n次微分分次Poisson代数的张量积
拉普拉斯算子张量积
拉普拉斯算子张量积
拉普拉斯算子是一种二阶微分算子,常用于微分方程和偏微分方程中。
在二维和三维空间中,拉普拉斯算子可以用张量表示。
对于二维空间中的拉普拉斯算子,可以用一个二阶对称矩阵表示,对于三维空间中的拉普拉斯算子,可以用一个三阶对称矩阵表示。
这些矩阵中的元素可以用坐标函数和它们的导数表示。
张量积是一种数学运算,可以将两个或多个向量或矩阵相乘,得到一个新的向量或矩阵。
在物理和工程领域中,张量积常用于描述多维物理量之间的关系。
因此,拉普拉斯算子张量积是指将拉普拉斯算子与向量或矩阵进行张量积运算,得到一个新的算子或矩阵。
这种运算在物理和工程领域中有广泛的应用,如描述弹性力学、流体动力学等问题的偏微分方程。
高等数学中的泊松积分初步
高等数学中的泊松积分初步在高等数学中,积分是一个非常重要的概念和工具。
在众多的积分方法中,泊松积分是一种常用的方法,也是非常实用的一种积分方法。
在本文中,我将对泊松积分的概念、性质和应用进行初步介绍。
1. 泊松积分的概念泊松积分是一种将极坐标系下的累次积分转化为已知函数的一种积分方法。
它的原理是用复变函数的分析方法推导出的一个公式,可以将极坐标下的累次积分转换为在实轴上的一个无穷级数的形式,从而求出积分的值。
泊松积分的公式如下:∫∫xy f(x,y)dxdy = (-1/4) ∫∫[ (x^2 - y^2 )f(x,y) ] dx dy + (1/2i) ∫C (x^2 + y^2 ) f(z) dz其中,C为包围极点的曲线,i为虚数单位。
这个公式的含义是将二重积分中的x和y用复变数z代替,再将z沿着C曲线进行积分。
通过这种方式,可以用复变函数的相关知识,将二重积分转换为了无穷级数的形式,进而求出积分的值。
2. 泊松积分的性质泊松积分具有一些非常重要的性质,这些性质常常在具体计算中被使用。
(1) 对称性:泊松积分具有对称性,即如果f(x,y)是一个偶函数,则有∫∫xy f(x,y)dxdy=0,如果f(x,y)是一个奇函数,则有∫∫xyf(x,y)dxdy=0。
(2) 积分区域对称性:对于轴对称的积分区域,泊松积分中第一项的值为0。
如果积分区域是关于x轴或y轴对称的,则有∫∫xyf(x,y)dxdy = (1/2i) ∮C (x^2 + y^2) f(z) dz,其中C是沿积分区的一个逆时针围道。
(3) 正负号性质:泊松积分中每一项的正负号与积分域的方向有关。
如果积分区域的方向是逆时针,则公式中第一项的系数为-1/4,反之若为顺时针则为1/4。
公式中的第二项系数同样具有相同的正负号性质。
3. 泊松积分的应用泊松积分是一个非常实用的计算积分的方法。
他可以被广泛地应用于各个领域,下面列举一些具体的应用:(1) 计算柱面坐标系下的二重积分用泊松积分来计算二重积分可以将一些封闭曲线上的积分转换成一些线积分,从而简化了计算。
Novikov-Poisson代数和它们的张量积
定义运算“. ”如下:
f
g=
f
d d
g x
,
f
,g
∈A
1,
(14)
可以验证 (A 1, ·, . ) 构成一个 N ovikov2Po isson 代数.
又设A 2 是一个向量空间, 有一个基{lΑ Α∈∃}, 其中 ∃ 是 F 的一个加法子群. 在A 2 上定义
代数运算“·”和“. ”如下:
lΑ lΒ = lΑ+ Β, lΑ lΒ = (Κ+ Β) lΑ+ Β, Α, Β ∈ ∃ ,
= (x 1. y 1) . z 1 x 2·y 2·z 2+ (x 1. y 1) ·z 1 (x 2·y 2) . z 2
+ (x 1·y 1) . z 1 (x 2. y 2) ·z 2+ x 1·y 1·z 1 (x 2. y 2) . z 2
= (x 1. z 1) . y 1 x 2·z 2·y 2+ (x 1·z 1) . y 1 (x 2. z 2) ·y 2
陈 宏 基
(惠州大学数学系, 广东惠州 516015)
摘 要 本文给出 N ovikov2Po isson 代数的定义和例子, 介绍了它们的张量积理论,
对于两个给定的 N ovikov2Po isson 代数的张量积构造了一个 N ovikov2Po isson 代数结构和一 个 N ovikov2Po isson 代数模的结构.
(15)
其 中 Κ是 F 中固定的常数. 很明显 (A 2, ·) 构成一个交换结合代数, (A 2, . ) 构成一个单
N ovikov 代数. 对于 (A 2, ·, . ) , (3) 成立是平凡的. 对任意 Α, Β, Χ∈∃,
泊松过程公式范文
泊松过程公式范文泊松过程(Poisson process)是概率论中的一种重要的随机过程。
它以数学家西莫恩·庞加莱(Siméon Denis Poisson)的名字命名,他在19世纪早期首次引入了这个概念。
泊松过程是一种离散时间(时间按照一定的间隔划分)连续状态(可以不断地发生事件)的随机过程。
泊松过程的定义是:在一段时间内,事件发生的次数服从泊松分布(Poisson distribution)。
这段时间可以是无穷小的时间间隔,也可以是有限的时间窗口。
泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。
所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数,即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。
泊松过程的数学定义可以表示为:P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中,N(t)表示在时间t内发生的事件次数,k表示事件的个数,λ表示单位时间内平均发生的事件个数。
根据泊松过程的定义,可以得到一些重要的性质和公式。
首先是事件发生的概率。
在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示,其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。
这个公式是泊松分布的概率质量函数。
其次是事件之间的时间间隔。
由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布,所以事件发生的时间间隔满足无记忆性(memoryless)的特性。
无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关,只与发生事件的频率有关。
再次是事件的到达间隔。
事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。
根据泊松过程的定义,事件的到达间隔呈指数分布。
事件的到达间隔的期望值(也称为平均间隔)为1/λ,即单位事件到达的平均时间间隔。
最后是超过特定事件个数的概率。
假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。
可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全微积分是数学的一个重要分支,它研究了函数的导数、积分以及它们之间的关系。
微积分公式是求导和积分的基本工具,以下是一些常用的微积分公式:1.基本导数法则:-导数和差法则:(f+g)'=f'+g'-常数倍法则:(c*f)'=c*f'-乘积法则:(f*g)'=f'*g+f*g'-商法则:(f/g)'=(f'*g-f*g')/g^22.基本函数的导数:-非常数次幂:(x^n)'=n*x^(n-1)- 幂函数:(a^x)' = ln(a) * a^x-自然指数函数:(e^x)'=e^x- 对数函数:(log_a x)' = 1 / (x ln(a))3. 链式法则:如果 y = f(u) 和 u = g(x) 是可导函数,那么复合函数 y = f(g(x)) 的导数为 dy/dx = (dy/du) * (du/dx)4.高阶导数:如果f'(x)存在,则f''(x)表示f'(x)的导数,称为f(x)的二阶导数。
同理,f''(x)的导数称为f(x)的三阶导数,以此类推。
5.基本积分法则:- 恒等积分:∫(c dx) = c*x + C- 幂函数积分:∫(x^n dx) = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C- 自然指数函数积分:∫(e^x dx) = e^x + C- 对数函数积分:∫(1/x dx) = ln,x, + C6. 替换法则:如果∫(f(g(x)) g'(x) dx) 可以被积分,则∫(f(u) du) = ∫(f(g(x)) g'(x) dx)7. 定积分:∫[a,b] f(x) dx 表示函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的定积分,表示曲线围成的面积。
8.收敛性和发散性:如果一个定积分存在有限的数值,那么它是收敛的;如果一个定积分没有有限的数值,那么它是发散的。
计算poisson积分的四种方法
计算poisson积分的四种方法
1、凑微分法:把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
2、换元法:包括整体换元,部分换元等等。
3、分部积分法:利用两个相加函数的微分公式,将所建议的分数转变为另外较为简
单的函数的分数。
4、有理函数积分法:有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,由多项式
的除法可知,假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。
分数公式法
直接利用积分公式求出不定积分。
换元积分法
换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
一、第一类换元法(即为兎微分法)
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。
进而求得原不定积分。
二、备注:第二类换元法的转换式必须对称,并且在适当区间上就是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。
当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。
常用的换元手段有两种:
1、根式赋值法,
2、三角代换法。
在实际应用领域中,赋值法最常用的就是链式法则,而往往用此替代前面所说的换元。
链式法则就是一种最有效率的微分方法,自然也就是最有效率的分数方法。
分部积分法
分部积分法的实质就是:将所求分数化成两个分数之差,分数难者先分数,实际上就
是两次分数。
有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商),分式分为真分式和假
分式,而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和,可见问题转化为
计算真分式的积分。
可以证明,任何真分式总能水解为部分分式之和。
bo ch n er公式
bo ch n er公式
“波尔-柯恩-纽曼”(Bochern)公式是数学中的一个公式,用
于描述在微分几何中的微分形式的导数。
该公式是由数学家
Solomon Bochner 和 Jesse Douglas 发现的,因此得名。
它的形式
如下:
d(dω) = 0。
其中,ω 是一个微分形式,d 是外微分算子。
这个公式表明了
微分形式的二阶导数为零。
在微分几何和微分拓扑学中,这个公式
有着重要的应用,它帮助我们理解微分形式的性质和它们在流形上
的行为。
从几何角度来看,Bochern 公式告诉我们微分形式的曲率。
它
也在代数拓扑学中有应用,与 de Rham 上同调理论密切相关。
在物
理学中,这个公式也出现在描述场论和辛几何中。
总之,Bochern 公式是微分几何和拓扑学中的一个重要公式,
它有着广泛的应用和深远的影响。
希望这个回答能够满足你的要求。
几种常用数值积分方法的比较讲解
学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比较姓名潘晓祥学号1006020540200院(系)数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文(设计)诚信声明本人郑重声明:所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名:年月日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级所属学院数学与计算机科专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标1.了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法;2.对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析;3.对各积分方法进行比较总结出优缺点。
主要要求通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析,并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分,并在计算机上进行实验。
数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容,数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法,对几种常用数值积分方法的分析很必要。
主要内容本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较,并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
贵州师范学院本科毕业论文(设计)开题报告书论文题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级数学与计算机所属学院专业数学与应用数学班级数本(4)班科学学院指导教师姓名雍进军职称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月05 日选题的原由:研究意义:数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点.并在实际问题及应用中有着广泛的应用.常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义.数值积分是研究如何求出一个积分的数值.这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法.也正是此法使阿基米德得以求出π值得上界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式.但各种方法都有特点,在不同的情况下试用程度不同,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较. 研究动态:这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献.研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公式应该满足:计算简单,误差小,代数精度高.我们将对矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较.对数值求积公式能有进一步的了解和学习.主要内容:1 数值积分方法的基本思想2 几类常用数值积分方法的基本分析2.1 Newton—Cotes求积公式2.2 复化求积公式2.3 Romberg求积公式2.4 高斯型求积公式3 几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法:本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较.完成期限和采取的主要措施:本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:(1)7月份查阅相关书籍和文献;(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;(5)11月份完成论文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成主要参考文献及资料名称:[1] 关治. 陆金甫. 数学分析基础(第二版)[M]. 北京:等教育出版社.2010.7[2] 胡祖炽. 林源渠. 数值分析[M] 北京:等教育出版社.1986.3[3] 薛毅. 数学分析与实验[M] 北京:业大学出版社2005.3[4] 徐士良. 数值分析与算法[M]. 北京:械工业出版社2007.1[5] 王开荣. 杨大地. 应用数值分析[M] 北京:等教育出版社2010.7[6] 杨一都. 数值计算方法[M]. 北京:等教育出版社 . 2008.4[7] 韩明. 王家宝. 李林. 数学实验(MATLAB)版[M]. 上海:济大学出版社2012.1[8] 圣宝建. 关于数值积分若干问题的研究[J]. 南京信息工程大学. 2009.05.01. : 42[9] 刘绪军. 几种求积公式计算精确度的比较[J]. 南京职业技术学院. 2009.[10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M]. 北京理工大学出版社.2010.4.开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务(职称)姓名职务(职称)姓名职务(职称)雍进军导师(讲师)邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长指导教师意见:签名:年月日会议记录摘要:指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答:雍老师问:选择此题目的目的?潘晓祥答:随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
Poisson括号
是 求 和 指 标 , 我 把 这 两 个 指 标 互 换 不 会 改 变 它 的 数 值 , 即
ε ijk pk p j = ε ikj p j pk = −ε ijk p j pk ,也就是说,这个量等于它的负值,当然它
必须等于零) ,类似的,第二项也等于零。因此
dLi = [ Li , H ] = 0 dt
这个关系可以利用 Jacobi 恒等式以及(25a)得到证明,这是因为从(2)得到
(25b)
d ∂ [ f , g] = [ f , g] + ⎡ ⎣[ f , g ] , H ⎤ ⎦ ∂t dt
而
(26)
⎡ ⎣[ f , g ] , H ⎤ ⎦ = −⎡ ⎣[ g , H ] , f ⎤ ⎦−⎡ ⎣[ H , f ] , g ⎤ ⎦ =⎡ ⎣ f , [ g , H ]⎤ ⎦+⎡ ⎣[ f , H ] , g ⎤ ⎦
(21)
很容易看出,线性微分算子的这个组合中不可能含有 线性微分算子的一般形式是
f
的二阶导数。事实上,
Dg = ak
∂ , ∂ξ k
Dh = bk
∂ ∂ξ k
(22)
其中 ak 和 bk 是变量 ξ1 , ξ 2 ," 的任意函数,那么
∂b ∂ ∂2 Dg Dh = ak bl +ak l ∂ξ k ∂ξl ∂ξ k ∂ξl Dh Dg = bk al
恒等于零。 介绍 Poisson 括号的最后一个性质。
∂ ∂f ⎤ ⎡ ∂g ⎤ , g⎥ + ⎢ f , ⎥ [ f , g] = ⎡ ⎢ ∂t ∂ t ⎣ ⎦ ⎣ ∂t ⎦
商也是成立的,也就是说
(25a)
这个性质很容易从定义看出,不仅如此,如果你把上面对时间的偏导数换成全微
06poisson分布
STATA命令
Poisson分布的总体均数的95%可信区间 命令为 : cii 观察单位数 观察到的发生数, poisson 例7.1 cii 1 30,poisson 例7.2 cii 1 490,poisson 例7.3 cii 192000 1977,poisson
例:放射性物质平均每分钟放射记数为5,测量3 X 次,1 , X 2 , X 3均服从 P(5) ,则( X 1 X 2 X 3 ) ~ P (15) 即3分钟的放射记数服从 P (15)
二项分布的Poisson近似
设 xi ~ B ( n, ) ,当 n ,n c 常数时,此时 x i 的极限分布是以c为参数的Poisson分布。 越小, 近似越好
例:某地食管癌的发病率 =8/10000,在当地 随即抽查500人,患者至少为6人的概率。
P ( X 6) 1 P ( X 6)
500 0.0008 0.4
X P (0.4)
P 1
k 0 5
0.4 k k!
e 0.4
Poisson分布的正态近似
STATA命令
单样本Poisson分布确切概率法假设检验 命令为:poistest 样本均数 已知总体均数
例7.4 Poistest 3 4.2
越小分布越偏,随着 ,Poisson分布也 X 渐近正态 , ~ N ( , ) 。一般当 20 时, Poisson分布进行连续性校正后可按正态分布处 理。
Poisson分布的应用
证明simpson公式代数精度
标题:证明Simpson公式代数精度概述:Simpson公式是一种用来进行数值积分的方法,它通过将被积函数曲线分割成若干小段,并以多项式来逼近每一小段的曲线来进行积分。
在实际计算中,我们常常需要考虑Simpson公式的代数精度,即它在逼近不同次多项式函数积分时的误差情况。
本文将对Simpson公式的代数精度进行证明和分析,以便读者更好地理解和应用这一方法。
一、Simpson公式的数值积分原理Simpson公式是通过将被积函数曲线进行二次插值来逼近实际的积分值,即用二次多项式来逼近曲线,然后对这个多项式函数进行积分来近似被积函数的积分值。
具体来讲,Simpson公式的数值积分原理可以用以下公式表示:\[ \int_{a}^{b} f(x)dx \approx \frac{h}{3}[f(x_{0}) + 4f(x_{1}) +2f(x_{2}) + \cdots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_{n})] \]其中,h为分割区间的步长,n为分割的段数,x为各段段点,f(x)为被积函数在各段段点的函数值。
二、Simpson公式的代数精度证明对于一个Simpson公式进行数值积分的情况,我们希望证明其在逼近不同次多项式函数积分时的误差情况。
我们将分别对一次、二次、三次多项式函数进行Simpson公式数值积分并进行误差分析。
1. 一次多项式函数的积分假设被积函数f(x)是一次多项式函数,即\( f(x) = ax + b \),其中a和b为常数。
将该一次多项式函数进行Simpson公式数值积分,可以得到以下结果:\[ \int_{a}^{b} f(x)dx = \frac{h}{3}[f(x_{0}) + 4f(x_{1}) + f(x_{2})] \] 将一次多项式函数代入上式,可以得到:\[ \int_{a}^{b} (ax + b)dx = \frac{h}{3}[f(x_{0}) + 4f(x_{1}) +f(x_{2})] \]经过简单的化简和积分运算,可以得到被积函数的积分值。
积分数值求解方法总结
插值型求积公式、Newton-Cotes 型求积公式、复化求积公式、Romberg 求积、Guass 求积公式总结 一、 本章知识梳理1、代数精度的概念如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立,但对于1m +次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有m 次代数精度。
2、插值型的求积公式 设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x ,()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为∑==nk k k n x f x l x L 0)()()(其中∏=--=nj ik ix x x x x Lk 0)(,插值型求积公式为()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.1) 其中(), 0,1,,bk k aA l x dx k n==⎰。
可看出,{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定,与被积函数()f x 的形式无关。
求积公式(1.1)的截断误差为(1)1[]()()()()(1)!b bn aan bn aR f f x dx L x dxf x dxn ξω++=-=+⎰⎰⎰(1.2)3、.Newton-Cotes 型求积公式被积函数在积分区间内变化平缓,可用等距节点插值公式近似。
将积分区间[,]a b 划分为n 等分,步长b a h n -=,等距节点k x a kh =+,0,1,k =,n 。
此时求积公式(1.4)中的系数可得到简化00()()nnbbbjk k a a aj j k j j kj kx x x a jhA l x dx dx dxx x k j h==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰作变换xa th =+,则有000000()(1)()()!()!(1)()()!()!n k nnnn k j j j kj kn k nn j j kt j h h A hdt t j dt k j hk n k b a t j dt k n k n -==≠≠-=≠--==-----=--∏∏⎰⎰∏⎰令()00(1)()!()!n kn n n k j j kC t j dt k n k n -=≠-=--∏⎰则()()n kk A b a C =-,求积公式(1.1)可简化为 ()0()()()nn k k k I f b a C f x =≈-∑ (1.3)称为n 阶Newton-Cotes 公式,简记为N-C 公式,{}()n k C 称为Cotes 系数。
poisson分布定义 -回复
poisson分布定义-回复Poisson分布是概率论和统计学中一种离散类型的概率分布,用于描述事件在固定时间或空间间隔内发生的次数。
它由法国数学家Siméon-Denis Poisson于19世纪早期首次提出,并被广泛应用于各种领域,包括保险学、人口统计学、通信网络等。
首先,让我们来了解一下Poisson分布的定义。
Poisson分布是一种参数化分布,其中唯一的参数λ是单位时间或空间间隔内事件的平均发生次数。
在一个固定的时间或空间间隔内,事件发生的次数不可以是负数,并且每次事件发生的概率是相互独立的。
Poisson分布可以用以下概率公式表示:P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中,P(X=k)是事件发生k次的概率,e是自然对数的底(约等于2.71828),λ是平均发生次数,k是一个非负整数。
接下来,我们可以通过一个示例来更好地理解Poisson分布。
假设某个大学的图书馆每天平均接收30份新书。
我们感兴趣的问题是,在某个特定的工作日,图书馆接收到了40本新书的概率是多少?首先,我们可以使用Poisson分布的概率公式,将λ设置为平均发生次数30,k设置为40。
代入公式计算,得到:P(X=40) = (e^(-30) * 30^40) / 40!接下来,我们可以使用计算器或电脑软件来计算这个概率值。
计算结果约为0.041。
所以,在这个特定的工作日,图书馆接收到40本新书的概率约为0.041,即4.1。
了解了Poisson分布的定义和计算方法,我们还可以通过一些属性来更深入地研究这个分布。
首先,Poisson分布的期望值和方差相等,都等于λ。
这意味着在一个固定的时间或空间间隔内,事件的平均发生次数也是事件发生次数的期望值和方差。
其次,Poisson分布的形状呈现出明显的右偏态。
随着平均发生次数λ的增加,分布向右拉伸,并且峰值向右移动。
此外,当平均发生次数λ趋向于无穷大时,Poisson分布逐渐趋向于正态分布。
n次分部积分法研究及其应用
n次分部积分法研究及其应用
基于数学归纳法,n次分部积分法是一种常见的积分计算方法,其定义是从某种连续偏微分方程组求解所得到的极限。
与其他一次积分法相比,n次分部积分法在解决和解释数学问题上更加实用有效,不仅可以求出普通联立方程的解,而且可以求出某种类别积分解释问题的解。
n次分部积分法是一种求解积分问题的数学方法,它通过将积分划分为多个部分来解决非常复杂的积分问题,这样就可以将微分方程模型转换为有限多次积分的模型,从而实现最优解的获取。
根据此方法,n次分部积分可以被拆分为n次积分,每次表示一个子域的部分积分,然后将它们合并起来。
n次分部积分法的应用非常广泛,找到了诸多数学模型的解,如高维空间的函数解,模型分析,差分方程求解,概率论等,解决了大量由积分求解的复杂问题,深刻的改变了数学模型的模拟和补充。
此外,由于n次分部积分计算量大,成本也很高,因此一般用于定性研究,而不用于定量分析,并且由于其计算量大,有时需要进行大量模拟,以减少计算量,以提高效率。
总之,n次分部积分法是一种重要的数学工具,在模拟运算和定量分析上有着特殊的优势,为解决复杂的积分问题提供了可能性。
尽管存在计算量大的限制,但可以通过采用更高效的计算方法,使n次分部积分法更容易使用并发挥更大作用。
由此可以看出,n次分部积分法在数学建模和实际应用中有着巨
大的潜力,它有望在数学理论、应用开发和工程设计等领域发挥重要作用,成为系统分析和计算机模拟的重要工具。
综上所述,n次分部积分法具有独特的优势,并在数学模拟和解决复杂积分问题方面发挥了重要作用。
未来,n次分部积分法将继续发挥重要作用,持续为系统分析和计算机模拟提供技术支持,助力数学研究和应用发展。
n次分部积分公式
n次分部积分公式分部积分法是微积分学中的一种重要积分方法。
在我们学习积分的过程中,分部积分公式就像是一把神奇的钥匙,能帮助我们打开许多看似复杂的积分难题的大门。
咱们先来说说分部积分公式到底是啥。
它的表达式是:∫u dv = uv -∫v du 。
这看起来可能有点抽象,别着急,我给您举个例子。
比如说,我们要计算∫x * e^x dx 。
这时候,我们就可以把 x 看成 u ,e^x dx 看成 dv 。
那么 du = dx ,v = e^x 。
按照分部积分公式,∫x * e^x dx = x * e^x - ∫e^x dx 。
接下来就简单多啦,∫e^x dx = e^x ,所以最终的结果就是 x * e^x - e^x + C (C 是常数)。
我记得我当年教学生分部积分法的时候,有个学生特别有意思。
他叫小明,每次上课都瞪着大眼睛,一脸认真。
刚开始学分部积分法的时候,他总是搞混 u 和 dv 的选择,每次做题都错得五花八门。
有一次做作业,他把本该选为 u 的函数选成了 dv ,结果越算越复杂,最后自己都被绕晕了。
我给他讲解的时候,他那迷茫的小眼神,真是让人又好气又好笑。
但是小明这孩子有股子不服输的劲儿,他课后花了好多时间去琢磨,做了大量的练习题。
后来有一次课堂测验,同样类型的题目出现了,小明不仅做对了,还做得又快又准。
当时我在课堂上表扬了他,他那脸上洋溢的笑容,别提多自豪了。
咱们再回到分部积分公式。
其实啊,它的本质就是把一个复杂的积分转化为一个相对简单的积分。
这就好比我们在爬山,遇到了一个陡峭的山坡,我们换条稍微平缓点的路走,可能就轻松多了。
而且,分部积分法在解决很多实际问题中都非常有用。
比如说在物理学中,计算电场、磁场相关的积分;在工程学中,求解各种复杂的电路积分等等。
总之,分部积分公式虽然看起来有点复杂,但只要我们多练习、多思考,掌握它的精髓,就能在积分的世界里畅游无阻。
就像小明一样,只要肯下功夫,就一定能攻克这个难关,让分部积分公式成为我们解决积分问题的得力工具。
n次分部积分法研究及其应用
n次分部积分法研究及其应用
近年来,复杂系统在物理、动力学及生物等领域的研究越来越受到重视。
次分部积分法作为二阶差分作用场理论的一种能够比较有效地求解复杂系统间动力学问题,已经得到了越来越广泛的应用。
1. 次分部积分法的基本原理
次分部积分法是指将坐标空间的一个比如一周期的总积分,分成多个小的区域积分,然后再将这些小的区域积分最终综合起来求出最终的结果,从而实现复杂系统的求解。
因此它的基本原理是:根据积分的分部规则(选取分部点),即将一个比如一周期的坐标空间积分分解为多个子区域积分,然后分部积分求解子空间积分,最后将子空间积分综合起来求出总积分。
2. 次分部积分法在动力学问题中的应用
在动力学问题中,次分部积分法可以用来求解微分方程。
具体来说,次分部积分法可以将求解微分方程的过程划分为多个分部区域,在每个分部区域上求解分部积分,最后再把这些分部积分最终综合起来求出整个微分方程的解。
3. 次分部积分法在物理和生物领域的应用
在物理领域,次分部积分法可以用于求解量子力学问题,并可以精确
计算低能量量子吸收跃迁的边缘状态。
在生物领域,次分部积分法可
以用于解决生物体的复杂动力学过程,如蛋白质的结构与功能之间的
关系、酶反应速度的研究、基因表达的计算等。
次分部积分法是一种比较有效的求解复杂系统的方法,可以有效求解
物理、动力学及生物等领域的研究问题。
它所具有的精准度、高效性、在实践中的广泛适用等特点,博得了众多学术界和工业领域的认可和
利用。
n次分部积分法研究及其应用
n次分部积分法研究及其应用n次分部积分法是一种用于解决积分和微分方程的算法,它可以提供更准确的计算结果,而且比普通的积分方法更快捷、更高效。
n 次分部积分法历史悠久,早在17世纪,英国数学家约瑟夫斯穆兰就已经提出了这个方法。
到21世纪,随着计算机和传感器技术的发展,n次分部积分法逐渐被应用到航空、航天、机械制造领域,并发挥出了巨大的作用。
【算法概述】n次分部积分法是一种多项式积分算法,它将一个定义域划分成n个部分,每一部分都从它自身的左边界开始,一直到它自身的右边界结束。
然后通过分别计算每一部分上的函数值,以及在每一部分上的端点处的积分值,来获得总体的积分值。
这种划分的方式可以减少在积分计算过程中产生的误差,从而提高计算的精度。
在实际应用中,可以将n次分部积分法分为多次积分、微分以及复合积分三种方法。
多次积分是对一个复杂函数进行多次积分,将其转换成一系列更容易求解的函数,有助于节约计算时间。
微分可以将复杂函数转换成容易处理的简单函数,从而提高计算效率。
复合积分是将多个积分合并在一起,以减少计算时间,提高计算效率。
【应用】n次分部积分法的应用非常广泛,它的应用覆盖了大量的领域,其中包括航空、航天、机械制造等。
航空方面,n次分部积分法可以用于帮助计算飞行路线,例如飞机重心位置,以及进行飞行轨迹模拟。
在航天领域,n次分部积分法可以用于卫星飞行轨迹计算,以及预测卫星未来轨迹。
机械制造领域,n次分部积分法可以用于处理复杂的机械结构及其活动轨迹,以此来计算机械结构的位置及状态。
【结论】n次分部积分法的出现极大地改变了积分及其相关的微分方程的计算方式,它比传统的积分方法更精确,也更加高效。
它的应用也遍及了航空、航天、机械制造等多个领域,发挥出了巨大的作用。
微分分次Poisson Hopf代数的张量积
微分分次Poisson Hopf代数的张量积胡献国;郭梦甜;吕家凤【摘要】证明了任意2个p次微分分次Poisson Hopf代数的张量积仍为p次微分分次Poisson Hopf代数.作为应用,证明了p次微分分次Poisson Hopf代数构成的范畴dg-PHA是对称monoidal范畴.【期刊名称】《浙江大学学报(理学版)》【年(卷),期】2018(045)006【总页数】6页(P651-655,672)【关键词】p次微分分次PoissonHopf代数;张量积;对称monoidal范畴【作者】胡献国;郭梦甜;吕家凤【作者单位】浙江师范大学数学系 ,浙江金华321004;浙江师范大学数学系 ,浙江金华321004;浙江师范大学数学系 ,浙江金华321004【正文语种】中文【中图分类】O154.20 引言Poisson代数的概念起源于Poisson几何, 可简单看作交换代数与Lie代数的结合. 近年来,随着Poisson代数的广泛应用, 得到了多种Poisson代数的推广形式[1-4]. 特别地, DRINFEL’D[5]定义了Poisson Hopf代数,详细研究了这类代数在Poisson-Lie群上的应用. 此外, 吕家凤等[6]给出了Poisson Hopf代数及其泛包络代数的基本性质. 微分分次代数起源于代数拓扑与表示理论, 在交换代数与非交换代数领域有重要作用[7-8]. 作为其推广, LYU等[9]引入了微分分次Poisson代数, 研究了这类代数的张量积及相关性质和应用. 受此启发, 本文尝试将Poisson Hopf 代数的概念推广到微分分次的情形, 定义了p次微分分次Poisson Hopf代数, 并推广了文献[9]的相关结果:证明了任意2个p次微分分次Poisson Hopf代数的张量积仍为p次微分分次Poisson Hopf代数; 证明了p次微分分次Poisson Hopf代数构成的范畴dg-PHA是对称monoidal范畴.本文的主要结果如下:定理1 (1) 设(A,uA,ηA,ΔA,εA,SA,{·,·}A,dA)和(B,uB,ηB,ΔB,εB,SB,{·,·}B,dB)是任意2个p次微分分次Poisson Hopf代数,则(A⊗B,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d)也是p次微分分次Poisson Hopf代数.相关运算定义为:S(a⊗b)∶=SA(a)⊗SB(b),η(1k)∶=1A⊗1B, ε(a⊗b)∶=εA(a)εB(b),u((a⊗b)⊗(a′⊗b′))∶=(-1)|a′||b|aa′⊗bb′,Δ(a⊗b)∶=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2),d(a⊗b)∶=dA(a)⊗b+(-1)|a|a⊗dB(b),{a⊗b,其中,uA(a⊗a′)∶=aa′, uB(b⊗b′)∶=bb′,ΔA(a)∶=a(1)⊗a(2), ΔB(b)∶=b(1)⊗b(2), ||表示齐次元的次数, a,a′∈A,b,b′∈B 为齐次元.(2) 记dg-PHA为p次微分分次Poisson Hopf代数构成的范畴, 则dg-PHA是对称monoidal范畴, 其左单位元与右单位元均为基础域k.(3) 设Aop与Bop分别为A与B的p次微分分次Poisson Hopf反代数. 则(A⊗B)op=Aop⊗Bop.1 p次微分分次Poisson Hopf代数首先,回顾一些后面要用到的概念.如无特别说明, 文中所有代数均含有单位元1, k表示特征为0的基域, 所涉及的对象都是域k上的向量空间, 所涉及的分次均为Z-分次. 对任给的分次向量空间V与W, 扭转映射是指T: V⊗W→W⊗V∶T(v⊗w)=(-1)|v||w|w⊗v,其中,v∈V, w∈W.文中的分次代数A为Z-非负分次代数(A,u,η), 其中A=⊕n≥0An满足A0=k,u∶A⊗A→A与η∶k→A分别被称为A的乘法与单位. 方便起见, 记u(a⊗b)为ab,∀a,b∈A. 而微分分次代数是指具有次数是1的微分d:A→A分次代数, 并且其是一个分次导子.定义1 设(A,·)是分次k-代数. 若存在k-齐次线性映射:{·,·}∶A⊗A→A, |{·,·}|=p,对于任意的齐次元a,b,c∈A, 满足(i) (A,{·,·})是p次分次Lie代数, 即(ia) {a,b}=-(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,a},(ib) {a,{b,c}}={{a,b},c}+(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,{a,c}},(ii) 分次交换性:a·b=(-1)|a||b|b·a,(iii) 双导子性质:{a,b·c}={a,b}·c+(-1)(|a|+p)|b|b·{a,c},则称(A,·,{·,·})为p次分次Poisson代数[10]. 若在此基础上, 存在1次k-线性映射d:A→A, 满足d2=0与(iv) d({a,b})={d(a),b}+(-1)(|a|+p){a,d(b)},(v) d(a·b)=d(a)·b+(-1)|a|a·d(b),其中a,b∈A为齐次元, 则称A为p次微分分次Poisson代数, 可表示为(A,·,{·,·},d). 在不引起混淆的情况下, 可表示为(A,{·,·},d)或A.文中的分次余代数(C,Δ,ε)为非负分次向量空间C, 具有次数为0的k-齐次线性映射Δ∶C→C⊗C 与ε∶C→k,使得通常的图表可交换[11-12]. 注意到k⊗C≅C≅C⊗k是明显同构的, 因此,非负分次向量空间C是分次余代数当且仅当(C,Δ,ε)满足:(Δ⊗I)Δ=(I⊗Δ)Δ,(ε⊗I)Δ=I=(I⊗ε)Δ,其中,I∶C→C恒等同态, Δ与ε分别称为C的余乘法与余单位. 在不引起混淆的情况下, 可将(C,Δ,ε)记为C.对于任给的c∈C, 参照文献[12]中的记号, 记Δ(c)∶=∑(c)c(1)⊗c(2). 在使用过程中, 求和符号经常省略,因此, 对任给的齐次元c∈C, 余乘法与余单位可分别表示为(Δ⊗I)Δ(c)=(I⊗Δ)Δ(c)=c(1)⊗c(2)⊗c(3)与c=ε(c(1))c(2)=c(1)ε(c(2)).设(C,ΔC,εC)与(D,ΔD,εD)是2个分次余代数, 如果f满足条件:(f⊗f)∘ΔC=ΔD∘f, εD∘f=εC,则称次数为0的分次线性映射f∶C→D为分次余代数同态.定义2 设H是分次k-向量空间. 若存在1次k-线性映射d:H→H, 满足d2=0与(i) (H,Δ,ε,d)是微分分次余代数, 即(ia) (H,Δ,ε)是分次余代数,(ib) d是次数为1的分次余导子,即有εd=0 与Δd=(d⊗I+T(d⊗I)T)Δ,(ii) (H,u,η,d)是微分分次代数,(iii) Δ与ε是分次代数同态,则称H为微分分次双代数. 若在此基础上, 存在次数为0的齐次线性映射S∶H→H, 满足u(I⊗S)Δ=u(S⊗I)Δ=ηε,则称(H,u,η,Δ,ε,S,d)为微分分次Hopf代数[13], 并称S为H的对极.注记1 在定义2的(ib)中, 若使用文献[12]中的记号, 对任给的齐次元x∈H, 则有Δ(d(x))=d(x(1))⊗x(2)+(-1)|x(1)|x(1)⊗d(x(2)).设(C,ΔC,εC)与(D,ΔD,εD)是2个分次双代数, 若f既是分次代数同态, 又是分次余代数同态,则称次数为0的分次线性映射f:C→D为分次双代数同态 . 更进一步, 若(C,SC)与(D,SD)都是分次Hopf代数,则易证f为分次Hopf代数同态, 即SD∘f=f∘SC( 参见文献[12] 引理4.0.4).定义3 设A是分次k-向量空间. 若存在k-齐次线性映射:{·,·}∶A⊗A→A, |{·,·}|=p;d∶A→A, |d|=1,满足d2=0与(i) (A,u,η,{·,·},d)是p次微分分次Poisson代数,(ii) (A,u,η,Δ,ε,d)是微分分次双代数,(iii) Δ({a,b}A)={Δ(a),Δ(b)}A⊗A, ∀a,b∈A,其中{·,·}A⊗A定义为{a⊗a′, b⊗b′}∶=(-1)(|b|+p)|a′|({a,b}⊗a′b′)+(-1)(|a′|+p)|b|(ab⊗{a′,b′}),a,b,a′,b′∈A为齐次元,则称(A,u,η,Δ,ε,{·,·},d)为p次微分分次Poisson双代数. 若在此基础上, 存在次数为0的k-齐次线性映射S∶A→A, 满足u(I⊗S)Δ=u(S⊗I)Δ=ηε,则称A为p次微分分次Poisson Hopf代数,表示为(A,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d).定义4 设A与B是任意2个p次微分分次Poisson Hopf代数, 若对任给的齐次元a,b∈A, 有fdA=dBf, f({a,b}A)={f(a),f(b)}B,则称次数为0的分次双代数同态f∶A→B为微分分次Poisson Hopf代数同态. 进一步, 若微分分次Poisson Hopf 代数同态f∶A→B是双射的, 则称作为微分分次Poisson Hopf代数的A与B是同构的, 记为A≅B.记dg-PHA为p次微分分次Poisson Hopf代数构成的范畴, 其中的态射为微分分次Poisson Hopf代数同态.下面给出具体的例子.例1 设(A,u,η,Δ,ε,S,{·,·},d)为任给的p次微分分次Poisson Hopf代数. 那么(Aop,uop,η,Δop,ε,S,{·,·}op,d)也为p次微分分次Poisson Hopf代数, 其中,uop(a⊗b)=(-1)|a||b|b·a=a·b=u(a⊗b),{a,b}op=(-1)(|a|+p)(|b|+p){b,a}=-{a,b},Δop=TΔ,a,b∈A为齐次元, T∶A⊗A→A⊗A为扭转映射, 即 T(a⊗b)=(-1)|a||b|b⊗a.例2 设A∶, |x|=2, |y|=3. 定义1次k-线性映射d:d(x)=y, d(y)=0,且{x,y}=-{y,x}=y2, {x,x}={y,y}=0. 定义分次Hopf代数的结构如下:Δ(x)=x⊗1+1⊗x, Δ(y)=y⊗1+1⊗y,ε(x)=0, ε(y)=0, S(x)=-x, S(y)=-y.注意到在A中有y2=0. 易证A是1次微分分次Poisson Hopf代数.2 定理1的证明简单起见, 在不引起混淆的情况下, 下文中常省去下标. 所取的元素都是对应代数中的齐次元.根据定义3, 定理1的证明可以分解成以下几个引理.引理1 由定理1中的定义, 有(A⊗B,Δ,ε)为分次余代数.证明因为(A,Δ,ε)是分次余代数, 由分次余代数的定义, 有a(11)⊗a(12)⊗a(2)=a(1)⊗a(21)⊗a(22),ε(a(1))a(2)=a=a(1)ε(a(2)).对分次余代数(B,Δ,ε), 有类似的等式成立. 从而(Δ⊗I)Δ(a⊗b)=(Δ⊗I)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)|(|b(11)|+|b(12)|)+|a(12)||b(11)|a(11)⊗b(11)⊗a(12)⊗b(12)⊗a(2)⊗b(2)=(-1)|a(2)||b(1)|+|a(3)||b(1)|+|a(3)||b(2)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2)⊗a(3)⊗b(3),(I⊗Δ)Δ(a⊗b)=(I⊗Δ)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)(|a(21)|+|a(22)|)|b(1)|+|a(22)||b(21)|a(1)⊗b(1)⊗a(21)⊗b(21)⊗a(22)⊗b(22)=(-1)|a(2)||b(1)|+|a(3)||b(1)|+|a(3)||b(2)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2)⊗a(3)⊗b(3),(I⊗ε)Δ(a⊗b)=(I⊗ε)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|(a(1)⊗b(1))·ε(a(2))ε(b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)ε(a(2))⊗b(1)ε(b(2))与(ε⊗I)Δ(a⊗b)=(ε⊗I)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|ε(a(1))ε(b(1))·(a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|ε(a(1))a(2)⊗ε(b(1))b(2).进而有(Δ⊗IA⊗B)Δ=(IA⊗B⊗Δ)Δ.注意到εA与εB均为次数为0的齐次线性映射, 且k为次数聚集在0处的分次向量空间, 所以对任意i>0, 有εA(Ai)=0与εB(Bi)=0, 其中A=⊕i≥0Ai,B=⊕i≥0Bi. 同理可得, Δ(An)⊆⊕i+j=nAi⊗Aj, 其中n≥0. 因此, 只有在a(2)∈A0时, 才有εA(a(2))≠0, 此时(-1)|a(2)||b(1)|=1. 故(I⊗ε)Δ(a⊗b)=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)ε(a(2))⊗b(1)ε(b(2))=a(1)ε(a(2))⊗b(1)ε(b(2))=a⊗b.类似地, 有(ε⊗I)Δ(a⊗b)=a⊗b.由此可得, (A⊗B,Δ,ε)为分次余代数.引理2 由定理1中的定义, 有εd=0, 且Δd=(d⊗IA⊗B+T(d⊗IA⊗B)T)Δ.证明注意到εAdA=0与εBdB=0. 因此εd(a⊗b)=ε(d(a)⊗b+(-1)|a|a⊗d(b))=εd(a)ε(b)+(-1)|a|ε(a)εd(b)=0.下面证明Δ与微分的交换性. 根据Δ与d的结构, 可得Δd(a⊗b)=Δ(d(a)⊗b+(-1)|a|a⊗d(b))=(-1)|d(a)(2)||b(1)|d(a)(1)⊗b(1)⊗d(a)(2)⊗b(2)+(-1)|a(1)|+|a(2)|+|a(2)||d(b)(1)|a(1)⊗d(b)(1)⊗a(2)⊗d(b)(2)=(-1)|a(2)||b(1)|+|a(1)|+|b(1)|a(1)⊗b(1)⊗d(a(2))⊗b(2)+(-1)|a(2)||b(1)|d(a(1))⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2)+(-1)|a(1)|+|a(2)||b(1)|a(1)⊗d(b(1))⊗a(2)⊗b(2)+(-1)|a(1)|+|a(2)|+|b(1)|+|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗d(b(2)),(d⊗I+T(d⊗I)T)Δ(a⊗b)=(d⊗I+T(d⊗I)T)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|d(a(1)⊗b(1))⊗a(2)⊗b(2)+(-1)|a(2)||b(1)|+|a(1)⊗b(1)|a(1)⊗b(1)⊗d(a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|[(d(a(1))⊗b(1)+(-1)|a(1)|a(1)⊗d(b(1)))⊗a(2)⊗b(2)+(-1)|a(1)|+|b(1)|a(1)⊗b(1)⊗(d(a(2))⊗b(2)+(-1)|a(2)|a(2)⊗d(b(2)))].故Δd=(d⊗IA⊗B+T(d⊗IA⊗B)T)Δ.引理3 由定理1中的定义, 有Δ与ε为分次代数同态.证明先证Δ为分次代数同态. 注意到对任给的齐次元a,a′∈A, 有Δ(aa′)=Δ(a)Δ(a′)=⊗.同理, 由ΔB为分次代数同态, 可推出Δ(bb′)⊗,其中b,b′∈B为齐次元.从而有Δ((a⊗b)(a′⊗b′))=Δ((-1)|a′||b|aa′⊗bb′)=⊗⊗⊗×⊗⊗⊗,Δ(a⊗b)Δ(a′⊗b′)=(-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2)×⊗⊗⊗⊗⊗⊗(a(2)⊗⊗×⊗⊗⊗.因此Δ((a⊗b)(a′⊗b′))=Δ(a⊗b)Δ(a′⊗b′).接下来证ε为分次代数同态.ε((a⊗b)(a′⊗b′))=ε((-1)|a′||b|aa′⊗bb′)= (-1)|a′||b|ε(aa′)ε(bb′)=(-1)|a′||b|ε(a)ε(a′)ε(b)ε(b′)=ε(a)ε(b)ε(a′)ε(b′)=ε(a⊗b)ε(a′⊗b′).引理4 由定理1中的定义, 有Δ({a⊗b,a′⊗b′})={Δ(a⊗b),Δ(a′⊗b′)}.证明注意到对任给的齐次元a,a′∈A, 有Δ({a,a′})={Δ(a),Δ(a′)}=,⊗⊗{a(2),.同理, 有Δ({b,b′},⊗⊗{b(2),,其中b,b′∈B为齐次元.从而有{Δ(a⊗b),Δ(a′⊗b′)}={(-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2),⊗⊗⊗×⊗b(1),⊗⊗(a(2)⊗b(2))·⊗⊗b(1))·⊗⊗{a(2)⊗b(2),⊗××{a(1),⊗⊗{b(1),⊗⊗⊗⊗((-1)p|b(2)|{a(2),⊗⊗{b(2),与Δ({a⊗b,a′⊗b′})=Δ((-1)(|a′|+p)|b|{a,a′}⊗bb′+(-1)(|b|+p)|a′|aa′⊗{b,b′})=(-1)(|a′|+p)|b|Δ({a,a′}⊗bb′)+(-1)(|b|+p)|a′|Δ(aa′⊗{b,b′})=×{a,a′}⊗⊗{a,a′}⊗×⊗{b,b′}⊗⊗{b,b′}×,⊗⊗⊗×⊗⊗{a(2),⊗×⊗{b(1),⊗⊗×⊗⊗⊗{b(2),.分别比较各项系数, 可得Δ({a⊗b,a′⊗b′})={Δ(a⊗b),Δ(a′⊗b′)}.引理5 由定理1中的定义, 有S为A⊗B的对极, 即u(I⊗S)Δ=u(S⊗I)Δ=ηε.证明注意到u(I⊗S)Δ(a⊗b)=u(I⊗S)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))= (-1)|a(2)||b(1)|(a(1)⊗b(1))S(a(2)⊗b(2))=(-1)|a(2)||b(1)|(a(1)⊗b(1))(S(a(2))⊗S(b(2)))=a(1)S(a(2))⊗b(1)S(b(2))=ε(a)ε(b)1A⊗B,从而ηε(a⊗b)=η(ε(a)ε(b))=ε(a)ε(b)1A⊗B=u(I⊗S)(a⊗b).类似地, 有u(S⊗I)Δ=ηε.定理1的证明 (1) 由文献[9]可知, (A⊗B,u,η,d,{·,·})是p次微分分次Poisson代数. 再由引理1~引理5可得, (A⊗B,u,η,Δ,ε,S, {·,·}, d)是p次微分分次 Poisson Hopf 代数. 故(1)成立.(2) 定义映射φ: A⊗B→B⊗A,φ(a⊗b)=(-1)|a||b|b⊗a,其中,a∈A,b∈B为齐次元. 要证dg-PHA为对称monoidal范畴, 只须证φ是同构映射. 由于φ∘φ=1, 故只需证φ是微分分次Poisson Hopf代数同态. 注意到εA 与εB都是次数为0的齐次线性映射, 所以有ΔB⊗Aφ(a⊗b)=ΔB⊗A((-1)|a||b|b⊗a)=(-1)|a||b|+|a(1)||b(2)|b(1)⊗a(1)⊗b(2)⊗a(2),(φ⊗φ)ΔA⊗B(a⊗b)=(φ⊗φ)((-1)|a(2)||b(1)|a(1)⊗b(1)⊗a(2)⊗b(2))=(-1)|a||b(1)|+|a(2)||b(2)|b(1)⊗a(1)⊗b(2)⊗a(2)与εB⊗Aφ(a⊗b)=εB⊗A((-1)|a||b|b⊗a)=(-1)|a||b|ε(b)ε(a)=ε(a)ε(b)=εA⊗B(a⊗b).因此, φ是分次余代数同态. 注意到φ是微分分次Poisson代数同态, k是p次微分分次Poisson Hopf代数, 故结论成立.(3) 由例1可知, Aop, Bop与(A⊗B)op都是p次微分分次Poisson Hopf代数. 注意到(A⊗B)op与Aop⊗Bop的代数结构均由(uop,η,Δop,ε,S,{·,·}op,d)所决定, 其中,η(1k): =1A⊗1B,ε(a⊗b):=εA(a)εB(b),S(a⊗b): =SA(a)⊗SB(b),d(a⊗b):=dA(a)⊗b+(-1)|a|a⊗dB(b),uop((a⊗b)⊗(a′⊗b′)): =(-1)|a′||b|aa′⊗bb′,{a⊗b,a′⊗b′}op: =-(-1)(|a′|+p)|b|({a,a′}⊗bb′)-(-1)(|b|+p)|a′|(aa′⊗{b, b′},Δop(a⊗b): =(-1)|a(1)||a(2)|+|a(1)||b(2)|+|b(1)||b(2)|×a(2)⊗b(2)⊗a(1)⊗b(1),a,a′∈A, b,b′∈B为齐次元. 故(A⊗B)op=Aop⊗Bop.证毕!参考文献(References):【相关文献】[1] HUEBSCHMANN J. 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张量积的维数
张量积的维数张量积,又称为张量乘积、多元积或多模积,是一种多维数学结构,是量化多元变量之间的非线性关系的重要工具。
张量积作用于向量、矩阵、张量等数学对象,可以产生一个新的更高维数的张量积。
它的最重要的特性是,使得非线性函数更容易处理,而且它可以被用来模拟和分析多元变量之间的复杂关系。
张量积的维数是指给定N个张量A1, A2,..., AN,其积张量的总维数。
根据张量理论,积张量的能量被定义为:A1+A2+...+AN。
那么,对于任意N个张量,当N>2时,张量积要求满足N-1维张量积,才能够描述它们之间的复杂关系。
举个例子,假设有三个三维张量A1, A2, A3。
其中A1的维数是(I,J,K),A2的维数是(J,K,L),A3的维数是(K,L,M)。
则积张量的总维数,即张量积的维数就是I+J+K+L+M=3+3+3+3+3=15。
张量积的维数能够表征一个张量的能量,并可以用来表征数据的多态性。
张量积中的每个元素可以表示单一变量,也可以表示多个变量之间的复杂关系。
给定N个张量,如果N-1个张量都是一阶张量,则积张量就是一阶张量;如果N-1个张量中存在2阶张量,则积张量就是2阶张量;以此类推。
对于任意N个张量来说,张量积的维数就是N的维数的总和。
就具体而言,我们可以用以下方法来计算张量积的维数:首先,把N个张量中每个张量的维数分别记为a1,a2,a3....an 。
接下来,计算a1+a2+a3+...+an,即为张量积的维数。
张量积的维数也可以用来表示数据多样性,这对于处理多维数据非常有用,是非线性函数建模的重要工具。
例如,在机器学习中,将一维数据转换为多维数据,可以使用张量积的维数来表示数据的多样性。
此外,张量积的维数可以用来衡量数据之间的关联,从而确定是否存在复杂的多元变量之间的关系。
析因数定理
析因数定理析因数定理,又称牛顿-莱布尼茨公式,是微积分中的一个重要定理,它是牛顿发现的关于多项式的基本定理之一。
析因数定理适用于任意一个多项式,它可以用来分解多项式成一个或多个低次多项式的乘积。
这是微积分中的一个非常重要的定理,具有广泛的应用。
下面我们将详细介绍析因数定理及其应用。
首先,什么是多项式?多项式是数学中的一个常见的代数表达式,它是由一系列的项(term)按照加法或减法的运算方式组合而成的。
在多项式中,每一项都是由一个常数乘以一串字母的幂次的乘积组成,其中常数称为系数,字母的幂次称为次数。
现在我们来介绍析因数定理。
如果一个多项式P(x)除以 (x-a)的余数为零,即 P(a) = 0,那么 (x-a) 就是多项式 P(x) 的一个因子。
这个定理表示,如果一个多项式在某个特定的值上取值为零,那么这个值就是该多项式的一个根(零点)。
例如,我们考虑一个三次多项式 P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 2。
现在我们要找到 P(x) 的因子。
根据析因数定理,如果我们能找到一个 x-a,使得 P(a)=0,那么 x-a 就是 P(x) 的一个因子。
因此,我们可以假设 x-2 是 P(x) 的一个因子。
为了验证我们的猜测,我们将 P(x) 除以 (x-2)。
首先,我们将 P(x) 写成部分分式的形式,即 P(x) = (2x^3 -3x^2) + (x - 2)。
然后,我们用长除法的方法进行计算,将(2x^3 - 3x^2) + (x - 2) 除以 (x-2)。
具体计算过程如下:2x - 1(x-2) | 2x^3 - 3x^2 + x - 2- (2x^3 - 4x^2)-----------------x^2 + x - 2- (x^2 - 2x)------------------3x - 2- (3x - 6)----------------4计算结果为 x^2 + x - 2 + (4/(x-2))。
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t i a l g r a d e d Po i s s o n a l g e b r a s ,we p r o v e t h a t t h e c a t e g o r y o f — d i f f e r e n t i a l g r a d e d Po i s s o n a l g e b r a s i s a s y mme t r i c mo n o i d a 1 c a t e g o r y .
3 2 1 0 0 4,Zh i a n g Pr o v i n c e,C h i n a )
Th e t e n s o r p r o d u c t o f n — d i f f e r e n t i a l g r a d e d P o i s s o n a l g e b r a s .J o u r n a l o f Z h e j i a n g Un i v e r s i t y ( S c i e n c e E d i t i o n ) ,2 0 1 5,
第 4 2卷 第 4期 2 0 1 5年 7月
浙 江 大 学 学 报( 理学版 ) J o u r n a l o f Zh e j i a n g Un i v e r s i t y ( S c i e n c e Ed i t i o n) h t t p: / / www. j o u r n a l s . z j u . e d u . c n / s c i
d( a 6 ): 一d A a 6 +( 一1 ) 0 a  ̄d B b , { a  ̄b , a t 6 ): 一( 一1 ) L a ' l
n , a ∈A , b , b ∈B 为 齐 次 元 .
{ a , a } A b b +
( 一1 ) ‘ h I d l a a { b , b } B,
定理 1 ( 1 ) 设 ( A,・, { , } , d ) 和 ( B, *,
0 引 言
P o i s s o n代 数 的 概 念 起 源 于 P o i s s o n几 何 , 可 简
{ , } , d ) 是 2个 n次 微 分 分 次 P o i s s o n代 数 . 则
4 2 ( 4 ) : 3 9 1 - 3 9 5
Ab s t r a c t :T he n ot i on o f — di f f e r e n t i a l gr a de d Poi s s on a l g e br as i s gi ve n . By s t ud yi ng t he t e ns o r pr od uc t of n— di f f e r e n—
( A B,・, { , } , ) 也 是 n次 微 分 分 次 P o i s s o n代
数, 其中,
( 口 6 )・( 口 6 ) :一 ( 一1 ) I I b l ( a a b b ) ,
单 地 看作 交 换 代 数 和 李 代 数 的 结 合. 近年 来 , P o i s —
次微分分次 P o i s s o n代 数 的 张 量 积
吴 学 超 ,朱 卉 ,陈 森 森
( 浙江师范大学 数学 系 , 浙江 金华 3 2 1 0 0 4 )
摘
要: 给 出 了 n次微 分 分 次 P o i s s o n代 数 的 定 义 , 通 过 考 察 n次 微 分 分 次 P o i s s o n代 数 的 张 量积 , 证 明了 次 微 分
s o n代数 得 到 了很多 不 同形 式 的 推广 . 特别地 , 吕家 凤等 定 义 了 微 分 分 次 P o i s s o n代 数 , 详细研究 了 这类 代数 的泛包 络代 数 的相关 性质 . 类似于 P o i s s o n 代数 , 这类 代 数可 以粗 略 地 看作 微 分分 次 代 数 和 微
分分 次李 代 数 的结合 . 注 意 到文 献 [ 1 ] 中, 微 分 分 次
P o i s s o n代 数 的 P o i s s o n括 号是 0次 的 , 而 在微 分 分 次李 代数 的定义 中 , 李括 号 的次数 是任 意整 数次 的 , 受 此启 发 , 本文 将文 献 [ 1 ] 中微 分 分 次 P o i s s o n代 数 的概念 推广 到任 意 整 数 次 的情 形 , 定 义 了 次微 分
中国分类号 : O 1 5 4 . 2
WU Xu e c h a o ,ZHU Hu i ,CHE N Mi a o s e n( De pa r t me n t o f Ma t h e ma t i c s ,Zh e j i a n g No r ma l Un i v e r s i t y,Ji n h u a
分次 P o i s s o n代 数 范畴 是 对 称 mo n o i d a l 范畴 .
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词: n次微 分 分 次 李 代 数 ; n次微 分 分 次 P o i s s o n代 数 ; 张 量 积
文 献 标 志码 : A 文章编号 : 1 0 0 8 — 9 4 9 7 ( 2 0 1 5 ) 0 4 — 3 9 1 — 0 5
Ke y Wo r d s : 一 d i f f e r e n t i a l g r a d e d L i e a l g e b r a ; — d i f f e r e n t i a l g r a d e d P o i s s o n a l g e b r a s ;t e n s o r p r o d u c t