初中数学函数与图像的性质
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中,我们常常会接触到二次函数,并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质,并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$,其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线,并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时,抛物线开口向上;而当$a<0$时,抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$,其中$a,b,c$为常数。
其中,$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小,$b$影响抛物线的位置,$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$,求该二次函数的图像和性质。
解:根据给定的二次函数方程,我们可以得到$a=2$,$b=-3$,$c=1$。
由于$a>0$,所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点,我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先,我们可以找出抛物线的对称轴,对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$,$b=-3$,我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此,对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来,我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$,我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此,顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出,根据顶点的坐标和对称轴的方程,我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线,对称轴为$x=\frac{3}{4}$,顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论,并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式,
分别说出哪些是常数、自变量和函数.
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的!
这些函数有什
么共同点?
探究新知
二次函数的定义
一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0)
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式;
②未知数最高次数为2;
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤:
(1)将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式,左边是函数(因变量)的形式;
(2)判断右边含自变量的代数式是否是整式;
(3)判断自变量的最高次数是否是2;
(4)判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y=3(x-1)²+1(是)
(1) 你们喜欢打篮球吗?
(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么
曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?
素养目标
初中数学教案:函数的图像与性质分析
初中数学教案:函数的图像与性质分析一、函数的图像分析a. 函数定义函数是数学中一个重要的概念,它描述了两个集合之间的映射关系。
在初中数学教学中,我们常用函数来解决实际问题,并通过观察和分析函数的图像来研究其性质与规律。
b. 图像表示法为了方便对函数进行图像表示,我们通常将自变量(x轴)和因变量(y轴)作为坐标系的坐标轴。
函数的图像是指所有满足函数关系的点在坐标系中所呈现出来的形状。
c. 增减性与最值对于一个给定区间上的函数,如果随着自变量的增加,因变量也随之增加,则该函数在这个区间上是增函数;如果随着自变量的增加,因变量反而减小,则该函数在这个区间上是减函数。
通过观察和比较函数各个区间内部不同部分的趋势变化,我们可以对其增减性有更进一步认识。
同时,在某一给定区间内,当因变量取得最大(或最小)值时,我们可称之为该函数在此区间上具有最大值(或最小值)。
二、函数性质的分析a. 奇偶性对于一个函数,如果对任意自变量x,有f(-x)=f(x),则称该函数具有偶性;若对任意自变量x,有f(-x)=-f(x),则称该函数具有奇性。
对于一个关于y轴对称的图像,其函数具有偶性;而对于一个关于原点对称的图像,则其函数具有奇性。
b. 单调性与极值在某一给定区间内,如果函数的增减关系始终一致,则该函数在此区间上是单调函数。
通过观察和比较函数各个区间内不同部分的趋势变化,我们可以更进一步了解其单调性。
同时,在某一给定区间内, 如果存在自变量取得最大(或最小)值时因变量也取得最大(或最小)值,则称之为该函数在此区间上具有极大值(或极小值)。
c. 对称轴与零点对于一个定义域为全体实数的函数,如果存在一条垂直于x轴的直线将其图像分成两个完全相同的部分,则这条直线被称为该函数的对称轴。
零点指的是使得因变量为0的自变量值。
通过观察和计算零点,我们可以了解函数图像与自变量的关系。
三、函数图像与性质分析的实例以一些常见的函数为例,我们来具体分析其图像与性质。
人教版初中数学八年级下册19.2《一次函数的图像和性质》教案
1.理论介绍:首先,我们要了解一次函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数,其中k是斜率,b是截距。它描述了两个变量之间的线性关系,非常重要,广泛应用于物理学、经济学等领域。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。以物体的匀速直线运动为例,展示一次函数在实际中的应用,以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了一次函数的基本概念、重要性和应用。同时,我们也通过实践活动和小组讨论加深了对一次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版初中数学八年级下册19.2《一次函数的图像和性质》教案
一、教学内容
人教版初中数学八年级下册第19.2节《一次函数的图像和性质》教案:
1.理解一次函数的图像特点;
2.掌握一次函数的性质,包括斜率k和截距b的含义;
3.学会通过给定的一次函数解析式绘制其图像;
4.能够利用一次函数的性质解决实际问题;
4.增强学生的逻辑推理和数学抽象能力,通过对一次函数性质的探究,培养其从特殊到一般的思维方式;
初中数学北师大版八年级上册《第4章:正比例函数的图象与性质》课件
8.若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)
和点B(x2,y2),当x1<x2时,y1>y2,则m的取值范
围是( D )
A.m<0
B.m>0
C.m< 1
2
D.m>1
2
9.对于函数y=-k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不
正确的是( )
A.是一条直线
B.过点
1 k
,
k
2.【202X·呼和浩特】二十四节气是中国古代劳动人民 长期经验积累的结晶,它与白昼时长密切相关.当 春分、秋分时,昼夜时长大致相等;当夏至时,白 昼时长最长,根据上图,在下列选项中指出白昼时 长低于11小时的节气是( D ) A.惊蛰 B.小满 C.立秋 D.大寒
3.【202X·长沙】小明家、食堂、图书馆在同一条直线上,小 明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家,如 图反应了这个过程中小明离家的距离y(km)与时间x(min) 之间的对应关系.根据图象,下列说法正确的是( B ) A.小明吃早餐用了25 min B.小明读报用了30 min C.食堂到图书馆的距离为0.8 km D.小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min
解:画图略.这两个函数图象关于x轴(或y轴)对称. (2)这两个函数中x每取一个值时,其对应的函 数值y有什么关系?
解:画图略.这两个函数中x每取一个值时,其对应的 函数值y互为相反数.
11.已知y与x成正比例,且当x=3时,y=-9.
(1)求y与x的函数关系式;
解:设y与x的函数关系式为y=kx,则-9=3k,
第1课时
正比例函数的 图象与性质
数学北师大版 八年级上
1A 2D 3B 4A 5C
初中数学函数与图像关系解读
初中数学函数与图像关系解读函数是数学中非常重要的概念,它描述了一种特定的关系。
函数与图像的关系是数学学习中的一个重要内容,通过图像可以直观地观察函数的性质和规律。
本文将解读初中数学中函数与图像的关系,旨在帮助同学们更好地理解和应用函数概念。
一、函数的定义与性质函数是一个非常常见的数学概念,它描述了两个集合之间的一种对应关系。
在数学中,我们通常用f(x)来表示函数,其中x为自变量,f(x)为函数值或因变量。
函数具有以下性质:1. 定义域与值域:函数的定义域是指自变量的取值范围,值域是指因变量的取值范围。
函数在定义域内的每个自变量都有且只有一个对应的函数值。
2. 单调性:函数可以是递增的(单调递增)或递减的(单调递减)。
3. 奇偶性:函数可以是奇函数或偶函数。
奇函数满足f(x)=-f(-x),偶函数满足f(x)=f(-x)。
4. 对称轴:奇函数的对称轴为原点(0,0),偶函数的对称轴为y轴。
二、函数与图像的对应关系函数与图像是密切相关的,通过观察图像可以发现函数的许多特点。
下面将介绍函数与图像的常见对应关系:1. 递增与递减:当函数递增时,其图像从左到右是上升的;当函数递减时,其图像从左到右是下降的。
2. 极值点:函数的极小值点位于图像的局部最低点,极大值点位于图像的局部最高点。
3. 零点:函数的零点对应于图像与x轴的交点,即函数值为0的点。
4. 对称性:奇函数的图像具有关于原点(0,0)的对称性,而偶函数的图像具有关于y轴的对称性。
5. 渐近线:函数的渐近线是指其图像趋近于的直线。
常见的渐近线有水平渐近线和垂直渐近线。
三、常见函数与图像关系的例子1. 一次函数 y = kx + b一次函数的图像是一条直线,当k>0时,函数递增,当k<0时,函数递减。
斜率k表示直线的倾斜程度,b表示直线与y轴的交点。
2. 二次函数 y = ax^2 + bx + c二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。
初中常用函数及其性质
一.正比例函数的性质1.定义域:R(实数集)2.值域:R(实数集)3.奇偶性:奇函数4.单调性:当k>0时,图像位于第一、三象限,y随x的增大而增大(单调递增);当k<0时,图像位于第二、四象限,y随x的增大而减小(单调递减)5.周期性:不是周期函数。
6.对称轴:直线,无对称轴。
、二.一次函数图像和性质一般地,形如y=kx+b(k、b是常数,且k≠0•)的函数,•叫做一次函数(•linear function).一次函数的定义域是一切实数.当b=0时,y=kx+b即y=kx(k是常数,且k≠0•).所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.当k=0时,y等于一个常数,这个常数用c来表示,一般地,我们把函数y=c(c是常数)叫做常值函数(constant function)它的定义域由所讨论的问题确定.一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距,简称直线的截距.一般地,直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.一次函数的图像:k>0 b>0 函数经过一、三、二象限k>0 b<0 函数经过一、二、三象限k<0 b>0 函数经过一、二、四象限k<0 b<0 函数经过二 、三、四象限 上面性质反之也成立 1.b 的作用在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0),截距b 相同的直线经过同一点(0,b). 2.k 的作用k 值不同,则直线相对于x 轴正方向的倾斜程度不同. (1)k>0时,K 值越大,倾斜角越大 (2)k<0时,K 值越大,倾斜角越大说明 (1) 倾斜角是指直线与x 轴正方向的夹角;(2)常数k 称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义,将在高中数学中讨论. 3.直线平移一般地,一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx 的图像平移得到.当b>0时,向上平移b 个单位;当b<0时,向下平移|b|个单位. 4.直线平行如果k1=k2 ,b1b2,那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行. 如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行,那么k1=k2 ,b1b2 . 1.一次函数与一元一次方程的关系一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解;反之,一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 的图像与x 轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.2.一次函数与一元一次不等式的关系由一次函数 y=kx+b 的函数值y 大于0(或小于0),就得到关于x 的一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0).在一次函数 y=kx+b 的图像上且位于x 轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解.三.二次函数图像及其性质1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是原点,对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系:①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 越小,抛物线的开口越大,a 越大,抛物线的开口越小。
初中数学函数三大专题复习
初中数学函数三大专题复习
一、函数的定义与性质
1. 函数的定义:函数是一个将一个集合的每一个元素映射到另
一个集合的规则。
2. 函数的性质:
- 定义域:函数定义中的所有可能输入的集合称为定义域。
- 值域:函数所有可能的输出值的集合称为值域。
- 单调性:函数是递增的或递减的,称为函数的单调性。
- 奇偶性:函数在定义域内的奇偶性可以根据函数的对称性来
确定。
二、函数的图像与性质
1. 函数的图像:函数的图像是表示函数值和自变量之间对应关
系的图形。
2. 基本函数的图像:
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像特点。
- 图像的对称性特点,如奇函数关于原点对称,偶函数关于y
轴对称。
3. 函数的性质与图像:
- 函数的最大值和最小值可以通过图像上的关键点来确定。
- 函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
三、函数的运算与应用
1. 函数之间的运算:
- 函数的加法、减法、乘法和除法的定义与性质。
- 复合函数的概念和计算方法。
2. 函数的应用:
- 实际问题中常用的函数模型,如线性函数、二次函数、指数函数等。
- 函数的图像在实际问题中的应用,如求函数的最小值、最大值等。
总结:
初中数学函数的三大专题复习包括函数的定义与性质、函数的图像与性质以及函数的运算与应用。
掌握这些知识可以帮助我们理解函数的基本概念和特点,提高数学问题的解题能力。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数,在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域(下面没有说明的话,都是在无特殊要求情况下的定义域):R值域:R奇偶性:无周期性:无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式](k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0)③y-y1=k(x-x1)[点斜式](k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点)④(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]((x1,y1)与(x2,y2)为直线上的两点)⑤x/a-y/b=0[截距式](a、b分别为直线在x、y轴上的截距)解析式表达局限性:①所需条件较多(3个);②、③不能表达没有斜率的直线(平行于x轴的直线);④参数较多,计算过于烦琐;⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角:x轴到直线的角(直线与x轴正方向所成的角)称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数:题目中常见的函数,在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域:R值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,正无穷);②[t,正无穷)奇偶性:偶函数周期性:无解析式:①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);⑷Δ=b^2-4ac,Δ>0,图象与x轴交于两点:([-b+√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);Δ=0,图象与x轴交于一点:(-b/2a,0);Δ<0,图象与x轴无交点;②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b^2)/4a);3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
初中所有函数知识点归纳
初中所有函数知识点归纳函数是数学中的一种基本概念,也是初中数学中非常重要的内容。
在初中阶段,学生主要学习了一次函数、二次函数和分段函数等几种常见类型的函数,下面对这些内容进行归纳。
一、一次函数:1. 函数的定义:一次函数是指函数表达式为 y = kx + b 的函数,其中 k 和 b 是常数,且k ≠ 0。
2.函数图像:一次函数的图像是一条直线,通过其中两个点就能确定这条直线。
3.函数性质:一次函数是一个线性函数,特点是斜率恒定,即直线的倾斜度保持一致。
4.斜率:斜率是一次函数的重要特征,用来描述函数图像的倾斜程度。
二、二次函数:1. 函数的定义:二次函数是指函数表达式为 y = ax^2 + bx + c 的函数,其中 a、b 和 c 是常数,且a ≠ 0。
2.函数图像:二次函数的图像是一个抛物线,开口方向由a的正负确定。
3.函数性质:二次函数的最高次项是二次的,代表抛物线的弯曲程度。
4.零点和顶点:二次函数的零点即方程的根,顶点是抛物线的顶点,二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
三、分段函数:1.函数的定义:分段函数是指在不同的区间采用不同的函数表达式来定义的函数。
2.函数图像:分段函数的图像是由不同的线段或抛物线拼接而成。
3.区间和定义域:分段函数的定义域是所有给定函数的定义域的并集,区间是定义域的数据范围。
四、函数的运算:1.函数的加减法:两个函数的加减法运算规则是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值,即(f+g)(x)=f(x)±g(x)。
2.函数的乘法:两个函数的乘法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值,即(f*g)(x)=f(x)*g(x)。
3.函数的除法:两个函数的除法运算是将对应的x值代入函数表达式后进行运算得到对应的y值,即(f/g)(x)=f(x)/g(x)。
五、函数的应用:1.函数的问题解决:函数在数学中有很多实际应用,如利用函数关系解决实际问题,通过函数图像分析问题等。
初中数学函数图像知识点汇总
初中数学函数图像知识点汇总函数是数学中的重要概念,而函数图像则是理解函数性质的重要工具之一。
在初中数学中,学习函数图像有助于学生理解函数的变化规律、性质和应用。
下面将对初中数学函数图像的知识点进行详细总结。
1. 基本函数图像:(1) 常数函数 f(x)=a : 这是一条平行于x轴的直线,横坐标不变,纵坐标为常数a。
(2) 一次函数 f(x)=kx+b : 这是一条斜率为k的直线,纵截距为b。
(3) 平方函数 f(x)=x^2 : 这是一条开口向上的抛物线,对称轴是y轴。
(4) 绝对值函数 f(x)=|x| : 这是一条以原点为顶点的V字形折线。
2. 函数的变换:(1) 平移:将函数图像沿x轴或y轴平行地移动。
当函数图像向右平移h单位时,函数表示形式为f(x-h);当函数图像向上平移k单位时,函数表示形式为f(x)+k。
(2) 翻折:将函数图像沿x轴或y轴翻转。
当函数图像关于x轴对称时,函数表示形式为-f(x);当函数图像关于y轴对称时,函数表示形式为f(-x)。
(3) 压缩与拉伸:将函数图像沿x轴或y轴进行扩大或缩小。
当函数图像水平方向压缩为原来的1/a倍,纵轴方向拉伸为原来的a倍时,函数表示形式为f(ax);当函数图像水平方向拉伸为原来的a倍,纵轴方向压缩为原来的1/a倍时,函数表示形式为f(x/a)。
3. 常见函数图像特征:(1) 斜率:一次函数的斜率代表了函数图像的倾斜程度。
斜率越大,函数图像越陡峭。
(2) 零点:函数图像与x轴相交的点称为零点。
零点对应于函数的解,即f(x)=0。
(3) 最值:函数图像的最高点称为最大值,最低点称为最小值。
(4) 对称中心:若函数图像关于某一点对称,则该点为对称中心。
常见对称中心有原点和y轴。
(5) 单调性:函数图像在某一区间上递增或递减称为函数的单调性。
4. 常用函数图像的特点:(1) 常数函数 f(x)=a : 函数图像平行于x轴,斜率为0,没有零点,单调性为常数。
初中数学函数知识点总结(定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限:(+,+) 第二象限:(-,+) 第三象限:(-,-) 第四象限:(+,-)3、坐标轴上点的坐标特征:x 轴上的点,y 为零;y 轴上的点,x 为零;原点的坐标为(0 , 0)。
4、点的对称特征:已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同,纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同,横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横,纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:平行于x 轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于y 轴的直线上的任意两点:横坐标相等。
6、各象限角平分线上的点的坐标特征:第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
7、点P (x,y )的几何意义:点P (x,y )到x 轴的距离为 |y|,点P (x,y )到y 轴的距离为 |x|。
点P (x,y )到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离:X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式:已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则:M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征: 在平面直角坐标系中,将点(x,y )向右平移a 个单位长度,可以得到对应点( x-a ,y ); 将点(x,y )向左平移a 个单位长度,可以得到对应点(x+a ,y ); 将点(x,y )向上平移b 个单位长度,可以得到对应点(x ,y +b ); 将点(x,y )向下平移b 个单位长度,可以得到对应点(x ,y -b )。
初中函数的概念ppt课件
二次函数的定义
形如y=ax^2+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函 数称为二次函数。
二次函数的图像
二次函数y=ax^2+bx+c 的图像是一个抛物线。
二次函数的性质
当a>0时,抛物线开口向 上,有最小值;当a<0时 ,抛物线开口向下,有最 大值。
03 函数的应用
函数在生活中的实际应用
人口增长模型
提供工具。
04 函数的扩展知识
复合函数的概念
定义
如果y是u的函数,而u是x的函数,那么y关于x的函数叫做由基本函 数f(u)和g(x)构成的复合函数。
表示方法
y = f(u),u = g(x)
分解
把一个复合函数分解成若干个基本初等函数,并分别指出各基本初等 函数在复合函数中的作用。
函数的奇偶性
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微积分
函数是微积分的基础,可以用来研 究物体的运动、变化和趋势等。
统计学
函数可以用来描述数据的分布特征 ,为统计分析提供工具。
函数在物理问题中的应用
力学
函数可以用来描述物体的运动状 态,如速度、加速度等。
热力学
函数可以用来描述温度、压力等 物理量的变化情况,为热力学研
究提供工具。
电学
函数可以用来描述电流、电压等 物理量的变化情况,为电学研究
函数的定义通常包括定义域和值域,定义域是指自变量的取值范围,值域是指因变 量的取值范围。
函数的表示方法
函数的表示方法有三种:表格法、图 象法和解析式法。
图象法是用图形来表示函数关系,它 直观形象,可以反映函数的单调性、 增减性等性质。
表格法是最简单的一种表示方法,它 将自变量和因变量的对应关系列成表 格,适用于简单的函数关系。
初中数学函数图像知识总结
初中数学函数图像知识总结函数图像是初中数学中的一个重要内容,它能够直观地描述数学中的关系和规律。
通过学习函数的图像,我们可以更好地理解和应用函数概念。
本文将对初中数学中常见的函数图像进行总结,并重点介绍了线性函数、二次函数和反比例函数的图像特征。
1. 线性函数图像:线性函数是最简单的一类函数,其图像为一条直线。
线性函数的通式为y = kx + b,其中k为斜率,b为截距。
当k大于0时,函数图像是上升的直线;当k小于0时,函数图像是下降的直线;当k等于0时,函数图像是水平的直线;当b不等于0时,函数图像与y轴有交点,否则函数图像与y轴平行。
2. 二次函数图像:二次函数的通式为y = ax^2 + bx + c,其中a决定了抛物线的开口方向。
当a大于0时,函数图像开口向上;当a小于0时,函数图像开口向下。
二次函数的图像称为抛物线,其对称轴为x = -b/(2a),顶点坐标为(-b/(2a), c)。
对于对称轴,若b为奇数则图像在y轴左侧,若为偶数则图像在y轴右侧。
3. 反比例函数图像:反比例函数的通式为y = k/x,其中k为比例常数。
反比例函数的图像是一根过原点的曲线,其特点是随着自变量x的增大,函数值y逐渐减小,并且函数图像永远不会经过坐标轴上的某个点。
当k大于0时,函数图像在第一象限和第三象限;当k小于0时,函数图像在第二象限和第四象限。
除了以上介绍的三种常见的函数图像之外,还有其他函数图像,如绝对值函数、指数函数和对数函数等。
掌握这些函数图像的特点有助于解决各种数学问题。
在学习函数图像时,我们可以使用一些辅助工具来帮助我们更好地理解和绘制函数图像。
例如,可以使用平移、翻转和尺度变换等方法来得到函数图像的特定形态。
此外,也可以借助计算机软件或在线绘图工具来绘制函数图像,以便更加准确地观察和分析函数的性质和变化规律。
总之,初中数学中的函数图像是一种重要的表示方法,能够帮助我们理解和应用函数的概念。
函数与像初中数学知识点之函数与像的关系与性质
函数与像初中数学知识点之函数与像的关系与性质函数是初中数学中的一个重要概念,它在数学中的应用广泛,与数学知识点之一的像也有着密切的关系。
本文将探讨函数与像的关系和性质,帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、函数的定义函数是两个集合之间的对应关系。
通常情况下,我们用自变量x表示定义域的元素,用函数符号f表示对应后的像。
例如,若定义域为集合A,值域为集合B,则函数可以表示为f:A→B。
在这个对应关系中,每一个x都有唯一的像f(x)。
二、函数与像的关系函数与像之间存在密切的关系。
具体来说,像是函数运算后得到的结果。
当自变量x被代入函数中时,函数会对x进行运算,并得到与x 对应的唯一的像。
这种对应关系可以用符号表示,即f(x)表示函数f在自变量x处的像。
三、函数与像的性质1. 函数的唯一性:对于给定的自变量,函数只有唯一的像。
这是函数与像的最基本的性质,也是函数的定义所要求的。
2. 值域:由函数的定义可知,值域是所有可能的像的集合。
对于一个函数f,它的所有像构成了函数的值域。
值域的确定需要对定义域和函数的性质进行分析。
3. 反函数:反函数是函数的一个重要性质。
若函数f的定义域为A,值域为B,对于A中的任意元素x,若存在B中的一个元素y,使得f(x)=y,并且对于B中的任意元素y,只有一个元素x存在,满足f(x)=y,则y与x之间存在唯一的对应关系。
这个对应关系的函数称为函数f的反函数。
4. 图像与像:a. 图像是函数的另一个重要性质,它是函数在坐标系中的表示。
对于一个函数f,我们可以将其绘制成图像,横坐标表示自变量,纵坐标表示相应的像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数与像之间的关系。
b. 像也可以称为函数的值,是函数在对应自变量下的输出结果。
与图像不同的是,像是函数对应值的具体数值。
四、函数与像的应用函数与像的概念在数学及其他领域中都有广泛的应用。
举例来说:1. 在数学中,函数与像的关系经常被用于解决实际问题,如函数模型的应用,函数的变化趋势等。
初中数学知识归纳函数的象与函数的性质
初中数学知识归纳函数的象与函数的性质函数是数学中的一个重要概念,它在数学的各个领域中都起着关键的作用。
本文将对初中数学中关于函数的象与函数的性质进行归纳总结。
1. 函数的定义及表示方法函数是一种特殊的关系,它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
通常表示为“y=f(x)”或者“f:X→Y”,其中x为自变量,y为因变量,f为函数名,X为自变量的定义域,Y为因变量的值域。
2. 函数的象函数的象是指因变量的值在函数中的全部可能取值所组成的集合。
数学上用记号“f(X)”来表示函数f的象,其中X是自变量的定义域。
简单来说,函数的象就是函数在自变量的取值范围内所能取到的所有因变量的值。
3. 常见函数的象在初中数学中,常见的函数有多项式函数、分段函数、有理函数等。
这里简单介绍一下这些函数的象的特点。
- 多项式函数:多项式函数的象是整个实数集。
因为多项式函数对于任何实数的自变量都能求出对应的因变量。
- 分段函数:分段函数的象是根据不同区间内的自变量取值而定的。
不同区间内的自变量可能对应不同的函数表达式。
- 有理函数:有理函数的象取决于其分母的因式分解形式。
函数在分母因式的零点处可能出现无定义或者无穷大的情况。
4. 函数的性质函数的性质是指函数在定义域内的一些特点和规律。
在初中数学中,常见的函数性质有奇偶性、单调性、周期性等。
- 奇偶性:函数f的奇偶性是指函数在坐标系中的对称性。
若对于任意x在定义域内,有f(-x)=f(x),则称函数是偶函数;若对于任意x在定义域内,有f(-x)=-f(x),则称函数是奇函数;若奇函数与偶函数性质同时满足,则称函数是周期函数。
- 单调性:函数在定义域内的单调性是指其值随着自变量的增减而增加或者减小的规律。
可以分为单调递增和单调递减两种情况。
- 周期性:函数的周期性是指函数在一定区间内具有规律的重复性。
可以用函数f(x)=f(x+T)来表示,其中T为函数的周期。
5. 函数的应用函数在数学的各个分支中都有广泛应用。
初中数学复习函数的性质与像变换
初中数学复习函数的性质与像变换初中数学复习:函数的性质与像变换函数是数学中的重要概念之一,它描述了两个变量之间的关系。
理解函数的性质以及像变换对于学习数学是至关重要的。
本文将介绍函数的性质以及像变换的概念,并探讨它们在初中数学中的应用。
一、函数的性质在数学中,函数有一些重要的性质,包括定义域、值域、单调性和奇偶性等。
1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量可以取值的范围,值域则是函数在定义域内可以取得的所有值的集合。
例如,对于函数f(x) = 2x + 1,其定义域为全体实数,值域为全体实数。
2. 单调性函数的单调性描述了函数在定义域内自变量的增减趋势。
如果对于定义域内的任意两个数a和b,当a < b时,有f(a) < f(b),则函数称为增函数;当a < b时,有f(a) > f(b),则函数称为减函数。
3. 奇偶性奇函数和偶函数是函数的两种重要的分类。
如果对于定义域内的任意数x,有f(-x) = -f(x),则函数称为奇函数;如果对于定义域内的任意数x,有f(-x) = f(x),则函数称为偶函数。
二、像变换像变换是一种数学变换,通过对函数的自变量进行变换,可以得到新的函数。
常见的像变换包括平移、对称和伸缩等。
1. 平移平移是指将函数沿着坐标轴的方向进行移动。
平移分为平移的方向和平移的距离。
- 水平平移:函数沿着x轴的方向进行平移,如果平移距离为a个单位,则函数变为f(x - a)。
- 垂直平移:函数沿着y轴的方向进行平移,如果平移距离为b个单位,则函数变为f(x) + b。
2. 对称对称是指函数在坐标轴上进行旋转或镜像。
- x轴对称:函数关于x轴进行镜像,如果函数关于x轴对称,则有f(-x) = f(x)。
- y轴对称:函数关于y轴进行镜像,如果函数关于y轴对称,则有f(x) = f(-x)。
3. 伸缩伸缩是指函数的图像在坐标轴上进行拉伸或压缩。
- 横向伸缩:函数沿着x轴的方向进行拉伸或压缩,如果伸缩因子为a,则函数变为f(ax)。
初中数学教案:函数的性质和图像
初中数学教案:函数的性质和图像函数的性质和图像一、函数的性质函数是数学中一种非常重要的概念。
了解函数的性质对于学习数学以及解决实际问题都具有重要意义。
1. 定义域和值域在讨论一个函数的性质时,首先要明确这个函数的定义域和值域。
函数的定义域指的是所有可以作为自变量的值的集合,值域指的是函数对应的因变量的取值范围。
在解决具体问题时,需要特别关注函数的定义域和值域是否合理。
2. 奇偶性对于一个函数,如果对于任意的 x ,有 f(-x) = f(x) ,则称这个函数是偶函数;如果对于任意的x ,有f(-x) = -f(x) ,则称这个函数是奇函数。
对于一个函数来说,可能既不是偶函数,也不是奇函数。
奇偶性的判断对于简化函数的运算和图像的绘制都有一定帮助。
通过判断函数是偶函数还是奇函数,我们可以在讨论的时候简化计算。
3. 单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的变化趋势。
如果对于任意的 x1<x2 ,有f(x1)<f(x2) ,则函数是严格递增的;如果对于任意的 x1<x2 ,有 f(x1)>f(x2) ,则函数是严格递减的。
通过研究函数的单调性,我们可以对函数的图像的整体走势有一个初步了解。
对于解决实际问题和优化函数应用具有重要的指导意义。
二、函数的图像当我们了解了函数的性质后,我们来讨论一下函数的图像。
函数的图像是通过绘制函数的各个点得到的一条曲线。
1. 直线函数的图像直线函数是最简单的一类函数,其图像为一条直线。
直线函数的一般式表示为y = kx + b ,其中 k 和 b 分别表示直线的斜率和截距。
我们可以通过斜率和截距来确定直线函数的图像。
2. 平方函数的图像平方函数是一类常见的二次函数,其图像一般呈现抛物线的形状。
平方函数的一般式表示为 y = ax^2 + bx + c ,其中 a,b,c 分别表示平方函数的系数。
根据平方函数的系数,可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及与坐标轴的交点等信息。
数学初中函数图像与性质知识点归纳
数学初中函数图像与性质知识点归纳函数是数学中非常重要的概念,它在数学以及其他学科的研究中起着至关重要的作用。
函数不仅仅是数学中的一个概念,也是我们日常生活中经常接触到的东西。
在初中阶段,我们开始学习函数的概念和性质,这对我们进一步学习数学打下了坚实的基础。
本文将对初中函数图像与性质的知识点进行归纳和总结,希望能帮助大家更好地理解和掌握这些内容。
一、函数的定义与表示函数可以理解为两个集合之间的一种对应关系,即每个元素在第一个集合中有一个唯一对应的元素在第二个集合中。
用符号表示函数可以有多种形式,最常见的是使用算式、图表和一些特定的关系式。
二、函数的图像与性质1. 函数的图像函数的图像是我们用来直观地了解函数的工具之一。
通过绘制函数的图像,我们可以更好地理解函数表达的含义和规律。
函数的图像可以通过在坐标系上画出函数的点来得到,其中横坐标表示自变量的取值,纵坐标表示函数值。
2. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围,而值域是函数值的取值范围。
对于一些简单的函数,我们可以直接通过函数的图像来确定其定义域和值域。
对于一些复杂的函数,我们需要利用一些数学方法来求解。
3. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点的对称性。
如果一个函数满足对于任意的自变量,有$f(-x)=f(x)$成立,则该函数是偶函数;如果满足对于任意的自变量,有$f(-x)=-f(x)$成立,则该函数是奇函数。
4. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的取值规律。
如果函数在定义域内任意两个点,当自变量增大时,相应的函数值也增大,则称该函数为增函数;如果函数在定义域内任意两个点,当自变量增大时,相应的函数值减小,则称该函数为减函数。
5. 函数的周期性函数的周期性是指函数的图像在一定区间内重复出现的规律性。
如果存在一个正数$T$,使得对于函数的所有自变量$x$,有$f(x+T)=f(x)$成立,则称函数具有周期$T$。
6. 函数的极值与最值函数的极值是指函数取得的最大值和最小值,最值是指函数的最大值和最小值。
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初中数学函数与图像的性质
函数是重要的初中数学知识点,很多的初中数学试题包括中考数学试题,因此,希望同学们都能够很好的备考初中数学函数的内容,我们推荐下面的初中数学函数与图像的性质,帮助考生更好的备考中考。
函数是重要的初中数学知识点,很多的初中数学试题包括中考数学试题,因此,希望同学们都能够很好的备考初中数学函数的内容,我们推荐下面的初中数学函数与图像的性质,帮助考生更好的备考中考。
1数轴
1.1 有向直线
在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相
规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l
1.2 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化
数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
2.1 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立
了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限
2.2 两点间的距离
2.3 中点公式
3 函数
3.1 常量,变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数
一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)
3.2 函数的图像
若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像
知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤
4 正比例函数
4.1 正比例函数
一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x 之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小
(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率
4.2 反比例函数
一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴
5 一次函数及其图像
5.1 一次函数及其图像
如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距
5.2 一次函数的性质
函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法。
以上介绍的是初中数学函数和图像的性质,希望对考生的初中数学复习有所帮助。
初中数学函数的内容,希望考生积极的备考,预祝考生的中考数学考试备考顺利。