全国重点名校高考数学难点突破：填空题小题训练

填空题 难题汇总
题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N ，若函数()21010f x x m x m =---+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．
题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011
1
1()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．
变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则1
1()n
i i i a b n =+∑的值是 ▲ ．
变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n =112233()()()()n n n a b a b a b a b +++⋅⋅+ ，则数列{c n }的通项公式是 ▲ ．
题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ， 且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ．
题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若
cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=
，则m = ▲ ．(用θ表示)
题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20e
x x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, ,
, , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．
A B
C O
E F
D 图1
π A
O C
B P l x
y
图3
题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐
标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B
AB C ⋅
= ▲ ．
题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20
(
,)3
+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．
题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ． 题
9(盐城市一模) 已知函数2
342011()
12342011
x x x x f x x =+-
+-+⋅⋅
⋅+，2342011
()12342011
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-
， 设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ．
题10(南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中线长为3，则该三角形的面积的最大值 是 ▲ ．
变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．
注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC =2BC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．
D A
B
C
x y 图5
题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin2αα
α
+= ▲ ．
题13(苏北四市二模) 已知函数
()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，
且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．
题14(南京市二模) 已知函数f (x )=211
1
x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒
成立，则a 的取值范围是 ▲ ．
变式 已知函数f (x )=211
1
x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ．
题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记 S n =2211
(1)1(1)2()(
)22
2n
n
n
k k k k n f g n n
==-π--π
-∑
∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ．
题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122m n m n +⋅+⋅的最小值为 ▲ ．
题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若
存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+
，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．
题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整
数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．
A x
y
O
y =kx
y =sin x α π 2π 图8
P
A μ λ-μ=1 λ+μ=1
μ-λ=1
A
C B x O y
A 1
B 1 图9
A
B
C
D O N
M 图12
题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MN
BN
取最小值时，CN = ▲ ．
题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．
变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．
题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=324
12x x x x
-++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．
题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．
注 1．一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |．若n 为奇数，则当x =12
n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈1
22
[,]n n a a +时，f (x )取最小值．
2．本题似于2011年北大自主招生题：“求|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|2011x -1|的最小值”相关联．。