第2讲有理数初步(教师版)
北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数的加减讲义(含答案)
有理数的加减讲义1.掌握有理数加法运算法则和计算题；2.掌握有理数减法运算法则和计算题；3.掌握有理数加减混合运算的计算技巧.1．（1）加法法则①同号相加,取相同符号,并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数加减,取___________的符号,并用较大的绝对值________较小的绝对值.③一个数同0相加,仍得这个数.④_______相加结果一定得0。
（2）交换律和结合律有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为： 交换律：a+b=b+a结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)2.运算要点：(1)同号相加符号不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。
(2)在进行有理数加法运算时，一般采取：1.互为相反数的先加（抵消）；2.同号的先加；3.同分母的先加；4.能凑整数的先加;5.异分母分数相加,先通分,再计算。
3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的________。
其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。
一不变：被减数不变。
可以表示成： a －b ＝a ＋（－b ）。
参考答案：1.（1）绝对值较大,减去,相反数3.相反数1.有理数加法【例1】用“<”号或“>”号填空：(1)若0,0>>n m ,则0________n m +；(2)若0,0<<n m ,则0________n m +；(3)若0,0<>n m ,且n m >,则0________n m +；(4)若0,0><n m ,且n m >,则0________n m +.【解析】考查有理数的加法法则。
【答案】(1) > (2) < (3) > (4)<【例2】(-25)+34+156+(-65)【解析】根据有理数加法法则和加法交换律即可算出结果。
【答案】解：(-25)+34+156+(-65)=（-25）+（-65）+（34+156）=-90+190=100练习1．不改变原式子的值，将6−(+3)−(−7)+(−2)中的减法改成加法并写成省略加号的和应是( )A ．−6−3+7−2B ．6−3−7−2C ．6−3+7−2D ．6+3−7−2【答案】C练习2．38+（－22）+（+62）+（－78）【答案】0练习3．（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）【答案】-13.5练习4.（－8）+47+18+（－27）【答案】302.有理数的减法【例3】 (－20)－(+5)－(－5)－(－12)【解析】根据减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，即可求出答案。
北师大版七年级数学上册 (有理数的加减混合运算)有理数及其运算教学课件(第2课时)
D．－1－(－3)－6－(－8)
4 －2－3＋5的读法正确的是( A )
A．负2，负3，正5的和 B．负2，减3，正5的和
C．负2，3，正5的和
D．以上都不对
（来自《典中点》）
知1－练
5 将－3－(＋6)－(－5)＋(－2)写成省略括号和加号 的和的形式，正确的是( D ) A．－3＋6－5－2 B．－3－6＋5＋2 C．－3－6－5－2 D．－3－6＋5－2
1 课堂讲解 有理数的加减运算统一成加法
加法运算律在加减混合运算中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复习回顾 加法的交换律： 两个数相加，交换加数的位置，和不变.
ab ba
加法的结合律： 三个数相加，先把前两个数相加或先把 后两个数相加，和不变.
(a b) c a (b c)
55，-40，10，-16，27，-5
今年的小麦总量与去年相比情况如何？
3、某日小明再一条南北：方向的公路上跑步，他从A地出发，每隔 10min记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m)：
-1008，1100，-976，1010，-827，946
1小时后他停下来休息，此时他在A地什么方向？据A地多远？小明共 跑了多少米？
4、某中学七(1)班学生的平均身高是160厘米 (1)下表给出了该班6名同学的身高情况(单位:厘米),试完成下表.
姓名 身高 身高与平均身高的差值
小明 小彬 小丽 小亮 小颖 小山
159 162 160 154 163 165 -1 +2 0 -6 +3 +5
(2)谁最高？谁最矮？ 小山最高,小亮最矮 (3)最高与最矮的学生身高相差多少？ 11厘米 (4)求平均身高？
北师大版数学七年级上册《 第二章 有理数及其运算 》教案
北师大版数学七年级上册《第二章有理数及其运算》教案一. 教材分析《第二章有理数及其运算》这一章主要介绍了有理数的概念、分类及有理数的运算规则。
内容涵盖了有理数的概念、分类、加减乘除运算、乘方运算等。
这部分内容是整个初中数学的基础，对于学生理解和掌握后续知识具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一章内容时，已经具备了初步的数学运算能力，对数学概念有一定的理解。
但部分学生可能对有理数的概念和分类理解不深，对于有理数的运算规则容易混淆。
因此，在教学过程中，需要注重对学生概念的理解和运算规则的训练。
三. 教学目标1.理解有理数的概念，掌握有理数的分类。
2.掌握有理数的加减乘除运算规则，能够熟练进行计算。
3.理解有理数的乘方运算规则，能够进行相应的计算。
4.培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.有理数的概念和分类。
2.有理数的运算规则，特别是乘方运算。
五. 教学方法采用讲解、示例、练习、讨论等教学方法，通过引导学生自主探究、合作交流，让学生在实践中掌握知识，提高能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题，包括基础题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习小学学过的加减乘除运算，引出有理数的概念和分类。
2.呈现（15分钟）讲解有理数的概念和分类，示例说明有理数的运算规则。
3.操练（15分钟）让学生进行有理数的加减乘除运算，引导学生掌握运算规则。
4.巩固（10分钟）让学生进行一些有关有理数的运算题目，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）讲解有理数的乘方运算规则，让学生进行相关的计算。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调重点和难点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关有理数运算的题目，让学生课后巩固。
8.板书（课后整理）整理本节课的主要板书内容，方便学生复习。
教学过程每个环节所用时间共计50分钟，剩余10分钟用于学生自主学习和教师解答疑问。
针对以上教案对教学情境和教学活动的分析如下：一、教学情境本节课的主题是有理数及其运算，我通过创设生动有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣。
第2讲有理数的运算及大小比较
【解析】由题意得 a＋b＝0，cd＝1，所以原式＝2×0－3×1＋3＝0. 【答案】0
18．(2009 中考变式题)计算．(每小题 4 分，共 8 分) 1 4 2 －1 －(1－0.5)× －[2－(－3) ]； 3
1 1 1 1 5 解：原式＝－1－ × －(2－9)＝－1－ －(－7)＝－1－ ＋7＝5 2 3 6 6 6
1 8 2 1 2 1 4 7、 4 21
3
1．下列各数中，最大的数是( D ) A．－1 B．0 C．1 D.2 2 2． 如果□×(－ )＝1， “□” 则 内应填的实数是( ) 3 3 2 2 3 A. B. C．－ D．－ 2 3 3 2 3．下列各式，运算结果为负数的是( D ) 2 3 A.-(-2)-(-3) B.(-2)×(-3) C.(-2) D．(-3) 3 2 4．－2 ×(－2) ＋2 的结果是( B ) A． 18 B． －30 C． 0 D． 34
【解析】由互为相反数的两个数位于原点左右两侧对称分布，可确定－a 的位置，再根 据数轴上表示的数，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大，得 a<1<－a.
【答案】A
6．(2010·济宁)若︱x -1︱＋(y＋3) ＝0，则 x－y 的值为( ) A．-2 B．2 C．4 D．-4
2
7．(2009 中考变式题)下列计算正确的是( 2 3 A．(－2) ＝－4 B．－2 ＝－8 C．－2－(－3)＝－5 D．3－2＝－6
14．(2011 中考预测题)若 x、y 为实数，且 2 011 |x ＋ 2| ＋ y－3 ＝ 0 ， 则 (x ＋ y) 的值为 ________．
x＋2＝0 x＝－2 【解析】由题意得 ，解得 ，∴(x＋y)2 011＝(－2＋3)2 011＝1. y－3＝0 y＝3
人教版七年级上册数学 第一章《有理数》第2讲 有理数的运算(答案+解析)_
人教版七年级上册数学第一章《有理数》第2讲有理数的运算（答案+解析）_New人教版七年级上册数学第一章《有理数》第2讲有理数的运算（答案+解析）第2讲有理数的运算第一部分知识梳理知识点一：有理数加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
（2）有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。
知识点二：有理数减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。
（3）有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
知识点三：有理数乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
（2）有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；交换律：a(b+c)=ab+ac。
概念剖析：①、“两个有理数相乘，同号得正，异号得负”不要误认为成“同号得正，异号得负” ②、多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。
③、有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号，再求各因数绝对值的积。
北师大版七年级上册第二章有理数及其运算PPT课件全套
(4)负分数：既是负数，又是分数的数；
(5)非负整数：正整数和0； (6)非正整数：0和负整数．
知3－讲
3.有理数的分类： (1)按定义分类：
有理数 正分数 分数 负分数
正整数 整数 0 负整数
知3－讲
(2)按性质分类：
正整数 正有理数 正分数 有理数 0 负整数 负有理数 负分数
第二章
有理数及其运算
2.1
有理数
1
课堂讲解
正数和负数 具有相反意义的量 有理数及其分类
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，
答错一题扣1分，不 回答得0分；每个队的基本分均为
0分.两个队答题情况如下表：
答题情况 第一队 第二队
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
知1－讲
你能描述一下温度计
是怎样表示温度的吗？
知1－讲
定义
规定了原点、正方向和单位长度的直线 叫做数轴．
知1－讲
－2
－1
0
1
2
画一条水平直线，在直线上取一点表示0(这个
单位长度 ， 点叫_______) 原点 ，选取某一长度作为___________ 正方向 ，这样的直线 规定直线上向右的方向为 _________
A．8，4，－2
1 B．2，5.4，2
)
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2
具有相反意义的量
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
六年级寒假班-第2讲：有理数的四则运算-教师版
有理数的加减乘除四则运算是初中数学六年级下学期第一章第二节的内容．本讲会讲解有理数加减乘除的基本法则，并进行相关的练习，为后续的学习打好基础．1、有理数加法法则（1）同号两数相加：取原来的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加：绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．（3）一个数同零相加：仍得这个数．2、有理数加法的运算律交换律：a b b a+=+；结合律：()()a b c a b c++=++．有理数的四则运算内容分析知识结构模块一：有理数的加法知识精讲【例1】 计算：（1）14+47；（2）()()14+47--； （3）()12 1.35⎛⎫-+- ⎪⎝⎭； （4）511273⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）61；（2）61-；（3）5.3-；（4）2114-． 【解析】有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．【总结】本题考查了有理数的加法运算．【例2】 计算：（1）()1447-+；（2）()1447+-； （3）()1.4 2.7-+；（4）5324128⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）33；（2）33-；（3）3.1；（4）23124-． 【解析】有理数的加法法则：异号两数相加，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对 值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．【总结】本题考查了有理数的加法运算．【例3】 如果两个数的和是正数，那么（ ）A ．这两个数都是正数B ．这两个数一正一负C ．这两个数中至少有一个是正数D ．以上说法都不对【难度】★【答案】C【解析】由于两个数的和是正数，那么这两个数可以都为正数（或一个为0），也可以一正 一负，但正数的绝对值要大．【总结】本题考查了有理数的加法运算的应用，需要熟练掌握法则．例题解析【例4】 计算：（1）()()()()51764121-+++-+-；（2）65217676⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()()()()7128.3 5.49.7 2.5++-++-+++-；（4）5151437.5132064610⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）37-；（2）212-；（3）1.5；（4）60297． 【解析】（1）()()()()21417651--+-+++=()76214151+++-=76113+-=37-；（2）61726576+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-61657276=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3274=212-； （3）()()()()()5.27.94.53.812-7-+++-++++=()()[]5.24.5127.93.87++-+++ =()9.1925-+=1.5；（4）515111515437.51320371320464610246106⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-+-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭60297=． 【总结】本题考查了有理数的运算，注意法则的熟练运用．【例5】 用简便方法计算：（1）()()()()232795++-+++-；（2）()()()()()5.40.20.60.350.25-+++-+++-；（3）131468635347477⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 【难度】★★【答案】（1）0；（2）7.5-；（3）2．【解析】（1）原式0527923592723=--+=-+-=；（2）原式()()7.53.062.025.035.06.04.5-=+-=+-++-=；（3）原式235763745736413418=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=． 【总结】本题考查了有理数的简便运算，注意方法的选择．【例6】 已知两个数3+和5-，试求下列各种情况的值：（1）求这两个数的相反数的和；（2）求这两个数的和的相反数； （3）求这两个数和的绝对值；（4）求这两个数绝对值的和．【难度】★★【答案】（1）2；（2）2；（3）2；（4）8．【解析】（1）3的相反数是3-，5-的相反数是5，253=+-；（2）()2-5-3=+，2-的相反数是2；（3）()2-5-3=+，2-绝对值是2；（4）55-33==，，853=+． 【总结】本题考查了相反数和绝对值的应用．【例7】 某出租车从A 地出发，在东西路上行驶，如果规定向东行驶为正，向西行驶3为负，一天的行驶记录如下（单位：千米）：4-，7+，9-，8+，6+，4-，3-．求最后收工时出租车距离A 地多远？若每千米耗油0．3升，问从出发到收工共耗油 多少升？【难度】★★【答案】（1）收工时距A 地km 1，且在A 地东边；（2）L 3.12．【解析】（1）()()()()()()()13-4-689-74-=+++++++++；即收工时距A 地1km ，且在A 地东边．（2）()L 3.12413.03-4-689-74-3.0=⨯=++++++⨯；即从出发到收工共耗油L 3.12．【总结】本题考查了正负数的意义及有理数的运算在实际问题中的运用．【例8】 计算：()()()246898100-++-+++-+．【难度】★★★【答案】50．【解析】由式子可知：每相邻的两个数字相加为2；则：原式50225=⨯=．【总结】本题考查了观察规律及有理数的运算．1、 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数：()a b a b -=+-．【例9】 计算：（1）3.2 5.7-；（2） 3.2 5.7--；（3）1122⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；（4）1122⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）5.2-；（2）9.8-；（3）213-；（4）211． 【解析】略．【总结】本题考查了简单的有理数运算．【例10】 下列说法正确的是（ ）A ．两个数之差一定小于被减数B ．减去一个负数，差一定大于被减数C ．减去一个正数，差不一定小于被减数D ．0减去任何数，差都是负数【难度】★【答案】B【解析】学会举反例来判断正误．【总结】本题考查了有理数减法运算法则．模块二：有理数的减法 知识精讲 例题解析（1）()111812708323⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()12430.130.3325⎛⎫⎧⎫-----⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． 【难度】★★【答案】（1）2158；（2）36.8-． 【解析】（1）原式2158217012318217012318=+-=++--=； （2）原式()36.886.35.446.052321433.013.0523214-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=． 【总结】本题考查了有理数的减法运算，注意法则的准确运用．【例12】 计算：（1）()()()()()331815123---+--+++；（2）()()()()()6.6 5.2 3.8 2.6 4.8++---+--；（3）11116325351234747-+--+； （4）111121326-+-． 【难度】★★【答案】（1）8-；（2）2.2-；（3）211322-；（4）32-． 【解析】（1）原式8231151833-=+--+-=；（2）原式2.28.46.28.32.56.6-=--+-=；（3）原式211322759313271376124154153132-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=； （4）原式32-321-1611-652-1===． 【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意加减法则的准确运用．（1）()()3120.1253310 1.25483⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）()()346241841618 6.83255++-+-+-+-． 【难度】★★【答案】（1）6110；（2）5219-． 【解析】（1）原式6110411321081343381=-+-+=； （2）原式5219245343216181824546544536-=-=---++-+=． 【总结】本题考查了有理数混合运算的简便组合运算．【例14】 已知134a =-，184b =-，122c =-，求下列各式的值： （1）a b c --；（2）()b a c --；（3）a b c --；（4）a c b --．【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）原式217212418413212418413=++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=； （2）原式217212413418212413418-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=； （3）原式217212418413212418413-=--=-----=； （4）原式941843418212413=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=． 【总结】本题考查了有理数的混合运算，注意法则的准确运用．【例15】 计算：1234567896667686970+--++--+++--++．【难度】★★★【答案】71【解析】原式()()()7069686766...987654321++--+++--++--+=71701=+=．【总结】本题考查了有理数的简便运算，综合性较强，注意观察数据的特征．【例16】 分别求出数轴上两点间的距离：（1）表示数8-的点与表示数3-的点；（2）表示数2-的点与表示数153-的点； （3）表示数9的点与表示数5-的点．【难度】★★★【答案】（1）5；（2）313；（3）14． 【解析】数轴上两点的距离等于两数差的绝对值；（1）()538=---； （2）3133152=⎪⎭⎫ ⎝⎛---； （3）()1459=--． 【总结】本题考查了数轴上两点的距离的运算，注意对公式的准确理解．【例17】 黄浦江的水位第一天上升6.9厘米，第二天下降5.7毫米，第三天又下降了0.9分米，第四天上升了354厘米，问第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高多少米？ 【难度】★★★【答案】1118.0米．【解析】将上升记为‘+’，下降记为‘-’，7.5毫米=57.0厘米，0.9分米= 9厘米，则：()()336.90.5795 6.90.5795 3.0844+-+-+=--+=（厘米）， 3.08厘米=0.0308米．即第四天黄浦江的水位比刚开始时的水位高0.0308米．【总结】本题考查了正、负数的实际应用及运算，注意单位的统一．1、 两数相乘的符号法则正乘正得正，正乘负得负，负乘正得负，负乘负得正．（同号得正，异号得负）2、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与零相乘，都得零．3、有理数相乘的符号法则几个不等于零的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．【例18】 计算： ()35-⨯=______，35-⨯=______， ()35⨯-=______，()()35-⨯-=______， 41511511⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭_______， ()220.613-⨯=______． 【难度】★【答案】（1）15-；（2）15-；（3）15-；（4）15；（5）1119；（6）3103-． 【解析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（先定符号）．【总结】本题考查了简单的有理数的乘法运算，注意先确定符号，再计算．模块三：有理数的乘法 知识精讲 例题解析【例19】如果0b<，那么ab____0．a<，0b<，那么ab____0；如果0a>，0【难度】★【答案】<；>．【解析】0<b则b为负，故0ab；><a则a为正，0>ab．b则b为负，故0<<a则a为负，0【总结】本题考查了有理数乘法的运算法则．【例20】五个有理数的积是负数，则正因数的个数为（）A．2个B．4个C．1个、3个或5个D．0个、2个或4个【难度】★【答案】D【解析】由五个有理数的积为负数，则负因数为奇数个，即为1、3、5，所以正因数有0、2、4个．【总结】本题考查了有理数乘法运算法则．【例21】如果0ab<，那么关于这两个数的说法正确的是（）+>，0a bA．符号相反B．符号相反且绝对值相等C．符号相反且负数的绝对值大D．符号相反且正数的绝对值大【难度】★★【答案】D【解析】由0a，得b+ba、中正数的绝对值大，故选D．ab，得b<>a、异号，又0【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用．【例22】如果0ab>，那么关于这两个数的说法正确的是（）a b+<，0A．都是正数B．都是负数C．符号相反且负数的绝对值大D．符号相反且正数的绝对值大【难度】★★【答案】B【解析】由0a，得b+ba、均为负数，故选B．>ab，得ba、同号，又0<【总结】本题考查了有理数加法和乘法运算应用．【例23】 计算：（1）()5913654⎛⎫⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）116753716⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）89-；（2）315-． 【解析】（1）原式894159653-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-=； （2）原式315167716315-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数乘法运算法则，注意先确定符号再计算．【例24】 计算：（1）()()()2.50.49 1.2548-⨯⨯⨯-⨯-；（2）()()()232133083-⨯⨯-⨯⨯-；（3）111111*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）49-；（2）0；（3）27-． 【解析】（1）原式()()4949.0825.145.2-=⨯⨯⨯⨯-=；（2）原式0=，0乘以任何数都为0； （3）原式276756453423-=⨯⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算．【例25】 计算：（1）111553⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭；（2）12324234⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭；（3）31.530.750.53 3.40.754-⨯+⨯-⨯；（4）3112610.4 5.28255-⨯-⨯+⨯．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式231155115-=⨯-⨯=；（2）原式14244324322421-=⨯-⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=；（3）原式()10334.4434.353.053.143-=⨯-=-+-⨯=； （4）原式5027320212.55121432.5-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⨯=．【总结】本题考查了有理数乘法的简便运算．acb【例26】 在数轴上表示a 、b 、c 三个数的点的位置如图所示，化简式子：ab ac ac bc --+．【难度】★★★ 【答案】bc ab +．【解析】由数轴得：b a c <<<0，则0>ab ，o ac <，0<bc ，所以0>-ac ab ，0<+bc ac ，故原式()()bc ab bc ac ac ab +=++-=． 【总结】本题考查了绝对值的化简运算．【例27】 已知4x =，5y =，0xy <，则x y -=______． 【难度】★★★ 【答案】9±．【解析】由题意得：4±=x ，5±=y ，又0<xy ，则y x 、异号， 当45x y ==-，时，()954=--=-y x ； 当45x y =-=，时，954-=--=-y x ．【总结】本题考查了绝对值的应用及有理数乘法应用． 1、有理数除法法则（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）零除以任何一个不为零的数，都得零．（3）甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数，即1a b a b÷=⨯（0b ≠）．模块四：有理数的除法知识精讲【例28】 计算：()1751-÷=______，()568-÷-=______，()5.614÷-=______． 【难度】★【答案】（1）31-；（2）7；（3）52-．【解析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 【总结】本题考查了简单的有理数除法运算．【例29】 填空：（1）如果0a >，0b <，那么ab____0； （2）如果0a <，0b <，那么ab____0； （3）如果a = 0，0b <，那么ab____0． 【难度】★【答案】（1）<；（2）>；（3）=．【解析】（1）0>a 则a 为正，0<b 则b 为负，故0<b a； （2）0<a 则a 为负，0<b 则b 为负，故0>ba； （3）0=a 则a 为0，故0=ba． 【总结】本题考查了有理数除法运算法则的运用，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝 对值相除．【例30】 下列说法错误的是（ ）A ．任何有理数都有倒数B ．互为倒数的两个数积为1C ．互为倒数的两个数同号D ．1和1-互为负倒数【难度】★ 【答案】A【解析】0是有理数，但0没有倒数；两数相乘积为1，则两数互为倒数． 【总结】本题考查了倒数的定义．例题解析（1）()()3.20.82-÷÷-；（2）111321335⎛⎫-÷÷ ⎪⎝⎭；（3）()()118 3.2524⎛⎫-÷+÷- ⎪⎝⎭；（4）()194102849⎛⎫-÷⨯÷- ⎪⎝⎭；（5）()()17492333⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭；（6）313313524⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式228.02.3=÷÷=；（2）原式21256573310511312313-=⨯⨯-=÷÷-=；（3）原式1332941341841241318=⨯⨯=÷÷=；（4）原式12194948110=⨯⨯⨯=；（5）原式33173734933731249-=⨯⨯⨯-=÷÷÷-=；（6）原式245831747253-=⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数的除法运算法则，注意化成乘法后先约分再化简．【例32】 若01a b <<<，则1a 与1b的大小关系为___________． 【难度】★★【答案】ba 11>．【解析】两数同为正数，倒数大的反而小． 【总结】本题考查了倒数的应用．【例33】 若a 、b 为倒数，c 、d 为相反数，()533167ab c d +⨯+=______． 【难度】★★【答案】31．【解析】由题意得：1=ab ，0=+d c ，所以原式31=；两数互为相反数，则相加和为0； 两数互为倒数，则相乘积为1． 【总结】本题考查了相反数和倒数的应用．（1）()()1233 2.571535⎡⎤⎛⎫÷⨯÷⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）()540.1 2.41001765⎛⎫-⨯⨯-⨯-⨯ ⎪⎝⎭；（3）24212 5.54133251318⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式15812523100212531335757253133-=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-÷=； （2）原式()35658910065512101-=⨯-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=； （3）原式9641855554838185513152510421138=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷-÷-=．【总结】本题考查了有理数乘除法的混合运算，注意法则的准确运用．【例35】 已知有理数a 、b 、c 满足1a b c abc++=，求abc abc的值．【难度】★★★【答案】1-．【解析】因为1=++c cb b a a ，所以c b a 、、中必有两正一负，即abc 之积为负，所以原式1-=．【总结】本题考查了绝对值的应用．【例36】 若0abc ≠，则a b c ab bc ac abca b c ab bc ac abc++++++有多少个不同的值？说明理由． 【难度】★★★ 【答案】2个．【解析】分类讨论：就c b a 、、的正负性进行讨论， 当c b a 、、均为正时，原式71111111=++++++=；当c b a 、、有一个负数，两个正数时，原式11111111-=+---++-=； 当c b a 、、有两个负数，一个正数时，原式11111111-=+--++--=；当c b a 、、均为负数时，原式11111111-=-+++---=，所以共有两个不同的值． 【总结】本题综合性较强，考查了有理数的运算及绝对值的性质，注意要分类讨论．【习题1】 对于任意两个有理数a 、b ，下列各项成立的是（ ）A ．若0a b +=，则a b =-B ．若0a b +>，则0a >，0b >C ．若0a b +<，则0a b <<D ．若a b a +<，则0a <【难度】★ 【答案】A【解析】通过有理数加法运算法则或举反例说明即可． 【总结】本题考查了有理数加法运算应用．【习题2】 若两个有理数的差是正数，则下列说法正确的是（ ）A ．被减数是正数，减数是负数B ．被减数和减数都是正数C ．被减数大于减数D ．被减数和减数不能同为负数【难度】★ 【答案】C【解析】根据有理数减法法则，举出反例即可；减去一个数等于加上这个数的相反数． 【总结】本题考查了有理数减法运算法则．【习题3】 如果6m -是负数，那么关于m 的说法中正确的是（ ）A ．0m >B ．0m ≥C ．0m <D ．0m ≤【难度】★ 【答案】A【解析】由题意得：06<-m ，则0>m ． 【总结】本题考查了不等式的性质．【习题4】 如果一个数的绝对值与这个数的商等于1-，则这个数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数【难度】★★ 【答案】B【解析】设这个数为a ，则有1-=aa ，当0≠a 时，得a a -=，故这个数为负数．【总结】本题考查了绝对值的意义及应用．随堂检测【习题5】 如果0t <，那么t 和它的相反数的差的绝对值等于（ ）A ．tB ．0C ．t -D ．2t -【难度】★★ 【答案】D【解析】由题意得：()02<=--t t t ，故t t 22-=． 【总结】本题考查了绝对值的化简应用．【习题6】 计算：（1）3915112817541431443⎛⎫-++++-- ⎪⎝⎭；（2）112.7535 1.542⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）5-；（2）216-．【解析】（1）原式549103153111451498417432-=-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=；（2）原式216211412432211215413432-=---=----=．【总结】本题考查了有理数加减法的简便运算．【习题7】 计算：（1）721.113237⎛⎫⎛⎫-÷-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）4893331216311525105510⎛⎫⎛⎫⨯÷-÷⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）30077-；（2）29520-． 【解析】（1）原式3007723730231011-=⨯⨯-=； （2）原式958169144139581025132952510251052516914410520=-⨯÷÷⨯=-⨯⨯⨯⨯=-． 【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用．【习题8】 计算：（1）()38424⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭；（2）()()121356533⎛⎫⎛⎫-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）22；（2）4．【解析】（1）原式22224238=-=-⨯=；（2）原式()()452053263113=-÷-=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=．【总结】本题考查了有理数的简便运算．【习题9】 a 、b 为两个任意有理数，试比较a b +、a b -与a 的大小． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】若a 、b 均为正数，则a b a a b +>>-； 若a 、b 均为负数，则a b a a b ->>+； 若0a b <<，则a b a a b +>>-； 若0b a <<，则a b a a b ->>+．【总结】本题考查了作差法比较有理数的大小．【习题10】 若0abc <，0a b c ++>，且a c bc b ab cax ab c ab bc ca=+++++， 求321ax bx cx +++的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】因为00abc a b c <++>，；故c b a 、、中有一个是负数，假设0<a ，则00b c >>，； 所以000ab bc ca <><，，，有cacabc bc ab ab c c b b a a x -++-+++-=， 所以0111111=-+-++-=x ， 所以原式11000=+⨯+⨯+⨯=c b a ．【总结】本题考查了绝对值的化简及代数的求值，综合性较强，注意分析符号．【作业1】 下列说法正确的是（ ）A ．两数之和不可能小于其中的一个加数B ．两数相加就是它们的绝对值相加C ．两个负数相加，和取负号，绝对值相减D ．不是互为相反数的两个数，相加不可能等于零 【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项，当两数异号时，两数之和一定小于其中一个加数； B 选项，当两数异号相加时，其和就不是它们的绝对值相加； C 选项，两个负数相加，和取负号，绝对值相加．【总结】本题考查了有理数加法，根据异号两数相加的特殊性可得．【作业2】 下列结论不正确的是（ ）A ．若0a <，0b >，则0a b -<B ．若0a >，0b <，则0a b ->C ．若0a <，0b <，则()0a b -->D ．若0a <，0b <，且a b >，则0a b -< 【难度】★ 【答案】C【解析】C 中，若0,0<<b a ，则()b a b a +=--，由题知0<+b a ，即()0<--b a ， 所以本题错误．【总结】本题考查了有理数加减法的理解与运用．【作业3】 一个有理数与它的相反数的乘积（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．一定不大于0D ．以上都有可能【难度】★ 【答案】C【解析】若有理数是0，则0的相反数是0，乘积为0；若有理数不是0，它们的乘积是负数， 异号得负．【总结】本题考查了相反数的定义及有理数乘法法则．课后作业【作业4】 （1）设m 为5-的相反数与12-的和，n 为比6-大5的数，m + n =______； （2）已知x 是5的相反数，y 比x 的相反数小6，则y x -=______． 【难度】★★【答案】（1）8-；（2）4．【解析】（1）()()7125-=-+--=m ，156-=+-=n ，故8-=+n m ； （2）5-=x ，165-=-=y ，故()451=---=-x y ． 【总结】本题考查了相反数的运用及有理数的运算，注意认真审题．【作业5】 计算：（1）23164 3.26 6.82455-+-+-+；（2）15130.51266-+-+．【难度】★★【答案】（1）9；（2）2-．【解析】（1）原式()()9101188.62.35365242416=-+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=；（2）原式2246112165213-=+-=+-+-=．【总结】本题考查了有理数加减的简便运算．【作业6】 计算：（1）111321352⎛⎫-⨯÷- ⎪⎝⎭；（2）321312142311142552505⎛⎫⎛⎫-⨯÷÷⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）449；（2）12．【解析】（1）原式94432511310=⨯⨯=； （2）原式2159715032185257143=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯⨯⨯-=．【总结】本题考查了有理数的乘除运算，注意法则的准确运用．21 / 21 【作业7】 计算：（1）()()38424-⨯-⨯-； （2）111382⎛⎫⎛⎫-÷--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）2；（2）14．【解析】（1）原式268=-=； （2）原式1468=+=．【总结】本题考查了有理数四则运算，注意运算顺序．【作业8】 （1）若1t =，则t 与2t 哪个大？若0t =呢？若1t =-呢？（2）t 与2t 哪个大？【难度】★★【答案】见解析．【解析】（1）若1=t ，22=t ，则t t 2<； 若0=t ，02=t ，则t t 2=；若1-=t ，22-=t ，则t t 2>；（2）由（1）得：当0>t 时，t t 2<； 当0=t 时，t t 2=；当0<t 时，t t 2>．【总结】本题考查了有理数的大小比较．【作业9】 “二十四点”的游戏规则：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数都必须用，且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24；例如对1，2，3，4，可作如下运算：()123424++⨯=[上述运算与()412324⨯++=视为相同方法的运算]．现有四个有理数3，4，6-，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24，运算式如下：（1）___________________________；（2）___________________________；（3）___________________________．另有四个有理数3，5-，7，13-，可用运算式_________________使其结果等于24．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）()[]61043-++⨯；（2）()()63410-⨯--；（3）()10364⨯÷--；()()[]2431357=÷-⨯-+．【总结】本题考查了有理数的混合运算，开放性题目，综合性较强．。
七年级数学上册第二章有理数的运算讲义(含解析)
七年级数学上册第二章有理数的运算考试要求：重难点：1.理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2.理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3.能利用有理数的运算法则简化运算4.能借助数轴比较有理数的大小例题精讲：模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；①求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a+=+(加法交换律)①三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.a b c a b c++=++(加法结合律)()()有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.①带分数可分为整数与分数两部分参与运算.①多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.①若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.①若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.①符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。
第二章 有理数的运算小结复习(第2课时专题解讲)(课件)-七年级数学上册(人教版2024)
求
1
+
ab+
2
5
+e2 的值.
例4.计算:
2 3
4
2
(1)-2 ÷[1-(-3) ]+( - )×(-15);
2 2
2
3
(2)-3 -|(-5) |×(- ) -18+|-(-3)2|.
2
3
(1)原式=-16+(1-9)+(- ×15+ ×15)
3
5
4
(2)原式=-9-125× -18÷9
25
=-16÷(-8)+(-10+9)
=-9-20-2
=2-1
=-31.
3 5
=1;
5
专题五 常见错误
例.计算下列计算是否正确，请说说理由。
(1)
1
(-9)÷(- )×3-3.
3
解：原式=(-9)÷(-1)×3-3
正解:原式=(-9)×(-3)×3-3
19
(2)简便计算:-19 ×5.
20
解：原式=-19×5+
(3)
1
4
-1 3
19
×5
20
正解:原式=
1
1
(-20+ )×5=-100+
20
4
正解:原式=
1
-1- ×(2-9)
3
×[2-(-3)2].
解：原式=1-
1
×[2-(-6)]
3
3
=-99 .
4
运算中常见错误
1.运算顺序不对，特别是同级运算。
2.运算法则混淆。如异号两数相加、乘方的符号、乘方与乘法区别。
有理数 概念 第二讲
数学教师辅导讲义讲义编号：学员姓名：宋春国年级：初一课时数：2 数学教师：宋老师课题有理数的认识授课日期及时段教学目标学习正数、负数、有理数的概念，会用正、负数表示具有相反意义的量，能正确地将有理数进行分类.〔重点难点〕正数、负数的概念对有理数的建立起关键性的作用，是本节课重点.正数、负数的概念的建立是学生从来未经历过的数学的抽象过程，是本节的难点.教学过程1.2.1 有理数一.教学过程1.创设情景,引入新课同学们你们还记不记上一节课老师请你们举了一些生活当中的例子，这些例子用自然数，分数，小数是不能解决的，当时我们都举了哪些例子啊？我记得同学们好象讲到了温度计当中零下的温度，还有地下室，还有欠银行的钱如何表示，还有路标向东向西，扣分如何表示等等等等.那么温度的零上、零下，路程的向东、向西，钱的收入和支出，得分和扣分这些量是不是相互对立的？因此我们称它们为具有相反意义的量，那么如何把这些具有相反意义的量表示出来呢？2.合作探索,寻求新知师：为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，比如我们会把零上的温度规定为正，路程当中会把向东方向规定为正方向，钱的收入规定为正，把另一种与之意义相反的量规定为负，而这些规定为正的量一般比较容易表示，比如规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，而与之相反的量就不好表示，如果也记作22千米，别人一看就分不清是向东还是向西，所以我们必须引进新的数来表示这些相反意义的量.师：把过去学过的数（除零外）规定为正数，如123，15，2/3等，正数前面有时也可以放上“+”（读做正号）；在这些数的前面放上“-”（读做负号）就表示负数，如-123，-15，-2/3等.负数是在正数的前面加上“—”得到的，大家现在来举一队正数和负数？那下面老师来举一个例子：0是正数，-1是负数，对吗？那么1是正数，0是负数.正数里有没有包括0，负数会不会包括0，所以零既不是正数，也不是负数.（强调）有了负数，相反意义的量就好表示了，规定向东为正，则向东22千米，记作22千米，向西走50米，就记作-50米.那现在我来问大家：如果上升8米，记作+8，那么下降5米，应该怎么记呢？做一做：第二题这样我们学过的数中，又增加了新的数，我们以前学的整数如1，2，3，4，更准确地说是正整数，那么-1，-2，-3，-4应该称为什么？1/2，3/2，5.4为正分数,则-1/2,-3/2,-5.4为 .正整数可以化成分数形式，负整数也可以化成分数形式，正小数、负小数化成分数形式，像这种能化成分数形式的数，正整数、0、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
七年级数学上册北师版~第2讲《有理数的意义》
第2讲 有理数的意义【学习目标】1．掌握有理数的意义；2．利用数轴比较有理数的大小；3．掌握相反数与绝对值的代数意义和几何意义．【教学重难点】1．利用数轴比较有理数的大小；2．相反数与绝对值的代数意义和几何意义．考点1：利用数轴比较有理数的大小 知识点与方法技巧梳理：1．0既不是正数，也不是负数，正数和0统称为非负数．2．所有的有理数都可以在数轴上用点来表示，但数轴上的点所表示的不一定都是有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系．3．通过数轴从图形上直观的解释相反数（数形结合），帮助理解绝对值的意义，还可以比较有理数的大小． 4．有理数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数大于0，负数小于0，正数大于负数．【例1】比－4.2大的负整数是____________________．【变式】1．大于－3.5而不大于3的整数是____________________．2．在数轴上，与表示－5的点相距2个单位长度的点所表示的数是___________．3．若a 为整数，在－a 与a 之间（不包含－a 和a ）有9个整数，则a 的值为___________．【例2】在数轴上把数4.5、－2.5、－1.5、|－3|、－(－3 )、－|－2|表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．【变式1】数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，比较a 、b 、－a 、－b 的大小．【变式2】（2016青羊区期末）在数轴上，a 、b 所表示的数如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．|b |＜|a |C ．a －b ＞0D ．ab ＞0【变式3】（2017盐道街期末）有理数m 、n 在数轴上的表示如图所示，下列关系中正确的个数是（ ）①m ＋n ＜0 ②n －m ＞0 ③1 m＞－1n④2m －n ＞0 ⑤－n －m ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4 【变式4】（2017双流区期末）如图，在数轴上的A 、B 、C 三点表示的数分别是a 、b 、c ，且AB ＝BC ，|a |＞|c |＞|b |，那么该数轴的原点的位置在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边【变式5】有理数m 、－3、n 在数轴上的位置如图所示，请将m 、－3、n 的相反数在数轴上表示出来，并将这六个数用“＜”号连接起来．考点2：绝对值－－－－－－ B CA －知识点与方法技巧梳理： 绝对值的概念与意义1．一个数的绝对值就是在数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作|a |，这也是绝对值的几何意义．2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 3．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．4．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0．注意：①相反数是成对出现的；②相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；③互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a 、b 互为相反数，则a ＋b ＝0． 相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等，即表示互为相反数的两个点关于原点对称．0的相反数对应原点． 【例1】（2017青羊区期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A ．－(－1 )与1 B ．( －1 )2与1 C ．| －1|与1 D ．－12与1 【变式】1．下列各组数不是互为相反数的是（ ）A ．－( ＋2 )和－( －2 )B ．－[－( －2 )]和＋( ＋2) C ．＋( ＋2 )和－( －2 ) D ．－[－( －2 )]和－[－( ＋2)] 2．若－|－x |＝－2.5，则x 的值为_________；若a ＜0，则|a |＋a ＝_________． 3．若|m －3|＝|－3|＋|m |，则m 为_________数． 4．（2017双流区期末）已知|a |＝5，|b |＝2，且|a ＋b |＝a ＋b ，则a －b 的值为_________． 5．已知|a |＝3，|b |＝5，且|a －b |＝b －a ，则a －b 的值为_________．6．（2017嘉祥半期）已知a 、b 、c 为三个非零的有理数，若abc ＜0，则||||||a b c a b c++的值为_________． 7．（2017武侯区期末）若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m |＝2，则322a bcd m +-+＝_________． 8．若a ＜0，b ＞0，|a |＞b ，试用“＞”号将a ，b ，－a ，－b 连接起来．【例2】（2017武侯区期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a －c |－|c －b |＋|b |＝__________．【变式1】（2017青羊区期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b －c |－|c －b |＋2|a ＋c |＝__________． 【变式2】（2017金牛区期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋c |－|a －b －c |－|b －c |＋|b ＋c |＝__________．【变式3】（2017天府新区期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a －b |＋2|a ＋c |－|b －2c |＝__________．考点3：绝对值的非负性知识点与方法技巧梳理：1．任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性． 2．若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0．【例】已知|2a －1|＋|3b ＋2|＋|4c －3|＝0，则a ＋b ＋c 的值为_________． 【变式】1．（2017师大一中半期）若(x ＋2)2与|y －3|互为相反数，则x y 的值为（ ）A ．6B ．－6C ．8D ．－82．若|a ＋b ＋2|与|a －b －3|互为相反数，则a ＋b ＝_________，a －b ＝_________． 3．若|a ＋b ＋1|与|a －b ＋1|互为相反数，则a 与b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ≥b 4．（2017金牛区期末）已知m 、n 满足|2m ＋4|＋(n －3 )2＝0，那么( m ＋n)2017的值为_________． 5．若| x 1－1|＋| x 2－2|＋| x 3－3|＋…＋|x 100－100|＝0，求x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100的值．【能力提升】1．若a ＜0，则数轴上表示有理数a 和－a 的两点的距离是__________． 2．若|m |＝－m ，则m 一定是（ ）A ．正数或0B ．负数C ．0D ．负数或0 3．若－|－a |－a ＝0，那么a 一定是（ ）A ．非负数B ．非正数C ．正数D ．0 4．若x 是有理数，则－(－|－x |)一定是（ ）A ．非负数B ．非正数C ．正数D ．0 5．若| x |＋3＝|x －3|，则x 一定是（ ）A ．非负数B ．非正数C ．正数D ．06．－{－[＋( －4 )]}与__________互为相反数；－{＋[－( ＋5)]}与__________互为相反数． 7．下列关系一定成立的是（ ）A ．若| m |＝| n |，则m ＝nB ．若|m |＝n ，则m ＝n C ．若| m |＝－n ，则m ＝n D ．若m ＝－n ，则| m |＝|n |8．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，－1，那么|a ＋1|表示（ ）A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ．A 、C 两点到原点的距离之和 9．若有理数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列各式中，错误的是（ ）A ．| b |＞| a |B ．| b |＞aC ．|a |＞b D ．b ＞a 10．当式子|2x －1|＋3取最小值时，x 的值为__________．11．若a ＜0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a 与b 的大小关系为__________．12．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简||||||a b c a b c++＝__________． 13．若a ＜0，b ＞0，|b |＜|a |，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系是（A ．－b ＜a ＜b ＜－aB ．－b ＜b ＜－a ＜aC ．a ＜－b ＜b ＜－aD ．－a ＜b ＜－b ＜a14．如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数是____________________． 15．若|x |＝－|y －7|，则x y ＝__________．16．已知|x |＝3，|y |＝5，且x ＜y ，那么x ＋y ＝__________．17．若a ＜b ，则|b －a ＋1|－|a －b －5|＝__________． 18．若x 、y 互为相反数，a 、b 互为负倒数，m 的绝对值为2，则2x ＋2y 3ab-＋(－m)的值为__________．19．在数轴上任取一条长度为120182018的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为__________．20．数轴上表示数a 的点与表示数b 的点关于原点对称，且表示数a 的点与3所对应的点的距离为2，则数b 为__________．21．已知数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示，数b与其相反数相距20个单位长度，数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是__________．【家庭作业】1．如果|－2a|＝－2a，那么a一定是（）A．非负数B．非正数C．正数D．02．已知a是任意有理数，则|－a|－a的值（）A．必大于零B．必小于零C．必不大于零D．必不小于零3．（2017成华区期末）如图，数轴上E、F、G、H四点对应着四个连续整数，分别是e、f、g、h，且e＋f＋g＋h＝－2，那么原点的位置应该是（）A．点E B．点F C．点G D．点H4．（2017成华区期末）某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约6℃，现在5000米的高空的气温是－23℃，则地面气温约为__________．5．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是1，则a bx cdx+++＝___________．6．有理数a、b、c满足||||||a b ca b c++＝1，求3|2|abcabc-的值．7．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：|b－a|＋|a－c|＋|c－b|．。
第02讲 认识有理数(教师版)
第二讲认识有理数【课程解读】————初中课程解读————【知识衔接】————初中知识与典例链接————一、正数和负数1．负数的概念：若把小学学过的数(0除外)叫做正数，则把在正数前面加上“－”号的数叫做负数．“－”号读作“负”．如“－5”读作“负五”．2．0的意义：0既不是正数，也不是负数．注：在小学里，0通常表示没有．当引入负数后，不能说0表示没有了．正整数、负整数、零统称为整数．正分数、负分数统称为分数．零是整数，也是偶数，非负数就是零和正数．【典例分析】例1．用正负数表示下列各题中具有相反意义的量．（1）如果用+15元表示收入15元，那么用去12元记作什么？（2）食堂购进100千克面粉记作+100千克，那么－20千克表示什么？【答案】（1）﹣12（2）用去20千克面粉【解析】用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量【变式】（1）如果－10t 表示运出10t ，那么+30t 表示 ； （2）负债100元也可以说成是拥有 元； （3）如果规定向东方向为正，那么－200米表示什么意义？ －（－200）米表示什么意义？ 【答案】（1）运进30t （2）﹣100（3）向西200米；向东200米例2．下列各数中,哪些是正数? 哪些是负数?（正负数的判断）+7；-9；-4.5；0；722；-3.14；998；-999 【答案】正数：+7；722；998； 负数：-9；-4.5；-3.14；-999【解析】所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数思路点拨：对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数”． 二、有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 把能够写成分数形式mn（m ，n 为整数，m≠0）的数叫做有理数2、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．小结：分数、有限小数、循环小数都是有理数。
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：第2讲 有理数的意义
有理数的意义【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、正数与负数1．（2019•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）A ．支出20元B ．收入20元C ．支出80元D ．收入80元【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元． 12+12-π故选：C ．【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．举一反三：【变式1】（2019•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）A ．50.0千克B ．50.3千克C ．49.7千克D ．49.1千克【答案】D ．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.【变式3】如果60m 表示“向北走60m ”，那么“向南走40m ”可以表示为（ ）．A ．－20mB ．－40mC ．20mD ．40m【答案】B2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1） 这8名男生有百分之几达到标准？（2） 他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：； 答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类3．下面说法中正确的是( )．A ． 非负数一定是正数．B ． 有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．5100%62.5%8⨯=a -【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）（3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）【答案】√， ，，【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数 (B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【答案】D4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 正整数集合:{ …}， 负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}， 正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，； 分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，； 非正数：-700, -3.88, 0,【解析】 a a -⨯⨯⨯723-723-723-723-【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.举一反三：【变式】（2018秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．【答案】2. 类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】()【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n 组应该有种子数（）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3【变式2根据其规律可知第9个数是： 【答案】【巩固练习】一、选择题1. （2018•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个（1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数；（3）不存在既不是正数又不是负数的数；（4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 32.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )A ．0是整数B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数12+n 1123+⨯=1225+⨯=1327+⨯=1429+⨯=12+n ,,301,201,121,61 9013.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )A ．前进-18米的意义是后退18米B ．收入-4万元的意义是减少4万元C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )A ．甲站的东边70千米处B ．甲站的西边20千米处C ．甲站的东边30千米处D ．甲站的西边30千米处5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）A ．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是 （ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ． 2二、填空题1．（2018秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .5．（2019春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2018秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%，，﹣2018，3.14，﹣（+5），﹣0. cm 2.1kg 2.103.002.010+-3．（2018秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于（1（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ，，... ，...(2)-1,,-,,,,, , ,... ,... 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确；（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；（4）0℃表示没有温度，错误．综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.5.【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对.6. 【答案】B二、填空题21314151-6171-1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0， ；，0，-45 【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量.4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.5.【答案】-20.【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，∴向西行驶20米，记作﹣20米，故答案为：﹣20．6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.8.【答案】10，，【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于.三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ；（3）浪费-14元表示节约14元；（4）上升-2m 表示下降2m ；(5)向南走-7m 表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量.2．【解析】3.【解析】解：（1）=50，50×30=1500（km ）．答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；112122-10.039.9803.002.010+--（100.02）（10+0.03）9.9810.03（2）×8×7.14×12=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111 ,,...,,... 892011 --。
第2讲 绝对值与有理数加减运算(教师版)
知识引入知识导航经典例题1写出下列各数的绝对值：2绝对值大于3已知4已知有理数1已知2如果有理数3已知知识引入知识导航经典例题1计算：2计算下列各题：知识导航经典例题经典例题1已知2出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作课后作业123下列各式中，等号不成立的是（B.D.已知有理数41已知2已知1计算：2计算：3计算4计算：学霸笔记我的改错本榜样的力量完美过程，让我们的思维更加严谨说说心里话欲事之无繁,则必劳于始而逸于终.——（宋）苏轼《决壅蔽》第二天，go on~你的姓名：_______________________________________________________________第二节课的感觉：①so easy②perfect③a little difficult这节课有没有哪个知识点没听明白：______________________________________例题有没有没听懂的：_____________________________________________________本讲作业用时：_______________________________________________________________作业有没有不会的：_________________________________________________________想对老师说的话（悄悄告诉老师(⊙o⊙)属于我们的小秘密）：【可以把本页撕下来悄悄交给老师哦，让老师陪你度过初中的美好时光】。
北师大版七年级(上)数学第二章有理数及其运算教案：有理数的乘除法和乘方讲义(含答案)
有理数的乘除法和乘方讲义1.掌握有理数乘除法运算法则和计算题；2.掌握有理数乘方运算法则和计算题.1．乘法运算法则：（1）两数相乘，同号为_____，异号为_____，并把绝对值相乘。
（2）任何数字同0相乘，都得0。
（3）几个不等于0的数字相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负因数有______个数时，积为负；当负因数有______个数时，积为正。
（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.2.除法运算法则：（1）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
（注意：____没有倒数）（2）两数相除，同号为正，异号为负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都等于0。
（4）0在任何条件下都不能做______。
3.乘方 求n 个相同因数乘积的运算叫做乘方。
参考答案：1.（1）正，负(3)奇数,偶数2.(1)0 (4)除数1.有理数乘法【例1】113223⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】把带分数化成假分数，再根据乘法法则，同号两数相乘结果为正即可求出结果。
【答案】原式=（-27）×（-37） 【例2】38(4)24⎛⎫⨯-⨯-- ⎪⎝⎭【解析】根据有理数乘法法则和运算顺序即可算出结果。
【答案】原式=24-2=22练习1．384⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 【答案】-6练习2．12(6)3⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【答案】14练习3．38(4)(2)4-⨯-⨯- 【答案】2练习4. 38(4)(2)4⎛⎫⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭. 【答案】-482.有理数的除法（除法没有分配律）【例3】 （1）601)315141(÷+-；（2）)315141(601+-÷. 【解析】第（2）题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算规律。
【答案】解：（1）解法一：2360602360)602060126015(601)315141(=⨯=⨯+-=÷+-解法二：601)315141(÷+-2360316051604160)315141(=⨯+⨯-⨯=⨯+-= （显然，解法二中运用了乘法分配律后计算方法很简单。
有理数的分类和数轴(讲义2)
有理数的分类和数轴（讲义2）1、“温度降低-4℃”的意义是 ；“高度增加-160米”的意义是 ；“向南走-11米”的意义是 ；“收入-50元”的意义是 。
2、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25士0.1 ）kg 、（25士0．2）kg 、（25士0．3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差____________ kg 。
3、校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了50米，接着又向北走了－70米，此时张明的位置在（ ）。
A. 在家B. 在学校C. 在书店D. 不在上述地方（一）知识点一：有理数的分类1、数的扩充：（1）数1，2，3，4，…叫做正整数；―1，―2，―3，―4，…叫做负整数；（2）数，，8，+5.6，…叫做正分数；―，―，―3.5，…叫做负分数；思考并回答下列问题：①“0”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？②“―2”是整数吗？是正数吗？是有理数吗？③自然数就是整数吗？是正数吗？是有理数吗？32415497762、进一步理解有理数概念的内涵：有理数是形如的数，其中m ，n 都是整数且n ≠0。
有理数的英文是rational number ，据说日本人在明治维新期间，翻译了大量的科学著作，那时他们只求快，错将rational 翻译成“有理的”，我国又从日本沿用过来，翻译成“有理数”。
事实上，rational 除了有“合理的”意思外，还有一个意思“能够写成两个整数之比”，而整数与分数是能写成两个整数之比的数的全部，所以取名“rational numner ”，正确的翻译应该是“可比数”。
3、有理数的分类：不同的分类标准可以将有理数进行不同的分类：①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即得如下分类表：②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即得如下分类表：4、数的其它分类：非负数：正数和0统称非负数； 非正数：负数和0统称非正数；非负整数：正整数和0统称非负整数（即自然数）； 非正整数：负整数和0统称非正整数。
有理数--第02讲 有理数的加减法
第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-＝1111111 12233420082009 -+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算1111111124816326412+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯）12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b＋51c ＋61d 等于（ ） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（）A．－22003B．22003C．－22004D．22004 07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（160＋260＋…＋5960）＝__________09．1919197676 7676761919＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求ab．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)534333231314．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 有理数初步1．负数⑴ 定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8，3....4-）⑵ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。
）⑶a -不一定是负数，关键看a 是正数、负数还是0【例题1】设向东行驶为正，则向东行驶30m 记做 ，向西行驶20m 记做 ，原地不动记做 ，—5m 表示向 行驶5m ，+16m 表示向 行驶16m.。
【练习1】收入—2000元，表示 。
2．有理数⑴定义：整数： 正整数、零和负整数统称为整数。
()...2,1,0,1,2....--自然数：正整数和零。
()0,1,2,3....分数：正分数和负分数统称为分数。
40.3,0.31,......5∙∙⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数 有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。
【注】π，以及π的倍数都不是分数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
⑵ 有理数分类① 按有理数的定义分类 ②按正负分类 正整数 正整数整数 0 正有理数有理数 负整数 有理数 正分数正分数 0 负整数分数 负有理数负分数 负分数⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。
有理数集，整数集，非负整数集等等。
⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。
0不仅仅表示没有。
最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。
【例题2】76%,5,260,2001,0,120.1,100020,- ,31 -⋅--∙∙，负数有 个，正数有 个，整数有 个，正分数有 个，非负整数有 个。
【练习2】下列说法正确的是：（ ）⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。
⑶ 一个有理数不是分数就是整数。
(4)整数不是奇数就是偶数。
(5)0是最小的有理数。
⑹3.1415926不是分数⑺正整数和负整数统称为整数。
⑻ 奇数是正数⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽—0.6是分数⑾ 0不是正数也不是负数。
⑿ 0是自然数，不是整数。
⒀ 没有最小的有理数。
3．数轴⑴ 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴⑵ 数轴的三层涵义：① 数轴是一条直线，可以向两方无限延伸② 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可③ 原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。
（3）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数（4）在数轴上比较有理数的大小①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
【例题3】填空（1）写出数轴上A,B,C,D,E 各点表示的数，并用“>”号连接起来_______________________（2）写出大于—4而不大于2的所有的整数_______________________（3）若数轴上的点A 向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A 点对应的数是 。
【例题4】如图，在数轴上有六个点，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是多少?【解析】由A 、F 两点所表示的数可知，AF=11+5=16，∵AB=BC=CD=DE=EF ，∴EF=16÷5=3.2，∴E 点表示的数为：11-3.2=7.8；点C 表示的数为：7.8--3.2-3.2=1.4；∴与点C 所表示的数最接近的整数是1．【练习3】如图，A 、B 、C 、D 、E 是数轴上的5个点，其相邻两点间的距离相等，若B 点表示数-3，E点表示数10，A 点表示几？【解析】A,B,C,D,E 相邻两点等间距则AB=BC=CD=DEBE=|10-(-3)|=13=3AB则AB=13/3A 点坐标=-3-13/3=-22/3【例题5】如图，数轴上标出了若干个点，每相邻两点相距1个单位，数轴上还标出了四个点D C B A ,,,，它们对应的数分别是d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是【解析】d-2a=10，即d-a-a=10∵d-a=AD=7∴7-a=10，a=-3∴B 点为原点.【练习4】 如图，在数轴上有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，有理数a ，b ，c ，d 所表示的点是这些点中的四个，且在数轴上的位置如图所示，已知3a=4b-3，求c+2d 的值_________.【解析】3a=4b-3，即4b-3a=3 → b+3b-3a=3 → b+3（b-a ）=3∵b-a=3∴b+3×3=3，b=-6∴c=b+1=-5，d=b+4=-2∴c+2d=-5+2×（-2）=-94．相反数（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。
（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。
（2）互为相反数的性质①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0的相反数是0②互为相反数的两个数和为0 ，反过来，和为0的两个数互为相反数即：a,b 互为相反数⇔a+b=0，有时也可以表示为a=-b 或b=-a（3）相反数的求法：只需在一个数前面加一个“－”号，即a a -的相反数是。
在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。
（4）多重符号化简多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。
如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。
可简写为“奇负偶正”。
（5）【注】 相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。
【例题6】选择1.下列说法正确的是( )A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。
B 符号相反的两个数互为相反数。
C 互为相反数的两个数可能相等。
D 一个数的相反数不可能大于它本身。
2.如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ）A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜1【练习5】填空：（1）0.1与a 互为相反数，那么a= 。
（2）a-1的相反数是 。
（3）若-x 的相反数是-7.5，则x= 。
（4）如果m 的相反数是最大的负整数，n 的相反数是-2，那么m+n= 。
（5）若b<a<0，则－a ，b ，a ，－b 的大小关系是 。
（6）-[-（-3.5）]= -[-（+8）]=5．绝对值（1）（几何意义）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。
（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．（2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
(0)a 0(0)(0)a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ （3）绝对值性质 :一个数的绝对值是一个非负数，a ≥0。
【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。
（4）两个相反数的绝对值相等． 即：若a b =⇔则a=b 或a=-b【例题7】填空：（1）若|a|=2，则a= 。
（2）到原点5个单位长度的点是 。
（3）若|m|=-m,则m 是 。
若|m|=m,则m 是 。
（4）若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= 。
1 A（5）若|a|=4,|b|=3,且a<b,试求 a= 、b= 或a= 、b= 。
（6）写出绝对值不大于3的所有整数（7）若a<0，b<0，且a <b ，那么a 、b 的大小关系是 。
（8）已知a 、b 为有理数，且a<0，b>0，a ＞b ，试比较a 、b 、-a 、-b 的大小：【练习6】选择正确答案（1）若x =—x ，则x 一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数（2）下列结论正确的是（ ）A 、a 一定是正数B 、a -一定是负数C 、a -一定是正数D 、a -一定是非正数（3）如果a ＋b =0，则a 与b 的大小关系是（ ）A 、a=b=0B 、a 与b 不相等C 、a 与b 互为相反数D 、a 、b 异号(4) 若有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）A.|a|>|b|B.|a|>|-b|C.|b|>|a|D.|-a|>|-b|【例题8】已知数轴上4个点A.B.C.D 对应数分别为a.b.c.d 且b 比d 小7，c 比a 大5，b 比c 小3，已知|d|=6，求a.b.c 的值。
6、倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。
即：a,b 互为倒数⇔ab=1【注】倒数等于本身的数是1，-1。
【例题9】若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且c ＝–l ，cb a cdc 2)(2||2+-+的值为________．【练习7】选择(1)下列说法正确的是 。
①只有1的倒数等于它的本身。
②－3.5的倒数是3.5。
③零没有倒数。
④0.1的倒数是10。
⑤任何一个有理数a 的倒数都等于a1。
⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。
(2)如图，数轴上的点A 表示的数为a ，则1a等于（ ）． A. 12- B.12 C.-2 D.2(3)（2010 山东荷泽）负实数a 的倒数是（ ）A ．－aB ．a 1C ．a 1-D ．a【作业】一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小。
（ ）2.如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等。
（） 3．|-2.7|>|-2.6| ( )4.若a+b=0，则a,b 互为相反数。
( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（ ）A. 1B. -1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（ ）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（ ）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是 （ ）A 、－6-=6B 、(6)--=－6C 、－112=－112D 、 3.14+=－3.14 5、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是 （ ）A 、6B 、10C 、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是 （ ）A 、正数B 、非负数C 、零D 、负数三、填空题1.相反数是2的数是____________,绝对值等于2的数是_____________2.|－4|－|－2.5|+|－10|＝__________;|－24|÷|－3|×|－2|＝_________3.最大的负整数是_____________;最小的正整数是____________4.绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个5.数轴三要素是__________,___________,___________6.若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。