公开教学教案二倍角公式
二倍角公式公开课教案
二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。
2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学过程1、复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）=cos （α+β）=tan （α+β）=2、新科探究探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos αcos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2αtan2α= tan （α+α）=tan α+ tan α1－tan αtan α =2tan α1－tan 2α 整理得:sin2α=2sin αcos αcos2α= cos 2α-sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α 注意：要使tan2α= 2tan α1－tan 2α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π2，且α≠ k 2π+ π4﹜ 学以致用提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法探究二、cos2α的变形式利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得：cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α因此：cos2α = cos 2α－sin 2α1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=1cos 2,0290.9ααα︒︒=<<已知,求cos =2cos 2α－1=1－2sin 2α3、公式深化1、这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。
教学设计1：3.2.1 倍角公式
3.2.1 倍角公式整体设计教学分析倍角公式是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验．”在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，否则就违背了新课标在这一节的编写意图和新课改精神．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究 提出问题1.还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写2.你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？3.在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？4.细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？5.能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？6.让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin____＝2sin____cos____，cos____＝cos 2____－sin 2____.7.思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？8.请思考以下问题：sin2α＝2sin α吗？cos2α＝2cos α吗？tan2α＝2tan α吗活动：本节总的指导思想是教师引导学生自己推导倍角公式．学生默写完问题(1)后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题(2)，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β⇒sin2α＝2sin αcos α(S 2α)；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)；tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ⇒tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α)． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题(3)，点拨学生结合sin 2α＋cos 2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sin αcos α(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α(T 2α) cos2α＝2cos 2α－1cos2α＝1－2sin 2α 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题(4)，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题(5)，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R ，但公式(T 2α)需在α≠12k π＋π4和α≠k π＋π2(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝k π＋π2，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题(6)，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，π2－α是π4－α2的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 问题(7)，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tan α(1－tan 2α)等等． 问题(8)，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α.若sin2α＝2sin α，则2sin αcos α＝2sin α，即sin α＝0或cosα＝1，此时α＝k π(k ∈Z )． 若cos2α＝2cos α，则2cos 2α－2cos α－1＝0，即cos α＝1－32(cos α＝1＋32舍去)． 若tan2α＝2tan α，则2tan α1－tan 2α＝2tan α，∴tan α＝0，即α＝k π(k ∈Z )． 讨论结果：(1)～(8)略．应用示例思路1例 1 已知sinα＝513，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成． 解：因为sin α＝513，α∈(π2，π)，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213， sin2α＝2sin αcos α＝2×513×(－1213)＝－120169， cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(－1213)2－(513)2＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝－120169÷119169＝－120119. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数【答案】D2．若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72【答案】C3．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°【答案】B例 2 证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tan θ. 活动：教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)＝2sin θcos θ＋(1＋1－2cos 2θ)2sin θcos θ＋(1＋2cos 2θ－1)＝sin θcos θ＋1－cos 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋sin 2θsin θcos θ＋cos 2θ＝sin θ(cos θ＋sin θ)cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右， 所以，原式成立．方法二：左＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋sin 2θ－cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＋sin2θ＋cos 2θ－sin 2θ＝sin2θ＋2sin 2θsin2θ＋2cos 2θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(sin θ＋cos θ)＝tan θ＝右． 方法三：左＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)－(cos 2θ－sin 2θ)(sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ)＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)2－(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ)(sin θ＋cos θ＋cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)·2sin θ(sin θ＋cos θ)·2cos θ＝tan θ＝右． 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.变式训练1．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan2α的值为__________．【答案】432．证明恒等式：sin2θ＋sin θ2cos2θ＋2sin 2θ＋cos θ＝tan θ. 证明：左边＝2sin θcos θ＋sin θ2(cos 2θ－sin 2θ)＋2sin 2θ＋cos θ＝sin θ(2cos θ＋1)cos θ(2cos θ＋1)＝tan θ＝右边. 思路2例 1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 变式训练1．函数f (x )＝sin x sin x ＋2sin x 2是( ) A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数【答案】A2．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 【答案】B例 2 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π，0<A <π，0<B <π，0<C<π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B )的值改为求tan2C 的值．解法一：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34， tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－(34)2＝247.又tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B )＝tan2A ＋tan2B 1－tan2A tan2B ＝247－431－247×(－43)＝44117. 解法二：在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得 sin A ＝1－cos 2A ＝1－(45)2＝35. 所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34. 又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝34＋21－34×2＝－112. 于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan(A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×(－112)1－(－112)2＝44117. 变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α(cos2α＋sin2α)2sin2α(sin2α＋cos2α)＝1tan2α. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．作业课本本节练习B 组1～4.设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．。
二倍角公式教案.doc
二倍角公式教案【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）【教学目标】知识目标：掌握二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．能力目标：学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高．【教学重点】本节课的教学重点是二倍角公式．【教学难点】难点是公式的推导和运用．【教学设计】明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos2α时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择．选用公式2cos212sin αα=-的主要原因是考虑到sin α是已知量．例10中，讨论2α角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin 2α时需要开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求sin 4α时，利用了升幂公式，由讨论2α角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题1．1．4 二倍角公式 *创设情境 兴趣导入问题 两角和的正弦公式内容是什么？介绍播 了解观引导 启发0 5过 程行为 行为 意图 间两角和的余弦公式内容是什么？两角和的正切公式内容是什么？放 课件 质疑 看 课件 思考 学生得出结果*动脑思考 探索新知在公式（1.3）中，令αβ=，可以得到二倍角的正弦公式sin2sin cos cos sin 2sin cos ααααααα=+=．即sin22sin cos ααα= (1.7)同理，公式（1.1）中，令αβ=，可以得到二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=-(1.8) 因为22sin cos 1αα+=，所以公式总结 归纳思考启发引导学生发现过 程行为 行为 意图 间(1.8)又可以变形为2cos22cos 1αα=-，或 2cos212sin αα=-.还可以变形为 21cos2sin 2αα-=， 或 21cos2cos 2αα+=. 在公式（1.5）中，令αβ=，可以得到二倍角的正切公式22tan tan 21tan ααα=- （1.9）公式（1.7）、（1.8）、（1.9）及其变形形式，反映出具有二倍关系的角的三角函数之间的关系．在三角的计算中有着广泛的仔细 分析讲解 关键 词语理解记忆解决问题的方法10过 程行为 行为 意图 间应用．*巩固知识 典型例题例9 已知3sin 5α=，且α为第二象限的角，求sin 2α、cos2α的值．解 因为α为第二象限的角，所以 2234cos 1sin 1()55αα=--=--=-， 故 24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos212sin 25αα=-=．例10 已知1cos 23α=-，且(π,2π)α∈，求sin α、cos 4α的值． 分析 2α与α，2α与4α之间都是具有二倍关系的角．解 由(π,2π)α∈知π(,π)22α∈，所以 2122sin 1cos 12293αα=-=-=， 故 22142sin 2sin cos 2()22339ααα==⨯⨯-=-． 由于ππ(,)442α∈，且引领 讲解 说明 引领观察思考 主动 求解 观察注意 观察学生 是否理解 知识 点过 程行为 行为 意图 间211()1cos 132cos4223αα+-+===．所以3cos 43α=． 【注意】使用公式（1.8）的变形公式求三角函数的值时，经常需要进行开方运算，因此，要首先确定角的范围． 例11 求证 1cos tan2sin ααα-=． 证明右边=2cos cos22tan 22sincos2sin 222αααααα===右边．分析说明思考 理解学生 自我 发现 归纳过 程行为 行为 意图 间引领 讲解 说明思考 主动求解15*运用知识 强化练习1．已知5sin 13α=，且α为第一象限的角，求sin 2α、cos2α． 2．已知4cos25α=，且2[π,2π]α∈求sin α． 3．求下列各式的值提问动手及时 了过 程行为 行为 意图 间（1）sin 6730cos6730''''⋅； （2）212sin75-．巡视 指导 求解 解 学生 知识掌握 情况10 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：二倍角公式内容分别是什么？ 结论：二倍角的正弦公式sin22sin cos ααα= (1.7)二倍角的余弦公式22cos2cos sin ααα=-质疑小组 讨论师生共同归纳强调重过 程行为 行为 意图 间(1.8)二倍角的正切公式22tan tan 21tan ααα=-（1.9）归纳强调 回答 理解强化点突破难点2*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导 回忆2*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材说明记录分层教学过程教师行为学生行为教学意图时间(2)书面作业：教材习题1．1（必做）；学习指导1．1（选做）(3)实践调查：通过公式推导，了解公式间内在联系次要求1【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；第1章三角公式及应用（教案）是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；第1章三角公式及应用（教案）。
二倍角公式教案
二倍角公式教案二倍角公式是高中数学中的一个重要概念，它与三角函数的性质密切相关。
本教案将以通俗易懂的方式，帮助学生理解和掌握二倍角公式的概念和应用。
一、教学目标1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题；3. 能够将二倍角公式应用于实际问题的解决；4. 提高学生对数学的抽象思维能力和计算能力。
二、教学步骤步骤一：引入知识（10分钟）教师可设计一个小游戏或提出一个引人入胜的问题，引起学生的兴趣，来激发学生学习的积极性。
例如，可以出示一个三角形的角度ABC，让学生猜测角度BAC是多大，并给出合理的解释。
步骤二：概念解释与推导过程（15分钟）1. 教师通过对前一步骤的问题的解答，引出二倍角的概念。
2. 教师通过几何图形的引入，解释正弦、余弦和正切函数以及角度的概念。
3. 教师通过将角度的一半和角度的两倍的对比，引出二倍角公式的概念。
4. 教师通过几何图形的推导，解释二倍角公式的推导过程。
步骤三：公式的证明与性质（15分钟）1. 教师通过使用数学恒等式，根据三角函数的性质，证明二倍角公式的正确性。
2. 教师解释二倍角公式的几何意义，即角度的一半和两倍之间的关系。
3. 教师提出二倍角公式的数学性质，让学生通过举例来验证。
步骤四：公式的应用与问题解决（20分钟）1. 教师提供一些二倍角公式的应用问题，并引导学生运用二倍角公式进行计算。
2. 教师通过对问题的解答过程的讲解，让学生理解二倍角公式在解决实际问题中的应用。
3. 教师设计一些扩展问题，让学生发散思维，拓展应用二倍角公式的能力。
步骤五：小结与巩固（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调二倍角公式的重要性和实用性。
并布置相关练习，巩固学生对二倍角公式的理解和应用。
三、教学重点和难点1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题。
四、教学方式1. 引导式教学：通过问题引导学生主动思考，激发他们的学习兴趣。
二倍角公式教案
二倍角公式教案教学目标：1. 掌握二倍角公式的概念和基本形式。
2. 理解二倍角公式的几何意义和代数意义。
3. 能够应用二倍角公式解决相关的几何和代数问题。
教学重点：1. 二倍角公式的数学表达。
2. 二倍角公式在几何中的应用。
教学难点：1. 二倍角公式的推导和应用。
2. 二倍角公式与其他三角函数公式的关系。
教学准备：1. 教师准备一份二倍角公式的笔记和示例。
2. 学生准备纸和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）教师简单回顾一下学生之前学过的三角函数公式，如正弦、余弦、正切的基本关系等。
二、讲解（20分钟）1. 教师引入二倍角公式的概念，即将角的角度倍增，得到的新角称为二倍角。
2. 教师给出二倍角公式的几何意义和代数意义。
几何意义：将角A的角度倍增得到角B，角A与角B的关系是什么？代数意义：将三角函数的角度加倍得到新的三角函数，如sin2A、cos2A等。
3. 教师给出二倍角公式的具体形式和推导过程。
sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²Atan2A = 2tanA / (1 - tan²A)4. 教师通过几个具体的示例，向学生展示二倍角公式的应用。
三、练习（15分钟）学生完成教师布置的练习题，巩固对二倍角公式的理解和应用。
四、巩固（10分钟）教师提出几个综合性问题，让学生结合二倍角公式进行解答，检验学生的应用能力。
五、总结和拓展（5分钟）教师对本节课所学的二倍角公式进行总结，强调其重要性和应用场景。
同时，鼓励学生拓展学习其他有关三角函数的公式和概念。
六、作业（2分钟）布置课后作业，要求学生继续练习二倍角公式的应用题，并思考与其他三角函数公式的联系与差异。
教学反思：本节课主要介绍了二倍角公式的概念、形式和推导过程，并通过练习和示例加深了学生对二倍角公式的理解和应用。
在教学过程中，可以结合具体的问题和实例，使学生更好地理解和掌握二倍角公式的几何和代数意义。
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。
2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。
3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。
六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。
（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。
（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。
七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。
针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。
注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。
六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。
2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。
七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。
二倍角公式教案
二倍角公式教案教案标题：二倍角公式教案教案目标：1. 理解二倍角的概念和性质。
2. 掌握二倍角公式的推导和运用。
3. 能够解决与二倍角相关的几何和三角函数问题。
教学资源：1. 教材：包含二倍角概念和公式的数学教科书。
2. 白板、彩色粉笔或白板标记笔。
3. 幻灯片或投影仪，用于展示相关图形和公式。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 利用一个简单的几何问题引起学生对二倍角的兴趣，例如：一个角的度数是30°，那么它的二倍角是多少度？2. 引导学生思考并讨论，从而引出二倍角的概念。
讲解（15分钟）：1. 在白板上绘制一个角θ，并标记其顶点为O，边为OA。
2. 解释二倍角的定义：二倍角是指通过将角θ旋转一周得到的角，记作2θ。
3. 引导学生思考并讨论，通过旋转角θ一周后，边OA的位置和方向发生了什么变化？角度发生了什么变化？4. 讲解二倍角公式的推导过程：根据三角函数的定义，利用三角函数的和差公式，推导出cos2θ和sin2θ的表达式。
示范（10分钟）：1. 利用幻灯片或投影仪展示二倍角公式的推导过程，并强调每一步的理由和推理。
2. 通过几个具体的例子，演示如何利用二倍角公式计算cos2θ和sin2θ的值。
练习（15分钟）：1. 分发练习题，要求学生利用二倍角公式计算给定角度的cos2θ和sin2θ的值。
2. 监督学生的练习过程，及时解答他们的问题，并给予指导。
3. 鼓励学生互相合作，讨论解题方法和答案。
总结（5分钟）：1. 总结二倍角公式的推导过程和应用方法。
2. 强调二倍角在几何和三角函数中的重要性。
3. 鼓励学生在课后继续练习和探索二倍角的相关问题。
拓展练习（可作为课后作业）：1. 给定一个角度θ，计算cos3θ和sin3θ的值。
2. 探究二倍角公式在解决三角方程和几何问题中的应用。
教学评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度。
2. 检查学生在练习题中的答案和解题过程。
3. 针对学生的表现，给予反馈和指导。
高中数学《二倍角公式的应用》教案
高中数学《二倍角公式的应用》教案一、教学目标：1. 理解二倍角公式的概念。
2. 掌握二倍角公式的推导方法及应用。
3. 能够合理运用二倍角公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 二倍角公式的概念和推导方法。
2. 二倍角公式的应用。
三、教学过程：1. 二倍角公式的概念小结：以正弦函数为例，了解一下二倍角公式的概念。
若已知$\sin\theta$，如何求 $\sin2\theta$？$\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 的二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。
2. 二倍角公式的推导方法小结：推导 $\cos2\theta$ 的公式，和 $\sin2\theta$ 基本一样，只不过是利用了 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的平方和差的关系式。
$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。
3. 二倍角公式的应用例 1 已知 $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$，求 $\cos2\theta$。
解：$ \begin{aligned}[t] & \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \\ &\therefore\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} \end{aligned} $由 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$，得$\cos2\theta=2\times\dfrac{16}{25}-1=-\dfrac{9}{25}$。
例 2 已知 $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$，$\tan\theta=\dfrac{2}{3}$，求 $\sin2\theta$、$\cos2\theta$ 和 $\tan2\theta$。
《二倍角的正弦余弦正切公式》教案
《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学目标：1.理解二倍角的概念和基本性质；2.学习和掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3.运用二倍角的公式解题。
教学内容：1.二倍角的概念和基本性质；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。
教学过程：第一步：导入新知1.引导学生回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.提问：你知道什么是角的倍数吗？角的二倍数是什么？为什么要研究二倍角呢？第二步：理解二倍角的概念和基本性质1.引导学生思考：角的二倍数就是两个角之和等于该二倍数的角，即2θ；2.引导学生举例，如角θ=30°，则2θ=60°，角θ=45°，则2θ=90°；3.引导学生总结二倍角的性质：二倍角的度数是原角的二倍，且二倍角的三角函数可以用原角的三角函数表示。
第三步：学习和掌握二倍角的公式1.导出二倍角的正弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出sin 2θ =2sinθcosθ；2.导出二倍角的余弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出cos 2θ = cos²θ - sin²θ；3.导出二倍角的正切公式：将sin 2θ = 2sinθcosθ和cos 2θ = cos²θ - sin²θ相除，得到tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)；4.引导学生通过课堂推导，巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式。
第四步：运用二倍角的公式解题1.教师出示一道二倍角公式的应用题，引导学生分析题意和给定的条件；2.指导学生使用二倍角的公式计算，并注意使用适当的三角函数；3.检查计算结果，并进行讲解。
第五步：练习和巩固1.指导学生完成若干道二倍角公式的应用题，并互相交流、校对答案；2.师生共同讨论解题思路和方法，澄清疑惑；3.总结二倍角的正弦、余弦、正切公式的使用技巧和注意事项。
二倍角公式教案范文
二倍角公式教案范文一、教学目标1.理解和掌握二倍角公式的定义和计算方法。
2.学会应用二倍角公式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和数学计算能力。
4.提高学生解决问题的能力和创新精神。
二、教学重点1.掌握二倍角公式的定义和相关性质。
2.理解二倍角公式的应用场景。
三、教学难点1.学会应用二倍角公式解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和数学计算能力。
四、教学准备1.教师准备：教案、学生习题集、多媒体设备。
2.学生准备：课前预习相关知识。
五、教学过程Step 1 引入与导入（10分钟）1.讲解引入：二倍角公式是解决三角函数问题的重要工具，能够将角度与三角函数的关系进行合理的转换。
2.反问导入：在我们学习过的三角函数中，是否有与之相关的倍角公式呢？让学生回顾一下。
Step 2 二倍角公式的定义与证明（20分钟）1.当0°≤θ≤90°时，定义二倍角公式如下：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos^2θ - sin^2θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)请学生反问和思考这些定义是如何得出的，然后进行讲解。
2. 证明：以sin2θ = 2sinθcosθ为例，通过画图，运用三角恒等变化式，可以推导出sin2θ = 2sinθcosθ的等式。
其它两个公式的证明也可以通过类似的方法完成。
Step 3 二倍角公式的应用（30分钟）1. 在解决问题中，我们可以通过二倍角公式将复杂的问题转化为简单的问题。
例如，可以用用cos2θ来计算cosθ的值。
2.请学生选做实例，进行实际的计算，解决具体问题。
Step 4 总结与归纳（10分钟）1.总结二倍角公式的定义和证明方法。
2.请学生进行总结和复述，以加深对二倍角公式的理解。
六、巩固与拓展1.布置课后作业：要求学生完成相关题目，巩固和拓展所学知识。
2.提出拓展问题：学生可以尝试推导三倍角、四倍角等多倍角的公式。
二倍角公式教案_
二倍角公式教案_教学目标：1.理解并掌握二倍角公式的概念及推导方法。
2.掌握二倍角公式在求解三角函数值、三角方程及三角恒等式中的应用方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
教学准备：1.教材：包括二倍角公式的定义和推导过程。
2.同步练习题：用来巩固学生对二倍角公式的理解和应用能力。
3.计算器：用于快速验证计算结果。
教学过程：Step 1：导入教师可以通过引入实际问题或生活中的例子，激发学生对二倍角公式的兴趣，了解学习该公式的重要性。
例如，两个人在玩激光游戏，他们相互瞄准对方，经过观察，你发现当一个人的激光光束成一定角度射中另一个人时，另一个人的光束也会射中他。
请问这两个角度之间有什么关系？Step 2：讲解教师通过讲解二倍角公式的定义和推导过程，帮助学生理解公式的含义和推导思路。
sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θtan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)首先，我们可以利用三角函数的和差公式去推导。
例如，对于sin(2θ)，根据和差公式，我们可以将它表示为：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sinθcosθ + cosθsinθ =2sinθcosθ同样的方法，可以推导cos(2θ)和tan(2θ)的公式。
Step 3：示例运用教师通过示例问题，让学生将二倍角公式应用到实际问题中，加深他们对公式的理解和记忆。
示例一：已知sinθ = 3/5，求sin(2θ)的值。
解：根据二倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ代入已知条件，得到sin(2θ) = 2(3/5)(4/5) = 24/25示例二：已知tanθ = 1/3，求tan(2θ)的值。
解：根据二倍角公式tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)代入已知条件，得到tan(2θ) = (2(1/3)) / (1 - (1/3)²) = (2/3) / (8/9) = 3/4Step 4：练习教师提供一些练习题，让学生在课堂上或回家时进行练习。
二倍角公式教案
二倍角的正弦、余弦、正切公式教案一.教学目标：1. 能够根据和角的正弦、余弦、正切导出二倍角的正弦、余弦和正切公式2. 使学生在探究中对数学产生兴趣，发现数学的美 二.学习重点及难点学习重点：倍角公式、半角公式及其推导和应用. 学习难点：倍角公式、半角公式公式的应用.三.过程1.新课导入提出问题：两角和的正弦、余弦和正切公式分别是什么？sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-思考1：你能利用以上公式推导出？2.自主探讨，小组讨论（１）已知，探究==s i n =s i n c o s +βαααααααβα+令，则上式（） （提示：把上式中的换成）sin 2=2sin cos ααα∴（２）已知，探究==cos =cos cos -sin sin βαααααααβα+令，则上式（）（提示：把上式中的换成）sin 2,αcos 2,αtan 2α的公式吗sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin 2,αcos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-cos 2,α()2S α22cos2=cos sin ααα∴-（３）tan tan ==tan =1tan tan ααβαααααβα++-令，则上式（）（提示：把上式中的换成）22tan tan 2=1tan ααα∴-思考2：在以上得到的二倍角的余弦公式中，如果要求表达式仅含 的正弦（余弦），那么：怎么得到其表达式？ （提示： ） 结论：以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了 的三角函数与 的三角函数之间的关系。
自助餐：公式的变形：()2C α22cos 2cos sin ααα=-α22cos sin 1αα+=22cos 2cos sin ααα=-∴2cos 212sin αα=-2cos 22cos 1αα=-α2α()2C αtan tan tan()tan 21tan tan αβαβααβ++=-已知，探究()2T α2222221sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )1cos 22cos 1cos 22sin 1cos 2cos 21cos 2sin 2αααααααααααααα+=+-=-⎫+=⎪⎬-=⎪⎭+⎫=⎪⎪⎬-⎪=⎪⎭升幂缩角公式降幂扩角公式3.例题 例1.已知sin2 =,求 ， ，解：5422131213sin 2=cos =πππααπαα<<<<-=-得：，又，所以,∴sin4 α = 2sin2αcos2α =cos4α =tan4α =2444473.244117173-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭自助餐：解法二α51342ππα<<tan 4α的值。
二倍角公式教案
二倍角公式教案课程名称：二倍角公式适用年级：高中教学目标：1. 理解二倍角公式的概念及其运用；2. 能够准确地应用二倍角公式解决相关的数学问题；3. 能够将二倍角公式与其他数学公式进行联想和应用。
教学内容：一、二倍角公式的概念1. 介绍二倍角的概念：二倍角是指一个角的角度是另一个角度的两倍，即角A的二倍角为角2A。
二、二倍角公式的推导1. 利用三角函数的公式，推导正弦和余弦的二倍角公式；2. 利用二倍角公式推导正切的二倍角公式。
三、二倍角公式的应用1. 通过练习题来巩固、加深对二倍角公式的理解；2. 调研二倍角公式在实际应用中的具体情况；3. 利用二倍角公式解决数学问题。
教学方法：1. 线上授课：借助网络平台，通过多媒体课件、教学视频等途径进行教学；2. 课堂互动：通过小组或全班讨论、课堂练习等方式，激发学生的兴趣和主动性；3. 个性化教学：根据学生掌握情况和学习需求，进行差异化教学和个别辅导。
课堂活动：1. 通过观看视频、听讲解等方式，了解二倍角公式的定义和推导方法；2. 小组合作讨论和实践，利用二倍角公式解决与日常生活和其他学科相关的问题；3. 课堂练习和答疑，帮助学生更好地掌握和应用二倍角公式。
教学评估：1. 课堂表现：包括理解、思考、提问和互动等方面的表现；2. 书面作业：巩固和检验学生对二倍角公式的掌握熟练程度；3. 实际应用：探究和分析二倍角公式在实际问题中的应用情况，并形成个人的思考和总结。
教学重点：1. 理解二倍角公式的概念和推导方法；2. 掌握二倍角公式的应用方法。
教学难点：1. 二倍角公式的推导过程和应用方法；2. 在复杂情况下灵活运用二倍角公式。
知识拓展：1. 了解三倍角、四倍角等相关的概念和运用方法；2. 探究二次函数和三角函数之间的关系和应用方法。
教学反思：1. 教师应根据学生兴趣、实际应用、差异化教学等方面的需求，设计更加灵活、丰富、多样化的教学形式和内容，以提升学生的学习效果和体验；2. 学生可以通过独立思考、团队协作、探究实践等途径，发掘二倍角公式更广泛、深入的应用场景，以拓展知识和提升应用能力。
二倍角正弦余弦正切公式教案
二倍角正弦余弦正切公式教案教案标题：二倍角正弦、余弦和正切公式一、教学目标：1.了解二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程。
2.能够熟练应用二倍角公式解决相关数学问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
二、教学内容：1.二倍角正弦公式的定义和推导。
2.二倍角余弦公式的定义和推导。
3.二倍角正切公式的定义和推导。
三、教学过程：导入（5分钟）：1.打开课堂，引入学生对三角函数的基本概念和性质。
2.让学生回顾一下正弦、余弦和正切函数的定义和图像。
讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角正弦公式的概念和定义：sin(2θ)。
2. 推导二倍角正弦公式的过程：利用和差化积公式推导sin(2θ)。
3.引导学生理解和记忆二倍角正弦公式的结果。
练习（20分钟）：1.让学生在课堂上尝试解决一些二倍角公式的相关问题。
2.鼓励学生思考问题，提供适当的提示和指导。
讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角余弦公式的概念和定义：cos(2θ)。
2. 推导二倍角余弦公式的过程：利用和差化积公式推导cos(2θ)。
3.引导学生理解和记忆二倍角余弦公式的结果。
练习（20分钟）：1.继续让学生在课堂上尝试解决一些二倍角公式的相关问题。
2.鼓励学生与同桌合作，互相讨论问题。
讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角正切公式的概念和定义：tan(2θ)。
2. 推导二倍角正切公式的过程：利用sin(2θ)和cos(2θ)的定义和推导。
3.引导学生理解和记忆二倍角正切公式的结果。
练习（20分钟）：1.让学生解决一些与二倍角公式相关的问题。
2.鼓励学生尝试不同的方法和思路，培养他们的问题解决能力。
总结（10分钟）：1.复习二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程。
2.强调二倍角公式的重要性和应用范围。
3.鼓励学生继续深入学习和应用三角函数的相关知识。
四、教学反思：通过本节课的学习，学生能够了解二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程，熟练掌握应用二倍角公式解决相关数学问题的方法和技巧。
二倍角的正弦、余弦和正切公式教案
二倍角的正弦、余弦和正切公式
顺序课时
1
教
学
目
标
知识与能力
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用
过程与方法
学生探索
情感态度与价值观
教学重点
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式
教学难点
二倍角的理解及其灵活运用
教学方法
例4：已知 为第二象限角， ， 为第一象限角， 。
求 的值。
研讨式教学、双案教学
知识流程
教师活动
学生活动
一、复习：两角和的正弦、余弦、正切公式
；
；
我们由此能否得到 的公式呢？
二、公式推导：
；
；
思考：把上述关于 的式子能Fra bibliotek变成只含有 或 的式子呢？
；
．
．
注意：
三、例题讲解：
例1：已知 求 的值．
学生思考并回答
知识流程
教师活动
学生活动
例2：已知 求 的值．
例3：在 中， ，求 的值。
最新二倍角公式公开课教案
情意目标：培养学生“数学有用”以及“用数学”的意识。
能力目标：让学生体会“化归思想”的作用。
教学重点
难点，关键
教学重点：二倍角公式的推导、 的两种变形公式及应用。
教学难点：理解“二倍”的实质并会简单应用。
教学关键：让学生理解二倍角公式与两角和、差三角函数公式的内在联系。
教学
方法
启发引导、讲练结合。
教学
媒体
小黑板。
教学过程设计
师生活动设计
备注
一、复习旧知、引入新课
提问：若令 呢？
（ ）
（ ）
（ ）
二、讲授新课
1．二倍角公式
说明：（1）公式中 有限制条件吗？
（2）公式中是 与 的关系，也可以是 与 ， 与 等，只要角是2：1的比例均可以用。
（3）公式的顺用和逆用。
三、尝试、探索、例题讲解
教师演示上节公式之间的推导过程，让学生理解公式的源头 ，并体会它们之间的联系。
学生运算，目的是巩固前面公式并推导新公式，理解二倍角公式是两角和与差公式的特例。
学生记忆公式
学生思考，老师板书详细过程
学生练习并抽一个学生到黑板板演
师生共同分析
学生练习
例1：已知 ， ，求 的值
解： ， ，
练习1：已知 ， 在第三象限，求 的值。
例2：利用二倍角公式化简、求值。
（1） （2）
（3） （4）
（5）
练习2：化简、求值
（1） （2）
（3） （4）
四、小结：
本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白一般到特殊的思想，并能正确熟练的运用二倍角公式进行解题。
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公开教学教案课题：二倍角公式教学内容所属教材章节：ch4.2(1)教学班级：08电子（1）授课教师：陆广地教学目的：理解二倍角公式，并记住特征，学会运用二倍角公式教学重点：学习运用二倍角公式教学难点：变形、逆用二倍角公式教学方式：讲练结合，启发指导，做中学习教学准备：ppt,投影仪，教（学）案习题教学过程：一、 趣味复习导引：1． 让学生计算sin600,2sin300;sin900,2sin450看看sin600与2sin300;sin900与2sin450是否相等？2．引导学生思考在机电行业，数控技术，电子行业中三角函数的应用。
说明数学的巨大应用价值。
二、知识整理，帮助建构1．让学生默写、复习和角公式（加法定理）sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)让学生把公式中的β替换成α，从而推导二倍角公式sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α-sin 2αtan2α=αα2tan 1tan 2- 2．利用平方关系sin 2α+ cos 2α=1让学生推导余弦二倍角公式的其它两种形式：cos2α=cos 2α-sin 2α=2 cos 2α-1=1-2sin 2α3.引导学生记住公式特征，特别是二倍与二次的关系。
3．小练习：做几个简单的计算题：sin1200;cos π/12,tan7π/12三、例题与练习（例题讲解，示范技能；做中学习，同化顺应）1. 例1.已知sin α=-4/5, α是第三象限角，求sin2α，cos2α，tan2α值。
解：由已知，所以cos α=-α2sin 1-=-2)54(1--=-53， 则sin2α=2sin αc os α=2(-54)(-53)=2524， cos2α= cos 2α-sin 2α=(-53)2-(-54)2=-257 tan2α=αα2cos 2sin =-724 Note :1）求tan2α所用的并非公式法,而是定义法,因此方法并不唯一,提示学生下课后用其他方法再算。
2）求cos2α所用的方法并不唯一,提示学生下课后用其他两种方法再算3）对于tan2α的两种求法，各有优劣。
定义法易做但是如果说sin2α，或者cos2α求错了，它一定错。
反之，用公式法来做比较繁，但是出错少.提示学生下课后用其他方法再算。
2.学生练习：P108，题2.已知cos α=-12/13, α∈(2π,π)，求sin2α，cos2α，tan2α值 3．例2.用二倍角公式求下列各式的值: (1)sin 12π cos 12π; (2) cos 28π-sin 28π (3) 21-2sin 212π; (4) 0205.22tan 15.22tan 2-(启发，让学生完成) 解：（1）原式= 21（2sin 12π cos 12π）=21 sin 6π=41 （2）原式=cos(28π⨯)= cos 4π=22 (3) 原式= 21(1-2sin 212π)=21 cos(212π⨯)=21 cos 6π=43 (4) 原式=21(0205.22tan 15.22tan 2-)=21tan450=21 Note:1.有些形式作适当变形可以用公式，要注意系数的变化；2．倍角公式具有相对性，比如4α可以表示2α的倍角，α可以表示成2α的倍角，2α可以表示成4α的倍角，亦即如下列公式： sin 2α=2sin 4αcos 4α cos α=cos 22α-sin 22α tan4α=αα2tan 12tan 22- 4．学生练习：P108，题1的4 个小题。
学生自做，并起立口答。
5．学生练习（机动）：化简cos 42x -sin 42x 四、课堂小结二倍角公式能把具有二倍关系的角的三角函数用相应的单角来表示，表达了任何倍角关系的两种角之间特殊的关系，对解决实际生产、生活的求值问题很有帮助。
二倍角公式反映了事物之间变化与联系，说明了辩证发展的关系与规律。
五、布置作业：A 类同学完成P108A 组题1，B 类同学外加P109 A 组题3。
六、知识拓展，快乐数学阅读材料—三角函数符号的发展历史（见本人自编校本教材《快乐数学》）P91毛罗利科早于１５５８年已采用三角函数符 号（Signs for trigonometric functions ）， 但当时并无函数概念，于是只称作三角线（ trigonometric lines ）。
他以sinus 1m arcus 表示正弦，以sinus2m arcus 表示余弦。
而首个真正使用简化符号表示三角线的人是T.芬克。
他于１５８３年，创立以“tangent ” （正切）及“secant ”（正割）表示相应之概念 ，其后他分别以符号“sin.”，“tan.”，“ sec.”，“sin. com ”，“tan. com ”，“sec. com”表示正弦，正切，正割，余弦，余切，余割，首三个符号与现代之符号相同。
后来的符号多有变化，下列的表便显示了它们之发展变化。
注：Ⅰ－现代（欧洲）大陆派三角函数符号。
Ⅱ－现代英美派三角函数符号我国现正采用Ⅱ类三角函数符号。
1729年，丹尼尔伯努利是先以符号表示反三角函数，如以AS表示反正弦。
1736年欧拉以At 表示反正切，一年后又以Asin表示于单位圆上正弦值相等于的弧。
1772年，Ｃ申费尔以arc. tang. 表示反正切；同年，拉格朗日采以表示反正弦函数。
1776年，兰伯特则以arc. sin表示同样意思。
1794年，鲍利以Arc.sin表示反正弦函数。
其后这些记法逐渐得到普及，去掉符号中之小点，便成现今通用之符号，如arc sin x，arc cos x 等。
于三角函数前加arc表示反三角函数，而有时则改以于三角函数前加大写字母开头Arc，以表示反三角函数之主值。
另一较常用之反三角函数符号如sin-1x ，tan-1x等，是赫谢尔于1813年开始采用的，把反三角函数符号与反函数符号统一起来，至今亦有应用。
［若对各三角函数的符号演变史感兴趣，可参梁宗巨（1995），《数学历史典故》读职业学校的十大理由初中要毕业了，袁志和周惠因为学习成绩平平，对升学选择犯了难。
征求父母意见都是不由分说"读高中"。
周惠跟父母大吵一架说自己不是读高中上大学的料，要离家出走，而父母坚决不让步，周惠与父母闹僵了。
好朋友袁志劝住周惠，两人决定好好思考和谋划自己的未来，他们拜访企业成功人士、收集资料、请教老师、阅读有关图书等等，并通过分析个人情况，觉得应该选择读职业学校。
他们理出了读职业学校的十个理由，准备与父母好好沟通。
理由1：多元智能理论说明，人与人的潜能有差异性，因此要扬长避短// 多元智能理论是美国著名发展心理学家加德纳提出的。
这一理论目前在我国教育界相当流行。
加德纳认为每个人应该有8种智能：语言智能、数理逻辑智能、空间智能、身体运动智、音乐智能、人际智能、内省智能和自然观察智能。
多元智能理论关注的问题是："你的智能类型是什么？"每个人要发现自己的智能所长，通过适当的教育强化长处。
一个人即使其余几种智能均不行，但只要拥有其中一种智能，竭尽全力把它发扬光大，也同样可以体现人生的价值，为社会作出了不起的贡献。
具体说，初中时文化课成绩差的同学，不见得干什么都差，而且可能在其他方面更聪明，更有天赋，只是对学习文化课没有兴趣，一旦找到了自己感兴趣的专业，其进步是很快的，往往能取得令人吃惊的好成绩。
因此，选一个与自己人生发展意愿相对口的热门中等职业学校，学得一技之长，立足社会，这反而是一条成功捷径。
理由2：重视与发展职业教育，是世界性趋势 // 一个国家要迅速发展，就必须解决好全体劳动者的素质，加大对劳动者的技能培训。
当今世界发达国家普遍重视职业教育，因为在各类教育中，职业技术教育同经济的发展关系最为密切。
在德国，职业技术教育被誉为促使德国经济发展的"秘密武器"；而美国专门制定了"2061计划"，突出地强调职业技术教育与普通教育的结合，明确规定：要"最终使每一个人都将在一定程度上成为一个技师，以准备投入到一个高技术化的世界中去。
"可见，21世纪的职业教育将得到空前发展，接受职业教育的人也将越来越多。
理由3：我国现代化建设需要大批技能型人才 // 高技能人才是现代化建设的重要力量。
高技能人才不仅是技术工人队伍中的核心骨干，是企业竞争力的核心体现之一，更是推动技术创新和现代科技成果向现实生产力转化的骨干力量，成为国家竞争力的重要代表。
在上一个世纪，全球经济规模增长了20%，其中科技进步的贡献由20世纪初的5%上升到60%以上。
而在我国，科技成果的转化率仅为15%，科技进步对经济增长的贡献率只有29%。
权威机构的研究表明，一个重要的"症结"就是一线劳动者的素质存在较大差距，特别是作为科技成果转化主要"桥梁"的高技能人才短缺。
据2004年统计，目前，在中国7000万有技术技能的劳动者中，高级以上技工包括技师、高级技师仅占4%，而发达国家一般在20%到40%之间。
所以，选择职业学校学习专业技术，成为高素质的技能人才，既是国家建设的需要，也能在激烈的就业竞争中找到立足之地，为社会主义现代化建设作出自己应有的贡献。
理由4："能工巧匠"越来越吃香 // 上海市举办了"星光计划"第一届中等职业学校职业技能比赛，选手们不凡的身手和绝妙的技能吸引众多企业的追捧。
而一些媒体上不时传出的"高级技工月薪7千仍然难觅"的新闻。
可见，成为能动手动脑的"能工巧匠"的中职毕业生"灸手可热"十分紧俏。
理由5：职业学校培养技能型人才 // 职业学校培养的是有一定专业基础知识、专业技术和实践技能的中等专业技人才，要求学生既要掌握专业基础知识，又要有专业技术和实践技能，强调学生的动手能力，学生毕业后既可以胜任一般的技术工作，又能动手操作，有一技傍身，在社会上就不愁没有立足之地。
理由6：职业学校专业种类众多，选择余地大 // 中职学校专业种类众多，机械、电子、计算机、财会、畜牧、种养、医药、管理、体育、艺术等等，什么科类都有，它几乎涵盖了社会上各行各业所需要的专业，为考生提供了广阔的专业选择，每年区内招生的中职学校数量达到419多所，同学们可以根据自己的兴趣和爱好，选择自己喜欢的学校、专业。
理由7：职业学校设施、设备也不错// 这几年，我区中等职业教育发展相当快，国家投入也不少。
国家级、自治区级重点中等职业学校有近50所，一些学校的教育设施设备已经比较先进了，不少学校有崭新的校舍和花园式校园，能在这么好的环境和条件中学习，不也是享受优质教育吗？理由8：读职业学校就业有保障我区职业学校以就业为导向，通过校企合作办学、工学交替办学，形成了"招工招生、专业培训、安排就业、跟踪管理"的教学模式，首先是学校开办的专业有就业需求，有些学校招生时就可以签订就业合同；其次是能够学到专业技术，毕业时专业水平和实际操作能力能适应企业的需要，重要的是，学校与各类企业建立了广泛的就业联系，为学生提供各种就业服务，就业安排根本不愁。