2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县东方红林业局高中高二(下)期中数学试卷 (理科)

2014-2015学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县东方红林业局高中高二（下）期中数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共36.0分)1.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标是（）A.（-5，-）B.（-5，）C.（5，）D.（-5，）【答案】A【解析】解：将方程ρ=5cosθ-5sinθ两边都乘以p得：p2=5ρcosθ-5ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2-5x+5y=0．圆心的坐标为（，-）化成极坐标为（-5，-）故选A．先在极坐标方程ρ=5cosθ-5sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化2.为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）A.l1与l2一定重合B.l1与l2一定平行C.l1与l2相交于点（，）D.无法判断l1和l2是否相交【答案】C【解析】解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点是（，）∵回归直线经过样本的中心点，∴l1和l2都过（，）．故选C．由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（，），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（，）．本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．3.从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A.210B.420C.630D.840【答案】B【解析】解：∵共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，∴满足条件的方案有A93-（A53+A43）=420，故选B．题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不和题意就，需要从总数中去掉．排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．4.设ξ～N（0，1），且P（ξ＜1.623）=p，那么P（-1.623≤ξ≤0）的值是（）A.pB.-pC.0.5-pD.p-0.5【答案】D【解析】解：ξ～N（0，1），μ=0由正态分布图形可知图形关于x=0对称，故P（ξ＞1.623）=1-P（ξ＜1.623）=1-p∴p（-1.623≤ξ≤0）==p-故选D分析：随机变量ξ～N（0，1），为正态分布，期望为0，由正态分布图形可知图形关于x=0对称，结合已知可求本题考查正态分布的概率问题，属基本题型的考查．解决正态分布的关键是抓好正态分布的图形特征．5.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：由集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，所以B={1，3，4}或B={2，3，4}或B={3，4}或B={1，2，3，4}共4种可能．所以满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是4．故选C．根据题目给出的集合A={1，2}，且满足A∪B={1，2，3，4}，由并集的概念直接得到集合B的可能情况．本题考查了并集的概念，考查了子集与并集的运算转换，是基础题．6.曲线（t为参数）与坐标轴的交点是（）A.（0，）、（，0）B.（0，）、（，0）C.（0，-4）、（8，0）D.（0，）、（8，0）【答案】B【解析】解：当x=0时，t=，而y=1-2t，即y=，得与y轴交点为（0，）；当y=0时，t=，而x=-2+5t，即x=，得与x轴的交点为（，0）．故选B．直接令x=0与y=0，分别求出相应的t，从而求得曲线与坐标轴的交点．本题主要考查了直线的参数方程，以及求与坐标轴的交点问题，考查计算能力，属于基础题．7.点（1，2）在圆的（）A.内部B.外部C.圆上D.与θ的值有关【答案】A【解析】解：圆，化为普通方程为（x+1）2+y2=64，（1，2）代入左边可得（x+1）2+y2=8＜64．故选：A．圆，化为普通方程，（1，2）代入左边可得（x+1）2+y2=8＜64，即可得出结论．本题考查圆的参数方程，考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．8.曲线（≤θ≤π）的长度是（）A.5πB.10πC.D.【答案】D【解析】解：由sin2θ+cos2θ=1，曲线（≤θ≤π）即为圆x2+y2=25内的圆心角为π-=的弧长，可得所求长度为×5=．故选：D．运用同角的平方关系：sin2θ+cos2θ=1，化简曲线方程，可得圆x2+y2=25内的圆心角为π-=的弧长，再由弧长公式，计算即可得到所求值．本题考查参数方程与普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查圆的弧长公式的运用，属于基础题．9.若点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：抛物线为y2=4x，准线为x=-1，∴|PF|为P（3，m）到准线x=-1的距离，即为4．故选C．欲求|PF|，根据抛物线的定义，即求P（3，m）到准线x=-1的距离，从而求得|PF|即可．本小题主要考查椭圆的参数方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10.设集合A={x|y=ln（1-x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（-∞，1]D.（-∞，1）【答案】B【解析】解：∵A={x|y=ln（1-x）}={x|x＜1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴A∩B=[0，1）．故选B由集合A={x|y=ln（1-x）}，表示函数y=ln（1-x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．遇到两个连续数集的运算，其步骤一般是：①求出M和N；②借助数轴分析集合运算结果，方法是：并集求覆盖的最大范围，交集求覆盖的公共范围．11.已知集合A={x|x＞2，或x＜-1}，B={x|a≤x≤b}，若A∪B=R，A∩B={x|2≤x≤4}，则=（）A.-4B.-3C.4D.3【答案】A【解析】解：∵A={x|x＞2，或x＜-1}，B={x|a≤x≤b}，AUB=R，∴a≤-1b≥2∵A∩B={x|2≤x≤4}，∴a=-1b=4所以=-4故选：A．画出数轴即可得出答案．此题考查了交集的运算，画出数轴是解题的关键，属于基础题．12.若曲线上有n个点到曲线的距离等于，则n=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由，得ρ2=8，即x2+y2=8．由，得，即，x-y=2．作出圆与直线方程如图，∵圆O的半径为，O到直线x-y=2的距离为，∴过O点与直线x-y=2平行的直线与圆的交点B、C和过O点与直线x-y=2垂直的直线与圆的交点A满足到直线x-y=2的距离为．故选：C．分别化圆和直线的极坐标方程为直角坐标方程，然后利用数形结合分析曲线上有几个点到曲线的距离等于．本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)13.已知二项分布满足X～B（6，），则P（X=2）= ______ ，E（X）= ______ ，D（x）= ______ ．【答案】；4；【解析】解：∵X服从二项分布X～B（6，），∴P（X=2）==，∵随机变量X服从二项分布ξ～B（6，），∴期望EX=np=6×=4，D（X）=np（1-p）=．故答案为、4、．根据随机变量符合二项分布，x～B（6，），表示6此独立重复试验，每次实验成功概率为），P（x=2）表示6次试验中成功两次的概率，根据二项分布的期望公式，代入n和p的值，求出期望、方差．本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查期望和概率的公式，本题解题的关键是看出变量符合二项分布，能够熟练应用教材上的公式和理解成功概率的意义，本题是一个基础题．14.若（x+1）n=x n+…+ax3+bx2+…+1（n∈N*），且a：b=3：1，则n的值为______ ．【答案】11【解析】解：∵（x+1）n=x n+…+ax3+bx2+…+1（n∈N*），且a：b=3：1，∴=，即==，∴n=11，故答案为：11．根据二项式展开式的通项公式，结合题意可得=，由此求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15.已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，C={x|x=ab，a∈A，b∈B}，则集合C= ______ ．【答案】{0，1，2，3，4，6}【解析】解：根据题意，A={0，1，2}，B={1，2，3}，C={x|x=ab，a∈A，b∈B}，当a=0时，而b=1、2、3时，x=0，当a=1时，而b=1、2、3时，x的值依次为1、2、3；当a=2时，而b=1、2、3时，x的值依次为2、4、6；故C={0，1，2，3，4，6}；故答案为：{0，1，2，3，4，6}根据题意，C={x|x=ab，a∈A，b∈B}，而A={0，1，2}，对a的值分3种情况讨论，依次求出对应的x的值，用集合表示出来，即可得答案．本题考查集合的表示方法，关键是理解集合的定义，分析集合C的含义．16.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为______ ．【答案】【解析】解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵集合A={x|4≤x＜8}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，∵C R A={x|x＜4或x≥8}∴（C R A）∩B={x|8≤x＜10或2＜x＜4}（2）∵若A∩C≠∅，A={x|4≤x＜8}，C={x|x＜a}．∴a的取值范围是a＞4∴a∈（4，+∞）【解析】本题考查集合的交、并、补运算，对于（1）求出A的补集是关键，对于（2）利用A∩C≠∅确定参数a的取值范围本题考查子集、补集、交集的混合运算，并求出参数a的范围，属于基础题18.已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【答案】解：（1）直线的参数方程为，即．（5分）（2）把直线代入x2+y2=4，得，，t1t2=-2，则点P到A，B两点的距离之积为2．【解析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必的热点问题．19.选修4-4坐标系与参数方程已知直线l过定点，与圆C：为参数相交于A、B两点．求：（1）若|AB|=8，求直线l的方程；（2）若点，为弦AB的中点，求弦AB的方程．【答案】解：（1）①当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则，由圆C：为参数消去参数θ化为x2+y2=25，圆心C （0，0），半径r=5．∴圆心C（0，0）到直线l的距离d=，∵|AB|=8，∴8=2，化为，∴直线l的方程为，即3x+4y+15=0；②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=-3，满足|AB|=8，适合题意．（2）∵k OP==，AB⊥OP，∴k AB=-2．∴直线AB的方程为，化为4x+2y+15=0联立，解得．∴弦AB的方程为4x+2y+15=0．【解析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，把圆C的方程化为普通方程，利用弦长|AB|=2（d为圆心到直线l的距离）即可求出；（2）利用OP⊥AB的关系求出直线AB的斜率，进而求出方程．熟练掌握分类讨论的思想方法、弦长|AB|=2（d为圆心到直线l的距离）公式、互相垂直的直线之间的斜率关系是解题的关键．20.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元）．求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．则，，．（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．；；；；．所以，随机变量X的分布列为：其数学期望．【解析】（Ⅰ）返券金额不低于30元包括指针停在A区域和停在B区域，而指针停在哪个区域的事件是互斥的，先根据几何概型做出停在各个区域的概率，再用互斥事件的概率公式得到结果．（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，该顾客可转动转盘2次．随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．做出各种情况的概率，写出分布列，算出期望．求离散型随机变量期望的步骤：①确定离散型随机变量的取值．②写出分布列，并检查分布列的正确与否．③求出期望．21.我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100～500元，600～1000元，以及年龄在20～39岁，40～59岁之间进行了统计，相关数据如下：（1）用分层抽样的方法在缴费100～500元之间的村民中随机抽取5人，则年龄在20～39岁之间应抽取几人？（2）在（1）的条件下抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40～59岁之间的概率．（3）能否有95%的把握认为缴费的档次与年龄有关？K2=．【答案】解：（Ⅰ）设抽取x人，则=，x=2，所以在20～39岁之间应抽取2人．…（3分）（Ⅱ）记在缴费100～500元之间抽取的5人中，年龄20～39的两人为a1，a2，年龄40～59岁的三人为b1，b2，b3，所以随机抽取2人的所有情况有：=10种，其中年龄都在40～59岁之间有3种，故P=…（8分）（III），因为1，47＜3.84，所以没有95%的把握认为缴费档次和年龄有关．…（12分）【解析】（Ⅰ）设抽取x人，由分层抽样知抽取的比例相等列出关于x的等式，解之即得在20～39岁之间应抽取的人数；（II）本题是一个等可能事件的概率，由抽取的5名村民中，有2名观众的年龄处于20至39岁，3名观众的年龄大于40岁，再利用概率计算公式计算，得到结果．（III）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，即可求得；本题主要考查用样本估计总体、独立性检验的应用．在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和理解现实世界中的问题能力．22.已知在△ABC中，A（-2，0），B（0，2），C（cosθ，-1+sinθ）（θ为参数），求△ABC 面积的最大值．【答案】解：∵=（-2，0），=（0，2），∴=-=（2，2），||==2．直线AB的方程为：+=1，化为x-y+2=0．由C（cosθ，-1+sinθ）（θ为参数），化为（y+1）2+x2=1，∴圆心C（0，-1）到直线AB的距离d==，∴圆上的点到直线的最大距离h=d+r=+1．∴△ABC面积的最大值S=|AB|•h=×2×（+1）=3+．【解析】分别得出直线的方程、圆的普通方程，求出圆心到直线的距离，进而得出圆上的点到直线的最大距离，即可得出三角形面积的最大值．本题考查了参数方程化为普通方程、圆上的点到直线的最大距离、点到直线的距离公式、三角形面积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。