海南省2018-2019年高三高考模拟考试 数学(理)

高考模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 的共轭复数为z ，且()310z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设集合(){}(){},,,2xP x y y k Q x y y ====,己知P Q φ= ,那么k 的取值范围是（ ）A ．()-0∞，B ．()0+∞，C ．(]-0∞，D ．()1+∞， 3.阅读如下框图，运行相应的程序，若输入n 的值为10，则输出n 的值为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．44.已知函数(),0()21,0g x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩是R 上的奇函数，则(3)g =（ ）A ．5B ．-5C ．7D ．-75.设a ，b 是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．a b ∥，b α⊂，则a α∥ B ．a α⊂，b β⊂，αβ∥，则a b ∥ C.a α⊂，b α⊂，a β∥，b β∥，则αβ∥ D ．αβ∥，a α⊂，则a β∥6.已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图像（ ）A ．关于点(0)6π，对称B ．关于点(0)3π，对称 C.关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称7.若实数a 满足142log 1log 3a a >>，则a 的取值范围是( ) A.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC △中，角B 为34π，BC 边上的高恰为BC 边长的一半， 则cos A =( )239．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（） A ．136πB ．144πC ．36πD ．34π10．若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（）个． A ．53B ．59C ．66D ．7111.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB = ，则AF =（ ）A ．3B ．4 C.6 D ．7 12.已知偶函数4log ,04()(8),48x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，且(8)()f x f x -=，则函数1()()2x F x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A ． 2020B ．2016 C. 1010 D ．1008二．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()5(1)2x x +-的展开式中，3x 的系数是____.(用数字作答)．14.若x ，y 满足约束条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则12y z x +=+的最大值为．15.已知双曲线C 的中心为坐标原点，点(2,0)F 是双曲线C 的一个焦点，过点F 作渐近线的垂线l，垂足为M ，直线l 交y 轴于点E ，若3FM ME =，则双曲线C 的方程为．16.已知球O 是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN 为球O 的一条直径，点P 为正八面体表面上的一个动点，则PM PN ⋅的取值范围是．三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本大题满分12分）如图，在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2sin()A A B =+，它的面积2S = （Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，求BD DC的值.18.（本大题满分12分）甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元.(I)请将两家公司各一名推销员的日工资y (单位: 元) 分别表示为日销售件数n 的函数关系式; (II)从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。

若记甲公司该推销员的日工资为X ,乙公司该推销员的日工资为Y (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题:某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.19．（本大题满分12分）如图，多面体EF﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，AC，BD相交于O，EF∥AC，点E在平面ABCD上的射影恰好是线段AO的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为45°，求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．20.（本大题满分12分）M x y=已知动点(,)（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)N -的直线l 与曲线E 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C （点C 与点B 不重合），证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标. 21.（本大题满分12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n nb a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，AB =l 的倾斜角.23.（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x a x x =--+. （Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）若存在实数a ，使得不等式()14|2|f x a x --+≤成立，求实数a 的取值范围.理科数学答案1-5:ACCAD 6-10:ACADD 11-12:BA13.40- 14.2 15.1322=-y x 16.4[0,]3 17.解：（Ⅰ）因为sin 2sin()A A B =+. 所以sin 2sin A C =. 由正弦定理得，2a c =，因为221sin sin 2S ac B c B ===，所以sin B =（Ⅱ）因为3cos 4ADB ∠=，所以tan ADB ∠=在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AD ABB ADB=∠， 所以54AD c =由余弦定理得：222553()2444c c c BD BD =+-⨯⨯⨯.所以32BD c =或38c ，因为D 是BC 边上的一点，所以32BD c =，因为2a c =，所以12CD c =，所以3BD DC=.18.解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80, y n n N =+∈.乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()()45,120,45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨>∈-⎩ (Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为记乙公司一名推销员的日工资为Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为∵125,136EX EY ==,所以仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司 19．解：（Ⅰ）取AO 的中点H ，连结EH ，则EH ⊥平面ABCD ∵BD 在平面ABCD 内，∴EH ⊥BD又菱形ABCD 中，AC ⊥BD 且EH ∩AC =H ，EH 、AC 在平面EACF 内 ∴BD ⊥平面EACF ，即BD ⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH ⊥平面ABCD ，以H 为原点，如图所示建立空间直角坐标系H ﹣xyz ∵EH ⊥平面ABCD ，∴∠EAH 为AE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EAH =45°，又菱形ABCD 的边长为4，则各点坐标分别为，E （0，0，）易知为平面ABCD 的一个法向量，记=，=，=∵EF ∥AC ，∴=设平面DEF 的一个法向量为（注意：此处可以用替代）即=， 令，则，∴∴平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值为．20.解：（Ⅰ）由已知，动点M 到点(1,0)P -，(1,0)Q的距离之和为且PQ <M的轨迹为椭圆，而a =1c =，所以1b =， 所以，动点M 的轨迹E 的方程：2212x y +=.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)C x y -，由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为：(1)y k x =+由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=， 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+， 直线BC 的方程为：212221()y y y y x x x x +-=--，所以2112212121y y x y x y y x x x x x ++=---， 令0y =，则1221121212122112122()2()2()2()2x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x k x x +++++====-+++++，所以直线BC 与x 轴交于定点(2,0)D -.21. 解：（Ⅰ）因为1a =，所以()(2)ln(1)f x x x x =++-，(0)(02)ln100f =+⨯-=，切点为(0,0).由'2()ln(1)11x f x x x +=++-+，所以'02(0)ln(01)1101f +=++-=+，所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为01(0)y x -=-，即0x y -=（Ⅱ）由'2()ln(1)1x f x x a x +=++-+，令'()()([0,))g x f x x =∈+∞， 则22'11()01(1)(1)x g x x x x =-=≥+++（当且仅当0x =取等号）.故'()f x 在[0,)+∞上为增函数. ①当2a ≤时，''()(0)0f x f ≥≥,故()f x 在[0,)+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于'(0)20f a =-<，'1(1)10aa f e e-=+>，根据零点存在定理，必存在(0,1)at e ∈-，使得'()0f t =，由于'()f x 在[0,)+∞上为增函数，故当(0,)x t ∈时，'()0f t <,故()f x 在(0,)x t ∈上为减函数，所以当(0,)x t ∈时，()(0)0f x f <=,故()0f x ≥在[0,)+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞（III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，(2)ln(1)2x x x ++>，故当0x >时，2ln(1)2xx x +>+， 故2222ln(1)212n n n n⋅+>=++，故1122ln(1)1n nk k k k ==+>+∑∑.下面证明：ln(1)(2)n T n n <++ 因为1222222ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)1231nk k n n =+=++++++⋅⋅⋅++++-∑45612(1)(2)ln(3)ln ln(1)(2)ln 223412n n n n n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++--而，4222321311n T n =+++⋅⋅⋅++++ 1222222224111111213122131233nn nk T T kn n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑所以，1ln(1)(2)ln 23n n n T ++->-，即：1ln(1)(2)ln 23n n n n T T ++>-+>22.解：(1)∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=， ∴12212224cos sin 8sin 1616sin 0t t t t αααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩，则12AB t t =-==∴sin α=4πα=或34πα=. 23.解：（Ⅰ）不等式()3f x ≤化为|23||2|3x x --+≤，则22323x x x -⎧⎨-++⎩≤≤或2232323x x x ⎧-<⎪⎨⎪---⎩≤≤，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---⎩≤， 解得3742x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤；（Ⅱ）不等式()14|2|f x a x --+≤等价于|3|3|2|1a x x a -++-≤ 即|3|3|2|1a x x a -++-≤，因为|3|3|2||3||63||363||6|a x x a x x a x x a-++=-++-++=+≥，若存在实数a，使不等式()14|2|f x a x--+≤成立，则|6|1a a+-≤，解得：52a-≤，实数a的取值范围是5(]2-∞-，·11·。