2018届四川省雅安市高中第三次诊断性考试数学(理科)试题(解析版)

2018届四川省雅安市高中第三次诊断性考试数学（理科）试题(解析版)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若复数满足，则的虚数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵复数满足∴∴的虚数是故选C.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵集合∴∵集合∴故选B.3. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，半径等于米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米【答案】B【解析】因为圆心角为，半径等于4米，所以圆心到弦的距离为|OB|=2，，所以矢等于4-2=2米，弦长为所以弧田的面积约为，故选B。

4. 若实数，满足，则目标函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出可行域如图所示：联立，解得.由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，的截距最大，则目标函数的最大值为.故选C.点睛：求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.5. 已知展开式的各个二项式系数的和为，则的展开式中的系数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵展开式的各个二项式系数的和为∴，则，即.设的通项公式为.令，则.∴的展开式中的系数为.故选A.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.6. 某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、俯视图都是矩形，侧视图是直角三角形，则该几何体的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可得该几何体是直三棱柱，底面是直角边长分别为1和的直角三角形，高为2.∴该几何体的体积等于故选B.7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数∴，即函数在上为奇函数.∵∴恒成立，即函数在上为减函数.∵∴∴，即.∴故选D.8. 执行如图的程序框图，如果输入，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入p=8，给循环变量n赋值1，累加变量S赋值0．判断1＜8成立，执行S=0+=，n=1+1=2；判断2＜8成立，执行S=，n=2+1=3；判断3＜8成立，执行S=，n=3+1=4；判断4＜8成立，执行S=，n=4+1=5；判断5＜8成立，执行S=，n=5+1=6；判断6＜8成立，执行S=，n=6+1=7；判断7＜8成立，执行S==，n=7+1=8；判断8＜8不成立，输出S=．故选C．9. 过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两条渐近线于，两点，若为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点，∴，则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴，即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．10. 已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵A，B，C是球O的球面上三点∴截面圆的圆心为AC中点，半径为2∵棱锥O−ABC的体积为，，∴球O的表面积为：，本题选择D选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 已知函数只有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数∴若函数只有一个零点，则是唯一的零点，故无零点，等价于与无交点.画出函数的图象，如图所示：由图象可得.设与的切点坐标为.∴，则，即.∴时，图象无交点，即函数只有一个零点.故选D.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12. 在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）.若，其中，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系：则，，，，，即，，.∵∴∴，∴，∴∵∴∴故选A.二、填空题（本大题每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13. 函数的图象在区间上的对称轴方程为__________．【答案】【解析】∵函数∴令，即∴当时，函数的图象在区间上的对称轴方程为.故答案为.14. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则__________．【答案】【解析】∵数列是等差数列，数列是等比数列∴，即；.∴故答案为.15. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为，则表中空格处的值为__________．【答案】4.5【解析】由题意可知：产量的平均值为.∵线性回归方程为，且线性回归方程过样本中心点∴∴表中空格处的值为故答案为.16. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是__________．【答案】3【解析】设直线的方程为，点，，直线与轴的交点为. 联立，可得，根据韦达定理可得.∵∴，即.∴或（舍），即.∵点，位于轴的两侧∴不妨令点在轴的上方，则.∵∴，当且仅当时取等号. ∴与面积之和的最小值是3.故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键．学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.【答案】（Ⅰ）最小正周期：，单调递增区间为：；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得，从而可得函数的最小正周期，再根据可解得单调增区间；（2）由，可得的值，再根据及，即可解得，结合余弦定理，即可求得的值.试题解析：（1）.∴最小正周期：，由可解得：.∴的单调递增区间为：;（2）由可得：.∵∴又∵，∵∴，∴∴.18. 某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.（1）从抽出的人中选出人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学，再从中随机选出人来长期跟踪调查，求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为，由频率分布直方图的性质列出方程组，求出，，按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人．从而求出这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率；（2）设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量，由题意知随机变量的所有可能的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望．试题解析：(1)设阅读量为5万到7万的小矩形的面积为，阅读量为7万到9万的小矩形的面积为，则：，∴，∴按分层抽样的方法在各段抽得的人数依次为：2人，4人，6人，5人，3人.∴或或或，∴从抽出的20人中选出2人来担任正副组长，这两个组长中至少有一人的阅读量少于7万字的概率为.(2) 设3人中来自阅读量为11万到13万的人数为随机变量.由题意知随机变量的所有可能的取值为1，2，3.∴故的分布列为∴，∴这3人来自阅读量为11万到13万的人数的期望值为.19. 如图，在四棱锥中，底面，为的中点，底面为直角梯形，，，且.（1）求证：平面，平面平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）设中点是，连接，可推出为平行四边形，，从而平面，推导出，，从而底面，由此能证明平面平面；（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．试题解析：（1）证明：设中点是，连接则，，为平行四边形，，平面，平面，平面，为直角梯形，，，且.，，底面底面底面平面平面.（2）与平面所成角的正弦值为，建立如图所示的空间直角坐标系：平面的法向量，平面的法向量，.二面角的余弦值为.点睛：此题主要考查立体几何中线面直线及面面垂直的证明，二面角的三角函数值的求解，以及坐标法在解决立体几何问题中的应用等有关方面的知识和技能，属于中档题型，也是常考题型.坐标法在解决立体几何中的一般步骤，一是根据图形特点，建立空间直角坐标系；二是将几何中的量转化为向量，通过向量的运算；三是将运算得到的结果翻译为几何结论.20. 已知椭圆：过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）由椭圆过点，且离心率为，列出方程组，解方程组，即可求得椭圆的方程；（2）法一：先讨论斜率为零时，再讨论斜率不为零时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及两点之间的距离公式，即可求得，即可判断点G在以AB为直径的圆外；法二：先讨论斜率为零时，再讨论斜率不为零时，设直线方程，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得，则为锐角，即可判断点G在以AB为直径的圆外．试题解析：（1）椭圆E：过点，且离心率为，即，椭圆的方程.（2）法一：当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，当的斜率不为时，设的方程为：，点AB中点为．由得，所以从而.所以.，故，所以，故G在以AB为直径的圆外．法二：当的斜率为时，显然G与以线段AB为直径的圆的外面，当的斜率不为时，设的方程为：，设点，则，由得，.，又不共线，所以为锐角，故点G在以AB为直径的圆外．21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设为整数，且对于任意正整数.若恒成立，求的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）3.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出（当时取得“=”），令，，累乘整理即可得的最小值．试题解析：（1）由题意得.当时，令，解得∴在(0，)上单调递增，当时，显然无单调区间，当时，令，解得∴在(0，)上单调递增，综上：当时，无单调区间，时，减区间为，增区间为(0，) .（2）令，由（1）可知的最小值为.，(当时取得“=”)，令，.∴，∴，两边进行次方得，∴的最小值为3.点睛：本题考查了函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于中档题.对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数；在导数解决不等式问题，常用到一些恒成立的式子进行放缩，本题就是一个常见不等式.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为：（为参数）.（1）求圆和直线的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线与圆相交于，，求的值.【答案】（Ⅰ）的极坐标方程：，的极坐标方程为；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（1）先根据圆心与半径写出圆标准方程，根据加减消元法得直线的直角坐标系，再根据将直角坐标方程化为极坐标方程（2）先化P点极坐标为直角坐标，再将直线参数方程代入圆直角坐标方程，利用韦达定理以及直线参数几何意义求的值.试题解析：圆的直角坐标方程为代入圆得：化简得圆的极坐标方程：由得∴的极坐标方程为(2)由得点的直角坐标为∴直线的参数的标准方程可写成（为参数）代入圆得：化简得：∴∴23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集. （2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以，解得或，解得或.所以的取值范围是.。