最新人教版高中数学选修1-2《反证法》课后训练2
高中人教B版数学选修1-2练习：2.2.2 反证法 Word版含解析
2.2.2反证法课时过关·能力提升1.“M不是N的子集”的充分必要条件是()A.若x∈M,则x∉NB.若x∈N,则x∈MC.存在x1∈M,且x1∈N,又存在x2∈M,但x2∉Nx0∈M,但x0∉N解析:按定义,若M是N的子集,则集合M的任一个元素都是集合N的元素.所以要使M不是,只需存在x0∈M,但x0∉N即可.答案:D2.应用反证法推出矛盾的过程中,可以作为条件使用的是()①与结论相反的判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原结论.A.①②B.①②④D.②③答案:C3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是()A.假设三个内角都不大于60°B.假设三个内角都大于60°C.假设三个内角中至少有一个大于60°60°答案:B4.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c最多有一个偶数a,b,c至多有两个偶数答案:B5.有下列说法:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”.其中正确的说法有()A.0个B.1个C.2个解析:①错误,应为a≤b;②正确;③错误,应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上.答案:B6.“任何三角形的三个内角中至少有两个是锐角”的否定应是.答案:存在一个三角形,其三个内角中最多有一个是锐角7.用反证法证明“已知p3+q3=2,求证:p+q≤2”时的假设为,得出的矛盾为.解析:假设p+q>2,则p>2-q.所以p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3.将p3+q3=2代入,得6q2-12q+6<0.所以(q-1)2<0,这不可能.故p+q≤2.答案:p+q>2(q-1)2<08.完成下面用反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.①因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=②=③=0.但0不是奇数,这一矛盾说明p为偶数.解析:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因为奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0.但0不是奇数,这一矛盾说明p为偶数.答案:a1-1,a2-2,…,a7-7(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)(a1+a2+...+a7)-(1+2+ (7)★9.已知a1,a2,a3,…,a n和b1,b2,b3,…,b n都是正数,分析本题的结论为否定性命题,且题设提供的信息较少,故用反证法证明.证明假1,则a1>b1>0,a2>b2>0,a3>b3>0,…,a n>b n>0.于与已,所以假设错误,故原结论正确.证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.分析使用反证法证题时,要对所证结论作全面否定,不能遗漏.解:如图,已知△ABC中,∠BAC>90°,D是BC边的中点.求证:AD证明:假设AD≥①若AD∠BAC=90°,与题设矛盾,所以AD≠②若AD BD=DC△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD;同理∠C>∠CAD,所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠BAC.因为∠B+∠C=180°-∠BAC,所以180°-∠BAC>∠BAC,则∠BAC<90°,与题设矛盾.由①②知AD。
最新人教版高中数学选修1-2《反证法》课后训练1
2.2.2 反证法练习1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是()A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b 2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．有两个或三个内角是直角D．没有一个内角是直角3．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除4．设x，y，z都是正实数，a＝1xy+，b＝1yz+，c＝1zx+，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于25．设a，b，c是正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．用反证法证明“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设结论为__________．7．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP ＜∠CAP.用反证法证明时应分：假设__________和__________两类．8．完成反证法证题的全过程：已知：{a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7}＝{1,2,3,4,5,6,7}．求证：乘积p＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．①因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__________②＝__________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．9．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.10．设{a n}，{b n}是公比不相等的两个等比数列，c n＝a n＋b n，证明数列{c n}不是等比数列．参考答案1. 答案：B“大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．故选B. 2. 答案：C“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面是“有两个或有三个”．故选C.3. 答案：B用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“一个也没有”，故选B.4. 答案：C 若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6.①而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y＋z ＋1z ≥6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，等号成立．② 显然①与②矛盾，所以选项C 正确．5. 答案：C 必要性显然．充分性：若PQR ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负数一个正数，不妨假设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.∵P ＜0，Q ＜0，∴a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a ，∴a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a ，∴b ＜0，这与a ，b ，c 是正数矛盾．故P ，Q ，R 同时大于零．6. 答案：x ＝a 或x ＝b 否定结论时，一定要全面否定，“x ≠a 且x ≠b ”的否定为“x ＝a 或x ＝b ”．7. 答案：∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP 反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP ＜∠CAP 的对立面就是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP ＞∠CAP .8. 答案：a 1－1，a 2－2，…，a 7－7(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)9. 分析：假设bc ＝0，这时b ，c 的取值情况有三种：①b ＝c ＝0；②b ＝0，c ≠0；③b ≠0，c ＝0.要结合题设及一元二次方程的知识一一否定．证明：假设bc ＝0，则有三种情况：①若b ＝0，c ＝0，方程变为x 2＝0，则x 1＝x 2＝0是方程x 2＋bx ＋c 2＝0的根，这与已知方程有两个不相等的非零实数根矛盾．②若b ＝0，c ≠0，方程变为x 2＋c 2＝0，但当c ≠0时，x 2＋c 2≠0，这与x 2＋c 2＝0矛盾． ③若b ≠0，c ＝0，方程变为x 2＋bx ＝0，方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与已知条件“方程有两个不相等的非零实数根”矛盾．综上所述，bc ≠0.10．分析：假设数列{c n }是等比数列，利用{a n }，{b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设不成立．证明：假设数列{c n }是等比数列，则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①∵{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，∴2n a ＝a n －1a n ＋1，2n b ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝()n n p q a b q p +， 即2＝p q q p+.② 当p ，q 异号时，p q q p +＜0，与②相矛盾； 当p ，q 同号时，由于p ≠q ， ∴p q q p+＞2，与②相矛盾． 故数列{c n }不是等比数列．。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《反证法》课后训练2
课后训练1．已知x 1＞0，x 1≠1且x n ＋1＝22(3)31n n n x x x ⋅++(n ＝1，2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n －1＞x n 或x n ＜x n ＋1”，此题用反证法否定结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥02．有下列叙述：①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y 或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除4．若两个正数a ，b 之积大于1，则a ，b 这两个正数中( )A ．都大于1B ．都小于1C ．至少有一个大于1D ．一个大于1，一个小于15．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，1a x y=+，1b y z =+，1c z x =+，则a ，b ，c 三数( ) A ．至少有一个不小于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．都大于26．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．8．用反证法证明命题“若p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，则关于x 的方程 x 2＋p 1x ＋q 1＝0与方程x 2＋p 2x ＋q 2＝0中，至少有一个方程有实数根”应假设为__________．9．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R ．求证：(1)如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．10．已知数列{a n }满足：112a =，113(1)2(1)11n n n n a a a a ++++=--，a n a n ＋1＜0(n ≥1)，数列{b n }满足：221n n n b a a +=-(n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．参考答案1答案：D 解析：本题原意是数列{x n }为单调数列，其否定应是不单调，C 少了一种情况x n ≤x n －1且x n ≤x n ＋1，只有D 完全正确．2答案：B 解析：①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．3答案：B 解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”． 4答案：C 解析：若a ，b 这两个数都不大于1，即0＜a ≤1,0＜b ≤1，于是0＜ab ≤1，这与ab ＞1相矛盾，故a ，b 中至少有一个大于1．5答案：A 解析：假设a ，b ，c 三个数均小于2，即12x y +<，12y z +<，12z x +<，于是有111<6x y z y z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 而又有111111x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥2＋2＋2＝6，这与111x y z y z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2．6答案：C 解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．7答案：a ≠1或b ≠1 解析：“a ＝b ＝1”即“a ＝1且b ＝1”，其否定为“a ≠1或b ≠1”．8答案：没有一个方程有实根9答案：证明：当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a ．∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．答案：(1)中命题的逆命题为：如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0．(1)中命题的逆命题成立，用反证法证明如下：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，∴f (a )＜f (－b )．同理可得f (b )＜f (－a )．∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立， ∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．10答案：解：由题意可知，22121(1)3n n a a +-=-． 令c n ＝1－a n 2，则c n ＋1＝23n c ． 又c 1＝1－a 12＝34，则数列{c n }是首项为c 1＝34，公比为23的等比数列，即13243n n c -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故1－a n 2＝112323214343n n n a -⎛⎫⎛⎫⨯⇒=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－．又a 1＝12＞0，a n a n ＋1＜0，故a n ＝(－1)n －．1122132321211434343n n n n n n b a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯--⨯=⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．答案：证明：(反证法)假设数列{b n }存在三项b r ，b s ，b t (r ＜s ＜t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b r ＞b s ＞b t ，则只能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴-1111212122434343s r t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭－－，两边同乘4×3t －1×21－r ，化简得2×2s －r 3t －s ＝3t －r ＋2t －r ．由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
高中数学人教A版选修1-2同步练习2.2.2反证法练习 Word版含解析
．反证法．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．．掌握反证法证题的步骤以及哪些类型的题目宜用反证法证明．反证法的定义：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．．命题“关于的方程＝(≠)有唯一解”的结论的否定是()．无解．两解．至少两解．无解或至少两解解析：易知此命题结论的否定是：无解或至少两解．故选.．已知α∩β＝，⊂α，⊂β，若，为异面直线，则()．，都与相交．，至少有一条与相交．，至多有一条与相交．，都与不相交解析：若，都与不相交，则∥，∥，∴∥，这与，为异面直线矛盾．∴，至少有一条与相交．故选.．用反证法证明“已知＋＝，求证＋≤”时的反设为，得出的矛盾为．解析：假设＋＞，则＞－，∴＞(－)＝－＋－，又＋＝，∴－＋＜，即(－)＜，由此得出矛盾．答案：＋＞(－)＜．“自然数，，中恰有一个偶数”的否定应是．解析：“自然数，，中恰有一个偶数”的否定应是，，中都是奇数或至少有两个偶数．答案：，，中都是奇数或至少有两个偶数(一)用反证法证明数学命题的一般步骤()反设——即先弄清命题的条件和结论，然后假设命题的结论不成立；()归谬——从反设出发，经过推理论证，得出矛盾；()断言——由矛盾得出反设不成立，从而断定原命题的结论成立．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾常常表现为以下几个方面：()与已知条件矛盾；()与假设矛盾；()与数学公理、定理、公式或已被证明了的结论矛盾；()与简单的、显然的事实矛盾．()必须先否定结论，即肯定结论的反面，同时注意反设的准确性，尤其当出现两种以上情况时应特别细心，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．()必须从否定结论进行推理，即把结论的反面作为条件，并且必须依据这一条件进行推证，否则，只否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．()反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”，第二个否定是指“逻辑。
人教a版高中数学选修1-2习题：第二章2.2-2.2.2反证法含答案
第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( ) A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12D ．1 解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c<1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数， 故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，。
人教A版高中数学选修1-22.2.2反证法课后训练含答案
2.2.2反证法课后训练案巩固提升一、A组1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④解析:除原结论不能作为推理条件外,其余均可.答案:C2.实数a,b,c不全为正数,是指()A.a,b,c均不是正数B.a,b,c中至少有一个是正数C.a,b,c中至多有一个是正数D.a,b,c中至少有一个不是正数解析:实数a,b,c不全为正数,是指a,b,c中至少有一个不是正数,故选D.答案:D3.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.在区间(a,b)内单调的函数f(x)至多有一个零点D.若a,b∈Z,且a+b为偶数,则a,b都不是奇数解析:当a,b∈Z,且a+b为偶数时,a,b可以都是偶数,也可以都是奇数,故D项错误.答案:D4.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()A.至少有一个是正数B.都是正数C.一个是正数,一个是负数D.都是负数解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.答案:A5.用反证法证明命题“若a+b+c≥0,abc≤0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为()A.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零B.a,b,c三个实数中最多有两个小于零C.a,b,c三个实数中至少有两个小于零D.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零解析:“最多有一个”的否定是“至少有两个”.故选C.答案:C。
人教课标版高中数学选修1-2《反证法》提升训练
《反证法》提升训练(时间：35分钟；分值:40分)一、选择题(每小题5分，共20分）1.(2018陕西大柳树中学期末，★★☆)“自然数a b c、、中恰有一个偶数”的否定为( )A.a b c、、都是偶数B.a b c、、都是奇数C.a b c、、中至少有两个偶数D.a b c、、都是奇数或其中至少有两个偶数2.(2018河北沧州期末，★★☆)有下列叙述:①“a b<”；②>”的否定是“a b“x y=”的否定是“x y<”；③“三角形的外心在三角形外”的否定是>或x y“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的否定是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3.(2018湖北武汉一中期末，★★☆)用反证法证明命题：“,,∈能被5整a b N ab除，那么,a b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A.,a b都能被5整除B.,a b都不能被5整除C.,a b不都能被5整除D.a不能被5整除4.(2018湖南长沙一中期末，★★☆)用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程20++=有有理根，那么,,ax bx ca b c中存在偶数”时,否定结论应为( ) A.,,a b c都是偶数B.,,a b c都不是偶数C.,,a b c中至多一个是偶数D.至多有两个是偶数二、填空题(每小题5分，共10分）5.(2018湖南醴陵一中期末，★★☆)学校艺术节期间对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说:“A 作品获得一等奖”；乙说:“C 作品获得一等奖”；丙说:“B D 、两项作品未获得一等奖”；丁说:“A 或D 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________.6.(2018山东师大附中期末，★★☆)用反证法证明命题“若220,a b +=则,a b 全为0(,a b 为实数）”，其反设为_________.三、解答题（共10分）7.(10分)(2018河北正定中学期末，★★☆)已知函数()()()2212ln 21f x x a x ax x a a R =-++++∈.(1)2a =-时，求()f x 在()02，上的单调区间；(2)0x ∀>且2ln 1,211ax x x a x x ≠>+--,恒成立,求实数a 的取值范围.参考答案—、选择题1.答案:D解析：自然数,,a b c 的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定为“,,a b c 都是奇数或其中至少有两个偶数”.2.答案：B解析：①错误，应为a b ≤；②正确；③错误，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错误，应为三角形可以有2个或3个钝角.3.答案：B解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“,a b 都不能被5整除”. 4.答案：B解析：,,a b c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为,,a b c 都不是偶数.二、填空题5.答案:C解析:若A 获得一等奖，则甲、丙、丁都对，不合题意;若B 获得一等奖，则甲、乙、丙、丁都错，不合题意;若C 获得一等奖，则乙、丙对，甲、丁错，符合题意；若D 获得一等奖，则甲、乙、丙错，不合题意，故获得一等奖的是C . 6.答案:见解析解析：“,a b 为0”即“0a =且0b =”，因此它的反设为“0a ≠或0b ≠”，即,a b 不全为0.三、解答题7.答案：见解析解析：(1)2a =-时,()()()224ln 3'212ln ,f x x x x x f x x x =+--=--设()()'h x f x =，当()0,2x ∈时，()24'0,x h x x-=< 则()h x 在()02，上单调递减，即()'f x 在()02，上单调递减，()'10,12f x =∴<<时，()'0;01f x x <<<时，()'0,f x >∴在()02，上，()f x 的单调增区间是()0,1,单调减区间是()12.，.(2)当1x >时,()()2ln 211,ax x a x x >+-- 即212ln 22.a ax x x x x+>-++- 当01x <<时，()()2ln 211,ax x a x x <+--即212ln 22.a a x x a x +<-++-设()()212ln 220,a g x a x x a x x +=+--+>则1x >时，()0,01g x x ><<时,()()()()221212210.'1,x x a a a g x g x x x x -+++<=+-= 当1a =-时,()()()()221211,'0,x a g x g x x --+==≥∴在()0+∞，上单调递增，1x ∴>时，()()10,01g x g x >=<<时，()()10,1g x g a <=∴=-符合题意； 当1a <-时,()()211,121a x a -+><<-+时，()()'0,g x g x <∴在()1,21a --上单调递减，∴当()121x a <<-+时,()()10g x g <=，与1x >时，()0g x >矛盾； 当1a >-时，设M 为()21a -+和0中的最大值，当1M x <<时，()()'0,g x g x <∴在(),1M 上单调递减,∴当1M x <<时，()()10,g x g >=与01x <<时，()0g x <矛盾.综上，{}1.a ∈-。
【三维设计】人教A版数学选修1-2全册练习：2.2.2 反证法(含答案解析)
[课时达标检测]一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是() A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至少有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：选B“至少有一个”即“全部中最少有一个”．2．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为()A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：选D自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立 B.3a＜3b成立C.3a＝3b或3a＜3b成立 D.3a＝3b且3a＜3b成立解析：选C“大于”的否定为“小于或等于”．4．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是()A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确解析：选D(1)的假设应为p＋q＞2；(2)的假设正确．5．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析：选A假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a＞b，n ∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.二、填空题6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②8．完成反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①因7个奇数之和为奇数，故有(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为______．②而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝______.③②与③矛盾，故p为偶数．解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．答案：①a1－1，a2－2，…，a7－7②奇数③0三、解答题9．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．证明：假设A 1B 1与A 2B 2不是异面直线，则A 1B 1与A 2B 2可以确定一个平面α，点A 1，A 2，B 1，B 2都在平面α内，于是A 1A 2⊂α，B 1B 2⊂α，即a ⊂α，b ⊂α，这与已知a ，b 是异面直线矛盾，所以假设错误．因此A 1B 1与A 2B 2也是异面直线．10．已知f(x)＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根． 证明：假设x 0是f(x)＝0的负数根，则x 0＜0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0＜ax 0＜1⇒0＜－x 0－2x 0＋1＜1， 解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立， 故方程f(x)＝0没有负数根．。
最新人教版高中数学选修1-2《反证法》习题课
习题课基础再现 1. 和 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维模式.答案:综合法 分析法2.一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做 ，可用框图表示为 .答案:综合法3.一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的 ，直至最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做 ，用框图表示为 .答案:充分条件 分析法4. 是间接证明的一种基本方法.答案:反证法5.一般地，假设原命题错误，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做 ，这种方法的关键是在正确的推理下得出 .答案:反证法 矛盾典例剖析【例1】若yb x a +=1(a 、b 、x 、y >0且a ≠b ),求证：x +y ≥(a +b )2. 证法一:∵x 、y 、a 、b >0,且y b x a +=1， ∴x +y =(x +y )( yb x a +) =a +b +yxb x ya +≥a +b +2ab =(a +b )2.∴原不等式成立.证法二:易知y =ax bx -, 则x +y =x +a x bx -=x +a x ab a x b -+-)(=x +b +a x ab -=(x -a )+ax ab -+a +b . ∵x 、y 、a 、b >0,yb x a +=1,x >a ,x -a >0, 故x +y ≥a +b +2ab =(a +b )2.点评:证法一中的1逆看成yb x a +,然后“无中生有”与“x +y ”相乘，结论水到渠成，若考虑“yb x a +=1”,联想三角换元，可借助三角函数性质证明. 【例2】设x >0,y >0,且x ≠y ,求证：()3133yx +<()2122y x +. 证明:∵x >0,y >0，欲证()3133y x +<()2122y x +成立， 只需证明（x 3+y 3）2<(x 2+y 2)3,即证2x 3y 3<3x 2y 2(x 2+y 2).只需证明2xy <3(x 2+y 2).∵x >0,y >0,x ≠y ,∴x 2+y 2>2xy .∴3(x 2+y 2)>2xy 成立.故()3133y x +<()2122y x +成立.点评:分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去根号,分式不等式去分母，分析法是常用方法，此题的关键是在两边非负的条件下乘方去根号.【例3】若a 3+b 3=2,求证：a +b ≤2.证法一:假设a +b >2,则a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)>2(a 2-ab +b 2)，而a 3+b 3=2,故a 2-ab +b 2<1，∴1+ab >a 2+b 2≥2ab ,从而ab <1.∴a 2+b 2<1+ab <2.∴(a +b )2=a 2+b 2+2ab <2+2ab <4.∴a +b <2.这与假设矛盾，故a +b ≤2.证法二:假设a +b >2,则a >2-b ,故2=a 3+b 3>(2-b )3+b 3,即2>8-12b +6b 2,即(b -1)2<0,这不可能，从而a +b ≤2.证法三:假设a +b >2,则（a +b ）3=a 3+b 3+3ab (a +b )>8.由a 3+b 3=2,得3ab (a +b )>6,故ab (a +b )>2.又a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)=2,∴ab (a +b )>(a +b )(a 2-ab +b 2).∴a 2-ab +b 2<ab ,即（a -b ）2<0.这不可能，故a +b ≤2.点评:本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾；一般说，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定过头时，都可以考虑用反证法.【例4】设实数x 、y 满足y +x 2=0,0<a <1,求证：log a (a x +a y )<81+log a 2. 证明:∵a x >0,a y>0,∴a x +a y ≥2y x a +=22x x a -. ∵x -x 2=x (1-x )≤［2)1(x x -+］2=41, 又0<a <1,∴a 2x x -≥a 41，当x =21时，等号成立，但当x =21时，a x ≠a 2x -. ∴a x +a y >2a 81.又0<a <1,∴log a (a x +a y )<log a (812a ),即log a (a x +a y )<log a 2+81. 点评:由于0<a <1,只需证a x +a y ≥812a ,∵a x +a y ≥2y x a +, 只需证x +y ≤41,x -x 2≤414. 注意等号不同时成立，问题可解.借助分析法探路，然后利用综合法证明，若盲目用综合法推进，容易受阻.能力提高1.命题甲：α是第二象限的角；命题乙：sin αtan α<0.则命题甲是命题乙成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件解析:甲⇒乙，乙甲.∵sin α·tan α<0⇒α是第二或第三象限的角,∴甲是乙的充分不必要条件.答案:A2.已知a ,b ∈R,ab >0，则下列不等式中不正确的是（ ）A .|a +b |≥a -bB .2ab ≤|a +b |C.|a +b |<|a |+|b |D.| a b +ba |≥2 解析:当ab >0时,|a +b |=|a |+|b |.答案:C3.设a 、b 、c 大于0，则3个数：a +b 1,b +c 1,c +a1的值（ ） A .都大于2B .至少有一个不大于2C .都小于2D.至少有一个不小于2解析:假设都小于2,则a +b1<2, b +c1<2, c +a 1<2, 三式左右分别相加得a +b +c +a 1+b 1+c1<6， 而a +b +c +a 1+b 1+c 1=（a +a 1）+（b +b 1）+（c +c 1）≥2a a 1⋅+2b b 1⋅+2c c 1⋅=6， 矛盾，故假设不成立.答案:D4.设x =a 2b 2+5,y =2ab -a 2-4a ,若x >y ，则实数a 、b 应满足条件 .解析:∵x -y =（ab -1）2+（a +2）2，且x >y ，∴（ab -1）2+（a +2）2>0.则ab -1≠0或a +2≠0.∴ab ≠1或a ≠-2.答案:ab ≠1或a ≠-25.下列不等式证明过程：①若a ,b ∈R,则a b +b a ≥2ba ab ⋅=2; ②若x 、y 为正数，则lg x +lg y ≥2y x lg lg ;③若x ∈R,则|x +x 4|=|x |+x 4≥2xx 4⋅=4; ④若a ,b ∈R,ab <0,则a b +b a =-(-a b +b a -)≤-2ba ab -⋅-=-2. 其中正确的序号是 .解析:若a =-1，b =1时①错，若x ,y ∈（0，1）时②错.答案:③④6.已知x >0,y >0,x +y =1,求证：（1+x 1）(1+y1)≥9. 证明：∵x >0,y >0,x +y =1,∴（1+x 1）（1+y 1）=（2+x y ）（2+yx ）=5+2（x y +y x ）≥9. 当且仅当x =y =21时,等号成立. 故（1+x 1）（1+y1）≥9. 7.设a >b >c ,n ∈N *，试求使不等式b a -1-c b -1≥ca n -成立的n 的最大值. 解:∵a -c >0,要使原不等式成立, 只需b ac a --+c b c a --≥n 成立, 即()()b a c b b a --+-+()()cb c b b a --+-≥n 成立, 也就是2+b a c b --+cb b a --≥n 成立. 又b ac b --+c b b a --≥2, ∴n ≤4.∴n 有最大值4.8.已知非零实数a 、b 、c 成等差数列，a ≠c ，求证：a 1、b 1、c1不可能成等差数列. 证明:假设a 1,b 1,c1成等差数列, 则b 2=a 1+c 1=ac c a +.（*）而a ,b ,c 成等差数列.∴2b =a +c .∴b =a +2ca +,代入（*）式得c a +4=ac ca +.∴（a +c ）2=4AC .∴a 2+2AC +c 2=4AC .∴a 2-2AC +c 2=0.∴（a -c ）2=0.∴a =c .这与题设a ≠c 矛盾，故假设不成立. ∴a 1、b 1、c 1不可能成等差数列.施展才华1.已知a 、b 是不等正数，且a 3-b 3=a 2-b 2,求证：1<a +b <34.证明:∵a 3-b 3=a 2-b 2且a ≠b ，∴a 2+ab +b 2=a +b .由（a +b ）2=a 2+2ab +b 2>a 2+ab +b 2,∴（a +b ）2>a +b .又a +b >0,∴a +b >1.欲证a +b <34,即证3（a +b ）<4.∵a +b >0,只需证明3（a +b ）2<4（a +b ）,又a +b =a 2+ab +b 2,即证3（a +b ）2<4（a 2+ab +b 2）.也就是证明（a -b ）2>0.∵a ,b 是不等正数,故（a -b ）2>0成立,故a +b <34成立.综上,得1<a +b <34.2.求证：抛物线y =22x -1上不存在关于直线x +y =0对称的两点.证明:假设抛物线y =22x -1上存在两点P ,Q 关于直线x +y =0对称,设P （x 0,y 0）, 则Q （-y 0, -x 0）,则有①-②,得y 0+x 0=()()20000y x y x +-,即（x 0+y 0）（x 0-y 0-2）=0.∴x 0+y 0=0或x 0-y 0=2.若x 0+y 0=0，则P （x 0，-x 0），Q （x 0，-x 0）.P 、Q 重合，与题设矛盾.若x 0-y 0=2,代入①式得x 02-2x 0+2=0,Δ=（-2）2-4×2=-4<0,方程无解,这样的点不存在.故假设不成立,因此抛物线y =22x -1上不存在两点关于直线x +y =0对称.。
人教版选修【1-2】2.2.2《反证法》习题及答案
故方程 f ( x) ＝0 没有负数根．
4．如果两个实数之和为正数，则这两个数 ( ) A．至少有一个是正数 B．两个都是正数 C．一个是正数，一个是负数 D．两个都是负数
解析： 假设两个都是负数，其和必为负数，矛盾，所以选 A. 答案： A
5．用反证法证明命题“一个三角形不能有两个直角”的过程归 纳为以下三个步骤：
①∠ A＋∠ B＋∠ C＝90°＋ 90°＋∠ C＞180°，这与三角形内角 和为 180°矛盾， 所以∠ A＝∠ B＝90°不成立 ②所以一个三角形中 不能有两个直角 ③假设∠ A，∠ B，∠ C 中有两个直角，不妨设∠ A ＝∠ B＝90°
)
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个数不大于 2
D．至少有一个数不小于 2
解析：
a＋1b＋ b＋ 1c＋c＋ 1a＝
1 a＋ a
＋
1 b＋b
＋
1 c＋ c
≥2＋ 2＋2＝
6.若三个数均小于 2，则 a＋1b＋b＋1c＋ c＋1a＜ 6，矛盾，故选 D.
答案： D
x2 y2 2．设椭圆 a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
7．已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c ＝z2－2x＋π6.求证： a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明： 假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0， b≤0， c≤0， 得 a＋b＋c≤0， 而 a＋b＋c＝( x－1) 2＋( y－1) 2＋( z－1) 2＋ π－3≥ π－3>0， 即 a＋b＋c>0，与 a＋b＋c≤０矛盾，
假设点 P(x1， x2)不在圆 x2＋y2＝ 2 内，
则
x21＋ x22≥ 2，但
高中数学选修1-2单元配套练习试题2.2.2 反证法及参考答案解析
2.2.2 反证法姓名:___________班级:______________________1.用反证法证明命题“若a,b∈N ,ab 能被3整除,那么a,b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.a,b 都能被3整除B.a,b 都不能被3整除C.b 不能被3整除D.a 不能被3整除2.用反证法证明命题“若()220,a b a b +=∈R ,则a 、b 全为0”,其反设正确的是( )A.a 、b 至少有一个为0B.a 、b 至少有一个不为0C.a 、b 全不为0D.a 、b 中只有一个为03.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有偶数根,那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( )A.假设,,a b c 不都是偶数B.假设,,a b c 至多有两个是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 都不是偶数4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( )A.假设至少有一个钝角B.假设至少有两个钝角C.假设没有一个钝角D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角5.设a,b,c 大于0,a ＋b ＋c ＝3,则3个数:a ＋b 1,b ＋c 1,c ＋a1的值( ) A.都大于2 B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于26.下列命题不适合用反证法证明的是( )A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R ,且x ＋y ＞2,求证:x,y 中至少有一个大于17.设x,y,z ＞0,则三个数y x ＋y z ,z x ＋z y ,x z ＋x y ( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于28.用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θθ-=,则sin 0cos 0θθ≥≥且”时,下列假设的结论正确的是( )A.sin 0cos 0θθ≥≥或B.sin 0cos 0θθ<<且C.sin 0cos 0θθ<<或D.sin 0cos 0θθ>>且9.△ABC 中,若AB ＝AC,P 是△ABC 内的一点,∠APB＞∠APC ,求证:∠BAP＜∠CAP ,用反证法证明时的假设为________.10.和两条异面直线AB 、CD 都相交的两条直线AC 、BD 的位置关系是________.11.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是________.12.用反证法证明7,5,3不可能成等差数列.13.试用反证法证明,,a b c 中至少有一个不小于1.14.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,f(a)＜0,f(b)＞0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.参考答案1.B【解析】反证法证明命题时,应假设命题的反面成立.“a,b 中至少有一个能被3整除”的反面是:“a,b 都不能被3整除”,故应假设a,b 都不能被3整除.考点:反证法.2.B【解析】原命题的结论为:“a 、b 全为0”,反证法需假设结论的反面,其反面为“a 、b 至少有一个不为0”.考点:反证法的假设环节.3.D【解析】 “,,a b c 中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况,其否定应为不存在偶数,即“假设,,a b c 都不是偶数”,故选D.考点:命题的否定.4.B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”,故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角,故选B.考点:反证法.5.D【解析】因为6121212111111=⨯+⨯+⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++++cc b b a a c c b b a a a c c b b a ,等号成立的条件是1a b c ===,如果三个数都小于2,那么三个数相加不可能大于或等于6,所以至少有一个不小于2,故选D.考点:不等式.6.C【解析】A 中命题条件较少,不易正面证明;B 中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D 中命题是至少性命题,其结论包含两种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明. 考点:反证法证明命题.7.C【解析】假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6,又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6,当且仅当x ＝y ＝z 时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.故选C.考点:反证法证明命题.8.C【解析】若用反证法证明,只需要否定命题的结论,sin 0cos 0θθ≥≥且的否定为sin 0cos 0θθ<<或,故选C.考点:反证法.9.∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP【解析】反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP＜∠CAP 的对立面是∠BAP＝∠CAP 或∠BAP＞∠CAP.考点:反证法的假设环节.10.异面【解析】假设AC 与BD 共面于平面α,则A 、C 、B 、D 都在平面α内,∴AB ⊂α,CD ⊂α,这与AB 、CD 异面相矛盾,故AC 与BD 异面.考点:反证法证明直线位置关系.11.丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.12.详见解析【解析】证明:假设成等差数列,则=即10=10221≠矛盾,.考点:反证法.13.详见解析【解析】证明:假设,,a b c 均小于1,即1,1,1a b c <<<,则有3a b c ++<,矛盾,所以原命题成立. 考点:反证法.14.见解析【解析】证明:由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)＜0,f(b)＞0,即f(a)·f (b)＜0, 所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)＝0,假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)＝0,则n≠m.若n ＞m,则f(n)＞f(m),即0＞0,矛盾;若n ＜m,则f(n)＜f(m),即0＜0,矛盾.因此假设不成立,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.考点:反证法.。
高中数学人教A版选修1-2课时作业2.2.2 反证法 Word版含解析
课时作业一、选择题．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )．有一个解．有两个解．至少有两个解．至少有三个解解析：在逻辑中“至多有个”的否定是“至少有＋个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选.答案：．设，，为正实数，＝＋－，＝＋－，＝＋－，则“>”是“，，同时大于零”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：首先若，，同时大于零，则必有>成立．其次，若>，则，，同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设<，<，∴＋－<，＋－<，∴<与为正实数矛盾，故，，都大于.故选.答案：．已知()是上的增函数，，∈，下列四个命题：①若＋≥，则()＋()≥(－)＋(－)；②若()＋()≥(－)＋(－)，则＋≥；③若＋<，则()＋()<(－)＋(－)；④若()＋()<(－)＋(－)，则＋<.其中真命题的个数为( )....解析：易知①③正确．②用反证法：假设＋<，则<－，<－，∴()<(－)，()<(－)，∴()＋()<(－)＋(－)与条件矛盾，故＋≥，从而②为真命题，④类似于②用反证法．故选.答案：．如果△的三个内角的余弦值分别等于△的三个内角的正弦值，则( ). △和△都是锐角三角形. △和△都是钝角三角形. △是钝角三角形，△是锐角三角形. △是锐角三角形，△是钝角三角形解析：因为正弦值在(°，°)内是正值，所以△的三个内角的余弦值均大于.因此△是锐角三角形．假设△也是锐角三角形，并设＝，则＝(°－∠)，所以∠＝°－∠.同理设＝，＝，则有∠＝°－∠，∠＝°－∠.又∠＋∠＋∠＝°，∴(°－∠)＋(°－∠)＋(°－∠)＝°，即∠＋∠＋∠＝°.这与三角形内角和等于°矛盾，所以原假设不成立．故选.答案：二、填空题．用反证法证明“()＝＋＋，求证：()，()，()中至少有一个不小于”时的假设为．解析：“至少有一个”的反设词为“一个也没有”．答案：假设()，()，()都小于．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤：①∠＋∠＋∠>°，这与三角形内角和为°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△中有两个钝角，不妨设∠>°，∠>°.上述步骤的正确顺序为．解析：根据反证法知，上述步骤的正确顺序应为③①②.答案：③①②．若下列两个方程＋(－)＋＝，＋－＝中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是．解析：假设两个一元二次方程均无实根，则有(\\(Δ＝(－(－<，,Δ＝((－(－(<，))即(\\(＋－>，＋<，))解得{－<<－}，所以其补集{≤－或≥－}即为所求的的取值范围．答案：{≤－或≥－}三、解答题．设{}，{}是公比不相等的两个等比数列，＝＋，证明数列{}不是等比数列．证明：假设数列{}是等比数列，利用{}，{}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾，即知假设。
2020-2021学年数学人教A版选修1-2课后提升训练：2.2.2 反证法含解析
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。
祝：学子考试顺利，学业有成第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课后篇巩固提升基础巩固1.在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用()①结论的反设;②已知条件;③定义、公理、定理等;④原结论.A.①②B.②③C.①②③D.①②④,其余均可.2.(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确>”,故(1)错误.“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝对值大于或等于1”,故(2)正确.3.如果两个实数之和为正数,那么这两个数()A.至少有一个是正数B.都是正数C.一个是正数,一个是负数D.都是负数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.4.用反证法证明命题“若a+b+c≥0,abc≤0,则a,b,c三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为()A.a,b,c三个实数中最多有一个不大于零B.a,b,c三个实数中最多有两个小于零C.a,b,c三个实数中至少有两个小于零D.a,b,c三个实数中至少有一个不大于零.故选C.5.将“函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)>0”反设,所得命题为“”..f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上恒小于等于06.“x=0,且y=0”的否定形式为.p且q”的否定形式为“ p或 q”.≠0或y≠07.完成反证法证题的全过程.题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,p=(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7),求证:p为偶数.证明:假设p为奇数,则均为奇数.因为7个奇数之和为奇数,故有(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为.①而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)= .②①与②矛盾,故假设不成立,故p为偶数.p为奇数,可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)为奇数,而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0,矛盾,故假设不成立,故p为偶数.-1,a2-2,…,a7-7奇数08.已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线中至少有一条与x轴有两个不同的交点.x轴有两个不同的交点.由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证.9.如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.ME与BN共面,且平面MBEN∩平面DCEF=EN.由已知两正方形不共面,得AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立,所以ME与BN不共面,即直线ME与BN是两条异面直线.能力提升1.用反证法证明命题“如果实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至多有一个是偶数D.假设a,b,c至多有两个是偶数.2.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设和两类.,∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP.BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP3.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明③:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.故答案为③.4.已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,因为k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数.5.已知直线m与直线a和b分别交于A,B,且a∥b.求证:过a,b,m 有且只有一个平面.,因为a∥b,所以过a,b有一个平面α,又m∩a=A,m∩b=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.又A∈m,B∈m,所以m⊂α.即过a,b,m有一个平面α.假设过a,b,m还有一个平面β异于平面α,则a⊂α,b⊂α,a⊂β,b⊂β,这与a∥b,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过a,b,m有且只有一个平面.6.设{a n}是公比为q的等比数列.(1)推导{a n}的前n项和公式;(2)设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列.{a n }的前n 项和为S n ,当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1, ① qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n , ② ①-②得,(1-q )S n =a 1-a 1q n , ∴S n =a 1(1-q n )1-q ,∴S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q,q ≠1.{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1), a k+12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1, a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1. ∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1. ∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{a n +1}不是等比数列.。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套作业：2.2.2 反 证 法 课堂 Word版
第二章 2.2 2.2.21．“a＜b”的反面是(D)A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a≥b2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用(C)①结论的否定，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③[解析]原结论不能作为条件使用．3．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab可被2整除，那么a，b中至少有一个能被2整除．”时，假设的内容应该是(B)A．a，b都能被2整除B．a，b都不能被2整除C．a，b不都能被2整除D．a不能被2整除[解析]由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被2整除，那么a，b至少有1个能被2整除．”的否定是“a，b都不能被2整除”．故选B．4．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为__x＝a或x ＝b__．[解析]“且”的否定是“或”．5．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1．[解析]假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1，则a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd－ad＋bc＝0，即(a ＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，所以a＋b＝0且c＋d＝0且a－d＝0且b＋c＝0，所以a ＝b＝c＝d＝0与ad－bc＝1矛盾．所以假设不成立，原结论成立．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。
这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。
加油！！。
高中数学选修1-2反证法同步练习.docx
反证法 同步练习【选择题】1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论A 、①②B 、①②④C 、①②③D 、②③2、命题“∆ABC 中，若∠A>∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是（ ）A 、a <bB 、a ≤bC 、a =bD 、a ≥b3、命题“关于x 的方程ax =b (a ≠0)的解是唯一的”的结论是否是（ ）A 、无解B 、两解C 、至少两解D 、无解或至少两解4、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A 、有两个内角是直角B 、有三个内角是直角C 、至少有两个内角是直角D 、没有一个内角是直角5、已知数列{a n },{b n }的通项公式分别为：a n =a n+2,b n =b n+1,(a ,b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无穷多个6、如果两个数之和为正数，则这两个数（ ）A 、一个是正数，一个是负数B 、两个都是正数C 、至少有一个是正数D 、两个都是负数【填空题】7、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.” 乙说：“甲、丙都未获奖.” 丙说“我获奖了”, 丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_____________.8、用反证法证明“已知a 与b 均为有理数，且a 和b 都是无理数，证明：a +b 是无理数.”时，应假设______________.【解答题】9、证明：2,3,1不能为同一等差数列的三项.10、证明：2 不是方程2x +1=0的根.11、若a ,b ,c 都是小于1的正数，求证：(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 三个数不可能同时大于41.12、已知a ,b ,c 均为实数且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a .求证：a ,b ,c 中至少有一个大于0.参考答案1、C2、B3、D4、C5、A6、C7、丙8、a +b 是有理数.9、略10、略11、证明：假设(1-a )b ,(1-b )c ,(1-c )a 三个数同时大于41，则由a ,b ,c 都是小于1的正数，有23212121)1()1()1(23=+-++-++-<-+-+-<a c c b b a a c c b b a 得出矛盾，故原命题成立.（本题目还有其他解法）12、证明：假设a ,b ,c 都不大于0即,0,0,0≤≤≤c b a 则,0≤++c b a而c b a ++)62()32()22(222πππ+-++-++-=x z z y y x,3)1()1()1(222-+-+-+-=πz y x,03>-πΘ且无论z y x ,,为何实数，,0)1()1()1(222≥-+-+-z y x,0>++c b a 这与0≤++c b a 矛盾，因此a ,b ,c 中至少有一个大于0.。
高二数学人教选修1-2同步练习：2.2.2 反证法 Word版含解析
2.2.2反证法一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为() A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有() A．0个B．1个C．2个D．3个4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为() A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c 中存在偶数”时，否定结论应为() A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都不是偶数C．a，b，c中至多一个是偶数D．至多有两个偶数6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________．7．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为 __________________．二、能力提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋19．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于210．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．11．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．答案1．D 2．D 3．B 4．B 5．B6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．a ，b 不全为08．D 9．C10．a ≤－2或a ≥－111．证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1，又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd >1，这与上式相矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．证明 假设三个式子同时大于14， 即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，① 又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14. 同理0<b (1－b )≤14， 0<c (1－c )≤14， 所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143② ①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．13．证明 假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0(x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1.解上述不等式，得12<x 0<2.这与假设x 0<0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．。
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课后训练
1．关于反证法的说法正确的有()．
①反证法的应用需要逆向思维；
②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定；
③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾；
④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可．
A．①②B．①③
C．②③D．③④
2．下列命题不适合用反证法证明的是()．
A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交
B．两个不相等的角不是对顶角
C．平行四边形的对角线互相平分
D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1
3．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()．
A．
13
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，B．
31
22
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，
C．(－1,1) D．(－∞，－1)(1，＋∞)
4．若a，b，c＞0，则3个数a＋1
b
，b＋
1
c
，c＋
1
a
的值()．
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
5．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．
下列说法中正确的是()．
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确，②的假设错误
D．①的假设错误，②的假设正确
6．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°．
上述步骤的正确顺序为__________．
8．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于________．9．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n＝3n＋6，b n＝2n＋7(n∈N*)．将集合{x|x＝
a n，n∈N*}{x|x＝
b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，
c n，…．
(1)求c1，c2，c3，c4；
(2)求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…．
10．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于1
4
．
参考答案
1答案：A解析：反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾，故③不正确．从而排除B，C，D选项．
2答案：C解析：A中命题条件较少，不足以正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含多个结论，而反设只有一个结论．
3答案：A解析：若f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，则x2＋2ax＋1＝x有解，即x2＋(2a
－1)x＋1＝0有解，此时Δ＝4a2－4a－3≥0a≤
1
2
-或a≥
3
2
．
∴f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点时，
a的取值范围是
13
22
a
⎛⎫∈-
⎪
⎝⎭
，．
4答案：D解析：利用反证法和均值不等式证明．
5答案：D解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q＞2，故①的假设是错误的．而②的假设是正确的，故选D．
6答案：a≠1或b≠1解析：“a＝b＝1”即“a＝1且b＝1”，所以其否定应为“a≠1或b≠1”．
7答案：③①②解析：由反证法的步骤可知，正确顺序为③①②．
8答案：1
3
解析：由a，b，c这三个数的和为1，可猜想a，b，c中至少有一个数不
小于1
3
，证明如下：
假设a，b，c都小于1
3
，则a＜
1
3
，b＜
1
3
，c＜
1
3
，
∴a＋b＋c＜1，
这与a＋b＋c＝1矛盾．
∴假设不成立，∴a，b，c中至少有一个数不小于1
3
．
9答案：
解：c1＝9，c2＝11，c3＝12，c4＝13．
答案：
证明：∵数列{c n}由{a n}、{b n}的项构成，
∴只需讨论数列{a n}的项是否为数列{b n}的项．
∵对于任意n N*，a2n－1＝3(2n－1)＋6＝6n＋3＝2(3n－2)＋7＝b3n－2，∴a2n－1是{b n}的项．
下面用反证法证明：a2n不是{b n}的项．
假设a2n是数列{b n}的项，设a2n＝b m，则
3·2n＋6＝2m＋7，m＝3n－1
2
，与m N*矛盾．
∴结论得证．10答案：
证法一：假设三式同时大于1
4
，
即(1－a)b＞1
4
，(1－b)c＞
1
4
，(1－c)a＞
1
4
，
三式相乘，得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ＞164
． 又(1－a )a ≤2
1124
a a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭， 同理(1－
b )b ≤14，(1－
c )c ≤14
， 以上三式相乘，得 (1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤
164
， 这与(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164
矛盾，故结论得证． 证法二：假设三式同时大于14． ∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0．
故
(1)122
a b -+≥=． 同理(1)1(1)12222
b c c a -+-+>>，． 三式相加，得32＞32，矛盾，∴原命题成立．。