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目录
摘要(中文) (3)
摘要(外文) (4)
绪言 (5)
1递推关系的起源 (6)
2递推关系的研究 (7)
3 递推关系的应用 (8)
结论 (9)
参考文献 (11)
谢辞 (11)
递推关系的研究与应用
摘要：作为数学的一种重要思想——递推思想体现了世界上许多事物现象变化所遵循的一种前因和后果的关系，因此具有广泛的应用。

该论文围绕着递推关系及递推思想在组合、概率、几何、矩阵这些数学分支及信息学上的应用展开讨论。

关键词：递推关系递推思想应用
（外文题目）
Abstract: Along with the function that the development of modern logistics at our country, square logistics of the third is to more and more were is thoughtful .From 9 period of 10-year on behalf empresses . last century up to now, logistics is with the square logistics of the third have been our country economic hot issue in the realm, research square logistics of the third to also it may be said pile up one after another.Sorry is, some researches be limited by to introduction square logistics concept of the third, but aim at the logistics the profession, logistics the business enterprise deep into study to return far not enough . This text is the research of the present condition and solution method of the square logistics business enterprise of the third of right our country.In the present condition that the cultural heritage look backed right first our square logistics business enterprise of the third of part, article to proceeds the overviewed, later on to square business enterprise of relevant the third of domestic large quantity of environment market research, particularly is the research proceeds forer the review that completelied; immediately after, the article point out,
this research will according to the reason that current cause the square logistics business enterprise of the third the development the slowness bring upped the perfect our country the path and method of the modern logistics system.
KeyWords:Logistics；3PLs；Present condition；Development mode
绪言
在纷繁变幻的世界，所有事物都随时间的流逝发生着微妙的变化。

而许多现象的变化是有规律可循的，这种规律往往呈现出前因和后果的关系。

即是说，某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。

而递推关系的思想正体现了这一规律。

递推关系不仅在众多数学分支如组合、概率、几何、矩阵中起着重要作用，也在其它诸如信息学等科学领域中显示出独特魅力。

因此学好递推关系不仅可以提高我们的数学素养，更对今后进行学术问题的推广研究起着举足轻重的作用。

本文将围绕着递推关系的广泛应用及其体现出的递推思想展开论述。

首先让我们明确什么是递推关系。

1. 递推关系的起源
1.１对递推关系的描述
一般来说，当我们分析一个具体数列的前几项，并得出此数列的递归关系后，我们要对此递推关系进行描述。

对递推关系进行描述有两种工具，分别是使用自然语言进行描述和使用等式（equality)进行描述。

在前面我们已经使用了自然语言对与数列1，1，2，3，5，7，...相对应的递推关系进行了描述，下面我们使用等式来描述与数列1，1，2，3，5，7，...相对应的递推关系。

在使用等式描述递推关系之前，我首先引入一些符号或符号串，我使用符号串"f(n)"表示数列1，1，2，3，5，7，...的第n项的值，使用符号"="表示此符号两端的表达式的值是相等的，使用符号“+”表示加法运算。

在引入这些符号之后，我就可以使用这些符号对此数列的递推关系进行描述，描述完成后，我们得到一个等式，如下：f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>=3。

当我们使用等式的形式把某数列的递推关系表示出来后，就得到一个等式，这个等式就称之为递归式。

使用自然语言对递推关系进行描述，我们得到的是一个陈述句；使用等式对递推关系进行描述，我们得到的是一个递归式。

1.2递推关系的定义
当我们面对一个数列时，其实我们所面对的仅仅是此数列的前几项而已；例如当我们面对数列1，1，2，3，5，7，...时,我们所看到的仅仅是这个数列的前六项而已。

我们通过观察这个数列的前六项，发现一个和此数列相关的规律；这个规律使用自然语言（也就是汉语）描述如下：此数列的每一项的值等于其之前两项的值相
加，其中第一项和第二项除外。

当我们面对一个数列时，通过观察这个数列的前几项，得出一个规律，通过此规律我们可以写出此数列中任意位置上的元素的值；在这里我们所发现的这个规律就被称之为递推关系。

本质上来说，递归关系所描述的是数列中某一项的值与其之前的某一项的值或某些项的值之间的关系
1.3求解递推式的意义
当我们使用等式来描述递推关系，我们所得到的是一个递归式，当我们得到一个递归式后，我们下一步要做的事情是求解此递归式。

下面我首先要澄清一些思想。

当我们看到“求解递归式”这个动词词组时，我们中可能有些人会想到“求解方程”这个动词词组。

为了使得大家的思路清晰，不至于把“求解递归式”和“求解方程”相混淆，我进行如下陈述。

x+1=2是一个方程，这是大家都非常熟悉的，对这个方程求解意味着寻找一个值，使得使用此值来代替方程x+1=2中的x后，方程x+1=2变成一个恒等式。

这个方程的解是一个值。

而求解递归式，并不是去寻找一个值，而是去寻找一个函数。

还是以递归式f(n)=f(n-1)+f(n-2)，n>=3为例，我们对此递归式求解，并不是去寻找一个值，而是去寻找一个以n为自变量的函数，使得当输入为n时，此函数的值是数列1,1,2,3,5,7,...中第n个元素的值。

2 . 递推关系的研究
2.1 求解递推关系的建立
递推关系终不过存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系。

如果能弄清楚这三个方面的问题，相信我们对递推关系的认识又会推进一步。

在这里赵忠论述三大基本问题之一的如何建立递推关系。

建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面几项的关系式，以及初始项的值。

它不是一种抽象的概念，是需要针对某一具体题目或一类题目而言的。

在下文中，我将对五种典型的递推关系的建立作比较深入具体的讨论。

五种典型的递推关系
2.11 Fibonacci数列
在所有的递推关系中，Fibonacci数列应该是最为大家熟悉的。

在最基础的程序设计语言Logo、语言中，就有很对这类的题目。

而在较为复杂的Basic、Pascal、c 语言中，Fibonacci数列类的题目因为解法相对的容易一些，逐渐退出了舞台。

可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值，恰恰相反，一些此类的题目还是能给我
们一定的启发的。

Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁殖问题”（又称“Fibonacci问题”）。

问题的提出：有雌雄一对兔子，假定过两个月便可以繁殖雌雄各一的一对小兔子。

问过n个月后共有多少对兔子？
解：设x个月共有兔子Fx对，其中当月新生的兔子数目为Nx对。

第x-1个月留下的兔子数目设为Ox对。

则： Fx=Nx+Ox
而 Ox=Fx-1，
Nx=Ox-1=Fx-2（即第x-2个月的所有兔子到第x个月都有繁殖能力了）
所以 Fx=Fx-1+Fx-2边界条件： F0=0。

F1=1
由上面的递推关系可依次得到
F2=F1+F0=1， F3=F2+F1=2， F4=F3+F2=3, F5=F4+F3=5,….
3 .递推关系的应用
递推关系是组合数学中的一个重要解题方法，因此在组合数学中其应用犹为广泛。

许多著名问题用递推法来解显得精巧简捷。

如著名的杨辉三角(又称Pascal 三角)就是根据组合公式画出来的。

很显然组合公式、杨辉三角都属于递推关系的范围。

此外很多组合计数问题可建立递推关系来解决，往往显得较为简单。

现在我们来看看递推关系在线性排列中的应用。

3.1 递推关系在组合数学中的应用
递推关系是组合数学中的一个重要解题方法，因此在组合数学中其应用犹为广泛。

3.11递推关系在组合数学中的应用举例
3.2 递推关系在概率论中的应用
在概率方面利用递推关系可以解决一类基本事件个数较大的概率问题。

3.21 递推关系在概率论中的应用举例
3.3 递推关系在几何中的应用
在几何方面，可以用递推关系解决一些与自然数有关的问题。

3.31 递推关系在几何中的应用举例
3.4 递推关系在高等代数中的应用
在行列式方面，某些n阶行列式只用初等变换难以解决，但如果采用递推关系则显得较为容易。

3.41递推关系在高等代数中的应用举例
3.5 递推关系在计算机领域的应用
递推关系在计算机领域有着广泛的应用，具体讨论它在信息学竞赛中的应用
3.51递推关系在计算机领域的应用举例
结论
我国第三方物流企业总体看来具有蓬勃的生命力，但是也具有不少缺陷与不足。

要发展我国的第三方物流业，当务之急必须加强以下三个方面的建设：一是加强基础设施建设：交通状况落后是制约物流发展的一大因素，各地必须加大对道路、港口、场站等的建设改造，形成合理的综合运输体系；二是增加物流设备和物流技术的科技含量：现代物流是一项资金密集，技术密集产业，特别是现代电子信息技术、通讯技术、GPS、ITS等已逐渐成为现代物流必要的技术手段，对于物流企业来说对以前老旧的物流设施必须进行改造，发展新型高科技物流设备，以提高物流效率，适应现代物流的需求；三是加强对物流技术人才和管理人才的培养：物流在我国起步较晚，物流人才极度欠缺，必须通过培训及考察等手段，培育一批具有专业物流知识的人才；四是转化经营观念、提高服务水平：现代物流要求第三方物流企业已不仅仅是客户物流业务的承包人，而是要求其服务延伸到客户的经营活动中去，与客户形成利益同享，风险共担的伙伴关系，第三方物流必须改变传统的经营理念、管理方法，扩展服务范围，提高服务质量，才能提高市场竞争力，实现企业的发展壮大。

还必须强调的是政府部门在我国物流市场形成中的作用，政府发挥它的组织、协调、规划的职能，着力于建立公平、开放、有序的市场环境，为企业发展第三方物流业创造良好的外部条件；同时通过一些政策性法规，扶植综合性第三方物流企业的发展，例如政府在征地、税收等方面给予综合性第三方物流企业一些优惠政策。

政府在物流市场初期形成的引导作用，可以克服市场自发的无序性，防止一哄而上，盲目建设。

预计中国加入WTO后，中国将迎来外商投资的第二个高潮，外贸进出口会有较大幅度增长。

物流业相应地将成为外商投资的热点行业，更多的外资物流企业进入中国，外资物流企业的进入给国内物流企业带来了巨大的挑战和竞争压力，但同时也为国内物流企业提供了学习、借鉴其先进物流管理技术、经营经验的可能，将促进我国现代物流体系将加速形成与发展
参考文献
[1]刘玉峰.组合数学及其在计算机中的应用机械工业出版社 1998.12
[2]杨骅飞王朝瑞. 组合数学及应用北京理工大学出版社 1992.08
[3]卢开澄卢华明. 组合数学（第三版）清华大学出版社 2002.07
谢辞
经过长时间的精心准备终于完成了这篇论文，在此期间特别要感谢我的指导老师。

他对工作的细心与认真在我实习与写论文期间完全体现出来，让我感受到毕业论文的重要性，因而我才能以更加严谨负责的态度去完成这篇论文。

还要感谢学校图书馆的工作人员们，他们在帮助我们查找书籍资料上给予了莫大的支持，使我们更加顺利地进行论文撰写,在此感谢所有帮助过我的人们。