，大多数的情况是对一方有利，另一方被淘汰，一方替代另一方。举个例子，牛和羊生活在共同的一片草地上，因为这两种生物都以草为食，它们之间不存在其他关系，所以它们之间是竞争关系。

以上就是三种种群之间的关系，下面我们就从这三个方面对物种种群密度的变化进行分析。在以下的讨论中我们将建立微分方程的数学模型，对生物多种群之间各种关系进行

关键词：生物种群，数量，关系，互相作用，竞争

问题重述：

生物学的研究对维持地球生态平衡有着不可替代的作用，是可持续发展的重要组成部分！地球上的物种一直只在减少，现在也有很多物种濒临灭绝，因此对

生物学的研究是十分迫切的，也是意义重大的！我们可以通过建立数学模型来来研究生物种群的数量变化规律!多种群模型研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律。在自然界中，各种生物根据其生理特点、食物来源等分成了不同的层次，各层次之间及同一层次上的种群有着各种各样的联系。而且在同一自然环境中，经常有多种生物共存，对相互影响非常大的生物种群，我们无法割裂开来单独讨论，，故必须弄清楚它们之间的相互关系，一起进行研究，这就导出了多种群的模型！在多种群模型中两种群是比较简单但也十分重要的！本论文将通过建立数学模型来研究两物种之间的竞争、互利共生、捕食这三种关系！从而来解释为什么在战争期间捕鱼的总数减少而掠肉鱼的比例却会上升这一现象！最后将推广到三种群的模型，研究更复杂的问题！

符号说明：

t:时间 x:甲物种种群数量 y：乙物种种群数量

1()

f x：甲种群的发展规律所导出的自身的相对增长率

2()

g y：乙种群的发展规律所导出的自身的相对增长率

1()

g y：表示乙种群对甲种群的影响2()

f x：表示甲种群对乙种群的影响

1

a：甲种群的内禀增长率2a：乙种群的内禀增长率

1

c：乙种群对甲种群的影响2c：甲种群对乙种群的影响

基本假设：

1因为种群的基数很大，所以一个种群的数量变化可以视为时间t的连续变换，而非离散的；

2其中一个任一种群，在单独，不受其他种群影响的条件下是满

足logistic模型的；

3外界环境是很美好的，各研究对象除受彼此影响外，是不受自然环境约束的；4假设种群关于种内和种间关系的函数是线性的，这是伏特拉模型的基础；

5在竞争关系中，甲种群消耗同种自然资源会对乙种群有阻滞作用；

6在捕食关系中，捕食者只以被捕食者为食，被捕食者灭绝后，捕食者将无法单独存活；

问题分析：

在自然界中，种群之间的竞争是必不可少的，那么种群之间的关系是怎样的呢？现在就来分析一下。

对于捕食与被捕食关系，当然是捕食者会不停地捕食被捕食者，直到将被

捕食者全部捕食完。但是，被捕食者一旦灭绝，捕食者也会因为没有食物来源而灭绝。

对于竞争关系，因为这两个种群的食物来源是相同的，它们会竞争同一种食物或是生存条件。当然，弱的一方也就会因为失去生存的条件而灭绝，而生存下来的一方不但不会因为一方的灭绝而灭绝，其种群数量还会越来越多。

对于互利共生关系，两种群生活在一起，可以互相为之提供必需的生存资源，所以其二者的种群数量会一直保持在一个稳定的状态，不会迅猛的增长，也不会突然地灭绝。

模型建立：

多种群模型是研究在同一环境中两种或两种以上的生物种群数量的变化规律的模型。在同一自然环境中，多种生物之间是有密切的关系的。大致可分为这几种关系：捕食与被捕食关系，互利共生关系，相互竞争关系，当然我们在摘要中也曾提到过。我们小组首先两种群模型进行建模，再以此为基础对多种群模型进行更加深入的探讨。

设t 时刻，甲乙两种群的数量为x(t)，y(t)。 甲乙两种群相对于自身的增长率为

1dx x dt

和

1dy y dt

由于之前已经假设单个种群的增长只与另一个种群有关，不存在任何的客观环境条件来阻碍该种群的数量增长。下面我们给出甲乙两种群的增长模型：

11221()()

1()()

dx f x g y x dt dy f x g y y dt

=+=+

其中1()f x 和2()g y 分别表示甲乙两种群各自的发展规律所导出的自身的相对增长率；1()g y 和2()f x 分别表示另一种群对这一种群的影响，这四个函数需要根据具体对象和环境确定。

假设：1()f x =1a 1()g y =1c y 2()f x =2a x 2()g y =2a

1122()()dx a c y x

dt dy a c x y

dt

=+=+

这是根据假设建立的两种群关系的微分方程模型，其中1a ，2a 是甲乙种群的内禀