16.2.2.2 异分母分式的加减2
异分母分式的加减
2
a
1
1
1
2 a
2
解:原式
解：原式 1 2
x
x 2
2 x
2
x
x 2
2 x
2
x2x2
a 1 a2 1
a
1 1
a
2
1a
1
x 2x 2Leabharlann 2x x2 4aa1
1a
1
a
2
1a
1
a3
a 1a 1
a3 a2 1
.
拓展提高
例4.用两种方法计算：( x3x2
x
x
2
)•
x
2
x
4
方法一:按运算顺序,先计算括号里的算式
a 4a a 4 4a 4a 4a 4a
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
【通分】利用分式的基本性质 ,把异分母的 分式化为同分母的过程 .
【通分的原则】异分母通分时, 通常取各分 母的最简公分母作为它们的共同分母.
【异分母分式加减法的法则】 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分 式，再按同分母分式的加减法法则进行计算.
北师大版八年级数学下册
第五章 分式与方式方程
§ 5.3 分式的加减法
第2课时—异分母分式的加减
教学目标 1.类比分数的加减，理解异分母分式的加减法法则. 2.能通过通分把异分母分式的加减转化为同分母分式 的加减，能熟练地进行分式的混合运算，同时能运用 分式的运算解决生活中的实际问题. 3.经历异分母分式的加减运算和通分的过程,训练学生 的分式运算能力，培养学生在学习中转化未知问题为 已知问题的能力.
解:原式
[
3
xx 2
华师版16.2.2分式的加减
小练习
计算.
a2 a 1 a 4 (1)( 2 2 ) a 2a a 4a 4 a
1 1 ab (2) a b 2a a b 2a
2
1 (a 2)2
先乘方；再 乘除；最后 加减；有括 号先做括号 内．
１
a 4 a 2 b a 2a (3)( ) . 2 2b 2a b b 8ab 2 4 a 4a 2 a 1 2a 2 1 1 (4) .( ) a a 1 a 1 a 1 ( a 1 )( a 1 )
x2 4 x2 解： (1) x 2 2 x 2x 2 x 4 2x x2 x2 2x x 2 x2 2x
a b 1 1 (2) a b ba a b ab ba 2 (a b) ab ab ab 2 (a b) a b a b 2 (a b) (a b)
3 1 x 4x
如何计算？
异分母分式加减运算的方法：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
【例２】计算 ：
x 2 2 xy y 2 (1) x y yx
分母不同，先 化为同分母。
a b (2) ; a b a b
x 2 2 xy y 2 解： (1) x y yx x 2 2 xy y 2 x y x y x 2 xy y x y
结果要化为 最简分式！
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
例2
计算 ：
(1)
(5a b 3) (3a b 5) (8 a b) 解：原式= 2 ab
华东师大版八年级数学下册16
3.分式的化简：引导学生运用分式的性质，对分式进行化简，提高解题效率。
（三）学生小组讨论
将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
1.分式加减的运算规律和注意事项。
教师根据学生的总结，进行点评和补充，强化重点知识。同时，鼓励学生在课后进行反思，总结自己在分式加减学习中的收获和不足，为今后的学习打下坚实基础。
五、作业布置
为了巩固学生对分式加减知识的掌握，提高学生的运算能力和解决问题的能力，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本练习题16.2中的第1、2、3题，要求学生在规定时间内独立完成，强化分式加减的基本运算。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂开始时，我将以生活中的一个实例导入新课：假设我们有2杯糖水，第一杯糖水的浓度是2/3，第二杯糖水的浓度是1/4，如果我们将这两杯糖水混合在一起，如何计算混合后的糖水浓度？这个问题实际上就是一个分式加减的问题。通过这个例子，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
4.思考题：思考分式加减在实际问题中的应用，举例说明并解释。
5.小组作业：组织学生进行小组讨论，共同完成以下作业：
a.总结分式加减的运算规律和注意事项。
b.分析异分母分式加减的通分方法及技巧。
c.分享分式化简的方法和经验。
作业要求：
1.学生需独立完成基础题和提高题，家长签字确认。
2.应用题和思考题需写明解题思路，尽量用文字解释每一步的计算原理。
c.通过典型例题，让学生练习分式的化简，总结化简技巧。
3.小组合作，交流讨论：
八年级数学下册16、2分式的运算16、2、2分式的加减第2课时异分母分式的加减习题课件新版华东师大版
第16章 分 式
16．2.2 分式的加减 第2课时 异分母分式的加减
提示：点击 进入习题
1B 2A 3B 4B
5C 6B 7A 8D
答案显示
提示：点击 进入习题
9B 10 见习题
11 见习题
12 见习题
答案显示
13 见习题 14 见习题 15 见习题 16 见习题
提示：点击 进入习题
x4x＋2 1＝x2＋x12＝x＋1x2－2＝32－2＝7.故x4x＋2 1的值为17.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面 的题目： 已知x2－3xx＋1＝15，求x4＋xx22＋1的值．
【点拨】解决本题采用倒数法，先阅读材料，理解倒数
法的解题思路，然后先求得 x＋1x的值，再求x4＋xx22＋1的 值，最后求x4＋xx22＋1的值．
15．【2020·乐山】已知 y＝2x，且 x≠y，求x－1 y＋x＋1 y÷x2x－2yy2 的值． 解：原式＝(x＋y2)x(x－y)÷x2x－2yy2 ＝x22－xy2·x2x－2yy2＝x2y.
∵y＝2x，∴xy＝2.∴原式＝22＝1.
16．【中考·安顺】先化简1＋x－2 3÷x2－x2－6x1＋9，再从不等式 组－3x<2x2<x＋4，4的整数解中选一个合适的 x 的值代入求值．
*8.【中考·南充】已知1x－1y＝3，则式子2xx＋－3xxyy－－y2y的值是
()
A．－72
B．－121
9 CБайду номын сангаас2
3 D.4
【点拨】∵1x－1y＝3，∴y－xyx＝3， ∴x－y＝－3xy， 则原式＝2((xx－ －yy))＋ －3xxy y ＝－－63xxyy＋－3xxyy＝－－34xxyy＝34，故选 D.
异分母分式的加减法 (2)
相加减 转化为
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式， 要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再 运算，可减少出现符号错误。
作业
课本 P121 习题5.5 知识技能第2题 祝你成功!
八 年 级 《课首数 学 ( 下 ) 》
安徽省宿州市灵璧县杨疃初级中学 孙传洋 2018 4 20
做一做
1.计算 (1) 1 1 3 2 5
2 3 666
2.异分母分数加减法的法则是什么？ 异分母分数相加（减），先通分，把异分母分数
化为同分母分数，然后再相加（减）.
3.你认为 3 1 ? 猜猜异分母的分式应该如何加减? a 4a
2a b b 2a
a
a1
(3) a2 9 , a2 6a 9
a 32 a 3
的最简公分母是——————
例 1
计算：
2a a2
4
a
1
2
.
解:
2a a2
4
a
1
2
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
分析
先找
最简公分母.
a2 -4 能分解 :
2a (a 2) (a 2)(a 2)
a2 -4 =(a+2)(a-2), 其中 (a-2)恰好为
2a a 2 (a 2)(a 2)
(a
a2 2)(a
2)
分子相减时，
第二分式的分母.
所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母.
分式的异分母加减法
分式的异分母加减法“哎呀，分式的异分母加减法可真是个让很多同学头疼的问题呀！”分式的异分母加减法，其实就是要把分母不同的分式进行运算。
关键就在于要先把这些不同的分母转化成相同的分母，这一步我们叫做通分。
比如说，我们来看一个例子，计算 1/2 + 1/3。
2 和 3 是不同的分母，那我们要找到 2 和 3 的最小公倍数，也就是 6。
然后把 1/2 变成 3/6，把1/3 变成 2/6，这样分母就相同了。
接下来就可以直接把分子相加，得到5/6。
再比如，计算 2/3 - 1/4。
3 和 4 的最小公倍数是 12，把 2/3 变成8/12，把 1/4 变成 3/12，然后相减得到 5/12。
在实际做题的时候，大家要仔细找到这些分母的最小公倍数，可别找错了哦。
还有一点很重要，就是通分之后，分子也要相应地进行变化。
我再给大家讲个例子吧，计算 3/(x+1) + 1/(x-1)。
这里的分母是 x+1 和 x-1，它们的最小公倍数就是 (x+1)(x-1)。
那么 3/(x+1) 就要变成 3(x-1)/[(x+1)(x-1)]，1/(x-1) 变成 (x+1)/[(x+1)(x-1)]，然后相加得到 (3x-3+x+1)/[(x+1)(x-1)]，也就是 (4x-2)/[(x+1)(x-1)]。
大家在做分式的异分母加减法时，一定要认真仔细，不要粗心大意。
每一步都要算对，特别是通分和分子的变化。
多做一些练习题，熟练掌握方法，这样以后遇到这类问题就不会觉得难啦。
我以前有个学生叫李明，他刚开始学分式的异分母加减法的时候总是出错，不是通分找错了最小公倍数，就是分子忘记变化。
后来我就让他多做一些基础的练习题，每一道题都仔细给他讲解，让他明白自己错在哪里。
慢慢地，他掌握了方法，做题的正确率也越来越高了。
所以呀，同学们只要多练习，一定可以学好分式的异分母加减法的。
5.异分母分式的加减课件
1.必做: 完成教材P121习题T1-5 2.补充: 请完成练习册剩余部分习题
知2－讲
解：(1)小刚从家到学校需要 1 2 3 2 5 h . v 3v 3v 3v
(2)小丽从家到学校需要 3 h . 2v
因为 5 ＞ 3 ，所以小丽在路上花费时间少. 3v 2v
小丽比小刚在路上花费时间少
5 3 10 9 1 h . 3v 2v 6v 6v
1 已知两个式子：A
4 x2
，B 4
6x
4 下列运算结果为x－1的是( )
A．1 1 x
B. x2 1 x x x1
C. x 1 1 x x1
D. x2 2x 1 x1
知1－练
知识点 2 分式加减的应用
知2－讲
例2 小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km,其中小丽走 的是平路，骑 车速度是2v km/h.小刚需要走1 km的 上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为 v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么 (1) 小刚从家到学校需要多长时间？ (2) 小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时 间？
知1－讲
例1 计算：
(1) 3 a
a 15 ; 5a
(2)
1 x
3
1; x3
(3)
2a a2 4
1. a2
解：(1) 3 a 15 15 a 15 15 a 15 a 1 ;
a 5a 5a 5a
5a
5a 5
1
1
x3
x3
(2) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x3 x3
x2 9
6
x2
; 9
知1－练
1 化简 a2 a 1 的结果是( ) a1
概括异分母分式加减的计算过程
概括异分母分式加减的计算过程概括异分母分式加减的计算过程一、概念概述在初中数学中，我们学习了分式的加减运算。
当分式的分母不我们称之为异分母分式。
概括来说，异分母分式加减的计算过程主要包括以下几个步骤：找出分母的最小公倍数、通分、按通分后的分式进行加减运算，进而得到最简分式。
二、找出分母的最小公倍数在进行异分母分式加减运算时，首先需要找出分母的最小公倍数。
这是因为要进行加减运算，需要通分，而通分的基础就是分母的最小公倍数。
通常情况下，我们可以通过列举法或借助数学工具来找出分母的最小公倍数，进而进行下一步的计算。
三、通分通分是指将原来的异分母分式化为具有相同分母的分式。
具体而言，就是将分母变为最小公倍数，并相应地调整分子，使得原分式与通分后的分式等值。
通分的过程实质上是对原分式进行等价变形，为接下来的加减运算打下基础。
四、按通分后的分式进行加减运算通分之后，我们就可以按照通分后的分式进行加减运算了。
具体操作是，保持分母不变，对应相加或相减分子部分。
这部分的计算和简单分式的加减运算类似，只不过分母已经统一，因而更加方便。
五、得到最简分式我们需要对得到的分式进行化简，得到最简分式。
化简分式是指将分子与分母的公因式约去，使得分式不可再约简。
这一步是分式运算的收尾工作，也是检验之前计算过程是否正确的重要一环。
个人观点与理解异分母分式的加减运算是初中数学中的基础内容，然而其中蕴含着许多深刻的数学思想。
通过学习和掌握这一过程，不仅可以提高我们的计算能力，更可以培养我们的逻辑思维和数学抽象能力。
异分母分式加减的计算过程，深刻地教会我们如何处理复杂的数学关系，如何通过合理的变形和化简得到最终解答。
这种思维方式和解决问题的方法，对我们的数学学习和实际生活中的问题解决都具有积极的启发作用。
总结回顾通过本文的讲解，我们对异分母分式加减的计算过程有了更深入的理解。
从找出分母的最小公倍数开始，到通分、加减运算，再到最后的化简，每一个步骤都有其独特的作用，是整个计算过程中不能或缺的一环。
小学数学中的分式与分数的计算方法
小学数学中的分式与分数的计算方法在小学数学中，分式与分数是常见的数学表达形式。
掌握分式与分数的计算方法对于学生来说非常重要，它不仅能帮助他们解决实际问题，还为他们打下了进一步学习数学的基础。
本文将介绍小学数学中分式与分数的计算方法。
一、分式的加减运算1.同分母分式的加减当分数的分母相同时，可以直接对分子进行加减操作，分母保持不变。
例如，计算 1/3 + 2/3，由于两个分数的分母相同，所以只需对分子进行加法运算，结果为 3/3，即1。
同样，计算 4/5 - 1/5，分母相同，只需对分子进行减法运算，结果为 3/5。
2.异分母分式的加减当分数的分母不同，需要找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后进行等比例的变换。
例如，计算 2/3 + 1/4，分母分别为3和4，最小公倍数为12。
将两个分数分别乘以相应的倍数，使得它们的分母都为12，得到 8/12 +3/12，再对分子进行加法运算，结果为 11/12。
同样，计算 5/6 - 2/9，最小公倍数为18。
将两个分数分别乘以相应的倍数，得到 15/18 - 4/18，再对分子进行减法运算，结果为 11/18。
二、分式的乘除运算1.分式的乘法分式的乘法简单，只需将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
例如，计算 (2/3) * (3/4)，得到 (2*3)/(3*4)，即 6/12，可以进一步约分为 1/2。
同样，计算 (5/6) * (2/5)，得到 (5*2)/(6*5)，即 10/30，可以进一步约分为 1/3。
2.分式的除法分式的除法可以看作是两个分数的乘法，其中被除数作为第一个分数，除数的倒数作为第二个分数。
例如，计算 (2/3) ÷ (3/4)，可以化简为 (2/3) * (4/3)，得到 (2*4)/(3*3)，即 8/9。
同样，计算 (5/6) ÷ (2/5)，可以化简为 (5/6) * (5/2)，得到 (5*5)/(6*2)，即 25/12，可以进一步约分为 25/6。
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归纳
整式与分式加减的方法： 把整式看作分母为1的分数形式 进行加减。
范例 例1.计算：
4 a2 a2
整式部分是什么？
巩固 1.计算：
a (1)a 4 a4
2
a (2) a 1 a 1
2
范例
x x 1 x 例2.请先化简 2 ，再选 x x x 1
3 2 2
巩固
a b 6ab 3.已知 a b 3ab 0，求 2a 2b 3ab 的值。
巩固
1 1 1 b a 4.已知 ， 求 的值。 a b ab a b
巩固
1 1 a 2ab b 求 的值。 5.已知 4 ，整式与分式加减的方法： 把整式看作分母为1的分数形式 进行加减。 代入方法： 1.变量代入 2.整体代入
作业 1.计算：
5 x2 x2
作业
1 1 a 2ab b 求 的值。 2.已知 4 ， a b 2a 2b 7ab
取一个你喜欢的数代入求值。 还有什么方法？
巩固
2 2
a 2a 1 a a 2.请先将式子 化简， a 1 a 1
再选取一个你喜欢且使原式有意义的 a值代入求值。
范例 例3.已知实数x、y满足 x∶y 1 2 ， ∶ 3x y 求 的值。 x y
方法： 变量代入
整体代入
探究 Ⅰ.计算：
1 1 6 1 1 6 (1)2 (2) 3 2 3 3 3 2 2 7 5 3 2
整数与分数怎样加减？
探究 Ⅱ.类比整数与分数的加减，你能进行 下列整式与分式的加减吗？
4 4 a a a2 a2 1 4 a(a 2) a2 a2