复变函数积分方法的思考总结
复变函数的积分总结
复变函数的积分总结引言复变函数积分是复分析的重要内容之一。
与实变函数不同的是，复变函数在积分时需要同时考虑实部和虚部，因此在处理复变函数的积分时需要注意一些特殊的性质和方法。
本文将对复变函数的积分进行总结，包括复积分的定义、性质和常见的积分方法。
复积分的定义复积分是对复变函数沿着曲线或者面积进行积分的操作。
复积分可以分为线积分和面积积分两种形式。
线积分对于复变函数f(z)，其在线段L上的线积分定义为：$$ \\int_L f(z)dz = \\int_a^b f(z(t))z'(t)dt $$其中z(t)是L上参数化曲线的方程，$t \\in [a, b]$。
线积分的结果是一个复数。
面积积分对于复变函数f(z)，其在有界连续曲线围成的区域D上的面积积分定义为：$$ \\int_D f(z)dz = \\iint_D f(z) dxdy $$其中z=x+iy，dxdy是区域D上的面积微元。
复积分的性质复积分具有一些重要的性质，它们在计算复积分时非常有用。
线积分的基本性质•线积分与路径无关：如果L1和L2是起点和终点相同的两条路径，且f(z)在路径间连续，则 $\\int_{L_1} f(z)dz = \\int_{L_2} f(z)dz$。
•线积分的线性性质：对于任意的复数c1和c2，以及复变函数f(z)和g(z)，有 $\\int_L (c_1f(z) + c_2g(z))dz = c_1\\int_L f(z)dz + c_2\\int_L g(z)dz$。
•同路径积分相等：如果L是起点为z1终点为z2的路径，且f(z)在L 上连续且有原函数F(z)，则 $\\int_L f(z)dz = F(z_2) - F(z_1)$。
面积积分的基本性质•面积积分与区域无关：如果D1和D2是相同的区域，且f(z)在区域D上连续，则 $\\int_{D_1} f(z)dz = \\int_{D_2} f(z)dz$。
复变函数积分方法总结()
4.4.1如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为z1，z2，…，zn 则f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列Res[f(z), ]的值
复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：
z=x+iy i²=-1，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ₁θ₁称为主值-π＜θ₁≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
∑1= (zk-zk-1)
有可设k=zk，则
∑2= (zk-zk-1)
因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= =b2-a2
∴ =b2-a2
1.2定义衍生1：参数法：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入 得：
= - vdy + i + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
= +
=
= + + +
=0+2πi+2πi+0
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结复变函数是研究复平面上的函数的数学分支，复变函数的积分方法是复分析领域中的重要内容。
在复变函数的积分方法总结中，主要包括以下几个方面的内容：1.概念和基本定理复变函数的积分方法的基础是复积分的概念和基本定理。
首先，复数集合C上的曲线C是指满足连续可微的映射γ:[a,b]→C，其中[a,b]是实数区间。
定义复积分为∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt，其中f(z)是连续函数，γ′(t)是γ(t)的导数。
复积分的基本定理包括积分的线性性质、积分之间的关系，以及Cauchy-Goursat定理等。
其中，Cauchy-Goursat定理是指如果f(z)是一个整函数或者在一个简单连通域上解析，那么∫Cf(z)dz=0，其中C是C 上的任意闭曲线。
2.积分路径的选取在计算复积分时，积分路径的选取对结果有影响。
常用的积分路径包括曲线、圆周、分段积分路径等。
对于简单的曲线积分，可以用参数方程表示，然后利用Cauchy-Riemann方程求导，将积分转化为实数函数的定积分。
对于圆周积分，可以利用Cauchy积分定理化简积分表达式。
对于分段积分路径，可以将路径分成若干小段进行计算，然后累加结果。
3.积分的计算复变函数的积分计算可以用多种方法进行。
常用的方法包括换元法、分部积分法、变限积分法和奇偶性等。
对于换元法，可以通过变量替换将复积分转化为常数积分求解。
分部积分法可以通过求导和积分的关系将积分转化为另一种形式。
变限积分法是在计算积分时，将积分限进行变换，然后求导得到关于原积分的方程，从而解得原积分的值。
奇偶性是指其中一函数在定义域上的奇偶函数性质，利用奇偶性可以简化积分计算。
4.应用复变函数的积分方法在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
其中，应用最广泛的是在电动力学中的静电场和静磁场的计算中。
根据Maxwell方程组，可以通过计算积分来求解电场和磁场分布。
同时，在流体力学中，可以利用复变函数的积分方法来求解流体的流速分布和流量等问题。
复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re iθ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k −1?z k 记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即?k 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向)例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数积分方法总结定稿版
复变函数积分方法总结 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】复变函数积分方法总结经营教育乐享[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z=θ? θ?称为主值 -π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)记?z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分∫f (z )dz c=limδ 0∑f (?k )nk −1?z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c −.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f (z )dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )nk −1(z k -z k-1)=b-a∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a.(2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1) 有可设?k =z k ，则∑2= ∑Z n k −1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
(完整版)复变函数积分方法总结
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就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
学习复变心得
学习复变函数心得在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心得感受。
所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。
所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。
它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。
而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。
其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。
到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。
而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数课程从拓展数域至复数开始，在介绍复数与四则运算后，利用中学生已有知识引入概念，易于上手。
接着探讨复平面、复数模和辐角，并过渡至复变函数及其极限、连续性定义。
特别指出的是，复变函数既能为单值函数，也可能具有多值特性，这一区别对后续深入研究至关重要。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。
而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。
接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。
在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。
学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，应该就没有大问题了。
[精选]复变函数学习心得体会
![[精选]复变函数学习心得体会](https://img.taocdn.com/s3/m/b97c58c5b9f67c1cfad6195f312b3169a451ea95.png)
[精选]复变函数学习心得体会
学习复变函数的过程也是一个艰辛的过程，我们认真的学习，会有不一样的收获。
作
为一名在复变函数学习中的小白，有一定的收获是必不可少的，下面是我在学习复变函数
时的心得体会。
首先是函数的性质，复变函数有着特殊的性质，它除了常见的奇偶性、有界性、单调
性等外，还有峰值性、周期性等一些特定性质，这些性质影响着复变函数的变化趋势，我
们要想准确的了解复变函数的变化趋势，就要根据这些性质来分析判断，并且这也是我们
在计算复变函数的积分时需要保证的。
其次是函数变换，这是复变函数教学中非常重要的一部分。
函数变换不仅仅可以使复
变函数变得更加清晰，容易理解，而且也是我们在解决复变函数的不同问题时的基础。
在
有限的函数变换操作之下，我们可以轻松的将复变函数的不同问题转化成简单的求解步骤，从而可以实现复变函数的更好的求解结果。
最后，就是要抓住整体的思路，注重细节的层面，针对不同的题目进行复变函数的计算，准确的分析结果，掌握函数变换，坚持推理思维，复变函数的运用范围也更加广泛，
同时准确的理解和把握丰富的知识也是很有必要的。
只有完善的学习方法和正确的理解，
才能达到全面而牢固的学习效果。
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
学习复变心得
学习复变心得作为一名数学专业的研究生，学习复变函数是必不可少的一门课程。
在我学习的这一年中，我对复变函数的理解和认识不断加深，从最初的懵懂到现在的深刻体会，我认为复变函数是一门非常重要也非常美妙的数学分支。
下面我将从学习过程中的几个方面，分享一下我的心得体会。
一、前置知识复变函数是数学中一门较为高深的内容，需要一定的前置知识才能更好地理解和掌握。
在学习复变函数之前，需要具备以下数学基础：函数论、数学分析、线性代数、微积分以及常微分方程等知识。
对于初学者来说，这些基础知识是必需的。
二、双复变量和复函数复变函数与实变函数的最大区别在于自变量的范围。
实变函数自变量是实数，而复变函数的自变量是复数。
在复数域内，我们需要引入双复变量。
在双复变量的范畴内，我们可以定义复函数。
三、初等函数在学习复变函数时，我们会遇到许多初等函数，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
这些函数也都有其在复变函数中的定义和性质。
这些函数的定义和性质是复变函数的基础，需要在学习过程中加以理解和掌握。
四、解析函数解析函数是指在其定义域内全都存在导数的函数。
复变函数的解析性是复变函数研究的核心内容。
解析函数具有很多重要的性质和定理，例如柯西-黎曼方程、柯西积分定理、柯西-黎曼定理等。
理解这些性质是理解复变函数的核心。
五、留数定理留数定理是复变函数中一个重要的计算方法。
对于残数为有限值的奇点，留数定理可以帮助我们计算复积分。
熟练运用留数定理可以大大简化复积分的计算。
六、洛朗级数洛朗级数是在解析函数上的泰勒展开。
与泰勒级数不同的是，洛朗级数包含一个负幂次项。
利用洛朗级数，我们可以将复函数在一个圆环内展开为洛朗级数，在一些求解问题中会有比较好的应用。
以上是我在学习复变函数过程中的一些点滴感悟。
复变函数是高深而美妙的，它也是珍贵的数学遗产。
在我看来，学习复变函数最重要的是理解其核心概念和定理，坚持做练习，在实际运用中加深对概念和定理的理解。
我相信，只要认真学习，坚持练习，一定能够掌握这门美妙的学问。
学习复变函数的体会
学习复变函数的体会复变函数是数学分析中一个重要的概念，它是将复数域上的变量映射为复数域上的函数。
学习复变函数，对于理解数学分析的基本原理和推导方法具有重要的意义。
在学习的过程中，我体会到了以下几点。
首先，复变函数是复平面上的函数。
复平面上的每个点都可以用一个复数表示，复数可以表示为实部与虚部的和的形式。
复变函数的定义域和值域都是复数域，因此在研究复变函数时，我们需要熟悉复平面上的基本概念和性质。
其次，复变函数有很多重要的性质。
复变函数的连续性是其中一个重要的性质，它与实变函数的连续性有很大的区别。
由于复变函数是复平面上的函数，它的连续性需要用到极限的概念。
此外，复变函数还有解析性和全纯性等重要的性质，解析函数的导函数也是解析函数，这使得复变函数的研究更加丰富和深入。
第三，复变函数的导数与实变函数的导数有很大的区别。
复变函数的导函数可以表示为关于复变量的偏导数，即导数是关于实部和虚部的偏导数的形式。
由于复变函数的复变量有两个独立的变量，因此导数的定义与实变函数的导数有所不同。
此外，复变函数的导数与实变函数的导数还有其他的区别，例如，复变函数的导数的存在性与解析性有密切的关系。
最后，复变函数的应用非常广泛。
复变函数的研究在数学中有很多应用，例如在数理统计、偏微分方程、实变函数的研究等方面都有复变函数的应用。
此外，复变函数还在物理学、工程学等其他领域有重要的应用，例如在电磁学中，复变函数的应用是不可或缺的。
总的来说，学习复变函数是一个具有挑战性但又非常有意义的过程。
通过学习，我不仅掌握了复变函数的基本概念和性质，还培养了数学分析的思维方式和推导能力。
复变函数的研究不仅可以帮助我们深入理解数学的本质，还可以应用于其他领域，为实际问题的解决提供有力的工具和方法。
因此，我会继续深入学习和研究复变函数，不断提高自己的数学水平。
复变函数中曲线积分若干问题的思考
复变函数中曲线积分若干问题的思考数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一,复变函数则是其中一个非常重要的分支，复变函数现在是大学理工科专业的一门重要的基础科，但是复变函数的学习要有高等数学的基础，如果没有这方面的知识，学习复变函数无疑会非常困难，因为这门课程在初学者看来非常抽象，理论性太强。
作为复变函数的教学工作者，如何使得这门课程的课堂变得生动有趣，而且使学生在学习过程中容易理解，是我们不得不思考的问题。
在这篇论文中，我们将对复变函数中难度最大的积分问题进行分类阐述，使我们对复变函数的积分这种问题变得不再桀骜难驯。
1 复变函数的发展历史在讲一门课之前，应当将这门课程的历史说一说，使得学生能对这门课程有个初步了解，便于学生对这门课程有个整体把握。
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程x(10-x)=40时引进了复数。
他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。
在当时包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。
复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。
直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。
特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。
例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。
然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数a+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。
文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。
复变函数积分方法的思考总结
【最新】复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结钱学森11陈海琪2110405004摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其根底局部,因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍.关键词:积分,解析,函数,曲线1.利用定义求积分例1.计算积分_yi_2dz,积分路径C是连接由0到1i的直线段.c解:y_0_1为从点0到点1i的直线方程,于是_yi_dz2c_yi_d_iy_i__i_d_i___011ii_d_1i3.2.利用柯西积分定理求积分柯西积分定理:设fz在单连通区域D内解析,C为D内任一条周线,那么fzdzc0.柯西积分定理的等价形式:设C是一条周线,D为C之内部,fz在闭域DDC上解析,那么fzdz0.c例2.求coszzidz,其中C为圆周z3i1,c解:圆周C为z3z1,被积函数的奇点为i,在C的外部,于是,coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析,coszzidz0.故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域,有如下定理:设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域,fz在D内解析,在DDC 上连续,那么fzdz0.c3.利用柯西积分公式求积分设区域D的边界是周线或复周线C,函数fz在D内解析,在DDC上连续,那么有fz12icfzdzD,即fczd2ifz.例3.求积分c921d,其中C为圆周2.解:c921didc925另外,假设a为周线C内部一点,那么dzdz2iczazacn0〔n1,且n为整数〕.4.应用留数定理求复积分fz在复周线或周线C所围的区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域DDC上除a1,a2,an外连续,那么fzdz2iResfz.ck1zakn设a为fz的n阶极点,fzzzan,其中z在点a解析,a0,那么Resfzzaa.n1!5z2z2n1例4.计算积分zz12dz解:被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1,Resfzz05z2z22|z25z2Resfz|z12|z12z1zz因此,由留数定理可得5z2z2zz12dz2i220.5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算,尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分02令ze,那么cos2izz21,sinzz2i1,ddziz,此时有例5.20zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.dacos0a112解:令zei,那么cosI2izz,d1dziz,zzz1dz,其中aa21,aa21,1,1,1,应用留数定理得I2a12.假设Rcos,sin为的偶函数,那么Rcos,sind之值亦可用上述方法求之,0因为此时Rcos,sind012Rcos,sind,仍然令zei.例6.计算taniad〔a为实数且a0〕0分析:因为tania1eie2iai2iai11,直接令e2iaiz,那么dze2iai2id,于是tania解:I11z1iz1.iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理,当a0时,Ii当a0时,Ii.5.2计算P_Q_d_型积分例7.计算_d_423_24.424解:函数fzz23z在上半平面内只有z23i一个四阶极点,令23ia,zat那么fzz3444z4223z44zazata44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att211tt4423t168a32aResfzza1332a43i5766即Resfzz23i133242i33故_d_423_242ii57662886.6.级数法计算积分+∞连续性逐项积分定理:设在曲线C上连续(n=1,2,3…),=1在C上一致收敛于fz,那么fz在曲线C上连续,并且沿C可逐项积分:+∞dz.将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积=1=分的有关问题.例8.计算积分(∞,C:|z|=.=121解:在|z|扩展阅读:求复变函数的积分方法哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:求复变函数的积分方法院〔系〕理学院专业年级姓名指导教师__年6月1日数学与应用数学__级闫岩徐亚兰学号09031123职称副教授哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕目录摘..................................................................... .....1Abstract....................................................... ..................................................................... .............2前言................................................................... ..................................................................... .....3第一章复积分的概念及其简单性质................................................................... ......................41.1复变函数积分的定义................................................................... ....................................41.2复变函数积分的根本性质................................................................... ............................5第二章复积分的计算................................................................... ..............................................72.1函数沿非闭曲线的积分的计算................................................................... ....................72.1.1定义法................................................................... .......................................................72.1.2参数方程法................................................................... ...............................................82.2函数沿闭曲线的积分的计算................................................................... ......................112.2.1积分定理................................................................... .................................................112.2.2挖奇点.................................................132.2.3柯西积分公式................................................................... .........................................152.2.4高阶导数公式................................................................... .........................................15第三章用留数定理计算复积分................................................................... ............................173.1留数定理及其应用................................................................... ......................................173.1.1留数的定义................................................................... .............................................173.1.2留数定理................................................................... .................................................173.2留数定理与其它解法的联系................................................................... ......................18参考文献................................................................... .. (2)0致谢................................................................... ..................................................................... (21)哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕摘要复积分即指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复变函数的积分是研究解析函数的重要工具.复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具,它也是学习后继课程积分变换的根底,因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式.高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文介绍了计算复积分的几种方法,同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系,并且总结出利用柯西积分定理.柯西积分公式.高阶导数公式.留数定理等来计算复变函数积分的根本方法,通过实例说明每种方法使用的范围,从中揭示出他们的内在联系,本文对复积分的计算方法进行了比拟系统的归纳总结,从中概括出解题方法和技巧.关键词:复变函数的积分;柯西积分定理;高阶导数公式;留数定理哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕AbstractComple_integrationrefersComple_integration.Intheanalysisofcomple_func tiontheory,comple_functionofintegralanalyticfunctionsisanimportanttoolforresearc ple_functionsintheintegralstudyofanalyticfunctionsnotonlyanimpor tanttool,itisalsothesuccessorprogramtolearnthebasisofintegraltransfor mation,andthereforecomple_integralcalculationmethodaresummarizedanddi scussedisverynecessary.Cauchy〞sintegralformula,higherderivativeformulas,andtheresiduetheoremforcomp le_integralsplayabigrole.Thisarticledescribesseveralmethodsforcalcula tingcomple_integration,alsodiscussedtheresiduetheoremandtheintrinsicl inkbetweencomple_integration,andsummedupusingtheCauchyintegraltheorem ,Cauchy〞sintegralformula,higherderivativeformula,ple_int egrationcalculationofthebasicmethod,bye_amplesillustratethescopeofuse ofeachmethod,whichrevealstheirinternalrelations,thepapercomple_integr alcalculationmethodswerecomparedsystemsaresummarized,whichsummarizeth eproblem-solvingmethodsandtechniques.Keywords:comple_variablefunctionintegration;Cauchy〞sintegraltheorem;higherderivativeformula;residuetheorem哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕前言复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具.解析函数中许多重要的性质都要利用复积分来证明.比方,想要证明〝解析函数导函数连续性〞以及〝解析函数各阶导数存在性〞这些外表上看起来只跟微分学有关的命题,一般都要使用复积分.其中柯西积分公式和柯西积分定理显得尤其重要,他们是复变函数论的根本定理和根本公式.复变函数论是数学中的一个根本的分支学科,它的研究对象是复变数的函数.复变函数论的历史悠久,内容丰富,理论也十分完美.它在数学中的许多分支.力学以及工程技术科学中有着相对广泛的应用.复数起源于求代数方程的根.本文对不同类型的复变函数积分的计算方法进行了系统的归纳和总结,并且总结出了求解复积分的一些方法和技巧,这样在遇到求解复积分问题时,我们可以先分析积分的特点,再根据特点来选择适宜的方法,如果方法得当,便可以使一些复杂的复积分计算变得简单.快捷.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第一章复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义bz()为终点,f(z)定义1设有向曲线C:zzt,(t),以az()为起点,沿着曲线C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点:az0,z1,...,zn1,znb把曲线C分成了假设干个弧段.在从zk1到zk(k1,2,...,n)的每一弧段上任意取一点k,做成和数snf(k)zk,其中zkzkzk1.当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋k1n于零时,假设和数sn的极限存在并且等于J,就称f(z)沿曲线C〔从a到b〕可积,而称J是f(z)沿C〔从a到b〕的积分,并且用记号f(z)dz表示:cJf(z)dz.cC叫做积分路径.f(z)dz表示沿曲线C正方向的积分,f(z)dz表示沿曲线C负方向的积cc分.定理1如果函数f(z)u(_,y)iv(_,y)并且沿着曲线C连续,那么f(z)沿C可积,并且f(z)dzud_vdyivd_udyccc例1如果C表示连接点a及b的任一曲线,试证:1〔1〕dzba〔2〕zdz(b2a2)2cc证明〔1〕因为f(z)1,sn(zkzk1)bak1n所以nma_zk0limsnba即哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕dzbac〔2〕因为f(z)z,令kzk1于是就有z1k1nk1(zkzk1),但我们又可以令kzk,那么可得到2zk(zkzk1),再由定理1可知积分zdz存在, k1nc1因此sn的极限存在,并且应该跟1和2的极限相等,从而应该跟(12)的极限2相等.令11n2122(12)(zkzk)(ba2)122k12所以122zdz(ba).2c1.2复变函数积分的根本性质设函数f(z),g(z)沿曲线C连续,那么有以下的性质〔1〕af(z)dzaf(z)dz,a 是复常数;cc〔2〕f(z)g(z)dzf(z)dzg(z)dz;ccc〔3〕f(z)dzf(z)dzf(z)dz,其中C由曲线C1和C2衔接而成;cc1c2〔4〕f(z)dzf(z)dzcc〔5〕f(z)dzccf(z)dzf(z)dsc在这里dz表示弧长的微分,也就是dz(d_)2(dy)2ds定理2〔积分估值〕如果沿着曲线C,函数f(z)连续,并且有正数M使得f(z)ML,L 是曲线C的长,那么f(z)MLc例2试计算Rezdz,其中C是从0到2+i的直线段.c解由题直线C可以由关系式y1_,0_22表达,于是所求积分得Rezdz_d_i_dy_d_cc02i2_d_2i02哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第二章复积分的计算2.1函数沿非闭曲线的积分的计算2.1.1定义法为终点的光滑曲线〔yy_是有连续的导定义设l是复平面上以z0为起点,以z 把l分成n段,在每一小段zk1zk上任意取一数〕,在l上取一系列的分点z0,z1,,zn1,znz点k做和数Snfkzkzk1fkzk,zkzkzk1k1k1nn当n时,并且每一小段的长度趋于零时,如果limSn存在,我们就称fz 沿l是可积n的,limSn叫做fz沿l的路径积分.l是积分路径,记做fzdz【如果l是围线〔闭的nl曲线〕,那么记为f(z)dz】.fzdzmilllnmSilnnfzkkk1n〔fz在l上取值,也就是z在l上变化〕.例1计算积分1)dz;2)zdz,其中积分路径表示连接点a及点b的任一曲线.cc解对C进行分割,并且近似求和,以下符号与上述的复积分的定义一致.〔1〕当C是闭曲线的时候,dz0.由于f(z)1,Sn(zkzk1)ba,所以Ck1ma_|Sk|0nmlimSnba即dzba．c〔2〕当C是闭曲线的时候,dz0.f(z)z,沿曲线C连续,那么积分zdz存在, CC令kzk1,那么1zk1(zkzk1),k1n又可以令kzk,那么2zk(zkzk1),k1n由于Sn的极限是存在的,并且应该和1及2极限相等,所以11n1222Sn(12)zk(zkzk(ba2),1)22k12所以zdzC12(ba2)．22.1.2参数方程法在简单光滑的曲线上连续,想要计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程z_iy,dzd_idy,fzu_,yiv_,y(通常遇到的是圆弧或者直线段);第二步:求出fzdz,把u_,y,v_,y代入到其中;第三步:把积分化成关于的定积分,并且l计算该定积分.z_iy,dzd_idy,fzu_,yiv_,y,于是u_,yiv_,yd_idyfzdzllu_,yd_v_,ydyiv_,yd_u_,ydy,ll所以复变函数的积分可以归纳总结成为两个实变函数的线积分,并且它们分别是复变函数积分的实部和虚部.复变函数积分的参数表示设曲线l的参数方程是zzt_tiyt,或者表示成__t,yyt,z,t,z0z,z记u_t,ytut,v_t,ytvt,于是d__tdt,dyytdt,dzztdt,zt_tiyt那么fzdzcut_tvtytdtivt_tutytdt8哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕utivt_tiytdtfztztdt.yi1iyi1iy=_y=_y_2图〔2-1-2a〕图〔2-1-2b〕o1_o1_例2试计算fzdz,其中f(_)z,l是:l〔1〕从原点到点1i上的直线段;〔2〕抛物线y_2上从原点到点的弧段;〔3〕从原点沿_轴到点1再到1i上的折线;解〔1〕积分路径的参数方程是z(t)(1i)t,(0t1)那么dz(1i)dt,122=(1+i)tdtzdz(1i)iC021如图〔2-1-2a〕所示.〔2〕积分路径的参数方程是z(t)tit211(0t1),那么dz(12ti)dt,1t2143232tit〔tit〕(12it)dt(t-2t+3it)dtzdzi00C220如图〔2-1-2b〕所示.i y1iy=_y_2o1_哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕图〔2-1-2c〕图〔2-1-2d〕〔3〕如图〔2-1-2c〕所示.积分路径是由两段直线构成的,_轴上直线段的参数方程是z(t)t(0t1),那么dzdt,1到1+i直线段的参数方程是z(t)1it(0t1),那么dzidt,C1+it)idtzdztdt〔011011ii22例3试证2i(n1)dz,l是以za为圆心,以为半径的圆周.l(za)n0(n为n1的整数)如图〔2-1-2d〕所示.证明l的参数方程是zaei在l上,dzieid.当n1的时候,iieddzilzaeid2i当n1的时候,iieddzii(n1)dl(za)nneinn1e1in1en1n111n11n10.n1n1复变函数积分的简单性质〔以下性质i.ii.iii.iv都可以从积分的定义式中直接得出〕z0,z.z0分别是l的终.起点.dzL,dz是dz的长度,L是l的长度.i.dzzll.〔可推广〕a1f1za2f2zdza1f1zdza2f2zdz,a1.a2是复常数.lll.fzdzfzdzfzdz,其中l1.l2连接成l.〔可推广〕ll1l2.fzdzfzdz,l表示跟l方向相反的同一条曲线.ll不等式〔估值公式〕哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕a)证明fzdzfzdzllfzdzlimfzlnkk1nnnk1nk1nklimfkznk1nlimfkzklimfkzkfzdz.l〔此处运用了z1z2z1z2的推广,z1z2z3z1z2z3z1z2z3,z1z2znz1z2zn,多边形任意一边的长其他边长之和〕b)如果M是fz上沿曲线l 的最大值,L是l的长度,那么证明:nfzdzML.lfzkk1nkfkzkMzkk1k1nnn两边取极限limfkzkMlimzk,即nk1nk1fzdzMLl或者fzdzfzdzMdzML.lll2.2函数沿闭曲线的积分的计算2.2.1积分定理柯西定理如果fz在单连通区域D上解析,l是D内的任意一条围线,那么f(z)dz0l其实只要fz在l所围的单连通区域内解析,那么f(z)dz0.如图〔2-2-2〕所示.l哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕图(2-2-2)注单连通区域内的任意一条闭曲线可以连续收缩成一点,简言之区域内没洞. 复连通区域内至少有一条闭曲线不能连续收缩成为一点,简言之区域内有洞.证明因为fz在D上是解析的,也就是fz在D上的各点均存在.为了简化证明,我们进一步要求fz在D上连续,uvuv...在D上连续.__yyuvuvii,__yyfzu_,yiv_,y,dzd_idy,fzf(z)dz(ud_vdy)i(vd_udy)lll因为fz在D上是连续的,所以u.v有连续的偏导数,并且满足C－R条件 uv,而根据实的线积分的格林定理y_uv,_yvu(ud_vdy)l〞_yd_dy0,D是l所围单连通区域〔C－R条件〕Duv(vd_udy)l〞_yd_dy0,D是l所围单连通区域〔C－R条件〕D所以f(z)dz0l注意柯西定理中只要求fz在D上解析,对fz在D外是否解析并没有要求,证明中没有用fz在l以外的性质.因此只要fz在l所围的区域内解析.推论:如果fz在D上解析,l1.l2是D内有相同的端点的任意的两条曲线,那么 fzdzfzdzl1l2也就是在fz解析的单连通区域内,fz沿着任意一条曲线l的积分,只依赖于l的起点和终点,而和l的具体形状是没有关系的.证明由于l1.l2的端点是相同的,因此l1与l2组成一围线.根据柯西定理l1l2fzdz0fzdzfzdzfzdzl1l2l2哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕2.2.2挖奇点法〔1〕闭复通区域情形所谓复通区域,就是函数在其中的某些点处并不解析,这些点叫做奇点,为了把这些点排除在外,通常做一些适当的闭合曲线把这些奇点挖去,形成带〝孔〞的区域,也就是复通区域.当fz在D内处处解析,并且围线l全部在D内的时候,那么f(z)dz0.但当l所围区域l内有fz的奇点的时候,前面所说的柯西定理是针对单连通区域中的解析函数fz来说的,如果fz在l所围的区域里有奇点,可以做一围线把这个奇点围住,假设把所围的区域挖去,那么区域就变成复连通区域D.如图(2-2-3a)所示.图(2-2-3a)对于复连通区域D,做辅助线c1.c2.c3,使D分成两个单连通区域D1和D2.D1的边界是1,D2的边界是2,选取如此的方向当作路径的正方向,也就是当沿着路径行进的时候,区域始终保持在左边,所以D的边界是ll1l2.12ll1l2c1c2c3c1c2c3因为fz在D上,从而在D1.D2上解析,根据柯西定理:所以1f(z)dz0,f(z)dz02又12f(z)dzf(z)dzf(z)dz012哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕12f(z)dzlll1l2c1c2c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl1l2f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzc1c2c3c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzll1l2所以f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz0l2从而f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzl2很容易把上面的情形推广到内部有n个洞的复连通的区域,于是f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl2lnk1lkn上述积分都沿着逆时针的方向,所以在复连通的情形下,在复连通区域内解析的函数,他沿着外边界线逆时针方向的积分就等于他沿着所有内边界线逆时针方向的积分的和.例4试计算图(2-2-3b)dz,l是不通过za的点的围线.l(za)n解如图〔2-2-3b〕所示,za是fz1zan上的一个奇点,如果l没有包围点 dz0〔l不包围l(za)nza,那么fz1zan在l所包围的区域上是解析的.进而.如果l包围za【za 是za〕那么根据上面的公式就有:1zan上的奇点】,作以za为圆心的圆周l1包围a,哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕dzdzl(za)nl1(za)n据前面的例子可以得到:2i,n1dzl1(za)n0,n为n1的整数因此2i,当l包围za,且n1dzl1(za)n0,当n为n1的整数,或l不包围za2.2.3柯西积分公式柯西积分公式设区域D的边界是周线或者复周线C,函数f(z)在D内是解析的,在DDC上是连续的,那么有f(z)1f()d(zD),即2iC(z)f()d2if(z)C(z)2z2z1dz的值,其中C:|z|2.例5试计算积分Cz1解由于f(z)2z2z1在|z|2上是解析的,z1z:|z|2.根据柯西积分公式就有2z2z12z|2z1dz2i(2zz1)2.2.4高阶导数公式高阶导数公式设f(z)在D内是解析的,在D上是连续的,C是D的边界,z0D有 f(z)2i(n)dzf(z0),n1,2,〔1.11〕(zz0)n1n!例6试求coszdz,C是包含在圆周|z|1上的任何正向简单闭曲线,z2i.z10,Cz311取C1是|z|,C2是|zi|.33解f(z)cosz,z00在C的内部,由等式〔1.11〕cosz2idz(cosz)z0Cz32!哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕=i(2cosz)z03i高阶导数公式的作用不在于通过积分来进行求导,而在于通过求导来求解积分.例7试求积分1dz.其中C:(1)z32;(2)z1323(z2)zC解函数1有两个奇点,分别是z2和z0,(z2)2z3111z3dzdz(1)z32,仅包含奇点z2,取f(z)3,(z2)2zC(z2)2z3C2i11!z3z23i;8(2)z13的两个奇点z2和z0都包含在C 以内,作简单的闭曲线C1和C2分别包含0和2,其中C1和C2互不包含并且互不相交,由复合闭路定理和高阶导数公式,1123111(z2)zdzdzdzdzdz23232332(z2)z(z2)z(z2)zz(z2)CC1C2C1C22i12!(z2)2z02i131!zz23i3i0.88哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第三章用留数定理计算复积分3.1留数定理及其应用3.1.1留数的定义设0是f(z)的孤立奇点,f(z)在0的去心邻域内有洛朗展式f(z)na(zz)n0n称 a1是f(z)在0点的留数,记作Resf(z0).即留数是(洛朗展式中)负一次幂的系数.3.1.2留数定理设f(z)在复周线或者周线C所围的区域D内,除a1,a2,an以外解析,在闭区域 DDC上除a1,a2,an以外连续,那么f(z)dz2iResf(z)〔1.14〕Ck1zakn设a是f(z)的n阶极点,f(z)Resf(z)za(z)(za)n,其中(z)在点a上解析,(a)0,那么(n1)(a)(n1)!.在这里符号(0)(a)代表(a),并且有(n1)(a)lim(n1)(z).za5z2dz.例1试计算积分|z|22z(z1)解被积函数f(z)5z2在圆周|z|2的内部只有一阶极点z0和二阶级点z(z1)2z1.Resf(z)z05z2(z1)2z022Resf(z)(z15z22)z12zzz1所以,根据留数定理可以得到5z2sf(z)Resf(z))2i(22)0|z|2z(z1)2dz2i(Rez1z0哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕例2试计算积分cosz|z|1z3dz.解f(z)cosz只以z0为三阶极点,3zResf(z)z011(cosz)z02!2所以根据留数定理就有cosz1dz2i()i|z|1z323.2留数定理与其它解法的联系1.参数方程法只适用于积分曲线式的特殊类型的曲线.但有一些题目可以用参数方法解题,但是计算要复杂得多,而用柯西定理会很简单.2.〔1〕柯西积分定理可以推广到复周线的情形,这也是计算复积分的一个比拟有利工具,即复函数沿区域的外边界曲线的积分等于沿着区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形.〔2〕如果积分与路径无关的条件下也可以直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算.〔3〕利用柯西积分定理也有一定的局限性,主要表达在被积函数上,只有某些特殊的函数或者能够拆成假设干个特殊的函数的函数计算起来较方便.3.〔1〕柯西积分公式解决的是形如f()f()d,(zD)的积分,形如d,(zD)的czc(z)n 积分就要利用解析函数的无穷可微性f(n)(z)此类问题.n!f()d,(zD)(n1,2,)可解决n1c2i(z)〔2〕柯西积分公式跟解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数,二者在计算的时候都常常与柯西积分定理相结合.4.〔1〕柯西积分定理.柯西积分公式以及解析函数的高阶导数公式都是留数定理的特殊情况.〔2〕但凡能用柯西积分定理.柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能够用留数定理来计算.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕1)高阶导数公式可以计算某种特定形式的复积分.利用高阶导数公式计算积分的时候,如果被积函数的阶数太高,会太过于繁琐,这时要运用留数定理以及他的计算规那么来计算复积分,就简便的多.注意:通过柯西积分公式和高阶导数公式解决了一类复积分的计算的问题,但是在练习的过程中我们往往会发现应用这两种计算方法往往不能有效的解决复积分问题,而是把这两种方法综合起来.总之,在求解有关复积分的问题时,对方法的选择要因题而异.首先从积分路径和被积的函数入手,确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线,然后再对被积函数在已给的区域C内的解析性加以分析判断,再决定采取什么样的方式方法来解决所面对的积分问题.按照这样的根本步骤来寻求复积分的计算方法,处理有关复积分的问题就得心应手了.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕参考文献[1]钟玉泉,复变函数论〔第三版〕[M].北京:高等教育出版社,__,2.(书籍)[2]潘永亮,复变函数[M].北京:科学出版社,__.(书籍)[3]龚冬宝,复变函数典型题[M].西安:西安交通大学出版社,__.(书籍)[4]刚家泰,复变函数全程学习指导与解题能力训练[M].大连:大连理工大学出版社,__.(书籍)[5]余家荣,复变函数[M].北京人民大学出版社,1979.(书籍)[6]严镇军,数学物理方法[M].合肥:中国科技大学出版社,1999.(书籍)[7]钟玉泉,复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1995.(书籍)[8]西安交通大学高等数学教研室.工程数学复变函数[M].北京:高教出版社,1996.(书籍)[9]严之山.关于复积分的计算[J].青海师专学报,__(5):34～36.(书籍)[10]王文鹏.复变函数积分的求解策略[J].重庆科技学院学报,__.9(12):145～147.(书籍)[11]上海交通大学出版社出版发行.复变函数与积分变换,__.(书籍)[12]谭欣欣.复变函数全程学习指导.西安交通大学,复变函数第四版,__.(书籍)[13]菲赫金,哥尔茨.微积分学教程[M].第二卷第二分册〔P225~290〕.(书籍)[14]Ur,P.TeachingListeningComprehension.Cambridge:CambridgeUniversity Press,1984〔期刊〕[15]Stern,H.H.FundamentalConceptsofLanguageTeaching.O_ford:O_fordUniv ersityPress,1983〔期刊〕哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕致谢大学四年来,各位老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想.生活上给我以无微不至的关心,在此谨向各位老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.老师们以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响,渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.通过这段时间的努力我的毕业论文终于完成了,这也意味着我的大学生活即将束,大学阶段,我在学习上和思想上都受益匪浅,这与同学老师和亲人的鼓励与支持是分不开的,感谢数学与应用数学系的各位老师.同学们,与他们的交流让我学到了很多.感谢和我一起生活了4年的舍友们,严谨的解决问题的态度,灵活的思考问题的方式,扎实的专业知识,认真的学习态度都给了我很大的启发.写毕业论文是一次系统学习的过程,我要感谢在这一过程中给我建议,指导我写作论文的徐老师,从选题到开题,从提纲到正文,严格把关,循循善诱,耐心指导,是我以后工作学习的典范.。
复变函数与积分变换学习小结
工程数学学习小结在结束了大一两个学期的高等数学学习后，我们迎来了专为工科专业设置的两门工程数学课程：复变函数和积分变换。
刚接触这两门课程时，我并没有做出特别的心理准备，以为它跟其他课程一样，都有高中知识做铺垫，只要认真去体会，就能明白其中的含义。
但后来发现我的“以为”是错误的，尽管两门课程的课本加起来还不及高等数学一册书的厚度，但其中蕴含的知识的难度却非常大。
刚开始学习到复变函数和解析函数的概念时，我还依旧尝试着用原来积累的知识的底子去理解它，虽然感觉很吃力。
就这样一直持续到复变函数学习的结束，感觉自己的大脑里识别的仍然是那些先前学过的旧知识，而对新加入的类似柯西黎曼方程、柯西古萨定理等等的知识仅仅停留在概念表面而已，对它们并没有一个系统的认识，就好像它们和大脑里原来识别的东西有排斥一样，自己始终没有接受这些东西。
在复变函数学的半清不楚的状态下，我们又迎来了积分变换的学习。
完全措手不及。
在课上大容量的信息灌输下我完全没有时间静下心去体会每个公式蕴含的含义以及它们之间的各种联系。
此时此刻，我想到了两个特别贴切的比喻。
复变函数好比是“雪”，而积分变换则好比是“霜”，所以，两门课程前后连在一起，构成了我当时十分尴尬的境地。
不过，好在还有“绝地逢生”这种说法。
当我被折磨得感觉实在无望的时候，却有同学告诉我：“积分变换特别好学，只要把公式背过就OK了。
”虽然他的话的准确性有待考证，但是它却提醒了我，我似乎把问题想复杂了，应该换一种角度去理解这两门课程的真正内涵所在。
翻开两本书的第一页，我看到复变函数和积分变换两门课程所包含的理论方法大都应用在数学、自然科学和工程技术中，是解决很多工程问题的有力工具。
那一刻，我仿佛才明白了赋予它工程数学这个名称的含义。
后来在网络上的查询中我又了解到线性代数也属于工程数学，怪不得学习复变和积分两门课程的困难、疑惑有种似曾相识的感觉，原来这都归因于我对工程数学的理解及适应不够到位。
复变函数积分方法总结()
4.3函数在极点的留数：
准则一：若z0为一级极点，则
Res[f(z),z0]=
准则二：做z0为m级极点，则
Res[f(z),z0]= {(z-z0)mf(z)}
准则三：设f(z)= ,P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0) 0，
（1）f(z)= (2)f(z)=
解：（1）在扩充复平面上有奇点： 1， ，而 1为f(z)的一级极点且Res[f(z),1]= = = e
Res[f(z),-1]= = =-
∵Res[f(z), ] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0得
∴Res[f(z), ]=-{Res[f(z),1]+Res[f(z),-1]}= ( )=-sh1
2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路 =C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：
= + =0
即 =
推论： =
例题： C为包含0和1的正向简单曲线。
解：被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。
3.3线积分法：
若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv= dx+ dy=- dx+ 故虚部为
v= +C
该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).
例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
= +
=
读《复变函数》与《积分变换》有感（最终定稿）
读《复变函数》与《积分变换》有感（最终定稿）第一篇：读《复变函数》与《积分变换》有感班级B10202姓名李建良学号36读《复变函数》与《积分变换》有感在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。
因此感觉有一定的深度和难度。
它们都利用数学的理论来解决实际问题。
复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。
就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。
在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。
本章将原来的基础上作简要的复习和补充。
然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。
概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。
第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。
再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。
由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。
所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。
后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。
在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。
而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。
本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。
复变变函数与积分变换读书报告
《复变函数与积分变换》读书感受学习了复变函数与积分变换之后，会发现，它的主要内容还是积分，围绕着这两个字进行着各种不同的变化，来解决各种不同的问题。
对于复变函数来说，研究的主要对象是复数领域的函数，在高等数学中是实变函数。
由于理论的探究于生产实践的发展，又提出了对复变数的研究，而研究复变数之间的相互依赖关系，就是复变函数这门课的主要任务。
复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而他们之间有很多相似之处。
复变函数研究的主要对象是复数，自变量是复数的函数，同样解析函数也是在复变数领域内来研究函数的，在理论与实际问题中有着广泛的应用，我们在学习复变函数导数概念和求导法则的基础上，着重学习解析函数的概念和判别方法，然后是一些初等函数及其解析性。
对于解析函数的研究其实主要就是集中在了两个字“极限”上，可以说极限是复数研究的中心。
我们知道，由复数是解析函数可以推知该函数的极限存在，而函数极限存在的话可推知函数在该点上或是该点的邻域内连续；又极限存在的话可以求出函数在该点或邻域内的导数，由导进而得出微分方程；此外由极限存在可以求出函数的积分进而可再研究留数，并且由极限可直接递进到级数方面的研究。
从此看来，复变域内函数的研究是连续的网状结构。
下面来说一下积分变换，积分变换是为了把复杂的运算转化为较简单的运算。
简单的举例来说是把较复杂的乘除运算通过对数变换化为较简单的加减运算。
积分变换中主要就两个知识点，也就是说我们可以通过两种变换来实现把较复杂的运算转化为较简单的运算，之前说过有Fourier变换和Laplace变换，我们先看一下这两章的主要内容，前者讲的依次是Fourier的积分、变换、性质、卷积与应用；而Laplace 中则是概念、定理、性质、逆变换、卷积与应用。
这样看来，这两者是一个比较学习的过程，不同的变换有不同的变换规则，但却有相似的特点。
用积分变换去解微分方程或其他方程就如同用对数变换计算数量的乘积或商一样，如果从原方程求未知数较为困难时，则可以求它的某种积分变换的象函数，然后再得出解。
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。
我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。
每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。
以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。
关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。
同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。
其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。
它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。
传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。
而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。
如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。
复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。
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n
设 a 为 f z 的 n 阶极点， f z
z a n
z
，其中 z 在点 a 解析， a 0 ，则
Re s f z
z a
n1 a
n 1!
.
例 4.计算积分
5z 2 dz 2 z 2 z z 1 5z 2 在圆周 z 2 的内部只有一阶极点 z 0 及 z 1 ， 2 z z 1
1 f d z D ，即 f d 2if z . c z c 2i z
例 3. 求积分
c
9 1d ，其中
2
C 为圆周 2 .
9 2 d 解： c i d c 9 2 1
������ +∞ ������ ������ =1 ������ +∞ ������ ������ =1 ������
������ 在C上
������ ������������=
������
������ ������ dz。 将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积
1
分的有关问题。
������ 例8.计算积分 ������ ( ∞ ������ =−1 ������ ������������,C:|z|=2.
c
例 2、求
cos z dz ，其中 C 为圆周 z 3i 1 ， c zi
解：圆周 C 为 z 3z 1 ，被积函数的奇点为 i ，在 C 的外部，
cos z 在以 C 为边界的闭圆 z 3i 1 上解析， zi cos z dz 0 . 故由柯西积分定理的等价形式得 c zi 如果 D 为多连通区域，有如下定理：
此时有 Rcos , sin d
0
z z 1 z z 1 dz R , iz . z 1 2 2 i
例 5.
2
0
d a 1 a cos 1 dz z z 1 ， d ， iz 2
解：令 z ei ，则 cos
7.拉普拉斯变换法
计算复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定 理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积 定理等)，将该类复积分化为 F(s)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的 复积分结果。 总之， 复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论 的内容要丰富和复杂得多。 因而在学习时应着重理解复变函数积分理论与高等数 学中积分理论的联系， 同时又要注意到二者的不同，这对学生掌握复变函数整个 课程内容大有裨益。 [参考文献] [1] 黄隽：复变函数积分计算方法的探讨. 常州工学院学报,2008 年 8 月第 21 卷第 4 期 [2]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］ 。北京:高等教育出版社，2003。 [3]王燕.复变函数积分的解法分析［J］ 。数学学习与研究，2009，12:90-91。
Px dx 型积分 Q x
例 7.计算
2 3x
x 4 dx
2 4
.
解：函数 f z
2 3z
z4
2 4
在上半平面内只有 z
2 i 一个四阶极点， 3
令
2 i a ， z a t 3
则 f z
z4 24 z a z a
4 t a 4 4 4 3 t t 2a
1 a 4 4a 3t 6a 2t 2 4at3 t 3 4 4 3 t 16a 4 32a 3 24a 2t 2 8at3 t 4
1 1 t t2 4 4 2 3 t 16 8a 32a
直接令 e 2i ai z ，则 dz e2i ai 2id ，
于是 tan ia 解： I
1 z 1 . i z 1
1 z 1 1 1 z 1 dz dz c i z 1 2iz 2 c z z 1
应用留数定理，当 a 0 时， I i 当 a 0 时， I i . 5.2 计算
I
2 dz ，其中 a a2 1 ， a a2 1 ， z 1 z z i
1, 1, 1，
应用留数定理得 I
2 a2 1
.
若 Rcos , sin 为 的偶函数，则 Rcos , sin d 之值亦可用上述方法求之，
于是，
设 D 是由复周线 C C0 C1 C2 所构成的有界多连通区域， f z 在 D 内 Cn
解析，在 D D C 上连续，则 f z dz 0 .
c
3.利用柯西积分公式求积分 设区域 D 的边界是周线或复周线 C ，函数 f z 在 D 内解析，在 D D C 上 连续，则有 f z
c
解： y x0 x 1 为从点 0 到点 1 i 的直线方程，于是
x y ix dz x y ix d x iy
2
1i
2
c
0
x x ix 2 d x ix
1 0
1 i i x 2 dx
5.用留数定理计算实积分 某些实的定积分可应用留数定理进行计算， 尤其是对原函数不易直接求得的 定积分和反常积分， 常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线 积分. 5.1 计算 Rcos , sin d 型积分
0 2
令 z ei ，则 cos
2
z z 1 z z 1 dz ， sin ， d ， iz 2 2i
1 0
1 i . 3 2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设 f z 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内任一条周线，则
f z dz 0 .
c
柯西积分定理的等价形式：设 C 是一条周线， D 为 C 之内部， f z 在闭域
D D C 上解析，则 f z dz 0 .
复变函数积分方法的思考总结
钱学森 11 陈海琪 2110405004
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要 总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式 和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分 例 1、计算积分 x y ix 2 dz ，积分路径 C 是连接由 0 到 1 i 的直线段.
0
因为此时 Rcos , sin d
0
1 Rcos , sin d ，仍然令 z ei . 2
例 6.计算 tan ia d （ a 为实数且 a 0 ）
0
1 e 2i ai 1 分析：因为 tan ia 2i ai ， ie 1
解：被积函数 f z
Re s f z
z 0
5z 2 | 2 z 22 z 0
2 5z 2 Re s f z | z 1 2 | z 1 2 z 1 z z
因此，由留数定理可得
z 2
5z 2 dz 2i 2 2 0 . 2 z z 1
5
另外,若 a 为周线 C 内部一点，则
dz 2i c z a
z a
c
dz
n
0 （ n 1 ，且 n 为整数）.
4.应用留数定理求复积分
f z 在复周线或周线 C 所围的区域 D 内，除 a1 , a2 , an 外解析，在闭域
D D C 上除 a1 , a2 ,an 外连续，则 f z dz 2i Re s f z .
Re s f z
z a
即 Re s f z
z 2 i 3
1 3 32 a 3 1
4
2 3432 3i
2i
3
i 576 6
故
2 3x
x 4 dx
2 4
i . 576 6 288 6
6.级数法计算积分 连续性逐项积分定理:设������ ������ ������ 在曲线C上连续(n=1,2,3…)， 一致收敛于 f z ,则 f z 在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：
解：在|z|< 内，
2 ∞ ������ 1 ������ =−1 ������ =������
1
+
1 1−z 1 ������ 1 1−z
所以
������
(
∞ ������ ������ =−1 ������
������������=
������
（ +
）dz=2π������ +0=2π������