2013北京海淀区高三一模数学(文)试题答案
2013届海淀区高三第一学期期中练习数学试题(文科)
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（文科） 2012. 11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =-≤，则U A =ð A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2．下列函数中，在定义域内是减函数的是A ．()f x x =B ．()f x =C ．1()2xf x =D ．()ln f x x =3．在平面直角坐标系中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，(1B ，则OA OB ⋅uu r uu u r的值为A ．1B 1C D 14．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 A ．[2,)+∞ B ．5[,)2+∞C ．5[2,]2D ．(0,2]5．设0.5a =π，3log 2b =，cos 2c =，则 A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，则下列结论一定成立的是 A ．x ∀∈R ，()()f x f x >- B ．0x ∃∈R ，00()()f x f x >- C ．x ∀∈R ，()()0f x f x -≥ D ．0x ∃∈R ，00()()0f x f x -<7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为A ．[1,1]-B ．[1,2]-C ．(,1]-∞D ．[1,)-+∞8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列3个集合：①1{(,)|}M x y y x== ②{(,)|cos }M x y y x == ③{(,)|e 2}xM x y y ==-其中所有“好集合”的序号是 A ．①②B ．②③C ．③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9． 已知数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，则5a = ． 10．2(sin15cos15)︒+︒= ．11．已知函数1()f x x=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP uu u r ∥OM uuu r ，且(0)OP xOA yOB x =+≠u u u r u u r u u u r ，则yx= ．13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k a 为{}n a 的一个峰值． （Ⅰ）若|7|n a n =--，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若2,24,2n n tn n a tn n ⎧-≤=⎨-+>⎩且{}n a 存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，点D 是斜边AB 上的一点，且AC AD =． （Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BDC ∠的值．16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．17．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos(2)2f x x x π=-+． （Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4AE =米，6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；（Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值． 19．（本小题满分14分）已知函数31()13f x x ax =-+． （Ⅰ）若1x =时，()f x 取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最小值；（Ⅲ）若对任意m ∈R ，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,4)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立．（Ⅰ）分别判断数集{1,2,4,6}与{1,3,4,7}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）求证：41232a a a a ≤++； （Ⅲ）若72n a =，求n 的最小值．NBMDF CA海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角ABC ∆中，3,4AC BC ==，所以5,AB = ………………1分所以3cos 5A = ………………3分 在ACD ∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ………………6分所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅ 所以CD = …………8分 （II ）在BCD ∆中，3sin 5B =………………9分 根据正弦定理sin sin BC CDBDC B=∠∠ ………………12分把4BC =，CD =代入，得到sin BDC ∠=………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22n n a a n n S n +-==………………9分 令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分 解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n > 所以n 的最小值为15 ………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin 2x x =+………2分 1cos2sin 2x x =-+ ……4分πs i n (2)14x -+ …………6分 所以πππ()sin()11844f =-+= ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+ 所以2ππ2T == …………9分 又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈，……………10分 所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分 所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈，…………13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………2分 在EDF ∆中，EQ EF PQ FD= 所以4482x y -=- …………4分 所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ …………6分 (II) 设矩形BNPM 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………9分 所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ……………11分 所以当8x =米时，矩形BNPM 面积取得最大值48平方米 ………………13分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为2()f x x a =-' ………………2分当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=', 1a = ………………3分 又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分(II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分当0a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<1<x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 x ∈时，()0,f x >' ()f x 单调递增所以()f x 在x =1f =- ………………9分当1a ≥1(0,1)x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ……11分 综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x =1f = 当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-. (III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立，…12分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可，而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………14分 20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}i j a a ∈，使得3i j a a =+ 所以{1,3,4,7}不具有性质P ………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}i j n a a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i j a a a =+ 又因为12341<<<<, 4n a a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………6分同理可得322a a ≤，212a a ≤将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤ 所以41232++a a a a ≤…9分。
北京市海淀区2013届高三一模(数学文)含答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 设)1,0(=a，)1,1(-=b ，则a b OM -=（O 为原点），则点M 位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.30sin 75cos 30cos 75sin -的值为 A ．1 B ．21C ．22D ．233. 已知向量b a ,，则“a //b ”是“a +b =0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ，则数列}{n a 的公差是 A ．21B ．1C ．2D ．3 5．在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y xa +===,,log 的图象, 可能正确的是6．一个体积为 左视图的面积为 A.36 B ．8 C ．38 D ．12 7．给出下列四个命题:①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ⊆；②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则22bm am <；④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a . 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4B ACD8.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为 A12+ B. 2 C. 2 D. 12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若,0>x 则xx y 4+=的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 10. 已知动点P 到定点（2，0）的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _.11. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤a x x y x y ，表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，则y x z +=2的最大值为_ _ _ _ _ _.12．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为_ _ _ _ _ _人. 13. 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = _ _ _ _ _ _ _ _。
北京市海淀区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)
2013年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•海淀区一模）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{3，4，5} C．{4，5，6} D．{3，4，5，6}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出集合A，B中不等式的解集中的自然数解，根据交集的定义，求出得到两个集合的交集．解答：解：A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，B={x∈N|x2﹣3x＞0}={x|x＞3，x∈N}，∴A∩B={4，5，6}，故选C．点评：此题是个基础题．本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．做题时应注意理解集合B的元素．2．（5分）（2013•海淀区一模）等差数列{a n}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）A．14 B．18 C．21 D．27考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6解答：解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a2+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1∴a1a6=2×7=14故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题3．（5分）（2013•海淀区一模）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x值为5，则输出的y值为（）A．B．1C．2D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足，执行输出y，可得答案．解答：解：经过第一次循环得到x=3，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=1，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=﹣1，满足判断框中的条件；执行“是”，y=2﹣1=，输出y值为．故选A．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时常采用写出前几次循环的结果，找规律．属于基础题．4．（5分）（2013•海淀区一模）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：题目给出的函数分别是一次函数、二次函数，指数函数及对数函数，在a＞0时，逐一分析各函数在（0，a）上的单调性即可得到正确答案．解答：解：∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选B．点评：本题考查了函数的单调性及证明，考查了基本初等函数性质，属基础题型．5．（5分）（2013•海淀区一模）不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（）A．0B．1C．2D．3考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：先作出不等式组表示的平面区域，根据已知条件可表示出平面区域的面积，然后结合已知可求k．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意可得A（1，3），B（，），C（1，k）∴S△ABC=AC•d（d为B到AC的距离）=×（3﹣k）×（﹣1）=1，∴k=1．故选B．点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示平面区域，属于基础试题．6．（5分）（2013•海淀区一模）命题P：∃α∈R，sin（π﹣α）=cosα；命题q：∀m＞0，双曲线﹣=1的离心率为．则下面结论正确的是（）A．P是假命题B．￢q是真命题C．p∧q是假命题D．p∨q是真命题考点：特称命题；全称命题．专题：计算题．分析：由于可判断命题p为真命题，而命题q为真命题，再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．解答：解：当时，Rsin（π﹣α）=cosα，故命题p为真命题，∵双曲线﹣=1中a=b=|m|=m，∴c==m∴e==，故命题q为真命题．∴￢p为假命题，￢q是假命题，p∨q是真命题；故选D．点评：本题主要考查了命题真假判断的应用，简单复合命题的真假判断，属于基础试题．7．（5分）（2013•海淀区一模）已知曲线f（x）=lnx在点（x0，f（x0））处的切线经过点（0，1），则x0的值为（）A．B．e2C．e D．10考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求出曲线方程的导函数，根据曲线方程设出切点坐标，把设出的切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把点（0，1）的坐标代入切线方程中即可求出切点的横坐标即可．解答：解：对y=lnx求导得：y′=，切点坐标为（x0，lnx0），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣lnx0=（x﹣x0），把点（0，1）代入切线方程得：1﹣lnx0=（﹣x0），解得x0=e2，故选B．点评：本题的解题思想是设出切点的坐标，把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程，然后把原点坐标代入切线方程求出切点的横坐标，从而确定出切线的方程．8．（5分）（2013•海淀区一模）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（）A．2B．4C．6D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设P（，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，利用两点距离的公式得到FM，列出方程求出m的值，得到等边三角形的边长，从而求出其面积．解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，∴PM⊥抛物线的准线，设P（，m），则M（﹣1，m），等边三角形边长为1+，F（1，0）所以由PM=FM，得1+=，解得m=2，∴等边三角形边长为4，其面积为4故选D．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区一模）在复平面上，若复数a+bi（a，b∈R）对应的点恰好在实轴上，则b= 0．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用复数的几何意义和点在实轴上的特点即可得出．解答：解：由复数的几何意义可知：复数a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b），∵此点恰好在实轴上，∴b=0．故答案为0．点评：正确理解复数的几何意义是解题的关键．10．（5分）（2013•海淀区一模）若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积运算即可得出．解答：解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．11．（5分）（2013•海淀区一模）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：几何体是底面为下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：V=S底×h==16．故答案为：16．点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键．12．（5分）（2013•海淀区一模）在△ABC中，若a=4，b=2，cosA=，则c=4．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得16=4+c2﹣4c•，解方程求得c的值．解答：解：在△ABC中，∵a=4，b=2，cosA=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即16=4+c2﹣4c•，化简可得（c﹣4）（c+3）=0，解得c=4，或c=﹣3（舍去），故答案为4．点评：本题主要考查余弦定理的应用，一元二次方程的解法，属于中档题．13．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是a＞4．考点：根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象与x轴有三个不同的交点，如图所示：等价于当x≥0时，方程2x﹣a=0有一个根，且x＜0时，方程x2+ax+a=0有两个根，即⇒a＞4．故实数a的取值范围是a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．14．（5分）（2013•海淀区一模）已知函数y=f（x），任取t∈R，定义集合：A t={y|y=f（x）}，点P （t，f（t）），Q（x，f（x））满足|PQ|}．设M t，m t分别表示集合A t中元素的最大值和最小值，记h（t）=M t﹣m t．则（1）若函数f（x）=x，则h（1）=2；（2）若函数f（x）=sin x，则h（t）的最小正周期为2．考点：函数的周期性．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），根据|PQ|，求得1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，由此可得h（1）的值．（2）若函数f（x）=sin x，画出函数的图象，分析点P在曲线上从A接近B，从B接近C，从C接近D时，从D接近E时，h（t）值的变化情况，从而得到h（t）的最小正周期．解答：解：（1）若函数f（x）=x，则点P（t，t），Q（x，x），∵|PQ|，∴≤，化简可得|x﹣t|≤1，﹣1≤x﹣t≤1，即1﹣t≤x≤t+1，即M t =1+t，m t =1﹣t，∵h（t）=M t﹣m t ，h（1）=（1+1）﹣（1﹣1）=2．（2）若函数f（x）=sin x，此时，函数的最小正周期为=4，点P（t，sin），Q（x，sin），如图所示：当点P在A点时，点O在曲线OAB上，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从A接近B时，h（t）逐渐增大，当点P在B点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从B接近C时，h（t）逐渐见减小，当点P在C点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．当点P在曲线上从C接近D时，h（t）逐渐增大，当点P在D点时，M t=1，m t=﹣1，h（t）=M t﹣m t=2．当点P在曲线上从D接近E时，h（t）逐渐见减小，当点P在E点时，M t=1，m t=0，h（t）=M t﹣m t=1．…依此类推，发现h（t）的最小正周期为2，故答案为2．点评：本题主要考查函数的周期性，体现了数形结合以及分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•海淀区一模）已知函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（）的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间[﹣，]上的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用特殊角的三角函数值即可得到，利用倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式即可得出；（II）由时，得到，再利用正弦函数的单调性即可得到最值．解答：解：（I）=2﹣1=1．∵函数f（x）=2﹣（sinx﹣cosx）2=2﹣=2﹣（1+=1﹣=cos2x+==∴函数f（x）的周期为．（II）当时，，所以当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值．点评：熟练掌握特殊角的三角函数值、倍角公式和两角和差的正弦公式和周期公式、正弦函数的单调性是解题的关键．16．（13分）（2013•甘肃三模）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（II）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（III）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．解答：解：（I）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（2分）所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为40（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3…（4分）（II）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9…（8分）（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A…（9分）设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件…（11分）设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．…（13分）点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．17．（14分）（2013•海淀区一模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；反证法与放缩法．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）通过证明BD⊥平面PAC，然后证明BD⊥PC；（Ⅱ）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；（Ⅲ）利用反证法证明直线l∥CD，推出CD∥AB与CD与AB不平行矛盾从而说明直线l 与直线CD不平行．解答：解：（I）证明：（I）因为△ABC是正三角形，M是AC中点，所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…（2分）又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC…（11分）（Ⅲ）假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB…（12分）又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）这与CD与AB不平行，矛盾所以直线l与直线CD不平行…（14分）点评：本题考查在与平面垂直与平行的判定定理的应用，反证法的应用，考查空间想象能力与逻辑推理能力．18．（13分）（2013•海淀区一模）函数f（x）=x3﹣kx，其中实数k为常数．（I）当k=4时，求函数的单调区间；（II）若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（I）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（II）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．解答：解：（I）因为f′（x）=x2﹣k…（2分）当k=4时，f′（x）=x2﹣4，令f′（x）=x2﹣4=0，所以x=﹣2或x=2f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，2） 2 （2，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）增极大值减极小值增…（4分）所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（2，+∞）单调递减区间是（﹣2，2）…（6分）（II）令g（x）=f（x）﹣k，所以g（x）只有一个零点…（7分）因为g′（x）=f′（x）=x2﹣k当k=0时，g（x）=x3，所以g（x）只有一个零点0 …（8分）当k＜0时，g′（x）=x2﹣k＞0对x∈R成立，所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2﹣k=0，解得x=或x=﹣…（10分）所以情况如下表：x （﹣∞，﹣﹣（﹣，）（，+∞））g′（x）+ 0 ﹣0 +g（x）增极大值减极小值增g（x）有且仅有一个零点等价于g（﹣）＜0…（11分）即g（﹣）=k＜0，解得0＜k＜…（12分）综上所述，k的取值范围是k＜…（13分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．19．（14分）（2013•海淀区一模）已知圆M：（x﹣）2+y2=，若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为圆M的圆心，离心率为．（I）求椭圆C的方程；（II）已知直线l：y=kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且|AG|=|BH|，求k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由圆心M得到．利用椭圆的离心率及b2=a2﹣c2即可得出椭圆的标准方程；（II）把直线l的方程与椭圆的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系即可得到|GH|，进而得出k．解答：解：（I）设椭圆的焦距为2c，由圆心M得到．∵，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=1．所以椭圆C：．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线l与椭圆C交于两点A，B，则消去y得到（1+2k2）x2﹣2=0，则x1+x2=0，．∴|AB|==．点M到直线l的距离．则|GH|=．显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y=kx就是y轴，矛盾．∵|AG|=|BH|，∴|AB|=|GH|．∴，解得k2=1，即k=±1．点评：熟练掌握椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与曲线相交问题转化为把直线l的方程与曲线的方程联立得到一元二次方程、利用根与系数的关系及弦长公式、垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系是解题的关键．20．（13分）（2013•海淀区一模）设A（x A，y A），B（x B，y B）为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，Bx B，y B∈Z．令△x=x B﹣x A，△y=y B﹣y A，若|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；（Ⅲ）已知P0（x0，y0）（x0∈Z，Y0∈Z）为一个定点，点列{P i}满足：P i=i（P i﹣1），其中i=1，2，3，…，n，求|P0P n|的最小值．考点：圆的标准方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：（I）由题意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，可得这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．（II）设M（x M，y M），由条件推出|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，由此求得点M的坐标．（III）分当n=1、当n=2k，当n=2k+1，且k∈N*时，三种情况，分别求得|P0P n|的最小值，综合可得结论．解答：解：（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|﹣|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，分别为：（1，2）、（1，﹣2）、（﹣1，2）、（﹣1，﹣2）、（2，1）、（2，﹣1）、（﹣2，1）、（﹣2，﹣1）．…（1分）又因为（△x）2+（△y）2=5，即+=5，所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．…（3分）（II）设M（x M，y M），因为M=i（H），L=i（M），所以有|x M﹣9|+|y M﹣3|=3，|x M﹣5|+|y M﹣3|=3，…（5分）所以|x M﹣9|=|x M﹣5|，所以x M=7，故y M=2 或y M=4，所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）（III）当n=2k，且k∈N*时，|P0P n|的最小值为0．例如：P0（x0，y0），P1（x0+1，y0），P2（（x0，y0），显然，P0=i（P1），P1=i（P2），此时，|P0P2|=0．…（8分）当n=1时，可知，|P0P n|的最小值为．…（9分）当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x0，y0+1）：由P0（x0，y0），依次找出“相关点”分别为P1（x0+2，y0+1），P2（x0+1，y0+3），P3（x0，y0+1）．此时，|P0P3|=1，故|P0P n|的最小值为1．…（11分）然后经过3次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．当n=2k+1，k＞1，k∈N*时，经过2k次变换回到初始点P0（x0，y0），故经过2k+1次变换回到P3（x0，y0+1），故|P0P n|的最小值为1．综上，当n=1 时，|P0P n|的最小值为．当当n=2k，k∈N*时，|P0P n|的最小值为0，当n=2k+1，k∈N*时，|P0P n|的最小值为1．…（13分）点评：本题主要考查圆的方程，两点间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案
2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题和答案海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin 2)x x =-+- (2)分2= 12sin 2x x -+cos22x x = ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==………………7分 9． 0 10． 14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14． 2,(21,2), Z k k k -∈所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分 （Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠=，所以DM =:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，y所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，(4,DB=为平面PAC的法向量………………10分4)PC=-，(4,0,4)PB=-设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=,则n PCn PB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x zx z⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z=则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n=………………12分设二面角A PC B--的大小为θ，则7cosn DBn DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B--………………14分18. 解：（I）因为2()ln,f x x ax bx=++所以1()2f x ax bx'=++………………2分因为函数2()lnf x x ax bx=++在1x=处取得极值(1)120f a b'=++=………………3分当1a=时，3b=-，2231()x xf xx-+'=，'(),()f x f x随x的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-.………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，2c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分ABGH所以AB==………………7分点M0）到直线l的距离d=则GH=………………9分显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx=就是y轴，矛盾，所以要使AG BH=，只要AB GH=所以222228(1)24()121k krk k+=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k krk k k k k k+++=+==+++++++………………11分当0k=时，r=………………12分当0k≠时，242112(1)2(1)31322rk k=+<+=++又显然24212(1)2132rk k=+>++,<综上，r≤<………………14分20.解：（Ⅰ）因为x∆+=3(,y x y∆∆∆为非零整数）故1,2x y∆=∆=或2,1x x∆=∆=，所以点P的相关点有8个………………2分又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-= 所以这些可能值对应的点在以0P上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++=. 当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++.若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1.相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+-((100)(99)1)n n +-+-+2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数. ………………13分。
北京市海淀区2013届高三下学期期末练习数学文试题(Word解析版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（文科）2013.5本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以A B = {1}x x ≤，即选B.2 已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a,b ，c 的大小关系为A. a < b < cB. a <c <bC.b <a<cD. b <c < a【答案】A【解析】1ln 02a =<，110sin sin 262π<<=所以102b <<，1221222c -==>，所以,,a b c 的大小关系为c b a >>。
选A.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C【解析】设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为666左视图5俯视图主视图A.180B.240C.276D.300Ω【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。
上部分为四棱锥。
四棱锥的底面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5 下列函数中，为偶函数且有最小值的是A.f(x) =x 2 +xB.f(x) = |lnx|C.f(x) =xsinxD.f(x) =e x +e -x 【答案】D【解析】A ，B 为非奇非偶函数。
2013年海淀数学一模及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2013.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.{|36}x x <≤D.{|36}x x ≤< 2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为Ａ. π B. 4 Ｃ. 4π Ｄ. 16 3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ. 2- B. 1- C.12D. 2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ. 2- B. 1- C. 0 D. 1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A. 12-B. 12C. 1-D. 16. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最 小值是 A.12 B. 22 C. 32 D. 2238. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；开始输出y结束输入x2-=x x0≤xx y 2=是否③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在复平面上，若复数 + i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图， AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==，则弦DB 的长为_______.12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==13.已知函数22, 0,()3, 0xa x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数π()sin 2f x x =，任取t ∈R ，定义集合：{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.DCBPAO在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示， 其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.0.375等级频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB 上，且2PN =． （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．MDCBAPN已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知圆M ：222(2)x y r -+=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M的圆心，离心率为22. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.20.（本小题满分13分）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =， 记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCCDADBB二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2(3sin cos )f x x x =--22= 2(3sin cos 23sin cos )x x x x -+-22(12sin 3sin2)x x =-+- ………………2分 2= 12sin 3sin2x x -+cos23sin2x x =+ ………………4分π= 2sin(2)6x + ………………6分所以πππ2π()2sin(2)2sin 34463f =⋅+== ………………7分 所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω== ………………9分 9． 010． 1411.24512．33, 151613． 491a <≤14． 2,(21,2), Z k k k -∈（II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=- ………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f = ………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人 ………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯= ………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 ………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为X 16 17 18 19 20P1545 1245 1345 445145………………11分所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点，所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥ ………………1分 又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥ ………………2分 又PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ ………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，23BM = ………………5分 在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠= ，所以233DM =，所以:3:1BM MD = ………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，42PB =，所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以43(4,0,0),(2,23,0),(0,,0),(0,0,4)3B C D P由（Ⅱ）可知，43(4,,0)3DB =- 为平面PAC 的法向量 ………………10分(2,23,4)PC =- ，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,z yxMAD BCPN则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22340440x y z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n =………………12分设二面角A PC B --的大小为θ， 则7cos 7n DB n DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B --余弦值为77………………14分 18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++ ………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++= ………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：x1(0,)2121(,1)21 1+∞（，）'()f x +0 -0 +()f x极大值极小值………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，）单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =- ………………11分 当11e 2a≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a 上单调递增所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾 ………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾综上所述，12a e =-或 2a =-. ……ABG H …………13分1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ， 因为2a =，22c a =，所以1c =， 所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y += ………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kx x y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+ ………………6分所以222288(1)(1)1212k AB k k k+=+=++ ………………7分 点M （2，0）到直线l 的距离221k d k=+则222221k GH r k=-+ ………………9分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k+=-++ 22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++ ………………11分当0k =时，2r =………………12分 当0k ≠时，242112(1)2(1)31322r k k =+<+=++又显然24212(1)2132r k k =+>++, 所以23r << 综上，23r ≤< ………………14分20. 解：（Ⅰ）因为 x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个 ………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P 为圆心，5为半径的圆上 ………………4分（Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则 1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，1-1221100()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y--=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------ 两式相加得 1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数，所以n 一定为偶数 ………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)nn n x n x x =++∆+-∆++∆………………10分 因为有3i i x y ∆∆=+，且 i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则 T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆ 这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当 100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++= .当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令 1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+ 2205100982n n +-=综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2,100n nnT n nn n n⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。
2013-2014年北京市海淀区高三第一学期期末数学(文)
海淀区高三年级第一学期期末练习 文1数 学(文科) 2014.01 本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.复数i(i 1)+等于A. 1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2.已知直线1:210l x y +-=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的取值为 A. 12- B.12C. 2D.2- 3.为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为 40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为A ．10000B ．20000C ．25000D ．300004.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值为A.15B.14C. 7D. 65.已知2log 3a =，4log 6b =，4log 9c =，则A ．a b c =<B ．a b c <<C ．a c b =>D ．a c b >> 6.已知函数22,2,()3,2,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有三个不等的实根，则实数k 的取值范围是A.(3,1)-B. (0,1)C. (2,2)-D. (0,)+∞ 7.在ABC ∆中，若2a b =，面积记作S ，则下列结论中一定．．成立的是 A ．30B > B ．2A B = C ．c b < D ．2S b ≤ 8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，BD AC O = ，M 是线段1D O 上的动N O C 1D D 1B 1A 1CA B M 否是开始 a =1,S =1 a =2a S =S +a结束 S <10输出S点，过点M 做平面1ACD 的垂线交平面1111A B C D 于点N ， 则点N 到点A 距离的最小值为A ．2B ．62C ．233D ．1 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)
北京市海淀区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1. 复数等于A. B. C. D.2. 已知直线与直线平行，则实数的取值为A. B. C. D.3. 为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出尾鱼，并给每尾鱼做上标记（不影响存活），然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出尾鱼，其中有标记的鱼为尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为A. B. C. D.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为A. B. C. D.5. 已知，，，则A. B. C. D.6. 已知函数若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是A. B. C. D.7. 在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是A. B. C. D.8. 如图所示，正方体的棱长为，，是线段上的动点，过点做平面的垂线交平面于点，则点到点距离的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 双曲线的离心率为．10. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为．11. 已知点的坐标满足则的最大值为．12. 已知等差数列和等比数列满足，，则满足的的所有取值构成的集合是．13. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为小时，小时，小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为小时．14. 直线与抛物线交于，两点，点是抛物线准线上的一点，记（），其中为抛物线的顶点．（1）当与平行时，．（2）结出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．16. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示（1）求上图中的值；（2）求甲队员命中环数大于环的概率（频率当作概率使用）；（3）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定?（结论不需证明）17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，求证：平面平面．18. 已知函数，其中为常数．（1）若函数是区间上的增函数，求实数的取值范围；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围．19. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，右顶点在圆（）上．（1）求椭圆和圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点．请判断是否存在斜率不为的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．20. 如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数．例如：就是函数．（注：“ ”表示不超过的最大整数）（1）判断下列函数：①，②，③中，哪些是函数?（只需写出判断结果）（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论；（3）证明：对于任意实数，，函数都不是函数．答案第一部分1. B2. A3. C4. A 【解析】和的值分别是，，，，故最后输出．5. C【解析】应用对数的换底公式可得，所以，而由对数函数的单调性可得，于是可得．6. B 【解析】作出图象：则．7. D 【解析】由可得，由可得，这与矛盾，所以A不成立；若，由可得，，所以B不成立；由可得，所以C不成立；，D成立．8. B 【解析】容易得知平面，所以平面平面，而平面，平面且平面，所以点在线段上，问题转化为求线段上一点到点距离的最小值，容易求得最小值为．第二部分9.10.11.12.13. ；【解析】；．14. ；①②③【解析】由题可设，且可设，，因此，，，．当和平行时，可得出，；对于①：当为等边三角形时，可知点需为，此时，，故不可能为等边三角形；对于②：当时，可得，再结合，可算得，，故成立；对于③：由，可得恒成立．第三部分15. （1）．（2）由得，，因为，所以的最小正周期．因为函数的对称轴为，，又由，，得，，所以的对称轴的方程为，．16. （1）由上图可得，所以．（2）设事件为“甲队员射击，命中环数大于环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为环，环，环．所以．（3）甲队员的射击成绩更稳定．17. （1）因为底面是菱形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）因为，点是棱的中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以．（3）因为，点是棱的中点，所以，由（2）可得，而，所以平面，又因为平面，所以平面平面．18. （1），．因为函数是区间上的增函数，所以，即在上恒成立，因为是增函数，所以只需，即．（2）令，解得．，的情况如下：极小值（i）当，即时，在上的最小值为，若满足题意只需，解得，所以此时，；（ii）当，即时，在上的最小值为，若满足题意只需，求解可得此不等式无解，所以不存在；（iii）当，即时，在上的最小值为，若满足题意只需，解得，所以此时，不存在．综上讨论，所求实数的取值范围为．19. （1）由题意可得，又由题意可得，所以，所以，所以椭圆的方程为．所以椭圆的右顶点，代入圆的方程，可得，所以圆的方程为．（2）法1：假设存在直线（）满足条件，由得设，则，可得中点，由点在圆上可得，化简整理得．又因为，所以不存在满足条件的直线．法2：假设存在直线满足题意．由（1）可得是圆的直径，所以．由点是中点，可得．设点，则由题意可得．又因为直线的斜率不为，所以，所以，这与矛盾，所以不存在满足条件的直线．20. （1）只有是函数．（2）函数是函数．证明如下：显然，，．不妨设，，由可得，即．因为，恒有成立，所以一定存在，满足，所以，总存在满足，所以函数是函数．（3）（i）当时，有，所以函数都不是函数．（ii）当时，①若，有，所以函数都不是函数．②若，由指数函数性质易得，所以，都有，所以函数都不是函数．③若，令，则，所以一定存在正整数使得，所以，使得，所以．又因为当时，，所以；当时，，所以，所以，都有，所以函数都不是函数．综上所述，对于任意实数，，函数都不是函数．。
北京市高三一模考试数学文试题真题(word版含答案)
北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21x g x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况，所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=，租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=． 18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =. 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-．（Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
2013年海淀一模高三数学(文)试题及答案
不算过期的日历海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科） 2013.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 集合2{6},{30}Ax x B x x x =∈≤=∈->N | N | ，则A B =A. {1,2}B. {3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6} 2.等差数列{}n a 中, 2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为A. 14B. 18C. 21D.273. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.12B. 1C. 2D.1-4. 已知0a >，下列函数中，在区间(0,)a 上一定是减函数的是 Ａ. ()f x a x b=+ B. 2()21f x x a x =-+C.()xf x a= D.()lo g a f x x=5. 不等式组1,40,0x x y k x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为A. 0B. 1C. 2D.3 6. 命题:p ∃,α∈R sin (π)cos αα-=； 命题:q 0,m ∀>双曲线22221x y mm-=.则下面结论正确的是A. p 是假命题B.q ⌝是真命题C. p ∧q是假命题 D. p∨q是真命题7.已知曲线()ln f x x=在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,1)-，则0x 的值为Ａ. 1eB. 1C. eD.10 8. 抛物线24yx=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F P M∆为等边三角形时，其面积为A.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 在复平面上，若复数1+i b （b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.若向量,a b 满足||||||1==+=ab a b ，则⋅a b 的值为______.11.某几何体的三视图如图所示，则它的体积为______. 12.在A B C ∆中，若4,2,ab ==1c o s 4A =，则______.c =13.已知函数22, 0,(), 0xa x f x x a x a x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 14.已知函数()yf x =，任取t ∈R，定义集合: {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x满足||P Q≤. 设,ttMm 分别表示集合tA中元素的最大值和最小值，记()t th t M m =-.则(1) 若函数()f x x=，则(1)h =______;（2）若函数π()sin2f x x=，则()h t 的最小正周期为______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数2()2c o s )f x x x =--.（Ⅰ）求π()3f 的值和()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间ππ[,]63-上的最大值和最小值.侧视图16. （本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A 的概率.频0.20.00.0频17. （本小题满分14分）在四棱锥P A B C D -中，P A ⊥平面A B C D ，A B C ∆是正三角形，A C 与B D 的交点M 恰好是A C 中点，又30C A D ∠= ，4PA AB ==，点N 在线段P B 上，且13P N N B=．（Ⅰ）求证：B D P C ⊥；（Ⅱ）求证：//M N 平面P D C ；（Ⅲ）设平面P A B 平面P C D =l ，试问直线l 是否与直线C D 平行，请说明理由.18. （本小题满分13分）函数31()3f x x k x=-,其中实数k 为常数.(I) 当4k =时，求函数的单调区间； (II) 若曲线()y f x =与直线y k=只有一个交点，求实数k 的取值范围.19. （本小题满分14分）已知圆M ：227(3x y-+=,若椭圆C ：22221x y ab+=（0a b >>）的右顶点为圆M2（I ）求椭圆C 的方程； （II ）已知直线l ：yk x=，若直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H两点（其中点G 在线段A B 上），且A G B H=，求k 的值.20. （本小题满分13分）设(,),(,)A AB B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z.令B Ax x x ∆=-，B Ayy y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0xy ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()BA τ=.（Ⅰ）请问：点(0,0)的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由； （Ⅱ）已知点(9,3),(5,3)H L ，若点M 满足(),()M H L M ττ==，求点M 的坐标；（Ⅲ）已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈∈Z Z 为一个定点，点列{}i P 满足：1(),i i P P τ-=其中1,2,3,...,i n =，求0n P P 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）2π1()2)1322f =--=………………2分因为2()2in c o s )f x x x =--222(3s inc o s in c o s )x x x x =-+- 22(12s inin 2)x x =-+-………………4分212s in in 2x x =-+c o s 2in 2x x =+………………6分π= 2sin (2)6x +………………8分所以 ()f x 的周期为2π2ππ||2T ω===………………9分9． 0 10． 21-11.16 12．4 13． 4a >14．2,2（II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当6x π=-时，函数取得最小值()16f π-=-………………11分当6x π=时，函数取得最大值()26f π=………………13分16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本事件 ………………11分设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1()6P B =. ………………13分17.解：（I ）证明：(I) 因为A B C ∆是正三角形，M 是A C 中点， 所以B M A C ⊥,即B D A C ⊥………………1分又因为P A A B C D ⊥平面，B D ⊂平面A B C D ，P A B D ⊥………………2分 又P A A C A = ，所以B D ⊥平面P A C ………………4分 又P C ⊂平面P A C ，所以B D P C ⊥………………5分（Ⅱ）在正三角形A B C 中，B M =6分 在A C D ∆，因为M 为A C 中点，D M A C ⊥，所以A D C D =30C A D ∠=，所以，3D M =:3:1B M M D =………………8分所以::B N N P B M M D =，所以//M N P D ………………9分又M N ⊄平面P D C ，P D ⊂平面P D C ，所 以//M N 平面P D C ………………11分 （Ⅲ）假设直线//l C D ，因为l ⊂平面P A B ，C D ⊄平面P A B ， 所以//C D 平面P A B ………………12分又C D ⊂平面A B C D ，平面P A B 平面A B C D A B =，所以//C D A B ……………13分 这与C D 与A B 不平行，矛盾所以直线l 与直线C D 不平行………………14分18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分因为2'()'()g x f x x k ==-当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =10分所以'(),()g x g x 随x 的变化情况如下表：()g x有且仅有一个零点等价于(0g<………………11分即2(03g k k=<，解得94k<<………………12分综上所述，k的取值范围是94k<………………13分19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，因为a=，2ca=1c=………………2分所以1b=所以椭圆C：2212xy+=………………4分（II）设A（1x，1y），B(2x，2y)由直线l与椭圆C交于两点A，B，则22220y k xx y=⎧⎨+-=⎩所以22(12)20k x+-=, 则120x x+=，122212x xk=-+………………6分所以A B==………………8分点M0）到直线l的距离d=………………10分则G H=………………11分显然，若点H也在线段A B上，则由对称性可知，直线y k x=就是y轴，矛盾，因为A G B H=，所以A B G H=所以22228(1)724()1231k kk k+=-++HGBA解得21k =,即1k =±………………14分20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()MH L M ττ==所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分(III)当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分当=1n 时，可知0||n P P ………………9分当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→故0||n P P 的最小值为1………………11分当231,,*, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1综上，当=1n 时，0||n P P 当*2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。
2013海淀高三第一学期期末数学文考试试题
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文科） 2013.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 23. 在等边ABC ∆的边BC 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ∆∆≤的概率是 A. 13 B. 12 C. 23 D. 564.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为 A ．2 B. 3 C. 4 D.55.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C.5,30n S ==D. 5,45n S ==6.已知点(1,0),(cos,sin )A B αα-, 且||AB =, 则直线AB的方程为A. y =+y =- B. y x =或y x =C. 1y x =+或1y x =-- D. y =+或y = 7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩ 则下面结论中正确的是A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x 的值域是[2-8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点, E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,AEF则线段1A P 长度的取值范围是 A ． B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. tan225的值为________.10. 双曲线22133x y -=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则55_____.S a = 12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域为Ω，直线1y kx =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为_________.13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为______.14. 任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数21()sin cos cos 2f x x x x =-+，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ） 求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.DABCB 1C 1D 1A 1F E BC DA16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ） 试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽 车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ； （Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .18.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设 ()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ） 求a 的值；（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x y a a +=>的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为 “一阶比增函数”.(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ∀∈+∞，1212()()()f x f x f x x +<+； （Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()2013f x >有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2013．1说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为 21()cos cos 2f x x x x =-+12cos22x x =- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈， ………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-， πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得到2π492525cos 3c c =+-⨯，所以25240c c --= ………………11分解得3c =-（舍）或 8c = ………………13分 所以8c =16. （本小题满分13分） 解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A,B 10313==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313………………7分 （Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为3343051567754.6250A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为310410515610754.850B x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车 ………………13分 17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………………3分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥ ………………8分 又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥, 又因为1BB BC B =，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AEEC E =，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分18. （本小题满分13分） 解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()af x xg x x==，所以'(1)1,'(1)f g a == 所以1a = ………………3分 （Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x > 2'()m x mF x x x x-=-=………………5分 当0m <时，2'()0m x mF x x x x-=-=>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m >时，令2'()0m x mF x x x x-=-==，得到120,0x x =>= (舍)1≤时，即01m <≤时，'()0F x >对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = ………………9分e ≥时，即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减， 其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1e <,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立所以()F x 在单调递减,在上单调递增其最小值为1111ln 22222mF m m m m =--=--………13分 综上，当1m ≤时， ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =当21e m <<时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222mF m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--.19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b =所以24,a =所以椭圆方程为22143x y += ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y ,得到27880x x +-= ………………5分 所以121288288,,77x x x x ∆=+=-=所以1224|||7CD x x =-=………………7分 （Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -= ………………8分 当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-= 显然0∆>，方程有根，且221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++ ………………10分 此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………12分 因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+，（k =所以12||S S -………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题2()f x ax axy ax a x x+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a >时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a > ………………3分 （Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数， 又12,(0,)x x ∀∈+∞，有112x x x <+，212x x x <+所以112112()()f x f x x x x x +<+， 212212()()f x f x x x x x +<+ ………………5分 所以112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+所以11221212121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x +++<+=+++所以1212()()()f x f x f x x +<+ ………………8分 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x >.因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x >时，00()()0f x f x x x >= 法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m >，同理(4)2(2)4f t f t m >>，(8)2(4)8f t f t m >> 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)22013n n f t m >⋅>，所以()2013f x > 一定有解 ………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t >，记()f t k t= 因为当x t >时，()()f x f t k x t>=，所以()f x kx >对x t >成立 只要 2013x k>，则有()2013f x kx >>， 所以()2013f x > 一定有解 ………………13分。
北京市海淀区2013高三上学期期末考试数学文试题
北京市海淀区2013高三上学期期末考试数学文试题1北京市海淀区20XX年届高三第一学期期末考试数学（文）试题20XX年.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i -化简的结果为A.1i +B.1i -+C. 1i -D.1i --2. 向量(1,1),(2,)t ==a b , 若⊥a b , 则实数t 的值为A. 2-B. 1-C. 1D. 23. 在等边ABC ?的边B C 上任取一点P ，则23ABP ABC S S ??≤的概率是A. 13 B. 12 C. 23 D. 564.点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为A ．2 B. 3 C. 4 D.55.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A. 4,30n S ==B. 4,45n S ==C. 5,30n S ==D. 5,45n S ==6.已知点(1,0),(cos,sin )A B αα-, 且||AB =则直线AB的方程为A. y =+y =- B. 33y =+或33y =-- C. 1yx =+或1y x =-- D. y =+y =-7. 已知函数sin , sin cos ,()cos , sin cos ,x x x f x x x x ≥?=??则下面结论中正确的是2A. ()f x 是奇函数B. ()f x 的值域是[1,1]-C. ()f x 是偶函数D. ()f x的值域是[,1]2-8. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面,A E F则线段1A P 长度的取值范围是A ．2B. 42C. 2D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. tan 225 的值为________. 10. 双曲线22133xy-=的渐近线方程为_____；离心率为______.11. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且268a a a +=，则_____.S a =12. 不等式组0,3,1x x y y x ≥??+≤??≥+?表示的平面区域为Ω，直线1y k x =-与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为_________.13. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱B D 的长为______.14. 任o实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b??≥??=???? 设函数()ln f x x x =，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，*****()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++ ）则1___.a =三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.DA BB 1C 1D 1A 1F E BC DA315. （本小题满分13分）已知函数21()s i n c o s c o s 2f x x x x =-+，ABC ?三个内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()1f A =.（I ）求角A 的大小；（Ⅱ）若7a =，5b =，求c 的值.16. （本小题满分13分）某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）现从出租天数为3天的汽车（仅限A ，B 两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A 型车的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，1AB AC AA ==，且E 是B C 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .EC 1B 1A 1CBA418.（本小题满分13分）已知函数211()22f x x =-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线，设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.（I ）求a 的值（Ⅱ）求()F x 在区间[1,e]上的最小值. .19. （本小题满分14分）已知椭圆M ：2221(0)3x ya a+=的一个焦点为(1,0)F -，左右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点. （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45 时，求线段C D 的长；（Ⅲ）记ABD ?与A B C ?的面积分别为1S 和2S ，求12||S S -的最大值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”.(Ⅰ) 若2()f x ax ax =+是“一阶比增函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若()f x 是“一阶比增函数”，求证：12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()()f x f x f x x ++；（Ⅲ）若()f x 是“一阶比增函数”，且()f x 有零点，求证：()20XX年f x 有解.海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文）参考答案及评分标准20XX年．1 说明：合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）56 解：（I ）因为21()cos cos 2f x x x x =-+12cos 222x x=- πsin(2)6x =- ………………6分又π()sin(2)16f A A =-=，(0,)A π∈，………………7分所以ππ7π2(,)666A -∈-，πππ2,623A A -== ………………9分（Ⅱ）由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得到2π*****cos 3c c =+-?，所以*****c c --= ………………11分解得3c =-（舍）或8c = ………………13分所以8c =16. （本小题满分13分）解：（I ）由数据的离散程度可以看出，B 型车在本星期内出租天数的方差较大………………3分（Ⅱ）这辆汽车是A 类型车的概率约为3A 333A ,B *****==+出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和这辆汽车是A 类型车的概率为313 ………………7分（Ⅲ）50辆A 类型车出租的天数的平均数为***-*****6775 4.6250A x ?+?+?+?+?== ………………9分50辆B 类型车出租的天数的平均数为***-********** 4.850B x ?+?+?+?+?== ………………11分答案一：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B 类型的出租车的利润较大,应该购买B 型车………………13分答案二：一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B 类车型一个星期出租天数的平均值为 4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以选择A 型车………………13分17. （本小题满分14分）解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接E O因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点又E 为CB 中点，所以E O 为1A BC ?的中位线，所以1//EO A B ………………3分又EO ?平面1AEC ，1A B ?平面1AEC所以1//A B 平面1AEC ………………6分(Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以A E B C ⊥ ………………8分又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面A B C ，又AE ?底面A B C , 所以1AE BB ⊥,又因为1BB BC B = ，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ?平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………………10分在矩形11BCC B 中, 111tan tan 2C B C EC C ∠=∠=,所以111CB C EC C ∠=∠，所以*****C B C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ………………12分又1AE EC E = ，所以1B C ⊥平面11BCC B ………………14分18. （本小题满分13分）解：（I ）因为(1)(1)0,f g ==所以(1,0)在函数(),()f x g x 的图象上又'(),'()a f x x g x x，所以'(1)1,'(1)f g a ==所以1a = ………………3分（Ⅱ）因为211()ln 22F x x m x =--，其定义域为{|0}x x2'()m x m F x x x x-=-=………………5分当0m 时，2'()0m x m F x x x x-=-=，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F = ………………7分当0m 时，令2'()0m x m F x x x x-=-，得到120,0x x == (舍)81≤时，即01m ≤时，'()0F x 对(1,e)恒成立，所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F = (9)分e ≥时，即2e m ≥时, '()0F x 对(1,e)成立，所以()F x 在[1,e]上单调递减，其最小值为211(e)e 22F m =-- ………………11分当1e,即21e m 时, '()0F x对成立, '()0F x对e)成立所以()F x在单调递减,在e)上单调递增其最小值为1111lnln *****m F m m m m =--=--………13分综上，当1m ≤时，()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F = 当21e m 时，()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222m F m m =--当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211(e)e 22F m =--.19. （本小题满分14分）解：（I ）因为(1,0)F -为椭圆的焦点,所以1,c =又23,b = 所以24,a =所以椭圆方程为22143xy+= ………………3分（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45 ,所以直线的斜率为1,所以直线方程为1y x =+,和椭圆方程联立得到221431x yy x ?+=???=+?,消掉y ,得到*****x x +-= ………………5分所以***-*****8,,7 7x x x x ?=+=-=所以1224|||7C D x x =-=………………7分（Ⅲ）当直线l 无斜率时,直线方程为1x =-,此时33(1,),(1,)22D C ---, ,A B D A B C ??面积相等，12||0S S -= ………………8分当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠,设1122(,),(,)C x y D x y9和椭圆方程联立得到22143(1)x yy k x ?+=???=+?,消掉y 得2222(34)*****k x k x k +++-= 显然0?，方程有根，且22*****28412,3434kk x x x x kk-+=-=++ ………………10分此时*****|||2||||||2||S S y y y y -=-=+212|(1)(1)|k x k x =+++ 21212||2|()2|34k k x x k k=++=+ ………………12分因为0k ≠,上式1234||||k k =≤==+（2k =±所以12||S S -………………14分20. （本小题满分13分）解：（I ）由题2()f x ax axy ax a xx+===+在(0,)+∞是增函数，由一次函数性质知当0a 时，y ax a =+在(0,)+∞上是增函数，所以0a ………………3分（Ⅱ）因为()f x 是“一阶比增函数”，即()f x x在(0,)+∞上是增函数，又12,(0,)x x ?∈+∞，有112x x x +，212x x x + 所以112112()()f x f x x x x x ++，212212()()f x f x x x x x ++ ………………5分所以*****()()x f x x f x x x ++，*****()()x f x x f x x x ++所以***-*****121212()()()()()x f x x x f x x f x f x f x x x x x x ++++=+++所以1212()()()f x f x f x x ++ ………………8分10 （Ⅲ）设0()0f x =，其中00x .因为()f x 是“一阶比增函数”，所以当0x x 时，00()()0f x f x x x =法一：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t ，记()f t m =由（Ⅱ）知(2)2f t m ，同理(4)2(2)4f t f t m ，(8)2(4)8f t f t m 所以一定存在*n ∈N ，使得(2)220XX年n n f t m ?，所以()20XX年f x 一定有解………………13分法二：取(0,)t ∈+∞，满足()0f t ，记()f t k t =因为当x t 时，()()f x f t k x t =，所以()f x kx 对x t 成立。
2012-2013学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数21−i的值为（ ）A.1−iB.1+iC.−1−iD.−1+i2. 向量a →=(1, 1)，b →=(2, t)，若a →⊥b →，则实数t 的值为（ ） A.−2 B.−1 C.1 D.23. 在等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是（ ） A.13 B.12C.23D.564. 点P 是抛物线y 2=4x 上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ） A.2 B.3C.4D.55. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P 为24，则输出的n ，S 的值分别为（ ）A.n =4，S =30B.n =4，S =45C.n =5，S =30D.n =5，S =456. 已知点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，则直线AB 的方程为（ ） A.y =√3x +√3或y =−√3x −√3 B.y =√33x +√33或y =−√33x −√33C.y =x +1或y =−x −1D.y =√2x +√2或y =−√2x −√27. 已知函数f(x)={sin x,sin x ≥cos xcos x,sin x <cos x 则下面结论中正确的是（ ）A.f(x)是奇函数B.f(x)的值域是[−1, 1]C.f(x)是偶函数D.f(x)的值域是[−√22, 1]8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P // 平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是( )A.[1, √52]B.[3√24, √52] C.[√52, √2]D.[√2, √3]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.tan 225∘的值为________． 双曲线x 23−y 23=1的渐近线方程为________；离心率为________．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2+a 6=a 8，则S5a 5=________．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx −1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为________．三棱锥S −ABC 及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为________．任給实数a ，b 定义a ⊕b ={a ×b,a ×b ≥0a b，a ×b <0 设函数f(x)=ln x ⊕x ，则f(2)+f(12)=________；若{a n }是公比大于0的等比数列，且a5=1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1，则a1=________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.已知函数f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f(A)=1．（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=5，求c的值．某汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车(I)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系（只需写出结果）；(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC＝90∘，AB＝AC＝AA1，且E是BC中点．(Ⅰ)求证：A1B // 平面AEC1；(Ⅱ)求证：B1C⊥平面AEC1．已知函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，设F(x)＝f(x)−mg(x)(m≠0)．（1）求a的值（2）求F(x)在区间[1, e]上的最小值．已知椭圆M：：x2a2+y23=1(a>0)的一个焦点为F(−1, 0)，左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）求椭圆方程；（2）当直线l的倾斜角为45∘时，求线段CD的长；（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1−S2|的最大值．已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，若y=f(x)x在(0, +∞)上为增函数，则称f(x)为“一阶比增函数”．（1）若f(x)=ax2+ax是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是“一阶比增函数”，求证：∀x1，x2∈(0, +∞)，f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)；（3）若f(x)是“一阶比增函数”，且f(x)有零点，求证：f(x)>2013有解．参考答案与试题解析2012-2013学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 B【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a +bi(a 、b ∈R)，可得选项． 【解答】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i 2=1+i ．故选B ． 2.【答案】 A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】由题意可得a →⋅b →=1×2+1×t =0，解之即可． 【解答】解：∵ a →=(1, 1)，b →=(2, t)，且a →⊥b →， ∴ a →⋅b →=1×2+1×t =0，解得t =−2 故选A 3.【答案】 B【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】利用三角形的面积公式，判断P 所在的位置，利用几何概型求出结果即可． 【解答】解：因为等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC ， 所以PB ≤PC ，所以P 在BC 的中点靠近B 的一侧，所以等边△ABC 的边BC 上任取一点P ，则S △ABP ≤S △APC 的概率是：S △ABP S △ABC=PB BC =12．故选B ． 4.【答案】 B【考点】 抛物线的求解 【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4，则M 到准线的距离也为2，即点M 的横坐标x +p2=4，将p 的值代入，进而求出x ． 【解答】解：∵ 抛物线y 2=4x =2px ， ∴ p =2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的， ∴ P 到该抛物线焦点的距离|MF|=4=x +p2=4，∴ x =3， 故选B ． 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图及已知中输入24，可得：进入循环的条件为S <24，即S =0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的n ，S 值． 【解答】解：开始S =0时，S =0+3=3，n =2； S =3+6=9，n =3； S =9+9=18，n =4； S =18+12=30，n =5；此时S >24，退出循环，故最后输出的n ，S 的值分别为n =5，S =30． 故选C ． 6. 【答案】 B【考点】两点间的距离公式 直线的一般式方程【解析】通过AB 的距离，求出cos α，与sin α，然后求出AB 的斜率，利用点斜式求出直线的方程． 【解答】解：因为点A(−1, 0)，B(cos α, sin α)，且|AB|=√3，所以(cos α+1)2+sin 2α=3，所以2cos α=1，cos α=12，sin α=±√32， 所以K AB =sin αcos α+1=±√33， 所以直线AB 的方程：y =±√33(x +1)．即y =√33x +√33或y =−√33x −√33． 故选B ．7.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断 函数的值域及其求法 【解析】由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，再根据三角函数的图象与性质可得正确答案．【解答】解：由题意可得：函数f(x)={sin x,x ∈(π4+2kπ，5π4+2kπ]cos x,x ∈[2kπ−3π4，2kπ+π4]，其图象如图所示，所以f(x)的值域是[−√22, 1]． 故选D ． 8.【答案】 B【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，易证平面A 1MN // 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时A 1P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】解：如下图所示：分别取棱BB 1、B 1C 1的中点M 、N ，连接MN ，连接BC 1，∵ M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴ MN // BC 1，EF // BC 1， ∴ MN // EF ，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， ∴ MN // 平面AEF ；∵ AA 1 // NE ，AA 1=NE ，∴ 四边形AENA 1为平行四边形， ∴ A 1N // AE ，又A 1N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， ∴ A 1N // 平面AEF ，又A 1N ∩MN =N ，∴ 平面A 1MN // 平面AEF ， ∵ P 是侧面BCC 1B 1内一点，且A 1P // 平面AEF ， 则P 必在线段MN 上，在Rt △A 1B 1M 中，A 1M =√A 1B 12+B 1M 2=√1+(12)2=√52， 同理，在Rt △A 1B 1N 中，求得A 1N =√52， ∴ △A 1MN 为等腰三角形，当P 在MN 中点O 时A 1P ⊥MN ，此时A 1P 最短，P 位于M 、N 处时A 1P 最长， A 1O =√A 1M 2−OM 2=√(√52)2−(√24)2=3√24， A 1M =A 1N =√52， 所以线段A 1P 长度的取值范围是[3√24, √52]． 故选B .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 1【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】利用诱导公式即可求得答案． 【解答】解：∵ tan 225∘=tan (180∘+45∘)=tan 45∘=1，故答案为：1．【答案】y=±x,√2【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，能求出双曲线x23−y23=1的渐近线方程和离心率．【解答】解：∵双曲线x 23−y23=1的渐近线方程为x23−y23=0，∴双曲线x23−y23=1的渐近线方程为y=±x；离心率e=ca =√3+3√3=√2．故答案为：y=±x，√2．【答案】3【考点】等差数列的通项公式等差数列的前n项和【解析】设出等差数列的首项和公差，然后由a2+a6=a8列式求得a1和d的关系，最后把要求的比式S5a5转化为仅含有公差d的式子，则答案可求．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以S5a5=5a1+5×(5−1)d2a1+4d=5a1+10da1+4d=15d5d=3．故答案为3．【答案】[3, +∞)【考点】简单线性规划【解析】作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部．因为直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，所以当直线y＝kx−1与区域有公共点时，直线的位置应界于AM、CM之间，由此算出直线CM的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围．【解答】作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△ABC及其内部，即为区域Ω其中A(0, 1)，B(0, 3)，C(1, 2)∵直线y＝kx−1经过定点M(0, −1)，∴当直线y＝kx−1与区域Ω有公共点时，它的位置应界于AM、CM之间（含边界）∵直线CM的斜率k3∴直线y＝kx−1斜率的最小值为3，可得实数k的取值范围为[3, +∞)【答案】4√2【考点】点、线、面间的距离计算简单空间图形的三视图【解析】由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中边AC的高，利用勾股定理即可求出棱BD的长．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由左视图知CD＝4，BE＝2√3，在Rt△BCE中，BC=√BE2+EC2=√(2√3)2+22=4，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√42+42=4√2．【答案】0,e【考点】数列的求和函数的求值【解析】由新定义可得f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，代入数值求解可得；可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，当q>1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=−q4ln q4<0，不合题意，当0<q<1时，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=1q，解之即可．【解答】解：∵a⊕b={a×b,a×b≥0ab，a×b<0，∴f(x)=ln x⊕x={x ln xx≥1ln xx0<x<1，∴f(2)+f(12)=2ln2+ln1212=2ln2+2ln12=2ln2−2ln2=0；∵{a n}是公比大于0的等比数列，且a5=1，故可设该数列的前8项分别为1q4，1q3，1q2，1q，1，q，q2，q3，故当q>1时，数列的前4项1q，1q，1q，1q均为(0, 1)之间的数，数列的6、7、8项q，q2，q3均大于1，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln1q4+q3ln1q3+q2ln1q2+q ln1q+0+q ln q+q2ln q2+q3ln q3=−q4ln q4<0，这与f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=a1=1q4>0矛盾；同理可得当0<q<1时，数列的前4项1q4，1q3，1q2，1q均为大于1，数列的6、7、8项q，q2，q3均为(0, 1)之间的数，f(a1)+f(a2)+f(a3)…+f(a7)+f(a8)=q4ln q4=a1=1q4，解得1q4=e，故a1=e故答案为：0；e三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【考点】求二倍角的余弦求二倍角的正弦余弦定理【解析】（1）由f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简，然后结合f(A)=1，及A∈(0, π)可求A；（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A可求c【解答】解：（1）因为f(x)=√3sin x cos x−cos2x+12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)…又f(A)=sin(2A−π6)=1，A∈(0, π)，…所以2A−π6∈(−π6,7π6)，2A−π6=12π∴A=13π…（2）由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A得到49=25+c2−2×5cos13π，所以c2−5c−24=0…解得c=−3（舍）或c=8…所以c=8【答案】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B型车出租天数的方差较大，所以应购买A型车．【考点】古典概型及其概率计算公式极差、方差与标准差【解析】(Ⅰ)由数据的离散程度可以看出哪个方差较大；(Ⅱ)利用古典概型的概率计算公式即可得出；(Ⅲ)可有从出租的天数的平均数或出租天数的方差大小去考虑．【解答】（I）由数据的离散程度可以看出，B型车在本星期内出租天数的方差较大．（2）∵出租天数为3天的汽车A型车有3辆，B型车有10辆，从这13辆中任取一辆可有C131=13中方法，其中任取一辆是A型车的抽法有C31=3中，因此随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率P=313；(Ⅲ)50辆A类型车出租的天数的平均数x A¯=3×3+4×30+5×15+6×7+7×550=4.62；50辆B类型车出租的天数的平均数x B¯=3×10+4×10+5×15+6×10+7×550=4.8．答案一：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，选择B类型的出租车的利润较大，应该购买B型车．答案二：一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62，B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8，而B 型车出租天数的方差较大，所以应购买A 型车． 【答案】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22，∵∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1， 又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【考点】直线与平面垂直 直线与平面平行【解析】对(I)，根据三角形的中位线平行于底边，在平面内作平行线，再由线线平行⇒线面平行． 对(II)，根据直棱柱的性质，侧棱与侧面都与底面垂直，可证平面内的AE 与B 1C 垂直； 利用平面几何与三角函数知识，证C 1E 与B 1C 垂直；再由线线垂直⇒线面垂直． 【解答】证明：(I) 连接A 1C 交AC 1于点O ，连接EO ∵ ACC 1A 1为正方形，∴ O 为中点∴ EO // A 1B ，EO ⊂平面AEC 1，A 1B ⊄平面AEC 1， ∴ A 1B // 平面AEC 1．（2）∵ AB ＝AC ，E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC∵ 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴ AE ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C ⊂平面BB 1C 1C ， ∴ B 1C ⊥AE在矩形BCC 1B 1中，tan ∠CB 1C 1＝tan ∠EC 1C =√22， ∵ ∠CB 1C 1+∠B 1CC 1=π2 ∴ ∠B 1CC 1+∠EC 1C =π2，∴ B 1C ⊥EC 1，又AE ∩EC 1＝E ， ∴ B 1C ⊥平面AEC 1【答案】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln 1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f ′(x)=x,g ′(x)=ax，所以f ′(1)＝1，g ′(1)＝a所以a ＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x 2−12−m ln x ，其定义域为{x|x >0}F ′(x)=x −m x=x 2−m x当m <0时，F ′(x)=x −m x=x 2−m x>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m ⋅ln 1=0． 当m >0时，令F ′(x)=x −m x=x 2−m x=0，得到x 1=√m >0,x 2=−√m <0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】（1）因为函数f(x)=12x2−12与函数g(x)＝a ln x在点(1, 0)处有公共的切线，且f(1)＝g(1)＝0，说明点(1, 0)在两条曲线上，把两函数求导后根据在(1, 0)处的导数值相等可得a的值；（2）把f(x)与g(x)代入函数F(x)的解析式，然后求其导函数，分m<0和m>0判断导函数的单调性，根据函数的单调性求得F(x)在区间[1, e]上的最小值．其中当m>0时需要由导函数的零点对区间[1, e]进行分段．【解答】因为f(1)=12×12−12=0，g(1)＝a ln1＝0，所以(1, 0)在函数f(x)，g(x)的图象上又f′(x)=x,g′(x)=ax，所以f′(1)＝1，g′(1)＝a 所以a＝1因为F(x)＝f(x)−mg(x)，所以，F(x)=12x2−12−m ln x，其定义域为{x|x>0}F′(x)=x−mx=x2−mx当m<0时，F′(x)=x−mx =x2−mx>0，所以F(x)在(0, +∞)上单调递增所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)=12×12−12−m⋅ln1=0．当m>0时，令F′(x)=x−mx =x2−mx=0，得到x1=√m>0,x2=−√m<0（舍）当√m≤1时，即0<m≤1时，F′(x)>0对(1, e)恒成立，所以F(x)在[1, e]上单调递增，其最小值为F(1)＝0当√m≥e时，即m≥e2时，F′(x)<0对(1, e)成立，所以F(x)在[1, e]上单调递减，其最小值为F(e)=12e2−12−m当1<√m<e，即1<m<e2时，F′(x)<0对(1,√m)成立，F′(x)>0对(√m,e)成立所以F(x)在(1,√m)单调递减，在(√m,e)上单调递增其最小值为F(√m)=12m−12−m ln√m=12m−12−m2ln m．综上，当m≤1，且m≠0时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(1)＝0．当1<m<e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(√m)=12m−12−m2ln m．当m≥e2时，F(x)在[1, e]上的最小值为F(e)=12e2−12−m．【答案】解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为x24+y23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=x+1，消掉y，得到7x2+8x−8=0，所以△=288，x1+x2=−87，x1x2=−87，所以|CD|=√1+k2|x1−x2|=√2×√(x1+x2)2−4x1x2=247；（3）当直线l无斜率时，直线方程为x=−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD，△ABC面积相等，|S1−S2|=0，当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x+1)(k≠0)，设C(x1, y1)，D(x2, y2)，和椭圆方程联立得到{x24+y23=1y=k(x+1)，消掉y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0，显然△>0，方程有根，且x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，此时|S1−S2|=2||y1|−|y2||=2|y1+y2|=2|k(x2+1)+k(x1+1)|=2|k(x2+x1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√|k|×4|k|=2√12=√3，（k=±√32时等号成立）所以|S1−S2|的最大值为√3．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（3）当直线l不存在斜率时可得，|S1−S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k(x +1)(k ≠0)，与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1−S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 【解答】 解：（1）因为F(−1, 0)为椭圆的焦点，所以c =1，又b 2=3， 所以a 2=4，所以椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）因为直线的倾斜角为45∘，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y =x +1，和椭圆方程联立得到 {x 24+y 23=1y =x +1，消掉y ，得到7x 2+8x −8=0， 所以△=288，x 1+x 2=−87，x 1x 2=−87，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=247；（3）当直线l 无斜率时，直线方程为x =−1，此时D(−1, 32)，C(−1, −32)，△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1−S 2|=0， 当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y =k(x +1)(k ≠0)， 设C(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，和椭圆方程联立得到{x 24+y 23=1y =k(x +1)，消掉y 得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然△>0，方程有根，且x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，此时|S 1−S 2|=2||y 1|−|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k(x 2+1)+k(x 1+1)|=2|k(x 2+x 1)+2k|=12|k|3+4k2=123|k|+4|k|≤2√3|k|×4|k|=2√12=√3，（k =±√32时等号成立） 所以|S 1−S 2|的最大值为√3． 【答案】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x >t 时，f(x)x>f(t)t=k ，所以f(x)>kx 对x >t 成立．只要 x >2013k，则有f(x)>kx >2013，所以f(x)>2013 一定有解．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用“一阶比增函数”的意义及一次函数的单调性即可得出； （2）利用“一阶比增函数”的意义及增函数的定义即可证明； （3）利用“一阶比增函数”的意义和（2）的结论即可证明． 【解答】解：（1）由题意得y =f(x)x=ax 2+axx=ax +a 在(0, +∞)是增函数，由一次函数性质知：当a >0时，y =ax +a 在(0, +∞)上是增函数， ∴ a >0．（2）∵ f(x)是“一阶比增函数”，即f(x)x在(0, +∞)上是增函数，又∀x 1，x 2∈(0, +∞)，有x 1<x 1+x 2，x 2<x 1+x 2， ∴f(x 1)x 1<f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)x 2<f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2，f(x 2)<x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2，∴ f(x 1)+f(x 2)<x 1f(x 1+x 2)x 1+x 2+x 2f(x 1+x 2)x 1+x 2=f(x 1+x 2)．（3）设f(x 0)=0，其中x 0>0．因为f(x)是“一阶比增函数”，所以当x >x 0时，f(x)x>f(x 0)x 0=0．法一：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)=m ．由（2）知f(2t)>2m ，同理f(4t)>2f(2t)>4m ，f(8t)>2f(4t)>8m ． 所以一定存在n ∈N ∗，使得f(2n t)>2n m >2013， 所以f(x)>2013 一定有解．法二：取t ∈(0, +∞)，满足f(t)>0，记f(t)t=k ．因为当x>t时，f(x)x >f(t)t=k，所以f(x)>kx对x>t成立．只要x>2013k，则有f(x)>kx>2013，所以f(x)>2013一定有解．。
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海淀区高三年级第二学期期中练习
数 学 （文） 参考答案及评分标准
2013．4
说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
二、填空题（本大题共
6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）
三、解答题(本大题共6小题
,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I
）2
π
1()2)1
32
f =--=………………2分 因为2()2cos )f x x x =--
222(3sin cos cos )x x x x =-+- 22(12sin )x x =-+……
…………4分
212sin x x =-+
cos2x x =………………6分
π
= 2sin(2)6
x +………………8分所以 ()f x 的周期为
9． 0 10． 2
1-
11.16 12．4 13． 4a >
14．2,2
2π2π
π||2
T ω=
==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时， π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666
x +∈- 所以当6
x π
=-
时，函数取得最小值()16
f π
-
=-………………11分当6
x π
=
时，函数取
得最大值()26
f π
=………………13分
16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………2分
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为
40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………4分
（II ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)
2.940
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
………………8分（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A ，又恰有两人的两科成绩等级均为A ，
所以还有2人只有一个科目得分为A ………………9分
设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A 的同学，则在至少一科成绩等级为A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为
{Ω={甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}},一共有6个基本
事件 ………………11分
设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A ”为事件B ，所以事件B 中包含的基本事件有1个，则1
()6
P B =
. ………………13分 17.解：（I ）证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分
又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA
AC A =，所以BD ⊥平面PAC ………………4分
又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………5分
（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =6分 在ACD ∆，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =
30CAD ∠=，所以，DM =
:3:1BM MD =………………8分 所以::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………9分
又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所 以//MN 平面PDC ………………11分 （Ⅲ）假设直线//l CD ，因为l ⊂平面PAB ，CD ⊄平面PAB ， 所以//CD 平面PAB ………………12分 又CD ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，所以//CD AB ……………13分
这与CD 与AB 不平行，矛盾
所以直线l 与直线CD 不平行………………14分
18.解：（I ）因为2'()f x x k =-………………2分
当4k =时，2'()4f x x =-，令2'()40f x x =-=，所以122,2x x ==-
'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：
………………4分所以()f x 的单调递增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞ 单调递减区间是(2,2)-………………6分
（II ）令()()g x f x k =-，所以()g x 只有一个零点………………7分 因为2'()'()g x f x x k ==-
当0k =时，3()g x x =，所以()g x 只有一个零点0 ………………8分 当0k <时，2'()0g x x k =->对R x ∈成立，
所以()g x 单调递增，所以()g x 只有一个零点………………9分
当0k >时，令2'()'()0g x f x x k ==-=，解得1x =或2x =10分
所以'(),()
g x g x随x的变化情况如下表：
()
g x有且仅有一个零点等价于(0
g<………………11分
即
2
(0
3
g k
=<，解得
9
4
k
<<………………12分综上所述，k的取值范围
是
9
4
k<………………
13分
19.解：(I)设椭圆的焦距为2c，
因为a=，
c
a
=，所以1
c=
………………2分
所以1
b=
所以椭圆C：
2
21
2
x
y
+=………………4分
（II）设A（1x，1y），B
(2x，2y)
由直线l与椭圆C交于两点A，B，则
22
220
y kx
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
所以22
(12)20
k x
+-=, 则
12
x x
+=，
122
2
12
x x
k
=-
+
………………6分
所以AB==8分
点M）到直线l的距离d=………………10分
则GH=………………11分
显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx
=就是y轴，矛盾，
因为AG BH
=，所以AB GH
=
H
G
B
所以22
22
8(1)724()1231k k k k +=-++
解得21k =,即1k =±………………14分
20.解: (I)因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数）
故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点(0,0)的“相关点”有8个………………1分又因为22()()5x y ∆+∆=，即2211(0)(0)5x y -+-=
所以这些可能值对应的点在以(0,0)3分 (II)设(,)M M M x y ，因为(),()M H L M ττ==
所以有|9||3|3M M x y -+-=，|5||3|3M M x y -+-=………………5分 所以|9||5|M M x x -=-，所以7,M x =2M y =或4M y = 所以(7,2)M 或(7,4)M ………………7分
(III)当*
2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0………………8分
当=1n 时，可知0||n P P 9分
当=3n 时，对于点P ，按照下面的方法选择“相关点”，可得300(,+1)P x y ：
000(,)P x y →100200300(+2,+1)(+1,+3)(,+1)P x y P x y P x y →→
故0||n P P 的最小值为1………………11分
当231,,*
, N n k k k =+>∈时，对于点P ，经过2k 次变换回到初始点000(,)P x y ，然后经
过3次变换回到00(,+1)n P x y ，故0||n P P 的最小值为1
综上，当=1n 时，0||n P P 当*
2,N n k k =∈时，0||n P P 的最小值为0
当21*, N n k k =+∈时，0||n P P 的最小值为1 ………………13分。