量纲分析与相似理论.ppt
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量纲分析与相似原理ppt课件
三个独立的无量纲量：Eu、Re、Fr
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
量纲分析与相似理论-PPT课件
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式 应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动 力学量中各选一个，即可满足要求。
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
Nk QH
a b
c
解题步骤
3. 写出量纲表达式
a b c d i m N d i m ( Q H )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ][ L T M ] [ L T ] [ L ]
2 3
2 2 a3 1 b c
MF2Hf0611001
题
目
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用
完整的物理方法来表示。
（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；
检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学
解题步骤
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的 密度ρ ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函 数关系式表示为：
q f( H , ,g )
2. 将q写成H，ρ ，g的指数乘积形式，即
qk Habgc
解题步骤
3. 写出量纲表达式
《水力学》课件——第六章 量纲分析与相似理论
• 物理过程的有量纲表达形式为 f (x1, x2,", xn ) = 0 ，其中 m 个物
理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这m
个物理量组合成无量纲量 1, 2,", ， 定理的结论是：物理
过程的无量纲表达形式为 F(
1,
nm
2,", n m =
)0
例 初速为零的自由落体运动位移s
形）得到流动的相似准数：
斯特劳哈尔数
S UT
t
L
弗劳德数
Fr U gL
欧拉数
P
En
U2
雷诺数
Re UL
它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。
斯特劳哈尔数
UT St L
表征
位变惯性力 时变惯性力
雷诺数
R UL e
表征
位变惯性力
弗劳德数
Fr U gL
表征 位变惯性力
欧拉数
P
En
U2
粘性力 表征
• 应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物
理量时，既不能遗漏，也不要多列。
ห้องสมุดไป่ตู้6—2 相似理论
一. 流动相似概念
• 本节在量纲分析基础上，讨论两个规模不同的不可压流体流
动的相似问题。这是进行有关流体力学模型试验时必须面对的 问题。
• 几何相似：流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度
• 在两个相似
流动中，对应 的无量纲量是 相同的。
• 不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么
我们怎样来保证两个不同规模的流动是相似的 呢？两个相似的不可压流体流动的无量纲解应 是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和 无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。
量纲分析和相似原理(1)幻灯片PPT
24
5.2 相似原理与模型实验
3. 方程分析法 利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。 常用的方程分析法有：相似转换法和方程无量纲化法
（1）相似转换法 ① 写出描述现象的基本微分方程和单值条件 ② 写出相似倍数的表达式 ③ 将相似倍数的表达式代入微分方程组进行相似转换 ④ 根据流动相似，方程相同导出相似准则
D u 1 p 2 u 2 u 2 u
D tfx x x2 y2 z2
与其相似的流动中流体质点的方程为
D D u t'' fx' 1 ' p x ''' x 2 u '2 ' y 2 u '2 ' z 2 u '2 '
(a)
(b)
17
5.2 相似原理与模型实验
5.2 相似原理与模型实验
2. 相似原理 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动
要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相 似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。
【例5-2】以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出 相似准则。
【解】N-S微分方程在x方向上的投影为
③ 弗劳德数
F rV g
V g2 ll32
F iner F gra
④ 韦伯数
W eV2lV2l2F iner l F sur
10
5.1 量纲分析
⑤ 马赫数
M aVV a k
k V 2l2 2 l2F F ie n le a r
⑥ 毛细数
C aVV llF F svu isr
（4）量纲分析的物理意义
（2）方程无量纲化法 ① 写出描述现象的基本微分方程 ② 所有变量无量纲化 ③ 方程组无量纲化，导出相似准则
5.2 相似原理与模型实验
3. 方程分析法 利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。 常用的方程分析法有：相似转换法和方程无量纲化法
（1）相似转换法 ① 写出描述现象的基本微分方程和单值条件 ② 写出相似倍数的表达式 ③ 将相似倍数的表达式代入微分方程组进行相似转换 ④ 根据流动相似，方程相同导出相似准则
D u 1 p 2 u 2 u 2 u
D tfx x x2 y2 z2
与其相似的流动中流体质点的方程为
D D u t'' fx' 1 ' p x ''' x 2 u '2 ' y 2 u '2 ' z 2 u '2 '
(a)
(b)
17
5.2 相似原理与模型实验
5.2 相似原理与模型实验
2. 相似原理 描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动
要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相 似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。
【例5-2】以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出 相似准则。
【解】N-S微分方程在x方向上的投影为
③ 弗劳德数
F rV g
V g2 ll32
F iner F gra
④ 韦伯数
W eV2lV2l2F iner l F sur
10
5.1 量纲分析
⑤ 马赫数
M aVV a k
k V 2l2 2 l2F F ie n le a r
⑥ 毛细数
C aVV llF F svu isr
（4）量纲分析的物理意义
（2）方程无量纲化法 ① 写出描述现象的基本微分方程 ② 所有变量无量纲化 ③ 方程组无量纲化，导出相似准则
四章相似原理与量纲分析ppt课件
但Fr准则要求 Cu CL
二者不能同时满足
而Re准则要求 Cu 1 / CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
则有： 则：
Cu2 1 和
CgCL
Cu2 CgCL
CL2Cu2 C2
CLCu 1 C
(Cg 1)
C
C
3/ L
2
§4-3相似原理的应用
p m
CL3/ 2
m
L：1 1 3 1 1 0
1 2
T： 1 2 0
1 1
M： 1 0
1 0
1
V
2bg
bg V2
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
2 L1T 1M 0 2 L1T 0M 0 2 L3T 0M 1 2 L1T 1M 1
L：2 2 3 2 1 0
2 1
C
p
m
雷诺数：Re
uL
Re p Re m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
CG
Gp Gm
M pgp Mmgm
pVp g p mVm gm
CCL3Cg
CG CF 重力与惯性力之比值为同一常数
则： CCL3Cg CCL2Cu2
得：
Cu2 1 也可写成
由量纲和谐原则得：
M 0 1 2
L
1 31 2 3
1 1
2 1
T 1 2
3 1
：
代入原函数：
Vc
K 1d 1
K
d
K Vcd Vcd
即：
Re
Vc d
§4-7 量纲分析法之二 ----π定律
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
4 1 2 n m
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
量纲分析与相似原理PPT课件
1 u 2
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
Eu
2
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
② П2 =ρa b b c cμ
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
解得：a = b = c = -1
2
ud
1 Re
第11页/共27页
(雷诺数)
③ П3 =ρa u bd cε
第五章 量纲分析与相似原理
5.1 量纲
1. 物理量的量纲
量纲（因次）：表征各种物理量性质和类别的标志。
大小
单位制
物理量
类别
量纲
基本量纲
SI制中的基本量纲：
导出量纲
dim m = M , dim l = L , dim t = T 或：[m]=[M], [l]=[L], [t]=[T]
第1页/共27页
第19页/共27页
第五节 量纲分析与相原理
5.6.2 相似原理 原型现象的Π数方程： 模型现象的Π数方程： 相似条件： 相似结果：
Π1 = f (Π2, Π3, ……Πn ) Π1m = f (Π2 m, Π3 m, ……Πn m ) Π2 m=Π2，Π3 m= Π3，……，Πn m= Πn
Π1= Π1 m
CP
2P
V 3l 2
P
D5n3
（D 为动力机械旋转部件的直径，n 为转速。）
第18页/共27页
第五节 量纲分析与相似原理
5.6 模型实验与相似原理 5.6.1 模型实验
1. 什么是模型实验？
模型实验通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象的实验。实际发 生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保 证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。
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德数 Fr V / gl 必须相等.
第4章 量纲分析与相似理论
二、雷诺准则：粘性力相似
要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则 根据动力相似要求有：
CFT CFI
第4章 量纲分析与相似理论
式中，粘性力比尺：
C FT
( A
du dy
)
p
( A
du dy
)
m
C ClCV
C C ClCV
C Cl3/2
即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 C 1
即原、模型采用同一流体，则将导致 验的价值。
Cl
1，失去了模型试
第4章 量纲分析与相似理论
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
一般情况下：
有压管流、潜体绕流：
选雷诺准则
明渠流动、绕桥墩流动：
选弗劳得准则
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如
流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3
力 压强
dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－1
二、模型设计
•定长度比尺 Cl ，确定模型流动的几何边界； •选介质 C ，一般采用同一介质：C 1 ； •选模型律.
例题3
例题1
[例1] 已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d 有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.
第4章 量纲分析与相似理论
★本章重点掌握：
量纲分析方法 相似理论及其应用
§4-1 量纲分析的基本概念
一、单位与量纲
单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、 分、秒等。
量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用 L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。
第4章 量纲分析与相似理论
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
。 理量作为基本物理量
如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。
☈基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理
C CC
第4章 量纲分析与相似理论
故得雷诺准则方程：
CV Cl 1 C
or
(Vl
)p
(Vl
)mBiblioteka 即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
第4章 量纲分析与相似理论
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
•长度比尺： •面积比尺： •体积比尺：
Cl
lp lm
CA
Ap Am
Cl 2
CV
Vp Vm
Cl3
第4章 量纲分析与相似理论
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例，
方向相同。
•流速比尺：
CV
Vp Vm
•加速度比尺：
Ca
ap am
Vp Vm
/tp / tm
CV 2 Cl
Ct Cl CV
第4章 量纲分析与相似理论
三、动力相似 原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。
CG CFp CFT CFI CF
☈说明 •几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
第4章 量纲分析与相似理论
用 gh 除其余各项，可得无量纲方程：
p p0 1
gh gh
第4章 量纲分析与相似理论
§4-2 量纲分析法
常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称π定理）。
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。
例题1
第4章 量纲分析与相似理论
二、 π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关
CCl3Cg
惯性力比尺： C FI
(Va) p (Va)m
C Cl 3Ca
C Cl 2CV 2
Ca CV 2 Cl
第4章 量纲分析与相似理论
故得弗劳德准则方程：
CV CgCl
1
or
(
V gl
)
p
(
V gl )m
即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳
系，即
F (q1, q2,...,qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2,..., nm ) 0
例题2
第4章 量纲分析与相似理论
§4-3 流动相似的基本概念
第4章 量纲分析与相似理论
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
§4-4 流动相似的准则
流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述，这个 物理方程即相似准则方程。 一、弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要 求有
CG CFI
第4章 量纲分析与相似理论
式中： 重力比尺：C G
(Vg) p ( Vg ) m
CFp CFI
式中，压力比尺：
C Fp
( pA) p ( pA)m
CpCl 2
第4章 量纲分析与相似理论
故得欧拉准则方程：
Cp CCV 2
1
or
p
p
( pV 2 ) p ( pV 2 )m
即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则要求两者
对应的欧拉数 Eu p /(V 2 ) 必须相等.
量相互独立。
第4章 量纲分析与相似理论
三、物理方程的量纲齐次性原理 凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。 量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。 工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为
无量纲方程。如流体静力学基本方程 p p0 gh
第4章 量纲分析与相似理论
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的 常用准则.
•一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则 为导出准则.
第4章 量纲分析与相似理论
§4-5 模型试验设计
一、模型律的选择
从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以 实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则 和雷诺准则，故有
第4章 量纲分析与相似理论
二、雷诺准则：粘性力相似
要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则 根据动力相似要求有：
CFT CFI
第4章 量纲分析与相似理论
式中，粘性力比尺：
C FT
( A
du dy
)
p
( A
du dy
)
m
C ClCV
C C ClCV
C Cl3/2
即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 C 1
即原、模型采用同一流体，则将导致 验的价值。
Cl
1，失去了模型试
第4章 量纲分析与相似理论
•实际应用时，通常只保证主要力相似.
一般情况下：
有压管流、潜体绕流：
选雷诺准则
明渠流动、绕桥墩流动：
选弗劳得准则
第4章 量纲分析与相似理论
第4章 量纲分析与相似理论
二、基本量纲与基本物理量
1.基本量纲：具有独立性、唯一性
在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量M、长度L和时 间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示，如
流速 dimv＝LT－1 密度 dimρ＝ML－3
力 压强
dimF＝MLT－2 dim p=M L－1 T－1
二、模型设计
•定长度比尺 Cl ，确定模型流动的几何边界； •选介质 C ，一般采用同一介质：C 1 ； •选模型律.
例题3
例题1
[例1] 已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d 有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.
第4章 量纲分析与相似理论
★本章重点掌握：
量纲分析方法 相似理论及其应用
§4-1 量纲分析的基本概念
一、单位与量纲
单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、cm、mm；时间单位小时、 分、秒等。
量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、mm等同属于长度类，用 L表示；小时、分、秒等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。
第4章 量纲分析与相似理论
2.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性 在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个相互独立的物
。 理量作为基本物理量
如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。
☈基本物理量独立性判别 任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲，即为3个物理
C CC
第4章 量纲分析与相似理论
故得雷诺准则方程：
CV Cl 1 C
or
(Vl
)p
(Vl
)mBiblioteka 即要保证原型流动和模型流动的粘性力相似，则要求两
者对应的雷诺数 Re Vl / 必须相等.
第4章 量纲分析与相似理论
三、欧拉准则：压力相似
要保证原型流动和模型流动的压力相似，则根据 动力相似要求有：
•长度比尺： •面积比尺： •体积比尺：
Cl
lp lm
CA
Ap Am
Cl 2
CV
Vp Vm
Cl3
第4章 量纲分析与相似理论
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的流速大小成比例，
方向相同。
•流速比尺：
CV
Vp Vm
•加速度比尺：
Ca
ap am
Vp Vm
/tp / tm
CV 2 Cl
Ct Cl CV
第4章 量纲分析与相似理论
三、动力相似 原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小成比例。
CG CFp CFT CFI CF
☈说明 •几何相似是运动相似和动力相似的前提；
•动力相似是决定流动相似的主要因素；
•运动相似是几何相似和动力相似的表现。
第4章 量纲分析与相似理论
用 gh 除其余各项，可得无量纲方程：
p p0 1
gh gh
第4章 量纲分析与相似理论
§4-2 量纲分析法
常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称π定理）。
一、瑞利法
基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。
例题1
第4章 量纲分析与相似理论
二、 π定理
基本思想：对于某个物理现象，若存在n个变量互为函数关
CCl3Cg
惯性力比尺： C FI
(Va) p (Va)m
C Cl 3Ca
C Cl 2CV 2
Ca CV 2 Cl
第4章 量纲分析与相似理论
故得弗劳德准则方程：
CV CgCl
1
or
(
V gl
)
p
(
V gl )m
即要保证原型流动和模型流动的重力相似，则要求两者对应的弗劳
系，即
F (q1, q2,...,qn ) 0
而这些变量中含有m个基本物理量，则可组合这些变量成为(n – m)个无量纲π数的函数关系，即
(1, 2,..., nm ) 0
例题2
第4章 量纲分析与相似理论
§4-3 流动相似的基本概念
第4章 量纲分析与相似理论
一、几何相似
原型和模型对应的线性长度均成一固定比尺。
§4-4 流动相似的准则
流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述，这个 物理方程即相似准则方程。 一、弗劳德准则——重力相似
要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似，则据动力相似要 求有
CG CFI
第4章 量纲分析与相似理论
式中： 重力比尺：C G
(Vg) p ( Vg ) m
CFp CFI
式中，压力比尺：
C Fp
( pA) p ( pA)m
CpCl 2
第4章 量纲分析与相似理论
故得欧拉准则方程：
Cp CCV 2
1
or
p
p
( pV 2 ) p ( pV 2 )m
即要保证原型流动和模型流动的压力相似，则要求两者
对应的欧拉数 Eu p /(V 2 ) 必须相等.
量相互独立。
第4章 量纲分析与相似理论
三、物理方程的量纲齐次性原理 凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量纲必然相同。 量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。 工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。 满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各项，使其变为
无量纲方程。如流体静力学基本方程 p p0 gh
第4章 量纲分析与相似理论
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的 常用准则.
•一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则 为导出准则.
第4章 量纲分析与相似理论
§4-5 模型试验设计
一、模型律的选择
从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以 实现。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则 和雷诺准则，故有