2017春人教版数学选修4-4课后练 讲末学考测评2 Word版含答案
高中数学人教版选修4-4测试题带答案(Word最新版)
中学数学人教版选修4-4测试题带答案通过整理的中学数学人教版选修4-4测试题带答案相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！中学数学人教版选修4-4经典测试题班级：姓名：一、选择题（5*12=60）1．直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是（）A．B．或C．D．或2．圆的圆心坐标是A．B．C．D．3．表示的图形是（）A．一条射线B．一条直线C．一条线段D．圆4．已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）A．B．C．D．5．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A．B．C．D．6．已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是（）A、（3，4）B、C、（-3，-4）D、7．曲线为参数）的对称中心（）A、在直线y=2x上B、在直线y=-2x上C、在直线y=x-1上D、在直线y=x+1上8．直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为() A．B．C．D．9．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A.B. C.D. 10．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是（）A、线段B、直线C、圆D、射线11．在极坐标系中，定点，动点在直线上运动，当线段最短时，动点的极坐标是A．B．C．D．12．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.若直线与圆相切，则实数的取值个数为（）A .0B.1C.2D.3二、填空题（5*4=20）13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是________；14．在极坐标系中，点关于直线的对称点的一个极坐标为_____. 15．已知圆M：x2+y2-2x-4y+1=0，则圆心M到直线（t为参数）的距离为．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线，极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线被曲线C截得的线段长为．三、解答题17．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．（Ⅰ）推断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上随意一点，求的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ＋）＝a，曲线C2的参数方程为（φ为参数，0≤φ≤π）．（1）求C1的直角坐标方程；（2）当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）已知曲线，直线（t为参数）．（1）写出曲线C的参数方程，直线的一般方程；（2）过曲线C上随意一点P作与夹角为30°的直线，交于点A，求|PA|的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的一般方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．21．（本小题满分12分）极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．（1）写出直线的一般方程和圆的直角坐标方程；（2）若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．参考答案1．D 【解析】试题分析：设直线，（为参数)上与点的距离等于的点的坐标是，则有即，所以所求点的坐标为或．故选D．考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．2．A 【解析】试题分析：，圆心为，化为极坐标为考点：1．直角坐标与极坐标的转化；2．圆的方程3．A 【解析】试题分析：，表示一和三象限的角平分线，表示第三象限的角平分线．考点：极坐标与直角坐标的互化4．D 【解析】试题分析：将直线化为一般方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．圆心到直线的距离．依据,解得．故D正确．考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦．5．B 【解析】试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式得直线的斜率为，选 B 考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．6．D 【解析】试题分析：直线PO的倾斜角为，则可设，代入点P可求得结果，选B。
2017春人教版数学选修4-4课后练 2.4 渐开线与摆线 课后 Word版含答案
第二讲 2.4一、选择题1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )A ．πB ．2πC ．3πD ．6π解析：根据条件可知摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )， 则x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．故选D ．2．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，则基圆的直径为( B )A ．6B ．12C ．3D ．2解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B ．3．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos θ＋θsin θ)，y ＝2(sin θ－θcos θ)(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )A ．(－2,2π)B ．(－2，π)C ．(4,2π)D ．(－4,2π)解析：将θ＝π代入参数方程得x ＝2(cos π＋πsin π)＝－2，y ＝2(sin π－πcos π )＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A ．4．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( A )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)解析：由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0，∵t ∈[0,2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A ．5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M 与圆盘中心的距离为3，则点M 的轨迹方程是( C )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(φ－sin φ)，y ＝8(1－cos φ)(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－3sin φ，y ＝8－3cos φ(φ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－8sin φ，y ＝3－8cos φ(φ为参数)解析：由摆线产生的过程知，M 的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C ．6．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( C )A ．π2－1B ． 2C ．10D ．3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫π2－1，3. ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫π2－1－3π22＋(3－2)2＝10.二、填空题7．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (1－cos θ)，y ＝r (θ－sin θ)(θ为参数)．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ－φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.9．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )y ＝2(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 解析：对应点的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝2⎝⎛⎭⎫cos π4＋π4sin π4＝2⎝⎛⎭⎫22＋π4·22＝1＋π4y ＝2⎝⎛⎭⎫sin π4－π4·cos π4＝2⎝⎛⎭⎫22－π4·22＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋π4，1－π4. 三、解答题10．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．11．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？ (2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解析：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)． 12．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M的坐标．解析：由摆线方程知 φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫10π＋336，12r ，⎝⎛⎭⎫12r (7π＋2)，r。
人教版高中数学选修4-4评估验收卷(二)含解析.doc
评估验收卷（二）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）卜=-1-当，1.下列点不在直线彳庆（t为参数）上的是（A. （—1, 2）C・（3, -2）B. （2, -1）D・（一3, 2）解析：直线/的普通方程为x +厂1 = 0 ,因此点（-3 r 2）的坐标不适合方程x + y - 1 = 0.答案:D两点，则4B的中点坐标为（）A. （3, -3）B・（一羽,3）C・（^3, 3）D・（3, 一萌）|x= 1 + #解析：把| （t为参数）代入X2+/=16中，得1J = （• 3+刃（t为参数）和圆X2+/=16交于A9 B2.直线-3t += 16 ,即"-8r+12 = 0.设A , B 对应的参数分别为ti r t 2 f 则6 + ^ = 8,办+鮎所以AB 的中点对应的参数t =七」=4x=1+^x 4 = 3,y= - 3书 + 普X4=-羽,即AB 的中点坐标为（3，■曲・答案：D解析：消参可得x 2-/ = l z又+ a $1，当且仅当八+时““成立，所以xW-1或x21，该曲线为双曲线. 所以 3・已知某曲线的参数方程是 X=2l a+«J ,（其中a 是参数），则 该曲线是（）A.线段B.圆C.双曲线D.圆的一部分x=rcos qh尸罰0 W 是参数）的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.视尸的大小而定 y=答案:C4.设Q0,那么直线xcos ^+j^sin 0=r 与圆解析：易知圆的圆心在原点，半径是r ,则圆心（0 , 0倒直线的 |0 + 0 - r| 距离为卄巫祐需rr,恰好等于圆的半径,所以直线和圆相答案:BC 到直线kx-\-y+4=0的距离最大时，％的值为()5.直线/的参数方程为 x=a-ht,v=b+t ((为参数)，/上的点B 对应的参数是G 则点鬥与点P(“，方)之间的距离是()C.V2|6| B ・ 2|6|D.^Fil解析：点几与点P 之间的距离为^/(a + Zi-a)2+ (/F + ^- A)2 =心 + 彳=迈|心|・ 答案:Cx=r (cos (p-\-(ps\n (p}, y=r (sin 。
2017春人教版数学选修4-4课后练 2.4 渐开线与摆线 课末 Word版含答案
第二讲 2.41．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ＋φsin φ)(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数) 解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，可知选D ．2．已知摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D )A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D ．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为 (2π－4,4)或(6π＋4,4)．解析：由题设得4＝4(1－cos φ)，∴cos φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ 1＝π2，φ 2＝3π2，对应的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4⎝⎛⎭⎫π2－1＝2π－4，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝6π＋4，y 2＝4，即(2π－4,4)或(6π＋4,4)． 4．当φ＝π2，φ＝3π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点A ，B ，并求出A ，B 两点间的距离．解析：将φ＝π2，φ＝3π2分别代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.所以A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B ⎝⎛⎭⎫－3π2，－1. 因此|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋3π22＋(1＋1)2＝2π2＋1. 故A ，B 两点间的距离为2π2＋1.。
2017春人教A版数学选修4-4课后练 讲末学考测评2 Word版含答案
第二讲 讲末学考测评(满分：150分 测试时间：120分钟)题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷总分填空题解答题 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1t t2－1(t 为参数)所表示的曲线是 ( D )解析：将参数方程进行消参，则有t ＝1x ，把t ＝1x 代入y ＝1t t2－1中，得当x >0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x <0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.对照选项，可知D 正确．2．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( C )A ．(2，－7)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D ．(1,0)解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y ＝1－2x 2 (－1≤x ≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．故选C ．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ(θ为参数)化为普通方程为( C )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin2θ，y ＝sin2θ(θ为参数)消去参数化为普通方程是y ＝x －2，由0≤sin 2θ≤1，可得2≤x ≤3.故选C ．4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t|y ＝tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝cos 2tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1＋cos 2t1－cos 2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t1＋cos 2t解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ．而C 中y ＝2cos2t 2sin2t ＝1tan2t ＝1x2，即x 2y ＝1，故排除C ．故选D ．5．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是 ( D )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．故选D ．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2 (t 为参数)所表示的曲线是 ( B )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：根据参数中y 是常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识求出x 的范围可得x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线．故选B ．7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ( D ) A ．13 B ．14C ．15D ．16解析：∵直线的极坐标方程为ρcos θ＝4，化为直角坐标方程x ＝4，把x ＝4代入曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3 (t 为参数)中，解得t ＝±2，∴y ＝±8.∴点A (4,8)，B (4，－8)，∴|AB |＝|－8－8|＝16.故选D ．8．过点(0,2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( B )A ．⎩⎨⎧ x ＝3t y ＝2＋tB ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD ．⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t解析：直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t(t 为参数)．故选B ．9．若圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( B )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，直线的方程为3x －y ＋2＝0，圆心坐标为(－1,3)，易验证圆心不在直线3x －y ＋2＝0上．而圆心到直线的距离d ＝错误!＝错误!<2，∴直线与圆相交．故选B ．10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( D )A ．12B ．22C ．1D ．2解析： 设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ， ∴d ＝|x |＋|y |＝|cos θ|＋|sin θ|，设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴d ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，∴d max ＝2.故选D ．11．(2016·湖南科大附中期末)已知O 为原点，P 为椭圆⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝23sin α(α为参数)上第一象限内一点，OP 的倾斜角为π3，则点P 坐标为( D )A ．(2,3)B ．(4,3)C ．(23，3)D ．⎝⎛⎭⎪⎫455，4155解析：∵P 在椭圆上，∴可设P 坐标为(4cos α，23sin α)，又k OP ＝23sin α4cos α＝tan π3＝3⇒tan α＝2且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝55，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫455，4515，故选D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数) 和 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点个数为( D )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2中，当t ＞0时，x ≥2t ·1t＝2； 当t ＜0时，－x ＝(－t )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ≥2错误!＝2，得x ≤－2. 原方程化为普通方程是y ＝2(x ≥2，或x ≤－2)．①方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ 的普通方程为x 2＋y 2＝4.②将①式中的y ＝2代入②式中，得x ＝0， 显然不满足①，即方程组错误!无实数解，所以曲线C 1与C 2的交点个数为0.故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·湖南十三校联考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为1.解析：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1,0)，代入直线y ＝x －a 可得a ＝1.14．(2016·广东南澳校级二模)在平面直角坐标系中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为4.解析：直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)，消去s 得普通方程为x －2y －1＝0，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)，消去t 得普通方程为2x －ay －a ＝0，∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，解得a ＝4.当a ＝4时，两直线在y 轴上的截距不等．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为(2,5)．解析：曲线C 1普通方程为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的直角坐标方程为：y ＝x ＋3，将y ＝x ＋3代入y ＝x 2＋1，得x 2－x －2＝0，解得x ＝－1(舍去)或x ＝2，代入y ＝x ＋3得y ＝5，所以交点坐标为(2,5)．16．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为(2，π)．解析：直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x2－y2＝4得交点的直角坐标为(－2,0)，从而交点的极坐标为(2，π)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解析：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎨⎧x2＋y2－2y ＝0，x2＋y2－23x ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，∴C 2和C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π，A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．∴|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3， 当α＝56π时，|AB |取最大值，最大值为418．(12分)(2016·重庆高三检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. (1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1， 所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由直线l 的极坐标方程：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)设点P 关于直线l 的对称点Q (a ，b )，则错误!解得错误!∴Q (2,6)． 由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)，故|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1＝37－1.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以|PB |＋|AB |的最小值为37－1.19．(12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围．解析：因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ.所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过点C (－1，3)，圆C 的半径是2，由题意有－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]20．(12分)(2016·云南昆明两区七校调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ(其中θ为参数)，点M 是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足OP →＝2OM →，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝π3.(1)求曲线C 2的普通方程，射线l 的参数方程； (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |. 解析：(1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝2y′，∵点M 在曲线C 1上，∴⎩⎨⎧x′＝1＋3cos θ，y′＝3sin θ，∴(x ′－1)2＋y ′2＝3.故曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝12. 由l ：θ＝π3可得l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数且t ≥0)．(2)方法一 将l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)代入C 1的方程得t 2－t －2＝0，∵t ≥0，∴t ＝2，同理代入C 2的方程得t 2－2t －8＝0，∵t ≥0，∴t ＝4.∴|AB |＝4－2＝2.方法二 曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0，将θ＝π3代入得ρ＝2，∴A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0，将θ＝π3代入得ρ＝4，∴B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，∴|AB |＝4－2＝2.21．(12分)在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t2＋1(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程和普通方程；(2)过点A (m,0)作曲线C 的两切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点． 解析：(1)将x ＝t 代入y ＝t 2＋1中，得曲线C 的普通方程为y ＝x 2＋1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程y ＝x 2＋1中，得曲线C 的极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ＋1，即ρ2sin 2θ＋ρsin θ＝ρ2＋1.(2)由已知，两切线的斜率存在，设切点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵y ′＝2x ，∴切线AP ：y －y P ＝2x P (x －x P )，即2x P x －y －y P ＋2＝0，切线AQ ：y －y Q ＝2x Q (x －x Q )，即2x Q x －y －y Q ＋2＝0.又两切线均过点A (m,0)，因而2x P m －y P ＋2＝0且2x Q m －y Q ＋2＝0，∴直线PQ 的方程为2mx －y ＋2＝0，该直线恒过定点(0,2)22．(12分)极坐标系与直线坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋tcos αy ＝tsin α(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解析：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)，C(3，－3)，所以经过点B，C的直线方程为y－3＝－3(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝2π3。
高中数学(人教版选修4-4)阶段质量检测(二) A卷 Word版含答案
阶段质量检测（二）卷(本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知曲线的方程为(\\(＝，＝))(为参数)，则下列点中在曲线上的是( )．() ．()．() ．()解析：选当＝时，＝且＝，即点()在曲线上．．(北京高考)曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的对称中心( )．在直线＝上．在直线＝－上．在直线＝－上．在直线＝＋上解析：选曲线(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)的普通方程为(＋)＋(－)＝，该曲线为圆，圆心(－)为曲线的对称中心，其在直线＝－上，故选.．直线的参数方程为(\\(＝＋＝＋))(为参数)，上的点对应的参数是，则点与(，)之间的距离是( )．．解析：选∵(＋，＋)，(，)，∴＝＝＝.．已知三个方程：①(\\(＝，＝，))②(\\(＝，＝，))③(\\(＝，＝))(都是以为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )．①②③．①②．①③．②③解析：选①②③的普通方程都是＝，但①②中的取值范围相同，都是∈，而③中的取值范围是－≤≤.．参数方程(\\(＝＋()＝－))(为参数)所表示的曲线是( )．一条射线．两条射线．一条直线．两条直线解析：选因为＝＋∈(－∞，－]∪[，＋∞)，即≤－或≥，故是两条射线．．已知曲线的参数方程为(\\(＝＋( θ)＝θ－))(θ为参数，π≤θ＜π)．已知点(，)在曲线上，则＝( )．－－．－＋．－＋．－－解析：选∵(，)在曲线上，∴(\\(＝＋( θ) ①＝θ－②))由①得：θ＝，又π≤θ＜π.∴θ＝－＝－，∴θ＝－.∴＝·(－)－＝－－.．直线(\\(＝－－()，＝＋()))(为参数)上与点(－)的距离等于的点的坐标是( )．(－) ．(－)．(－)或(－) ．(－)或()解析：选可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·＝，解得＝±，将代入原方程，得(\\(＝－，＝))或(\\(＝－，＝，))所以所求点的坐标为(－，)或(－)．．若圆的参数方程为(\\(＝－＋θ，＝＋θ))(θ为参数)，直线的参数方程为(\\(＝－，＝－))(为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．过圆心．相交而不过圆心．相切．相离解析：选将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．．设和是双曲线(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)的两个焦点，点在双曲线上，且满足∠＝°，那么△的面积是( )．．．解析：选方程化为普通方程是－＝，∴＝.由题意，得(\\(＋＝，,－＝.))∴·＝.∴＝·＝＝.．已知方程－＋＝的两根是θ和θ，则点(，)的轨迹是( )．椭圆弧．圆弧．双曲线弧．抛物线弧解析：选由题知(\\( θ＋θ＝，θ· θ＝，))即(\\(＝θ＋θ，＝θ· θ.))－＝( θ＋θ)－θ· θ＝.又θ≤.∴表示抛物线弧．二、填空题(本大题共个小题，每小题分，满分分．把答案填写在题中的横线上)．若直线：＝与曲线：(\\(＝＋θ，＝θ))(参数θ∈)有唯一的公共点，则实数。
高中数学人教A版选修4-4学案第二讲 本讲知识归纳与达标验收 Word版含答案
考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验．(湖南高考)在平面直角坐标系中，若直线：(\\(＝，＝－)) (为参数)过椭圆：(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)的右顶点，则常数的值为．解析：由题意知在直角坐标系下，直线的方程为＝－，椭圆的方程为＋＝，所以其右顶点为()．由题意知＝－，解得＝.答案：．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆＋－＝的参数方程为．解析：由三角函数定义知＝θ(≠)，＝θ，由＋－＝得，＋θ－＝，＝＝θ，则＝θ＝θθ＝θθ，又θ＝时，＝，＝也适合题意，故参数方程为(\\(＝θ，＝θ θ))(θ为参数)．答案：(\\(＝θ，＝θ θ))(θ为参数)．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点，都在曲线：(\\(＝，＝))(为参数)上，对应参数分别为＝α与＝α(＜α＜π)，为的中点．()求的轨迹的参数方程；()将到坐标原点的距离表示为α的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．解：()依题意有( α，α)，( α，α)，因此( α＋α，α＋α)．的轨迹的参数方程为(\\(＝α＋α，＝α＋α))(α为参数，＜α＜π)．()点到坐标原点的距离＝＝α)(＜α＜π)．当α＝π时，＝，故的轨迹过坐标原点．.消参的常用方法()代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用(或，或，)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．()整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如θ＋θ＝，θ＝θ＋，－＝等．．消参的注意事项()消参时，要特别注意参数的取值对变量，的影响，否则易扩大变量的取值范围．()参数方程中变量，就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量，的取值范围．[例] 参数方程(\\(＝θ，＝θ))表示的曲线是什么？[解]化为普通方程是：＋＝，∵－≤θ≤，∴≤≤，－≤≤.∴表示以()为圆心，为半径的右半圆．[例] 将参数方程(\\(＝()＋，＝－))(为参数)化为普通方程．[解]由＝＋得＝(－)，代入＝－，得＝(－)－，即为所求普通方程.。
2017春人教A版数学选修4-4课后练 讲末学考测评1 Word版含答案
第一讲 讲末学考测评(满分：150分 测试时间：120分钟)题号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷总分填空题解答题得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f 1(x )＝sin x ，f 2(x )＝sin ωx (ω>0)，f 2(x )的图象可以看作把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的13倍(纵坐标不变)而得到的，则ω为( C )A ．12B ．2C ．3D ．13解析：对照伸缩变换公式φ：错误!由y ＝sin x 得到y ′＝sin ωx ′，故错误!即错误!∴错误!＝13，∴ω＝3.故选C ． 2．极坐标方程ρ＝cos θ与ρsin θ＝12的图形是( A )解析：ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＝0表示圆，ρsin θ＝12表示过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12与极轴平行的直线．故选A ． 3．(2016·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin θ＝1截得的弦长为( C ) A ．3B ．2C ．23D ．3解析：圆ρ＝2的极坐标方程转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.直线ρsin θ＝1转化为直角坐标方程为y ＝1.所以圆心到直线y ＝1的距离为1，则弦长l ＝222－12＝23.故选C ．4．(2016·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρ()3cos θ－sin θ＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3解析：直线ρ()3cos θ－sin θ＝2，即3x －y －2＝0，圆ρ＝4sin θ，即x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆．由错误!求得错误!故直线和圆的交点坐标为(错误!，1)，它的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A ．5．(2016·北京西城区一模)在极坐标系中，曲线ρ＝ 2cos θ是( D ) A ．过极点的直线 B ．半径为2的圆 C ．关于极点对称的图形D ．关于极轴对称的图形解析：曲线ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，它关于极轴对称．故选D ．6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则|AB |＝( D ) A ．4B ．5C ．22D ．23解析：平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知|AB |＝23.故选D ．7．AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝x OA →＋y BC →，则x ＋y 的值为( A )A ．－33B ．－13C ．23D ．－3解析：CD →＝x OA →＋y BC →＝x OA →＋y (OC →－OB →)＝(x ＋y )OA →＋y OC →，设|OA |＝1，建立如图所示坐标系，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，OA →＝(－1,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32 ，故x ＋y ＝－33 .8．在极坐标系中，直线l ：ρ(sin θ－cos θ)＝a 把曲线C ：ρ＝2sin θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：l ：y －x ＝a ，曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1，由题知圆心(0,1)在直线l 上，即1－0＝a ，∴a ＝1.故选B ．9．(2016·广东广州期末)在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为( D )A ．22B ．23C ．42D ．43解析：直线的直角坐标方程为x ＋y ＝22圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16.∴弦长为2r2－d2，其中r ＝4，d ＝222，∴弦长等于216－4＝43.故选D ．10．(2016·河南郑州质检)在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝m 的距离都等于2，则m 的值为( C )A ．2B ．－2C ．±2D ．0解析：曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y ＝2m ，曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝16.圆心(0,0)到直线距离d ＝2|m|2＝|m |，从而|m |＝2⇒m ＝±2.故选C ．11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( B ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析：圆ρ＝2cos θ，即x 2＋y 2＝2x 即(x －1)2＋y 2＝1，圆的垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x ＝0和x ＝2，从而ρcos θ＝0或ρcos θ＝2，∴θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B ．12．(2016·湖北黄冈中学检测)已知平面内的四边形ABCD 和该平面内任一点P 满足AP →2＋CP →2＝BP →2＋DP →2，那么四边形ABCD 一定是( C )A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形解析：如图所示建立直角坐标系，由AP →2＋CP →2＝BP →2＋DP →2⇒(4a －2c 1＋2d 1)x ＋(2d 2－2c 2)y ＋c 21＋c 2－d 21－d 2＝0.∵P 是任意一点，∴对任意的x ，y 上式恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －2c1＋2d1＝0，2d2－2c2＝0，c21＋c22－d21－d22＝0， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧c1＝－d1＝a ，d2＝c2.∴四边形ABCD 是矩形．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·广东六校联考)在极坐标系中，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4作圆ρ＝4sin θ的切线，则切线的极坐标方程是ρcos_θ＝2.解析：圆ρ＝4sin θ的直角坐标方程即为x 2＋(y －2)2＝4，圆心(0,2)，半径为2.点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4直角坐标为(2,2)，(2,2)在圆上，于是切线方程为x ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＝2.14．(2016·北京通州一模)在平面直角坐标系中，曲线x 2－2y 2－3x ＝0经过一个伸缩变换后变成曲线4x ′2－y ′2－6x ′＝0，则该伸缩变换是⎨⎪⎧x′＝12x ，.解析：曲线即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－2y 2＝94，变换后曲线为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－342－y ′2＝94，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－342－y ′2＝94，∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝22y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝2y.15．(2016·广东中山月考)在极坐标系中，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1被曲线ρ＝3所截得的弦长为解析：直线的直角坐标方程为：x ＋y ＝2，曲线ρ＝3的直角坐标方程为x 2＋y 2＝9.∴弦长|AB |＝2r2－d2，其中r ＝3，d ＝22＝1，∴弦长为29－1＝42.16．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3， 边AB ，AD 的长分别为2,1. 若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是[2,5]．解析：如图建系，则A (0,0)，B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32. 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝t ∈[0,1]，则|BM →|＝t ，|CN →|＝2t ，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2，32t ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 52－2t ，32，故AM →·AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2t ＋3t 2·32＝－t 2－2t ＋5＝－(t ＋1)2＋6＝f (t )， 因为t ∈[0,1]，所以f (t )递减，(AM →·AN →)max ＝f (0)＝5，(AM →·AN →)min ＝f (1)＝2. 所以AM →·AN →的取值范围是[2,5]．三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分)17．(10分)(2016·江西临川中学期末)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．求曲线C 1的直角坐标方程．解析：由3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ＞0)，得3x 2＋3y 2＝12x －10，即(x －2)2＋y 2＝23.∴曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝23.18．(12分)(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径．解析：由ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4，得x 2＋y 2＋2y －2x －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，∴r ＝619．(12分)(2016·河南郑州高三预测)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解析：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．20．(12分)已知直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1＋a 2，圆C 的极坐标方程为ρ＝2a cos θ，a ∈R .(1)当a ＝－2时，求直线l 被圆C 截得的弦长； (2)若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．解析：由已知得，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝2＋22a ，圆C 的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －22a 2＋y 2＝a22.(1)当a ＝－2时，直线l 的方程为x ＋y ＝0，圆C 的圆心为(－2，0)，半径r ＝2，则圆心C 到直线l 的距离d ＝1，则直线l 被圆C 截得的弦长为2r2－d2＝2. (2)圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，半径r ＝22|a |，则圆心C 到直线l 的距离d ＝1，则1＝22|a |，解得a ＝±221．(12分)设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的另一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求点M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线． 解析：(1)圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ (2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，∵点M 为线段OP 的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将其代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ. ∴点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ，它表示圆心在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径为12的圆．22．(12分)(2015·江苏泰州二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsin(θ－π4)＝32.(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P 为椭圆C ：x216＋y29＝1上一点，求P 到直线的距离的最大值．解析：(1)把直线的极坐标方程ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32展开得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝32，化为ρsin θ－ρcos θ＝6，得到直角坐标方程x －y ＋6＝0.(2)∵P 为椭圆C ：x216＋y29＝1上一点，∴可设P (4cos α，3sin α)，利用点到直线的距离公式得d ＝|4cos α－3si n α＋6|2＝错误!≤错误!＝错误!，当且仅当sin(α－φ)＝－1时取等号．∴P 到直线的距离的最大值是1122。
人教版数学选修4-4课后练 2.3 直线的参数方程 课末 Word版含答案
第二讲 2.31．直线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t (t 为参数)，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则|t |的几何意义是( C )A ．M 0M →B ．MM 0→C ．||M 0M →D ．以上都不是 解析：由参数t 的几何意义及向量模的定义知选C ．2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a ，b 为常数，t 为参数)的方向向量可以是( B ) A ．(－a ，b )B ．(－a ，－b )C ．(a ，－b )D ．⎝⎛⎭⎫1，b a 解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a ，－b )，也可以是(a ，b )，不能选D ，原因是a 有可能等于0，故选B ．3．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x (x ≥0)，x 2＋y 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1故曲线C 1与C 2交点的直角坐标是(3，1)． 4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10.求l 的斜率．解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x ＋6)2＋y 2＝25 得ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)设直线l 的斜率为k ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α得l ：y ＝kx . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，(x ＋6)2＋y 2＝25得(k 2＋1)x 2＋12x ＋11＝0 ∴x 1＋x 2＝－12k 2＋1，x 1x 2＝11k 2＋1， ∴|AB |＝10＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2＋12－4×11k 2＋1⇒k ＝±153.。
人教版高中数学选修4-4_综合质量评估 Word版含答案
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综合质量评估第一、二讲(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.极坐标方程ρ2+2ρsin=1表示曲线的中心在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.极坐标方程ρ2+2ρsin=1,即ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ=1,化为直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=1,标准方程为(x-1)2+(y+1)2=3,圆心坐标为(1,-1),在第四象限.2.(2016·北京高二检测)极坐标方程ρ=-4cosθ化为直角坐标方程是( )A.x-4=0B.x+4=0C.(x+2)2+y2=4D.x2+(y+2)2=4【解析】选C.极坐标方程ρ=-4cosθ即ρ2=-4ρcosθ,所以化为直角坐标方程是x2+y2=-4x,即(x+2)2+y2=4.3.(2016·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρ=4cosθ围成的图形面积为( ) A.π B.4 C.4π D.16【解析】选C.由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,直角坐标方程为x2+y2=4x,所以(x-2)2+y2=4,所以S=πr2=4π.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为( )A.3πB.4πC.6πD.9π【解析】选D.直线的普通方程为y=-2x+b+4,曲线(θ为参数)的普通方程为(x-2)2+(y-3)2=b2,所以圆的圆心的坐标为(2,3),依题意,得3=-4+b+4,即b=3,所以圆的面积为9π.4.与普通方程x2+y-1=0等价的参数方程为( )A. B.C. D.【解析】选D.所谓与方程x2+y-1=0等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且x,y的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项A化为普通方程为x2+y-1=0,x∈,y∈.选项B化为普通方程为x2+y-1=0,x∈.选项C化为普通方程为x2+y-1=0,x∈,y∈.选项D化为普通方程为x2+y-1=0,x∈R,y∈(-∞,1].5.极坐标方程ρ=sinθ与参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )A.直线、直线B.直线、圆C.圆、直线D.圆、圆【解析】选C.由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,即x2+=,对应图形为圆.将参数方程消去参数t,得2x-y-5=0,所以对应图形为直线.6.已知直线l1的极坐标方程为ρsin=2016,直线l2的参数方程为(t为参数)则l1与l2的位置关系为( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.重合【解析】选A.由ρsin=2016,得ρ=2016,ρsinθ-ρcosθ=2016,所以y-x=2016,即y=x+2016,把直线l2的参数方程化为普通方程为==-1,即y=-x,所以·=1×(-1)=-1,所以l1⊥l2.7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A. B.2 C. D.2【解析】选D.直线l的普通方程为y=x-4,圆C的直角坐标方程是(x-2)2+y2=4,圆心(2,0)到直线l的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2.8.已知抛物线C1:(t为参数),圆C2的极坐标方程为ρ=r(r>0),若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r= ( )A.1B.C.D.2【解题指南】把抛物线的参数方程、圆的极坐标方程统一成在直角坐标系下的方程后,求出直线的方程,利用直线与圆的位置关系求r.【解析】选C.抛物线C1的普通方程为y2=8x,焦点为(2,0),故直线方程为y=x-2,即x-y-2=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=r2,由题意=r,得r=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2016·唐山高二检测)已知直线l:(t为参数)过定点P,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,直线l与曲线C交于A,B两点,则|PA|·|PB|值为________.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:ρ=2sinθ的直角坐标方程x2+y2-2y=0,整理,得t2-(+1) t+1=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=1,即|PA|·|PB|==1.答案:110.若直线(t为参数)与曲线(θ为参数,a>0)有且只有一个公共点,则a=________.【解析】直线一般方程为x+y-2=0,曲线方程为(x-4)2+y2=a2.由题可知,直线与圆相切,即圆心到直线的距离d===a.答案:【补偿训练】(2016·襄阳高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程是以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin=1,则两曲线交点间的距离是________.【解析】曲线C1的普通方程为y2-x2=4,由曲线C2的极坐标方程ρsin=1,得直角坐标方程x+y-2=0,将y=-x+2代入y2-x2=4,得x2-2x=0,解得x1=0,x2=2,y1=2,y2=-4,则两曲线的交点坐标分别为A(0,2),B(2,-4),所以|AB|==4.答案:411.(2016·衡水高二检测)设直线l:(t为参数),曲线C:(θ为参数),直线l 与曲线C交于A,B两点,则|AB|=________.【解题指南】将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用直线参数方程参数的几何意义以及公式求弦长.【解析】将直线l:(t为参数)代入曲线C:x2+y2=1,整理,得t2+t=0,设直线l与曲线C交于A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=0,则|AB|=|t1-t2|==.答案:12.(2016·黄冈高二检测)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若P点为直线ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点,点Q为曲线(t为参数)上一点,则|PQ|的最小值为________.【解题指南】将直线的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线的参数方程化为普通方程,转化为直线和曲线相切求解,也可以利用导数的几何意义求出切点的坐标解决.【解析】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,依题意,设与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+c=0,即y=x+c,代入y=x2,得x2-4x-4c=0,依题意,Δ=16+16c=0,所以c=-1,即直线x-y-1=0与抛物线y=x2相切,所以平行线间的距离d==.答案:【一题多解】直线ρcosθ-ρsinθ-4=0的直角坐标方程为x-y-4=0,曲线(t为参数)的普通方程为y=x2,设抛物线y=x2上一点P(x0,y0),则y′=x=x0=1,得x0=2,即P(2,1),依题意,P(2,1)到直线x-y-4=0的距离d==为所求.答案:三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2016·衡水高二检测)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数)求直线l与曲线C的交点P的直角坐标.【解析】因为直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R),所以直线l的普通方程为y=x,①又因为曲线C的参数方程为(α为参数)所以曲线C的直角坐标方程为y=x2(x∈),②联立①②得或根据x的范围应舍去故P点的直角坐标为(0,0).14.(10分)(2016·全国卷Ⅰ)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2. ①所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以ρ2-2ρsinθ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.(2)C2:ρ=4cosθ,两边同乘ρ,得ρ2=4ρcosθ,∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.15.(10分)(2016·大连高二检测)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O 为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0.(1)写出直线l的参数方程,若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+1=0,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.因为直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,所以直线l的参数方程为(t为参数),将代入x2+y2-6x+1=0,整理,得t2-8tcosα+8=0,因为直线l与曲线C有公共点,所以Δ=64cos2α-32≥0,即cosα≥或cosα≤-,因为α∈.16.(10分)(2015·陕西高考)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程.(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求点P的坐标.【解题指南】(1)利用直角坐标与极坐标的关系进行代换即得.(2)直角坐标与极坐标进行坐标代换后,利用两点间的距离公式可求解.【解析】(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|==,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时P点的坐标为(3,0).17.(10分)(2016·天水高三检测)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),在以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程.(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求△AOB的面积.【解析】(1)由曲线C的极坐标方程是:ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ.所以曲线C的直角坐标方程是:y2=2x.由直线l的参数方程(t为参数)得:x-y-4=0,所以直线l的普通方程为: x-y-4=0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x,得t2-8t+7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,所以====6,因为原点到直线x-y-4=0的距离d==2,所以△AOB的面积是·d=×6×2=12.18.(10分)(2016·西安高二检测)已知曲线C1:(θ为参数),曲线C2:(t 为参数).(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2公共点的个数.(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线C1′,C2′,写出C1′,C2′的参数方程.C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同?说明你的理由.【解析】(1)C1是圆,C2是直线,C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1 (0,0),半径r=1.C2的普通方程为x-y+=0,因为圆心C1到直线x-y+=0的距离为1,所以C1与C2只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为C′1:(θ为参数),C′2:(t为参数),化为普通方程为C1′:x2+4y2=1,C2′:y=x+,联立消元得:2x2+2x+1=0,其判别式Δ=-4×2×1=0,所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点,和原来相同.【补偿训练】(2016·淮南高二检测)已知直线l:(t为参数)曲线C1:x2+y2=1.(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|.(2)若曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.【解析】(1)将直线与曲线的方程联立得t2+t=0,解得t1=0, t2=-1,由t的几何意义知|AB|=|t1-t2|=1.(2)C2:(θ为参数)设P,直线l:x-y-=0,点到直线的距离d==.当cos=1时,d取最小值,d min=-(解题方法不唯一).关闭Word文档返回原板块。
2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4课后习题：第二讲测评
2017-2018 学年人教 A 版高中数学选修4-4 课后习题：第二讲测评第二讲测评(时间 :120 分钟满分:150分)一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每题 5 分,共 60 分 )1.若直线l的参数方程为(t 为参数 ),则直线 l 的斜率等于 ()C. D. -分析由参数方程可得直线l 的斜率 k==-.答案 D2.直线3x-4y-9= 0与圆:(θ为参数)的地点关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.订交但直线可是圆心分析由圆的参数方程可知圆心为(0,0),半径为 2,圆心到直线3x-4y-9= 0 的距离 d=< 2,故直线与圆订交但直线可是圆心.答案 D3.参数方程为(t为参数)表示的曲线是()A. 一条直线B. 两条直线C.一条射线D. 两条射线分析 y=2 表示一条平行于x 轴的直线 ,而由 x=t+ 知 x≥ 2 或 x≤ -2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.答案 D4.已知椭圆的参数方程为(t 为参数 ),点 M 在椭圆上 ,对应参数t= ,点 O 为原点 ,则直线 OM 的斜率为( )A. B. -D. -2分析当 t= 时 ,x= 1,y=2,则 M (1,2), 所以直线 OM 的斜率 k= 2.答案 C5.已知圆的渐开线(φ为参数)上一点的坐标为(3,0), 则渐开线对应的基圆的面积为 ()A. πB.3 πC.4 πD.9 π分析把已知点 (3,0) 代入参数方程得由②得φ= tan φ,即φ= 0.再代入①得 r= 3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.答案 D6.已知直线l的参数方程为( t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点 P1与点 P(a,b)之间的距离是()A. |t 1|B.2 |t1|C.|t 1|D. |t1|分析由题意知点 P1的坐标为 (a+t 1,b+t 1),则点 P1与点 P 之间的距离为 |t 1|.答案 C2 2中点的坐标为 ()7.直线(t为参数)和圆x +y = 16订交于A,B两点,则线段ABA.(3, -3)B.(3, -)C.(,-3)D.( -,3)分析由题意知 = 16,得 t2-8t+ 12= 0.设点 A,B 对应的参数分别为t 1,t2,则 t1+t 2= 8,= 4.所以线段 AB 的中点的坐标知足即故所求的中点坐标为 (3,-).答案 B8.已知经过曲线(θ为参数,0≤ θ≤ π)上的一点P与原点O的直线PO,若它的倾斜角为,则点 P 的极坐标为 ( )A. B.C. D.分析将曲线化成一般方程为= 1(y≥ 0),将其与直线PO:y=x 联立可得点P 的坐标为 .利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为 .答案 D9.与一般方程x2+y- 1= 0 等价的参数方程是()A.( t 为参数 )B.( φ为参数 )C.(t 为参数 )D.( θ为参数 )分析选项 A 中,因为一般方程x2+y- 1= 0 中 x 能够获得一确实数,但 A 中 x 大于等于 -1,小于等于1,故错误 ;选项 B 中 ,联合正切函数的图象可知,知足题意 ;选项 C 中 ,由偶次根式的定义可知,x 不行能获得一确实数 ,故错误 ;选项 D 中 ,联合余弦函数的有界性可知x 不可以获得一确实数 ,错误 .应选 B.答案 B10.已知直线2l:(t 为参数 )和抛物线 C:y = 2x,l 与 C 分别交于点 P1,P2,则点 A(0,2)到 P1,P2两点的距离之和是()A.4 +B.2(2 + )C.4(2+ )D.8+分析把直线的参数方程化为(t'为参数 ,t'=- 2t),将其代入2 2y = 2x,得 t' + 4(2+ )t'+ 16= 0.设 t' 1,t'2分别为方程的根,则 t' 1+t' 2=- 4(2+ ),t' 1t'2= 16> 0,由此可知t' 1,t'2均小于零 ,则|AP1|+|AP 2|=|t' 1|+|t' 2|=|t' 1+t' 2|= 4(2 + ).答案 C11.若曲线C的参数方程为(θ为参数 ),直线 l 的方程为x-3y+ 2= 0,则曲线 C 上到直线l 的距离为的点的个数为 ( )分析曲线 C 的一般方程为 (x-2)2 + (y+1) 2 =9,它表示以 (2,-1)为圆心 ,半径为 3 的圆 ,此中圆心 (2,-1)到直线 x-3y+ 2= 0 的距离 d= ,且 3-,故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,知足题意的点即为该两点.答案 B12.导学号73574066 过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为()A. B.C. D.分析将抛物线的参数方程化成一般方程为y2=x ,它的焦点坐标为.设弦所在直线的方程为y=k ,由消去y,得 64k2x2- 48(k2+ 2)x+9k2 = 0.设弦的两个端点的坐标为 (x1,y1),(x2,y2),则 |x1-x2|= ,解得 k= ±.故倾斜角为 . 答案 B二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 5 分,共 20 分)13.在平面直角坐标系xOy 中 ,若直线 l 1:(s 为参数 )和直线 l2 :(t 为参数 )平行 ,则常数 a 的值为.分析 l1的一般方程为x=2y+ 1,l2的一般方程为x=a ·,即 x=y+ ,因为 l 1∥ l2 ,所以 2= ,故 a= 4.答案 414.设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2= 4上的动点,记以射线Ox为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆 C 的参数方程为.分析圆 C 的圆心坐标为 (2,0), 半径为 2,如图 ,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为 2θ,所以圆 C 的参数方程为 (θ为参数 ).答案 (θ为参数 )15.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴成立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ= 4 的直线与曲线 (t 为参数 )订交于 A,B 两点 ,则 |AB|= .分析将极坐标方程ρcos θ= 4 化为直角坐标方程是 x=4,而由曲线的参数方程消参得3 2 x =y ,2 3所以 y = 4 = 64,即 y=±8.所以 |AB|=| 8-(-8)|= 16.答案 1616.若直线(t为参数)与圆(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α= .分析将直线的参数方程化为一般方程为y=x ·tan α,圆 (x-4)2 +y 2= 4,如下图 ,sin α= ,则α= 或α=.2017-2018 学年人教 A 版高中数学选修4-4 课后习题：第二讲测评答案三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(本小题满分10 分 )把以下参数方程化为一般方程,并说明它们各表示什么曲线:(1)( φ为参数 );(2)(t 为参数 ).解 (1)因为所以两边平方相加,得 = cos2φ+ sin2φ= 1,故所求的一般方程为= 1,它表示焦点在x 轴上 ,且长轴长为14,短轴长为 8,中心在原点的椭圆.(2)因为所以将t= 代入 x=1-5t,得 x= 1-5·,即 7x+5y-7= 0.故所求的一般方程为7x+5y-7= 0,它表示过和 (1,0) 的一条直线 .18.(本小题满分12 分 )已知直线 l 1的方程为 (t 为参数 ),直线 l 2的方程为 x-y- 2= 0.求直线 l 1和直线 l 2的交点 P 的坐标及点P 与点 Q(2,- 5)间的距离 .解将代入 x-y- 2=0,得 t= 2,∴点 P 的坐标为 (1+2,1).又点 Q 为 (2,-5),∴|PQ|=.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为( t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取同样的长度单位 ,且以原点 O 为极点 ,以 x 轴非负半轴为极轴 )中 ,直线 l 的方程为ρsin=m (m∈R).(1) 求圆 C 的一般方程及直线l 的直角坐标方程;(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2,求 m 的值 .解 (1)消去参数 t,得圆 C 的一般方程为 (x-1)2+ (y+2) 2= 9.由ρsin=m ,得ρsin θ-ρcos θ-m= 0.所以直线 l 的直角坐标方程为x-y+m= 0.(2)依题意 ,圆心 C 到直线 l 的距离等于2,即 = 2,解得 m=- 3±2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中 ,圆 C 的参数方程为 (θ为参数 ) .(1) 以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程 ;(2) 若 A(-2,0),B(0,2), 圆 C 上随意一点 M(x,y),求△ ABM 面积的最大值 .解 (1)因为圆 C 的参数方程为(θ为参数 ),2017-2018 学年人教 A 版高中数学选修4-4 课后习题：第二讲测评所以其一般方程为(x-3)2+ (y+4) 2= 4.将 x= ρcos θ,y= ρsin θ代入 ,得 (ρcos θ-3) 2 2 2+ (ρsin θ+ 4) =4,化简得ρ-6ρcos θ+ 8ρsin θ+ 21= 0.故圆 C 2θ+ 21=0.的极坐标方程为ρ-6ρcos θ+ 8ρsin(2)由题意知直线 AB 的方程为x-y+ 2= 0,点 M(x,y)到直线 AB:x-y+ 2= 0 的距离 d= ,△ABM 的面积 S=×|AB| ×d=|2cos θ-2sin θ+ 9|=.所以△ABM 面积的最大值为 9+ 2.21. 导学号 73574067 (本小题满分12 分 )在平面直角坐标系 xOy 中 ,曲线 C1:(t 为参数,t≠0),此中 0≤ α< π.在以 O 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ= 2sin θ,C3:ρ= 2cos θ.(1)求 C2与 C3交点的直角坐标 ;(2)若 C1与 C2订交于点 A,C1与 C3订交于点 B,求|AB| 的最大值 .解 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y 2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为x2+y 2 -2x=0.联立解得所以 C2与 C3交点的直角坐标为 (0,0) 和 .(2)曲线 C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),此中 0≤ α< π.所以点 A 的极坐标为 (2sin α,α),点 B 的极坐标为 (2cos α,α).所以 |AB|=| 2sin α-2cos α|= 4.当α= 时 ,|AB|获得最大值 ,且最大值为 4.22. 导学号 73574068 (本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是ρ= 2.正方形 ABCD 的极点都在C2上,且 A,B,C,D 依逆时针序次摆列 ,点 A 的极坐标为 .(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标 ;(2)设 P 为 C1上的随意一点 ,求 |PA| 2+|PB| 2+|PC| 2+|PD| 2的取值范围 .解 (1)由已知可得A,B,C,D 的直角坐标分别为A,B,C,D,即 A(1,),B( -,1),C( -1,-),D (,-1).(2)设 P(2cos φ,3sin φ),令 S=|PA| 2+|PB| 2+|PC| 2+|PD| 2,则 S=16cos2φ+ 36sin2φ+ 16= 32+ 20sin2φ.因为 0≤ sin2φ≤ 1,所以 S 的取值范围是 [32,52] .。
2016-2017学年高中数学选修4-4章末综合测评2 含解析
章末综合测评(二) 参数方程(时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列点不在直线错误!（t为参数）上的是（)A．(－1，2）B．（2，－1)C．（3，－2) D．(－3，2)【解析】直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点（－3,2）的坐标不适合方程x＋y－1＝0。
【答案】D2．圆的参数方程为错误!(θ为参数,0≤θ〈2π),若Q（－2，2错误!）是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A。
错误!B。
错误!πC。
错误!πD。
错误!π【解析】∵点Q(－2，2错误!)在圆上，∴错误!且0≤θ〈2π,∴θ＝错误!π.【答案】B3．直线错误!（t为参数)的斜率为( )A．2 B．－2C.错误!D．－错误!【解析】直线的普通方程为2x＋y－8＝0，∴斜率k＝－2.【答案】B4．已知O为原点，当θ＝－错误!时，参数方程错误!(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( ）A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!【解析】当θ＝－错误!时,x＝错误!，y＝－错误!，∴k OA＝tan α＝错误!＝－错误!，且0≤α〈π,因此α＝错误!。
【答案】C5．已知A（4sin θ，6cos θ），B（－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( ）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解析】设线段AB的中点为M（x，y），则错误!（θ为参数），∴错误!∴（3x＋2y)2＋(3x－2y）2＝144,整理得错误!＋错误!＝1，表示椭圆．【答案】C6．椭圆错误!（θ为参数)的离心率是（）A。
错误!B。
错误!C。
错误! D.错误!【解析】椭圆错误!的标准方程为错误!＋错误!＝1，∴e＝错误!.故选A。
【答案】A7．（2016·汕头月考)已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M 到直线错误!（t为参数)的距离为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意易知圆的圆心M(1，2），由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0,所以圆心到直线的距离为d＝错误!＝2.【答案】B8．若直线错误!（t为参数）与圆错误!（φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为（）A.错误!或错误!B。
2016-2017学年高中数学选修4-4章末综合测评 第2章 含解析
章末综合测评(二）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。
曲线错误!(θ为参数)的对称中心( )A 。
在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C 。
在直线y ＝x －1上D 。
在直线y ＝x ＋1上【解析】 曲线可化为(x ＋1）2＋(y －2)2＝1,其对称中心为圆心（－1，2），该点在直线y ＝－2x 上,故选B 。
【答案】 B2。
直线错误!(t 为参数)的倾斜角是（ )A.20°B 。
70°C 。
110° D.160°【解析】 令t ′＝－t ，直线的参数化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ′cos 160°＋3y ＝t ′sin 160°(t ′为参数），则直线的倾斜角为160°，故选D。
【答案】D3。
双曲线错误!( φ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是（）A.30°B。
45°C。
60° D.75°【解析】由错误!⇒y2－错误!＝1，两条渐近线的方程是y＝±错误! x,所以两条渐近线所夹的锐角是60°。
【答案】C4.直线错误!（t为参数）与椭圆错误!（θ为参数）的交点坐标是( )A。
（0，2）或（2，0) B.（4，0）或(0，4)C.（0，2)或(4，0）D.（4，2）【解析】法一：直线参数方程消去参数t，得x＋2y－4＝0.椭圆参数方程消去θ，得错误!＋错误!＝1。
由错误!解得错误!或错误!∴直线与椭圆的交点坐标为（4，0）或（0，2)。
法二：∵两曲线相交∴错误!即错误!两式平方相加，消去θ，得t2＋（1－t）2＝1.整理，得2t（t－1）＝0.解得t1＝0，t2＝1。
分别代入直线的参数方程，得交点坐标为（0，2）或(4,0)。
【答案】C5。
若直线l与圆C：错误!(θ为参数）相交于A，B两点，且弦AB的中点坐标是N（1，－2），则直线l的倾斜角为（）A。
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第二讲 讲末学考测评(满分：150分 测试时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎨⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是 ( D )解析：将参数方程进行消参，则有t ＝1x ，把t ＝1x 代入y ＝1tt 2－1中，得当x >0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x <0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0.对照选项，可知D 正确．2．在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( C )A ．(2，－7)B ．⎝⎛⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，12D ．(1,0)解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y ＝1－2x 2 (－1≤x ≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．故选C ．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( C ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)消去参数化为普通方程是y ＝x －2，由0≤sin 2θ≤1，可得2≤x ≤3.故选C ．4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |y ＝tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝cos 2tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ．而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C ．故选D ．5．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是 ( D )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．故选D ．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2 (t 为参数)所表示的曲线是 ( B )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：根据参数中y 是常数可知，方程表示的是平行于x 轴的直线，再利用不等式知识求出x 的范围可得x ≤－2或x ≥2，可知方程表示的图形是两条射线．故选B ．7．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ( D ) A ．13 B ．14 C ．15 D ．16解析：∵直线的极坐标方程为ρcos θ＝4，化为直角坐标方程x ＝4，把x ＝4代入曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)中，解得t ＝±2，∴y ＝±8.∴点A (4,8)，B (4，－8)，∴|AB |＝|－8－8|＝16.故选D ．8．过点(0,2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为 ( B )A ．⎩⎨⎧ x ＝3t y ＝2＋tB ．⎩⎨⎧ x ＝－3t y ＝2＋tC ．⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD ．⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t解析：直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝2＋t(t 为参数)．故选B ．9．若圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ (θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( B )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，直线的方程为3x －y ＋2＝0，圆心坐标为(－1,3)，易验证圆心不在直线3x －y ＋2＝0上．而圆心到直线的距离d ＝|－1×3－3＋2|32＋(－1)2＝410<2，∴直线与圆相交．故选B ．10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( D )A ．12B ．22C ．1D ． 2解析： 设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ， ∴d ＝|x |＋|y |＝|cos θ|＋|sin θ|，设θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴d ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， ∴d max ＝ 2.故选D ．11．(2016·湖南科大附中期末)已知O 为原点，P 为椭圆⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝23sin α(α为参数)上第一象限内一点，OP 的倾斜角为π3，则点P 坐标为( D )A ．(2,3)B ．(4,3)C ．(23，3)D ．⎝⎛⎭⎫455，4155解析：∵P 在椭圆上，∴可设P 坐标为(4cos α，23sin α)，又k OP ＝23sin α4cos α＝tan π3＝3⇒tanα＝2且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴⎩⎨⎧sin α＝255，cos α＝55，∴P ⎝⎛⎭⎫455，4515，故选D ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数) 和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点个数为( D ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝2中，当t ＞0时，x ≥2t ·1t＝2； 当t ＜0时，－x ＝(－t )＋⎝⎛⎭⎫－1t ≥2(－t )·⎝⎛⎭⎫－1t ＝2，得x ≤－2. 原方程化为普通方程是y ＝2(x ≥2，或x ≤－2)．①方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ的普通方程为x 2＋y 2＝4.②将①式中的y ＝2代入②式中，得x ＝0，显然不满足①，即方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x ≥2，或x ≤－2)，x 2＋y 2＝4无实数解，所以曲线C 1与C 2的交点个数为0.故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2016·湖南十三校联考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为1.解析：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1,0)，代入直线y ＝x －a 可得a ＝1.14．(2016·广东南澳校级二模)在平面直角坐标系中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为4.解析：直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)，消去s 得普通方程为x －2y －1＝0，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)，消去t 得普通方程为2x －ay －a ＝0，∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，解得a ＝4.当a ＝4时，两直线在y 轴上的截距不等．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为(2,5)．解析：曲线C 1普通方程为y ＝x 2＋1(x ≥0)，曲线C 2的直角坐标方程为：y ＝x ＋3，将y ＝x ＋3代入y ＝x 2＋1，得x 2－x －2＝0，解得x ＝－1(舍去)或x ＝2，代入y ＝x ＋3得y ＝5，所以交点坐标为(2,5)．16．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为(2，π)．解析：直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2－y 2＝4得交点的直角坐标为(－2,0)，从而交点的极坐标为(2，π)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解析：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴C 2和C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π，A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．∴|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3， 当α＝56π时，|AB |取最大值，最大值为418．(12分)(2016·重庆高三检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1， 所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1. 由直线l 的极坐标方程：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22， 可得ρ(sin θ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)设点P 关于直线l 的对称点Q (a ，b )，则⎩⎨⎧－2＋a 2＋2＋b2＝4，b －2a －(－2)·(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，∴Q (2,6)．由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)，故|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1＝37－1.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以|PB |＋|AB |的最小值为37－1.19．(12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围． 解析：因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ.所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2.将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过点C (－1，3)，圆C 的半径是2，由题意有－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]20．(12分)(2016·云南昆明两区七校调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝3sin θ(其中θ为参数)，点M 是曲线C 1上的动点，点P 在曲线C 2上，且满足OP →＝2OM →，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝π3.(1)求曲线C 2的普通方程，射线l 的参数方程； (2)射线l 与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |. 解析：(1)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，∵OP →＝2OM →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝2y ′，∵点M 在曲线C 1上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1＋3cos θ，y ′＝3sin θ，∴(x ′－1)2＋y ′2＝3. 故曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝12. 由l ：θ＝π3可得l ：⎩⎨⎧ x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)．(2)方法一 将l ：⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝32t(t 为参数且t ≥0)代入C 1的方程得t 2－t －2＝0，∵t ≥0，∴t＝2，同理代入C 2的方程得t 2－2t －8＝0，∵t ≥0，∴t ＝4.∴|AB |＝4－2＝2.方法二 曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0，将θ＝π3代入得ρ＝2，∴A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0，将θ＝π3代入得ρ＝4， ∴B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，∴|AB |＝4－2＝2. 21．(12分)在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t 2＋1(t 为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程和普通方程；(2)过点A (m,0)作曲线C 的两切线AP ，AQ ，切点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点．解析：(1)将x ＝t 代入y ＝t 2＋1中，得曲线C 的普通方程为y ＝x 2＋1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程y ＝x 2＋1中，得曲线C 的极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ＋1，即ρ2sin 2θ＋ρsin θ＝ρ2＋1.(2)由已知，两切线的斜率存在，设切点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵y ′＝2x ，∴切线AP ：y －y P ＝2x P (x －x P )，即2x P x －y －y P ＋2＝0，切线AQ ：y －y Q ＝2x Q (x －x Q )，即2x Q x －y －y Q ＋2＝0.又两切线均过点A (m,0)，因而2x P m －y P ＋2＝0且2x Q m －y Q ＋2＝0，∴直线PQ 的方程为2mx －y ＋2＝0，该直线恒过定点(0,2)22．(12分)极坐标系与直线坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A ，B ，C .(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．解析：(1)证明：依题意|OA |＝4cos φ，|OB |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4，则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π4＋4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22(cos φ－sin φ)＋22(cos φ＋sin φ)＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B ，C 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)，C (3，－3)，所以经过点B ，C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3。