正切函数
正切函数的性质和图象
例2、求下列函数的周期：
解 : f ( x) 3 tan( 2 x ) 4
1 (2)变式： y 3 tan( x ); 2 4
1 解 : f ( x) 3 tan( x ) 2 4
3 tan( 2 x ) 4 3 tan[ 2( x ) ]
• α在第一象限时：
• 正弦线: sinα=MP>0 • 余弦线: cosα=0M>0 请同学们画出其它象限的三角函数线
• 正切线：tanα=AT>0
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3
tan1670 tan1730
（1）正切函数的图像
（2）正切函数的性质：
定义域：
x | x k , k Z 2
值域：全体实数R
正切函数是周期函数， 周期性： 最小正周期T= 奇函数， 奇偶性：
正切函数在开区间 k , k , k Z 单调性： 2 内都是增函数。 2
2
2
x
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 (
2 2 内是增函数 k 对称性： 对称中心是 ( , 0), k Z 2
k ,
k ) k Z
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,
2
y tan x
正切函数课件
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
方法归纳 求函数 y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法 (1)定义域：由 ωx＋φ≠kπ＋π2 ，k∈Z，求出 x 的取值集合即
为函数的定义域，即xx≠kπ＋ωπ2 －φ，k∈Z.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
fπ6 ＝_______3________．
π
π
解析：由题意知 x＋ 6 ≠kπ＋ 2 (k∈Z)，
π 即 x≠ 3 ＋kπ(k∈Z)．
故定义域为xx≠kπ＋π3 ，k∈
Z，
且 fπ6 ＝tanπ6 ＋π6 ＝ 3.
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
正切函数的图像
求函数 f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
2．y＝tan(x＋π)是( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：因为 y＝tan(x＋π)＝tan x，所以 y＝tan(x＋π)是奇函 数．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
3．函数 f(x)＝tanx＋π6 的定义域是_x__x_≠__k_π__＋__π3__，__k_∈__Z_，
域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
1．(1)函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－3π2 ，32π上的交点个
数是( A ) A．3
B．4
C．5
D．6
栏目 导引
第一章 三 角 函 数
解析：(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π
正切函数图像和性质
1 k x k 2 2 4 2
y 3 tan(
1 x )的单调递增区间为 : 2 4
y 3 tan(
1 x )的单调递减区间为 : 2 4
3 2k x 2k 2 2
正切线：tanα=BT>0
作法如下：
Y
作直角坐标系，并
在直角坐标系y轴左 侧作单位圆。
找横坐标（把x轴
上 到 到这 2 一段分成8等份） 作出正切线。
把单位圆右半圆中 找交叉点。
2
X
连线。
3 2
2
3 2
Y
3 2
2
X3
思考题
设
, 且m t an(2 x ) 0 6 3 3 恒成立，试确定实数 的取值范围 m .
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x
例题3
3 画函数y （x 0, 2 x 、x ）的简图； 2 2 2 1 tan x
tan x
3 sin x, x 0, ,2 tan x tan x 2 2 y 3 1 tan 2 x sec x sin x, x , 2 2
f ( x ) cot( x ) cot x f ( x) 最小正周期是
例题4
求下列函数定义域：
y cot x csc x
解： cot x 0 cot x 0 csc x 0 或csc x 0 x k x k
正切函数的定义、图像与性质
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
2、值域： R tan x 当 x ＜ 2 k k Z 且无限接近于 2 k 时，
tan x k k Z 且无限接近于 k 时， 当 x＞ 2 2
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质：
3、周期性：
对任意的 x R, 且x
2
k , k Z 都有
tanx tan x
利用正切函数的图象来研究它的性质：
正切函数的性质： 4、奇偶性：奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. 任意 x k , k k Z ，都有 2 2 tan x tan x 正切函数是奇函数. k ， 0 （ k Z ） 正切函数的对称中心为：
例2：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。 （1） tanx >0 （2）tanx <1 y
y
x
1 –/2 0 /4 /2
x
–/2
0
/2
（k，k+/2） kz
（k–/2，k+/4）kz
例 3：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是区间 ( k , k ) ，k Z 内都是增函数。 2 2
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
(7)对称中心
kπ ( ,0) 2
四、应用： 例1．求函数 y tan x 的定义域．
4
解：令
z x
sin x tan x f x cos x 是它的最小正周期．
下面我们先来作一个周期内的图象。 想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ ππ (- , ) 为什么？ 2 2
正切函数的定义
线段AT称为角α的正切线
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正O
M A(1,0) x
由正余弦的诱导公式得：
tan(x k ) sin(x k ) sin x tan x cos(x k ) cos x
x R, x k , k Z
2
正切函数的周期是kπ ， π 是它的最小正周期
例1 求 20 的各三角函数值.
3
6.1正切函数的定义
y P(a,b)
A
O
M 1x
如果角α满足：α∈R，α≠ π/2 +kπ（ k ∈Z ），角α的终边与单 位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？
tanα | PM | b
| OM | a
我们把它叫做角α的正切函数，记作y=tanα
tan sin ( R, k , k Z )
cos
2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数。我们统称它们为三角函数。
思 考
α在第 一、三 象限时， tanα>0 α在第 二、四 象限时， tanα <0
y P
T
角α的 终边
角α的 终边 P
y
A（1,0）
O
M
x
MO
A（1,0） x
T 过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长 线相交于T点。 过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M。
正切函数运算
正切函数运算
正切函数是一种常见的三角函数，表示在直角三角形中，斜边与相邻直角边的比值。
正切函数的运算包括求正切值、求反正切值等。
求正切值：正切函数的计算公式为 tanθ = 对边/邻边，其中θ为所求角度。
例如，如果一个直角三角形中，相邻直角边长为3，对边长为4，则该角的正切值为 4/3 ≈ 1.33。
求反正切值：反正切函数的计算公式为 arctan(x)，表示正切值为x的角度。
通常使用计算器或数学表格求解。
正切函数的应用广泛，例如在物理、工程、金融等领域中常常用到。
同时，正切函数还与其他三角函数有很多关联，如正弦、余弦等。
- 1 -。
正切函数公式
正切函数公式 正切函数适⽤于坡度计算，它的公式有诱导公式，有n倍⾓公司。
下⾯是店铺给⼤家整理的正切函数公式，供⼤家参阅! 正切函数公式 诱导公式 tan(2kπ+α)=tan α tan(π/2-α)=cot α tan(π/2+α)=-cot α tan(π+α)=tan α tan(π-α)=-tan α 两⾓和差公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) tg(a+b+c)=tgα+tgb+tgc-tgatgbtgc/1-tgatgb-tgctgb-tgatgc n倍⾓公式 tan(na)=sinna/cosna=∑(-1)(^i-1)/2×C(i)(n)×cos^n-i sin^i/∑(-1)^i/2×C(i)(n)×sin^n-i cos^i 例 这⾥将为⼤家简单叙述⼀下tan的三⾓函数公式。
⽤锐⾓符号表⽰出来的两个⾓⾓度均为α。
则 tan α=1/3 的意思是 过C、D分别向y轴、x轴作垂线 (C、D为图中的反⽐例函数与⼀条⼀般直线函数的交点，也为两个α⾓⾮坐标轴的边上的点) 构成含α⾓的直⾓三⾓形后，较短直⾓边与较长直⾓边的⽐为 1/3。
万能公式 即⽤tga/2表⽰三⾓函数的 sina=(2tga/2)/(1+tg^2a/2) cosa=(1-tg^2a/2)/(1+tg^2a/2) tga=(2tga/2)/(1-tg^2a/2) cota=(1-tg^2a/2)/(2tga/2) seca=(1+tg^2a/2)/(2tga/2) csca=(1+tg^2a/2)/(2tga/2) tanA=sina/cosa=(bc/ab)*(ab/ac)=bc/ac(其中sina=bc/ab cosa=ac/ab) 正切函数定义 正切函数是⾓θ在任意直⾓三⾓形中，与θ相对应的对边与邻边的⽐值叫做正切。
高中正切函数
正切函数是三角函数的一种，英文是tangent，简写成tan。
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值叫做正切。
放在直角坐标系中，tan取某个角并返回直角三角形两个直角边的比值。
此比值是直角三角形中该角的对边长度与邻边长度之比，也可写作tg。
正切函数的定义域为所有实数，值域为所有实数除去奇数倍的π。
正切函数的公式表示为：tanx = sinx/cosx，这表示角x的正切值等于角x的正弦值除以角x的余弦值。
正切函数的性质包括：定义域为{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}，值域为实数集R，奇偶性为奇函数，单调性在区间(-π/2+k π, π/2+kπ),(k∈Z)上是增函数，周期性最小正周期π（可用T=π/|ω|来求）。
以上信息仅供参考，如有需要建议查阅数学书籍或咨询数学老师。
正切函数(tan)
正切函数(tan)全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正切函数是一种基本的三角函数，常用符号为tan，表示为y=tan(x)。
在数学中，正切函数是一个周期函数，定义域为全体实数，值域为实数。
正切函数在三角学和分析几何中有着重要的作用，在物理学、工程学等领域也被广泛地应用。
正切函数与正弦函数、余弦函数一样，是三角函数的基本函数之一。
正切函数的图像是一条以原点为中心，斜率为正的曲线，这条曲线在x轴的正方向上无限延伸。
正切函数的周期是π，即tan(x)在x=0，x=π，x=2π等处都有定义。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
正切函数的性质是其定义和计算的基础，其性质包括奇偶性、周期性、定义域、值域、单调性、导数等。
通过研究这些性质，我们可以更深入地理解正切函数的特点和规律。
正切函数的奇偶性是一个重要的性质。
正切函数是一个奇函数，即满足tan(-x)=-tan(x)。
这个性质可以通过正切函数的图像来理解：正切函数关于原点对称，即y=tan(-x)的图像与y=tan(x)的图像关于y 轴对称。
正切函数的周期性是另一个重要的性质。
正切函数的周期是π，即tan(x)=tan(x+π)，这说明正切函数的图像在每隔π的区间内呈现出相同的模式。
正切函数的周期性可以帮助我们研究和分析正切函数的行为。
正切函数的定义域是全体实数，但在一些特殊的点上正切函数是没有定义的，这些点称为正切函数的奇点。
正切函数在x=π/2，x=3π/2等处有奇点，因为在这些点上正切函数的值变为无穷大。
在计算中，我们需要注意这些奇点，避免出现无法解释的结果。
正切函数的值域是实数。
正切函数在整个定义域上都有定义，可以取任意实数的值。
正切函数的图像可以在y轴的正方向上无限延伸，因此正切函数的值域是实数。
正切函数的单调性是一个重要的性质。
正切函数在定义域的每个周期内都是单调递增或单调递减的。
这个性质可以通过对正切函数的导数进行分析来证明。
三角函数正切与余切的定义
三角函数正切与余切的定义三角函数是数学中非常重要的一类函数，其中正切函数和余切函数在解决三角形相关问题以及在物理、工程等领域中有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将探讨正切和余切函数的定义及其性质。
一、正切函数的定义正切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的正切值。
设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则正切函数tanA定义为tanA=y/x。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则tanθ可以表示为对边与邻边的比值，即tanθ=opposite/adjacent。
二、余切函数的定义余切函数是指以单位圆上的一点为端点所得到的射线与x轴的余切值。
同样设角A为一个锐角，点P(x,y)为单位圆上的一点，其中点P与x轴的夹角为A。
则余切函数cotA定义为cotA=x/y。
在直角三角形中，角A的角度为θ，则cotθ可以表示为邻边与对边的比值，即cotθ=adjacent/opposite。
三、正切和余切函数的性质1. 定义域和值域正切函数和余切函数的定义域为所有实数，除了使分母为零的点，因为在这些点上，函数无定义。
正切函数的值域为所有实数，而余切函数的值域也是所有实数。
正切函数和余切函数的值可以是正无穷、负无穷或任意实数。
2. 周期性正切函数和余切函数均具有周期性。
正切函数的周期为π，即tan(θ+π)=tanθ。
余切函数的周期也为π，即cot(θ+π)=cotθ。
3. 奇偶性正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ，而余切函数是奇函数，即cot(-θ)=-cotθ。
这意味着对于正切函数和余切函数，如果角度取负，函数值的符号会改变。
4. 关系式正切函数和余切函数之间存在着一种关系，即tanθ=1/cotθ，cotθ=1/tanθ。
这可以通过函数定义推导得出。
5. 图像特点当角度增大时，正切函数和余切函数都会体现出图像上升或下降的趋势。
正切函数的图像曲线在每个周期内交替地上升和下降，且在θ=π/2的点上有一个正无穷的间断点。
正切函数的定义域
正切函数的定义域
正切函数是一个三角函数，定义为对于任意实数x，tan(x)=sin(x)/cos(x)。
正切函数的定义域是所有不在余切函数的零点上的实数，即：
x≠(k+1/2)π，其中k是任意整数。
因为在这些点上，余切函数的值为零，正切函数的分母为零，所以正切函数在这些点上没有定义。
其余的实数都是正切函数的定义域。
因为余切函数的周期为π，所以正切函数也具有相同的周期，即：tan(x+kπ)=tan(x)，其中k是任意整数。
注意：在计算机程序中，计算正切函数时应该注意避免除以零的情况，因为当x接近于π/2或-π/2时，cos(x)的值会趋近于零，会导致除以零的错误。
1/ 1。
正切函数的特征和实际意义
正切函数的特征和实际意义正切函数是数学中的一种基本三角函数，其特征和实际意义在数学和物理问题中都有重要的应用。
本文将探讨正切函数的特征以及其在实际中的意义。
一、正切函数的特征正切函数的特征主要表现在以下几个方面：1. 定义域和值域：正切函数的定义域为所有实数除以π的倍数（nπ，其中n为整数），值域为整个实数集。
也就是说，正切函数可以取任意实数值。
2. 周期性：正切函数以π为一个周期，即tan(x + π) = tan(x)。
在一个周期内，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。
3. 对称性：正切函数关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。
这意味着正切函数的图像关于原点对称。
4. 奇函数性质：正切函数是一个奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。
这意味着正切函数的图像关于原点对称且关于y轴对称。
二、正切函数的实际意义正切函数在实际中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 几何应用：正切函数可以用于解决几何问题，特别是在三角形和圆形问题中。
例如，通过正切函数可以计算三角形的边长和角度等相关信息。
2. 物理应用：正切函数在物理学中有广泛应用。
例如，在力学中，正切函数可以解决斜面上物体的运动问题，帮助计算物体的位移、速度和加速度等相关参数。
此外，在波动学和电路中，正切函数也有重要的应用。
3. 信号处理：正切函数在信号处理中有重要的应用，特别是在调制和解调过程中。
通过正切函数，可以将模拟信号转换为数字信号，或者将数字信号转换为模拟信号。
4. 经济学和金融学：在经济学和金融学中，正切函数可以用于解决复杂的经济和金融问题。
例如，在计算投资回报率和利息问题时，正切函数可以提供准确的结果。
5. 工程应用：工程学中的许多问题可以使用正切函数来解决。
例如，在建筑和土木工程中，正切函数可以用于计算斜坡的倾斜度和坡度，以及求解其他相关问题。
总结：正切函数作为数学中的基本三角函数，在解决几何、物理、信号处理、经济学和工程等实际问题中发挥着重要的作用。
高中数学知识点：正切函数的性质
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：正切函数的性质
1．定义域：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R
由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k π
π+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）
；当()2x k k z π
π>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
是函数tan ,y x x R =∈，且2x k π
π≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增 要点诠释：
正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．。
正切函数的性质与图象
正切函数的性质与图象知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tanx ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．知识点二正切函数图象的性质1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．题型一正切函数的定义域例1(1)函数y ＝tan(sin x )的定义域为，值域为．(2)求函数y ＝tan(2x －π4)的定义域．跟踪训练1求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．题型二求正切函数的单调区间例2求函数y ＝tan －12x跟踪训练2求函数y ＝tan x 题型三正切函数图象性质的应用例3(1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是()A ．πB ．2π C.π2D.π6(2)画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．跟踪训练3(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，π2)上的增函数的是()A ．y ＝tan x B ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝|sin x |例4当x ∈(－32π，32π)时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．1．下列说法正确的是()A ．正切函数在整个定义域内是增函数B ．正切函数在整个定义域内是减函数C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为()A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z32π为周期；③是奇函数的是()A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan x4．方程x ＝3在区间[0,2π)上的解的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．25．函数y ＝3tan 的对称中心的坐标是．一、选择题1．函数y ＝x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是()A ．(0,0)，D ．(π，0)2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为()A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．函数y ＝tan ()4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f 是()A ．0B ．1C ．－1 D.π45．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是()A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4，k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z )6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |()二、填空题7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝.9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈－π4，π4的值域为．10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，则ω的取值范围是．三、解答题11．判断函数f(x)＝lg tan x＋1tan x－1的奇偶性．12．求函数y＝tan(x2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心．13．(1)求函数y＝3tan(π4－2x)的单调区间；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．。
正切函数
正切编辑讨论19 上传视频同义词正切函数一般指正切本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
在Rt△ABC（直角三角形）中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是tanB=b/a，即tanB=AC/BC。
[1]中文名正切外文名tangent(简写tan，旧为tg)属于三角函数研究学科数学值域整个实数集定义域{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}周期kπ,k∈最大值无最小值无目录1 三角函数2 相关知识▪六种基本函数▪同角三角函数▪恒等变形公式▪倍角公式▪三倍角公式▪半角公式▪降幂公式▪万能公式▪积化和差公式▪和差化积公式▪其他3 正切函数图像的性质4 特殊角5 正切定理三角函数编辑三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
[1] 它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
三角函数示意图三角函数示意图在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与邻边的比值随之确定，这个比叫做角A的正切，记作tanA。
即：tanA=∠A的对边/∠A的邻边。
相关知识编辑六种基本函数函数名正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y正割函数secθ=r/x余割函数cscθ=r/y同角三角函数（1）平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)（2）积的关系：sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinαtanα=sinα*secα cotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscα cscα=secα*cotα（3）倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)倍角公式sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] [2]三倍角公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]。
§6.1 正切函数的定义
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一、初中正切的定义:
在RtABC中，C 90, A的对边 BC 则 tan A A的邻边 AC
B
二、正切函数的定义
A
C
在直角坐标系中，如果 满足： R，
图1
y
2
k (k Z ),的终边与单位圆交
P(a,b)
b b 于点P(a, b),唯一确定比值 , 把比值 a a 叫做的正切函数，记作 y tan , R，
2
练习：
１、sin 2 cos 3 tan 4 的值为（ ） Ａ、负数 Ｂ、正数 Ｃ、０ Ｄ、不存在 ２、若 sin 0且 tan ，则角 0 Ａ、第一象限 Ｂ、第二象限 Ｃ、第三象限 Ｄ、第四象限
A
是（
C）
1 （2）若是第三象限的角，则由 tan 知，的终边上必有一点 p(2,1) 2
2 2 r OP （ 2） （ 1 ） 5
y 1 5 x 2 2 5 sin , cos r 5 r 5 5 5
例2、若的终边落在直线 y 2x上，且x 0, 求sin 、 cos、 tan的值。
o
M
ALeabharlann x2 k (k Z )
图2
正切函数定义的拓展
在的终边上任取一异于原 点的点 Q( x, y )，过Q作QB x轴于B, 易知 : y b tan x a
y
Q(x,y) P(a,b)
o
M
A(1,0)
B
x
正切函数于正弦、余弦函数的关系
图3
由于 sin b, cos a sin 所以 t an , ( R, k , k Z ) cos 2
正切函数(tan)
正切函数(tan)全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正切函数（tan）是一种三角函数，是数学中常见的一种函数。
它是以角度为自变量的函数，其定义域为一切实数，值域为一切实数。
正切函数可以表示为直角三角形中某个角的正切值，即对于一个角为θ的三角形，正切函数可以表示为tan(θ)。
正切函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决三角形相关问题时常常会用到。
在三角形中，我们可以利用正切函数来求解各种角度和边的关系，从而解决一些实际的问题。
正切函数的图像呈现出特定的周期性，其周期为π，即正切函数在每一个π的周期内会重复自身的图像。
正切函数的图像在定义域内有无数个奇点，即在一些特定的角度值上会出现正切函数的值为无穷大或负无穷大的情况。
正切函数的导数可以通过利用求导的方法来计算，其导数为sec^2(θ)，即正切函数的导数是其对应点的正割函数的平方。
这个性质在一些高等数学的问题中会有很多的应用。
正切函数与余切函数、正弦函数和余弦函数一起构成了三角函数的系统。
这些函数在数学中有着重要的作用，不仅在理论研究中起到关键作用，也在各个领域的应用中起到了不可或缺的作用。
在实际应用中，正切函数也经常出现。
比如在工程和物理学中，正切函数常用来表示力、速度、加速度等随时间变化的关系。
在信号处理和通信领域，正切函数常用来表示信号的变化规律。
正切函数在现代科学和技术中有着广泛的应用。
正切函数虽然在数学中有着重要的作用，但在初学者学习三角函数时常常会遇到一些困难。
因为正切函数的图像并不像正弦函数和余弦函数那样规则，而是在一些点上出现无穷大的情况。
初学者在学习正切函数时可能需要花费更多的时间和精力来理解其性质和应用。
在计算机科学中，正切函数也有着重要的作用。
在编程语言中，正切函数常常用来求解各种数学问题，比如在图形学中用来计算两点之间的夹角，或者在控制系统中用来表示输出信号的变化规律。
对于计算机科学专业的学生来说，了解正切函数的性质和应用也是很重要的。
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BC 图7-1-2E H 图7-1-3正切函数1. 学习目标认识锐角的正切的概念。
2、会利用计算器求一个锐角的正切。
3、了解正切值随锐角的增大而增大。
4、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，初步学会利用计算器进行计算的方法。
教学重点：锐角的正切的概念教学难点：锐角的正切的概念，感受数形结合的数学思想方法 知识要点(1)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作(2)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作典例剖析例1 如图（1），∠A=30°，∠C=90°，根据三角函数定义求出30°的正切、余切值．BC（1） （2） 3）例2. 如图，∠A=15°，∠C=90°，求出15°正切、余切值 ．3、如图7-1-2，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，试求tan ∠BCD 的值。
4、如图7-1-3，△ABC 中，AE ⊥BC 于E ，D 是AC 边上的一点，DH ⊥BC 于H ，BD 交AE 于F 。
已知DH ：BD=3：4，求∠BFE 的正切值。
分析 求tan ∠BFE ，在△BFE 任何一边长都不知的情况下，很是困难。
而题设DH ：BD=3：4，在Rt △BDH 中，求∠BDH 的正切值却轻而易举。
而不难知道∠BFE=∠BDH ，D C BA C(第11题)(第12题)随堂演练1.设Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的正切值：(1)a =3,b =4； (2)a =6 ,c =10.2.在直角三角形ABC 中，∠C =90°，a =9, b =12,则tan B ·cot B= .3. tan1°•tan2°•…•tan87°•tan88°•tan89°.4.如图，∠A=75°，∠C=90°，求出75°正切、余切值．5.3tan （α＋10°）=17中，斜边的中线AD=6，AC=43，求∠BAD 的正切值。
延伸与拓展8．已知平行四边形ABCD 中，AB=BD=CD ，且DB ⊥AB ，求tan ∠CAB 、tan ∠DAC 的值. 才9．Rt △ABC 中，∠C=90°，3BC ，则tanA= tanB= . 10．等腰三角形的底边为10cm ，周长为36cm ，则其底角的正切值是 。
11．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4：5，E 是AB 上的一点，沿CE 将△EBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF= 。
12．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，D 为AC 上一点，且△BCD 与△BDA 的面积之比为1：3，试求∠CDB 的正切值。
B图7-2-1 图7-2-2 第七章 锐角三角函数（2）正弦余弦(1)学习目标1、认识锐角的正弦、余弦的概念2、会用计算器求一个锐角的正弦、余弦3、了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大。
余弦值随锐角的增大而减少4、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，初步学会利用计算器进行计算的方法。
教学重点：锐角的正弦、余弦的概念教学难点：锐角的正弦、余弦的概念，感受数形结合的数学思想方法典型例题例1 使用计算器，求下列正弦值或余弦值(精确到0.0001)。
⑴sin38°16'； ⑵sin38°16'41''； ⑶cos20°8'； ⑷cos78°43'16''。
例2、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，且5a =，12b =，16c =，下面四个式中错误的有( )。
①sin 516A =；②cos 34A =；③tan 512A =；④sin 34B =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 例3 如图7-2-1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，a ：b =2：3，求sinA ：sinB 的值。
例4、如图7-2-2，在Rt △ABC 中 ，∠ACB=90°，BC=6，CD ⊥AB 于D ，AC=8。
试求：⑴sinA 的值； ⑵cos ∠ACD 的值； ⑶CD 的长。
随堂演练1、sin15°21'12''= ； ⑷cos78°15'24'' . 2．如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（3,4），则sin α= ，cos α .3．如图△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则BC ：AC=( )A ．3：4B ．4：3C ．3：5D ．4：5 4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则cosB=( )A ．45B ．35C ．43D ．34(第2题) (第6题) 图7-2-4 5．一辆汽车沿倾斜角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度是( )A ．500sin αB ．500sin αC ．500cos αD ．500cos α6．已知△ABC 中，∠C=Rt ∠，AC=m ，∠BAC=α。
(如图) 求△ABC 的面积。
(用α的三角函数及m 表示) 7．“曙光中学”有一块三角形状的花圃ABC ，现可直接测量到 ∠A=30°，AC=40m ，BC=25m 。
请你求出这块花圃的面积。
8．在Rt △ABC 中，∠C= 90，AB=26，sinB=135，D 上BC 上一点，BD=21AC ，求出tan ∠DAC 的值。
9．已知sin α=53,求cos α、tan α的值。
10、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C的对边，且c =x 的方程()()2230b x a x b ++-=有两个相等的实数根，又方程()2210sin x A x -5sin 0A +=的两实数根的平方和为6，求△ABC 的面积。
第七章 锐角三角函数（3）正弦余弦(2)教学目的1、进一步认识锐角的正弦、余弦的概念2、会用计算器求一个锐角的正弦、余弦3、了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大。
余弦值随锐角的增大而减少4、经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，初步学会利用计算器进行计算的方法。
教学重点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
教学难点：利用正弦余弦的有关概念解决问题。
典型例题 例1、如图7-2-4，BC ⊥AD 于C ，DF ⊥AB 于F ，S △AFD :S △EFB =9，∠BAE=α，求sin α+cos α的值；分析 由已知易证Rt △AFD ∽Rt △EFB ，再根据S △AFD ：S △EFB =9，可得AF ：EF=3，AF=3EF ；由勾股定理可求出，从而容易求得sin α，cos α的值。
(第3题)图7-2-5 图7-2-6 (第3题)(第4题) (第7题)例2、如图7-2-5，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，且CD=3，AC=5，则cosB 等于( )A ．35B ．45C ．512D ．34例3、 如图7-2-6，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC=1，cosB=513，求这个菱形面积。
例4、已知αsin 1α-，再求该式当α=20°时的值。
随堂演练1．△ABC 中，∠C=90°，若tanA 12=，则sinA= 。
2．△ABC 中，∠C=90°，AC=513AB ，则sinA= ，tanB= 。
3．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米(结果用含α的三角函数表示)。
4．某校为扩大高中招生，正在施工增盖教学楼，一推土机沿北偏东54°方向的OP 工地线来回推土，它的噪声对位于O 点正东方向200m 处的一教室A 已造成污染，则当推土机在距O 点 m 处时，推土机的噪声对教室A 污染最大。
(精确到0.01)5．△ABC 中，∠C=90°，BC=2，AB=3，则下列结论正确的是( )。
A ．sin A =B ．2cos 3A =C ．2sin 3A =D ．tan A =6．1993年版人民币的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么它的边长是( )。
A ．Rsin20°B ．Rsin40°C ．2Rsin20°D ．2Rsin40°7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，sinA=25，D 为AC 上 一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB 的长。
8、已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2，AC=52， 则AB= ．图7-3-2图7-3-3图7-3-49、如图11，已知△ABC 的面积为3，且AB=AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EFA ．（1）求四边形CEFB 的面积；（2）试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若 15=∠BEC ，求AC 的长．7.3特殊角的锐角三角函数 教学目的知道30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会求一些简单的含有特殊角的三角函数表达式的值。
会根据特殊角的正弦、余弦值知道该锐角的大小。
经历操作观察思考求解等过程，感受数形结合的数学思想方法。
教学重点：利用的三角函数有关概念解决问题。
教学难点：利用三角函数的有关概念解决问题。
感受数形结合的数学思想方法例1 如图7-3-2，在Rt △ABC 中，∠C=90º，D 为BC 上一点，∠DAC=30º，BD=2，AB=求AC 的长。
分析 所求线段AC 与与已知边角不在同一直角三角形中，不能直接求得。
从结论出发：设AC=x ，则在Rt △ACD 中，可求得CD ，进而求得BC ，由222AC BC AB +=可得x 值。
例2 如图7-3-3，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点，已知∠BAC=60º，∠DAE=45º，点D 到地面的垂直距离DE=，求点B 到地面垂直距离BC 。
分析 梯子在移动过程中，长度没有发生变化，即AB=AD ，可先解Rt △ADE ，求得AD ，再解Rt △ABC ，求得BC 。