数值分析,考博必考课程,研一考试复习专用3-3

T
于 是 H x y.
8
( 5) x R n , x 0 , 存 在 n 阶 反 射 矩 阵 H, 使得 y e1 H x
2
(3.3.3)
其 中| | x , e1 是 R n 的 第 一 个 单 位 坐 标 向 . 量
实际上 ,由性质 (4), 直接取 x , y e1 即可.
( k 1 ) ak 1, k 1

( k 1 ) an ,k
( k 1 ) a1 n ( k 1 ) a2 n ( k 1) a k 1, n ( k 1 ) ak ,n ( k 1 ) an ,n
2
2
这 里, 为 向 量 的 内 积 , 2 a1 , a2 ,, an 得 到
,. 由 上 式 依 次 解 出
a b r 1 1 1 a 2 (a 2 , r1 ) r1 b2 r2 a 3 (a 3 , r1 ) r1 (a 3 , r2 ) r2 b3 r3 a n (a n , r1 ) r1 (a n , r2 ) r2 (a n , rn1 ) rn 1 bn rn
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证 前面的讨论已给出了 A 的 QR 分 解 的 存 在 性 , 下面证其惟一性 .
设 非 奇 异 阵A有 两 种QR 分 解, 即 A Q1 R1 Q2 R2 则 R1 和 R2 都 是 非 奇 异 上 三 角 矩 阵 . 由 假 设, R1 和 R2 的 对 角线元素均为正 , 于是
T Q2 Q1 R2 R11 D .
此处 D 既是正交矩阵又是上角 三 矩 阵. 于 是
1 D T D 1 R1 R2 .
表 明 DT 也 是 上 三 角 矩 阵 , 从而D 是对角矩阵 . 注 意 到D 还是正交矩阵 , 故 D 2 DT D I .
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但 R1 与 R2 的 对 角 元 均 为 正 数 , 故 D的对角线元素亦均 大于零 , 因 而 有D I , 从 而 R2 R1 且 Q2 Q1 . 分解的惟一性得证 .
2
(3.3.2)
2
证 设 显然 w
H I 2 w w , 其 中w ( x y ) ( x y ) ,
2
1, 并 且 ( x y )T x ( x y)
T 2 2 T 2 2
Hx x2
( x y ).
x
2
y ,
2
2( x y ) x 2 x x 2 y x ( x y )
5 ,0)T ,
b2 a 2 (a 2 , r1 ) r1 ( 3 5 , 6 5 ,1)T , r2 b2 b2 ( 3 70 , 6 70 , 5 70 )T
5
b3 a 3 (a 3 , r1 ) r1 (a 3 , r2 ) r2 ( 2 7 , 4 7 , 6 7 )T , r3 b3 b3 (1 14 , 1 14 , 3 14 )T .
而矩阵Ak Pk Ak 1 的前k 列对角线以下的元素外 皆为零 .
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因 此, 经 过 n 1 步 运 算 后 , 我 们 可 以 得 到 一 个 上角 三 矩 阵 An1 , 记 为 R An1 Pn1 Pn 2 P1 A. 又令 P Pn1 Pn 2 P1 , QR 分 解, 即 其 中, A QR ( 3.3.9) ( 3.3.10) ( 3.3.11)
( k 1 ) a12 ( k 1 ) a 22

( k 1 ) a1 , k 1 ( k 1 ) a2 , k 1
( k 1 ) a1 k ( k 1 ) a2 k

0 0

( k 1 ) ak 1, k ( k 1 ) ak ,k
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基本Q R 方法
六十年代出现的 Q R算 法 是 目 前 计 算 一 般 小 中 型 矩 阵 的 全 部 特 征 值特 与征 向 量 的 最 有 效 的法 方. 这 里 仅 讨 论 实 矩 阵 ，假 并定 矩 阵 非 奇 异 . 因为否则， 矩 阵 A I ( 不 是 A 的 特 征 值 )必定是非奇异的， 而 由 A I 的 特 征 值 与 特 征 向 量 易 容 得 到A 的 特 征 值与特征向量 .
4
例
用 S ch m i t 正交化方法对矩阵 进 行 QR 分 解
2 1 0 A 1 2 1 0 1 2
解 令
a1 ( 2,1,0)T a 2 ( 1,2,1)T a 3 (0,1,2)T
r1 a1 a1 (2
5 ,1
1
设
A a1 , a 2 , , a n r1 b1


b1
令
2
b1 a1 ,
,
b2 a2 (a2 , r1 ) r1 ,
r2 b2
b2
2
b3 a 3 (a 3 , r1 ) r1 (a 3 , r2 ) r2 ,
r3 b3
b3
2
bn a n (a n , r1 ) r1 (a n , r2 ) r2 (a n , rn 1 ) rn 1 , rn bn bn
因 为 任 一 非 奇 异 实 矩都 阵可 以 分 解 成 一 个 正矩 交 阵 Q 和一个上三角形矩阵 R的乘积，而且当 R的对角 元 符 号 取 定 时 ， 分 解唯 是一 的 . 基 本 Q R方 法 的 基 本 思想是利用矩阵的 Q R分 解 ， 通 过 迭 代 格 式
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Ak Qk Rk ( k 1,2, ) Ak 1 Rk Qk 将 A A1 化 成 相 似 的 三 角 阵 （ 分 或 块 上 三 角 阵,） 从而求出矩阵 A的 全 部 特 征 值 与 特 征 量 向.
3.2 Q R方法
目 前, 为 了 求 一 般 矩 阵 的 全 特 部征 值 和 特 征 向 量 ,最有效的 方 法 是QR 方 法, 该 法 由J.G.F.Fran ce 于 1961年 首 先 提 出 , 是 以 矩 阵 的 正 交 三 角解 分为 基 础 的 一 种 矩 阵换 变方 法 .
任一非奇异实矩阵都以 可分解成一个正交矩阵 Q 和一 个上三角矩阵 R的乘积 , 而 且 当R 的 对 角 元 符 号 取 定 时 , 分解是唯一的 . 基 本 的QR 分 解 方 法 的 主 要 运 算 对 是矩 阵 作 QR 分 解, 分 解 的 方 法 有 多 种 , 下 面 以S ch m i t 正交 化方法为例说明 .
HT H
H H HH ( I 2 w w )( I 2 w w )
T
T
T
I 4w w 4w ( w w )w I
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T
T
T
(3) H 2 I ,
detH -1
2
( 4) x , y R n , x y 且 x H, 使得 y Hx
T
y , 存 在n 阶 反 射 矩 阵
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3.3.2 矩阵的QR 分解
现在讨论将矩阵 A R nn 逐步用正交变换化为上 三 角矩阵的基本方法 .
首 先, 令 A0 (a 1 , a 2 , , a n ), 则 由 定 理3.3.1 知, 存 在 一 反 射 矩 阵P1 R nn , 使 得 P1 a 1 m1 e1 ,
则 P R nn 仍 为 正 交 矩 阵 , 取 Q P T , 则 有 矩 阵A 的 R 为上三角矩阵 , Q 为正交矩阵 .
定 理 3.3.2 设 A R nn , 则 存 在 正 交 矩 阵 Q 和上三角矩 阵 R, 使 得 A QR 并 且 在A 为 非 奇 异 阵 , R 的对角元均大于零的件 条 下, 分解是惟一的 .
3
记
Q r1 , r2 , , rn (a 2 , r1 )


b 1 R 则有
(a n , r1 ) b2 (a 3 , r2 ) (a n , r2 ) b3 (a n , r3 ) (a n , rn 1 ) bn A QR (a 3 , r1 )
于是, 设 A1 P1 A0 则 A1 的第一列除对角线元素 外皆为零 .
一般地 , 若 Ak 1的前k 1列对角线以下的元素外 皆为零 ,即
0 0 0 0
e1 (1,0, ,0) , m1 a 1
T
0
11
Ak 1
( k 1 ) a11 0 0 0 0
2 5 Q 1 5 0
3 6 5
70 70 70
1 1 3
14 14 14
5 4 5 R 70 5 A QR
1 5 16 70 2 14 7
6
3.3.1 Householde r 变换（ 反射变换 ）
2
这 里 e1 为 R n r 1 的 第 一 个 单 位 坐 标 向 . 量
I r 1 设 H O I r 1 则 Hx O O H O y y . z e1 H z 2 ( 3.3.4) ( 3.3.5)
2
定 理 3.3.1 x ( x1 , x 2 , , x n )T R n ,当 其 后 边 n r 1分量不全为零时 , 可经一次反射变换 将 其 后n r 个 分 量 化 为 零 , 且 第r 个 分 量 变为 ( | x j | 2 )1 / 2
jr n
则其余分量保持不变 .
定 义 3.3.1 设 w R n 且 w H I 2w w