人教版三角函数中的三角变换问题ppt完美课件
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《5.5.2简单的三角恒等变换(第一课时)》课件(人教版)
可以从两个不同的角度回答这个问题： 第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β， 而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发， 借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的情势； 第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积， 而右侧是加的情势，如果设计从左向右的变换过程，
22
新知探究
例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
22
新知探究
例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
三角函数图象变换ppt课件
3
7 12
5 6
x
（3）连线：
-3
（4）根据周期性将作出的简图左右 扩展。
函数 y=sinx
（1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
1 2
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
1 函数 y sin x 2 1. 列表： x
1 x 2
0
0 0
2π
3π
3 2
4
2π 0
2
2. 描点：
sin 1 x 2
1
1 2
0
-1
y 1
． y=sin x 2 ． ． O
y=sinx
3
4 ．
1
．
1 y=sin x 2
x
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 y=sinx 1 式变：x换成( x)。 2
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
1 原来的 倍，（纵坐标不变）
y=Sin( x+ ) 的图象
三角函数图象变 换
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y 2 sinx 的图象。 解：这两个函数的周期都为 2π，则先画出 [ 0, 2π] 上的简图。
1. 列表：
x
0
1 sin x 2 y 2. 描点、作图： 2
sinx 2sin x
0 0 0
1
2
0 0 0
3 2 1
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第1课时两角差的余弦公式)
5.5 三角恒等变换
第1课时 两角差的余弦公式
第五章 三角函数
考点
学习目标
理解两角差的余弦公式 两角差的余弦公式
的推导过程
两角差的余弦公式 能利用公式进行计算、化
的应用
简及求值
核心素养 逻辑推理 逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P215－P217，并思考以下问题： 1．两角差的余弦公式是什么？ 2．公式中的 α、β 是任意的吗？
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝__c_o_s__α_c_o_s _β_＋__s_in__α_s_in__β_____
简记符号 使用条件
C(α－β) α，β 为任意角
■名师点拨 (1)由 C(α－β)可知，只要知道 cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就 可以求得 cos(α－β)的值． (2)公式中的 α，β 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个 角的组合．
＝cos51π2cosπ6＋sin51π2sinπ6 ＝cos51π2－π6
＝cosπ4＝
2 2.
1 (3)2cos
105°＋
3 2 sin
105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝ 22.
第1课时 两角差的余弦公式
第五章 三角函数
考点
学习目标
理解两角差的余弦公式 两角差的余弦公式
的推导过程
两角差的余弦公式 能利用公式进行计算、化
的应用
简及求值
核心素养 逻辑推理 逻辑推理、 数学运算
问题导学 预习教材 P215－P217，并思考以下问题： 1．两角差的余弦公式是什么？ 2．公式中的 α、β 是任意的吗？
又 sin α＜sin β，所以 0＜α＜β＜π2，
所以－π2＜α－β＜0.故 α－β＝－π4. 答案：－π4
1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( )
3 A. 2
1＋ 3 C. 2
1 B.2
3－1 D. 2
解析：选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝__c_o_s__α_c_o_s _β_＋__s_in__α_s_in__β_____
简记符号 使用条件
C(α－β) α，β 为任意角
■名师点拨 (1)由 C(α－β)可知，只要知道 cos α，cos β，sin α，sin β 的值，就 可以求得 cos(α－β)的值． (2)公式中的 α，β 都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个 角的组合．
＝cos51π2cosπ6＋sin51π2sinπ6 ＝cos51π2－π6
＝cosπ4＝
2 2.
1 (3)2cos
105°＋
3 2 sin
105°
＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝ 22.
三角函数和三角恒等变换PPT讲稿
cos2 sin cos cos2 sin2 cos2 1.
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例题剖析
[点评] 应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数是应掌握的基本技能，
在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.
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知识要点 例题剖析
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知识要点
1. 2.
3. （1）设角α是一任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x tanx= ； （2）三角函数的符号：
y 由于sinα>0 y>0，故α的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时，sinα x 由于cosα>0 x>0，故α的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时，cosα
2
代入原式得
1 cos2 θ 2 cos2 θ 1 cos2 θ 5 cos2 θ
4
2
4
由sin2 θ cos2 θ 1得 tan2 θ 1 1 cos2 θ
1 cos2
θ
1 4
1
5 即cos2 4
θ
4 5
原式 5 4 1 45
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上一个把α“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名改变，符号看象限”； ③ 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°~90°角的三角函数值.
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例题剖析 [例1] 若角α是第三象限的角，则点P（sinα, tanα)位于第
象限.
[答案] 二
[解析] ∵α为第三象限角 ∴sinα＜0, tanα＞0 ∴p(sinα, tanα)位于第二象限
三角恒等变换-PPT教学课件人教A版高中数学
邢
启 强
3
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 1 2sin2
12sin2cos2
2sin21cos2
sin21cos2
2
sin 1cos2
讲
课 人 ： 邢
2
启 强
4
复习引入
3. 余弦函数的倍角公式变形:
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2cos2
2cos2 1 cos 2
2sinAB2cosAcosB
2
22
2cosC 22cosA 2cosB 24cosA 2cosB2cosC 2
16
巩固练习 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
教材P226练习第1、2、3题.
讲 课 人 ： 邢 启 强
人教版高中数学新教材必修第一册课 件：5.5 .2简单 的三角 恒等变 换 (2份打包)
C
BP
14
典型例题 人教版高中数学新教材必修第一册课件：5.5.2简单的三角恒等变换 (2份打包)
例4. 已知A+B+C=180°, 求证： sinA sinB sin C 4cosAcosBcosC 222
证明：因为A+B+C=180°, 所以
C=180°－(A+B),
C 90 AB
2
2
sinA+sinB+sinC 2sinA BcosA Bsin(A B )
例3.
如图，
记∠COP＝，求当角
取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个
最大面积.
3
O
Q
D
人教a版必修四第三章3.2简单的三角恒等变换(函数综合)(共18张PPT)
Q
设矩形ABCD的面积为S，则
D
C
S AB BC (cos 3 sin )sin
3
sin cos 3 sin2
O αA B P
3
1 sin 2 3 (1 cos 2 ) 1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
2
6
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3 1 sin(2 ) 3
于是OA 3 DA 3 BC 3 sin O α A
BP
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
一、例题分析
例3、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的
扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接形。
∠COP=α，求当α取何值时，矩形ABCD的面积最大？
并求出这个最大面积.
分析：考虑式子中是关于cosx和sinx的二次式，故可 考虑降幂升角，容易得
f ( x) sin 2x cos 2x 2
2 sin(2x ) 2
4
结合三角函数的图像和性质可求得结果
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
所以函数f ( x)的最小正周期是T
例2、已知a (5 3 cos x, cos x)，b (sin x, 2cos x)，
函数f
(x)
a
b
2
b
5sin(2x ) 7
62
(2)当 x 时，求函数f ( x)的值域。
6
2
解：(2)当 x 时， 2x ( , 7 )
函sin数(26f x( x)的6 )值2域(为12(,11,)1，7)故。6f
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
技巧
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
CATALOGUE
目录
三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
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目录
三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
高中数学课件_三角函数式的变换18页PPT
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学课件_三角函 数式的变换
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
高中数学课件_三角函 数式的变换
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
人教高中数学A必修一《三角恒等变换》三角函数PPT课件(第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式)
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1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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37
当堂达标 固双基
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38
1．思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
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39
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二 倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错 误．
错点)
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3
自主预习 探新知
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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
__1_－___ta_n_2_α__
4
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2.余弦的二倍角公式的变形
1－2sin2α 2cos2α－1
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19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)sin150°＋cos 530°.
16
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17
[解]
(1)cos
36°cos
72°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝
s4isnin14346°°＝14.
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当堂达标 固双基
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1．思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立．( ) (3)对于任意的角 α，cos 2α＝2cos α 都不成立．( )
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[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二 倍角的正切公式，要求 α≠π2＋kπ(k∈Z)且 α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此说法错 误．
错点)
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1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝ 2sin αcos α
C2α
cos 2α＝ cos2α－sin2α
tan 2α＝ 2tan α
T2α
__1_－___ta_n_2_α__
4
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2.余弦的二倍角公式的变形
1－2sin2α 2cos2α－1
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19
[解] (1)∵π2≤α＜32π，∴34π≤α＋π4＜74π.
∵cosα＋π4＞0，∴32π＜α＋π4＜74π，
∴sinα＋π4＝－ 1－cos2α＋π4＝－ 1－532＝－45，
人教高中数学A版必修一 《三角恒等变换》三角函数PPT(第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
第十三页，共三十五页。
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋
cos 45°·sin 60°＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4
解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
tan(α－β)＝
tan α－tan β __1_＋__ta_n__α_t_a_n_β____
简记符号 条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第五页，共三十五页。
■名师点拨 公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系． C(α＋β)←以－―β代→β C(α－β)←诱导―公→式 S(α－β)←以－―β代→β S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式 C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式 S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． (3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
2 .
第十四页，共三十五页。
(2)tan 165°＝tan(180°－15°)＝－tan 15°＝－tan(45°－
求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋
cos 45°·sin 60°＝ 22×12＋ 22× 23＝
6＋ 4
解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
tan(α－β)＝
tan α－tan β __1_＋__ta_n__α_t_a_n_β____
简记符号 条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
第五页，共三十五页。
■名师点拨 公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系． C(α＋β)←以－―β代→β C(α－β)←诱导―公→式 S(α－β)←以－―β代→β S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式 C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式 S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． (3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
2 .
第十四页，共三十五页。
(2)tan 165°＝tan(180°－15°)＝－tan 15°＝－tan(45°－
简单的三角变换课件(人教版)
高中数学
课后作业
1.课本229页8,9,10题.
高中数学
,
.
例2
证明：由(1)可知
sin⁰tcos⁰z=÷(simP+⁰Z⁰)+sin °1
高中数学
练习1
求证：
高中数学
练习1
求证：
证明：
高中数学
练习1
求证：
证明：
高中数学
, 得证.
小结
通过本节课的学习，你是否理解了三角恒等变换的一个重要特点：从所 包含的各个角之间的联系寻找适当的公式；你是否对三角恒等变换中的 化归思想有了进一步的认识.
高中数学
例2
证明：(1)根据公式
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ, sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ,
两式相加，得
sin(a+β)+sin(a-β)=2sinacosβ,
高中数学
例2
问题4:(2)中式子两边在结构情势上与(1)有什么不同? 高中数学
例2
高中数学
例1
试以cosa表示si ) 解：
t a n ²2
)
·
同理：o s 2 = 1 + “ · ●
高中数学
例2
高中数学
例2
问题3:(1)式子中所包含的各个角有怎样的关系?你能得 到什么样的启示? 高中数学
例2
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ, sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ,
高中数学
例1
高中数学
试以cos a表示sii
)
)
·
问题1:本题要求用角α的余弦值表示角 的三角函数
课后作业
1.课本229页8,9,10题.
高中数学
,
.
例2
证明：由(1)可知
sin⁰tcos⁰z=÷(simP+⁰Z⁰)+sin °1
高中数学
练习1
求证：
高中数学
练习1
求证：
证明：
高中数学
练习1
求证：
证明：
高中数学
, 得证.
小结
通过本节课的学习，你是否理解了三角恒等变换的一个重要特点：从所 包含的各个角之间的联系寻找适当的公式；你是否对三角恒等变换中的 化归思想有了进一步的认识.
高中数学
例2
证明：(1)根据公式
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ, sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ,
两式相加，得
sin(a+β)+sin(a-β)=2sinacosβ,
高中数学
例2
问题4:(2)中式子两边在结构情势上与(1)有什么不同? 高中数学
例2
高中数学
例1
试以cosa表示si ) 解：
t a n ²2
)
·
同理：o s 2 = 1 + “ · ●
高中数学
例2
高中数学
例2
问题3:(1)式子中所包含的各个角有怎样的关系?你能得 到什么样的启示? 高中数学
例2
sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ, sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ,
高中数学
例1
高中数学
试以cos a表示sii
)
)
·
问题1:本题要求用角α的余弦值表示角 的三角函数
新课标人教版三角变换和求值课件共20页文档
5
c o cs o ss is n 8,2 s is 1 n i3 n 112
tan tan c s6 i on 5 c s sio n s 1465
能力·思维·方法
6.设 0,,tan,tan是方 x2程 33x40
22
的两个不等 求 的 的 实值 数。 根，
要点·疑点·考点
2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
s α i β n sα c iβ n o c α s s o β is n c α o β c s α c o β s o α s s i β s n in taαn β1 t a tαa n α ttn a a β βn n
基础题例题
1.(2003 年 高 考 ·全 国 ） 已 知 x∈(-π/2 ， 0) ， cosx=4/5 ， 则 tan2x= （D ）
(A)7/24
(B)-7/24
(C)24/7 (D)-24/7
2.若α是锐角， sinα-1 ，则cosα的值等于( A )
6 3
(A) 2 6 - 1 (B) 2 6 1 (C) 2 3 1 (D) 2 3 1
c2 o c so ) s ([ ( )]
3 2 ,2 ,co s)(1 1 2 3 sin()153
2, ,co s)(5 4sin()53
c 2 o c s o ) cs o ) ( s s i) s ( n i) ( n
12(4)(5)3 13 5 135
解题分析：
解条:由件 已知中 ta得n“ :,tat n是 a 方tn x2程 a 3 3x n 3 43 , 0t的a 两 tn 个 a 不 4 n , 等的
就暗示了运用方一程元的二根次与系进数行的求关解系，但
人教版数学 三角恒等变换 三角函数PPT(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
正切函数公式的变形结论 tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； tan α－tan β＝tan(α－β)·(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tanπ9·tan29π)＋ 3tanπ9tan29π＝ 31－tanπ9tan29π＋ 3tanπ9tan29π
＝ 3.
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋ tan 21°·tan 24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°) ＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan 45°＋ tan 21°·tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°· tan 24°＝2， 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以原式＝2×2＝4.
1．计算：tan 73°＋tan 193°－ 3tan 73°tan 13°＝________． 解析：原式＝tan 73°－tan 13°－ 3tan 73°tan 13° ＝tan(73°－13°)(1＋tan 73°tan 13°)－ 3tan 73°tan 13° ＝ 3. 答案： 3
2．已知△ABC 中， 3tan Atan B－tan A－tan B＝ 3，则 C 的 大小为________． 解析：依题意有1t－antaAn＋AttaannBB＝－ 3， 即 tan(A＋B)＝－ 3. 又因为 0<A＋B<π， 所以 A＋B＝23π， 所 答以 案：C＝π3 π－A－B＝π3.
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3.2 简单的三角恒等变换
第四课时 三角函数中的三角变换问题 （习题课）
例1 已知函数
f(x ) (sin x c o sx )2 2 c o s2x
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区
间；
（2）当 x [0, 最小值.
2
]
时，求f(x)的最大值和
T=π
[k ,k 5](k Z)
8
8
f(x)max
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
5、 增 加 阅 读 量，培 养语感 ，积极 发掘规 范使用 虚词的 潜意识 ； 6.这与其说是靠他个人的力量，不如 说是由 于他是 社会的 一个成 员。 7.他的一生自然使我想起了《论语》 中孔子 同他的 弟子的 一段对 话。 8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔 碰到了 自己在 中学时 代的恋 人。
若函数y=f(x)的图象关于直线xa(a0) 对称，求a的最小值.
a m in 1 2
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ， P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的 周长为2时，求∠PCQ的大小.
D
C
Q
45°
A
P
B
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
2 2 f(x)min 1
例2 已知函数f(x)＝sin(x＋α)＋ cos(x－α)为偶函数，求α的值.
k (k Z) 4
例3 已知函数
f ( x )2 a c o s x (3 s i n xc o s x )a 2 ( a0 )
（1）若对任意x∈R都有 f (x) 4 成立， 求a的取值范围；
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
作业： P147复习参考题A组：
10,11,12,13.
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
.老王对公 司的新 措施有 些看法 ，也是 正常的
感谢聆听，欢迎指导！
人教版三角函数中的三角变换问题ppt x的不等式 f (x) 6 8 的解集.
a [0,1]
(k ,k )(k Z) 3
例4 已知向量a (cos23x, sin23x)，
b
(cosx,sinx)，其中 x
22
[0,
] 2
，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域.
[ 3 , 1] 2
例5 已知函数
f(x ) [2 s in (x) s in x ]c o sx3 s in 2x 3
第四课时 三角函数中的三角变换问题 （习题课）
例1 已知函数
f(x ) (sin x c o sx )2 2 c o s2x
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区
间；
（2）当 x [0, 最小值.
2
]
时，求f(x)的最大值和
T=π
[k ,k 5](k Z)
8
8
f(x)max
3. 历史是有个人特征的人物的王国， 是本身 有价值 而又不 可能重 演的个 别事件 的王国 4. 不同的历史家对同一现象可以提出 十分不 同乃至 截然对 立，但 又同样 似乎可 能的解 释而不 至于歪 曲事实 ，或违 背通行 的处理 证据的 准则
5、 增 加 阅 读 量，培 养语感 ，积极 发掘规 范使用 虚词的 潜意识 ； 6.这与其说是靠他个人的力量，不如 说是由 于他是 社会的 一个成 员。 7.他的一生自然使我想起了《论语》 中孔子 同他的 弟子的 一段对 话。 8.在这条熟悉的林荫大道上，他偶尔 碰到了 自己在 中学时 代的恋 人。
若函数y=f(x)的图象关于直线xa(a0) 对称，求a的最小值.
a m in 1 2
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
例6 如图，正方形ABCD的边长为1 ， P、Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的 周长为2时，求∠PCQ的大小.
D
C
Q
45°
A
P
B
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
2 2 f(x)min 1
例2 已知函数f(x)＝sin(x＋α)＋ cos(x－α)为偶函数，求α的值.
k (k Z) 4
例3 已知函数
f ( x )2 a c o s x (3 s i n xc o s x )a 2 ( a0 )
（1）若对任意x∈R都有 f (x) 4 成立， 求a的取值范围；
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
作业： P147复习参考题A组：
10,11,12,13.
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
人教版三角函数中的三角变换问题ppt 完美课 件
1. 一个完美的历史家必须绝对具有足 够的想 象力 2 一个作者的观念看更像是在反映他 自己的 生活于 其中的 那个代 ，而不 是他所 描写的 那个代
.老王对公 司的新 措施有 些看法 ，也是 正常的
感谢聆听，欢迎指导！
人教版三角函数中的三角变换问题ppt x的不等式 f (x) 6 8 的解集.
a [0,1]
(k ,k )(k Z) 3
例4 已知向量a (cos23x, sin23x)，
b
(cosx,sinx)，其中 x
22
[0,
] 2
，求函
数f(x)＝a·b－|a＋b|的值域.
[ 3 , 1] 2
例5 已知函数
f(x ) [2 s in (x) s in x ]c o sx3 s in 2x 3