第二讲-随机过程概要及概率基础
第02讲_随机过程的基本概念1
•均值与方差的物理意义：
2 2 E { X 2 ( t )} X (t ) m X (t )
消耗在单位电阻上 的总的平均功率
平均交 流功率
直流 功率
8
随机过程的统计描述
相关函数(correlation function)
举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大
i 1 j 1
其中 pij (t1 , t2 ) P{ X (t1 ) xi (t1 ), X (t2 ) x j (t2 )} •协方差函数
K X (t1 , t2 ) [ xi (t1 ) mX (t1 )][x j (t2 ) mX (t2 )] pij (t1 , t2 )
例2 接收机的噪声电压信号 用示波器来观察记录某个接收机输出的噪声电压波形
5
第一次观测
x1 (t )
0 -5 5 0 50 100 150 200
第二次观测
x2 ( t ) x3 (t )
0 -5 5 0 50 100 150 200
第三次观测
0 -5 5 0 50 100 150 200
角度1：所 有可能观测 结果 { xi (t )} 构成 X ( t )
E[ X (t1 ) X (t2 )] mX (t1 )mX (t2 ) RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
如果 K X (t1 , t 2 ) 0，则称 X (t1 )和 X (t 2 ) 是不相关的 如果 RX (t1 , t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X(t2 ) 是相互正交的 如果 f X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) f X ( x1 , t1 ) f X ( x2 , t 2 )，则称随机过程在
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第一章 随机过程 第二节 随机过程的基本概念
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
2 、二维概率分布 为了描述S.P在任意两个时刻t1和t2的状态间的 内在联系,可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分 布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1} 和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
称为随机过程X(t)的二维分布函数。 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在， 则 2 F ( x , x ;t ,t )
f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
X 1 2 1 2
x1x2
E[cos ] cos f ( )d cos
0 0
2
2
同理
1 d 0 2
E[sin ] 0
mx (t ) 0
2 2 x (t ) 2 (t ) mx (t ) 2 (t ) E[ x2 (t )] x x （2）
2 ＝ E[sin (0t )] E [1 cos(20t 2 )]
t 离散型随机过程：对随机过程任一时刻1 的取值X (t1 ) 都是离散型随机变量。
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。
高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。
作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。
在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。
概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。
在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。
通常用P来表示，它的取值范围是0到1。
当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。
例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。
例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。
在不同的情况下，概率分布也是不同的。
例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。
它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。
根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。
离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。
二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。
它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。
随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。
第二章随机过程基本概念.
第二章随机过程基本概念.2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 .对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 .其研究对象是随机现象,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 .一随机过程的定义1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量,(2对每一个e ∈ S , X(e,t为t 的函数,那么称随机变量族{X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为{X(e,t, t∈ T}或 X(t。
((((({}{}[](为随机序列。
时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式:参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..},且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .(即:在多长时间内来 n 个人 ?所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 .相位正弦波。
概率论与随机过程
概率论与随机过程概率论与随机过程是一门研究随机现象的数学学科，它在统计学、物理学、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将通过介绍概率论与随机过程的基本概念、性质与应用，带领读者深入了解这一学科的重要性和内容。
第一部分：概率论1. 概率论的起源与发展概率论起源于古代赌博中的各种游戏，随着数学的发展逐渐形成独立的学科。
17世纪布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马的通信奠定了概率论的基础，18世纪朱利叶斯·雷蒙·拉普拉斯进一步发展了概率论的理论。
2. 概率论的基本概念事件、样本空间、样本点、概率、事件的运算等是概率论的基本概念。
概率的性质包括非负性、规范性、可加性和完备性。
3. 随机变量与概率分布随机变量是描述随机试验结果的数值特征，概率分布是随机变量各个取值的概率规律。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布，连续概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。
4. 大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值；中心极限定理则是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和的极限分布接近于正态分布。
第二部分：随机过程1. 随机过程的定义与分类随机过程是指随时间变化的一族随机变量的集合，根据时间的离散性和状态的离散性可分为离散时间马尔可夫链、连续时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫过程。
2. 马尔可夫性质马尔可夫性质是指随机过程的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
马尔可夫过程具有无后效性和马尔可夫性。
3. 随机过程的稳定性与平稳性随机过程的稳定性包括短期稳定性和长期稳定性，平稳性指随机过程的概率分布在任意时刻保持不变。
第三部分：概率论与随机过程的应用1. 统计学中的应用概率论与随机过程是统计学的重要基础，用于建立随机模型、估计参数、检验假设等，广泛应用于调查统计、贝叶斯统计、回归分析等领域。
2. 物理学中的应用量子力学中的波函数和量子力学算符可以用概率论的语言进行描述，随机过程常用于描述粒子的运动、衰变过程等。
随机过程 通俗易懂
随机过程通俗易懂随机过程是概率论中的一个重要概念，它描述了一类随机现象的演化规律。
通俗地说，随机过程可以理解为随机事件在时间上的演变。
在我们的日常生活中，有很多随机现象，比如天气变化、股票价格波动、人的行走轨迹等等，这些都可以用随机过程来描述。
随机过程的特点是不确定性和随机性。
在随机过程中，未来的状态是不确定的，只能根据过去的观察结果来推测。
而且，随机过程是随机变量的集合，这些随机变量表示在不同的时间点上的随机事件。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型，离散时间随机过程是指在离散时间点上进行观察和计算，连续时间随机过程是指在连续时间上进行观察和计算。
随机过程的演化规律可以用概率分布来描述。
在离散时间随机过程中，我们可以用概率质量函数来描述随机变量在不同时间点上的取值概率。
而在连续时间随机过程中，我们可以用概率密度函数来描述随机变量在不同时间点上的取值概率密度。
随机过程有很多重要的应用，比如在金融领域中，随机过程可以用来描述股票价格的变化规律，从而帮助投资者做出决策。
在通信领域中，随机过程可以用来描述信号的传输和接收过程，从而帮助设计和优化通信系统。
在生物学领域中，随机过程可以用来描述生物体的遗传变异和进化过程。
在工程领域中，随机过程可以用来描述材料的疲劳和损伤过程，从而帮助设计和改进工程结构。
随机过程的研究不仅需要数学理论的支持，还需要大量的实验数据和观察结果。
通过对随机过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机现象的演变规律，从而为决策和规划提供科学依据。
随机过程是概率论中一个重要的概念，它描述了随机现象在时间上的演变规律。
通过对随机过程的研究，我们可以更好地理解和预测随机现象的演化规律，为各个领域的决策和规划提供科学依据。
随机过程的应用前景广阔，将在各个领域发挥重要的作用。
希望本文能够帮助读者更好地理解随机过程的概念和应用。
第二讲 概率论与随机过程
r r
例6从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子 中“至少有两只配成一双”（事件A）的概 率是多少？ 解：
p 1 C5 2 C10
4 4 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
配对问题
例7 有n个人随机围绕圆桌就座， “甲乙座 位相邻”（事件A）的概率是多少？ 解：
p 1, n 2
N
n
(2)Ｂ={任意n个格子中各有一个质点}； p (3)Ｃ={指定的一个格子中恰有m个质点}
p C n ( N 1)
m n m
n
N
n
格子问题
3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型： 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 同的概率. 人 任一天
S
例8 两人相约8点到9点在某地会面，先到者
等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这
两人能会面的概率．
解：
2 40 5 2 p 1 2 9 60
2
1
例9 在一个圆上任取三点A、B、C, 求能构成 锐角三角形的概率.
解：在一个圆上任取三点A、B、C，构成 的三角形内角分别为A、 B、 C， A B 设 A 的取值为x, B 的取值为y, 有 0<x< 0<y< x
C
它们构成本试验的样本空间 S.
即 S={(x,y): 0<x< , 0<y< x }
能构成锐角 的(x,y)所应满足的条件是： A 0<x<π/2 0<y<π/2 B C x+y>π/2 S x 如右图中红色部分 由几何概率计算得所求概率为 1/4
随机过程基础
随机过程基础随机过程是概率论中一个重要的分支，用于描述随机现象的演化规律和统计特性。
本文将介绍随机过程的基础概念、性质和常见的模型类型。
一、随机过程的概念随机过程是指由一组随机变量组成的函数族 {X(t), t ∈ T}，其中 T是一组时间指标。
随机过程可以看作是随机变量随时间的变化过程。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程：当时间指标集 T 为离散集合时，称为离散时间随机过程。
常见的离散时间随机过程有马尔可夫链和泊松过程。
连续时间随机过程：当时间指标集 T 为连续集合时，称为连续时间随机过程。
连续时间随机过程可以用随机微分方程进行描述，常见的连续时间随机过程有布朗运动和扩散过程。
二、随机过程的性质1. 状态空间：随机过程的状态空间是指随机变量 X(t) 可能取值的集合。
2. 轨道：对于固定的时间参数 t，随机过程的轨道是随机过程的一个实现，称为一个样本函数。
3. 随机过程的均值函数和自相关函数：对于随机过程 {X(t), t ∈ T}，定义均值函数和自相关函数如下：均值函数：μ(t) = E[X(t)]自相关函数：R(t1, t2) = E[(X(t1) - μ(t1))(X(t2) - μ(t2))]均值函数描述了随机过程在不同时间点的平均值，自相关函数描述了不同时刻的随机变量之间的相关性。
4. 平稳性：如果对于任意的时刻 t1 和 t2，二者的联合分布仅仅依赖于时间差 t2 - t1，而不依赖于具体的时刻 t1 和 t2，那么称该随机过程是平稳的。
三、常见的随机过程模型1. 马尔可夫过程：马尔可夫过程是一类具有马尔可夫性质的随机过程。
在马尔可夫过程中，未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
2. 泊松过程：泊松过程是一类具有独立增量和平稳增量的随机过程。
泊松过程常用于描述具有随机到达时间和随机离去时间的事件。
3. 布朗运动：布朗运动是一类连续时间的随机过程，具有无记忆性和独立增量性质。
随机过程 概率论
随机过程概率论
随机过程是一个具有随机性质的数学模型，它描述了一个随机变量在时间上的演化规律。
从概率论的角度来看，随机过程可以看作是一组随机变量的集合，这些随机变量描述了某个系统状态在不同时间的状态值。
随机过程的研究对象通常是时间序列，包括离散时间序列和连续时间序列。
在概率论中，随机过程有两种表示方法，一种是时域表示，另一种是频域表示。
时域表示法是指将时间作为自变量，将系统状态的取值作为因变量，来描述随机过程的性质。
常用的时域表示方法有马尔可夫过程、布朗运动等。
频域表示法是指将频率作为自变量，将系统状态的取值作为幅度来描述随机过程的性质。
在频域表示中，随机过程可分析为其频谱组成，即将其分解为各种不同频率的正弦波和余弦波的组合。
在频域分析中，傅里叶变换是一种被广泛使用的数学工具。
随机过程的应用十分广泛，包括通信领域中的编解码、信道建模等，以及金融、天气预报、物理、化学、生物等领域中的数据分析和建模。
概率论中的随机过程理论
概率论中的随机过程理论概率论中的随机过程理论是一门研究随机现象的数学分支，它广泛应用于统计学、金融学、电信工程、物理学等领域。
随机过程可以被认为是随机事件随时间的演化，它在描述和预测随机事件的过程中起到重要的作用。
本文将介绍随机过程的基本概念和主要理论。
一、随机过程的定义与分类随机过程可以被定义为一个随机变量的集合，它的取值对应于不同的时间点。
随机过程可以被分为离散时间和连续时间两种类型。
对于离散时间随机过程，时间变量是一个离散的集合，而连续时间随机过程的时间变量则是一个连续的集合。
二、随机过程的性质在研究随机过程时，我们通常关注以下几个重要的性质：平稳性、独立性、马尔可夫性和齐次性。
平稳性是指随机过程的统计性质在时间上保持不变。
对于平稳随机过程，它的均值和方差在时间上是常数。
独立性是指在不同时刻发生的事件之间没有相互影响。
如果随机过程中任意时刻的事件是相互独立的，那么我们称该随机过程是独立的。
马尔可夫性是指一个随机过程在未来的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这意味着给定现在状态，过去的状态对未来的状态没有任何影响。
齐次性是指随机过程在任意时刻的性质都是相同的。
齐次随机过程不受时间起点的影响。
三、随机过程的描述和表示随机过程可以通过不同的方式进行描述和表示。
最常用的描述方式是通过概率密度函数或概率质量函数来描述随机过程的状态变量。
另一种表示方法是通过条件概率来表示随机过程。
条件概率表示给定某一时刻的状态，随机过程在未来时刻的变化。
四、常见的随机过程模型在实际应用中，常见的随机过程模型包括马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等。
马尔可夫链是一种具有马尔可夫性质的随机过程。
它的状态变量只与前一时刻的状态有关，与过去的状态无关。
泊松过程是一种描述独立随机时间间隔和事件出现次数的随机过程。
泊松过程常用于描述事件到达或事件发生的时间间隔。
布朗运动是一种连续时间的随机过程模型。
它以其随机性和连续性而在金融学和物理学等领域得到广泛应用。
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
第二章随机过程的基本概念
二、有限维分布族： 定义：对于任意的t1 , t 2 , , t n T ,
F ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) P X (t1) x1, , X (tn ) xn
称为随机过程X (t) 的n 维分布函数. 定义随机过程X(t) 的 n 维分布密度
而 0 ，若 t 从 0 变到 ，时刻 t 来到的
呼叫次数需用一族随机变量 X (t),t [0,) 表 示，X(t)是一个随机过程.
对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表 示 t 以前来到的呼唤曲线 x1(t) ，它为非降的阶
梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加， （假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多 于一次呼唤）.
程 X (t,) 在时刻t 的状态或截口. 若 固定，它
是 t 的函数，称为随机过程的样本函数或样 本曲线，亦称之为现实（曲线）.
Remark：①上述定义中样本空间通常可理
解为样本函数的全体，而每一条样本曲线作 为一个基本事件；例3：样本曲线 x i (t )
作为i(i 1,2,,n,) 改写为 X(t,i) ；全体样本函数x(t) 构成样本空间 ，即X(t,) 全体构成样本空间 当 i 时，X(t,i) 即为 xi(t),i 1,2
的结果是一个随机过程，可用一族相互独 立 r v X 1 ，X2， 或 Xn,n 1表示.
，
Xn
0
n
n
0
……
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8Hale Waihona Puke 910例2．当 t(t 0)固定时，电话交换站在 [ 0 , t ] 时 间内来到的呼叫次数是 r v ，记X (t ) ，X(t) P(t) ， 其中 是单位时间内平均来到的呼叫次数，
随机过程概要及概率基础
四、事件独立： P( AB) P( A)P(B)
n个事件独立， 2n n 1 个表达式。
随机变量独立：X1 , X 2 , , X n 独立，要求
联合密度为边缘密度之积，即：
F x1,, xn FX1 x1 FXn xn
F 其中， X j
xj
lim F xi
x1, , xn
随机过程概要及概率基 础
二、随机数学发展概述
随机数学
stochastic mathematics
概率论
probability theory
随机现象 偶然性
数理统计
Mathematical statistics
内在规律 必然性
随机过程
stochastic process
3 随机过程
➢Brown运动: 1827 年，Brown在显微镜下发现花 粉的无规则运动, 将此奇怪现象公诸于世, 无人能解 释原因. 1900年，法国数学家Bachelier给出 一维 Brown运动粗略模型, 其博士论文为《投机的理论》 ，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河， 但他的结果几十年之后才得到认可.
1.2 随机变量
随机变量X分布函数: Fx PX x
满足：
(ⅰ) 单调不减； (ⅱ) 右连续；
(ⅲ) F 0 ；
(ⅳ) F 1 ；
Fx f x
概率空间( , F, P) 实数a,{ : X () a} F;
这里指的是可测集《 , 实变函数》《应用数学基础》 讲Lebesgue可测，是指：{x D : f (x) a}为可测集.
同时， P Xn 1 (一般项趋于1)， n 1
P(lim sup( X n
0)
1.这样无穷多个X
第2讲 第二章随机过程的概念
0 x 0或y 1 0 x 1, y 2或 1 / 2 x 1, -1 y 2 1 / 4 0 x 1-1 y 2, x 1，y 2 1
华北电力大学数理学院 何凤霞
在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维 分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性 质. 下面，讨论随机过程的数字特征.
X ( t1 ), X ( t 2 ),, X ( t n ) 的联合分布函数：
Ft1 ,,tn ( x1 , , xn ) P{ X (t1 ) x1 , , X (tn ) xn }
称为过程的n 维分布函数族.
有限维分布函数性质 1) 对称性 对1,2,…,n的任一排列j1, j2, … , jn,均有
E ( A) E[cos( t )] 0;
RX ( s, t ) E[ X ( s ) X ( t )] E[ A2cos(t )cos(s )]
E ( A2 ) E[cos(t )cos(s )] 1 2π 0 cos( t θ )cos( s θ )dθ 2π 1 2π 0 [cos( t s ) cos(( t s ) 2θ )dθ 4π 1 cos( t s ). 2
mY (n) E[Yn ] E[ X j ] np,
n
m n BY (n, m) COV Yn , Ym COV X j , X j j j 1 m1 m n COV X j X j , X j j m 1 j 1 j 1 m D X j mpq j 1
第二章 随机过程的基本概念 §2.1 随机过程的基本概念
随机过程基础
概率论的基本概念随机试验E 的最简单不能再分的每个结果为E 的样本点，记为ω或e 。
由所有样本点组成的集合Ω称为E 的样本空间或必然事件。
称不含样本点的空集ϕ为不可能事件。
如果Ω中的某些子集组成的集类F 满足下列3个条件：(1) Ω∈F ；(2) 如果A ∈F ，则A ∈F ；(3) 如果i A ∈F ，123i =，，，，则1i i A ∞=∈F 。
则称F 为E 的事件域。
称且仅称F 中的元素为随机事件，简称为事件。
如果定义于F 上的实值集合函数P 满足下列3个条件：(1) 如A ∈F ，则()0P A ≥； (2) ()1P Ω=；(3) 设i A ∈F ，123i =，，，，且当i j ≠时，i j A A ϕ=，则()11i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
则称P 为概率测度，简称为概率。
称()P Ω，，F 为概率空间。
如果定义于样本空间Ω上单值实函数ξ对任意实数x ，(){}:x ωξω<（简记为{}x ξ<）均为事件，即{}x ξ<∈F ，则称ξ为随机变量。
称概率(){}F x P x x ξξ<∈， (1.1.1) 为ξ的分布函数。
分布函数()F x ξ有3个基本性质：(1) 如果a b <，则()()F a F b ξξ≤； (2) ()0F ξ-∞=，()1F ξ+∞=，其中()()lim x F F x ξξ→-∞-∞=，()()lim x F F x ξξ→+∞+∞=；(3) ()()0F x F x ξξ-=。
如果随机变量ξ只能取可数多个不同的实数值，则称ξ为离散型随机变量。
如果存在非负函数()f x ξ，使得对任意x ∈，有()()xF x f t dt ξξ-∞=⎰，则称ξ为连续型随机变量。
称()f x ξ为ξ的密度函数。
随机变量ξ的k 阶原点矩记为()kE ξ，如果()k x dF x ξ+∞-∞<+∞⎰，则它定义为()(){}()()12k k k i i i i k E x dF x x P x x x x x f x dx f x ξξξξξξξ+∞-∞+∞-∞=⎧=⎪=⎨⎪⎩⎰∑⎰，当为离散型且仅取值，，，时，当为连续型且有密度函数 (1.1.2)其中()k x dF x ξ+∞-∞⎰为勒贝格-司蒂阶（Lebesgue-Stieltjes ）积分。
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x
dx 1
因为B对称正定，故存在正交阵T，使：
d 1 0 TBT D 0
0 d2 0
0 0 dn
其中 di 是B的特征值且d i 0 。 作变换 y x a T ,右乘T,T T I ,可得 x a yT 因为 x T 1 ，
其中，
FX j x j lim F x1 , , x n
xi i j
命题1.2.5至1.2.7知道结果就行.
五、 随机变量 X 1 , X 2 , , X n相互独立
对任意Ai B,
i 1,2,, n ,
n i 1
P( X 1 A1 , X 2 A2 ,, X n An ) P( X i Ai ).
xt ω,t T xt,ω,t T,ω Ω
2、分类 按定义域、值域分： （1）T及E都可列 （2）T可列， E非可列 （3）T及E都非可列 （4）T非可列， E可列 其中T可列，即（1）、（2）为随机序列（时 间序列）. 其中E可列, 即（1）、（4）为可列过程, E为 有限集时为有限过程.
注意: (ⅳ)不能由(ⅰ)、 (ⅱ)、 (ⅲ)推出 反例：定义
1 , x1 x2 0 F x1 , x2 0 , x1 x2 0
F x1 , x2 满足(ⅰ)、 (ⅱ)、 (ⅲ)，但是对
( x1 , x2 ) (1,1) ,
F 1,1 F 1,1 F 1,1 F 1,1 1 1 1 0 1
偶然性
必然性
3 随机过程
Brown运动:
1827 年，Brown在显微镜下发现花 粉的无规则运动, 将此奇怪现象公诸于世, 无人能解 释原因. 1900年，法国数学家Bachelier给出 一维 Brown运动粗略模型, 其博士论文为《投机的理论》 ，研究证券价格的涨落，开创近代金融数学的先河， 但他的结果几十年之后才得到认可. 1905年,Einstein 首次进行量化分析, 认为花粉运 19 21 动源自分子无规则热运动, 每秒碰撞 10 10 次. Wiener 1918年发表系列论文, 成功解决这一问 题, 故称Wiener—Einstein过程.
P E i P Fi
i 1 i 1
PFi
i 1
可列可加
正项级数收敛 (不超过1) 考虑部分和数列
lim PFi
n n i 1
lim P Fi
n i 1 n
n
lim PE n
等价替换(后半部分用 对偶律)
ni ! P ni gi
P
1 C
ni n i g i 1
适于光子、介子、核 子等Bose子。
解三（Fermi-Dirac) 质点不可分辨，每个状态只有一个质点。 适于电子、中子、 1 P ni 质子等Fermi子。
Cg i
随机变量X分布函数: F x PX x 满足： (ⅰ) 单调不减； (ⅱ) 右连续； (ⅲ) F 0 ； (ⅳ) F 1 ；
Markov过程(1856—1922): 十九世纪末用 矩阵研究 马氏链, 开始随机过程理论. Erlang 因研究电话问题得到了Poisson过程 , 创立 了排队论. Feller研究了生灭过程. 平稳过程: 从辛欣研究大数定律开始，1934年完成. 鞅论: 莱维（Levy. Paul Pierre, 1886-1971） 1930－1955年创立. 杜悖( J. Doob )研究停时. 随机积分: 伊藤清(1915—日), 87年获Wolf奖,97 年有人 因 研究Ito微分方程的解而获诺贝尔经济奖. 最优停时: 1名秘书, 100人应征, 如何选? Gilbert 和 Mosteller1966年证明37%规则, 前37个不要, 第38个后开始超过前面就定下来, 选中最优率为 1/e=0.367879. 而随机取这一结果仅1%.
三、初步概率论
X
离散的 期 望、 方 差、 矩
连续的
其它 协 方 差、 相 关 系 数
（随机向量） X
可数个
独 立、 极 限 定 理
不可数
随机过程
四、随机过程定义及分类
1、定义 定义域 T (Ω,F,B) 值域 (E,B) E：状态空间, 相空间, E 中元素叫状态.一般为 实数或复数. B为Borel可测集全体
n
概率是1(未必是必然事件),同时 P(lim sup( X n 1) 1.
n
无穷多个X n不出现的概率也是1(未必是必然事件).
十一、统计物理模型 解一（Maxwell-Boltzman) 质点可分辨，处于每个状态的质点个数任意。
解二（Bose-Einstein) 质点不可分辨，处于每个状态的质点个数任意。
离散的： F x 连续的：
PX y
y x
F x f t dt
x
二、命题1.2.2 已给n元函数
( ⅰ)
F
x , ,x ，满足：
1 n
F x1 , ,xn 对任一 xi 是单调不减的，
(ⅱ )
(ⅲ )
F x1 , ,xn
f x 1
x , , x
1 n
2 2
n
B
1
2
1 1 exp x a B x a 2
是n维随机变量的密度。式中 B 表示B的行列式的值， C 1 表示矩阵C的转置矩阵， B 表示矩阵B的逆矩阵。下面 证明
Rn
f
( y1 , y2 ) (1, 1)
三、 (联合分布唯一确定边沿密度,反之不成立.)
x y, f x, y 0, 0 x, y 1 反之
y , 0 x, y 1 反之
1 1 x g x , y 2 2 0,
Ei P Ei 4、 P i 1 i 1
有限可加性 无限次可加
七、选取方法 Ω 有穷 Ω 可列 不可列
F 为 Ω 子集全体
F 为 Ω 子集全体 F 为Lebesgue可测
Ω
八、极限事件 lim E n E n En En1 ，n 1 ， 1、递增事件列：
十、调和级数实例.
设X n (n 1, 2
1 1 ), P （X n 0） ，（ P Xn 1 ） 1 ， n n
故 P X n 0 （调和级数发散）；
n 1
同时， P X n 1 (一般项趋于1)，
n 1
P(lim sup( X n 0) 1.这样无穷多个X n出现的
n i 1
En En1 ， 2、递减事件列： n 1， lim E n
n
En
n 1
九、P的连续性（P与lim可交换顺序）
lim P ( E ) P ( lim E ). n n n n
证明：
F1 E1
F2 E 2 E1 E 2 E1 F3 E 3 E 2 E 3 E 2 Fn E n E n 1 E n E n 1 Fi F j
F y1 , , y n Fi Fij 1 F x1 , , xn 0 其中Fi F y1 ,, xi ,, y n
则必存在概率空间 (Ω ,F, P)及其上 的随机向量 ξ ，使 ξ 的分布函数
Fξ x1 , , xn F x1 , , xn
1.2 随机变量
F x f x
概率空间( , F , P) 实数a,{ : X ( ) a} F ; 讲Lebesgue 可测，是指： {x D : f ( x) a}为可测集 .
这里指的是可测集 《实变函数》《应用数 , 学基础》
一、存在性 命题1.2.1：设 F x,x R 是单调不减， F - 0 右连续的函数，且有 ， F () 1 ，则必存在概率空间及其上的一 个随机变量 ξ ，使 Fξ x F x 。 证明： （略）
按概率关系分 （1） Markov过程
独立增量过程
Poisson过程 Wiener过程 （2）正态过程,二项过程,负二项过程 （3）平稳过程,宽平稳过程(白噪声) （4）鞅 我国王梓坤为概率第一人.
应用随机过程
Applied stochastic processes
第一章 概率论的基本知识
第一章
五、
称概率空间，广义 (Ω ,F, P) 测度不保证非负, 不保证为1.
六、 性质 1、 E F P E P F 2、 P E 1 P E
单调不减 对立事件和为1
3、 Ei E j
n n ， i j ， P Ei P Ei i 1 i 1
六、若随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，
fi 为
Borel 可测函数，
i 1,2, , n
，则
f1 X 1 , f 2 ( X 2 ) , f n X n
也相互独立.
例:1.2.8：已知n阶正定对称矩阵B，
a a1 , , an , x
应用随机过程
Applied stochastic processes
序言
二、随机数学发展概述
随机数学
stochastic mathematics
概率论
probability theory