2012年高中数学重点中学 第2课时向量的加法与减法(1)教案 湘教版必修2
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。
2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。
2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。
3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。
3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。
第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。
4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。
4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。
第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。
6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。
6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。
第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。
湘教版高中数学必修二向量的应用教案(1)
第 12 课时：§ 2.5 向量的应用【三维目标】：一、知识与技能1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力二、过程与方法1.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.三、情感、态度与价值观1.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.【教学重点与难点】：重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”。
难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用。
用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.向量既有大小又有方向的量，在实际问题中有很多这样的量，它既有代数特征，又有几何特征；今天，我们就来用向量知识研究解决一些实际问题。
2.研究的方法：用数学知识解决实际问题，首先要将实际问题转化成数学问题，即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量。
(完整版)向量的加法教案
《向量的加法》教案一、教学目的1、掌握向量加法的概念，能熟练掌握向量加法，平行四边形法则和三角形法投影，并能作出已知两向量的和向量。
2、理解向量加法满足交换律和结合律以及表述两个运算律的几何意义。
掌握有特殊位置关系的两个向量之和，3、通过本节的学习，培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。
二、教学重难点：重点：向量加法的运算及其几何意义难点：对向量加法的三角形法则的理解，以及求两共线向量的和。
三、教学过程：一〉回顾旧知：1、什么叫向量？如何表示向量？2、什么叫相等向量？ 二〉新课讲解：在数的运算中，加法运算是最基本的运算，类似地在向量的运算中，我们也从加法开始进行探索课题：向量的加法。
定义：求两个向量和的运算，收做向量的加法。
向量究竟是按怎样的方法相加的呢？ 首先看下面的这个问题。
如图，作用在同一物体上的不共线的两个力和，它们是怎样合成的？以、为邻边作□ OACB ，则与、 共起点的对角线就是与的合力，即=+即它们是按平行四边形法则合成的。
力的合成等同于向量的加法。
说明向量的加法可以按照平行四边形法则来进行。
平行四边形法则如图，以同一点O 为起点的两个已知向量、为邻边作□ OACB ，则以O 为起点的对角线就是与的和，这种作两个向量的和的方法叫OCFBCAO+AO做向量加法的平行四边形法则，即： = + 。
法则特点：两个已知向量的起点相同。
例1：如图已知向量、，求作向量 + 。
作法：在平面内任取点O ，作 = ，OB =，以OA 、OB 为邻边作□ OACB ，则= + 。
练习：P84，2点评练习：O 点可以任意选取，因此可以的起点作为O 点，将的起点移到点O 作平行四边形。
问题：观察□ OACB 中还有与相等的向量吗？= ，可见求、之和，可以直接将它们首尾相连，然后连接OC ，则△OAC 边就是 + 。
由此可知，求两个向量的和，只需将它们首尾相连，然后由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点就得到两个向量的和，这就是向量加法的：三角形法则如图，已知非零向量 、 在平面内任取一点A ，作=、= ，则向量叫做 与 的和。
中职数学教案：向量的加法运算(全2课时)
中等专业学校2024-2025-1教案教学内容通情况发现成昆之间的高速公路严重拥堵，只好改变出行路线，先驾车到重庆，再从重庆到成都.小张自驾旅程中的位移情况如图所示，其中，点A 、B、C分别代表昆明、重庆和成都三地.试问，小张从点A经点B到达点C接连两次位移，AB、BC的结果，与原计划从点A直接到达点C的位移AC有什么关系？三、探索新知可以看出，这两种方式的位移结果是一样的，都是从昆明到成都.因此我们可以把位移AC看作两次位移AB与BC的和.=AB a，=BC b，得到一个新的向量AC，称向量AC为向量a与向量b的和，记作a+b .一般地，对于平面内给定的两个不平行的非零向量a、b，在平面上任取一点A，依次做=AB a，教学内容=BC b，得到一个△ABC，称向量AC为向量a与向量b的和,也称为向量a与向量b的和向量，记作a+b，如图所示. 即a+b=AC=AB+BC.求两个向量的和的运算称为向量的加法.上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法，称为向量加法的三角形法则.当非零向量平行时，在平面上任取一点A，依次作规定：a+b=0+a=a；a+(−a)=0 . 由上面的分析可知，表示各个向量的有向线段首尾相接，由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量，这是向量加法的几何意义，如图所示 .四、典型例题例1 如图所示，在⏥ABCD中，用向量AB、AD表示向量AC.解根据向量加法的三角形法则可知，AC=AB+BC.1. 如图所示，已知向量a、b、c,则板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称向量的加法运算所在年级主备教师授课教师授课系部人授课班级授课日期课题 2.2.1向量的加法运算（第二课时）教学目标通过学习，理解向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义；能按要求作出两个向量的和向量、差向量；会判定两个非零向量是否平行；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.重点向量加法的运算、减法、数乘运算及其几何意义．难点向量减法法则．教法讲授法教学设备一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.1.范围在方程y²=2px中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着教学内容又因为⏥ABCD中，AD=BC，所以AC=AB+AD.五、探索新知一般地,给定两个非零向量AB与AD，以线段AB和AD为邻边作⏥ABCD，则向量AC就是向量AB与AD的和，这种作两个向量的和向量的方法称为向量加法的平行四边形法则．可以验证，向量的加法满足以下运算律：a+b=b+a；(交换律)a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)六、典型例题例2 已知向量a、b，如图(1)所示，试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.解(1)运用三角形法则.如图(2)所示，在平面内任取一点O，作=OA a，=AB b，则=OB a+b；(2)运用平行四边形法则.如图(3)所示,在平面内任取一点O，作=OA a，=OB b，以OA、OB为邻边作⏥ABCD，连接OC，则=OC OA OB=a+b.例3一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h，方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h，方向正东，求渡轮实际航行的速度.解如图所示，AC表示船在静水中的速度, AB为水流速度. 以AB、AC为邻边作⏥ABCD，由向量加法的平行四边形法则可知，AD是船的实际航行速度.在RtΔABC中，教学内容因此, 船实际航行的速度大小是13km/h,方向为北偏东22°37’.七、巩固练习练习2.2.1如图所示，分别求作下列情形下的向量a+b2. 如图所示，已知向量a、b、c,则教学内容3.化简.4.某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移AC的大小和方向.八、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记。
湘教版高中数学必修二重点复习学案第课时向量的加法与减法(1)
课题：向量的加法与减法（2）教学目的：⑴了解相反向量的概念；⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图.教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）8．向量加法的交换律：a+b=b+a9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)二、讲解新课：向量的减法1．用“相反向量”定义向量的减法：1︒“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = -b, b = -a, a + b = 03︒向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．用加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a-b3．求作差向量：已知向量a、b，求作向量∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，作= a, = b, 则= a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量注意：1︒AB表示a-b强调：差向量“箭头”指向被减数2︒用“相反向量”定义法作差向量，a-b = a + (-b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a∥b∥c a- b = a+ (-b)a-b三、讲解范例：例1已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD= d, 作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-da-bAB’a-baabbO A O Ba-bBAO -b例2平行四边形ABCD 中，a =，b =，用a ，b 表示向量、 解：由平行四边形法则得：AC = a + b, DB = AD AB - = a -b变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |）变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直）变式三：a +b 与a -b四、课堂练习：1.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4 D.52.下列等式中一定能成立的是( )A. AB +AC =BCB . AB -AC =BC C.+= D. -=3.化简OP -QP +PS +SP 的结果等于( )A. QP B . OQ C. D. SQ4.已知OA =a , OB =b ,若|OA |=12,|OB |=5,且∠AOB =90°,则|a -b |= .5.在正六边形ABCDEF 中, AE =m , AD =n ,则BA = .6.已知a 、b 是非零向量,则|a -b |=|a |+|b |时,应满足条件 .参考答案：1.C 2.D 3.B 4. 13 5.m -n 6.a 与b五、小结 向量减法的定义、作图法六、课后作业：1.在△ABC 中, =a , =b ,则等于( )A.a +b B .-a +(-b ) C.a -b D.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点,设=a , =b , =c , =d ,则A.a +b +c +d =0 B .a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =03.在下列各题中,正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a +b 与a(2)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a -b 与a +b(3)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a(4)若向量a与b方向相同,且|a|＜|b|,则a-b与a+b方向A.1B.2C.3D.44.如图，在四边形ABCD中,根据图示填空:a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .5.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而船实际行驶速度的大小为 4 km/h,则河水的流速的大小为 .6.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立,则a与b的关系为 .7.在五边形ABCDE中,设=a, =b, =c, =d,用a、b、c、d表示.8.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示）,使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.9.已知O是□ABCD的对角线AC与BD的交点,若AB=a, BC=b,=c,试证明:c+a-b=.参考答案：1.B 2.B 3.D 4.-f -e f 05.2 km/h6.a与b7.b+d-a-c8.9.(略)七、板书设计（略）八、课后记：。
湘教版高中数学必修二重点复习学案第课时向量的加法与减法
课题：向量的加法与减法（1）教学目的：⑴掌握向量加法的定义⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7.对向量概念的理解的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段二、讲解新课：1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a =，b =，则向量叫做a 与b 的和，记作b a +，即 b a =+=+特殊情况：(1)B BA a b b a +ba +A A BC C )2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行三、讲解范例：例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的速度.在ABC Rt ∆中，2||=AB ，32|BC |=所以4|AC |==因为tan CAB CAB 602∠==∠=︒ 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为ο60四、课堂练习：1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h五、小结 1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律；3︒注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号六、课后作业：2、已知两个力F 1,F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形七、板书设计（略）八、课后记：。
湘教版高一下册数学《向量的加法》说课稿范文
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《向量的加法》说课稿
一、教材分析：
《向量的加法》是《必修》4 第二章第二单元中平面向量的线性运算的第一节课。
本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用，向量加法的运算律及应用，大约需要1 课时。
向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法及其几何意义为后继学习向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础;其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。
所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。
二、学情分析：
学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础。
学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过力的合成、位移的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点。
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版
《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版第一章：向量概念的复习1.1 向量的定义1.2 向量的基本性质1.3 向量的表示方法1.4 向量的模长与方向第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义2.2 向量加法的基本性质2.3 向量加法的几何意义2.4 向量加法的运算规则第三章：向量的减法运算3.1 向量减法的定义3.2 向量减法与向量加法的关系3.3 向量减法的几何意义3.4 向量减法的运算规则第四章：向量的数乘运算4.1 向量数乘的定义4.2 向量数乘的基本性质4.3 向量数乘的几何意义4.4 向量数乘的运算规则第五章：向量加法运算的坐标表示5.1 坐标系的建立5.2 向量坐标的定义5.3 向量加法运算的坐标表示方法5.4 向量加法运算的坐标运算规则第六章：向量加法运算的图形验证6.1 向量加法图形的表示方法6.2 向量加法的平行四边形法则6.3 向量加法的三角形法则6.4 向量加法的图形验证练习第七章：向量的减法与数乘的图形意义7.1 向量减法的图形意义7.2 向量减法的三角形法则7.3 向量数乘的图形意义7.4 向量数乘的三角形法则第八章：向量加减法的综合应用8.1 向量加减法的混合运算8.2 向量加减法的坐标应用8.3 向量加减法的几何解释8.4 向量加减法的综合练习第九章：向量数乘的应用9.1 向量数乘与向量长度的关系9.2 向量数乘与向量方向的关系9.3 向量数乘的几何应用9.4 向量数乘的实际问题应用第十章：总结与提高10.1 向量加法、减法、数乘的总结10.2 向量运算在几何中的应用10.3 向量运算在坐标系中的应用10.4 向量运算的综合练习与提高重点和难点解析一、向量概念的复习补充说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量具有平行四边形法则、三角形法则等基本性质。
向量可用字母和箭头表示，例如→a、→b。
向量的模长表示向量的大小，方向表示向量的指向。
二、向量的加法运算补充说明：向量加法是将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
湘教版高中数学必修二什么是向量教案
（３）平行向量（共线向量）与相等向量的概念
①平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量．
如图中， 就是一组平行向量，记作
∥ ∥ ．
任作一条与 所在直线平行的直线 ,在 上取一点Ｏ，则可在 上分别作出 ．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
本节重点
向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等
本节难点
向量的概念
教学模式
教学过程
主要内容及板书
摘要与反思
提出问题，引入新课：
（1）我们已学了哪些既有大小又有方向的量？（2）角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形？
强调已学的位移、力、速度、加速度及三角函数线等都是既有大小又有方向的量．这种量就是我们本章所要研究的向量．
3．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？
（1）把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）
（2）把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点）
（3）把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）
三．小结：
作业
Ｐ86习题2.1/A组5；B组2
后记
规定： 与任一向量平行．
②相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．
（４）例题与练习
例１（课本P84例1）
例２（课本P85例2）
例３．有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定相等？
解：有下列两种情况之一，这两个向量一定相等．
①两个长度相等的向量，方向也相同；②两个向量的长度都为零．
（２பைடு நூலகம்向量的表示及模的概念
①表示：向量通常用一条有向线段来表示，也可以用字母 等来表示，或用表示有向线段的起点和终点的字母表示，如 ．
必修二《向量的减法运算》教案、导学案、同步练习
《6.2.2向量的减法运算》教案把大小相等方向相反的两个向量叫做相反向量。
问题三：两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？的相反向量仍是 。
0问题七：非零共线向量怎样做减法运算？问题八：非零共线向量怎样做减法运算？ 1.共线同向2.共线反向小试牛刀判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量。
(√ )ba aO-bba -A意义。
这就是向量减法的几何的终点的向量的终点指向可以表示为从即由图得：a b b a b BA --=.a ba a O-bba -AB()ab b a AB BA AB b BA AB b a B b A a -=--=-=-=，则又因为由问题六可知：的终点的向量为的终点到则，的终点为，的终点为由图得：.a a注意：（1）起点必须相同。
（2）指向被减向量的终点。
1.共线同向abBAC2.共线反向abABC，求作向量。
作法：在平面内任取一点O ，作 则注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。
2、已知平行四边形,,,a b c d a b -c d -acdb OB ACD c d-c abda b-,OA a =,OB b =,OC c =,OD d =BA a b=-DC c d =-,,,b AD a AB ABCD ==。
，分别表示向量用DB AC ,b aaDB证明：作直径BD ，连接DA ，DC ， 则有又因为DA ⊥AB ，DC ⊥BC ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ， 所以CH//DA ，AH//DC.所以四边形AHCD 是平行四边形， 所以 又所以提升训练1、 求下列向量的差（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、根据右图，回答下列问题：（1）当 满足什么条件时，与垂直？（2）当满足什么条件时，？OD OB-=DC AH =OB OC OD OC DC+=-=OC OB OA DC OA AH OA OH ++=+=+=(1)AB AD -=(3)BC BA -=(2)BA BC -=(4)OD OA -=(6)AO BO -=(5)OA OB -=DB CA AC AD AB BA abABCDb a ,b a ,ba b a -=+《6.2.2 向量的减法运算》导学案【学习目标】素 养 目 标与1. 相反向量2. 向量的减法定义3. 向量减法的几何意义§6.2.2 平面向量的减法运算一、情境导入 2.减法作图 三、课堂小结二、探索新知 3.减法几何意义 四、作业布置减法定义 例1、2、 3,,|||3||||AB a AD b DAB a b a b a b ==∠===+-练习、如图已知向量，，求和120o a bABCO`|b a ||DB ||b a ||AC ba DBb a 3|AB ||AD |ABCD AD AB-=+=-=+===，，由向量的加减法知，故此四边形为菱形由于为邻边作平行四边形、解：以3||60120=∆=∠=∠AC ADC DAC DAB O O 是正三角形，则所以，所以因为333|||sin 60322o AOD OD AD ∆==⨯=由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形，一．相反向量在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝_____.如图所示如果把两个向量a 、b 的起点放在一起，则a －b 可以表示为从向量b三．|a －b |与|a |，|b |之间的关系(1)对于任意向量a ，b ，都有 ≤ |a －b | ≤ ； (2)当a ，b 共线，且同向时，有|a －b |＝ 或 ； (3)当a ，b 共线，且反向时，有|a －b |＝____． 【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)相反向量一定是共线向量．( √ ) (2)两个相反向量之差等于0.( )(3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( ) (4)两个向量的差仍是一个向量．( )2.设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( )A ．a 与b 的长度相等B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量【经典例题】题型一 向量加减法法则的应用 点拨：例1 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．【跟踪训练】1 化简： (1)OM →－ON →＋MP →－NA →；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．题型二 利用已知向量表示其他向量 点拨：三个技巧(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例2 如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．【跟踪训练】2 如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，则BD →＝________.题型三 向量减法的应用例3已知向量|a |＝2，|b |＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b |的取值范围是________．【跟踪训练】3（1）已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为 。
湘教版高中数学必修2：向量的加法_课件1(4)
纠错心得 以前学过的结论不能简单地类比到向量中来， 只有经过证明是正确的结论才能用．
课堂总结
1．向量的减法是加法的逆运算． 2．作两向量的差，需要先把两向量的起点平移到一起，
再连结两向量的终点得到指向被减向量的终点的向量 即为其差向量．
A→B＋C→F＝O→B－O→A＋O→F－O→C＝b－a＋f－c， B→F－B→D＝D→F＝O→F－O→D＝f－d， D→F＋F→E＋E→D＝0. 点评 结合几何图形，灵活利用三角形法则处理．有时还
要利用到相反向量的性质，封闭图形各边一定对应的向量
依次相加的和为零向量等结论．
2. 如图所示，在正八边形 ABCDEFGH 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D
③当 a，b 不共线时，作向量A→B＝a，A→C＝b，则向量C→B＝a
－b.在三角形 ABC 中，根据“两边之和大于第三边，两边之 差小于第三边”可得||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|. 综上可得，式子|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|是成立的．
预习测评
1．下列四个等式：
向量的加法
1．理解零向量的意义． 2．理解相反向量的意义，掌握向量减法运算及其几何意义． 3．能熟练地进行向量减法运算．
自学导引
1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作_0 或→0 .零向量 没有确定的方向．
2．相反向量 与a_长__度__相__等__，__方__向__相__反__的向量，叫做a的相反向量，记 作－__a_． (1)规定：零向量的相反向量仍是_零__向__量__； (2)－(－a)＝_a_； (3)a＋(－a)＝_(－__a_)_＋__a_＝_0_； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝_－__a，a＋b＝_0_.
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.2.1 向量的加法
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 √2 km,
方向为北偏东80°.
规律方法
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出
1.定义:已知两个非零向量 a,b,在平面上任取一点 O,分别作=a, =b,则定
义从 O 到 B 的向量为
a,b的和
=.求向量和的运算称为向量的加法.
,记作
a+b
.即 a+b= +
2.向量求和的法则
名师点睛
对向量加法的两种法则的理解
(1)当两个向量方向既不相同也不相反时,三角形法则和平行四边形法则的
第1章
1.2.1 向量的加法
课标要求
1.借助实例掌握平面向量加法的概念.
2.借助平面向量的几何表示掌握向量加法的运算法则及运算律,理解其几
何意义.
内
容
索
引Leabharlann 01基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 向量加法的定义及求和法则
A.梯形
B.矩形
C.正方形
D.平行四边形
)
答案 D
解析 由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边
形.故选D.
2.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量
a+b表示(
)
高中教育数学必修第二册湘教版《1.2.1 向量的加法》教学课件
A．0＋a＝a
B．a＋b＝b＋a
C．AB + BA＝2BA D．AB + BC＝AC
答案：C
解析：0＋a＝a，故A成立；根据向量加法满足交换律，可知a＋b＝b＋a，故B成立；AB + BA＝0，故C不
成立；利用向量的加法法则，可知AB + BC＝AC，故D成立．
4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝
)
题型3 向量加法的应用
角度1 平面几何问题
例3 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，
求证：AD + BE + CF＝0.
方法归纳
灵活运用相等向量和相反向量．如本题中EF＝CD，BC + CB＝0.
角度2 实际应用问题
例4 一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由
一质点从点A出发，方案①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，
方案②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点
A一定会到达同一终点．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a + b)
＋(Ԧc + d)＝(b + d)＋(a + cԦ)；a + b + cԦ + d + e＝[d＋(a + cԦ)]＋(b + e)．
+
AC
BC＝________．
向量
加法
的平
行四
边形
法则
前提
作法
结论
图形
从同一点O出发作有向线段OA＝a，OB＝b.
以OA，OB为邻边作▱OACB.
湘教版高中高一数学必修二《向量的应用》评课稿
湘教版高中高一数学必修二《向量的应用》评课稿一、课程目标本堂课主要以讲授《向量的应用》为主题，旨在通过引入向量的概念与方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
具体的课程目标包括：1.理解向量的定义与性质；2.掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算；3.学会如何使用向量表示平面上的点和线段；4.能够运用向量解决实际问题，如平面几何和物理等方面的应用问题；5.培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力，提高解决问题的方法和策略。
通过本节课的学习，学生将获得一些基本的向量技巧和方法，为将来更深入的数学学习打下坚实的基础。
二、教学重点与难点1. 教学重点•向量的定义与性质；•向量的加法、减法和数量乘法运算；•向量表示平面上的点和线段；•向量在实际问题中的应用。
2. 教学难点•向量的运算法则及其应用；•实际问题的向量表示和分析。
三、教学内容与方法1. 教学内容Step 1:向量的概念与性质 - 向量的定义及其表示方法；- 零向量和单位向量； - 向量的数量乘法。
Step 2:向量的加法与减法 - 向量的加法与减法运算法则；- 向量的平移性质。
Step 3:向量的应用 - 向量表示平面上的点和线段； -平面几何中的向量应用； - 物理问题中的向量应用。
2. 教学方法为了达到良好的教学效果，将采用以下教学方法：•针对每个步骤，首先通过讲解向量的概念与性质，帮助学生建立基本的认知框架；•结合具体的例题和练习，引导学生主动思考，参与课堂讨论以加深对向量运算法则和应用的理解；•强调实际问题解决的重要性，引导学生将向量与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
四、教学过程设计1. 导入环节•引入问题：小明从家里步行50米后向东转弯，然后又步行30米后向北转弯，最后他又步行了40米。
请问他最后所在的位置在哪里？简要描述解决问题的思路。
2. 提出问题与定义Step 1:向量的定义与性质 - 通过示意图引入向量的定义及其性质； - 引导学生发现向量的特点，例如大小与方向等。
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版一、教学目标：1. 让学生理解向量的加法概念，掌握向量加法的运算规则。
2. 培养学生利用向量加法解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的运用和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 向量的加法定义：两个向量相加，即求它们的和向量。
2. 向量加法的运算规则：三角形法则和平行四边形法则。
3. 向量加法在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 向量加法的运算规则及运用。
2. 利用向量加法解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的加法概念和运算规则。
2. 利用多媒体演示向量加法的运算过程。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量加法在实际问题中的应用。
4. 运用案例分析法，分析向量加法在实际问题中的具体运用。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考向量加法的意义。
2. 讲解向量的加法概念，阐述向量加法的运算规则。
3. 演示向量加法的运算过程，让学生直观地感受向量加法。
4. 练习向量加法的运算，巩固所学知识。
5. 引导学生运用向量加法解决实际问题，提高学生的应用能力。
6. 课堂小结，梳理本节课所学内容。
7. 布置课后作业，巩固所学知识。
8. 课后反思：总结课堂教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学策略1. 案例导入：通过简单的实际问题，如物体运动中的速度合成，引导学生理解向量加法的实际意义。
2. 互动教学：在讲解向量加法规则时，鼓励学生参与，例如通过学生在黑板上画图演示向量加法。
3. 分组讨论：让学生以小组为单位，探讨向量加法在不同情境下的应用，如力学中的力的合成。
4. 问题解决：设计一些富有挑战性的问题，让学生运用向量加法解决，提高学生的解决问题的能力。
5. 技术辅助：利用计算机软件或教具，如GeoGebra，直观展示向量加法的动态过程。
七、教学评估1. 课堂问答：通过提问，检查学生对向量加法概念和运算规则的理解。
2. 练习题：设计不同难度的练习题，让学生在课后巩固知识。
高中教育数学必修第二册湘教版《1.2.2 向量的减法》教学课件
4．如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OF＝f，试用a，b， c，d，f表示以下向量：
(1)AC；(2)AD；(3)AD − AB；(4)AB + CF； (5)BF − BD.
解析：(1)AC＝OC − OA＝c－a. (2)AD＝OD − OA＝d－a. (3)AD − AB＝BD＝OD − OB＝d－b. (4)AB + CF＝OB − OA + OF − OC＝b－a＋f－c. (5)BF − BD＝DF＝OF − OD＝f－d.
跟踪训练1 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
题型2 向量的减法运算 例2 (1)(多选)下列各向量运算的结果与AC相等的有( ) A．AO + OC B．AO − OC C．OA − OC D．OC − OA
答案：AD
解析：A中，AO + OC＝AC；B中，AO − OC≠AC；C中，OA − OC≠AC；D中，OC − OA＝AC.
第2课时 向量的减法
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点一 向量的减法 1．已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减 法，记为x＝___b－__a___，x称为b与a之差． 2．减去一个向量a，等于加上它的__相__反_向_量_－__a ___．即b－a＝b＋(－ a)．
跟踪训练2 AB＝( )
A．BD C．CD
(1)如图，在△ABC中，D是BC上一点，则AD − BC −
B．DB D．DC
答案：C
解析：由图形可知：AD − BC − AB＝AB + BD − BC − AB＝BD − BC＝CD.
(2)已知A，B，C，D是平面上四个点，则AB − CB + CD＝__A_D__．
湘教版高中数学必修2课件 4.2 向量的加法(一)课件1
课堂讲义
要点一 向量的加法法则 例1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向
量： (1)O→A＋O→C；(2)B→C＋F→E；(3)O→A＋E→D＋F→E.
课堂讲义
解 (1)由题图知，OABC为平行四边形，∴O→A＋O→C＝O→B. (2)由图知B→C＝F→E＝O→D＝A→O，∴B→C＋F→E＝A→O＋O→D＝A→D. (3)∵E→D＝A→B，F→E＝B→C，∴O→A＋E→D＋F→E＝O→A＋A→B＋B→C＝O→C.
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算 时，可以按照任意的次序和任意的组的加法(一)
预习导学
[学习目标] 1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何
意义． 2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地
运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释
加法运算律的合理性．
预习导学
课堂讲义
答案 (1)A→D (2)0 (3)①A→C ②A→O ③A→D ④0 解析 (1)C→D＋B→C＋A→B＝(A→B＋B→C)＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D. (2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F)＋F→A＝A→C＋ C→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0. (3)①A→D＋A→B＝A→C，②C→D＋A→C＋D→O＝C→O＋A→C＝A→O， ③A→B＋A→D＋C→D＝A→C＋C→D＝A→D，④A→C＋B→A＋D→A＝D→C＋B→A＝ 0.
预习导学
(2)平行四边形法则 如图所示，已知两个不共线向量a，b，作 O→A ＝a， O→B ＝b，则 O、A、B三点不共线，以 OA ， OB 为邻边作 平行四边形 ，则 对角线上的向量 O→C ＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行 四边形法则．
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第1章 1.2.2 向量的减法
【例1】 化简下列各向量的表达式:
(1) + − ;
(2)( − )-( − );
(3)( + + )-( − − ).
解(1) + − = − = .
(2)( − )-( − )=( + )-( + )= − =0.
规律方法
解决向量模的问题的两种方法
(1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注
意相关知识间的联系;
(2)利用向量形式的三角不等式,即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解.用此法求
解时,一定要注意等号成立的条件.
变式训练3
已知||=a,||=b 且 a>b,| |的取值范围是[5,15],则 a,b 的值分别
(3)( + + )-( − − )=( + )-( − )= − =0.
规律方法
向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
变式训练1
化简下列向量表达式:
(1) − + − ;
答案 B
解析 = − =-a-b.
)
2.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是(
A. − =
B. − =
C. − =0
D. − =
)
答案 C
解析 , 是相反向量,它们的和是零向量,但 − = ≠0.
;
(2) − =
;
(3) − =
.
答案 (1) 或
(2)
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向量的加法与减法（1）
教学目的：
⑴掌握向量加法的定义
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.
教学难点：向量的加法和减法的定义的理解
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与．
有向线段的起点无关
．．．．．．．．．.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
7.对向量概念的理解
AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只
要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 二、讲解新课：
1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC 叫做a 与
b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+
特殊情况：
(1)
B
B
A
a
b
b
a +A
A
B
)
2()
3(
对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |;
（3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |;若|a |<|b |,则a +b 的方向与
b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加
2．向量加法的交换律：a +b =b +a
3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )
证：如图：使a AB =, b BC =, c CD = 则(a +b ) +c =AD CD AC =+
a + (
b +
c ) =AD BD AB =+
∴(a +b ) +c =a + (b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 三、讲解范例：
例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
解：设AD 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB 表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行的
速度.
在ABC Rt ∆中，2||=AB ，32|BC |=
所以4|AC |==
因为tan C A B C A B 602
∠==
∠=︒
答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60
四、课堂练习：
1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度
2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速
3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v
4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是
km/h ，最小是
km/h
五、小结1︒向量加法的几何法则；2︒交换律和结合律；
3︒注意：|a+b| ≤ |a| + |b|，当且仅当方向相同时取等号
六、课后作业：2、已知两个力F
1,F
2
的夹角是直角，且已知它们的合力F与F
1
的夹角是
60︒，|F|=10N求F
1和F
2
的大小
3、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
七、板书设计（略）
八、课后记：。