辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷(文科)

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辽宁省抚顺市六校协作体2015_2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}2．下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y=log2x B．y=C．y=﹣ D．y=3．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2 D．44．已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．4 C．3 D．不确定5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B．C．D．6．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lny=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.39．如果幂函数的图象不过原点，则取n值为（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=210．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π11．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．= ．14．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是．15．设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为．16．已知函数f（x）=的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为增函数．其中正确命题的序号为．（将你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}（1）求A∩∁U B（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．（1）求证：AE∥平面BCD；（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈（﹣1，1）时，有g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围；（3）求函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合．2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y=log2x B．y=C．y=﹣ D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的单调性判断．【解答】解：A选项：y=log2x在（0，+∞）上单调递增，故排除．B选项：与在（0，+∞）上单调性一致，为单调递增，故排除．C选项：单调性相反，所以在（0，1）上是单调递增的，故排除．故答案为D．【点评】考察函数的单调性的判断，属基础题．3．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2 D．4【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，由此能求出原梯形的面积．【解答】解：如图，由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故选：D．【点评】本题考查原梯形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面中的图形与直观图中的图形间相互关系的合理运用．4．已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．4 C．3 D．不确定【考点】三点共线．【专题】计算题．【分析】三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，由AB的斜率和AC的斜率相等，求出实数a的值．【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即=，∴a=3，故选 C．【点评】本题考查三点共线的性质，当三点共线时，任意两点连线的斜率都相等．5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：故选B．【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．6．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；若l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l．故选C．【点评】本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力．7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lny=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由式子有意义可知y＞0，将x=0代入原式可得y=e得出答案．【解答】解：由式子有意义可知y＞0，排除C，D；将x=0代入|x﹣1|﹣lny=0得y=e＞1．排除B．故选：A．【点评】本题考查了函数图象的判断，借助于特殊点，值域等采用排除法是快速解题的关键．8．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.3【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．如果幂函数的图象不过原点，则取n值为（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=2【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】幂函数的图象不过原点，可得n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解得n=1或2．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质、一元二次不等式与方程的解法，属于基础题．10．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；球．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．11．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．= ﹣3 ．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】直接利用根式以及分数指数幂以及对数的运算法则，化简求解即可．【解答】解：由==2﹣+﹣3=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查对数、指数运算，根式以及分数指数幂的运算，基本知识的考查．14．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是3或5 ．【考点】两条直线平行的判定．【专题】计算题．【分析】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．【解答】解：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有故答案为：3或5．【点评】本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．15．设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为[﹣2，4] ．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（lgx）的定义域求出函数f（x）的定义域，然后求得函数f（）的定义域．【解答】解：因为函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，由0.1≤x≤100，得：﹣1≤lgx≤2，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，再由，得：﹣2≤x≤4，所以函数f（）的定义域为[﹣2，4]．故答案为[﹣2，4]．【点评】本题考查了对数函数的定义域，考查了复合函数定义域的求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，让g（x）∈[a，b]，求解x即可，给出了f[g（x）]的定义域，求函数f（x）的定义域，就是求函数g（x）的值域，此题是基础题．16．已知函数f（x）=的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为增函数．其中正确命题的序号为②③④．（将你认为正确的命题的序号都填上）【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，求出函数g（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．【解答】解：∵函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=∵h（x）=g（1﹣x2）=，x∈（﹣1，1）而h（﹣x）==h（x）则h（x）是偶函数，故①不正确，②正确该函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增∴h（x）有最小值为0，无最大值故选项③④正确，故答案为：②③④【点评】本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH 所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；（Ⅱ）∵，BH⊥AC，∴，∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}（1）求A∩∁U B（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】（1）首先化简集合A，B，再求A∩C U B；（2）注意讨论C是否是空集，从而解得．【解答】解（1）∵（x+3）（4﹣x）≤0，∴A=（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞），∵0＜x+2＜8，∴B=（﹣2，6），∴A∩C U B=（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）；（2）①当2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，成立；②当2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）⊆（﹣2，6），∴得﹣1≤a≤5，∴﹣1≤a＜1．综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）取BC中点F，连结EF，AF，由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF 是平行四边形，故DE∥AF，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，故DE⊥BC；（2）把△BCE看做棱锥的底面，则DE为棱锥的高，求出棱锥的底面积和高，代入体积公式即可求出．【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF是△BCB1的中位线，∴EF∥BB1，EF=BB1，∵AD∥BB1，AD=BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．（2）∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，又∵AF⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，∵AC=5，BC=6，∴CF==3，∴AF==4，∴DE=AF=4∵BC=BB1=6，∴S△BCE==9．∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==12．【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x，化简得，2ax+a+b=2x，∴，∴a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1；（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为，∴g（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．因此只需g（x）的最小值大于零即可，g（x）min=g（1），∴g（1）＞0，即1﹣3+1﹣m＞0，解得，m＜﹣1，∴实数m的取值范围是m＜﹣1．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．（1）求证：AE∥平面BCD；（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．【解答】证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，…所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，…又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，…又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，…所以AE∥平面BCD．…（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM．…由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．…因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．…【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈（﹣1，1）时，有g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围；（3）求函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数定义判断．（2）根据单调性转化为不等式组有，求解即可．（3）利用函数g（x）=log，在区间[，3]上是单调递增，得出g（3）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2，再根据上界判断即可．【解答】解：（1）∵函数g（x）=log为奇函数．∴g（﹣x）=﹣g（x），即log=﹣log∴=，1﹣x2=1﹣a2x2得出；a=±1，而a=1时不符合题意，故a=﹣1，（2）g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），g（x）为增函数，所以有，解得1，故不等式的解集{m|1}，（3）由（1）得：g（x）=log，因为函数g（x）=log，在区间（1，+∞）上是单调递增，即函数g（x）=log，在区间[，3]上是单调递增，g（3）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2所以g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合（2，+∞）【点评】本题综合考查了函数的概念，性质，结合不等式解决问题，属于中档问题，关键是利用单调性，得出范围，即可．。

辽宁师范大学附属中学2015届高三模拟考试(精品卷) 数学(文)试题(word版)

2015年辽师大附中高三年级模拟考试（精品卷）数学文科试卷命题人：高三数学文科备课组一．选择题（每题5分，共60分） 1.设集合}0{,},{,}ln ,2{=⋂==B A y x B x A 若，则y 的值为（）A ．eB ．1C ．e1 D ．0 2.若复数Z 满足（1+i ）Z=i ，则Z 的虚部为（） A ．i 21-B ．21-C ． 21D ． i 21 3．下列结论正确的是（）A ．若向量// ，则存在唯一实数λλ=使B ．已知向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅”C ．“若21cos ,3==θπθ则”的否命题为“若21cos ,3≠≠θπθ则” D ．若命题01,:,01,:22>+-∈∀⌝<+-∈∃x x R x p x x R x p 则 4．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B ．1 C.53D ．25．已知向量c b a c b k a ⊥-===)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（，则实数k 的值为（） A ．29-B ．0C ．3D ．2156.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.9B.16C.25D.36 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）（A （B（C （D ）38.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O .若点M 是D 上的动）9．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形10.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值3111.已知F 2，F 1是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a y 的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ．3C ． 3D ．212．已知)(x f 的定义域为),0(+∞，)()(x f x f 为'的导函数，且满足)()(x f x x f '-<，则不等式)1()1()1(2-->+x f x x f 的解集是（）A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．（1，2）D ．),2(+∞ 二．填空题（每题5分，共20分） 13一元二次不等式)(022b a b x ax >>++的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a x x 1|，则b a b a -+22的最小值为__________14. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若 13,4,,12,A B A C A B A C A A ==⊥=，则球O 的半径为 __________.15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．16数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 .三．解答题17.(本题12分) 设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ∙=-11，∈n N *（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式； (Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。

2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|（x﹣1）2＜4}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1}2．已知函数，则的值是（）A．9 B．﹣9 C．D．3．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，]D．[，2）4．函数f（x）=|x|﹣ax﹣1仅有一个负零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）5．已知复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C． D．由表中数据算出线性回归方程=x+中的=9.4，据此估计该商品广告费用为6万元时销售额约为（）万元．A．63.6 B．64.2 C．65.1 D．65.57．为庆祝冬奥申办成功，随机调查了500名性别不同的大学生是否爱好某项冬季运动，提出假设H：“爱好这项运动与性别无关”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05．则下列表述中正确的是（）A．有95%的把握认为“爱好这项运动与性别有关”B．有95%的把握认为“爱好这项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别无关”8．函数y=x|x|的图象大致是（）A．B．C．D．9．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形10．已知函数f（x）=log a x2+a|x|，若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x2﹣2x）≤f（3）的解集为（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，3] 11．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为（）A．100m2B．10000m2C．2500m2D．6250m212．若函数f（x）=log4（mx2+2x+3）的最小值为0，则m的值为（）A．B．C．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则f（x）＞0的解集为．14．设f（x）=，求：f（0）+f（1）；f（﹣1）+f（2）；f（﹣2）+f（3），由此可以猜想出的一般性结论是．15．如图所示（算法流程图）的输出值x=16．关于函数f（x）=lg（x≠0），给出下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）在区间（﹣1，0），（2，+∞）上是增函数；④f（x）的最小值是lg2；⑤f（x）既无最大值，也无最小值．其中正确的序号是．三、解答题17．已知全集M={1，m，3+（m2﹣5m﹣6）i}，集合N={x|x2﹣2x﹣3=0}，若M∩N={3}，求M∪N．18．已知函数f（x）=x|m﹣x|，且f（4）=0．（1）求实数m的值；（2）出函数f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）=a只有一个实根，确定a的取值范围．19．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正实数x、y恒有①f（2）=1；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（）=f（x）﹣f（y）．（1）试判断函数f（x）的单调性；（2）若f（t）+f（t﹣3）≤2，试求t的取值范围．20．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件抽用时间，为此做了四次试验，得到的数（2）求出回归方程；（3）根据回归方程估计加工10个零件需要多少个小时．（参考公式： ==， =﹣）21．NBA 决赛期间，某高校对学生是否收看直播进行调查，将得到的数据绘成如下的2×2考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；（2）若∠BAC=30°，△ABC 中BC 边上的高为1+，求△ABC 外接圆的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：ρ=，点P （2cos α，2sin α+2），参数α∈[0，2π]．（1）求点P 轨迹的直角坐标方程；（2）求点P 到直线l 距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+7|+|x﹣1|，对任意实数x，不等式f（x）≥m恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．2015-2016学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|（x﹣1）2＜4}，B={x||x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|﹣1＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x﹣1）2＜4}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}，B={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，则∁R B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩（∁R B）={x|﹣1＜x≤1}，故选：A2．已知函数，则的值是（）A．9 B．﹣9 C．D．【考点】对数的运算性质．【分析】因为，所以f（）=log2=log22﹣2=﹣2≤0，f（﹣2）=3﹣2=，故本题得解．【解答】解：=f（log2）=f（log22﹣2）=f（﹣2）=3﹣2=，故选C．3．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，]D．[，2）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由已知条件推导出对任意实数x，函数f（x）=是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，∴对任意实数x，函数f（x）=是增函数，∵a＞0且a≠1，∴，∴1＜a．∴a的取值范围是（1，]．故选：C．4．函数f（x）=|x|﹣ax﹣1仅有一个负零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用函数的图象结合函数的性质，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=|x|﹣ax﹣1仅有一个负零点，就是方程|x|=ax+1仅有一个负根，即函数y=|x|与y=ax+1只有一个x＜0时的交点．如图：由图象可知a≥1时，函数f（x）=|x|﹣ax﹣1仅有一个负零点，故选：D．5．已知复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A．B．C． D．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数z满足z的等式，表示出z，进行复数的除法运算分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到代数形式的标准形式，再根据共轭复数的定义，写出【解答】解：∵复数z满足，∴z===∴复数的共轭复数是故选B由表中数据算出线性回归方程=x+中的=9.4，据此估计该商品广告费用为6万元时销售额约为（）万元．A．63.6 B．64.2 C．65.1 D．65.5【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心，代入回归方程得出，得出回归方程，把x=6代入回归方程计算．【解答】解：=×（4+2+3+5）=3.5，=×（49+26+39+54）=42，∴42=9.4×3.5+，解得=9.1．∴回归方程为=9.4x+9.1．当x=6时，=9.4×6+9.1=65.5．故选：D．7．为庆祝冬奥申办成功，随机调查了500名性别不同的大学生是否爱好某项冬季运动，提出假设H：“爱好这项运动与性别无关”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05．则下列表述中正确的是（）A．有95%的把握认为“爱好这项运动与性别有关”B．有95%的把握认为“爱好这项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好这项运动与性别无关”【考点】回归分析．【分析】根据观测值与对应的临界值的意义，利用观测值大于哪一个临界值，即可得到两个变量有关系的可信程度．【解答】解：根据题意，计算的K2≈3.918，经查临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，所以，有0.05的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有95%的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．故选：A．8．函数y=x|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，可知函数为奇函数，排除A，B，当x＞0时，y=x2，根据y=x2的图象排除D，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）=x|x|∴f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x）∴函数f（x）=x|x|为奇函数，排除A，B，当x＞0时，y=x2，根据y=x2的图象排除D故选C．9．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【考点】演绎推理的基本方法．【分析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，由四边形ABCD 为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，得到大前提．【解答】解：用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形的对角线相等，故选B．10．已知函数f（x）=log a x2+a|x|，若f（﹣3）＜f（4），则不等式f（x2﹣2x）≤f（3）的解集为（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，3]【考点】不等式的综合；对数函数的图象与性质．【分析】由已知中函数f（x）=log a x2+a|x|，f（﹣3）＜f（4），分析函数的奇偶性及单调性，进而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a x2+a|x|，∴f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数，当x＞0时，f（x）=log a x2+a x，由f（﹣3）=f（3）＜f（4），故a＞1，函数在（0，+∞）上为增函数，若f（x2﹣2x）≤f（3），则﹣3≤x2﹣2x＜0，或0＜x2﹣2x≤3，解得：x∈[﹣1，0）∪（0，3]，故选：D11．一批材料可以建成200m长的围墙，现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场，中间隔成3个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形最大总面积为（）A．100m2B．10000m2C．2500m2D．6250m2【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设出宽，进而可表示出长，利用矩形面积公式求得面积的表达式，再利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值．【解答】解：设每个小矩形的高为am，则长为b=m，记面积为Sm2则S=3ab=a•=﹣4a2+200a（0＜a＜50）∴当a=25时，S max=2500（m2）∴所围矩形面积的最大值为2500m2故选C．12．若函数f（x）=log4（mx2+2x+3）的最小值为0，则m的值为（）A．B．C．3 D．2【考点】二次函数的性质；对数函数的图象与性质．【分析】若函数f（x）=log4（mx2+2x+3）的最小值为0，则函数t=mx2+2x+3的最小值为1，由二次函数的图象和性质，可得答案．【解答】解：若函数f（x）=log4（mx2+2x+3）的最小值为0，则函数t=mx2+2x+3的最小值为1，故，解得：m=，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则f（x）＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣1，0）．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），①当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，即log2x＞0，解得1＜x，②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＞0，即﹣log2（﹣x）＞0，则log2（﹣x）＜0=log21，解得0＞x＞﹣1，综上，不等式的解集是（1，+∞）∪（﹣1，0）．故答案为：（1，+∞）∪（﹣1，0）．14．设f（x）=，求：f（0）+f（1）；f（﹣1）+f（2）；f（﹣2）+f（3），由此可以猜想出的一般性结论是若．【考点】归纳推理．【分析】根据函数f（x）的解析式，分别求f（0）+f（1），f（﹣1）+f（2），f（﹣2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论．【解答】解：f（0）+f（1）=+==；f（﹣1）+f（2）=+=+=；f（﹣2）+f（3）=+=，猜想出的一般性结论是若．故答案为：若．15．如图所示（算法流程图）的输出值x=12【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当x=12时满足条件x＞8，输出x的值为12．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1，满足条件x是奇数，x=2，不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5，满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9，满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，输出x的值为12．故答案为：12．16．关于函数f（x）=lg（x≠0），给出下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）在区间（﹣1，0），（2，+∞）上是增函数；④f（x）的最小值是lg2；⑤f（x）既无最大值，也无最小值．其中正确的序号是①③④．【考点】函数的最值及其几何意义；复合函数的单调性；偶函数；对数函数的图象与性质．【分析】根据已知中函数的解析式，求出函数的奇偶性，单调性及最值，进而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x≠0），f（﹣x）=lg=lg=f（x），故函数为偶函数，其图象关于y轴对称；故①正确；当x＞0时，f（x）=lg，在（0，1]上为减函数，在[1，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=lg，在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在[﹣1，0）上是增函数；故②错误，③正确；当x=±1时，函数取最小值lg2，无最大值，故④正确，⑤错误；故答案为：①③④三、解答题17．已知全集M={1，m，3+（m2﹣5m﹣6）i}，集合N={x|x2﹣2x﹣3=0}，若M∩N={3}，求M∪N．【考点】复数的基本概念．【分析】求解一元二次方程化简集合N，结合M∩N={3}，可得m≠﹣1且3+（m2﹣5m﹣6）i=3或m=3，从而求得m值，然后分类求得M，取并集得答案．【解答】解：∵N={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，而M∩N={3}，∴m≠﹣1且3+（m2﹣5m﹣6）i=3或m=3，∴m=6或m=3，若m=6，则M={1，6，3}，∴M∪N={﹣1，1，3，6}，若m=3，则M={1，3，3﹣12i}，∴M∪N={﹣1，1，3，3﹣12i}．18．已知函数f（x）=x|m﹣x|，且f（4）=0．（1）求实数m的值；（2）出函数f（x）的单调区间；（3）若方程f（x）=a只有一个实根，确定a的取值范围．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）将x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；（2）由绝对值的意义，讨论x的范围，运用二次函数的性质，可得单调区间；（3）作出f（x）的图象，考虑直线y=a与曲线有一个交点情况，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x|m﹣x|，且f（4）=0．得4|m﹣4|=0，解得m=4；（2）由（1）得f（x）=x|4﹣x|，当x≥4时，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，对称轴x=2在区间[4，+∞）的左边，f（x）在[4，+∞）递增；当x＜4时，f（x）=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，可得f（x）在（﹣∞，2）递增；在（2，4）递减．综上可得f（x）的递增区间为（﹣∞．，2），（4，+∞）；递减区间（2，4）；（3）由f（x）的图象可知，当a＜0或a＞4时，f（x）的图象与直线y=a只有一个交点，方程f（x）=a只有一个实根，即a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．19．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正实数x、y恒有①f（2）=1；②当x＞1时，f（x）＞0；③f（）=f（x）﹣f（y）．（1）试判断函数f（x）的单调性；（2）若f（t）+f（t﹣3）≤2，试求t的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）根据函数单调性的定义，利用定义法进行判断证明．（2）根据函数单调性的定义结合抽象函数关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2则＞1，故f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）所以f（x）为（0，+∞）上的增函数．（2）∵f（2）=f（）=f（4）﹣f（2）∴f（4）=2f（2）=2从而f（t）+f（t﹣3）≤f（4）即f（t）≤f（），∵f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴解得3＜t≤4故t的取值范围是（3，4]20．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件抽用时间，为此做了四次试验，得到的数（2）求出回归方程；（3）根据回归方程估计加工10个零件需要多少个小时．（参考公式： ==， =﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中所给的数据，可得散点图；（2）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a 的值，写出线性回归方程．（3）将x=10代入回归直线方程，可得结论．【解答】解：（1）作出散点图如下：（2）由题意，b==0.7a=3.5﹣0.7×3.5=1.05于是回归方程 y=0.7x +1.05；（3）由题意，x=10时，y=0.7×10+1.05=8.05答：根据回归方程，加工能力10个零件，大约需要8.05小时．21．NBA 决赛期间，某高校对学生是否收看直播进行调查，将得到的数据绘成如下的2×2【分析】根据所给数据得到列联表，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得出结论．所以有99%的把握认为是否收看直播与性别有关，考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为1+，求△ABC外接圆的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．【解答】（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点，A､B､C､D四点共圆．∴∠CDF=∠ABC，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE，…（2）解：设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，交⊙O于点M，连接OC，∵AB=AC，∴=，∴AH⊥BC．∴∠OAC=∠OAB=∠BAC=×30°=15°，∴∠COH=2∠OAC=30°，设圆半径为r，则OH=OC•cos30°=r，∵△ABC中BC边上的高为1+，∴AH=OA+OH=r+r=1+，解得：r=1，∴△ABC的外接圆的面积为：π[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（1）求点P轨迹的直角坐标方程；（2）求点P到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．【分析】（1）设点P（x，y），则，由此能求出点P的轨迹的直角坐标方程．（2）由已知得．从而直线l的直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，得点P所在的圆与直线l相离，由此能求出点P到直线l距离的最大值．【解答】解：（1）设点P（x，y），∵P（2cosα，2sinα+2），∴，且参数α∈[0，2π]，所以点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．…（2）∵ρ=，∴=5，∴，即．∴直线l的直角坐标方程为．…由（1）知点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2=4，是圆心为（0，2），半径为2的圆．圆心到直线的距离d==4，点P所在的圆与直线l相离，…∴点P到直线l距离的最大值4+2=6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+7|+|x﹣1|，对任意实数x，不等式f（x）≥m恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）≥m恒成立，可得m的范围．（2）原不等式即|x﹣3|≤2x+4，分类讨论求得它的解集．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+7|+|x﹣1|≥|x+7﹣（x﹣1）|=8，不等式f（x）≥m恒成立，可得8≥m，即m≤8．（2）由（1）知m的最大值为8，∴原不等式就是|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤2x+4．当x＜3时，有3﹣x≤2x+4，解得：x≥﹣，∴﹣≤x＜3；当x≥3时，有x﹣3≤2x+4，解得：x≥﹣7，∴x≥3；所以不等式的解集为{x|x≥﹣}．2016年9月6日。

2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学(文科)试卷及答案

2015年辽宁重点中学协作体高考模拟考试数学（文科）试卷命题学校：大连第二十四中学命题人：孙允禄校对人：徐艳娟第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U R =，集合{|2},{|05},A x x B x x =≥=≤<则集合()U C A B = ( )A.{|02}x x <<B.{|02}x x ≤<C.{|02}x x <≤D.{|02}x x ≤≤2．如果复数21bii-+（b R ∈，i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于（）A ．0 B ．1 C ．2 D.33．已知平面α及空间中的任意一条直线l ，那么在平面α内一定存在直线b 使得（） A. l //b B. l 与b 相交 C. l 与b 是异面直线 D. l ⊥b 4. 函数()sin(2)3f x x π=+所对应的图象向左平移4π个单位后的图象与y 轴距离最近的对称轴方程为（） A ．3x π=B ．6x π=-C ．24x π=-D. 1124x π=5．已知平面向量a 与b 的夹角为120°，(2,0)a =，1b =，则2a b +=（） A ．2C.4D.12 6．若对任意正数x ，不等式211ax x≤+则实数a 的最小值为（）A.1 C.12 D. 7．某几何体的三视图如图所示，此几何体的表面积为（）A ．1403π B. 36πC. 32πD.44π8．已知数列{}n a 的首项11a =且11n n n n a a a a ++-=()n N *∈,则2015a = （） A ．12014 B ．20142015 C ．20142015 D.120159．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2015)2,2f x f x f -=+=则(2)(3)f f -+-= ( )A ． 1-B ． 1C ．2- D. 210．下列四个命题：①样本相关系数r 满足：1r ≤，而且r 越接近于1，线性相关关系越强； ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③命题“已知,,3,2x y R x y x ∈+≠≠≠若则或y 1”是真命题；④已知点(1,0),(1,0),2A B PA PB --=若，则动点P 的轨迹为双曲线的一支。

2015年辽宁省抚顺市重点高中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{1，2，3，4}2．（5分）i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=10，则lg（a2a8）等于（）A．1 B．2 C．10 D．1005．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．46．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣78．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．1020011．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g （x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题（本大题共共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1），B（2，y），向量=（1，2），若∥，则实数y=．14．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[8，10）内的频数为．15．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求B；=，求边长c．（2）若⊥，S△ABC18．（12分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．19．（12分）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE ⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）AE∥平面BCD；（Ⅱ）平面BDE⊥平面CDE．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．四、选修题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】10分22．（10分）如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）∠BAC=CAG；（Ⅱ）AC2=AE•AF．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∪B=（）A．{1，2}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁U A={3，4}∵B={2，4}∴（∁U A）∪B={2，3，4}故选：B．2．（5分）i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【解答】解：由=．所以复数的实部为1．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由函数f（x）=，因为﹣1＜0，所以f（﹣1）=，所以f[f（﹣1）]=f（）=．故选：B．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=10，则lg（a2a8）等于（）A．1 B．2 C．10 D．100【解答】解：等比数列{a n}中，a5=10，∴a52=a2a8，∴lg（a2a8）=lg100=2．故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最大值是（）A．﹣4 B．0 C．2 D．4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（1，0），此时z=2×1=2，故选：C．6．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得﹣=1故选：B．7．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣ D．﹣7【解答】解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选：B．8．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故选：B．9．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2 B．C．D．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D ﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=，所以面积S=．故选：D．10．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200【解答】解：∵，由a n=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n•n2+（﹣1）n+1•（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1•（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选：B．11．（5分）函数向左平移个单位后是奇函数，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）的图象向左平移个单位得到函数y=sin （2x++φ）的图象，因为函数y=sin（2x++φ）为奇函数，故+φ=kπ，因为，故φ的最小值是﹣．所以函数为y=sin（2x﹣）．x∈，所以2x﹣∈[﹣，]，x=0时，函数取得最小值为．故选：A．12．（5分）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g （x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．故选：A．二、填空题（本大题共共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知点A（﹣1，1），B（2，y），向量=（1，2），若∥，则实数y=7．【解答】解：=（3，y﹣1），∵向量=（1，2），∥，∴y﹣1﹣6=0，解得y=7．故答案为：7．14．（5分）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[8，10）内的频数为76．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本数据不在[8，10）内的频率为（0.02+0.05+0.09+0.15）×2=0.62；∴样本数据在[8，10）内的频率为1﹣0.62=0.38；∴样本数据在[8，10）内的频数为0.38×200=76．故答案为：76．15．（5分）设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x2+px+1=0有实数根的概率为．【解答】解：若方程x2+px+1=0有实根，则△=p2﹣4≥0，解得，p≥2或p≤﹣2；∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x2+px+1=0有实数根”，由方程x2+px+1=0有实根符合几何概型，∴P（A）=．故答案为：．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9．【解答】解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，故答案是9三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的角A、B、C，所对的边分别是a、b、c，且C=，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，求B；=，求边长c．（2）若⊥，S△ABC【解答】证明：（1）∵，，∴asinA=bsinB，再由正弦定理可得a2=b2，∴a=b．又C=，∴△ABC为等边三角形，故B=．（2）∵，∴=ab﹣2a+ab﹣2b=0，化简可得a+b=ab ①．由S=，可得=×=，∴ab=4 ②．△ABC再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣3ab=16﹣12=4，故c=2．18．（12分）为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、1 8人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．【解答】解：（I）家长委员会总数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为，所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3，1，2．（II）设A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有：C62=15种，这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为．19．（12分）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE ⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．（Ⅰ）AE∥平面BCD；（Ⅱ）平面BDE⊥平面CDE．【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点M，连接DM、AM，由已知可得DM=1，DM ⊥BC，AM⊥BC．又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC．…（2分）因为AE⊥平面ABC，所以，AE∥DM．…（4分）又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM．因为AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．…（8分）又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．由已知BD⊥CD，则CD⊥平面BDE．…（10分）因为CD⊂平面CDE，所以，平面BDE⊥平面CDE．…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A、B，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知，圆O的方程为x2+y2=b2，因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，故有=b，所以b=，已知，所以有a2=3c2=3（a2﹣b2），解得a2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设点A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：S△OAB=2S△OAD=2×x0y0=，由，解得，所以S=k=≤，△OAB当且仅当，即k=时取等号，所以△OAB面积的最大值为．21．（12分）设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+1﹣==，∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，（2）g（x）==，定义域为（0，+∞），g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a，h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0，∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减，∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，矛盾，a＞2不合题意；综上所得：a的取值范围为（﹣∞，2]．四、选修题（请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)【选修4-1：几何证明选讲】10分22．（10分）如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线L与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）∠BAC=CAG；（Ⅱ）AC2=AE•AF．【解答】证明：（Ⅰ）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AGC=90°．（2分）∵GC切圆O于C，∴∠GCA=∠ABC．（4分）∴∠BAC=∠CAG．（5分）（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于C，∴∠ACE=∠AFC．（6分）又∠BAC=∠CAG，∴△ACF∽△AEC．（8分）∴，∴AC2=AE•AF（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣6，t1t2=2．|AB|=|t1﹣t2|===8．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f （x ）≤|x ﹣4|若的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f （x ）≥3 即|x ﹣3|+|x ﹣2|≥3，即，可得x ≤1；，可得x ∈∅；，可得x ≥4．取并集可得不等式的解集为 {x |x ≤1或x ≥4}．（2）原命题即f （x ）≤|x ﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |+2﹣x ≤4﹣x 在[1，2]上恒成立，等价于|x +a |≤2，等价于﹣2≤x +a ≤2，﹣2﹣x ≤a ≤2﹣x 在[1，2]上恒成立．故当 1≤x ≤2时，﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x 的最小值为0，故a 的取值范围为[﹣3，0]．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。

2015数学高中联赛试题及答案

2015数学高中联赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(2) \)的值。

A. -1B. -15C. 7D. 15答案：B2. 若\( a \)，\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a^2 + b^2 \)的值。

A. 1B. 4C. 9D. 16答案：C3. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，点P(1,2)在圆上，求过点P的切线方程。

A. \( y = x + 1 \)B. \( y = -x + 3 \)C. \( x + y - 3 = 0 \)D. \( x - y + 1 = 0 \)答案：C4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \sin2\alpha \)的值。

A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. -1D. -\( \sqrt{2} \)答案：A5. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 37B. 38C. 39D. 40答案：A6. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 15答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( \log_{2}8 + \log_{4}16 = x \)，求\( x \)的值。

答案：38. 已知\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{100} \)的和为S，求S的值。

答案：小于5但大于4.59. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)且\( x + y = 12 \)，求\( x \)和\( y \)的值。

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

辽宁省抚顺二中2015届高三上学期期中考试数学(文) Word版含答案

2015届高三期中测试数学试题（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20},{|40}A x x x B x x =-≤=-≤≤，则R A C B ⋂= A ．R B ．{|0}x x ≠ C ．{|02}x x <≤ D ．φ2．若复数z 满足24iz i =+，则复数z =A ．24i +B ．24i -C ．42i -D ．42i +3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24612a a a ++=，则7S 的值 A ．21 B ．24 C ．28 D ．74．已知13212112,log ,log 33a b c -===，则A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．1()f x x= B．()f x = C ．()22x x f x -=- D ．()tan f x x =-6．函数()f x 满足()(2)15f x f x ⋅+=，若(1)2f =，则(99)f 等于 A ．215 B ．152C ．2D ．157．设变量,x y 满足02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则的z x y =-最小值为A ．3-B ．0C ．32D ．3 8．已知,a b 均为正数，且142a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的取值范围A ．9(,]2-∞ B ．(0,1] C ．(,9]-∞ D ．(,8]-∞9．为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数y x =的图象 A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位C ．向右平移12π个单位 D ．向左平移12π个单位 10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是( )A ．),2()1,(+∞⋃--∞B ．)2,1(-C ．)1,2(-D ．),1()2,(+∞⋃--∞11．直线,m n 均不在．．平面,αβ内，给出下列命题： ①若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ②若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③若,m n n α⊥⊥，则m ∥α；④若,m βαβ⊥⊥，则m ∥α；其中有中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．已知函数23log (1)1,10()32,0x x f x x x x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是A ．(0,1] B． C ．[1,2] D．2] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则|2|a b +=_________． 14．若cos()sin 65παα+-=，则5sin()6πα+=__________．15．一个三棱柱的底面是正三角形，侧面垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位：cm )．则该三棱柱的表面积为__________2cm ．16．若12a xx >对于任意(0,1)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=⋅++⋅．俯视图(1)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； (2)求函数()f x 的最小值及取最小值时的x 的值．18．(本小题满分12分)△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 依次成等差数列． (1)若向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求cos A 的值； (2)若8ac =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD DC a ==，,E F 分别是,AB PB 的中点． (1)求证：EF ∥面PAD ； (2)求证：EF CD ⊥；(3)求三棱锥B EFC -的体积．20．(本小题满分12分)等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =⋅． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1{}nb 的前n 项和n S ．21．(本小题满分12分)设函数2()ln ()()f x x x a a R =+-∈．(1)若0a =，求函数(f x ）在[1,]e 上的最小值；(2)若函数(f x ）在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围；(3)求函数(f x ）的极值点．请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4—1，几何证明选讲如图，,PA PB 是圆O 的两条切线，,A B 是切点，C 是劣弧AB (不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且DAQ PBC ∠=∠．求证：(1)BD BCAD AC=；BA(2)△ADQ ∽△DBQ ．23．(本小题满分10分)选修4 —4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos (24sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数)，直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4 —5：不等式选讲设函数()|21||2|f x x x =--+． (1)求不等式()3f x ≥的解集；(2)若关于x 的不等式2()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．2015届高三期中测试数学试题（文）参考答案一．选择题1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C10．C 11．D 12．B 二．填空题13．14．3515． 16．(ln 2,)e -⋅+∞三．解答题17．21()2cos (sin cos sin cos 2f x x x x x x x =⋅⋅+-+⋅=222sin cos sin )sin 22x x x x x x ⋅+-=+2sin(2)3x π=+4分 (1)最小正周期22T ππ== 6分222232k x k πππππ-+≤+≤+ 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ 8分 (2)当sin(2)13x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，10分此时2232x k πππ+=-，即5()12x k k Z ππ=-∈ 12分18．因为,,a b c 依次成等差数列，所以2b a c =+因为向量(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得23b c =，于是32,2a cbc ==． 3分因此由余弦定得22222229414cos 234c c c a c b A ac c +-+-===-．6分(2)由(1)知2b a c =+，于是由余弦定理得2222233241cos 2882a cb ac ac ac B ac ac ac +-+-==≥=．(当且仅当a c =时取等号)．因为角B是三角形的内角，所以(0,],0sin 3B B π∈<≤， 9分因此11sin 8222S ac B =≤⨯⨯=S的大值为 12分19．(1) 因为,E F 分别是,AB PB 的中点，所以EF ∥PA ．又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ．4分(2)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD CD ⊥，ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，又因PD AD D =，所以CD ⊥面PAD ， EF ⊂面PAD ，所以CD EF ⊥8分 (3)1111122362B EFC F EBC P EBC EBC V V V S PD EB BC PD ---===⨯⋅=⨯⋅⋅311112224a a a a =⨯⨯⨯= 12分20．(1)设等比数列的公比为q ，由22326499a a a a =⋅=，等比数列的各项为正数，所以343a a =，13q =．3分又11231a a q +=，所以113a =．故111()3n n n a a q-=⋅=5分 (2)2333111log log ()log ()333nn b =+++(1)(12)2n n n +=-+++=-8分所以12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 10分所以11111122()122311n nS n n n =--+-++-=-++ 12分 21．(1)1()2f x x x'=+，因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[1,]e 上递增，()f x 最小值为(1)1f =所以()f x 的最小值为1．4分(2)21221()2()x ax f x x a x x-+'=+-=，设2()221g x x ax =-+依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得()0g x >成立．即22210x ax -+>，则12a x x<+． 12x x +在上的最大值为94，所以的取值范围是9(,)4-∞ 8分(3) 2221()x ax f x x-+'=，设2()221h x x ax =-+1)当0a ≤时，()0h x >恒成立，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点． 2)当0a >时①当△0≤，即0a <≤时，()0h x ≥，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有极值点．②当△0>，即a >22210x ax -+=，12x x ==且120,0x x >>当12x x x <<时，()0h x <，()0f x '<，当2x x >或10x x <<时，()0h x >，()0f x '>．所以x =是函数()f x的极大值点，x =是函数()f x 的极小值点．综上，当a ≤()f x 没有极值点；当a >x =是函数()f x 的极大值点，2a x =是函数()f x 的极小值点．12分22．证明：(1)因为△PBC ∽△PDB ，所以BD PD BC PB =．同理AD PDAC PA=．又因为PA PB =，所以BD AD BC AC =，即BD BCAD AC=． 5分BA(2)连接AB ，因为BAC PBC DAQ ∠=∠=∠，ABC ADQ ∠=∠，所以△ABC ∽△ADQ ，即BC DQ AC AQ =，故BD DQAD AQ=．又因为DAQ PBC BDQ ∠=∠=∠，所以ADQ △∽△BDQ ． 10分23．解：圆22:(1)(2)16C x y -+-=．直线132:(52x t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)．5分(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得2(230t t ++-=．8分设12,t t t 是此方程的两个根，则123t t ⋅=-，所以1212||||||||||3PA PB t t t t ==⋅=．10分24．解：（1）13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---≤<⎨⎪-<-⎪⎪⎩，所以原不等式转化为1233x x ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，或122313x x ⎧-≤<⎪⎨⎪--≥⎩，或233x x <-⎧⎨-≥⎩ 3分所以原不等式的解集为4(,][6,)3-∞-+∞．6分（2）只要2max ()3f x t t <-，8分由(1)知2max ()23f x t t =-<-，解得2t >或1t <．10分。

2015年辽宁省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ)

2015年辽宁省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年辽宁省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，3）【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．11【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．7．（5分）过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd ，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．第21页（共21页）。

2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(三)文科数学试卷(含详细答案)

2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三）文科数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集=⋂===B A C B A U U ）则（},4,2{},4,1{},4,3,2,1{.A ∅ .B }2{ .C }4{ .D }4,3,2{2、若复数ibi ++21是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = .A 2- .B 12- .C 12.D 2 3、执行下面的程序框图，那么输出的S 等于.A 42 .B 56 .C 72 .D 904、在区间[]5,3-上随机取一个实数a ，则使函数42)(2++=ax x x f 无零点的概率是.A 31 .B 21 .C 41 .D 81 5、设3log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则.A a b c >> .B c a b >> .C b c a >> .D c b a >>6、已知{}n a 为等差数列且公差0≠d ，其首项201=a ，且973,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为( ) .A 110- .B 90- .C 90 .D 1107、某抛物线的通径与圆0112422=-+-+y x y x 的半径相等，则该抛物线的焦点到其准线的距离为.A 2 .B 4 .C 6 .D 88、棱长均为4的三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为否是结束开始输出 SK = K +1S = S +2KK ≤ 8S =0K =1.A π38 .B π6 .C π16 .D π249、函数)0,0(),sin()(>>+=ϖφϖA x A x f 的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则)2015(f =.A 1 .B 2 .C -1 .D 2-10.偶函数||log )(b x x f a +=在)0,(-∞上单调递减，则)2()1(b f a f -+与的大小关系是.A )2()1(b f a f ->+ .B )2()1(b f a f -=+.C )2()1(b f a f -<+ .D 不能确定11、F 为双曲线12222=-by a x 的右焦点，点P 在双曲线右支上， POF ∆（为坐标原点O ）是面积为3的等边三角形，则双曲线的离心率为.A 3 .B 2 .C 5 .D 13+12. 定义在R 上的函数()(2)()1,[0,1],()4xf x f x f x x f x +=+∈=满足且时，(1,2)x ∈时，(1)()f f x x=，令4)(2)(--=x x f x g ]2,6[-∈x ,则函数)(x g 的零点个数为（） .A 6 .B 7 .C 8 .D 9二填空题：本大题共4小题，每小题5分13、边长为2的正方形ABCD ，对角线的交点为E ，则⋅+)(= .14．如右图是一个空间几何体的三视图（俯视图外框为正方形），则这个几何体的体积为 .15、设y x z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+,0,0,02m y y x y x 若z 的最小值为-3，则z 的最大值为 .16、棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点P N M ,,分别为111,,DD BC AB 的中点，给出下列结论：①异面直线11,BC AB 所成的角为3π ② MN ∥ABCD 平面③ 四面体N B A A 11-的体积为41 ④ MN ⊥BP则正确结论的序号为 .17. （本小题满分12分）已知x x x f 2cos 22sin 3)(+=，ABC ∆的三边c b a ,,对应的角分别为C B A ,,，其中2)(=A f .(1) 求角A 的大小；（2）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.18.（本小题满分12分）某地区有小学18所，中学12所，大学6所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率；（2的估计值与实际值之间的差的绝对值.(附：回归直线+y b x a ∧∧∧=的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: 1221,n i ii n i i x y nx y b a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑) 19. （本小题满分12分）如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，且。

辽宁省抚顺市重点高中协作校高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年辽宁省抚顺市重点高中协作校高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．（5分）（2015春•抚顺期末）已知角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），则2sinα+cosα的值是（）A． 1 B． C．﹣ D．﹣1考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义先求出r，即可得到结论．解答：解：∵角α的终边过点P（﹣4m，3m）（m＜0），∴r=|OP|==﹣5m，则2sinα+cosα=2×+==﹣，故选：C．点评：本题主要考查三角函数求值，利用三角函数的定义是解决本题的关键．2．（5分）（2015春•抚顺期末）如果点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：计算题．分析：根据所给的点在第三象限，写出这个点的横标和纵标都小于0，根据这两个都小于0，得到角的正弦值大于0，余弦值小于0，得到角是第二象限的角．解答：解：∵点P（2cosθ，sin2θ）位于第三象限，∴2cosθ＜0sin2θ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0∴θ是第二象限的角．故选B点评：本题考查三角函数的符号，这是一个常用到的知识点，给出角的范围要求说出三角函数的符号，反过来给出三角函数的符号要求看出角的范围．3．（5分）（2012•北京模拟）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A． y平均增加1.5个单位 B． y平均增加2个单位C． y平均减少1.5个单位 D． y平均减少2个单位考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：根据所给的回归直线方程，把自变量由x变化为x+1，表示出变化后的y的值，两个式子相减，得到y的变化．解答：解：∵直线回归方程为=2﹣1.5，①∴y=2﹣1.5（x+1）②∴②﹣①=﹣1.5即y平均减少1.5个单位，故选：C．点评：本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述y的变化时，要注意加上平均变化的字样，本题是一个基础题．4．（5分）（2009•韶关一模）如图是2008年韶关市举办“我看韶关改革开放三十年”演讲比赛大赛上，七位评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A． 5；1.6 B． 85；1.6 C． 85；0.4 D． 5；0.4考点：茎叶图．专题：计算题．分析：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据有五个数字，把这五个数字代入求平均数的公式，求出平均数，再代入求方差的公式，得到方差．解答：解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的平均数是=85，这组数据的方差是=1.6故选B．点评：对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．5．（5分）（2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是（）A．（x﹣）2+y2=5 B．（x+）2+y2=5 C．（x﹣5）2+y2=5 D．（x+5）2+y2=5考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：先看圆心，排除A、C，在B、D中选一个验证直线x+2y=0相切即可．解答：解：因为圆O位于y轴左侧，显然A、C不符，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离为．故选D．点评：本题采用回代验证方，法解答灵活．还可以数形结合估计法，直接推得结果．6．（5分）（2010•揭阳校级模拟）有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为（）A． B． C． D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与扇形的面积，然后求比值即可．解答：解：A、游戏盘的中奖概率为，B、游戏盘的中奖概率为，C、游戏盘的中奖概率为，D、游戏盘的中奖概率为，游戏盘的中奖概率最大．故选A点评：本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．7．（5分）（2015春•抚顺期末）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）A． 1 B． 3 C． 5 D．不确定考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣7，再利用诱导公式化简 f（2008）=asinα+bcosβ+4，运算求得结果．解答：解：∵f（1998）=asin（1998π+α）+bcos（1998π+β）+4=asinα+bcosβ+4=3，∴asinα+bcosβ=﹣1，故f（2015）=asin（2015π+α）+bcos（2015π+β）+4=﹣asinα﹣bcosβ+4=1+4=5，故选：C．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．8．（5分）（2015春•抚顺期末）已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A． B． C． 7 D． 18考点：向量的线性运算性质及几何意义；向量的模．专题：计算题．分析：由D为BD的中点，知|=（）=3﹣．由，||=3，=，能求出．解答：解：∵D为BD的中点，∴|=（）=+=3﹣．∵，||=3，=，∴=﹣=．∴．故选A．点评：本题考查向量的加减运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A． [﹣，0] B． C． [﹣] D． [﹣，0]考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．专题：压轴题．分析：先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．解答：解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．点评：考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．10．（5分）（2015•漳州一模）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．解答：解：∵，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．故选A．点评：本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．11．（5分）（2015春•抚顺期末）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式（）A． y=﹣4sin（x﹣） B． y=4sin（x﹣）C． y=﹣4sin（x+） D． y=4sin（x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的解析式可得A=4，==6+2，可得ω=．再根据sin[（﹣2）×+φ]=0，可得（﹣2）×+φ=kπ，k∈z，再结合|φ|＜，∴φ=，∴y=﹣4sin（x+），故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．12．（5分）（2015春•抚顺期末）平面向量的集合A到A的映射，其中为常向量．若映射f满足对任意的恒成立，则的坐标可能是（）A．（，） B．（，﹣） C．（，） D．（，﹣）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知，将利用映射关系式代替，得到关于的等式解之．解答：解：∵，其中为常向量．∴=[]•[]，整理得，2，∴=2，从四个选项中选择的模平方为2的选项，对于A，向量的模的平方为；对于B，向量的模的平方为2；对于C，对于向量的模的平方；对于D，向量的模的平方为．故选B．点评：本题考查了向量的数量积的运算．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）．13．（5分）（2015春•抚顺期末）tan25°+tan35°+tan25°tan35°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式即可得出．解答：解：原式=tan（25°+35°）（1﹣tan25°tan35°）+tan25°tan35°=tan60°=．故答案为：．点评：本题考查了两角和差的正切公式，属于基础题．14．（5分）（2015春•抚顺期末）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是 4 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，得出前3个小组的频率之比，从而求出用分层抽样方法抽取的人数．解答：解：根据频率分布直方图，得；前3个小组的频率之比为0.02：0.02：0.08=1：1：4，所以，用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第3组的人数是6×=4．故答案为：4．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．15．（5分）（2015春•抚顺期末）某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元，（其他因素不考虑）计算收费标准的框图如图所示，则①处应填y=2.6x+2.8 ．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．解答：解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故答案为y=2.6x+2.8．点评：程序填空是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．16．（5分）（2015春•抚顺期末）下面有五个命题：①函数y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③函数f（x）=|sin（x+）|（x∈R），在区间[，]上是增函数；④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．其中真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用平方差公式和倍角公式化简函数解析式，并求出周期，可判断①；写出终边在y 轴上的角的集合，可判断②；分析函数在区间[，]上的单调性，可判断③；求出|MN|的表达式，进而求出|MN|的最大值，可判断④．解答：解：函数y=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，故函数的最小正周期是π，故①为真命题；终边在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ，k∈Z}，故②为假命题；当x∈[，]时，x+∈[π，]，此时sin（x+）＜0，故函数f（x）=|sin（x+）|=﹣sin（x+），由y=sin（x+）在[，]为减函数，可得函数f（x）=在[，]为增函数，故③为真命题；若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|，其最大值为，故④为假命题；故真命题的序号是：①③，故答案为：①③．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的化简，求值，周期，单调性，最值等知识点，是三角函数的综合应用，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（2015春•抚顺期末）设=（﹣1，1），=（4，3），=（5，﹣2）（Ⅰ）若（+t）∥，求实数t的值；（Ⅱ）求在方向上的正射影的数量．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）通过（+t）∥，列出方程，即可求实数t的值；（Ⅱ）利用向量的数量积，直接求在方向上的正射影的数量．解答：解：（Ⅰ）故5（1+3t）=﹣2（﹣1+4t）所以…（5分）（Ⅱ）…（10分）点评：本题考查向量的基本运算，基本知识的考查．18．（12分）（2015春•抚顺期末）已知向量=（sinθ，﹣2）与（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，求sinφ的值．考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（1）利用向量垂直数量积为0，得到sinθ=2cosθ，结合基本工关系式求sinθ和cosθ；（2）利用角的等价变换φ=θ﹣（θ﹣φ），结合（1）求sinφ．解答：解：（1）（1）∵，∴=sinθ﹣2cosθ=0，即sinθ=2cosθ，又∵sin2θ+cos2θ=1，∴4cos2θ+cos2θ=1，即cos2θ=，∴sin2θ=，又∴sinθ=，cosθ=．…（6分）（2）∵sin（θ﹣φ）=，0＜φ＜，∴cos（θ﹣φ）=，∴sinφ=sin[θ﹣（θ﹣φ）]=sinθcos（θ﹣φ）﹣cosθsin（θ﹣φ）=﹣．…（12分）点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及利用三角函数的基本关系式化简三角函数式；求值．19．（12分）（2015春•抚顺期末）已知向量=（sinx，cosx），（cosx，cosx），函数f （x）=2•﹣1（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[，]时，若f（x）=1，求x的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．（2）由f（x）=1得sin（2x+）=，由x∈[，]，可得2x+∈[，]，利用正弦函数的图象即可求得x的值．解答：（本题满分为12分）解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．…（4分）所以由2kπ≤2x+≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．…（6分）（2）由f（x）=1得sin（2x+）=，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴2x+=，∴x=．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．20．（12分）（2010•河东区一模）袋中有质地、大小完全相同的5个小球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏．甲先摸出一个球．记下编号，放回后再摸出一个球，记下编号，如果两个编号之和为偶数．则算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号之和为6的事件发生的概率：（2）试问：这种游戏规则公平吗．请说明理由．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5种等可能的结果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论．解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有5×5=25（个）等可能的结果，设“两个编号和为6”为事件A，则事件A包含的基本事件为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，根据古典概型概率公式得到P（A）==（2）这种游戏规则是不公平的．设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∴甲胜的概率P（B）=乙胜的概率P（C）=1﹣P（B）=∴这种游戏规则是不公平的．点评：本题考查古典概型及其概率公式，考查利用列举法得到试验包含的所有事件，考查利用概率知识解决实际问题，本题好似一个典型的概率题目．21．（12分）（2015春•抚顺期末）已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（1）求函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）|f（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=1+2sin（2x﹣），利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的最大值，以及取到最大值时所对应的x的集合；（2）由x∈[，]，可求f（x）max=3，f（x）min=2．由题意可得m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，即可解得实数m的取值范围．解答：（本题满分为12分）解：（1）∵f（x）=[1﹣cos（+2x）]﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），∴f（x）max=3，…（4分）此时，∵2x﹣=2k，k∈Z，∴解得x=…（6分）（2）∵x∈[，]，∴≤2x﹣≤，即2≤1+2sin（2x﹣）≤3，∴f（x）max=3，f（x）min=2．∵|f（x）﹣m|＜2⇔f（x）﹣2＜m＜f（x）+2，x∈[，]，∴m＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，由题意得：m ＞f（x）max﹣2且m＜f（x）min+2是解题的关键，属于中档题．22．（12分）（2004•黄冈校级模拟）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0）．动点P满足：．（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（2）当的最大值和最小值．考点：轨迹方程．分析：（1）设动点的坐标为P（x，y），得到，，的坐标表示，然后根据．可得答案．（2）当k=2时确定方程，然后求出向量2+的模的表达式，最后根据所求方程的参数方程求最值．解答：解：（1）设动点的坐标为P（x，y），则=（x，y﹣1），=（x，y+1），=（1﹣x，﹣y）∵•=k||2，∴x2+y2﹣1=k[（x﹣1）2+y2]即（1﹣k）x2+（1﹣k）y2+2kx﹣k﹣1=0．若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线．若k≠1，则方程化为：，表示以（﹣，0）为圆心，以为半径的圆．（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1．∵2+=2（x，y﹣1）+（x，y+1）=（3x，3y﹣1），∴|2+|=．又x2+y2=4x﹣3，∴|2+|=∵（x﹣2）2+y2=1，∴令x=2+cosθ，y=sinθ．则36x﹣6y﹣26=36cosθ﹣6sinθ+46=6cos（θ+φ）+46∈[46﹣6，46+6]，∴|2+|max==3+，|2+|min==﹣3．点评：本题主要考查通过向量的有关运算求轨迹方程的问题．对向量的有关题型比如：求模、求夹角、求垂直以及平行等的问题一定要强化练习，是高考的热点问题．。

辽宁省抚顺市六校协作体2015-2016学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析

2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}2．下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y=log2x B．y=C．y=﹣ D．y=3．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2D．44．已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．4 C．3 D．不确定5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B． C． D．6．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lny=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．8．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.39．如果幂函数的图象不过原点，则取n值为（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=210．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π11．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．=．14．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是．15．设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为．16．已知函数f（x）=的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为增函数．其中正确命题的序号为．（将你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}（1）求A∩∁U B（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C 的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．（1）求证：AE∥平面BCD；（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈（﹣1，1）时，有g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围；（3）求函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合．2015-2016学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的.1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{1，2，4} B．{2，3，4} C．{0，2，3，4} D．{0，2，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，集合∁U A={0，4}，从而求得（∁U A）∪B={0，2，4}．【解答】解：∵∁U A={0，4}，∴（∁U A）∪B={0，2，4}；故选D．【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．下列四个函数中，在区间（0，1）上是减函数的是（）A．y=log2x B．y=C．y=﹣ D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的单调性判断．【解答】解：A选项：y=log2x在（0，+∞）上单调递增，故排除．B选项：与在（0，+∞）上单调性一致，为单调递增，故排除．C选项：单调性相反，所以在（0，1）上是单调递增的，故排除．故答案为D．【点评】考察函数的单调性的判断，属基础题．3．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2D．4【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，由此能求出原梯形的面积．【解答】解：如图，由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故选：D．【点评】本题考查原梯形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面中的图形与直观图中的图形间相互关系的合理运用．4．已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．4 C．3 D．不确定【考点】三点共线．【专题】计算题．【分析】三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，由AB的斜率和AC的斜率相等，求出实数a的值．【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，∴AB的斜率和AC的斜率相等，即=，∴a=3，故选C．【点评】本题考查三点共线的性质，当三点共线时，任意两点连线的斜率都相等．5．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（）A．4 B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．【解答】解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：故选B．【点评】本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．6．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】分类讨论．【分析】由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；若l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l．故选C．【点评】本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断，重点考查了感知能力．7．若实数x，y满足|x﹣1|﹣lny=0，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由式子有意义可知y＞0，将x=0代入原式可得y=e得出答案．【解答】解：由式子有意义可知y＞0，排除C，D；将x=0代入|x﹣1|﹣lny=0得y=e＞1．排除B．故选：A．【点评】本题考查了函数图象的判断，借助于特殊点，值域等采用排除法是快速解题的关键．8．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.3【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．9．如果幂函数的图象不过原点，则取n值为（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=2【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】幂函数的图象不过原点，可得n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解得n=1或2．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质、一元二次不等式与方程的解法，属于基础题．10．三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离；球．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选B．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．11．设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[0，2]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】分类讨论．【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．=﹣3．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题．【分析】直接利用根式以及分数指数幂以及对数的运算法则，化简求解即可．【解答】解：由==2﹣+﹣3=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查对数、指数运算，根式以及分数指数幂的运算，基本知识的考查．14．已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是3或5．【考点】两条直线平行的判定．【专题】计算题．【分析】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．【解答】解：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有故答案为：3或5．【点评】本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．15．设函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，则函数f（）的定义域为[﹣2，4]．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】先由函数f（lgx）的定义域求出函数f（x）的定义域，然后求得函数f（）的定义域．【解答】解：因为函数f（lgx）的定义域为[0.1，100]，由0.1≤x≤100，得：﹣1≤lgx≤2，所以函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，再由，得：﹣2≤x≤4，所以函数f（）的定义域为[﹣2，4]．故答案为[﹣2，4]．【点评】本题考查了对数函数的定义域，考查了复合函数定义域的求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，让g（x）∈[a，b]，求解x即可，给出了f[g（x）]的定义域，求函数f（x）的定义域，就是求函数g（x）的值域，此题是基础题．16．已知函数f（x）=的图象与函y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g（1﹣x2），则关于h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）为偶函数；③h（x）的最小值为0；④h（x）在（0，1）上为增函数．其中正确命题的序号为②③④．（将你认为正确的命题的序号都填上）【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先根据函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，求出函数g（x）的解析式，然后根据奇偶性的定义进行判定，根据复合函数的单调性进行判定可求出函数的最值，从而得到正确选项．【解答】解：∵函数f（x）=的图象与函数g（x）的图象关于直线y=x对称，∴g（x）=∵h（x）=g（1﹣x2）=，x∈（﹣1，1）而h（﹣x）==h（x）则h（x）是偶函数，故①不正确，②正确该函数在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增∴h（x）有最小值为0，无最大值故选项③④正确，故答案为：②③④【点评】本题主要考查了反函数，以及函数的奇偶性、单调性和最值，同时考查了奇偶函数图象的对称性，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，3），B（5，1），C（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求AC边的高BH所在的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的两点式方程．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式求得BC中点坐标，再由两点式求得BC边的中线AD所在的直线方程；（Ⅱ）求出AC的斜率，由垂直关系求得BH的斜率，再由直线方程的点斜式求得AC边的高BH所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）BC中点D的坐标为（2，0），∴直线AD方程为：，3x+y﹣6=0；（Ⅱ）∵，BH⊥AC，∴，∴直线BH方程为：，即x+2y﹣7=0．【点评】本题考查了直线方程的求法，考查了中点坐标公式的应用，是基础题．18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}（1）求A∩∁U B（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】（1）首先化简集合A，B，再求A∩C U B；（2）注意讨论C是否是空集，从而解得．【解答】解（1）∵（x+3）（4﹣x）≤0，∴A=（﹣∞，﹣3]∪[4，+∞），∵0＜x+2＜8，∴B=（﹣2，6），∴A∩C U B=（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）；（2）①当2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，成立；②当2a＜a+1，即a＜1时，C=（2a，a+1）⊆（﹣2，6），∴得﹣1≤a≤5，∴﹣1≤a＜1．综上所述，a的取值范围为[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C 的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）取BC中点F，连结EF，AF，由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF 是平行四边形，故DE∥AF，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，故DE⊥BC；（2）把△BCE看做棱锥的底面，则DE为棱锥的高，求出棱锥的底面积和高，代入体积公式即可求出．【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF是△BCB1的中位线，∴EF∥BB1，EF=BB1，∵AD∥BB1，AD=BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．（2）∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，又∵AF⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，∵AC=5，BC=6，∴CF==3，∴AF==4，∴DE=AF=4∵BC=BB1=6，∴S△BCE==9．∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==12．【点评】本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．20．若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）﹣f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0，即可得m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x．可知，[a（x+1）2+b（x+1）+1]﹣（ax2+bx+1）=2x，化简得，2ax+a+b=2x，∴，∴a=1，b=﹣1．∴f（x）=x2﹣x+1；（2）不等式f（x）＞2x+m，可化简为x2﹣x+1＞2x+m，即x2﹣3x+1﹣m＞0在区间[﹣1，1]上恒成立，设g（x）=x2﹣3x+1﹣m，则其对称轴为，∴g（x）在[﹣1，1]上是单调递减函数．因此只需g（x）的最小值大于零即可，g（x）min=g（1），∴g（1）＞0，即1﹣3+1﹣m＞0，解得，m＜﹣1，∴实数m的取值范围是m＜﹣1．【点评】本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，主要涉及单调性在函数的最值求解中的应用．属于中档题．21．如图，△ABC是边长为2的正三角形，AE⊥平面ABC，且AE=1，又平面BCD⊥平面ABC，且BD=CD，BD⊥CD．（1）求证：AE∥平面BCD；（2）求证：平面BDE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）取BC的中点M，连接DM、AM，证明AE∥DM，通过直线与平面平行的判定定理证明AE∥平面BCD．（2）证明DE∥AM，DE⊥CD．利用直线与平面垂直的判定定理证明CD⊥平面BDE．然后证明平面BDE⊥平面CDE．【解答】证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，…所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC，…又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，所以AE∥DM，…又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，…所以AE∥平面BCD．…（2）由（1）已证AE∥DM，又AE=1，DM=1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM．…由（1）已证AM⊥BC，又因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD．又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD．…因为BD⊥CD，BD∩DE=D，所以CD⊥平面BDE．因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE．…【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界，已知函数g（x）=log为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当x∈（﹣1，1）时，有g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，求m的取值范围；（3）求函数g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合．【考点】对数函数的图象与性质；函数奇偶性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数定义判断．（2）根据单调性转化为不等式组有，求解即可．（3）利用函数g（x）=log，在区间[，3]上是单调递增，得出g（3）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2，再根据上界判断即可．【解答】解：（1）∵函数g（x）=log为奇函数．∴g（﹣x）=﹣g（x），即log=﹣log∴=，1﹣x2=1﹣a2x2得出；a=±1，而a=1时不符合题意，故a=﹣1，（2）g（1﹣m）+g（1﹣m2）＜0，g（1﹣m）＜g（m2﹣1），g（x）为增函数，所以有，解得1，故不等式的解集{m|1}，（3）由（1）得：g（x）=log，因为函数g（x）=log，在区间（1，+∞）上是单调递增，即函数g（x）=log，在区间[，3]上是单调递增，g（3）=﹣1，g（）=﹣2，|g（x）|≤2所以g（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合（2，+∞）【点评】本题综合考查了函数的概念，性质，结合不等式解决问题，属于中档问题，关键是利用单调性，得出范围，即可．2016年2月29日。

辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文)试题

抚顺市协作校高二年级下学期期末考试
高二数学（文）
命题单位：抚顺十中命题人：杨树泉
校对人：郑林峰
本试卷分第 I 卷( 选择题 ) 和第 II 卷( 非选择题 ) 两部分，考试时间为 120
分钟，满分 150 分。
第 I 卷（ 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，目要求的。
只有一项是符合题
1. 设全集 U R ，集合 A x x 2 , B x 0 x 5 ，则集合 CU A B =（）
A. x 0 x 2
B.
x0 x 2
C. x 0 x 2
D.
x0 x 2
2 . 设 z 1 i （ i 是虚数单位），则 2 z2=
z
A. 1 i
B． 1 i
C． 1 i
D． 1 i
数分别为 a、 b，则 a＋ b＝ ( )
A. 14 B. 3 C. 7
D. 10
第Ⅱ卷（ 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
ai
13．若复数 z
，且 z R , 则实数 a =_____．
i
14. 已知 f (x) (x 2) 2 , x ( 1,3) ，函数 f ( x 1) 的单调减区间为
(1) 当 m<1 时，化简集合 B； 2
(2) 若 A∪B=A，求实数 m的取值范围；
(3) 若 C RA∩Ｂ中只有一个整数，求实数 m的取值范围 .
19. （本题满分 12 分）
若二次函数 f (x) ax2 bx c (a, b R) 满足 f ( x 1) f (x) 2x ，且 f (0) 1. (1) 求 f ( x) 的解析式； (2) 若在区间 [ 1, 1] 上，不等式 f ( x) 2 x m 恒成立，求实数 m的取值范围 .

辽宁省抚顺市重点高中协作校2015-2016学年高二下学期

高二文科数学参考答案(文)1．A 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．B 10．D 11．A 12．B 13．（－1，0）∪（1，＋∞）；14．若()()33,12121=+=+x f x f x x 则；15．12；16．①③④17．解：∵N={x|x 2-2x-3=0}={-1，3} 2分而M ∩N={3}∴m ≠-1且3)65(32=--+i m m 或m=3 6分 ∴m=6或m=3 8分若m=6，则M={1，6，3}∴M ∪N={-1，1，3，6} 10分若M=3，则M={1，3，i 123-}，∴M ∪N={-1，1，3，i 123-} 12分18．解：（1）由f （4）=0得4|m-4|=0，∴m=4 3分（x-2）2-4，（x ≥4）（2）由（1）得f （x ）=x|4-x|=-（x-2）2+4，（x ＜4）作出f （x ）的图象，由图象知f （x ）的递增区间为（－∞. ，2），（4，＋∞）；递减区间（2，4） 8分（3）由f （x ）的图象可知，当a ＜0或a ＞4时，f （x ）的图象与直线y=a 只有一个交点，方程f （x ）=a 只有一个实根，即a 的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞） 12分 19．(1)任取),0(,21+∞∈x x ，且1x ＜2x则12x x ＞1，故f （12x x）＞0，即f （2x ）－f （1x ）＞0 3分 ∴f （2x ）＞f （1x ）所以f(x)为（0，＋∞）上的增函数． 5分 (2)∵f （2）=f （24）=f （4）－f （2） ∴f （4）=2f （2）=2 从而f （t ）+f （t －3）≤f （4）即f （t ）≤f （34-t ） 8分 34030-≤-t t ＞t t ＞解得3＜t ≤4故t 的取值范围是（3，4] 12分20．解：(1)图略 (4分) (2)解：由题意，05.17.05.34545.35.345.52^^2^=-==⨯-⨯⨯-=x b y a b于是回归方程 ^y =0.7x+1.05； 10分(3)解：由题意，x =10时，y=0.7×10+1.05=8.05答：根据回归方程，加工能力10个零件，大约需要8.05小时。

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辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则集合P∩Q等于（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的虚部是（）A．2B．﹣2 C．1D．﹣13．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．224．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）已知||=1，=（0，2），且=，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．6．（5分）已知3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，则等差数列的公差为（）A．4或﹣2 B．﹣4或2 C．4D．﹣47．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．11 B．10 C．9D．128．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．910．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）设抛物线y2=16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，且2=，则|AF|+4|BF|=（）A．18 B．20 C．24 D．2612．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+]B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则cos2θ=．14．（5分）已知f（x）=则f（f（3））=．15．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是．16．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、判断题（共8小题，每小题12分，满分70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边．（1）若=，判断△ABC的形状；（2）若a=2，B=，△ABC的面积为，求边长b的值．18．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．19．（12分）某校2015届高三年级在某次模拟考试中，从全年级400名学生中选出40名学生的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示．（1若成绩在120分以上为优秀，试估计该校2015届高三年级的优秀率；（2）根据频率分布直方图估计该校2015届高三年级的数学成绩的平均值；（3）样本中数学成绩在[130，140）分的同学中男女生人数之比为2：1，现从成绩在[130，140）分的同学中选出2个研究他们的失分情况，求选出的人中至少1名女生的概率．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N 两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k＞0．（1）当k=1时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f （x）在M，N两点的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．辽宁省抚顺市重点高中协作校2015届高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合P={﹣2，﹣1，1，2}，Q={x|x2﹣3x+2=0}，则集合P∩Q等于（）A．{﹣1，﹣2} B．{1，2} C．{﹣2，1} D．{﹣1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合Q，利用交集定义进行求解．解答：解：Q={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，则P∩Q={1，2}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知复数z满足=i，则复数z的虚部是（）A．2B．﹣2 C．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z满足=i，∴==﹣2=﹣i﹣2，则复数z的虚部是﹣1．故选；D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．（5分）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法．抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为（）A．15 B．18 C．21 D．22考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的定义进行求解即可．解答：解：抽取样本间隔为24÷6=6，若抽到的最小编号为3，则抽取最大编号为3+3×6=21，故选：C点评：本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．4．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．解答：解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）已知||=1，=（0，2），且=，则向量与夹角的大小为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：本题是一个求夹角的问题，已知条件得到两个向量的模长，利用向量的数量积的定义，建立关于夹角的方程，即可得到夹角，注意夹角的范围．解答：解：由于=（0，2），则||=2，又由||=1，则=1×2×cos=，即cos=，由于0≤≤π，则向量与夹角的大小为，故选：A点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．6．（5分）已知3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，则等差数列的公差为（）A．4或﹣2 B．﹣4或2 C．4D．﹣4考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a和b的方程组，解方程组可得a和b的值，可得答案．解答：解：∵3，a+2，b+4成等比数列，1，a+1，b+1成等差数列，∴（a+2）2=3（b+4），2（a+1）=1+b+1，联立解得或，当时，a+2=0，与3，a+2，b+4成等比数列矛盾，应舍去；当时，等差数列的公差为（a+1）﹣1=a=4故选：C点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．7．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．11 B．10 C．9D．12考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，4）．此时z的最大值为z=3×4=12，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，沿BD将三角形ABD折起，连接AC，所得三棱锥A﹣BCD的主视图和俯视图如图所示，则三棱锥A﹣BCD左视图的面积为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B和D向AC所做的垂线，做出直角边的长度，得到左视图的面积．解答：解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD．三棱锥A﹣BCD左视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线，由等面积可得直角边长为=，∴左视图面积为=．故选：B．点评：本题考查简单几何体的三视图，根据所给的两个三视图得到直观图，这是三视图经常考查的知识点，是一个基础题．9．（5分）在如图的程序中所有的输出结果之和为（）A．30 B．16 C．14 D．9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算输出S的值，直到满足条件i＞7，程序运行终止，所有的输出结果相加可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=0+1=1，i=2+1=3，输出S=1；第二次循环S=1+3=4，i=3+2=5，输出S=4；第三次循环S=4+5=9，i=5+2=7，输出S=9；第四次循环S=9+7=16，i=7+2=9，输出S=16．满足条件i＞7，程序运行终止，∴所有的输出结果之和为1+4+9+16=30．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算输出S的值是解答本题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．解答：解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x﹣）．故选：D．点评：本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．11．（5分）设抛物线y2=16x的焦点为F，经过点P（1，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，且2=，则|AF|+4|BF|=（）A．18 B．20 C．24 D．26考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点A，B的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|AF|+4|BF|．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵P（1，0）∴=（1﹣x2，﹣y2），=（x1﹣1，y1）∵2=，∴2（1﹣x2，﹣y2）=（x1﹣1，y1）∴x1+2x2=3，﹣2y2=y1，将A（x1，y1），B（x2，y2）代入抛物线y2=16x，可得y12=16x1，y22=16x2，又∵﹣2y2=y1∴4x2=x1又∵x1+2x2=3解得x2=，x1=2，∵|AF|+4|BF|=x1+4+4（x2+4）=2+4+4（+4）=24．故选：C．点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点A，B的横坐标．12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e2+]B．（0，e2+]C．（e2+，+∞]D．（﹣e2﹣，e2+]考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），又∵g（x）=，∴函数g（x）至少存在一个零点可化为函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则m==﹣x2+2ex+，m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；故当x∈（0，e）时，m′＞0，当x∈（e，+∞）时，m′＜0；则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，故m≤e2+；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若，则cos2θ=．考点：诱导公式的作用；二倍角的余弦．分析：由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．解答：解：由可知，，而．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式及二倍角公式的应用．14．（5分）已知f（x）=则f（f（3））=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由分段函数的特点，先求f（3），再代入求值可得．解答：解：∵f（x）=，∴f（3）=log2（3﹣1）=1∴f（f（3））=f（1）=21﹣2=故答案为：点评：本题考查函数求值，涉及分段函数，属基础题．15．（5分）已知{a n}是公差不等于0的等差数列，a1=2且a2，a4，a8成等比数列，若b n=，则数列{b n}的前n项和的取值范围是[，）．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}是公差为d且d不为0，由题意和等比中项的性质列出方程求出d的值，代入等差数列的通项公式求出a n，再代入b n=化简后进行裂项，由裂项相消法求出数列{b n}的前n项和，化简后由式子个特点和n的取值范围求出它的范围．解答：解：设等差数列{a n}是公差为d，且d不为0，由a1=2且a2，a4，a8成等比数列得，（2+3d）2=（2+d）（2+7d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=a1+（n﹣1）d=2n，则b n==（﹣），所以数列{b n}的前n项和S n=b1+b2+…+b n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=[1﹣]＜，又n≥1，所以S n≥，所以数列{b n}的前n项和S n的取值范围是[，），故答案为：[，）．点评：本题考查了等比中项的性质，等差数列的通项公式，数列的求和方法：裂项相消法的应用，以及数列的函数特性．16．（5分）正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点D是线段BC的中点，过D作球O的截面，则截面面积的最小值为．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD=．而经过点D的球O的截面，当截面与OD垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．解答：解：设正△ABC的中心为O1，连结O1O、O1C、O1D、OD，∵O1是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC，结合O1C⊂平面ABC，可得O1O⊥O1C，∵球的半径R=2，球心O到平面ABC的距离为1，得O1O=1，∴Rt△O1OC中，O1C==．又∵D为BC的中点，∴Rt△O1DC中，O1D=O1C=．∴Rt△OO1D中，OD==．∵过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径r===，可得截面面积为S=πr2=．故答案为：点评：本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．三、判断题（共8小题，每小题12分，满分70分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边．（1）若=，判断△ABC的形状；（2）若a=2，B=，△ABC的面积为，求边长b的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由条件利用正弦定理可得sinB=sinC，故有B=C，可得△ABC为等腰三角形．（2）由△ABC的面积为，求得c的值，再根据余弦定理求得b的值．解答：解：（1）△ABC中，由=，可得=，利用正弦定理可得=，∴sinB=sinC，故有B=C，即△ABC为等腰三角形．（2）∵a=2，B=，△ABC的面积为=ac•sinB=×2×c×sin，∴c=．再由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=4+﹣2×2×=，∴b=．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．18．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：V F﹣BCE==×1×=．点评：本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）某校2015届高三年级在某次模拟考试中，从全年级400名学生中选出40名学生的数学成绩制成了平率分布直方图如图所示．（1若成绩在120分以上为优秀，试估计该校2015届高三年级的优秀率；（2）根据频率分布直方图估计该校2015届高三年级的数学成绩的平均值；（3）样本中数学成绩在[130，140）分的同学中男女生人数之比为2：1，现从成绩在[130，140）分的同学中选出2个研究他们的失分情况，求选出的人中至少1名女生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）通过频率分布直方图直接计算即可；（2）直接计算平均值即可；（3）通过频率分布直方图计算出男生4人，女生2人，利用列举法列出从6名学生中任取2名的所有情况，再找出满足条件的情况即可．解答：解：（1）∵成绩在120分以上（含120分）为优秀，∴2015届高三年级数学成绩的优秀率为10×（0.025+0.015）=40%，∴该校2015届高三年级的优秀率为40%；（2）平均成绩为x=0.05×95+0.2×105+0.35×115+0.25×125+0.15×135=117.5；（3）数学成绩在[130，140）分的同学的人数为0.015×10×40=6，∵男女生人数之比为2：1，∴男生4人，女生2人，女生2人即为A、B，男生4人即为c、d、e、f，则从6名学生中任取2名的所有情况有15种，具体如下：（A、B），（A、c），（A、d），（A、e），（A、f），（B、c），（B、d），（B、e），（B、f），（c、d），（c、e），（c、f），（d、e），（d、f），（e、f），其至少1名女生的情况有（A、B），（A、c），（A、d），（A、e），（A、f），（B、c），（B、d），（B、e），（B、f）共9种情况，故上述6人中选2人，至少一名女生的概率为P==．点评：本题考查频率分布直方图，考查列举法，考查概率的求法，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点Q（2，0）的动直线l与椭圆C相交于M，N 两点，是否存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上？若存在，求出一个满足条件的t值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可得：，解得即可．（2）当l⊥x轴时，M，N，联立直线AN、BM的方程可得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．当直线l的斜率存在时，设l 的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于=（12，t），=（x2+4，y2），利用三点共线可得t（x2+4）﹣12y2=0，只要证明三点B，M，G共线即可．利用向量的坐标运算及其根与系数的关系即可证明．解答：解：（1）∵椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的离心率等于，点P（2，）在椭圆上．∴，解得a2=16，b2=4，c=．∴椭圆C的方程为．（2）当l⊥x轴时，M，N，直线AN、BM的方程分别为，．分别化为：=0，=0．联立解得G．猜测常数t=8．即存在定直线l′：x=t，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．证明：当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），G（8，t）．联立，化为（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣16=0．∴，．∵=（12，t），=（x2+4，y2），三点A，N，G共线．∴t（x2+4）﹣12y2=0，∴=由于=（4，t），=（x1﹣4，y1），要证明三点B，M，G共线．即证明t（x1﹣4）﹣4y1=0．即证明﹣4k（x1﹣2）=0，而3（x2﹣2）（x1﹣4）﹣（x1﹣2）（x2+4）=2x1x2﹣10（x1+x2）+32==0，∴﹣4k（x1﹣2）=0成立．∴存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．综上可知：存在定直线l′：x=8，使得l′与AN的交点G总在直线BM上．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=（k+）lnx+，其中常数k＞0．（1）当k=1时，求f（x）在定义域上的单调区间；（2）若k∈[4，+∞），曲线y=f（x）上总存在相异两点M（x1，y1），N（x2，y2）使得曲线y=f （x）在M，N两点的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）当k=1时，f（x）=5lnx+，x∈（0，+∞），则f′（x）=﹣﹣1=，分别解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出单调区间．（2）f′（x）=﹣﹣1．由题意可得：（x1，x2＞0，且x1≠x2）．化为：4（x1+x2）=x1x2，而，因此x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=，k∈[4，+∞），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：（1）当k=1时，f（x）=5lnx+，x∈（0，+∞），则f′（x）=﹣﹣1=，当0＜x＜1或x＞4时，f′（x）＜0；当1＜x＜4时，f′（x）＞0．∴函数f（x）的单调递减区间为（0，1），（4，+∞），单调递减区间为（1，4）．（2）f′（x）=﹣﹣1．由题意可得：（x1，x2＞0，且x1≠x2）．∴﹣﹣1=﹣﹣1，化为：4（x1+x2）=x1x2，而，∴4（x1+x2）＜，化为x1+x2＞对k∈[4，+∞）都成立，令g（k）=，k∈[4，+∞），g′（k）=1﹣＞0，对k∈[4，+∞）恒成立，∴g（k）≥g（4）=5，∴，∴x1+x2＞，即x1+x2的取值范围是．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，…（2分）由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式m2﹣3m＜f（x），对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；全称命题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用零点分区间的方法，讨论x＜﹣3，﹣3≤x≤1，x＞1去掉绝对值，解不等式，再求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为4，再由不等式恒成立思想可得二次不等式，解得即可．解答：解：（1）原不等式等价为或或，可得﹣≤x＜﹣3或﹣3≤x≤1或1＜x≤，则原不等式的解集为[﹣，]；（2）由于f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，则f（x）的最小值为4，由题意可得m2﹣3m＜f（x）min，即有m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．。