人A教版高二数学选修1-1课件：第二章 2.3.1 抛物线及其方程 (共61张PPT)
推荐-高中数学人教A版选修1-1课件2.3.1 抛物线及其标准方程
探究一
探究二
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探究三
思维辨析
X新知导 I学NZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
探究一根据抛物线方程求焦点坐标以及准线 方程 【例1】 求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-12x; (2)3x2-4y=0; (3)x=32y2; (4)y2=ax(a≠0). 分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求 出p的值,然后写出焦点坐标和准线方程.
-4y 5
+2|表
示点 M(x,y)到定直线 3x-4y+2=0 的距离,因此动点 M(x,y)到定点
(1,0)的距离等于它到定直线 3x-4y+2=0 的距离,且定点(1,0)不在
定直线 3x-4y+2=0 上,故动点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,以
3x-4y+2=0 为准线的抛物线.
答案 D
1 8
y=-18
(2)y2=-20x (-5,0)
12
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X新知导 I学NZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定 是抛物线. ( ) (2)抛物线实质上就是双曲线的一支. ( ) (3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. ( ) (4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴. ( ) 答案(1)× (2)× (3)× (4)×
圆圆心M的轨迹方程是
.
解析设动圆的半径为R,因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-3-1《抛物线及其标准方程》
p 方法二：设直线 l 的方程为 x＝ky＋2， p x＝ky＋ 2 得 y2－2pky－p2＝0， 由 2 y ＝2px
2 2 2 y y y y p 1 2 1 2 则 y1· y2＝－p2，x1x2＝ ＝ 2p 2＝ . 2p 2p 4
由题意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上， 16 所以 16＝－2p×(－5),2p＝ 5 . 16 所以抛物线方程为 x ＝－ y. 5
2
水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B，B′时，船 开始不能通航． 16 5 设 B(2，y′)．由 2 ＝－ 5 ×y′，所以 y′＝－4.
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的
点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的
值．
[解析] 点
p F2，0，
解法一： 设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， 则焦
m2＝6p 由题设可得 p2 2 m ＋3－2 ＝5
p>0)的焦点坐标是0，－2，准
p 线方程是 y＝2 .
3．过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截
得的线段，称为抛物线的 焦点弦 ． 4．通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴而交抛物线于 A、 B两点的线段，称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于 .
1 依题意有 P′(1，－1)在此抛物线上，代入得 p＝2. 故得抛物线方程为 x2＝－y. 又 B 在抛物线上，将 B(x，－2)代入抛物线方程得 x ＝ 2，即|AB|＝ 2，则|AB|＋1＝ 2＋1， 因此所求水池的直径为 2(1＋ 2)m，约为 5m， 即水池的直径至少应设计为 5m.
2014年人教A版选修1-1课件 2.3 抛物线
2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2=20x; (2) x2= 1 y; 2 (3) 2y25x=0; (4) x28y=0. 解: (3) 方程变为标准形式 y 2 = 5 x, 2 5 焦点在 x 轴负半轴上, 2 p = , 2 p 5 得 = , 2 8 ∴ 焦点坐标为 ( 5 , 0 ), 8 准线方程为 x = 5 . 8
2. 抛物线的标准方程是怎样的? 开口方向不 同时, 方程有什么变化?
3. 抛物线标准方程中的字母常数的几何意义 是什么?
问题 1. 我们知道二次函数的图象是抛物线, 它 的几何特征是什么? 它是什么样的点的轨迹? 我们 用细绳画了椭圆和双曲线, 你知道用细绳怎样画抛物 线吗? 如图: 定义: 我们把平面内与一个 l 定点 F 和一条定直线 l 的距离相 · 等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F · · 叫做抛物线的焦点, 直线 l 叫做 ·F · 抛物线的准线. 根据定义我们用细绳画抛物线.
p 2
x
x
x
p y= 2
例1. (1) 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它 的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, 2), 求它的标准 方程. 解: (1) 由方程知抛物线的焦点在 x 正半轴, p 3 2p=6, = , 2 2 3 ∴ 抛物线的焦点是 ( , 0 ), 2 准线方程是 x = 3 . 2
·
·
(1) 抛物线上任 一点到焦点的距离等 于这点到准线的距离; (2) 抛物线的顶 点在焦点与准线的垂 线段的中点.
D M |MF| = |MD|
【抛物线的标准方程】
问题2. 根据抛物线的定义, 你能求出抛物线的方 程吗? 你认为怎样建立坐标系恰当? 设焦点 F 到准线 l 的距离为 p (p>0), 以过点 F, 且垂直于 l 的直线为 x 轴, F 到 l 的垂 线段的中点为原点, 建立直角坐标系(如图). y p p l 则点 F 的坐标为 ( , 0 ), d 2 p M · 直线 l 的方程为 x = , 2 设点 M(x, y) 到直线 l 的距离为 d, o F x 根据定义得 |MF| = d, 代入点的坐标得 ( x p )2 y2 = | x ( p )|, 2 2 化简方程得 y2=2px.
人教A版高中数学选修1-1课件-抛物线及其标准方程
y＝p2
1．已知抛物线 y2＝mx 的焦点坐标为(2,0)，则 m 的值为( D )
A．12
B．2
C．4
D．8
[解析] 由题意得 m＞0，且m4 ＝2，∴m＝8，故选 D．
2．抛物线 y＝14x2 的准线方程为( C )
A．x＝－116
B．x＝－18
C．y＝－1
D．y＝2
[解析] 抛物线 y＝14x2 化为标准方程为 x2＝4y，故准线方程为 y＝－1.
1．抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹． (2)焦点：_________叫做抛物线的焦点． (3)准线：___________叫做抛物线的准线．
定点F 定直线l
相等
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标 准线方程
_____y_2＝__2_p_x_(_p_>_0_)____
[思路分析] 先建立平面直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得p， 得到抛物线方程，再把y＝－3代入抛物线方程求得x0，进而得到答案．
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)， 则 A(2，－2)，将其坐标代入 x2＝－2py 得 p＝1.∴x2＝－2y.
当水面下降 1 m，得 D(x0，－3)(x0>0)， 将其坐标代入 x2＝－2y 得 x02＝6， ∴x0＝ 6，∴水面宽|CD|＝2 6 m.
的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．
跟踪练习2
求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[解析] (1)当焦点在 x 轴上时，设所求的抛物线方程为 y2＝－2px，由过点(－ 3,2)知，4＝－2p(－3)，得 p＝23，此时抛物线的标准方程为 y2＝－43x；
(新课标)高中数学《2.3.1抛物线及其标准方程》课件-新人教A版选修1-1
解 如图，作 PQ⊥l 于 Q，由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距 离等于点 P 到准线 l 的距离 d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的 问题可转化为求|PA|＋d 的最小值的问题． 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6. ∵ 6>2，∴A 在抛物线内部． 设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知|PA|＋|PF| ＝|PA|＋d.由图可知，当 PA⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72.即|PA| ＋|PF|的最小值为72，此时 P 点纵坐标为 2，代入 y2＝2x，得 x＝2. ∴点 P 坐标为(2，2 点的纵坐标分别为 y1，y2，y3，A， M，B 三点在抛物线准线上的射影分别为 A′，M′，B′. 由抛物线的定义，得 |AF|＝|AA′|＝y1＋14， |BF|＝|BB′|＝y3＋14. ∴y1＝|AF|－14，y3＝|BF|－14.
第26页，共28页。
第13页，共28页。
题型二 抛物线定义的应用 【例 2】 如图，已知抛物线 y2＝2x 的 焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又 有点 A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值， 并求此时 P 点坐标． [思路探索] 解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|＋|PF|＝ |PA|＋|PQ|，由图可知当 A、P、Q 三点共线时取最小值．
又 A(0，2)，F(12，0)，
∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|＝ 答案 A
（0－12）2＋（2－0）2＝
17 2.
第18页，共28页。
题型三 抛物线的实际应用 【例 3】 (12 分)一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物 线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m， 求使卡车通过的 a 的最小整数值． 审题指导 本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题首先 建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的问题解决．
【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，
高中数学选修1课件1-2.3.1抛物线及其标准方程
C．y2＝－94x 或 x2＝43y D．y2，∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p ＞0)或 x2＝2p′y(p′＞0)．
将点(－2,3)代入方程，得 p＝94，p′＝23，∴抛物线方程为 y2 ＝－92x 或 x2＝43y.
答案：D
3．抛物线 y2＝4x 的准线方程为________．
(4)对于直线方程 3x－4y－12＝0，令 x＝0，得 y＝－3；令 y＝ 0，得 x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以 p＝6，此时抛物线的标准方 程为 x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以 p＝8，此时抛物线的标准方程为 y2＝16x.
若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x＝8 时， y＝－510×82＝－1.28， 即船体在 x＝±8 之间通过，B(8，－1.28)，此时 B 点距水面 6 ＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为 5 米，所以无法通行． 又因为 5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最 多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现在状况下不能通过桥孔．
类型三 抛物线的实际应用 例 3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛 物线型，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米．现 有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上 部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米．若不 考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥 孔？为什么？
最新-高中数学 抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修1-1 精品
和一条定直线l (l不经过点F )
的距离相等的点的轨迹叫抛
焦
·F 点
物线.
点F叫抛物线的焦点,
l
准线
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
那么如何建立坐标系,使抛物线的方程更简
单,其标准方程形式怎样?
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程 4、化简
解：y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
（3）焦点到准线的距离是2
解：y2 =x
解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
思考：你能说明二次函数y=ax2（a≠0)为什么
是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
解：二次函数可化为：x2=
1 a
y
即2p=
1 a
①当a>0时,
． 标准方程。
y
解：1）设抛物线的标准方程为
x2 =2py，把A（-2，4）代入， A
得p= 1
2
2）设抛物线的标准方程为
O
x
y2 = -2px，把A（-2，4）代入，
得p= 4
∴抛物线的标准方程为 x2 = y 或 y2 = -8x 。
课堂小结
1。抛物线的定义 2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
求它的焦点坐标和准线方程；
解：因为p=3,所以焦点坐标是
(3
2
,0),准线方程是
3
x=-.2
(2)已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的 标准方程.
p
人教A版高中数学选修1-1+2.3.1+抛物线及其标准方程 ppt课件 (共30张PPT)
) B．(0，－2) D．(－4,0)
(2)若抛物线 y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)， 则 p＝________， 准线方程为________．
【解析】 (1)由抛物线的方程为 x2＝8y 知，抛物线的焦点在 y 轴上，所以 p 2p＝8，2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选 A. (2)因为抛物线 y ＝2px
用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后
将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线 这 条曲线是什么图形？
知识导学
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条直线 l(l 不过点 F)的________的点的集合叫作抛 物线．
2．焦点 ________叫作抛物线的焦点． 3．准线 ________叫作抛物线的准线．
2
p 的焦点坐标为2，0，准线方程为
p x＝－2，抛物线 y2
＝2px 的焦点坐标为(1,0)，所以 p＝2，准线方程为 x＝－1.
【答案】 (1)A (2)2 x＝－1
问题探究
探究2： 抛物线的定义及应用
例 2、已知抛物线 y 2 2 x 的焦点为 F ，点 P 是抛物线上的一动点，且 A(3, 2) ， 求 PA PF 的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
4x 3y+6=0 B A P y2=4x
到抛物线焦点 F (1,0) 的距离，如图：
PA PB PF PB ，
O F
x F (1,0) 到直线 l1 的距离． ∴ ( PF PB )min
46 2 ，故选 C ． 5
问题探究
探究3：求抛物线的方程
1 ∴焦点坐标是0，24，准线方程为
1 y＝－24.
高中数学第二章2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．3.1 抛物线及其标准方程预习课本P56～59，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？ [新知初探] 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px(p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p >0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p >0)⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2[小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( ) (2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．若抛物线y 2＝8x 上一点P 到其焦点的距离为10，则点P 的坐标为( ) A ．(8,8) B ．(8，－8) C ．(8，±8) D ．(－8，±8)答案：C4．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x抛物线的标准方程[典例] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p >0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .求抛物线的标准方程的方法 定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．[活学活用]1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)． 由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋a 2＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.[答案] A(2)解：由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2， 故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [一题多变]1．[变结论]若本例(2)中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标． 解：设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2.又点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，所以由抛物线的定义得x 0＋12＝2，解得x 0＝32.因为y 20＝2x 0，所以y 0＝±3，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3.2．[变结论]若本例(2)中增加一点A (3,2)，其他条件不变，求|MA |＋|MF |的最小值，并求出点M 的坐标．解：如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l的距离|MN |，于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AN |＝3＋12＝72.当A ，M ，N 三点共线时，|MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值72，这时M 的纵坐标为2.可设M (x 0,2)，代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴，建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A (10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x 2＝－2py (p >0)， 则102＝－2p ×(－2)，所以p ＝25， 所以抛物线方程为x 2＝－50y ，即y ＝－150x 2.若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x ＝8时，y ＝－150×82＝－1.28，即船体在x ＝±8之间通过，B (8，－1.28)，此时B 点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行．又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤[活学活用]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一 学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标是2的点M 到抛物线焦点的距离是3，则p ＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵抛物线的准线方程为x ＝－p 2，点M 到焦点的距离为3，∴2＋p2＝3，∴p＝2.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则由点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，直线AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以点B 的横坐标为12，纵坐标为－2，所以S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，由于c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .6．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为_______，准线方程为________．解析：圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.答案：(1,0) x ＝－17．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 10.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)， 因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y . (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0.5， 故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．层级二 应试能力达标1．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l . 在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4，∴S △PMF ＝34×42＝4 3.故选D. 3．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 法一：设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切，得圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．法二：设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r ，点A (0,3)，由题意得|CA |＝r ＋1＝y ＋1，∴x 2＋y －32＝y ＋1，化简得y ＝18x 2＋1，∴圆心的轨迹是抛物线．4．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2.5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，则|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝________.解析：因为FA ―→＋FB ―→＋FC ―→＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA ―→|＋|FB ―→|＋|FC ―→|＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6.答案：66．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程，得x 2a 2－y 23a2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ， 而由⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－27.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2， 于是4＋p 2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x . (2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)，所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)． 因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34， 则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43x －1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值；(2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 由抛物线的定义，知|PF|＝d，于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±12，因为12>2，所以点B在抛物线内部．自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.。
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1
• 当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的
一次项，且符号指导了抛物线的开口方向，为 正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴 上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号
指导了抛物线的开口方向，为正时开口向上， 为负时开口向下．
1．抛物线 x2＝ay 的准线方程是 y＝2，则实数 a 的值为( )
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
合作探究 课堂互动
线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程
一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数
为负，焦点在负半轴．
• 1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其 焦点和准线方程． • (1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是
32，0，准线方程为 x＝－32.
5分
所以，抛物线方程为 x2＝－ay.
6分
将点 E(0.8，y)代入抛物线方程，得 y＝－0.a64. 所以，点 E 到拱底 AB 的距离为a4－|y|＝a4－0.a64>3. 9 分 解得 a>12.21，∵a 取整数，∴a 的最小值为 13. 12 分
•
(1)本题是与抛物线有关的应用题，
解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4， ∴p＝8，此时抛物线方程 y2＝16x； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|， ∴p＝4，此时抛物线方程为 x2＝－8y. 故所求的抛物线的方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3 抛物线(通用)》赛课课件_26
且 P 3 2
∴p=6，∴方程为y2=-12x.
2.求经过点A（2，-4）的抛物线标准方程
解：由于A（2，-4）在第四象限且对 称轴为坐标轴， 可设方程为y2=2Px或x2=-2Py, 代入A点坐标求得P=4，P=-1/2， ∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.
x2 2 py x2 2 py ( p 0) ( p 0)
p的几何意义：焦点F到准线L的距离
图形
顶点
0（0,0）
对称轴
y=0
x=0
焦点
F
p 2
,0
F
p 2
,0
F
0,
p 2
F
0,
p 2
离心率
e=1
准线方程 x p 2
总结：
• 抛物线的标准方程有四种，在求解过程中, 要根据题目描述的几何性质判断方程形式。
题型三
1.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5，则线段AB中点到y轴的距离是 。
y
A1
A
B1 o B
x
2.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线L，交 抛物线于A，B两点，交其准线于C点.若 CB 3BF 则直线L的斜率为 .
范围 x 0, y R
x p 2
x 0, y R
yp 2
y p 2
y 0, x R y 0, x R
开口方向 向右
向左
向上
向下
题型一
1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是
A.(2,0)
B.(-2,0)
高二数学 (人教a版)选修1-1教案：2.3.1 抛物线及其标准方程
§2.3.1 抛物线及其标准方程教学环节教学活动设计意图一、复习引入抛物线的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（122F F a<）的点的轨迹. 2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（122F F a>）的点的轨迹.3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。
通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．设(0)KF p p=>,则焦点F的坐标为（2p，0），准线的方程为2px=-．设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义，抛物线就是点的集合{}P M MF d==．∵MF=222px y⎛⎫-+⎪⎝⎭；d=2px+．∴2222p px y x⎛⎫-++⎪⎝⎭＝．化简得：22(0)y px p=>．注：22(0)y px p=>叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是2p⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程是2px=-．探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。
根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。
通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．线的标准方程是x2=－8y．4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。