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初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
八年级数学竞赛知识点总结
八年级数学竞赛知识点总结在八年级数学竞赛中，不同的学校和地区可能有所不同，但是总体上，以下知识点是比较关键的：一、代数1、化简代数式。
要求熟练掌握分配律、结合律、交换律、移项等基本法则，能够简化复杂的代数式。
2、解方程。
可以解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等各种类型的方程。
3、解不等式。
可以解一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等各种类型的不等式。
4、函数概念。
掌握函数的定义、函数的图像、函数的性质等基本概念，能够画出简单的函数图像。
5、函数的应用。
熟练掌握函数的应用，如最值、极值、零点、增减性等，能够利用函数解决实际问题。
二、几何1、几何基础知识。
熟悉直线、线段、射线、角度、三角形、四边形等几何基本概念，以及各种角度性质、三角形面积公式等。
2、相似形和全等形。
掌握相似形和全等形的定义及判定方法，能够利用相似形和全等形解决实际问题。
3、勾股定理。
掌握勾股定理的概念及利用方法。
4、平面向量。
了解向量的定义、加法、数乘、模长等基本概念，能够运用平面向量解决几何问题。
5、三角函数。
熟悉正弦、余弦、正切等三角函数的定义及性质，能够利用三角函数解决实际问题。
三、概率1、概率基础知识。
掌握概率基本概念、概率公式及概率计算方法，能够计算基本事件和复合事件的概率。
2、事件的独立性。
了解事件的独立性定义及判定方法，能够利用事件的独立性求解复合事件的概率。
3、期望值和方差。
掌握期望值和方差的概念及计算方法，能够运用期望值和方差解决实际问题。
以上是八年级数学竞赛的重点知识点总结。
在备战数学竞赛的过程中，我们应该在这些知识点上加大研究和练习，不断提升自己的综合素质，争取在竞赛中获得好成绩。
初中数学竞赛辅导
初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a －2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解：∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵－1－m=m∴所求的两个整数是1和m 或者－1和－m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有： ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解：本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N ＝2×3×5那么N ＋2,N ＋3,N ＋4,N ＋5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N ＋2, N ＋3,N ＋4,……N ＋n+1就是所求的合数.丙练习31， 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2， 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P ＝＿＿,Q ＝＿＿3， 己知两个素数的差是41,那么它们分别是＿＿＿＿＿4， 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是＿＿＿如果两个整数的积等于73,那么它们是＿＿＿＿如果两个质数的积等于15,则它们是＿＿＿＿＿5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311＋513的最小质数是＿＿8,己知两个质数A 和B 适合等式A ＋B ＝99,AB ＝M.求M 及B A ＋AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数：① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是＿＿＿13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是＿＿.。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳数学竞赛是通过解决数学问题来提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
为此，初中数学竞赛中常出现一些定理和相关的知识点，掌握这些定理和知识点对于竞赛题目的解答起着至关重要的作用。
接下来，我将对初中数学竞赛中常出现的一些定理和知识点进行归纳总结。
一、方程和函数1.一元一次方程的性质和解法：整数的正负、绝对值、乘法分配律等。
2.一元二次方程的基本概念和解法：判别式、解的个数和求解方法。
3.二元一次方程组及其解法：代入法、消元法等。
4.实际问题的数学建模和解法：将实际问题转化为方程或方程组，并求解。
二、几何1.线段、角和相交线的性质：端点、中点、角、垂直、平行等性质。
2.平面图形的性质：正方形、长方形、菱形、平行四边形、圆等的性质和计算。
3.三角形的性质和面积计算：三条边的关系、重心、垂心、外心、内切圆、外接圆等。
4.相似三角形的性质和计算：比例关系、角度对应相等等性质。
5.圆的性质和计算：圆周率、弦长、弧长、面积等的计算。
三、函数1.一次函数和二次函数的性质和图像：函数的定义域、值域、递增递减性、奇偶性等。
2.函数的复合运算和反函数：函数的复合、反函数的定义与性质。
3.二次函数的最值和二次函数方程的求解：二次函数的最值、二次函数方程的图像与解的关系。
四、概率与统计1.概率的基本概念和计算：事件、样本空间、可能性等的计算。
2.排列和组合的计算：阶乘、排列、组合的计算和应用。
3.统计图表的分析与应用：条形图、折线图、饼图的分析和应用。
4.基本统计量的计算：平均数、中位数、众数、方差等的计算。
五、数列与通项公式1.等差数列和等比数列的基本概念和计算：前n项和、通项公式等的计算。
2.斐波那契数列和变形问题：斐波那契数列的计算和变形问题的解决方法。
六、函数方程1.定义域和值域：给定函数的定义域和值域的计算。
2.函数关系式的推导：已知函数关系式，推导出其他函数关系式。
3.函数方程的解法：给出函数方程，求解函数的表达式。
初中数学竞赛题选知识点梳理
初中数学竞赛题选知识点梳理数学竞赛是中学生们展示数学才能的舞台，也是检验数学基础和解题能力的重要考验。
在参加数学竞赛前，对一些常见的知识点进行梳理和总结，可以帮助同学们更好地应对竞赛题目。
本文将就初中数学竞赛中常见的知识点进行梳理，并举例说明。
一、整数1. 整数的性质：正整数、负整数、绝对值、相反数、零等。
例如，如果一个题目中涉及到判断两个整数的大小，我们可以根据正整数大于零、负整数小于零、相反数的关系来判断。
2. 整数的加法和减法运算：在竞赛中，整数的加法和减法是最基础且常见的题型。
熟练掌握整数的加减法规则是解题的基础。
例如：（1）计算：(-3) + 5 = ?（2）计算：9 - (-4) = ?3. 整数的乘法和除法运算：整数的乘法和除法也是常见的竞赛题型。
简化表达式、掌握整数的乘法和除法规则是解题的要点。
例如：（1）计算：(-2) × 3 = ?（2）计算：(-16) ÷ (-4) = ?二、代数与方程式1. 代数表达式：熟悉代数表达式的定义和基本操作，能够将问题转化为代数符号表示的形式。
例如，将一个题目给出的条件用字母表示，然后列出方程式解决。
2. 一元一次方程：能够解一元一次方程，包括加减乘除四则运算。
例如：（1）解方程：x + 3 = 9（2）解方程：3x - 5 = 73. 一元二次方程：掌握求解一元二次方程的基本方法，包括二次项系数为1和非1的情况。
例如：（1）解方程：x^2 - 4x = 0（2）解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0三、平面几何1. 直角三角形：了解直角三角形的性质，包括勾股定理和三角函数的应用。
例如：（1）给出一个直角三角形的两个已知边，计算未知边的长度。
（2）给出一个直角三角形的一个已知边和一个已知角度，计算其他边的长度。
2. 三角形的面积：了解三角形面积的计算方法，包括海伦公式和正弦定理的应用。
例如：（1）计算给定三角形的面积。
（2）根据给定的两个边和夹角，计算三角形的面积。
初中数学竞赛知识点整理
初中数学竞赛知识点整理数学竞赛是一项旨在培养学生数学思维和解决问题能力的活动。
初中数学竞赛注重学生对基础知识的掌握和灵活运用，同时也考察学生的逻辑思维和推理能力。
下面将整理一些常见的初中数学竞赛知识点，希望能帮助同学们有效备战竞赛。
一、代数与方程1. 一元一次方程与一次不等式：掌握解方程的基本方法，如加减消元、配方法等，并能解决带有实际问题背景的方程与不等式。
2. 二元一次方程组：理解二元一次方程组解的概念与表示方法，能够利用加减消元、代入法等解决二元一次方程组问题。
3. 等差数列与等比数列：掌握求等差数列与等比数列的通项公式及其应用，如求特定项的值、求和等。
4. 平方根与立方根：了解平方根和立方根的概念，能够利用开方运算解决相关数学问题。
二、几何1. 平面几何基本概念：掌握平面内的点、线、面等基本概念，包括平行线、垂直线、相交等。
2. 角与三角形：了解角和三角形的基本概念，如内、外角、等腰三角形、直角三角形等。
3. 平行四边形和梯形：理解平行四边形和梯形的特征与性质，能够运用对应关系解题。
4. 圆的性质：掌握圆与弧、圆心角、切线等的基本概念，能够根据性质解决相关问题。
三、概率与统计1. 概率基本概念：了解事件、样本空间、概率等基本概念，能够根据概率计算相关问题。
2. 抽样与统计：掌握抽样的方法与统计的基本概念，如平均数、中位数、众数等，能够分析统计数据并解决问题。
3. 列表、树状图与图表的应用：能够根据给定的信息绘制图表，并从中读取相关数据。
四、数与图像1. 数的分类与性质：了解自然数、整数、有理数、无理数等的概念，能够运用数的性质解决问题。
2. 图形的变换：掌握平移、旋转、对称等图形变换的基本概念与性质，能够应用变换解决几何问题。
3. 坐标系与图像：了解直角坐标系的构建与应用，能够根据坐标系绘制和分析简单的图形。
五、函数与图像1. 函数的概念：了解函数的定义与概念，包括函数的自变量、函数值等。
数学竞赛知识点资料
数学竞赛知识点资料初中数学联赛竞赛知识点1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线互相平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来;基本思路：①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少;③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因;④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。
初中数学竞赛计算知识点归纳1，C ;2，m=1，n=6 或 m=3，n=2 或 m=6，n=1;3，a=17,4,a=12,x1=1,x2=-2,x3=-28,或a=39，x1=-1,x2=-565,就是第四题的变形。
a=12,或 39过程：1，因为这些数据成对出现，且每一对都是互为倒数，所以只要求出x=2007和x=1/2007的值，就可以知道结果了。
你去求吧。
2，二次函数与横轴的两个交点间的距离等于根号下(b^2-4ac)再除以a的绝对值。
因此有：根号下[(3-mt)^2+12mt]≥(2t+n)的绝对值化简后有：(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2≥0也就是有：y=(m^2-4)t^2+(6m-4n)t+9-n^2的图象与横轴最多只有一个交点，即有判别式小于或等于0，则得：(mn-6)^2小于或等于0，即mn=6余下的你可做了。
初中数学竞赛知识点整理
初中数学竞赛知识点整理初中数学竞赛是培养学生数学思维能力和解题能力的重要途径之一。
为了在竞赛中取得好成绩，学生们必须掌握并熟练运用一些关键的数学知识点。
下面，我将为大家整理一些常见的初中数学竞赛知识点，帮助大家更好的备战比赛。
一、代数与方程1. 等式的性质与运算：包括等式的基本性质、等式的加减乘除运算、消元法等。
2. 一元一次方程与方程的应用：包括一元一次方程的基本概念、解一元一次方程的方法、方程在实际问题中的应用等。
3. 整式与分式的乘法：包括整式乘以整式、整式乘以分式、分式乘以分式等运算。
4. 分式方程与不等式：包括分式方程的基本概念、解分式方程的方法、分式不等式的基本性质及解法等。
二、几何与图形1. 平面几何基础知识：包括平行线与相交线、三角形的特殊定理与性质、相似三角形及其应用等。
2. 长方体与正方体：包括长方体与正方体的基本概念、表面积与体积的计算等。
3. 圆与圆的性质：包括圆的基本概念、圆的面积与周长计算等。
4. 空间几何基础知识：包括空间图形的基本概念、球的表面积与体积的计算等。
三、概率与统计1. 概率基础知识：包括随机事件与样本空间、概率的计算方法等。
2. 排列与组合：包括排列的基本概念、排列与组合的计算公式等。
3. 统计与数据分析：包括数据的收集与整理、频率分布表与统计图、平均数与中位数的计算等。
四、函数1. 函数的基本概念与性质：包括函数的定义域与值域、函数的图像与性质等。
2. 一次函数与二次函数：包括一次函数与二次函数的基本概念、图像、性质等。
3. 函数的应用：包括函数在实际问题中的应用，如函数模型求解问题等。
五、立体几何1. 立体几何基本概念：包括多面体的基本概念、正多面体的特性等。
2. 空间坐标系与空间向量：包括空间坐标系的建立及利用、空间向量的运算、空间平面的方程等。
3. 空间几何基本定理：包括空间图形的投影、直线与平面的位置关系等。
以上仅列举了一些常见的初中数学竞赛知识点，希望对大家备战数学竞赛有所帮助。
初中数学竞赛知识点归纳(定理)
1.中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中竞赛需要，重要2.托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC初中竞赛需要，重要3.梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1初中竞赛需要，重要4.梅涅劳斯定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要5.梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。
不用掌握6.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线不用掌握7.、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.初中竞赛需要，重要8.塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M不用掌握9.塞瓦定理的逆定理：(略)初中竞赛需要，重要10.塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点这个定理用塞瓦定理来证明将毫无几何美感，应该用中位线证明才漂亮11.塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。
不用掌握12.西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，(这条直线叫西摩松线)初中竞赛的常用定理13.西摩松定理的逆定理：(略)初中竞赛的常用定理14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角15.圆的外切四边形的两组对边的和相等16.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角17.推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等18.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等19.推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项20.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项21.推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等斯特瓦特定理有三角形ABC，D为角A平分线与BC边的交点，则有以下定理：AB（2）·DC ＋AC（2）·BD－AD（2）·BC=BC·BD·DC托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳一、数的性质和运算1.自然数、整数、有理数和实数的定义和性质。
2.常见数的性质和规律，如奇数、偶数、质数、因数、倍数等。
3.整除与除尽的概念，最大公约数和最小公倍数的求解方法。
4.分数的四则运算，分数的化简和比较大小。
5.百分数和比例的概念，百分数和比例的运算，百分数和比例的应用。
6.分数方程和分数不等式的解法。
7.数轴和有理数的位置关系。
二、代数ic1.一元一次方程和一元一次不等式的解法，应用题的解题方法。
2.二元一次方程组和二元一次不等式组的解法，应用题的解题方法。
3.平方根的性质，开方和近似计算方法。
4.倍数关系和变量之间的关系。
三、图形的性质和运动1.点、线、面的定义和性质。
2.角的概念，角的分类和性质，角的度量和计算方法。
3.直线和角的关系，同位角、对顶角、平行线之间的性质。
4.三角形的分类和性质，三角形的内角和外角的关系。
5.直角三角形、等腰三角形和等边三角形的性质，三角形的不等式。
6.多边形的性质和特性，正多边形的性质。
7.圆的性质和公式，面积和周长的计算方法。
8.平移、旋转、镜像的概念和性质，平面图形的运动。
四、函数与方程1.函数的概念和性质，函数的表示方法。
2.一次函数和二次函数的性质和图像特点。
3.平方和差公式，一次函数和二次函数的解析式和解的个数。
4.线段的中点坐标和坐标轴上的点的坐标。
5.一元一次方程和一次函数的关系，一元二次方程和二次函数的关系。
6.一元一次方程组和一次函数的关系，一元二次方程组和二次函数的关系。
五、几何证明1.相似三角形的判定和性质。
2.相似三角形的性质和比例关系。
3.勾股定理的应用，勾股定理的证明。
4.数列的性质和特征，数列的求和公式，数列的前n项和。
5.排列和组合的概念和性质，排列和组合的计算公式。
6.计算器的使用和综合运用。
综上所述，初中数学竞赛中的知识点和定理非常广泛，需要学生全面掌握，灵活应用。
在备考过程中，要注重理论和实际应用的结合，注重基础知识的掌握和巩固，注重解题方法和思维能力的培养，才能在竞赛中取得好成绩。
初中数学竞赛题解析知识点梳理
初中数学竞赛题解析知识点梳理数学竞赛作为学生学习数学的一种形式，对学生的数学能力和解决问题的能力提出了更高的要求。
解析竞赛题目并梳理题目中出现的知识点，对于学生深入理解数学知识，提高解题能力非常重要。
本文将通过分析数学竞赛题目，梳理其中的知识点，帮助学生更好地准备竞赛。
一、整数运算整数运算是数学竞赛中经常出现的题型，主要涉及加减乘除、取模、整除等运算。
学生在解决整数运算题目时，需要掌握整数的性质和运算规则。
例如，掌握两个整数相加减和相乘除的规则、了解整数取模的定义和性质。
二、分数运算分数运算是数学竞赛题目中常见的一类题型，主要涉及加减乘除、化简、比较大小等操作。
学生在解决分数运算题目时，需要熟练掌握分数的四则运算法则和分数化简的方法。
另外，比较大小涉及到分数的通分，学生需要了解通分的概念和方法。
三、代数式简化代数式简化题目是数学竞赛中的重点和难点之一。
学生在解决代数式简化题目时，需要运用代数的基本操作规则，如合并同类项、展开式和因式分解等。
同时，需要掌握一些特殊的代数式简化方法，例如平方差公式和差平方公式等。
四、方程与不等式方程与不等式是数学竞赛中较为常见的题型，主要包括一元一次方程、一元一次不等式和一元二次方程等。
学生在解决方程与不等式题目时，需要掌握解方程和解不等式的基本方法，例如移项、合并同类项、消元等。
此外，还需要了解方程与不等式的解集表示方法和判断条件。
五、几何问题几何问题是数学竞赛中的一大类题型，主要包括平面几何和空间几何两个方面。
在解决几何问题时，学生需要理解和运用几何形状的性质和定理，例如角的性质、线段的性质、三角形的性质等。
此外，还需要掌握计算几何的基本方法，如相似三角形的性质和比例关系。
六、概率与统计概率与统计是数学竞赛中的重点内容之一，其中概率包括随机事件、概率计算和统计等概念。
学生需要理解随机事件的定义和基本性质，了解概率的计算方法，掌握统计的基本概念和方法，例如抽样调查、频数和频率等。
初中数学竞赛辅导资料
初中数学竞赛专题选讲识图一、内容提要1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。
点是组成几何图形的基本元素。
《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。
因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。
线是由无数多点组成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。
面是由无数多线组成的，“线动成面”。
4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。
还要注意一般图形和特殊图形的差别。
二、例题例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？E解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。
丁图中共有等边三角形48个：边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10顶点在下▼的个数有 1＋2＝3边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1以上要注意数一数的规律例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
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第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。
一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。
2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。
（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。
问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。
4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。
初中数学竞赛辅导讲义全
初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初一数学竞赛知识点全集
第一讲 和绝对值有关的问题一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数二、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例4．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容.2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1 两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2 因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3 整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4 整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5 通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6 公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7 在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
初中数学竞赛知识点
1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕-?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中竞赛知识点总结
初中竞赛知识点总结一、数学竞赛知识点总结数学竞赛是一项对学生数学基础知识和解题能力的考验。
主要包括数学常识、基本技能、解题能力、数学思维等方面的考察。
下面我们来总结一下初中数学竞赛的重要知识点。
1.数与代数1)数的性质及运算法则例如：相反数、倒数、乘方、乘法分配律、加法交换律、结合律等。
2)整数的性质及大小比较例如：绝对值、大小比较、整数的加减法、乘除法等。
3)分数的性质及运算法则例如：分数的大小比较、四则运算、分数的化简等。
4)方程的解及应用例如：一元一次方程、一元二次方程等。
5)式的展开与因式分解例如：整式的展开、因式分解等。
2.几何与空间1)图形的性质和计算例如：三角形的性质、四边形的性质、圆的性质等。
2)几何变换例如：平移、旋转、对称等。
3)空间图形的计算例如：长方体、正方体、圆柱、球体等的计算。
3.函数与方程1)函数概念及性质例如：函数的解析式、函数的图像、奇偶性、单调性等。
2)一次函数与二次函数例如：一次函数的性质、二次函数的性质、函数的图像等。
4.数据与统计1)数据的图表表示例如：柱状图、线性图、饼状图等。
2)数据的分析及概率例如：频率、概率、样本调查、基本统计量等。
5.数学思维1)问题解决思路例如：问题的分析、解题的方法、问题的拓展等。
2)证明方法例如：数学归纳法、反证法、推理法等。
二、物理竞赛知识点总结物理竞赛考察学生对物理知识的理解和应用能力。
主要内容包括力学、热学、光学、电磁学等方面的知识。
下面我们来总结一下初中物理竞赛的重要知识点。
1.力学1)质点的运动例如：匀速直线运动、变速直线运动、曲线运动等。
2)牛顿运动定律例如：牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律等。
3)物体的平衡例如：受力平衡、力的合成、力的分解等。
4)功与能量例如：功的计算、机械能守恒等。
2.热学1)热量的传递例如：热传导、对流、辐射等。
2)热量的计算例如：热量的传递、热量的计算等。
3)状态变化例如：固液气相变化、热力学定律等。
初中数学竞赛知识点总结
初中数学竞赛知识点总结一、整数1. 整数的概念整数包括正整数、负整数和0。
整数的绝对值表示这个整数到0的距离。
2. 整数的加减法同号两个整数相加或相减，与它们的绝对值的和或差的符号相同；异号两个整数相加或相减，用绝对值相减，结果的符号取绝对值较大的数的符号。
3. 整数的乘法同号两个整数相乘，其积为正；异号两个整数相乘，其积为负。
4. 整数的除法两个不为0的整数相除，商为0时，除数与被除数的符号相同；商不为0时，商的符号与除数与被除数的符号相反。
5. 整数的乘方整数a的n次幂，即a的n次方，是指n个a的乘积。
其中，a是底数，n是指数。
a的0次方等于1。
6. 整数的除法两个整数相除，可以转换为乘法。
例如，a ÷ b = a × (1/b)。
其中，a为被除数，b为除数，1/b为倒数。
7. 整数的分数形式若a和b是整数且b≠0，则数a/b称为有理数。
8. 整数的倍数若b是a的整数倍，则b是a的倍数，a是b的约数。
9. 整数的绝对值整数a的绝对值，记作|a|，是a到0的距离。
如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
10. 整数的比大小当两个整数比大小时，可以比较它们的绝对值，绝对值较大的数比较大；若两个数的绝对值相等，则比较它们的正负。
11. 整数的应用整数在实际生活中有着广泛的应用，例如温度的正负、方向的左右等。
整数的应用能够帮助我们更好地理解和解决问题。
二、有理数1. 有理数的概念既包括整数，也包括分数的数为有理数。
2. 有理数的加减法有理数的加减法规则与整数的加减法规则相同。
3. 有理数的乘法有理数的乘法规则与整数的乘法规则相同。
4. 有理数的除法有理数的除法规则与整数的除法规则相同。
5. 有理数的乘方有理数的乘方规则与整数的乘方规则相同。
6. 有理数的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决问题。
三、分数1. 分数的概念分数是用整数除法表示的数，由分子和分母组成。
初中数学竞赛知识点归纳
初中数学竞赛知识点归纳一、数的整除（一）如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A 被B整除.0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、倍数.约数1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B 整除例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除。
三、质数.合数1正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
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初中数学竞赛辅导资料第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除。
如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）第二讲倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。
例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数。
2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。
0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。
如0是7的倍数，7是0的约数。
3、整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……。
4、整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A。
例如6的约数是±1，±2，±3，±6。
5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。
6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。
7、在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数。
若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除。
例如23＝3×7＋2，则23－2能被3整除。
第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类：1⎧⎪⎨⎪⎩质数合数质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。
合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。
2、根椐质数定义可知①质数只有1和本身两个正约数。
②质数中只有一个偶数2。
如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。
3、任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
第四讲零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
1、零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。
2、零是判定正、负数的界限。
若a＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0⇔b是负数c≥0⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3、在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4、在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|x|≤0，当x＝0时，－|x|值最大，是0（∵x≠0时都是负数）。
2(2)x--≤0，当x＝2时，2(2)x--的值最大，是0。
（二）零具有独特的运算性质1、乘方：零的正整数次幂都是零。
2、除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3、乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，反过来，如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式GP=0成立,必须且只需G=0或P=0。
4、加法：互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a 、b 互为相反数 a+b=05、减法：两个数a 和b 的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b ；若a-b ＞0,则a ＞b ；若a-b ＜0,则a ＜b 。
反过来也成立，当a=b 时，a-b=0；当a>b 时,a-b>0；当a<b 时,a-b<0.（三）在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下：1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605第五讲a n 的个位数一、内容提要1.整数a 的正整数次幂a n ,它的个位数字与a 的末位数的n 次幂的个位数字相同。
例如20PP 3与23的个位数字都是8。
2.0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。
例如57的个位数是5，620的个位数是6。
3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：24k+1与21，24k ＋2与22，24k ＋3与23，24k ＋4与24的个位数是相同的（K 是正整数）。
3和7也有类似的性质。
4.4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。
5.综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a 4k ＋m 与a m 的个位数相同(k,m 都是正整数)。
第六讲数学符号一、内容提要数学符号是表达数学语言的特殊文字。
每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。
数学符号一般可分为：1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△表示圆和三角形等。
2、关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。
3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。
4、逻辑符号：略5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除以b 的商的整数部分记作Z （b a ），而它的余数记作R （ba ），那么Z （310）＝3，R （310）＝1；又如设[]x 表示不大于G 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，⎥⎦⎤⎢⎣⎡32＝0，[]3-＝－3。
正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。
在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。
第七讲用字母表示数内容提要和例题1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。
2、用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。
例如①写出数a 的倒数 ②用字母表示一切偶数解：①当a ≠0时， a 的倒数是a1 ②设n 为整数， 2n 可表示所有偶数。
3、命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。
例题① 化简：⑴｜G －3｜（G<3）⑵|G+5|解：⑴∵G<3,∴G －3<0，∴｜G －3｜＝－（G －3）＝－G ＋3⑵当G ≥－5时，｜G ＋5｜＝G ＋5，当G<－5时，｜G ＋5｜＝－G －5（本题G 表示所有学过的数）例② 已知十位上的数是a,个位数是b,试写出这个两位数解：这个两位数是10a+b(本题字母a 、b 的取值是默认题设有意义,即a 表示1到9的整数，b 表示0到9的整数)4、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式时，一般左边作为题设，所用的字母是使左边代数式有意义的，所以只对变形到右边所增加的字母的取值加以说明。
例如用字母表示：①分数的基本性质 ②分数除法法则 解：①分数的基本性质是am bm a b =(m ≠0)，ma mb a b ÷÷=(m ≠0) a 作为左边的分母不另说明a ≠0； ②dc a b cd a b ⨯=÷(d ≠0)d 在左边是分子到了右边变分母，故另加说明。
5、用字母等式表示运算定律、性质、法则、公式，不仅可从左到右顺用，还可从右到左逆用；公式可以变形，变形时字母取值范围有变化时应加说明。
例如： 乘法分配律，顺用a(b+c)=ab+ac,=⨯-)178********(8121724172-=1712逆用5a+5b=5(a+b),6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14路程S=速度V ×时间T ，V=T S (T ≠0)，T=VS (V ≠0) 6、用因果关系表示的性质、法则，一般不能逆用。
例如：加法的符号法则如果a>0，b>0，那么a+b>0，不可逆绝对值性质如果a>0,那么|a|=a ，也不可逆(若|a|=a 则a ≥0)7、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。
例1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？解：不同的五位数可从最大五位数99999减去最小五位数10000前的所有正整数，即99999-9999=90000.推广到n 位正整数，则要观察其规律一位正整数,从1到9共9个，记作9×1二位正整数从10到99共90个，记作9×10三位正整数从100到999共900个，记作9×102四位正整数从1000到9999共9000个，记作9×103(指数3=4-1)…………∴n 位正整数共9×10n-1个例2在线段AB 上加了3个点C 、D 、E 后，图中共有几条线段？加n点呢？解：以A 为一端的线段有：AC 、AD 、AE 、AB 共4条以C 为一端的线段有：(除CA 外)CD 、CE 、CB 共3条以D 为一端的线段有：(除DC 、DA 外)DE 、DB 共2条以E 为一端的线段有：(除ED 、EC 、EA 外)EB 共1条共有线段1+2+3+4=10(条)注意：3个点时，是从1加到4，因此如果是n 个点，则共有线段1+2+3+……+n+1=11(1)2n n +++=(1)(2)2n n ++条 第八讲抽屉原则一、内容提要1、4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。
2、如果用m n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示不小于m n 的最小整数，例如73⎧⎫⎨⎬⎩⎭＝3，623⎧⎫=⎨⎬⎩⎭。