2015-2016学年江西高安中学高一创新班(下)期中数学试题(解析版)

2015-2016学年江西高安中学高一创新班（下）期中数学试题一、选择题1．经过1小时，时针旋转的角是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】D【解析】试题分析：经过一小时，时针按顺时针旋转6π，即时针旋转的角度是6π-，为第四象限角，故本题答案选D. 【考点】1.角的定义；2.象限角． 2．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=A ．35-B ．35C ．45- D ．45【答案】A【解析】试题分析：由已知α为第二象限角，sin 0α>，由sin 3tan cos 4ααα==-，又22sin cos 1αα+=，解得3sin 5α=，则由诱导公式()3sin sin 5απα+=-=-.故本题答案选A.【考点】1.同角间基本关系式；2.诱导公式．3．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为A ．2π B ．3πC 【答案】D【解析】试题分析：令圆的半径为r ，则该圆弧的长度，其所对圆心角的弧度l r α===故本题答案应选D. 【考点】弧长公式．4．在四边形ABCD 中，)2,1(=AC ，)2,4(-=BD ，则该四边形的面积为 A.5 B.52 C.5 D.10 【答案】C【解析】试题分析：由向量的坐标运算AC == ，BD == ，41220AC BD ⋅=-⨯+⨯= ，即A C B D⊥ ，即A CB D⊥，四边形对角线互相垂直，且长度分别为152AC BD ⨯⨯=.故本题答案应选C. 【考点】向量的坐标运算．【易错点睛】本题主要考查向量的数量积和坐标运算.向量的数量积是向量与向量之间的一种运算,但运算结果却是一个数量.两个向量的夹角必须是起点相同时所得几何图形的角,对于首尾相接时,应该是几何图形内角的补角,如本题中AB 与BC的平角是角B 的补角,而不是角B ,这里要特别注意,容易出现错误.5．在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =A ．23-B ．23C ．2D ．21【答案】B【解析】试题分析：由1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B 知()(tan tan )tan B C 1tan tan B C B C ++==-，三角形中A B C π++=，由诱导公式()tan tan A B C =-+=知6A π=，则s i n2s i n 3A π==.故本题答案应选B.【考点】1.诱导公式；2.两角和的正切公式；3.特殊角的三角函数．6．已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数的图像如图所示，则点 （ωϕ，）的坐标是A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．4,3π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】试题分析：由三角函数图象可知5224244T πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，即2,42T ππωω===，函数图象过,224π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入表达式可得2sin 26πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，则23πϕ=.故本题答案应选A.【考点】三角函数的图象与性质．7．函数y = A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D【解析】试题分析：由函数表达式可知2cos 10x +≥，则1c o s 2x ≥-，即222233k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈.故本题答案选D. 考点:余弦函数的性质． 8．记0s i n (c o s 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则A ．d c b a >>>B ．c d b a >>>C ．d c a b >>>D ．a b d c >>> 【答案】B【解析】试题分析：20161446360o o o=-+⋅,由诱导公式及三角函数性质,则1cos 2016sin 20160o o -<<<,再由正弦函数性质可知()()sin cos 2016sin sin 20160o o <<,由余弦函数性质()()0cos cos 2016cos sin 2016o o<<,可知()()()()s i nc o s 2016s i n s i n 2016c o s c o s 201o oo o <<<,即c d b a >>>,故本题答案选B.【考点】1.诱导公式；2.正余弦函数性质． 9．40sin 125cos 40cos -=A.1B.3C.2D.2 【答案】C【解析】试题分析：()()22cos 40cos 20sin 20cos 20sin 20cos 20sin 20o o o o o o =-=+-()()0cos 25cos 4520cos 20sin 202o o o o =-=+cos20sin 20cos20sin 20o o o o ==-=-,代入可=故本题答案应选C.【考点】1.倍角公式；2.两角和的余弦公式；3.特殊角的三角函数值．10．已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为 A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π20161【答案】A【解析】试题分析：原函数可化简为()sin 232f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立,就是函数的周期满足201622T ππω=≤,则14032ω≥,即最小值为14032故本题答案应选A. 【考点】1.倍角公式；2.辅助角公式；3.()sin()f x A x b ωϕ=++的性质【思路点睛】本题主要考查倍角公式,辅助角公式,()sin()f x A x b ωϕ=++的性质.对于一些没有直接指出函数的最小正周期的问题,关键是正确理解题意,通过数形结合,准确找出隐含的最小正周期的条件,将问题化归为我们熟悉的正弦函数,余弦函数,正切函数的最小正周期问题加以解决.如本题中将不等式转化成周期应该满足的条件得出ω的范围．11．已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96A.6B.5C.4D.3 【答案】B【解析】试题分析：如图，O 为外心,过点O 分别作,AB OD OE AC ⊥⊥,由外心性质可知,D E 为中点.则221132,7222AO AB AB AO AC AC ⋅==⋅== ,又3A π=,则812cos 483AC AB π⋅=⨯⨯= ,由AC y AB x AO +=,则2AO AB xAB yAC AB ⋅=+⋅ ,2AO AC xAB AC yAC⋅=⋅+,可化为326448,7y xy =+=+,可得14,89x y ==,即695x y +=.故本题答案应选B.【考点】1.向量的数量积；2.三角形外心的性质；3.平面向量的基本定理．【思路点睛】本题主要考查平面向量的基本定理,数量积及三角形外心的性质.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.二、填空题12______项. A.21 B.22 C.23 D.24 【答案】C【解析】试题分析：原数列可化为，即通项公式为，=6831,23n n =-=.故本题答案应选C.【考点】数列的通项公式．13．已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ． 【答案】6π-【解析】试题分析：2sin sin 332ππ==，21cos cos 332ππ=-=-，即12P ⎫-⎪⎪⎝⎭，由三角函数定义知tan 3α=-，又)(παπα<≤-，则6πα=-.故本题答案应填6π-. 【考点】1.三角函数定义；2.特殊角的三角函数．14．已知向量,a b满足2,3a b == ，且2a b - ，则向量a 在向量b方向上的投影为 ． 【答案】1 【解析】试题分析：由数量积定义,()2222|2b |2b44b cos ,b b 13a a a a a -=-=-+= ,可知1cos ,b 2a = ,则向量a 在向量b 方向上的投影为cos ,b 1a a =.故本题答案应填1.【考点】1.向量的数量积；2.向量的投影． 15．已知x ，y均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足s i nc o s xyθθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+， 则xy的值为 ． 【答案】12【解析】试题分析：由sin cos x y θθ=,可得2222sin cos x yθθ=, 又22sin cos 1θθ+=,则2222sin x x y θ=+,2222cos y x y θ=+,由()222222sin cos 174x y x y θθ+=+,得2222174y x x y +=,则224y x =或2214y x =,x ，y 均为正数，y x >,则12x y >. 【考点】同角间基本关系式．【规律点睛】本题主要考查同角间基本关系式.对于同角间基本关系式，一般有三种应用.1.已知正弦（余弦）的值求正切函数值,先用平方关系,再用商数关系；2.已知正切的值求正弦（余弦）的值,先利用解方程组的方法,再由条件判断符号即可；3.在式子sin cos ,sin cos ,αααα+-及sin cos αα中,知道其中一个式子的值,便可求得其余两个式子的值.求解中注意符号的讨论与取舍. 16．给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图像关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的 取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为 ．【答案】①②⑤【解析】试题分析：①将512x π=代入可得函数最大值2,为函数对称轴；②函数tan y x =的图象关于点()(),0,,02k k kZπππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭对称,包括点,02π（）；③2,s i n 2s i n 4343ππππππ⎛⎫+>+< ⎪⎝⎭,③错误；④利用诱导公式()sin sin παα-=,可得不同于21x x k π-=的表达式；⑤对x 进行讨论,利用正弦函数图象,得出函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，与直线y k =仅有有两个不同的交点，则()1,3k ∈．故本题答案应填①②⑤.【考点】三角函数的性质．【知识点睛】本题主要考查三角函数的图象性质.对于()si n y A x ωϕ=+和()cos y A x ωϕ=+的最小正周期为2T πω=.若()sin y A x ωϕ=+为偶函数,则当0x =时函数取得最值,若()sin y A x ωϕ=+为奇函数,则当0x =时,()0f x =.若要求()f x 的对称轴,只要令()2x k k Z πωϕπ+=+∈,求x .若要求()f x 的对称中心的横坐标,只要令()x k k Z ωϕπ+=∈即可.三、解答题 17．已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值． 【答案】6563【解析】试题分析：由所给,αβ的取值范围，确定3,44ππαβ++的取值范围，再由所给cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由所给3sin 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求出3cos 4πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据[]344)sin sin sin πβααπββαπ⎛⎫⎛⎫+⎡⎤+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎢⎭⎥⎣⎦（）－（ 利用两角和的正弦公式展开代入可得所求函数值.试题解析：∵4π＜α＜4π3，∴2π＜4π+α＜π．又cos （4π+α）=－53，∴sin （4π+α）=54．∵0＜β＜4π，∴4π3＜4π3+β＜π．又sin （4π3+β）=135，∴cos （4π3+β）=－1312， ∴sin （α+β）=－sin ［π+（α+β）］=－sin ［（4π+α）+（4π3+β）］=－［sin （4π+α）cos （4π3+β）+cos （4π+α）sin （4π3+β）］=－［54×（－1312）－53×135］=6563．【考点】1.诱导公式；2.两角和的正弦公式.【规律点睛】本题主要考查诱导公式,两角和的正余弦公式. 在如同角的变换相关题型时,当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.常见的配角技巧:()()2;;;2ααααββαββα=⋅=+-=--424πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭;()()()()11;22ααβαββαβαβ=++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦. 18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标． 【答案】（1）32λ=-；（2）()10,7 【解析】试题分析：（1）由三点共线可知AE kEC =,据已知条件,可得关于,k λ的方程组,解方程组得λ值；（2）由已知条件可求出BC坐标,由平行四边形的边之间的关系可得AD BC =,再由D 点坐标可得A 点的坐标. 试题解析：（1）AE ＝AB ＋BE＝（2e 1＋e 2）＋（－e 1＋λe 2）＝e 1＋（1＋λ）e 2∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k C E，即e 1＋（1＋λ）e 2＝k （－2e 1＋e 2）， 得（1＋2k ）e 1＝（k －1－λ）e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴1201k k λ+=⎧⎨=-⎩，解得k ＝－12，λ＝－32.（2）C B ＝BE ＋C E ＝－3e 1－12e 2＝（－6，－3）＋（－1,1）＝（－7，－2）．∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，∴D A ＝C B. 设A （x ，y ），则D A＝（3－x,5－y ），∵C B ＝（－7，－2），∴3752x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得107x y =⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为（10,7）．【考点】1.平面向量的基本定理；2.向量的坐标运算． 19．已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ． （1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间． 【答案】（1）1=a ，3-=b ； （2）函数)(x f 的单调递减区间为]3,4[ππ，单调递增区间为]43,3[ππ 【解析】试题分析：（1）由x 的范围得出sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围,对a 讨论后可得函数最值,从而得到关于,a b 的方程组,解方程组得,a b 值；（2）,a b 具体,则()f x 具体,利用函数()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><性质,可求函数的单调区间.试题解析：（1）①当0>a 时，⎩⎨⎧-=++--=++3221323b a a b a a ，解之得⎩⎨⎧-==31b a②当0<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=++--=++1322323b a a b a a ，解之得⎩⎨⎧-=-=131b a 不适合题意故1=a 、3-=b（2）由（１）可得]43,4[,1)26sin(2)(πππ∈--=x x x f 也即]43,4[,1)62sin(2)(πππ∈---=x x x f 由Z k k x k ∈+≤-≤-,226222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ又434ππ≤≤x ，34ππ≤≤∴x ，所以函数)(x f 的单调递减区间为]3,4[ππ由Z k k x k ∈+≤-≤+,2326222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ 又434ππ≤≤x 433ππ≤≤∴x ，所以函数)(x f 的单调递增区间为]43,3[ππ 【考点】()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><的性质．20．已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<．（1）若π4α=，求函数()f x b c =⋅ 的最小值及相应x 的值；（2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．【答案】（1）函数()f x 的最小值为32-，相应x 的值为11π12；（2）tan 2α=【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算,将函数的向量表示转化成具体的表达式,可得())2sin cos sin cos f x x x x x =+，sin cos (0π)t x x x =+<<利用换元法，将函数()f x 用t 表示，可得关于t 的一元二次函数，利用一元二次函数的性质，求出最小值及相应t 的值，再找出相应的x 的值；（2）由向量的坐标运算,将夹角余弦列出方程关于,x α方程,再由a c ⊥得出另外关于α等式，化简可得tan2α的值．试题解析：（1）∵()()cos , sin , sin 2sin , cos 2cos b x x c x x αα==++ ，π4α=，∴()f x b c =⋅cos sin 2cos sin sin cos 2sin cos x x x x x x αα=+++2sin cos cos )x x x x =+．令sin cos (0π)t x x x =+<<，则22sin cos 1x x t =-，且1t -<则223()1(2y f x t t ==-=+-，1t -<∴t =时，min 32y =-，此时sin cos x x +=．由于0πx <<，故11π12x =．所以函数()f x 的最小值为32-，相应x 的值为11π12．（2）∵a 与b 的夹角为π3，∴πcoscos cos sin sin cos()3||||x x x ααα⋅==+=-⋅a b a b ． ∵0πx α<<<，∴0πx α<-<，∴π3x α-=． ∵a c ⊥，∴cos (sin 2sin )sin (cos 2cos )0x x αααα+++=．∴sin()2sin 20x αα++=，πsin(2)2sin 203αα++=．∴5sin 2202αα=，∴tan 2α= 【考点】1.向量的坐标运算；2.向量的数量积；3.一元二次函数的性质． 【规律点睛】本题主要考查向量的坐标运算,向量的数量积.三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令()()1122,,,a x y b x y ==, 则121212211212;//;0a b x x y y a b x y x y a b x x y y ⋅=+<=>=⊥<=>+=把向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三有函数的恒等变换以及三角函数,解三角形等知识的运用.21．已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若 将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数．（1）求)(x f 的解析式，并求)(x f 的对称中心； （2）若关于x 的方程02)()]([32=+⋅+x g m x g 在区间]2,0[π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1)62sin()(+-=πx x f ，Z k k ∈+),1,212(ππ；（2）5-<m 或62-=m 【解析】试题分析：（1）相邻两对称轴间的距离为半周期,由2T πω=,可得ω，按三角函数的平移变换,得()g x 表达式,函数为奇函数,得b 值,且过()0,0点得ϕ值,求出表达式后由()sin()f x A x b ωϕ=++性质可得对称中心；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得()g x 的范围,将()g x 利用换元法换元,将问题转化为一个一元二次方程根的分布问题,利用判别式得不等式解得m 取值范围.试题解析： （1）由条件得：ππ=⇒=T T 22，即22=⇒=ωπωπ,则b x x f -+=)2sin()(ϕ， 又1])12(2sin[)(-+++=b x x g ϕπ为奇函数，令1=b ，0)6sin()0(=+=ϕπg ，22πϕπ<<-，-=ϕ6π，1)62sin()(+-=πx x f 由Z k k x ∈=-,62ππ，得对称中心为：Z k k ∈+),1,212(ππ （2）]2,0[π∈x ,又有（1）知：x x g 2sin )(=，则],0[2π∈x ，sin 2x ∴的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令),(x g t =则]1,0[∈t ∴由原命题得：0232=++mt t 在)1,0[∈t 上仅有一个实根.令23)(2++=mt t t H ，则需023)1(<++=m H 或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=-=∆1600242mm ， 解得：5-<m 或62-=m .【考点】1.()sin()f x A x b ωϕ=++性质；2.一元二次方程；3.换元法．22．定义区间),(βα=I 的长度为αβ-，已知函数x a ax x f )1()(22++=，其中0<a ，区间{}0)(|>=x f x I . （1）求区间I 的长度；（2）设区间I 的长度函数为)(g a ，]1,(--∞∈a ，问：是否存在实数k ,使得)4sin ()3sin (22--≤--x k g x k g 对一切R x ∈恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1a a --；（2）存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,21k 【解析】试题分析：（1）将I 的形式通过解不等式0)(>x f 转化为区间的形式,利用区间端点值的差可求区间长度；（2）由（1）知区间长度函数为aa a g 1)(--=，利用单调性定义可判定函数在]1,(--∞∈a 范围内单调递减,可将不等式)4sin ()3sin (22--≤--x k g x k g 转化成关于k 的不等式组,解不等式组可得k 的范围.试题解析：（1）0)(>x f ，即()0122>++x a ax0<a ∴()0122<+--x a ax ⇒()[]012<++-a ax x∴a a x 102+-<<，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=a a I 1-02， ∴I 的长度为aa a a 112--=+- （2）由（1）知aa a g 1)(--=，(]1,-∞-∈a 设任意的(]1,,21-∞-∈a a 且21a a <，则()()=-21a g a g ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221111a a a a =()2121121a a a a a a -⋅- 1-21≤<a a ，121>∴a a ，0121>-∴a a ，又012>-a a∴()01212112>-⋅-a a a a a a ，即()()21a g a g >()(]1,-∞-∴在函数a g 上为减函数.设存在实数k ，使得()()4sin 3sin 22--≤--x k g x k g 对一切R x ∈恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧--≥---≤---≤--4sin 3sin 14sin 13sin 2222x k x k x k x k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--+≤+≤x x k k x k x k sin sin 13sin 2sin 2222 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤-≤⇒2321331k k k 121≤≤-⇒k∴存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈1,21k 使得()()4sin 3sin 22--≤--x k g x k g 对一切R x ∈恒成立.【考点】1.新定义；2.函数单调性．。