弹塑性力学第07章

载荷P与杆1的应变ε1= 相对应。 l 当结构弹塑性阶段结束时，ζ 2=ζ s 、 ε 2 =ε s ，杆2也开始进入塑性状态，相应的载荷 E1 为 2 Pep s A1 2 cos tan E （7-11） 可将Pep称为弹塑性极限载荷。
( s ) 0 不定 ( s )
在进行结构塑性极限分析时，则采用理想刚塑性模型。
（3）线性强化弹塑性模型
对于一般合金钢、铝合金等强 化材料，可以用两段折线近似 实际的拉伸曲线。如右图（c） 所示。应力达到屈服极限σs前， 应力应变呈线弹性关系，应力 超过σs则为线性强化关系，即
（5）塑性变形阶段的特性
①在塑性变形阶段，由于加载和卸载的规律不同，卸载后就必然 存在残余变形。弹性和塑性的本质差别在于卸载后是否存在不可 恢复的永久变形。 ②于加载和卸载规律的不同，引起塑性阶段应力与应变的多值关 系。在弹性阶段，已知应力就可唯一地确定相应的应变；而在塑 性阶段就不存在这种一一对应的关系。由图7-1可见，对应于应 力σ1的应变，可以是ε1和ε1′也可以是ε″1，它与加载历史过程有关。 但在某一瞬时，应力增量和应变增量之间的关系则是确定的。 ③因为塑性变形不可恢复，所以外力所作的塑性功不可
E s E1 s
( s ) ( s )
式中E1为强化阶段直线斜率，当E1=0时即为理想弹塑性模型。
（4）线性强化刚塑性模型
略去线性强化弹塑性模型中的线 弹性部分，即在应力达到σs前材料 为刚性的，应力超过σs后应力应变 关系呈线性强化。如右图（d）所 示，即
式中E′=E[1－ω（ε）]为A点的割线 模量。
（3）普拉格公式
普拉格曲线模型，即
该公式的图线如又右图所示。 它没有尖锐的屈服点，从弹 性区逐渐地过渡到塑性区。 曲线开始时有斜率E，弯过 来以后渐渐地趋近于应力 ζ s，且变形在弹性量级时 应力就很快到达ζ s。
E s th s

注：在实际解决问题中，究竟采用哪种模型或经验公式， 要由所使用的材料和所研究的变形范围来确定。
§7-3 三杆桁架弹塑性平衡分析


1. 线性强化弹塑性材料 （1）弹性阶段 （2）弹塑性阶段 （3）塑性阶段 2. 采用其它材料简化模型的三杆桁架 （1）线性强化刚塑性材料 （2）理想弹塑性材料 （3）理想刚塑性材料 3. 三杆桁架卸载后的残余应力和残余 应变
3. 包辛格效应
（1）拉伸与压缩试验结果的比较 对于一般金属材料，在小变形阶段，拉伸 与 压缩的试验曲线基本重合，一般在应变量不超过1%时可以认为两者一致。 但在大变形阶段则有显著差别。由于一般压缩曲线略高于拉伸曲线，因此 对于同种金属材料，在变形不大的情况下，用拉伸试验代替压缩试验进行 塑性分析是偏于安全的。但是，对于拉伸与压缩曲线有明显差别的材料如 铸铁、混凝土等，则需另作专门研究。 （2）包辛格效应 如图7-4所示，具有强化性质的材料受拉伸且拉应力超过屈服极限（图中A 点）后，材料进入强化阶限（AD段）。若在B点卸载，再受拉伸时，拉伸 屈服极限由没有塑形变形时的A点的值提高到B点的值。若在卸载后反向加 载，则压缩屈服极限的绝对值由没有塑形变形时的A′点的值降低到B′点 的值。图中OACC’线是对应更大塑性变形的加载——卸载——反向加载 路径，其中与C和C′点对应的值分别为新的拉伸屈服极限和压缩屈服极限 。 这一现象为包辛格（Bauschinger）所发现，称为包辛格效应。它使具有 强化性质的材料由于塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，
同时在反方向上降低，材 料具有了各向异性性质。 在求解问题时，为了简化 常忽略这一效应，但有反 方向塑性变形的问题须考 虑包辛格效应。
4. 材料性质的基本假设
（1）材料是均匀、连续的，在初始屈服前为 各向同性。 （2）各向均匀应力状态不影响材料的塑性变 形而只产生弹性的体积变化。 （3）材料的弹性性质不受塑性变形的影响。 （4）不考虑时间因素对材料性质的影响。
幂强化弹塑性模型如右图 所示，即 ζ =Aε n 式中：n为强化系数，是 介于0和1之间的正数 当n=0时，代表理想塑性 体的模型；当n=1时，则 为理想弹性体模型。
另外，幂强化曲线与多数工程材料的实际性能相接近，并且便 于应用，适用于应变较大的问题。
（2）割线模量公式
如右图所示：曲线将开始阶 段的直线部分延长，使其与 过点A的垂直线相交于C， 则A点的应力为 ζ=εtanαCA E CA 线段取决于ε，且随ε的增大 而增长。设与ε的函数关系 已由试验求得为 CA E ( ) 式中ω(ε)由材料的性质确定。 A点的应力可写为 E E E[1 ] E
E s
( s ) ( s )
当材料σ－ε曲线有一较长的水平屈服阶段，即材料的强化效应 不明显时，可采用理想弹塑性模型。
（2）理想刚塑性模型
当弹性变形比塑性变形小的 多时，略去理想弹塑性模型 的线弹性部分，在应力达到 屈服极限σs前材料为刚性的， 而应力达到σs后材料为理想 塑性的。如右涂（b）所示， 即
0 1 E s 1
( s ) ( s )
注：以上仅就拉伸应力状态进行了讨论，其关系同样适用于压
缩应力状态。
2. 其他应力应变关系简化模型
（1）幂强化弹塑性模型 （2）割线模量公式 （3）普拉格模型
（1）幂强化弹塑性模型
（2）弹塑性阶段
当P>Pe ，但σ1>σs、σ2≤σs时，杆1进入塑性 状态而杆2仍处于弹性状态，称为结构的弹塑性阶 段。设此时 ，由几何方程（b）式 得 。杆1和杆2分别采用应力应变关系 （c）式的第二和第一式，得其应力值。代入平衡 方程（a）式，得此时的相应载荷为
E P A( 2 E cos3 E1 ) 1 1 1 s l E
通过材料力学试验，我 们已经得到了具有代表 性的低碳钢拉伸时的应 力-应变曲线，如图7-1 所示。它反映了常温、 静载下，材料应力-应 变关系的全貌，显示了 材料固有的力学性能 。 下面介绍单向拉伸的几 个塑性概念：
（1）屈服极限
应力-应变曲线上A点对应的应力值称为材料 的弹性极限。若应力小于弹性极限，则加载 和卸载的应力-应变曲线相同（OA）段；若 应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有 明显的转折，并出现一个水平线段（AF）， 常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。 在AF段应力不变的情况下可以继续变形，通 常称为塑性流动。
逆。设材料从某一应力ζo对应的do点开始加载，按线 性规律达到d点，如图7-3所示。这时如给出应力增量dζ， 它将引起一个新的塑性应变增量dεp，在此变形过程中 应变能有了增量。若从f点卸载，应力又降为ζo。
这时弹性应变 消失，弹性应 变能得到释放， 而塑性应变被 残留下来，相 应的塑性应变 能（图中阴影 部分）被消耗 了。这种不能 重行释放的塑 性应变能也称 作耗散能，与 此相应的功称 塑性功，它被 耗散而不可 逆。 。
2. 静水压力试验
在各向均匀高压的条件下，对金属材料进行了大量试验研究，主要结论 为 （1）静水压力对材料屈服极限的影响 在静水压力不大的条件下（例如五倍屈服应力），它对多数致密金属材 料屈服极限的影响可以忽略。但对于像铸造金属、矿物、岩石及土壤等 材料，静水压力影响比较大，不能忽略。 （2）关于体积变化 试验表明：弹簧钢在10000个大气压下体积缩小约2.2%，而且这种体积变 化时可以恢复的。对于一般金属材料，可以认为变化基本上是弹性的， 除去静水压力后体积变形可以全部恢复，没有残余体积变形。因此可以 忽略弹性的体积 变化，而认为材料在塑性状态时的体积是不可压缩的， 即体积不变仅改变形状。 另外，变形速度、应力作用时间的长短以及温度等因素对应力-应变曲线 都有影响，但对金属材料在通常的变形速度及室温条件下影响不大，可 以不予考虑。
第七章 基本塑性性质
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 响 基本实验资料 材料应力-应变关系的简化模型 三杆桁架的弹塑性平衡分析 加载路径对塑性变形和极限载荷的影
§7-1基本实验资料
1. 单向拉伸试验 2.静水压力试验 3.鲍辛格效应 4.材料性质的基本假设
1.单向拉伸试验
三杆桁架如图7-9所示。假设桁架结构 和荷载左右对称，且各杆横截面积均为 A,在D点受竖直荷载P.
图7-9 对称三杆桁架
1. 线性强化弹塑性材料
设ζ 1和ζ 2分别表示杆件的 应力应变关系： 应力，δ 1 和δ 2 分别表示1 杆和2杆的伸长，ε 1 和ε 2 E s E1 s 分别表示其应变。 平衡方程： Aζ 1+2Aζ 2cosθ =P （a） 几何方程： δ 2=δ 1cosθ （b）
（3）后继屈服
若在B′卸载至D′，则再加载时，B′点的应力成 为新的屈服极限，它高于初始屈服极限σs。 这一现象称为后继屈服。和初始屈服点不同， 后继屈服点在应力-应变曲线上的位置不是固 定的，而是取决于塑性变形过程即塑性变形 的大小和历史。
（4）条件屈服极限的确定
一般金属材料根据其塑性变形性能的不同可分为两类： 一类金属材料如低碳钢、铸钢、某些合金钢等，应力应变曲线如图7-1所示。它们的屈服阶段较长，有的材 料在该阶段的应变量为1%。 另一类金属材料则没有明显的屈服阶段，如中碳钢、某 些高强度合金钢以及某些有色金属等，它们的应力-应 变曲线如图7-2所示。对于这种屈服极限不明显的材料， 工程上将对应于残余应变为0.2%的应力值定义为条件 屈服极限σ0.2 ，也称为名义屈服极限；或者将拉伸曲线 中割线模量为0.7E处的应力定义为条件屈服极限。后一 种定义方法比测定残余应变更简单，对于一般钢材前后 两种方法确定的名义屈服极限近似相等。
（2）加载和卸载规律