离散总复习PPT
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自考离散数学课件
离散概率论在计算机科学中还应用于随机算法的设计。随机算法可以在某些情况 下提供比确定算法更高效的解决方案，离散概率论为随机算法的分析提供了理论 基础。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1
离散数学复习3
3
4
5
21
4、图的运算
1、删边、删点
2、删边集、删点集 3、收缩 4、交、并、环和
22
图的运算
1.删除运算 删边：从G中删去一边的子图，记为G-e 删点：从G中删去一点及其关联边所得的 子图，记为G-v
G
G-e
G-v
23
图的运算
删除边集：从G中删去边集E的子集E’所 得到的子图，记为G-E’ 删除点集：从G中删去点集V的子集V’及 它们的关联边所得的子图，记为G-V’
G
G-E’
G-V’
24
图的运算
2.收缩运算：
设图G中边e，它的端点为vi和vj，现删去边e，
并把vi和vj合并为新的一点vi-j，使原来与vi或vj
关联的边变为与新的点vi-j关联，称边e被收缩。
v1 v1 v5 v2 V4-5 v2
e
v4 v3
v3
25
图的运算
3.图的并、交、环和
设图G1=(V1,E1),G2=(V2,E2)
41
路与回路
在图G中，由弧组成的有限序列是弧序。 弧序的开始点记为v0，结束点记为vm。 弧序可以用有向边序列表示，也可以用顶点序列来表 示。 所有弧都不同的弧序即为有向迹，所有顶点都不同的 弧序即为有向路。
若v0= vm的有向迹，则称为有向闭迹，否则称有向开迹。 若v0= vm，而其余顶点都不相同的弧序，则称为有向闭路， 否则称有向开路。
15
图的同构
a c A B
b
d
a-A, b-B, c-C, d-D 观察点a:(a,b) ,(a,c),(a,d) 观察它对应的映射点A： (A,B),(A,C),(A,D) 其余的点都有这种点对点，边对边的映射关系。 这两个图都表现出“图中每一个顶点都与其他3
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
离散数学PPT课件 16重言式与重言蕴涵(ppt文档)
I14. (P∨Q)∧(PR)∧(QR)R
I15. AB (A∨C)(B∨C)
I16. AB (A∧C)(B∧C)
上述公式的证明都比较简单，可以用假设前 件为T，推出后件也为T的方法证明。
• 4. 性质 1).有自反性：对任何命题公式A，有AA 2).有传递性：若AB且BC，则AC 3).若AB 且 AC，则AB∧C 4).若AB 且 CB，则A∨CB
F
T
TF F
F
T
TT T
T
T
永真式的真值表的最后一列全是“T”。
4. 永真式的性质
1).如果A是永真式，则A是永假式。
2).如果A，B是永真式，则(A∧B)、(A∨B)、 (AB)和(AB)也都是永真式。
3).如果A是永真式，则A的置换例式也是永真式。
置换例式： A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元 P1,P2,…, Pn的命题公式，如果用合式公式X替换某 个Pi(如果Pi在A(P1,P2,…,Pn) 中多处出现，则各处 均用X替换 )，其余变元不变，替换后得到新的公
1-4 重言式与重言蕴涵式
• 一.重言式(永真式)与矛盾式(永假式)
• 1.例子：
P P∨P P∧P
F
T
F
T
T
F
可见不论P取什么真值P∨P 的真值总是 为真，P∧P的真值总是为假。故称
P∨P为重言式(永真式)，称P∧P为矛 盾式(永假式)。
• 2 .重言式(矛盾式)定义 A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元P1,P2,…, Pn的 命题公式，如不论对P1, P2 , …, Pn作任何指 派，都使得A(P1,P2,…, Pn) 为真(假)，则称 之为重言式(矛盾式), 也称之为永真式 (永 假式)。
《离散数学》总复习上课讲义
不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
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联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
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联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学6(共15张PPT)
例2：下图所示的两个格都不是分配格。
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
第1页，共15页。
1
注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
4
定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
1
a
bc
0
∵在左图中，
a∧ (b∨c)=a∧1=a
(a∧b) ∨(a∧c)=0∨0=0 a∧ (b∨c)≠(a∧b) ∨(a∧c) ∴左图不是分配格
1 b
a c∧1=b (b∧a) ∨(b∧c)=0∨c=c
b∧ (a∨c)≠(b∧a) ∨(b∧c) 右图不是分配格
第1页，共15页。
1
注意：按照定义证明某个格是分配格不容易，但要证明一个格 不是分配格，只要找出一组元素不满足某一分配式即可。上例 中的两个五元格可用来判断某格是否是分配格。
定理1：一个格是分配格的充要条件是在该格中没有任何子格与这
两个五元格中的任一个同构。
例3：右图所示的两个格都不是分配格
第2页，共15页。
(1) 设 b≤a且c≤a，∴a∧b = b，a∧c = c ∴ (a∧b)∨(a∧c) = b∨c 又∵ b∨c≤a，∴ a∧(b∨c) = b∨c
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) 设 a≤b或a≤c，不论b≤c还是c≤b ，都有a≤b∨c
∴ a ∧( b∨c) = a，(a∧b)∨(a∧c)=a
∴ a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) 由定理1，有a∨ (b∧c) = (a ∨ b) ∧(a∨c)
因此<A, ≤>是分配格。
第4页，共15页。
4
定理4：设<A, ≤>是分配格，则对a,b,cA， 若有 a∧b = a∧c且a∨b = a∨c ，则必有b = c 。
证明：∵a∧b≤b b = b∨(a∧b) = b∨(a∧c) = (b∨a)∧(b∨c) = (a∨c)∧(b∨c)
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学课件第4章.ppt
【example】设R是英语字母串的集合上的关系并且使得 aRb当且仅当l(a)=l(b),其中l(x)是x的长度。R是等价关系吗？
Solution：
因为l(a)=l(b),从而只要a是一个串，就有aRa,故aR是自反的 其次，假设aRb，即l(a)=l(b)。那么有bRa，因为l(a)=l(b),因 此R是对称的。 最后假设aRb和bRc，那么有l(a)=l(b)和l(b)=l(c)。因此 l(a)=l(c)，即aRc，从而R使传递的。 由于R是自反的、对称的和传递的，R是等价关系。
系的所有元素的集合叫做a的等价类。 A的关于R的等价类记作[a]R 当只有一个关系被考虑时，我们将省去下标R并把这个等价类
写作[a]. 换句话说，如果R是集合A上的等价关系，元素a的等价类是
[a]R={s|(a,s)∈ R} 如果b∈ [a]R，b叫做这个等价类的代表元。
一个等价类的任何元素都可以作为这个类的代表元。也就是 说，对作为这个类的代表元所选择的特定元素没有特殊要求。
【example】对于模4同余关系，0和1的等价类是什么？
Solution： 0的等价类包含使得a ≡ 0( mod 4)的所有整数a。这个类中的
整数是被4整除的那些整数。因此，对于这个关系0的等价类是 [0]={…, -8, -4, 0, 4, 8,…}
－上述关系R图就是由三个独立的完全图构成的。
下面给出八个关系如图所示，根据等价关系有向图的特点， 判断哪些是等价关系。
下面是A ={1,2,3}中关系：
1。
1。
1。
1。
2。 。3
R1
1。
2。 。3
R2
1。
2。 。3 2。 。3
R3
1。
Solution：
因为l(a)=l(b),从而只要a是一个串，就有aRa,故aR是自反的 其次，假设aRb，即l(a)=l(b)。那么有bRa，因为l(a)=l(b),因 此R是对称的。 最后假设aRb和bRc，那么有l(a)=l(b)和l(b)=l(c)。因此 l(a)=l(c)，即aRc，从而R使传递的。 由于R是自反的、对称的和传递的，R是等价关系。
系的所有元素的集合叫做a的等价类。 A的关于R的等价类记作[a]R 当只有一个关系被考虑时，我们将省去下标R并把这个等价类
写作[a]. 换句话说，如果R是集合A上的等价关系，元素a的等价类是
[a]R={s|(a,s)∈ R} 如果b∈ [a]R，b叫做这个等价类的代表元。
一个等价类的任何元素都可以作为这个类的代表元。也就是 说，对作为这个类的代表元所选择的特定元素没有特殊要求。
【example】对于模4同余关系，0和1的等价类是什么？
Solution： 0的等价类包含使得a ≡ 0( mod 4)的所有整数a。这个类中的
整数是被4整除的那些整数。因此，对于这个关系0的等价类是 [0]={…, -8, -4, 0, 4, 8,…}
－上述关系R图就是由三个独立的完全图构成的。
下面给出八个关系如图所示，根据等价关系有向图的特点， 判断哪些是等价关系。
下面是A ={1,2,3}中关系：
1。
1。
1。
1。
2。 。3
R1
1。
2。 。3
R2
1。
2。 。3 2。 。3
R3
1。
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E12R∨F R
E13R∧T R E14R∨T T E15R∧F F E16P→Q P∨Q E17(P→Q) E18P→Q P∧Q Q→P
同一律
零律
E19P→(Q→R)
E20(P Q)
P∧Q→R
P Q
常用等价式
在存在量词约束下用“”
5) 数学公式的符号化。
例
并非 所有的 书 大家都 喜欢 连词 数量词 名词 数量词 动词 (x)(Book(x)(y)(Man(y) Love(y, x)))
这家 店 供应 一切 简易 用具 指示代词 名词 动词 数量词 形容词 名词 Shop(a) (x)(Simple(x) Tool(x)Supply(a, x))
否定联结词
合取联结词
一元
二元
¬
析取联结词
异或联结词
二元
二元
条件（蕴涵）联结词
二元
↔
双条件（等值）联结词 二元
命题联结词－总结
p F F T T
q F T F T
p T T F F
pq pq pq pq pq F F F T T F T T T F F T T F F T T F T T
谓词逻辑
谓词逻辑中的新概念
论域、个体
（n元）函词
（n元）谓词 （全称、存在）量词
论域
个体常元 a 个体变元 x
论域 D
n元谓词 P
n元函词 f Dn D Dn {F, T}
量词
量词：表示命题中个体数量的词。 全称量词 存在量词 表示论域中全部元素 … 存在 … 部分 …
(x)
量词的语义
量词： 设P为论域D上的一个一元谓词，则 命题(x)P(x)的真值为T iff 对每个aD，命题P(a)的真值皆为T； 命题(x)P(x)的真值为T iff 有aD，使命题P(a)的真值为T。 若D = {a1，a2，…，an}，则 (x)P(x) P(a1) … P(an) (x)P(x) P(a1) … P(an)
定理4.3.6（等价和蕴含）
若 A, B 是 wff ， 则 AB 当 且 仅 当 AB 且
BA 。
AB的证明方法
① 真值表法 ② 解释法：对于A→B的任意解释I，若A在I 下取真值T，则可证明B在I下也必然取真值T； 或者，只要B在I下取真值F，则可证明A在I下 也必然取真值F。
③ 证A→B为永真式
并称G ( P1 , P 2 ,..., P n ) 的真值为G( P1, P2, …, Pn )在I下的 真值。
例
1) P F Q T 2) P (Q P ) 3) Q R (R Q )
有几种解释？真值分别为什么？
真值表的运用
合式公式在给定解释下的真值? 使某合式公式为真/假的解释？ 真值表法 n个命题变元 2n种真值组合
命题符号化
对一个给定的命题，用上面介绍的形式符号 （个体常元、个体变元、函词、谓词和量词） 及逻辑联结词（、、、和↔）正确地表 示出来，称为对它的符号化。
符号化原则
1) 逐词翻译的原则； 2) 词性翻译； 3) 语义上理解后进行符号化； 4) 特性谓词；
论域为全域
或
论域的子域内取值
在全称量词约束下用“”
例
(1) 10是一个整数
(2) 北京是中国的首都 真值为假 (3) 3+3=8 是断言,不是命题 (4) x+y=4 (5) 吃过饭了吗 ? 疑问句，不是命题 (6) 我正在说谎 是悖论 (7) 快跑！ 是祈使句，不是命题 (8) 啦啦啦啦！ 感叹句，不是命题
命题为真,即真值为真
命题联结词总汇
名称 元数 符号
④ 推演法
例
试证明： 1、PQP(PQ) 2、(QPP)(RPP)RQ
定理4.3.8
设 H1 ， H2 ， … ， Hm ， P ， Q 是 wff 。 如 果 H1∧H2∧…∧Hm∧P Q，则 H1∧H2∧…∧Hm P→Q。
范式和判定问题
极大项/极小项
设P1，P2，…，Pn为互不相同的命题变元，分
E5 (P∨Q)∨R P∨(Q∨R) E6 P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R) E7 P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) E8 (P∧Q) P∨Q
结合律
分配律
德· 摩尔根律 幂等律
E9 (P∨Q) P∧Q
E10P∨P P
常用等价式
E11P∧P P
主合取和主析取范式相互变换
1.
2. 3.
用不出现在合式公式B的主合取范式中的极 大项构造B的主合取范式； 求B的对偶式(B)*； 在(B)*中，用命题变元的否定代替命题变元， 命题变元代替命题变元的否定，即可得到B 的主析取范式。
为什么？
例
求P→(P→Q)∧ (Q∨P)的主范式。 求(P→R) ∧ (Q P)的主范式。
(x)
：关于x的全称量词
Байду номын сангаас： …
(x1) … (xn) ：简写为 (x1…xn) * 量词后面的子wff除原子外需加括号。
例子
问题：所有自然数都不小于0 D=R (x) ( N(x) L(x, 0) ) 引言例： a : 苏格拉底 M(x) ：x是人 D(x) ：x是要死的 (x) (M(x) D(x)) M(a) D(a)
i) 若P为原子，则P为wff；
ii) 若A为wff，则 (A) 为wff； iii) 若A和B都是wff，则(AB)、(AB)、(AB)、(AB) 都是 wff。
（类比于算术表达式的定义）
分子合式公式：是wff 且 是某wff的一部分。
如果合式公式中仅含命题变元P1, P2, …, Pn，则 常用符号： G ( P1, P2, …, Pn ) 来表示
x(y R(x,y))=
y(x R(x,y))= x(y R(x,y))= y(x R(x,y))=
每个人都有某些人可依靠。 有些人被所有的人依靠。（包括自己） 有些人依靠所有的人。 (包括自己) 每个人都被某些人依靠。
x(y R(x,y))= 每个人都依靠所有的人。
Pi1，Pi2，…，Pir（1 r n）为其中r个不同的命题变元，
用合式公式A1，A2，…，Ar 分别同时取代G中的Pi1，
Pi2，…，Pir所得到的新合式公式称为 G 的一个代换实 例。
外层括号 保 证 代换实 例的唯一性
全部出现
定理4.2.1（代入定理）
i) 永真式的任何代换实例必为永真式； ii) 永假式的任何代换实例必为永假式； iii)既非永真又非永假的合式公式之代换实例，
命题符号化
命题的符号化：首先用命题词表示它能包含的 简单命题，然后用这些命题词和上面定义的逻 辑联结词把给定的命题表示出来。
原则： 1. 语义理解； 2. 正反验证。
例
1. 他在家或上街去了 2. 他吃饭或听音乐 3. 水清，则无鱼 4. 落后就要挨打 (PQ)(PQ) PQ PQ PQ
可永真，可永假，也可既非永真又非永假。
等价和蕴含
等价
如果合式公式A、B满足：AB是永真式，
则称A等价于B，记为A B。
语义符号
对可满足公式： 合式公式A和B有相同的命题变元
常用等价式
E1 P P 双重否定律 交换律 E2 P∧Q Q∧P E3 P∨Q Q∨P
E4 (P∧Q)∧R P∧(Q∧R)
主范式的求取方法
① 真值表法
② 等价变换法 ③ 主合取和主析取范式相互转换法
真值表法
例：
P Q R A
F
F
F
F
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
F
F
求：主合取范式和主析取范式
主合取和主析取范式相互变换
对合式公式A，在A的主合取范式中没有出现 的极大项，必出现在A的主合取范式中； 对合式公式A，在A的主析取范式中没有出现 的极小项，必出现在A的主析取范式中；
别称 P 1∨ P 2 ∨ … ∨ P n及P 1∧P 2∧ … ∧P n为关
~ ~ ~
~
~
~
于P1，P2，…，Pn的极大项和极小项，其中 P
~
n
为Pi 或Pi ( i = 1, 2, …, n )。
主范式
设A为包含命题变元P1，P2，…，Pn 的合式公式， 如果合式公式B与A等价，并且B是若干个不同的 关于P1，P2，…，Pn的极大(小)项的合(析)取，则 称B为A的主合(析)取范式，主合取范式和主析取 范式称为主范式。
① 按分子公式列表 ② 按命题联结词列表
例
1) 2) ( P Q) P Q Q R (R Q )
用两种方法分别构造真值表
永真式、永假式、可满足
设G是合式公式，
i) 如果G在任何解释下均为真，就称G为永真 式或重言式； ii) 如果G在任何解释下均为假，就称G为永假 式或矛盾式； iii)如果G至少在一个解释下为真，就称G为可 满足的。
命题逻辑
命题和联结词
命
题
•或真或假而不能二者都是 •可能要根据上下文确定真值
命题：称具有确定真假意义的陈述句为命题。 命题词：表示命题的形式符号。大写拉丁字母， 如P。既可表示真命题，又可表示假命题，故 称命题变元 T，F：命题常元 （相对于命题变元） 命题的真值： T（1）或F（0）